CONCEPTO Y CONSTRUCCIÓN DEL SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL

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1 FUNDAMENTOS DEL CÁLCULO ARITMÉTICO EN EL PRIMER CICLO DE LA ENSEÑANZA PRIMARIA. CONCEPTO Y CONSTRUCCIÓN DEL SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL Autor: Ramón Galán González

2 A mi querido amigo Jerónimo Artiles. Por su generosidad, fidelidad e inteligencia Por compartir conmigo, y durante toda una vida, tantas luces y sombras. Ramón Galán. C copyright 2009 Ramón Galán González 2

3 ÍNDICE: Introducción..Pág. 4. Cantidad y número..pág. 5. Contar y agrupar....pág. 8. Contar y medir....pág. 11. Contando hasta el 9...Pág. 13. Lectura de números naturales hasta el 9...Pág. 20. Escritura de números naturales hasta el 9....Pág. 25. Los números naturales del 10 al 20...Pág. 26. Los números naturales hasta el Pág. 53. Construyendo los números del 100 hasta el Pág. 64. Anexo: Ejemplos de actividades numéricas...pág. 76. C copyright 2009 Ramón Galán González 3

4 Introducción: Una de las causas que motiva la dificultad que presentan los alumnos en relación al cálculo aritmético radica en la deficiente construcción del concepto de número natural. Si tenemos en cuenta, de un lado, que los números son signos lingüísticos que expresan cantidad y, de otro lado, que continuamente estamos realizando acciones con estas cantidades, esto es, realizamos operaciones matemáticas, es un contrasentido que realicemos dichas operaciones con unos objetos abstractos que llamamos números, sin construirlos previamente de manera adecuada. De otro lado, el cálculo aritmético se fundamenta en un conjunto de acciones que realizamos con cantidades expresadas en nuestro sistema de numeración decimal. Por lo tanto, es esencial que la construcción de nuestro sistema de numeración curse paralela y estrechamente ligada al proceso de aprendizaje del cálculo aritmético. Sin embargo, esto no sucede siempre así en el interior de las aulas. Lo vemos con un ejemplo. Si pretendiéramos sumar , bastaría pensar en el concepto de centena y darnos cuenta que al número 270 le faltan 30 unidades, esto es, 3 decenas, para completar la tercera centena. Por ello, para realizar la suma propuesta únicamente desprenderíamos del número 57 las tres decenas que necesitamos y, de este modo, transformar dicha suma en esta otra: Finalmente sólo necesitaríamos componer el número que expresa el resultado final: 327. En el estudio y en el desarrollo de cualquier sistema de numeración salen a la luz tres conceptos: cantidad, número y cifra. Tres conceptos diferentes. Conceptos que por estar íntimamente ligados, se confunden y se emplean como si fueran uno y el mismo concepto. Uno de los objetivos del presente trabajo será mostrar y demostrar sus diferencias y sus relaciones. Como los números expresan cantidades de objetos y como continuamente estamos realizando acciones de componer, descomponer completar y comparar cantidades de objetos, se desprende que la construcción del concepto de número natural debe cursar de forma paralela y simultanea a la realización de las operaciones matemáticas de sumar y restar. Es importante señalar que en el caso de que cada alumno disponga de su franelograma individual con su correspondiente juego de regletas, entonces los ejercicios y las actividades con regletas que analicemos en el presente trabajo, serán realizadas de forma individual por todos y cada uno de los alumnos. En nuestra exposición, y cuando no refiramos a las actividades propuestas empleando el recurso de las regletas, lo haremos sobre la base de que únicamente disponemos del franelograma y las regletas que empleamos con el gran grupo. Por último y con el fin de no repetir la misma exposición en trabajos diferentes, invito a consultar el trabajo Números y operaciones en Educación Infantil, donde se expone un análisis sobre el concepto de número natural. En el presente trabajo únicamente me limitaré a mencionar aquellos aspectos del concepto de número natural que resulten imprescindibles para la comprensión del trabajo que ahora nos ocupa. C copyright 2009 Ramón Galán González 4

5 Cantidad y número. A menudo formulo al profesorado la siguiente pregunta en relación a una representación que dispongo en el franelograma: Qué número ven en el franelograma? Una gran parte del profesorado responden que 13. La respuesta debiera ser: Vemos una determinada cantidad de cuadrados pero ningún número, ya que los cuadrados no están agrupados Cuando damos la primera respuesta estamos confundiendo el concepto de cantidad con el concepto de número. Evidentemente cualquier cantidad la tenemos que expresar necesariamente mediante un número pero no necesariamente mediante un único número. Dado que en nuestro caso expresamos siempre las cantidades de objetos mediante el mismo sistema de numeración, esto es, mediante el sistema de numeración en base 10 ó sistema de numeración decimal, es por lo que identificamos el concepto de cantidad con el concepto de número. En el franelograma únicamente vemos una determinada cantidad de cuadrados rojos El hombre para referirse a la cantidad de objetos creó o inventó los números. Es posible que si planteáramos nuestra pregunta a un hombre perteneciente a las primeras civilizaciones, afirmara que hay dos manos y tres dedos, y todo ello sin nombrar los términos dos y tres sino únicamente señalando las manos y los dedos, o escribiendo unos signos gráficos, por ejemplo, dos V invertidas y unidas por el vértice formando una X que representara de forma esquemática las dos manos y tres trazos verticales que representaran los dedos, es decir, XIII Eso quiere decir que en nuestro ejemplo, podríamos agrupar los cuadrados de la siguiente forma: C copyright 2009 Ramón Galán González 5

