E.M.V y Regresión Logística

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1 TAREA 3 E.M.V y Regresión Logística Análisis de la tasa de retención de clientes de una empresa y su proyección. Determinación de algunos factores que inciden en la rehospitalización de pacientes en el sistema de salud de USA. IN Estadística para la Economía y Gestión Profesor: Marcelo Olivares A. Auxiliares: José Miguel Alvarado Angélica Cordoba Emilio Varas Tomás Wilner Estudiantes: Iván Fuentealba C. Fecha: 24 de junio de 2014

2 Índice 1. Introducción Reseña histórica Metodología utilizada Descripción del Problema Adaptación del Problema Adaptación del Problema Desarrollo Problema Log-verosimilitud (LL) Estimador de Máxima Verosimilitud E.M.V Mejora del modelo Contraste de Resultados Cambios en el modelo Proyección y comparación de los modelos Modelo alternativo Problema Párametros del problema S que minimiza los gastos del gobierno Estimador de Máxima Verosimilitud E.M.V Variables explicativas que inciden significativamente en la probabilidad de rehospitalización Criterio de clasificación y costos del gobierno Probabilidad crítica que minimiza los costos del gobierno Comparaciones Resultados obtenidos Análisis de Resultados 8 5. Conclusiones 8 2

3 1. Introducción 1.1. Reseña histórica La tasa de retención de clientes ha sido un tema muy importante para las empresas durante los últimos 100 anños, puesto que con ella pueden definir nuevas estrategias para establecer un plan de marketing o mejorar aspectos en la gestión interna que podrían incidir en algún tipo de variación sobre la tasa. Una consecuencia directa de estudiar la tasa de retención puede marcar algún tipo de ventaja competitiva para alguna empresa, o bien cuestionarse ciertas cosas en relación a la fidelización de sus clientes. Los centros hospitalarios y diversos servicios de atención masiva (como las cárceles, por ejemplo) deben tener en cuenta la capacidad que poseen y la reincorporación de sus usuarios, en el caso de los centros médicos de las rehospitalización, el no tener capacidad para atender algún paciente puede significar la vida o la muerte de este, esto puede ocurrir si por alguna razón a alguna persona que no debia ser rehospitalizada lo fue y ocupó el espacio de alguien que sí lo necesitaba con urgencia, pero más grave aún, es cuando se comete el error de no rehospitalizar. a un paciente que si lo necesitaba. Por otro lado, siempre está la necesidad de ahorrar costos, lo que incide de alguna u otra manera en la decisión de aceptar o no más clientes Metodología utilizada En las próximas páginas se abordarán dos casos pequeños de estos problemas. En el primero, se analizará la tasa de retención de clientes de una empresa de telefonía durante 7 años y se buscará alguna forma de predecir la fuga de sus usuarios. Los datos utilizados se encuentran en este mismo informe y para el tratamiento de los datos, se utilizó Excel y su complemento Solver. Para el caso de los hospitales se utilizó una base de datos de 4382 pacientes correspondiente a 14 hospítales de una determinada región de USA, el cual se encuentra en el archivo anexo (archivo data tarea3.xlsx). Para trabajar con estos datos, se utilizó principalmente el software estadístico Stata en conjunto con Excel. En la próxima sección (Descripción) se explicará con mayor detalle sobre los problemas que se abordarán en el presente documento. 3

4 2. Descripción del Problema 2.1. Adaptación del Problema 1 Una empresa que ofrece servicios de telefonía ha notado que en cada año una fracción de clientes hace abondono de la compañía, para contratar otros servicios. La empresa ha pedido asesoría a los alumnos de Ingenieríaa Civil Industrial de la Universidad de Chile que cursan su primer curso de estadísticas, para poder determinar la tasa de retención de clientes, con el objetivo proyectar la fuga de éstos durante los próximos 5 años. Para esto, cuenta con la información de clientes que hicieron ingreso a la compañía en el 2006, con sus respectivas salidas a lo largo de los útimos años: Año # Clientes % Activos Tabla 2.1.1: Fugas de clientes. Se considera la siguiente hipótesis: todos los clientes, sin distinción, al fínal de cada año hacen abandono de la compañía con probabilidad θ y, por lo tanto, se mantienen en la compañía con probabilidad (1 θ). Dada esta creencia incial sobre el comportamiento de los clientes, se buscará estimar a través del método de máxima verosimilitud el valor de θ Adaptación del Problema 2 Los altos niveles de rehospitalización en el sistema de salud de USA, es uno de los problemas que más preocupa a las autoridades. Se estima que el 20 % del total de pacientes hospitalizados del programa Medicare(es un programa de seguridad social que administra el gobierno de USA que provee atención médica a adultos mayores y jóvenes con discapacidades) son rehospitalizados dentro de los próximos 30 días posteriores a la fecha en la cual fue dado de alta, mientras que el 34 % lo hace dentro de 90 días. Con el objetivo de profundizar en el análisis de este problema, se quiere determinar cuáles son los factores que inciden de manera significativa en la rehospitalización de un paciente. Para lograr dicho objetivo, se cuenta con una base de datos de 4382 pacientes correspondiente a 14 hospitales de una determinada región de USA (archivo data tarea3.xlsx). Dicha base de datos cuenta con las siguientes variables: 4

