CAPÍTULO 8 AREAS. A :P R + p A(p)

Transcripción

1 PÍTULO 8 RES 8.1. INTRODUIÓN XIOMS DE ÁRES Sea P = {p/p es un polígono simple en el plano π}. Definimos la función área, como la función :P R + p (p) con las siguientes propiedades (o axiomas): 1. El área de un cuadrado de lado l es l.. Si un polígono simple se puede descomponer en n polígonos simples p 1,p,...,p n, tales que sus interiores no se intercepten, entonces (p) = (p 1 )+(p )+ +(p n ) = n (p i ) i=1 a esta propiedad se le llama axioma de aditividad de áreas. 3. Si dos polígonos son congruentes entonces sus áreas son iguales. Notación: dado un polígono de vértices 1,,..., n, denotamos su área por [ 1 n ] 59

2 60 PÍTULO 8. RES Definición 68 (rea Unitaria). El área correspondiente a un cuadrado cuyo lado tiene por medida uno, se le llama área unitario y por tanto su área mide uno. Definición 69 (Polígonos Equivalentes). uando dos polígonos tienen la misma área diremos que son equivalentes. Si p y p son polígonos equivalentes entonces lo denotamos así: p p, es decir p p si y solo si [p] = [p ] Nota: p = p si y solo si p p y p p Teorema 117 (rea del rectángulo). El área de un rectángulo, cuyos lados miden a y b es a b Demostración. (Ver Figura 1.) D a b P p 4 S Figura 1. a+b p 1 p p 5 p 3 Q a+b R Sea D un rectángulo tal que = a y = b y sea PQRS un cuadrado de lado a+b. Este cuadrado se puede partir en cuatro rectángulos p 1,p,p 3,p 4 de lados a y b y un cuadrado p 5 de lado b a, de tal manera que sus interiores no se intersecten, como se muestra en la figura, aplicando el axioma de aditividad de áreas y el axioma del área del cuadrado, tenemos que [PQRS] = (a+b) = [p 1 ]+[p ]+[p 3 ]+[p 4 ]+[p 5 ] = 4[p 1 ]+(b a)

3 8.1. INTRODUIÓN 61 es decir (a+b) = 4[p 1 ]+(b a) a +b +ab = 4[p 1 ]+a +b ab despejando [p 1 ] = ab Teorema 118 (rea del paralelogramo). El área de un paralelogramo es igual al producto de la medida de uno de sus lados por la distancia de este lado al lado opuesto. Demostración. (Ver Figura.) D H H Figura. Sea D un paralelogramo y sea H D, por pasa H D. omo D = y H = H entonces por el criterio H- DH = H por lo tanto DH = H y [ DH] = [ H ], luego HH = H +H = H +DH = D. Por lo tanto por los axiomas. y 3. de áreas y por el Teorema 117: [D] = [ DH]+[H] = [ H ]+[H] = [H H] = HH H = D H Nota: según el enunciado del teorema anterior, el área de un paralelogramo es igual al producto de la medida de uno de sus lados por la altura relativa a ese lado.

4 6 PÍTULO 8. RES orolario 43. Si dos paralelogramos tienen un par de lados respectivamente congruentes y las alturas respectivas a estos lados iguales entonces los dos paralelogramos son equivalentes. Teorema 119 (rea del triángulo). El área de un triángulo es igual al semi-producto de la medida de uno de los lados por la medida de la altura relativa a este lado. Demostración. (Ver Figura 3.) H Figura 3. Por Playfair, por pasa l y por pasa m. Sea {D} = l m y sea H la altura relativa al lado. Por lo tanto D es un paralelogramo, por lo tanto, por el criterio L-L-L, = D o sea que [ ] = [ D]. Pero, por el Teorema 118, D m l y por el axioma. de áreas [D] = H [D] = [ ] + [ D] = [ ] luego [ ] = 1 H. Los siguientes corolarios se dejan como ejercicio.