6 En cuyo caso podríamos afirmar, como en el supuesto de las manos, que tenemos dos grupos de cinco y tres cuadrados sueltos. Como estamos agrupando los cuadrados de cinco en cinco, estamos empleando el sistema de numeración en base 5 y, por lo tanto, tendríamos el número 23. Ahora, el número 23 significa que tenemos dos grupos de cinco y tres cuadrados sueltos. Es decir, la primera cifra, la cifra 2, indica el número de grupos de 5 que tenemos, mientras que la segunda cifra, la cifra 3, indica los cuadrados sueltos. Por lo tanto, únicamente podremos afirmar que vemos el número 13 cuando los cuadrados están agrupados de 10 en 10, es decir, en base 10. Ahora sí vemos el número 13 de nuestro sistema de numeración decimal porque vemos un grupo de 10, al que llamamos decena, y tres unidades sueltas. Podemos concluir, pues, lo siguiente: Las cantidades las expresamos mediante los números, pero como una misma cantidad podemos expresarla mediante diferentes números, podemos afirmar que cantidad y número son conceptos diferentes. La cantidad es una propiedad de los objetos. El número es un producto del pensamiento humano. El error conceptual que muestran los alumnos entre número y cifra se pone de manifiesto en la siguiente experiencia que cualquier docente puede comprobar con su grupo. Escribimos en la pizarra la siguiente expresión matemática: 347 A continuación preguntamos al grupo: - Cuántos números he escrito en la pizarra? Numerosos alumnos (y algún que otro docente) dirán que tres números. - Seguidamente formulamos la otra pregunta: - Qué tres números he escrito en la pizarra? Muchos alumnos dirán que he escrito el número 3, el número 4 y el número 7 C copyright 2009 Ramón Galán González 6

7 Una forma sencilla de hacer ver al alumno su error conceptual y, con ello, tener una primera aproximación al concepto de cifra será plantearle esta otra pregunta. Escribimos ahora en la pizarra la siguiente expresión: Y preguntamos: mar - Cuántas palabras he escrito en la pizarra? Ahora, todos los alumnos dirán que una palabra. Entonces el profesor preguntará: - Y si yo dijera que tengo escritas tres palabras: la palabra m, la palabra a y la palabra r, ustedes qué dirían? Qué dos cosas estoy confundiendo? La mayoría del alumnado responderá que estoy confundiendo palabras con letra, que m, a y r no son palabras sino letras. El profesor podrá decir entonces: - Algo parecido les ha pasado a ustedes. En la pizarra no hay tres números sino un solo número, el trescientos cuarenta y siete, que está formado por 3 cifras. La cifra 3, la cifra 4 y la cifra 7. De la misma forma que con las letras formamos las palabras, con las cifras formamos los números. C copyright 2009 Ramón Galán González 7

8 Contar y agrupar. Coloquemos ahora una determinada cantidad de naranjas en el franelograma: Fijémonos en una naranja, por ejemplo, la que aparece dentro del cuadrado y hagamos la siguiente reflexión: La existencia de nuestra naranja se muestra independiente de la existencia del resto de las demás. Le es indiferente que a su lado haya una, muchas o ninguna naranja. Ella existe por sí misma. Precisamente y debido a esa independencia es lo que le confiere la propiedad de poder ser considerada como una unidad. Lo mismo podríamos decir de todas y cada una del resto de las naranjas. Todas ellas se muestran independientes del resto. Todas ellas, en sí mismas, pueden ser consideradas como unidad. Por este motivo, podemos decir: Tengo una naranja, tengo otra naranja más, tengo otra naranja más En definitiva y en otros términos, podemos contarlas, es decir, determinar la cantidad de naranja que tenemos. De esta sencilla reflexión podemos concluir: - Los objetos, en tanto son independientes, pueden ser considerados como unidades. - En tanto son unidades pueden ser contados. - Contar es sumar unidades de una en una. - Mediante la acción de contar determinamos la cantidad de objetos que tenemos. Volvamos de nuevo a la representación que tenemos en el franelograma: C copyright 2009 Ramón Galán González 8

9 Imaginemos ahora que nos preguntamos: Cuántas naranjas hay? Sin duda que nos llevaría un cierto tiempo y siempre tendríamos dudas razonables si al contarlas, no nos habríamos dejado alguna naranja atrás. Pero si en lugar de estar las naranjas dispuestas de una manera aleatoria, estuvieran metidas en cajas de 10 naranjas, es decir, agrupadas de 10 en 10, el problema de saber cuántas tenemos dejaría de existir. Bastaría un simple golpe de vista para saber la cantidad exacta de naranja que tenemos. Vamos a comprobarlo perceptivamente: C copyright 2009 Ramón Galán González 9

10 Ahora podemos afirmar, de un modo inmediato y sin duda alguna, que tenemos 28 naranjas. Perceptivamente sabemos que tenemos 28 porque tenemos 2 cajas completas y a la tercera le faltan dos para estar completa, es decir, ni tan siquiera hemos necesitado contar las 8 naranjas sueltas. Si nos preguntáramos: Qué hemos conseguido con la acción de agrupar las naranjas? Dos cosas, tendríamos que responder: La primera. La acción de agrupar nos permite determinar la cantidad de una manera exacta y fiable. La segunda. La acción de agrupar nos permite expresar la cantidad de objetos mediante un número. Llegando a este punto de nuestra exposición, podemos enunciar la primera gran conclusión: Las dos acciones del pensamiento en la que se fundamenta la construcción del concepto del número natural son las acciones de contar y agrupar cantidades de objetos. Esta primera gran conclusión determinará la estrategia general para la construcción del número natural que emplearemos con nuestros alumnos. En todo momento y en todas las actividades de carácter práctico que propongamos, estarán presentes la realización de estas dos acciones: contar y agrupar cantidades de objetos. De otro lado y dado que nuestro sistema de numeración se fundamenta en las agrupaciones de 10, daremos un trato diferenciador al número 10 y, por consiguiente, a las agrupaciones de 10. C copyright 2009 Ramón Galán González 10