5 Variable age sex flu season Ed admit severity score comorbidity readmit30 Descripción edad al momento de hospitalizarse género: 1 si es mujer, 0 si es hombre 1 si el paciente fue hospitalizado en época de influenza, 0 si no 1 si el paciente fue hospitalizado por urgencias, 0 si no índice de severidad del estado de salud del paciente, basado en exámenes y signos vitales registrados al momento de hospitalizarse. índice de severidad basado en diagnósticos prexistentes del paciente si el paciente fue rehospitalizado dentro de 30 días, 0 si no Tabla 2.2.1: Variables de la base de datos En primera instancia, se buscará predecir si un cliente será rehospitalizado o no. Cuando se predice que un paciente sera rehospitalizado, el gobierno reserva capacidad en el sistema de salud para recibir a ese paciente de forma adecuada, lo cual se estima a un costo de US$2,000. Si el paciente efectivamente fue rehospitalizado, se incurren $5000 en gastos de tratamiento. Si en cambio el paciente para el cual se predijo rehospitalización y NO FUE rehospitalizado, se incurren en un gasto adicional de $300, por multas en incumplimiento de contratos. Por otro lado, si se predijo que el paciente no sería rehospitalizado y este finalmente lo fue, el gasto total de tratamiento es de $10,000. Si se predijo que el apciente no seria rehospitalizado y paciente efectivamente no lo fue, no se incurre ningún costo. La siguiente matriz resume los costos asociados para el gobierno: Efectivo Sí No Predicción Sí $ 7000 ( ) $ 2300 ( ) No $ Tabla 2.2.2: Costo del gobierno debido a las hospitalizaciones Se considera el supuesto de que ningún paciente que necesite rehospitalización (ya sea si ésta fue o no predicha) queda sin ser rehospitalizado, el gobierno siempre incurrirá en los costos necesarios para las rehospitalizaciones 5

6 3. Desarrollo 3.1. Problema Log-verosimilitud (LL) P eríodo t Año # Clientes N t (F ugas) % Activos = = = = = = = Tabla 3.1.1: Fugas de clientes. Es lógico pensar a priori que los clientes se fugan siguiendo una distribución geométrica, por lo que se plantea lo siguiente: Sean N t la i-ésima observación de la cantidad de clientes que se quedan (ver tabla anterior), t 0,..., 7, P(T = t θ): la probabilidad que un cliente abandone la compañía el año t, con θ representando la probabilidad de fuga y 1 θ la probabilidad de quedarse. La probabilidad de que un cliente se vaya en T=t es la probabilidad de que no se haya ido en los t-1 períodos anteriores y que se vaya en el período actual: P(T = t θ) = (1 θ) t 1 θ Considerando que lo anterior es para el caso de sola persona, entonces para describir el hecho de que durante la observación, se mantengan: N 1 = 6310 Clientes,..., N 7 = 2413 Clientes en el horizonte temporal, se tiene que la función de verosimilitud, que intenta asignar la máxima probabilidad a la ocurrencia de los observado, viene dada por: L(θ X) = 7 P(T = t θ) Nt t=0 Como esta función de díficil de trabajar númericamente, es mejor trabajar con su logaritmo y considerar la siguiente propiedad el logaritmo de la multiplicación es la suma de los logaritmos, resulta lo siguiente: 7 LL(θ X) = ln( P(T = t θ) Nt ) t=0 = N 0 ln(p(t = 0 θ)) N 7 ln(p(t = 7 θ)) = 0 + N 1 ln(p(t = 1 θ)) N 7 ln(p(t = 7 θ)) = N 1 ln((1 θ) 0 θ 1 )) + N 2 ln((1 θ) 1 θ 2 )) + N 3 ln((1 θ) 2 θ 3 )) N 7 ln((1 θ) 6 θ 7 )) 6

7 = N 1 ln(θ) + N 2 [ln(1 θ) + 2ln(θ)] N 7 [6ln(1 θ) + 7ln(θ)] Estimador de Máxima Verosimilitud E.M.V Se desea encontrar ˆθ = argmáx{ll(θ X)}. Como el logaritmo es una función de clase C 2 y además es creciente, basta derivar e igualar a 0 para encontrar ˆθ. dll(θ X) dθ = N 1 θ + N 1 2[ 1 θ + 2 θ ] N 6 7[ 1 θ + 7 θ ] Lo que se calculó utilizando el complemento Solver de Excel, considerando el supuesto de que todos los clientes tienen el mismo θ, por lo que tendrían la misma probabilidad (entre y ), lo que arrojó los siguientes resultados: P eríodo t N t (F ugas) P(T = t θ) N t Ln(P(T = t θ)) (no influye) = = = = = = = E LL(θ X) ˆθ Tabla 3.1.2: E.M.V con un único valor para θ. :( no alcancé a pasarlo todo a LaTeX, me demoré infinito. J.M intentaré enviarlo completo de todas formas Mejora del modelo Contraste de Resultados Cambios en el modelo Proyección y comparación de los modelos Modelo alternativo PROPOSICIÓN beta: DEMOSTRACIÓN: 7

8 3.2. Problema Párametros del problema S que minimiza los gastos del gobierno Estimador de Máxima Verosimilitud E.M.V Variables explicativas que inciden significativamente en la probabilidad de rehospitalización Criterio de clasificación y costos del gobierno Probabilidad crítica que minimiza los costos del gobierno Comparaciones Código 3.3.1: Código 3.3.2: Código 3.3.3: 3.3. Resultados obtenidos 4. Análisis de Resultados 5. Conclusiones 8

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