5 8.1. INTRODUIÓN 63 orolario 44. Si dos triángulos tienen dos lados respectivamente congruentes y las alturas relativas a estos lados también congruentes entonces los dos triángulos son equivalentes. orolario 45. Sea el y l una recta paralela a por y sea X un punto cualquiera de la recta l, entonces La Figura 4. ilustra este corolario. [ X] = [ ] X Figura 4. orolario 46. El área de un triángulo rectángulo es igual al semi-producto de las medidas de los catetos. orolario 47. El área de un triángulo equilátero cuyos lados miden a, es igual 3 4 a. Teorema 10. Si dos triángulos tienen un par de ángulos respectivamente congruentes o respectivamente suplementarios, entonces sus áreas son entre si como como el producto de las medidas de los lados que comprenden el ángulo. l Demostración. (Ver Figura 5.) Sean los y tales que =. Por el axioma de construcción de segmentos, existen D y E tales que D = y E =, por lo tanto, por el criterio L--L, = DE. Sea DH

6 64 PÍTULO 8. RES D E H H Figura 5. la altura relativa al lado E en el DE y sea H la altura relativa al lado en el. omo los DH y H son rectángulos y tienen un ángulo común, entonces H DH luego Pero D = H DH 1 [ ] [ DE] = H H 1 = E DH E DH = E H DH = E D = Teorema 11 (Fórmula de Herón). El área de un triángulo, cuyos lados miden a, b, c es p(p a)(p b)(p c) donde p = a+b+c se le llama el semi-perímetro. Demostración. (Ver Figura 6.)

7 8.1. INTRODUIÓN 65 c h a b H a Figura 6. Por el Teorema 108, h a = a p(p a)(p b)(p c), donde p = a+b+c, entonces [ ] = 1 H = 1 a h a = a p(p a)(p b)(p c) a = p(p a)(p b)(p c) Teorema 1 (rea del trapecio). El área de un trapecio es igual a la semisuma de sus bases por la altura, donde la altura es la distancia entre los lados paralelos. H H Figura 7. Demostración. Sea H la proyección de sobre D y H la proyección de

8 66 PÍTULO 8. RES sobre ; como D entonces H = H, por el axioma. de áreas [D] = [ D]+[ ] = 1 D H + 1 H = 1 (D +) H orolario 48. El área de un trapecio es igual al producto de la medida de la paralela media por la distancia entre los lados paralelos. Donde la paralela media es el segmento que une los puntos medios de los lados no paralelos. El siguiente teorema se deja como ejercicio. Teorema 13.. El área de un rombo es igual al semi-producto de las medidas de las diagonales. Teorema 14. Si dos triángulos son semejantes entonces la razón entre sus áreas es igual al cuadrado de su razón de semejanza. Demostración. (Ver Figura 8.) c a b H a H Figura 8. c b h a h a Por hipótesis con razón de semejanza r, es decir, a a = b b = c c = r. Sea h a la altura relativa al lado a en el y h a la altura relativa al lado a en el, entonces por el corolario 37, a a = b b = c c = h a h a = r

9 8.1. INTRODUIÓN 67 luego 1 [ ] [ ] = a h a 1 a h a = a h a a h a = a a ha h a = r r = r. Teorema 15. El área de un polígono regular es igual al semi-producto del perímetro por la medida de la apotema. Demostración. Sea P n = 1 n un polígono regular de n lados, sea a n su apotema, l n su lado y (O,r) la circunferencia que circunscribe al polígono, entonces los triángulos 1 O, O 3,..., n O 1 son isósceles y congruentes, por lo tanto, [P n ] = [ 1 n ] = n [ 1 O ] = n 1 l n a n = 1 (nl n) a n = 1 p na n, donde p n es el perímetro del polígono P n. Teorema 16 (uadratura de un polígono de n lados). Todo polígono es equivalente a un cuadrado. E 1 l D Figura 9. Demostración. La demostración la haremos en dos etapas: 1.) Probaremos que todo polígono de n lados (n 4) es equivalente a un polígono de n 1 lados y repitiendo este proceso n veces, llegaremos a