11 Contar y medir. El número como cantidad de objetos y el número como medida. Como hemos visto con anterioridad, los objetos pueden contarse y determinar, de este modo, su aspecto cuantitativo, es decir, la cantidad, porque tienen existencia independiente unos de otros y, por ello, pueden ser considerados todos y cada uno como unidad. Hagamos la siguiente reflexión: Supongamos que tenemos cinco monedas de un euro: Como cada una de ellas tiene existencia independiente, podemos contarlas. Podemos decir al mismo tiempo que vamos señalando cada una de ellas: una dos, tres cuatro y cinco. De igual modo, podemos quitar tres monedas y observar que nos quedan dos monedas. Podemos quitar las tres primeras, o las tres últimas, o las tres del medio o cualquiera otras tres. Podemos contar las monedas que hemos quitado y podemos contar las dos monedas que nos quedan. Supongamos, en cambio, que tenemos un billete de cinco euros: Ahora, por el contrario, no podemos contar los euros al mismo tiempo que vamos señalándolos. No podemos decir aquí hay un euro, aquí hay otro, etc. No podemos desprender tres euros y observar que nos quedan dos. Esto ocurre así porque los cinco euros no tienen existencia independiente y, por lo tanto, no pueden ser contados. En realidad, no tenemos cinco objetos sino uno sólo, un solo billete. En este caso, tanto las monedas como el billete tiene una propiedad: representar o ser portador de valor económico. Lo que ocurre es que este billete de cinco euros tiene tanto valor económico como las cinco monedas de un euro. Es decir, establecemos entre ellos una relación entre las cantidades de valor que representan: el billete contiene cinco veces el valor económico del euro al que consideramos como unidad. En este caso estamos realizando una medida del valor económico del billete a partir de la unidad de medida a la que llamamos euro. Lo mismo podríamos decir de un objeto que pesa cinco kg. Por muchas vueltas que le demos al objeto nunca podremos ver los cinco Kg., No podremos contarlos: un Kg., dos Kg., etc. En este caso estamos midiendo la propiedad o cualidad física del objeto de ser pesado. Cuando medimos estamos cuantificando alguna de las cualidades del objeto y realizamos esta cuantificación estableciendo una relación o comparación entre la cualidad que manifiesta el objeto y una unidad de medida establecida de antemano. Si decimos que una habitación mide de largo cinco metros, estamos afirmando que esa C copyright 2009 Ramón Galán González 11

12 longitud contiene cinco veces a otra longitud que consideramos como unidad y a la que llamamos metro. De nuestra reflexión se desprende que en nuestra vida cotidiana empleamos los números para referirnos a la cantidad de objetos que tenemos o para expresar la medida de alguna cualidad que presentan los objetos. Pudiera parecer intrascendente realizar aquí esta reflexión y que no tiene nada que ver de forma directa o inmediata con la didáctica de las matemáticas, ni con el cálculo aritmético que el alumno debe ir aprendiendo. Sin embargo, no es así. De nuestra reflexión se desprenden dos aspectos a tener en cuenta: Uno. El alumno debe iniciar el concepto de número natural a partir de la acción de contar objetos. El número como expresión de una medida ha de ser posterior. Dos. Para realizar la acción de contar debemos emplear como recursos didácticos objetos materiales que tengan existencia independiente. Con respecto a este segundo aspecto, quiero llamar la atención que las llamadas regletas de colores o regletas Cuisenaire no se muestran apropiadas para este fin. En primer lugar porque los alumnos asocian las distintas regletas con un determinado número en base al color. Este hecho supone un error conceptual toda vez que el concepto de número natural hace referencia únicamente al aspecto cuantitativo, al número de objetos, abstrayendo todas las demás cualidades del objeto. Por ejemplo, algunos alumnos afirman que es la regleta 3 porque es verde. En segundo lugar, la regleta 3 representa al número 3 porque contiene tres veces a una regleta que consideramos como unidad, es decir, el uso de las regletas de Cuisenaire se fundamenta en el concepto de número como medida y no como cantidad de objetos. Sin embargo, el inconveniente que presenta este recurso didáctico, que a menudo se emplea en las aulas, desaparece si dichas regletas aparecen divididas de forma gráfica en tantas partes como el número al que representan. De esta forma el alumno, aunque tenga un único objeto, una única regleta en sus manos, puede contar. NO SÍ C copyright 2009 Ramón Galán González 12

13 Contando hasta el número 9. En realidad esta primera fase ha de trabajarse durante la Etapa de la Educación Infantil. Por ello, aconsejo consultar el trabajo Números y operaciones en Educación Infantil que en su día elaboré. No obstante, haré aquí unas breves referencias. Comenzaremos con ejercicios de composición y descomposición de cantidades de objetos representados gráficamente, es decir, fotografías y dibujos plastificados de objetos que podemos adherirlos al franelograma. A la par que realizamos estos ejercicios, iremos, siempre y en todo momento, contando los objetos que tenemos. Vemos un ejercicio de composición. Colocamos los objetos en el franelograma y nos dirigimos a los alumnos: - Ayer, dentro del frigorífico teníamos estas latas de refrescos: (Parte izquierda) - Vamos a contar cuántas latas de refrescos teníamos: Una, dos, tres y cuatro. Los alumnos irán contando los objetos a la par que el profesor los va señalando con el dedo. - Teníamos 4 refrescos. - Pero esta mañana papa ha ido al supermercado y ha comprado algunas más. Colocaremos tres latas en la parte derecha. - Vamos a contar las latas de refrescos que ha comprado papa en el supermercado. Una, dos y tres. Papa ha comprado tres latas de refrescos. C copyright 2009 Ramón Galán González 13

14 - Cuando papa llega a casa mete dentro del frigorífico las tres latas que ha comprado. Vamos ahora a contar cuantas latas tenemos dentro del frigorífico. - Tenemos una, dos, tres, cuatro, cinco, seis y siete latas de refresco. - Dónde están las 4 latas que teníamos al principio? Arriba o abajo? Arriba. - Dónde están las 3 latas que compró papa? Arriba o abajo? Abajo. - Cuántas latas tenemos ahora? Siete. Podemos aprovechar este cuento matemático para contar descendentemente. De esta forma, el alumno podrá comprobar intuitivamente que contar descendentemente equivale a restar de unidad en unidad. Para ello, seguiremos con nuestra historia: - A papa le apetecía tomarse un refresco y se bebió uno. (Retiraremos un objeto del franelograma y preguntaremos al grupo) - Cuántos refrescos hay ahora? Seis. - Mamá dijo: Dame a mi otro refresco (Retiraremos otro objeto y preguntamos de nuevo) - Cuántos hay ahora? Cinco. Seguiremos inventándonos el resto de la historia e iremos desprendiendo latas de refrescos del franelograma hasta que no quede ninguna. Vemos a continuación otra posible actividad, en este caso de descomposición de una cantidad, que nos permitirá realizar de nuevo la acción de contar: Colocaremos sobre el franelograma los siguientes objetos simbólicos constituidos por figuras geométricas: C copyright 2009 Ramón Galán González 14

15 - Cuántas figuras geométricas de color azul tenemos? Cuatro. - Vamos a contarlas para ver si es verdad: Una, dos, tres y cuatro. - Cuántos círculos tenemos? Cuatro. - Vamos a contarlos: uno, dos tres y cuatro. Procederemos Igualmente con el resto de los colores y con el resto de las formas. Finalmente, contaremos el total de las figuras que tenemos y, refiriéndonos al tamaño, solicitaremos a un alumno que coloque las figuras grandes en la parte de arriba y las figuras pequeñas en la parte de abajo. - Ahora vamos a contar cuántas figuras tenemos en total: Una, dos,... y nueve. - Coloca las figuras de tamaño grande, una detrás de otras, en la parte de arriba del franelograma y las de tamaño pequeño, en la parte de abajo. Hemos de observar que en este caso hemos procedido a descomponer la cantidad total en dos partes mediante una acción de clasificar las figuras geométricas en base al atributo o a la cualidad del tamaño. Por último, procederemos a contar descendentemente, al mismo tiempo que aprovecharemos la actividad para trabajar la determinación de una figura geométrica en base a sus tres atributos. Sucesivamente saldrán distintos alumnos a despegar la figura geométrica adecuada. C copyright 2009 Ramón Galán González 15

16 - Quita el triángulo, azul y grande. Cuántas figuras geométricas nos quedan ahora? Ocho. - Quita el círculo, amarillo y pequeño. Cuántas figuras geométricas nos quedan ahora? Siete. - Quita el círculo, rojo y grande. Cuántas figuras geométricas nos quedan ahora? Seis. De forma sucesiva y similar procederemos con el resto de las figuras hasta que no quede ninguna colocada sobre el franelograma. Veamos una última actividad referida a la acción de completar. Para ello emplearemos otro tipo de objetos simbólicos como son los bloques Dienes. Aprovecharemos la actividad para trabajar de igual modo los conceptos de arriba y abajo y una sencilla serie lógica. Colocamos en el franelograma las siguientes figuras: Formularemos a distintos alumnos las siguientes preguntas: - De qué color son las figuras que tenemos colocadas en la parte de arriba? De color azul. - De qué color son las figuras que tenemos colocadas en la parte de abajo? De color amarillo. - Cuántas figuras tenemos en la parte de arriba? Ocho. - Vamos a contarlas: una, dos, y ocho - Cuántas figuras tenemos en la parte de abajo? Tres. - Vamos a contarlas: una, dos y tres. - Dónde tenemos más figuras, arriba o abajo? Arriba. C copyright 2009 Ramón Galán González 16

17 - Dónde tenemos menos figuras, arriba o abajo? Abajo. - Cuántas figuras tenemos que colocar en la parte de abajo para que tengamos tantas como arriba? Cinco. - Vamos a ver si es verdad. Además, nos tenemos que fijar bien porque queremos que la fila de abajo sea muy parecida a la de arriba y no podemos colocar cualquier figura. Qué figura tenemos colocar a continuación en la fila de abajo? Irán saliendo sucesivamente distintos alumnos y colocarán la pieza apropiada hasta completar la serie. Cada vez que un alumno ponga una pieza preguntaremos cuántas tenemos ya. Al final, contaremos las piezas que hemos puesto y diremos: De tres figuras para completar ocho figuras faltan cinco figuras. Al final, el franelograma quedará así: En definitiva, aprovecharemos actividades que impliquen las acciones de componer, descomponer y completar cantidades hasta el 9 para realizar, de igual modo, la acción de contar, tanto en sentido ascendente como descendente. También en conjunto de los números naturales hasta el 9 podemos emplear las regletas, esto es, los objetos simbólicos agrupados pero que permiten la acción de contar toda vez que aparecen divididas gráficamente en unidades. Con este recurso material igualmente podemos realizar acciones de componer, descomponer y completar, al mismo tiempo que realizamos la acción de contar. Analizamos un ejercicio similar como el que acabamos de ver pero, en este caso, empleando las regletas. De forma colateral, trabajaremos de manera intuitiva los conceptos de horizontal, más largo, más corto, menos largo, tan largo como mayor y menor. Si cada alumno dispone de su franelograma individual El profesor/a colocará sobre el franelograma las regletas 8 y 3, de manera horizontal, una debajo de otra, de este modo: C copyright 2009 Ramón Galán González 17

18 - He colocado en el franelograma dos regletas, una arriba y otra abajo, de forma horizontal, como si estuvieran acostadas. Ahora vamos a contar para ver qué regletas hemos puesto. - Vamos todos a contar primero la regleta que hemos colocado arriba de manera horizontal. Empezamos: una, dos, y ocho. - Ahora vamos a contar la regleta que hemos colocado debajo de manera horizontal. Empezamos: una, dos y tres. - Cuál de las dos regletas es más larga, la de arriba o la de abajo? La de arriba. - Cuál de las dos regletas es menos larga, es decir, más corta, la de arriba o la de abajo? La de abajo. - Cuál de los dos números es mayor? El 8 ó el 3? El 8 - Cuál de los dos números es menor? El 8 ó el 3? El 3. A continuación, colocaremos el resto de las regletas a un lado del franelograma, pediremos a un alumno/a que salga y que coloque a continuación de la regleta 3 otra regleta para conseguir formar, entre las dos regletas, otra tan larga como la regleta 8. - En la parte derecha del franelograma he colocado todas las demás regletas. Tú tienes que escoger una de ellas y colocarla pegada a continuación de la regleta 3 para que entre las dos sean tan largas como la regleta 8. Evidentemente, si el alumno/a no escoge la regleta apropiada, todo el grupo se dará cuenta del error de manera perceptiva, ya que la regleta suma será, bien más larga, bien más corta. Una vez que el alumno/a haya colocado la regleta apropiada, procederemos a contar las unidades que forman dicha regleta. Finalmente y para terminar, formularemos al grupo una serie de preguntas en caminadas a la composición del número 3 con el número 5 para formar la totalidad del número 8 y expresar dicha composición bajo la forma de operación de sumar y a la acción de completar el número 3 con respecto a un total de 8. C copyright 2009 Ramón Galán González 18