10 68 PÍTULO 8. RES un triángulo equivalente al polígono inicial..) Probaremos que todo triángulo es equivalente a un cuadrado. 1.) Sin pérdida de generalidad, supondremos que n = 5 y sea DE el polígono inicial. Eliminemos por ejemplo, el vértice D de la siguiente manera (Ver Figura 9.). Trazamos la diagonal cuyos extremos son los vértices adyacentes a D, es decir, E, por Playfair, por D pasa l E, sea { 1 } = l, entonces por el corolario 45, [ ED] = [ E 1 ] y por el axioma. de áreas [DE] = [E]+[ ED] = [E]+[ E 1 ] 1 = [ 1 E] E m Figura 10. hora eliminemos, por ejemplo el vértice (ver Figura 10.), de la siguiente manera. Trazamos la diagonal cuyos extremos son los vértices adyacentes a, es decir, E, por Playfair, por pasa m E, sea { 1 } = m 1 E, entonces por el corolario 45, H 1 [ E] = [ E 1 ] y por el axioma. de áreas [ 1 E] = [ 1 E]+[ E] = [ 1 E]+[ E 1 ] = [ 1 1 ]

11 8.1. INTRODUIÓN 69 Por lo tanto [DE] = [ 1 1 ].) Veamos que [ 1 1 ] es equivalente a un cuadrado de la lado p, es decir, se debe cumplir que p = [ 1 1 ] = H, donde H es la altura relativa al lado 1 1, por lo tanto, p es media proporcionalentre yh.parahallarpefectuamoselsiguienteprocedimiento (verfigura11.):sobreunarectar fijamosunpuntox,porelaxiomadeconstrucción de segmento, existe un punto Y r tal que XY = 1 1, y existe un punto Z tal que YZ = H y X Y Z. Sea M el punto medio de XY y sea O el punto medio de MZ y sea (O,OZ), por Y pasa n r, sea {W} = n (O,OZ) y como MZ es diámetro entonces el MZW es rectángulo y por las relaciones métricas en el triángulo rectángulo, por lo tanto p = YW. X r YW = MY YZ = H M Figura 11. O n W Y Z r

12 70 PÍTULO 8. RES 8.. LONGITUD DE L IRUNFEREN- I Y EL NÚMERO π omo dos polígonos regulares del mismo número de lados tienen sus ángulos congruentes y sus lados respectivos son proporcionales, entonces podemos enunciar el siguiente teorema. Teorema 17. Dos polígonos regulares del mismo número de lados son semejantes Introducción 1.) onsideremos la circunferencia (O, r) e inscribamos un polígono regular de n lados P n = 1 n, denotemos por l n su lado, a n su apotema, p n su perímetro, [P n ] su área; por lo tanto p n = nl n, [P n ] = p na n = nl na n.) Si duplicamos el número de lados obtenemos el polígono P n = 1 1 n n, cuyos elementos notables l n, a n, p n, [P n ] guardan las siguientes relaciones con los elementos notables del polígono anterior P n (Ver Figura 1.): i. como O 1 es bisectriz de 1 O entonces por el teorema 78, 1 = l n > 1 1 = l n. ii. como l n > l n entonces por el teorema 75, a n < a n. iii. por el teorema de la desigualdad triangular 1 < o sea que l n < l n luego nl n < n(l n ) = nl n, por lo tanto p n < p n iv. por iii. se prueba que [P n ] < [P n ].

13 8.. LONG. DE L IRUNFERENI Y EL NÚMERO π 71 M 1 1 T a n a n l n n O 3 Figura Si nuevamente duplicamos el número de lados, obtenemos el polígono P n con las siguientes relaciones: l n > l n > l n, a n < a n < a n, p n < p n < p n 4 [P n ] < [P n ] < [P n] 4. Podemos seguir indefinidamente este proceso, obteniéndose una sucesión de polígonos P n,p n,p n,...,p k n,... inscritos en la circunferencia (O, r) con las siguientes sucesiones de sus elementos notables: l n > l n > l n > l k n > 3 a n < a n < a n < a k n < p n < p n < p n < p k n < [P n ] < [P n ] < [P n] < [P k n] < Para los resultados que vamos analizar más adelante, nos interesan las sucesiones de las apotemas, los perímetros y las áreas. Estas tres sucesiones son estrictamente crecientes. La primera es acotada superiormente por el radio

14 7 PÍTULO 8. RES (el radio es la menor de las cotas superiores); la segunda es acotada superiormente por el perímetro de cualquier polígono que contenga en su interior la circunferencia (O, r); la tercer es acotada superiormente por el área de cualquier polígono que contenga en su interior la circunferencia (O, r). Para la conclusión que haremos a continuación necesitamos el siguiente teorema del cálculo: (Ver texto El álculo con Geometría nalítica de Louis Leithold) Sea {a n } un sucesión estrictamente creciente de números reales y sea la mínima cota superior de {a n }, entonces lím a n =. n Por lo tanto para las apotemas tenemos el siguiente resultado lím a k k n = r. Para los perímetros, lím p k k n existe, este límite lo denotamos por L. Para las áreas, lím [P n] k k existe. Definición Por definición al límite lím k p k n lollamamoslongituddelacircunferenciaylodenotamosporl,esdecir. Por definición al límite L = lím k p k n lím [P n] k k lo llamamos el área del círculo y lo denotamos por [(O,r)], es decir [(O,r)] = lím k [P k n] Nota: el proceso anterior lo hicimos inscribiendo polígonos regulares en la circunferencia (O, r), en forma similar podemos hacer un proceso circunscribiendo polígonos regulares a la circunferencia (O, r), obteniéndose sucesiones estrictamente decrecientes para los perímetros y las áreas. Los límites serían L para los perímetros y [(O,r)] para las áreas.

15 8.. LONG. DE L IRUNFERENI Y EL NÚMERO π El número π y la longitud de la circunferencia El siguiente teorema garantiza la existencia del número π. Teorema 18. La razón entre la longitud de la circunferencia y su diámetro es constante. Demostración. (Ver Figura 13.) Para la demostración tomamos dos circunferencias (O,r) y (O,r ) y veamos que para ambas circunferencia, los cocientes entre la longitud de la circunferencia y su diámetro son iguales, es decir, este cociente es el mismo, independiente de las circunferencias que se tomen. 1 r r O 3 O 4 1 l n l n Figura 13. Inscribimos en la (O,r) un polígono regular P n = 1 n y en la (O,r ) un polígono regular P n = 1 n, por lo tanto P n P n, en consecuencia O 1 O 1, luego r = 1 r = l n r = l n r multiplicando por n y dividiendo por dos a ambos lados de la última proporción, obtenemos que n l n r = n l n r = p n r = p n r.

16 74 PÍTULO 8. RES Si duplicamos indefinidamente el número de lados, obtenemos de la misma manera en el paso k +1 la siguiente proporción p k n r = p k n r, tomando límites a ambos lados de la proporción, cuando k tiende a, se tiene p lím k n k r = lím p k n k r y por las propiedades de los límites 1 r lím p k k n = 1 lím r k p k n es decir, L r = L r donde L,L son las longitudes de las circunferencias (O,r) y (O,r ) respectivamente. En conclusión, para todas las circunferencias, el cociente L es constante, a r esta constante se le llama el número π. Nota: el matemático alemán Johan Lamber ( ) demostró que el número π es un número irracional, es decir, el número π tiene infinitas cifras decimales que no se repiten periódicamente, aproximadamente π 3,14159 omo el resultado del teorema anterior fue L = π, entonces tenemos el r siguiente corolario. orolario 49. La longitud de la circunferencia (O,r) es L = πr rea del círculo En el capítulo de la circunferencia, definimos el círculo, denotado por (O,r) como la unión de la circunferencia (O,r) y su interior, es decir (O,r) = (O,r) Int(O,r) Veamos el teorema del área del círculo.