19 - Qué regleta has colocado? La regleta cinco. - Vamos a contar para ver si es verdad: una, dos, y cinco. - Qué regleta formamos si juntamos, si unimos, si sumamos la regleta tres con la regleta cinco? La regleta ocho. - Desde la regleta tres hasta completar la regleta ocho, qué regleta falta? La regleta cinco C copyright 2009 Ramón Galán González 19

20 Lectura de números naturales hasta el 9. Con la lectura de los números naturales hasta el 9 iniciamos el aprendizaje y el uso del lenguaje matemático escrito. Hasta ahora, para referirnos a las cantidades de objetos que teníamos hemos empleado los números pero expresados oralmente. Esto ha de ser así ya que, al igual que en el lenguaje verbal, primero aprendemos a hablar. Por dicho motivo, cuando abordemos el lenguaje matemático debemos trabajar la expresión oral en primer lugar, y posteriormente la escrita. Y dado que es más fácil leer que escribir, y ya dentro del lenguaje matemático escrito, abordaremos en primer lugar la lectura de números, y finalmente la escritura de los mismos. La lectura de los números naturales hasta el 9, debe realizarse mediante cuatro sencillas fases: 1ª. Asociar perceptivamente cantidades de objetos con el guarismo de los distintos números. 2ª. Expresar mediante el guarismo de un número, una cantidad dada de objetos. 3ª. Formar cantidades de objetos a partir del guarismo de un número. 4ª. Leer números naturales hasta el 9. Vemos a continuación cada una de estas fases. Para ello, emplearemos el mismo ejemplo con el fin de establecer relaciones y diferencias entre cada una de las fases. Para la realización de estas actividades se plastificarán en pequeñas tarjetas las grafías de los números hasta el 9. 1ª. Asociar perceptivamente cantidades de objetos con guarismo de los distintos números. En esta primera fase el alumno no realizará ninguna actividad práctica u acción que no sea más que la de asociar perceptivamente una cantidad de objetos y la grafía o guarismo de un número. En esencia, constituye el primer paso para establecer una adecuada conexión entre percepción, pensamiento y lenguaje. Podemos trabajar esta primera fase cuando abordamos las diversas actividades de contar, componer, descomponer, comparar y completar cantidades de objetos. Bastará que a la hora de expresar la cantidad de objetos, no lo hagamos únicamente de forma oral sino situando la tarjeta del guarismo correspondiente al número. Lo vemos con un ejemplo práctico. Colocamos sobre el franelograma distintas figuras geométricas agrupadas según la variable del color: C copyright 2009 Ramón Galán González 20

21 Solicitaremos a distintos alumnos que determinen la cantidad de figuras geométricas que tenemos de cada color. Cada vez que cada uno de ellos, vaya respondiendo, colocaremos debajo de cada grupo la tarjeta con el guarismo del número. Finalmente, el franelograma quedará de esta forma: Podemos continuar y finalizar el ejercicio, preguntando a otros alumnos cuestiones relacionadas con las cantidades que aparecen representadas en el franelograma: dónde tenemos más?, dónde tenemos menos?, cuantas figuras tenemos que quitar de un grupo para tener la misma cantidad de figuras que tiene otro grupo?, cuantas tenemos que añadir a los dos primeros grupos para tener tantas como el tercer grupo?, etc. Desde el punto de vista que ahora nos ocupa, lo importante es que el alumno asocie perceptivamente la cantidad de figuras de cada grupo con la grafía del guarismo del número. C copyright 2009 Ramón Galán González 21

22 2ª. Expresar mediante el guarismo de un número, una cantidad dada de objetos. En esta fase será el propio alumno quien realice la acción de colocar la tarjeta del número debajo de la cantidad de objetos. Al realizar el alumno esta acción, supone que en el pensamiento de éste, se está produciendo algo más que una simple asociación entre guarismo y cantidad. Ahora supondrá, además, que tendrá que dotar de significado al guarismo del número ya que será el propio alumno quien elija la tarjeta adecuada, cosa que en la fase anterior la realizaba el profesor. Por ello, cuando hagamos ejercicios de componer, descomponer y comparar cantidades de objetos y a partir del momento que el alumno sea capaz por sí mismo de colocar debajo de la cantidad de objetos la tarjeta con el número impreso, será éste quien la coloque. - Cuenta las figuras geométricas que hay en cada grupo y coloca debajo de cada uno de ellos la tarjeta con el número: C copyright 2009 Ramón Galán González 22

23 3ª. Formar cantidades de objetos a partir del guarismo de un número. En esta fase se le proporcionará al alumno el número y éste tendrá que colocar o determinar la cantidad de objetos. Esta fase es distinta de la anterior dado que taxonómicamente no es lo mismo interpretar que construir una cantidad de objetos. Por lo tanto, y en la medida que la actividades que realicemos con los alumnos lo permitan, serán los propios alumnos quienes construyan las cantidades de objetos que vayamos a colocar sobre el franelograma, independientemente que le proporcionemos al alumno el número en su expresión oral como en su expresión escrita. En definitiva se trata que cada vez tome más protagonismo el hacer del alumno frente al hacer del profesor. - Coloca encima del primer número tantas figuras geométricas azules como indica dicho número. - Ahora haz lo mismo con el segundo número pero con figuras geométricas amarillas. - Por último, coloca figuras geométricas de color rojo, tantas como te indica el tercer número ª. Leer números naturales hasta el 9. C copyright 2009 Ramón Galán González 23

24 Hemos visto que en las fases anteriores la cantidad de objeto estaba presente de forma real. Sin embargo, cuando únicamente tenemos la escritura del número tenemos una cantidad ideal, la expresión de una cantidad abstracta, no concreta, no presentada de forma perceptiva. Por este motivo, y dado que el proceso de aprendizaje en estas edades debe ir de lo concreto a lo abstracto, se consideran esenciales las fases anteriores. Precisamente, uno de los errores que se producen con frecuencia en el aprendizaje del concepto de número es no trabajar las fases anteriormente descritas, o trabajarlas de forma breve y superficial, pasando directamente a leer números como si la mera lectura implicara de por sí el dominio del concepto de número natural hasta el 9, cuando en realidad la simple lectura de un número consiste en expresar el significante del signo dado de forma gráfica a forma oral. Si bien es necesario que el alumno sea capaz de expresar de forma oral el significante del signo, no asegura de por sí que el alumno dote de significado a dicho signo. Dicho en otros términos, también en el lenguaje matemático se presenta el problema de la comprensión lectora. Para la realización, de esta fase pueden emplearse las tarjetas de numeración o simplemente que los alumnos lean series de números naturales hasta el 9. - Qué números hemos colocado sobre el franelograma? Lee estos números: C copyright 2009 Ramón Galán González 24