17 8.. LONG. DE L IRUNFERENI Y EL NÚMERO π 75 Teorema 19 (rea del círculo). El área del círculo (O,r) es [(O,r)] = πr Demostración. omo en los teoremas anteriores, inscribimos un polígono regular P n en la circunferencia (O,r) y luego hacemos el proceso de duplicación de los lados, obteniéndose en el paso k +1 el polígono regular P k n y su área es [P kn] = 1 p k na k n tomado límites a ambos lados y aplicando las propiedades de los límites, se obtiene 1 [(O,r)] = lím [P kn] = lím k k p na k k n El Radian = 1 lím p k k n lím a k n = 1 k L r = 1 πr r = πr Utilizaremos a continuación el número π para dar una nueva medida de ángulo, que llamaremos radian. Sea (O,r) una circunferencia de radio r, por lo tanto su longitud es L = πr, a continuación dividimos la circunferencia en cuatro arcos congruentes; la longitud de cada uno de ellos es l( ) = l( ) = l( D) = l( D) = π r (ver Figura 14.), como los cocientes l( ) r = l( ) r = l( D) r = l( D) r = π y como los cuatro arcos son congruentes, entonces los cuatro ángulos al centro son congruentes, entonces tomaremos como medida de los ángulos al centro laconstante π.omoloscuatroángulosalcentrosonrectos,entoncesdiremos que cada ángulo recto tiene por medida π radianes. Por lo tanto el ángulo llano ÂO mide π radianes y la circunferencia completa mide π radianes.

18 76 PÍTULO 8. RES O D Figura 14. Definición 71 ((Radian). La unidad de medida radian corresponde a un ángulo al centro que subtiende un arco cuya longitud es r, para cualquier (O,r). O r Figura r r r En la Figura 15. m(âo) = 1 r Longitud de arco Teorema 130. La longitud de un arco cuyo ángulo al centro es θ r en una circunferencia (O,r) es θ r.

19 8.. LONG. DE L IRUNFERENI Y EL NÚMERO π 77 Demostración. En efecto, como existe una relación directa entre longitud de arco y ángulo al centro, entonces es cierta la siguiente relación L π = l( ) θ r donde L es la longitud de la circunferencia (O,r), es decir, es πr y l( ) es la longitud del arco en la (O,r), luego l( ) = L θr π r θr = = r θ r. π π Nota: cuando θ esta dado en grados entonces l( ) = π r θ rea del sector circular Definición 7 (Sector circular). Es una sub-región del círculo delimitada por dos radios y el arco (arco principal o no principal) entre los dos radios. Si dividimos el arco del sector circular en n (n número natural) arcos congruentes, la poligonal que se obtiene uniendo los extremos de estos arcos, se le llama poligonal regular y la denotamos por P n, el lado lo denotamos por l n, las apotemas las denotamos por a n y el perímetro los denotamos por p n y el área entre los dos radios y la poligonal regular por [OP n]. Teorema 131 (rea del sector circular). El área del sector circular es igual al semi-producto del radio por la longitud del arco. Demostración. (Ver Figura 16.) Sea O un sector circular delimitado por los radios O, O y el arco y sea P n = 1 n 1 una poligonal regular inscrita en el arco y sea [OP n] = [O 1 n 1 ] el área entre los radios y la poligonal regular, luego [OP n] = [O 1 n 1 ] = n( 1 l n a n) = 1 (n l n) a n) = 1 p n a n. Duplicando el número de lados indefinidamente, obtenemos en el paso k+1 [OP k n ] = 1 p k n a k n.

20 78 PÍTULO 8. RES n 1 l n r 1 Tomando límites O θ r r Figura 16. [sectoro] = lím [OP k n ] = lím 1 k k p kn a k n = lím 1 k p n lím k k a k n =, a n [sectoro] = 1 l( ) r, donde l( ) es la longitud del arco. Nota: si el ángulo al centro es θ r entonces [sectoro] = 1 θr r rea del Segmento ircular Definición 73 (Segmento ircular). El segmento circular es la parte del círculo limitada por una cuerda y el arco principal correspondiente. En la Figura 17. la región sombreada en el círculo (O,r), corresponde a un segmento circular entre el arco y la cuerda, el cual denotamos por seg, donde h es la distancia del centro O a la cuerda y θ r es la medida del ángulo ÂO en radianes, llamando s = l( ) tenemos el siguiente teorema, que se deja como ejercicio.

21 8.3. REL. MÉTRIS EN LOS POLIG. REGULRES 79 r O r Figura 17. Teorema 13. El área del segmento circular seg es h θ r [seg] = 1 4 (sr 4r () ) Nota: el área del segmento circular en función del ángulo al centro en radianes es [seg] = 1 4 (r θ r 4r () ) Relaciones Métricas en los Polígonos Regulares Presentamos en esta sección las relaciones que existen en algunos polígonos regulares, entre sus lados y sus apotemas, en función del radio de la circunferencia circunscrita. 1. El uadrado. Sea el cuadrado P 4 = D, con lado l 4 y apotema a 4. Sea r el radio de la circunferencia circunscrita al polígono P 4 = D, en el O rectángulo se tiene = O +O o se que l 4 = r, luego l 4 = r

22 80 PÍTULO 8. RES D l 4 O a 4 H r Figura 18. En el OH rectángulo, se tiene que O = H + OH o sea que r = ( l 4 ) +(a 4 ) = ( r ) +(a 4 ) = r +(a 4),luego a 4 = r. El Octógono Regular. Del cuadrado D obtenemos el octógono regular, duplicando el número de lados del cuadrado, es decir, uniendo los puntos medios de los arcos,, D, D con los extremos adyacentes en cada arco (ver Figura 19.). omo E es punto medio del y F es punto medio del D entonces EF es diámetro, luego el EF es rectángulo y como H EF entonces l8 = E = EF HE = r (OE OH) = r (r a 4 ) = r (r r) luego l 8 = r omo O es punto medio de EF y G es punto medio de E entonces OG = a 8 = F y como el EF es rectángulo, entonces F = EF FH = r (FO+OH) = r (r+a 4 ) = r (r+ r)

23 8.3. REL. MÉTRIS EN LOS POLIG. REGULRES 81 G E H D O F Figura 19. F = r (+ ) luego a 8 = F = r + 3. El Hexágono. Sea P 6 = un hexágono regular 6 1 O H r l Figura 0. sea l 6 = 1 y OH = a 6. omo m(â 1 O ) = = 60 entonces el

24 8 PÍTULO 8. RES 1 O es equilátero, por lo tanto 1 = O 1 = r luego l 6 = r. En el OH 1 rectángulo, se tiene que luego OH = O 1 1 H = r ( 1 ) = r ( l 6 ) = r ( r ) = r r 4 = 3 4 r a 6 = OH = 3 r 4. El Triángulo Equilátero. En el Hexágono uniendo cada dos vértices, pero dejando uno de por medio, se obtiene un triángulo equilátero (ver Figura 1.) 6 1 H a 3 O l 3 l Figura 1. en la Figura 1., como 5 es diámetro, entonces el 4 5 es rectángulo, por lo tanto, 4 = = (r) l 6 = 4r r = 3r

25 8.3. REL. MÉTRIS EN LOS POLIG. REGULRES 83 luego l 3 = 4 = 3 r omo O es un rombo y H es punto medio de O 5, entonces a 3 = OH = O 5 = r 5. Decágono y decágono estrellado. Resolveremos el siguiente problema: dada una (O,r), construir con regla y compás un decágono regular y una estrella de diez puntas (o decágono regular estrellado). Primero analicemos el problema y luego haremos la construcción. Observemos que si dividimos la circunferencia en diez arcos congruentes yunimosestospuntosdejandodosdepormedio,seobtieneunaestrella de diez puntas, ver la Figura. I H J G O F Figura. E D Sea = l 10 el lado del decágono convexo y sea D = l 10 el lado de la estrella de diez puntas (ver Figura 3.), como m( ) = m( ) = m( D) = = m( J) = 36 0 entonces m( DF) = 1 m( DF) = 1 70 = 36 0,