25 Escritura de números naturales hasta el 9. Una vez que hemos asegurado la conexión entre el significante y el significado del signo matemático mediante el cual representamos el concepto de número natural, abordamos la escritura del número. Sin embargo, debemos tener presente que este nuevo aprendizaje no supone, en realidad, un nuevo aprendizaje matemático. Se trata más bien de un aprendizaje donde participan factores de estructuración espacial, de lateralidad y factores de psicomotricidad fina. Lo verdaderamente importante desde un punto de vista matemático es que el alumno aprenda de manera intuitiva que un número es un signo que expresa cantidad, y no tanto en reproducir por sí mismo el mero trazado de dicho signo. No obstante hemos comprobado que se producen diversos errores a la hora de abordar la escritura o el trazado de los primeros números naturales. Por ejemplo, no es raro ver como algunos alumnos al inicio de la Educación Primaria, escriben el número 3 ó el número 6 con la lateralidad cambiada. Es decir, de esta forma: Igualmente hemos observado a lo largo de toda la Educación Primaria, que bastantes alumnos trazan los números con una direccionalidad que va de abajo arriba, o el número 8 como dos círculos superpuestos. Estos errores, que aún sin pertenecer a la esfera del pensamiento matemático, afectan de una manera importante al uso del lenguaje matemático. Por ello, tenemos que tener en cuenta una serie de consideraciones, entre las que destacan: 1ª. No abordar de manera prematura la escritura de los números en la Educación Infantil. En primer lugar, porque no es un conocimiento esencial para el aprendizaje matemático. En segundo lugar, porque muchos alumnos de Educación Infantil que no dominan la lateralidad izquierda- derecha. Hay que tener en cuenta, desde un punto de vista de la estructuración espacial, que los aspectos topológicos de arriba y abajo no presentan dificultad para un niño de estas edades pero no ocurre con la lateralidad. Ello es debido a que una imagen reflejada en un espejo, altera la lateralidad, la izquierda y la derecha, pero y sin embargo, no altera la figura en relación a la posición de arriba y abajo. 2ª. Cuando se realicen ejercicios de preescritura es necesario que los movimientos de giro de la muñeca sigan la dirección contraria a las agujas de un reloj y que los movimientos de los trazados verticales sigan la dirección de arriba abajo. 3ª. Que se realicen los trazados de los signos mediante un único movimiento, es decir, sin levantar el lápiz del papel. 4ª. Si un alumno presenta errores en la dirección del movimiento que debe seguir a la hora de escribir los números, es conveniente que interiorice el movimiento correcto. Para lograr este fin, nos situaremos detrás del alumno, le taparemos los ojos con una mano, cogeremos la mano con la que escribe y trazaremos en el aire el movimiento correcto. De esta forma, y por tener los ojos tapados, el alumno se verá obligado a seguir el movimiento que realiza su mano guiada por el profesor, de manera pensada, de manera interna por medio de su pensamiento. C copyright 2009 Ramón Galán González 25

26 Los números del 10 al 20. Hasta ahora el alumno, para determinar la cantidad de objetos, únicamente realizaba la acción de contar. Será ahora, a partir de la construcción del conjunto numérico del 10 al 20 cuando el alumno comenzará, igualmente, a construir el sistema de numeración decimal utilizando la estructura numérica del 10. A partir de ahora y para determinar la cantidad de objetos que tiene, no necesitará contar sino que calculará basándose en dicha estructura numérica. Como decíamos con anterioridad, si pusiéramos ante los ojos de un alumno estas unidades sueltas de regletas y le preguntáramos: Cuántas hay? El alumno para determinar la cantidad no tendría más remedio que contar. A partir de ahora el alumno aprenderá que agrupando estas unidades en base a 10, le resultará fácil determinar la cantidad con un simple golpe de vista: sabrá que tiene 13. Pero es necesario que el procedimiento de agrupar los objetos de 10 en 10 no lo limitemos únicamente a la construcción del número sino que lo apliquemos igualmente al cálculo. Como afirmamos en su momento, en la introducción del presente trabajo, la construcción del concepto de número natural debe cursar de forma paralela y simultanea a la realización de las operaciones matemáticas de sumar y restar, operaciones que llevan implícitas las acciones de componer, descomponer y completar. Lo vemos con un ejemplo: De un lado, tenemos 8 unidades. De otro, 5 unidades. Queremos averiguar la cantidad total. La observación diaria de nuestra práctica docente nos informa que la gran mayoría de los alumnos cuentan 5 a partir del 8, sirviéndose para tal fin de los C copyright 2009 Ramón Galán González 26

27 dedos de la mano. En estos casos, el alumno no está calculando sino contando. De este modo y mediante este proceder, el alumno no desarrolla una adecuada capacidad de cálculo. Al final y después de repetir la experiencia muchas veces, memoriza que 8 más 5 son 13. Pero en ningún caso desarrolla habilidades del cálculo ni formas de razonamiento. Una de las causas que motiva el bajo rendimiento de los alumnos en el Área de Matemáticas y la dificultad que encuentran en esta esfera del saber radica precisamente en que los alumnos cuentan y no calculan. Cómo tendríamos que proceder para que el alumno no disociara el cálculo aritmético, de la acción de agrupar de 10 en 10 que fundamenta nuestro sistema de numeración? Lo vemos con un ejemplo práctico usando las regletas: + = Es decir, nos bastaría desprender de la regleta cinco, dos unidades que son las que se necesitan para completar el 10, la decena, a partir del ocho y aún nos sobraría tres unidades. Expresando el procedimiento en forma de lenguaje matemático, sería: = = 13 De esta forma: - El alumno no cuenta, sino que calcula. - No disocia la acción real, la práctica, del cálculo matemático. - No disocia el cálculo matemático del sistema de numeración. Para abordar el aprendizaje de los números naturales del 1 al 20, de un lado, dividiremos este campo numérico en dos partes: Del 10 al 15 y del 16 al 20. De otra parte, distinguiremos dos momentos según los recursos didácticos que emplearemos: uso de objetos representados empleando la máquina de contar y empleo de las regletas, es decir, de los objetos simbólicos agrupados. Formar cantidades y números del 10 al 15 empleando los objetos representados y la máquina de contar. Se estima conveniente construir en primer lugar los números del 10 al 15 dado que el nombre de los números once, doce, trece, catorce y quince no proporcionan C copyright 2009 Ramón Galán González 27