26 84 PÍTULO 8. RES J I K O H G luego el DO es isósceles. También F Figura 3. m(âdi) = 1 m( I) = 1 70 = 36 0, m(âg) = 1 m( G) = = = 7 0, m(âk) = 1 [m( )+m( DG)] = 1 [ ] = = 7 0, luego el K es isósceles. E D También m( OD) = m( D) = 7 0 y m(ôkd) = m(âk) = 7 0, luego el OKD es isósceles. De lo anterior, se concluye que K = = l 10 y KD = OD = r, por lo tanto l 10 = D = K +KD = l 10 +r, de aquí sacamos la primera relación: l 10 l 10 = r (primera condición) (8.1)

27 8.3. REL. MÉTRIS EN LOS POLIG. REGULRES 85 por otro lado, m(âo) = 36 0 = m( DF), por lo tanto el KO es isósceles y por tanto OK = K = l 10 y por el criterio -, OK OD luego D O = OD K = l 10 r = r l 10 l 10 l 10 = r (segunda condición) (8.) Para hallar l 10 y l 10 con regla y compás hacemos el siguiente procedimiento. on centro en un punto O y radio r trazamos una circunferencia (ver Figura 4.). Por O trazamos dos diámetros perpendiculares MN F. Hallamos O punto medio de OM. on centro en O y radio O M (O M = O O = r ), trazo circunferencia. M I O P O H Q J K D N G E F Figura 4. Uno con O y prolongo hasta corta la (O,O M) en P y Q. Entonces P = l 10 y Q = l 10

28 86 PÍTULO 8. RES Justificación: veamos que P y Q cumplen las propiedades 8.1 y 8.. En efecto: Q P = PQ = O M = r y como O es tangente a la (O,O M) en O entonces por el teorema 114, P Q = O = r hora hallemos l 10 y l 10 en función del radio. omo OO es rectángulo, entonces por el teorema de Pitágoras O = O +OO = r +( r 5 ) = r, pero como es decir También = l 10 = P = O O P = l 10 = r ( 5 1). 5 r r = r ( 5 1) Q = P +PQ = l 10 +r = r ( 5 1)+r = r ( 5+1) 6. El Pentágono y el Pentágono Regular Estrellado. Resolveremos el siguiente problema: dada una (O, r), construir con regla y compás un pentágono y un pentágono regular estrellado y con esta construcción también podremos construir un decágono regular y una estrella de diez puntas (problema anterior). Primero analicemos el problema y luego haremos la construcción. Si la (O,r) la dividimos en diez arcos congruentes y después unimos los puntos de división, dejando uno de por medio, obtenemos un pentágono regular y si unimos sus puntos dejando tres de por medio, obtenemos un pentágono regular estrellado, (ver Figura 5.) En la Figura 6. tenemos que = l 5, E = l 5, F = l 10 y EF = l 10. omo F es diámetro, entonces los triángulos F y EF son triángulos rectángulos, l 5 = 4r l 10 = 4r r 4 ( 5+1) = r 10 5

29 8.3. REL. MÉTRIS EN LOS POLIG. REGULRES 87 J I O H I H G J F Figura 5. E l 5 = r 10 5 O l 5 l 5 l 10 D D G F l 10 Figura 6. E y también l 5 = 4r l10 = r 10+ 5

30 88 PÍTULO 8. RES l 5 = r hora veamos las relaciones que deben cumplir l 5,l 5 y l 10,l 10 en términos del radio. omo los triángulos F y EF son triángulos rectángulos, entonces por el teorema de Pitágoras (l 5 ) +(l 10) = 4r ( ) y (l 5) +l 10 = 4r ( ) y como l 10 l 10 = r (ver la condición 8.1) y elevando al cuadrado esta última expresión (l 10) +(l 10 ) l 10l 10 = r, pero l 10l 10 = r (ver la condición 8.), entonces (l 10) +(l 10 ) = 3r despejando (l 10) y sustituyendo en (*): l 5 + 3r (l 10 ) = 4r o sea que l 5 l 10 = r (tercera condición) (8.3) y despejando (l 10 ) y sustituyendo en (**): (l 5) +3r (l 10) = 4r o sea que (l 5) (l 10) = r (cuarta condición) (8.4) hora construiremos simultáneamente l 5,l 5,l 10,l 10 dada la circunferencia (O,r). Para hallar l 5,l 5,l 10,l 10 con regla y compás hacemos el siguiente procedimiento. on centro en un punto O y radio r trazamos una circunferencia (ver Figura 7.). Por O trazamos el diámetro MN perpendicular con el radio O, es decir, MN O. Hallamos O punto medio de OM. on centro en O y radio O, trazo circunferencia, la cual corta a MN en P y Q.