28 ninguna información a cerca de su composición, de cuántas decenas y cuántas unidades tienen. No sucede lo mismo con el resto de los números. Así, por ejemplo, el nombre del número diecisiete nos proporciona la información que está compuesto por diez y siete más. Comenzamos empleando la máquina de contar. Básicamente consiste en tiras rectangulares de madera fina y poco pesada, cuyas dimensiones son 7 cm. de ancho y 60 cm. de alto. Estas tiras aparecen divididas en 10 partes iguales, es decir, en 10 rectángulos de 7 cm. de ancho por 6 cm. de alto. En cada uno de estos 10 rectángulos se colocará un trozo de velcro hembra para posibilitar adherir en él los objetos representados y plastificados. A su vez, las tiras rectangulares, y en su parte trasera, llevarán colocadas trozos de velcro macho con el fin de adherirla al franelograma. La función de la máquina de contar será la de ayudar al alumno a realizar la acción de agrupar los objetos de 10 en 10. De tal forma que cada tira rectangular completa representará 10 objetos, es decir, una decena. Las primeras actividades estarán encaminadas a construir el número 10, la decena. Nos inventamos para los alumnos una situación imaginaria, por ejemplo: - Pedro es un agricultor que tiene plantados naranjos y que para contar las naranjas que recoge las mete en cajas. Vamos a contar cuántas naranjas caben en cada caja: Colocamos a Pedro y una tira rectangular en el franelograma y comenzamos a contar los huecos que tiene la caja. C copyright 2009 Ramón Galán González 28

29 - Uno, dos, tres, y diez. La caja tiene 10 huecos. En la caja caben diez naranjas. Colocamos una serie de naranjas, por ejemplo ocho, en la parte derecha del franelograma. - Estas son las naranjas que Pedro recogió de uno de los naranjos. Con estas naranjas podrá Pedro llenar una caja? Vamos a colocarlas dentro y a contarlas. - Una, dos, tres, y ocho. C copyright 2009 Ramón Galán González 29

30 - Tiene Pedro ya la caja completa? No. - Cuántas naranjas le faltan para tener la caja completa? 2 naranjas. - Vamos a ver si es cierto. Cogemos dos naranjas más y las colocamos en la caja. - Es verdad. Le faltaban dos naranjas para tener la caja completa. - Cuántas naranjas hay ahora en la caja? 10 naranjas. - Vamos a contarlas: Una, dos, tres, y Como Pedro es muy despistado y tiene mala memoria, vamos a colocar debajo de la caja el número 10 para que no se le olvide que tiene 10 naranjas. 1 0 C copyright 2009 Ramón Galán González 30

31 Después de realizar con el grupo actividades semejantes y empleando otros objetos y otras historias, comenzaremos a construir el resto de los número. En primer lugar el número once. Para ello colocaremos en el franelograma 11 naranjas. - Estas son las naranjas que Pedro recogió de otro de los naranjos. Con estas naranjas podrá Pedro llenar una caja? Vamos a colocarlas dentro y a contarlas. - Una, dos, tres, y diez. Ya tiene una caja completa. Y con esta que le sobra, ya son once. Tiene once naranjas. - Para que no se le pierda la naranja suelta, Pedro coge otra caja y mete en ella la naranja suelta. C copyright 2009 Ramón Galán González 31

32 - Y para que no se le olvide las naranjas que tiene, Pedro coloca debajo de cada caja el número Ahora Pedro, sabe que tiene 10 naranjas en la caja completa y 1 naranja suelta en la otra caja. - Y para que no se le olvide que tiene 11 naranjas, junta las cajas y coloca las tarjetas una encima de la otra. C copyright 2009 Ramón Galán González 32

33 1 1 - De esta manera Pedro sabe que tiene una 1 caja completa y una naranja suelta. - Además también sabe que tiene en total 11 naranjas. Si bien en nuestra exposición es el profesor quien realiza las acciones de agrupar y colocar las naranjas, esta acción pueden realizarlas los propios alumnos. En cualquier caso, se recomienda que después de la primera actividad, sean los alumnos quienes las realicen. Seguimos ampliando el conjunto numérico hasta llegar al número quince. Colocamos sobre el franelograma 15 naranjas y solicitamos a cinco alumnos que salgan a realizar el siguiente ejercicio: C copyright 2009 Ramón Galán González 33

34 - Vamos a contar las naranjas que tenemos. Le pedimos al primer alumno que coloque naranjas hasta llenar una caja, al mismo tiempo que las va contando. El segundo alumno colocará las naranjas restantes en la otra caja al mismo tiempo que también las cuenta. El tercer y el cuarto alumno colocarán las tarjetas correspondientes a la cantidad de naranjas que hay en cada caja C copyright 2009 Ramón Galán González 34

35 El quinto alumno, juntará las cajas y colocará las tarjetas una encima de la otra, con el fin de formar el número Finalmente preguntaremos al grupo: - Cuántas naranjas tenemos? Tenemos quince naranjas. Igualmente podemos realizar en esta fase del proceso de aprendizaje, actividades que consistan en proporcionarles a los alumnos las dos cajas vacías, el número formado con las tarjetas de las decenas y unidades y un conjunto de naranjas. Los alumnos tendrán que colocar en las cajas tantas naranjas como indique el número. Vemos un ejemplo: 1 4 C copyright 2009 Ramón Galán González 35

36 - Coloca en las cajas tantas naranjas como indica el número. Por último e igualmente, podemos realizar con los alumnos actividades que consistan en completar cantidades de naranjas. Es decir: Coloca las naranjas que faltan en cada número: Formar cantidades y números del 15 al 20 empleando los objetos representados y la máquina de contar. En este punto, se les presenta a los alumnos los siguientes números, desde el 16 hasta el 20. Se recomienda hacer el mismo recorrido de actividades aunque el proceso durará menos tiempo en base al aprendizaje que ya han acumulado los alumnos. En términos generales y como hemos visto en las actividades anteriormente propuestas, se procede de la siguiente forma: - Se les presenta las cajas vacías a un lado y, al otro lado, los objetos. - Los alumnos colocan los objetos en las cajas a la par que van contando. - Colocan los números correspondientes debajo de cada caja. - Juntan las cajas y colocan la tarjeta de las unidades encima de la tarjeta de las decenas, tapando el cero de esta última. C copyright 2009 Ramón Galán González 36

37 - Finalmente, leen el número formado. De igual modo, pueden realizarse actividades que consistan en colocar los objetos a partir de las tarjetas de numeración, así como completar cantidades de objetos. Vemos una única actividad: - Vamos a contar los yogures que tenemos. Le pedimos al primer alumno que coloque yogures hasta llenar una caja, al mismo tiempo que los va contando. El segundo alumno colocará los yogures restantes en la otra caja al mismo tiempo que también los cuenta. El tercer y el cuarto alumno colocarán las tarjetas correspondientes a la cantidad de yogures que hay en cada caja. C copyright 2009 Ramón Galán González 37

38 1 0 7 El quinto alumno juntará las cajas y colocará las tarjetas una encima de la otra. De este modo: 1 7 Finalmente preguntaremos al grupo: - Cuántas yogures tenemos? Tenemos diecisiete yogures. Especial interés merece el número 20. En este caso, procederemos de igual modo que en las actividades anteriores pero haremos ver a los alumnos que dado que C copyright 2009 Ramón Galán González 38

39 completamos dos cajas y que no nos sobra ningún yogur suelto, entonces no es necesario coger otra caja ni colocar ninguna tarjeta de las unidades sueltas. Es el momento de presentar de manera intuitiva el concepto de cifra Hemos formado el número El número 20 significa que tenemos veinte yogures. - El número 20 esta formado por dos cifras. - La primera es la cifra 2. La segunda es la cifra 0. - La primera cifra, la cifra 2, indica que tenemos dos cajas completas de yogures. - La segunda cifra, la cifra 0, indica que no tenemos ningún yogur suelto. Formar cantidades y números del 10 al 20 empleando los objetos simbólicos agrupados o regletas. Comenzamos esta fase del proceso de aprendizaje mediante unas actividades de transición. Emplearemos unidades sueltas que colocaremos sobre la máquina de contar hasta completar el campo numérico del 10.De igual modo, se recomienda desde el principio de esta fase cambiar el vocabulario empleado hasta ahora y nombrar los órdenes de unidades, esto es, unidades y decenas. C copyright 2009 Ramón Galán González 39

40 - Coloca las unidades y di cuántas tenemos? - Tenemos ocho unidades. A continuación colocamos otra unidad y preguntamos al grupo cuántas tenemos ahora: Tenemos nueve unidades De nuevo colocamos otra unidad y preguntamos al grupo cuántas tenemos: C copyright 2009 Ramón Galán González 40

41 - Tenemos 10 unidades. En este momento, le diremos al grupo que de ahora en adelante para representar el número 10 emplearemos la regleta de 10 de color azul que se llama decena. Para ello desprenderemos las diez unidades de la máquina de contar las colocaremos directamente sobre el franelograma, de forma vertical, y a su lado pondremos una decena. De este modo, los alumnos podrán percibir por la altura de ambas columnas que tenemos la misma cantidad. En cualquier caso y para que no exista duda alguna contaremos las unidades. - Vamos a colocar las diez unidades en el franelograma. Yo las coloco y ustedes las cuentan. - Una, dos, tres, y diez. C copyright 2009 Ramón Galán González 41

42 - De ahora en adelante, cuando formemos el número diez y para no tardar tanto tiempo, colocaremos la regleta 10, que es de color azul y que se llama decena. Vamos a comprobar primero que la regleta decena tiene diez unidades. - La regleta decena tiene 10 unidades porque es igual de alta que las diez unidades sueltas. De todas formas vamos a contarlas: una, dos, tres, y diez. - Como la regleta decena tiene diez unidades, quitamos las unidades sueltas y colocamos debajo de la regleta decena la tarjeta del número La siguiente actividad consistiría en añadir regletas sueltas, de una en una, a la regleta decena, colocar las tarjetas y nombrar el número formado. - Colocamos ahora una unidad suelta a la derecha de la decena y ponemos debajo la tarjeta C copyright 2009 Ramón Galán González 42

43 - Juntamos las regletas y juntamos las tarjetas y, quien sabe el número que hemos formado? El once Vamos ahora a colocar, al lado de la decena, la regleta de dos unidades: Qué número formaremos? El doce. - Vamos a ver si es verdad. 1 2 C copyright 2009 Ramón Galán González 43

44 Procederemos del mismo modo con los restantes números hasta el 19 pero haciendo del alumno el verdadero protagonista. Es decir, quienes deben realizar la acción de colocar las regletas, las tarjetas y leer las cantidades formadas son los propios alumnos. Por otra parte, y dado que la formación de un número natural mayor que 10, es el resultado de las acciones de agrupar y componer, debemos presentar los números como la composición de las decenas y de las unidades, esto es, como la suma de estos órdenes de unidades. La siguiente actividad consistiría en formar cantidades, utilizando las regletas, a partir del nombre del número dictado oralmente por el profesor. Para ello, solicitaremos a cinco alumnos que salgan con el fin de formar con las regletas el número Formen con las regletas el número 14. El primer y el segundo colocarán, respectivamente la regleta de la decena y la regleta de las unidades. El tercer y el cuarto alumno colocarán las tarjetas El quinto alumno, juntará las regletas y las tarjetas: 1 4 C copyright 2009 Ramón Galán González 44