31 8.3. REL. MÉTRIS EN LOS POLIG. REGULRES 89 J I l 5 Q M l 10 O O l 10 P N H G Uno P con y Q con. Figura 7. Entonces OP = l 10, OQ = l 10, P = l 5 y Q = l 5. Justificación:veamosqueOP,OQ,P yqcumplenlascondiciones 8.1, 8., 8.3 y 8.4. veamos que OP y OQ cumplen la condición 8.1. En efecto, como O es punto medio de OM y O es punto medio de PQ entonces OP = MQ, luego F l 10 OQ OP = OQ MQ = r. veamos que OP y OQ cumplen la condición 8.. En efecto, como QP es diámetro, entonces el QP es rectángulo y por tanto, por el teorema 10, OP OQ = O = r veamos que P y OP cumplen la condición 8.3. En efecto, como el OP es rectángulo, entonces P OP = O = r veamos que OQ y Q cumplen la condición 8.4. En efecto, como el OQ es rectángulo, entonces Q OQ = O = r E D

32 90 PÍTULO 8. RES 8.4. Ejercicios y Problemas de reas. 1. El perímetro y las medidas de las diagonales de un rombo miden 34 y la relación entre un lado y una diagonal es 5. Hallar el área del rombo. 6. Las bases de un trapecio miden a y 3a, uno de los lados oblicuos es congruente con la base menor del trapecio y forma un ángulo de 45 0 con la base mayor. Hallar el área del trapecio. 3. Dado el, si M y N son medianas. Mostrar que [ M] = [ N]. 4. Sea D un cuadrilátero tal que sus diagonales y D se cortan en O y OD = O. Mostrar que [ D] = [ ]. 5. Sea un triángulo rectángulo en, M mediana, = a, = a, E M, E. alcular las siguientes áreas: [M E], [ M ], [ ]. 6. Sea D un rectángulo cuyos lados miden 4 y 1, E es el punto medio de D. Hallar la medida del segmento F tal que [ EF] = [ED]; hallar el área del E Sea D un rectángulo, E punto medio de, = 1, = 6 a) alcular el área del rectángulo D b) alcular el área del trapecio ED c) Sea F un punto entre y D. Hallar F tal que el área del FE del área del cuadrilátero FE sea Dos circunferencias (O,r), (O,r) donde r = 1 y cada una de ellas pasando por el centro de la otra, se cortan en y, sea {} = O O (O,r). Hallar: a) Las medidas de los ángulos O, Ô, b) La longitud del perímetro del rombo OO c) El área del rombo. d) La superficie común a los dos círculos.

33 8.4. EJERIIOS Y PROLEMS DE RES Las bases de un trapecio miden a y 3a, uno de los lados oblicuos es igual a la base menor y forma un ángulo de 45 o con la base mayor. Hallar el área del trapecio. 10. Dadoun rectánguloen,cuyahipotenusa midea,m(ĉ) = 30 o. Se traza la mediana M y por los puntos y se trazan paralelas a y M respectivamente, estas paralelas se cortan en N. Hallar el área del cuadrilátero MN. 11. Dado un rectángulo D con = 34 y = 0 y sobre un punto N tal que N = 10. Determinar sobre D un punto M tal que la diferencia de áreas de los trapecios DMN y MN sea 80 unidades cuadradas. 1. En un trapecio rectángulo D de altura = 0, de bases = 7, D = 45 se traza un recta EF con E y F D. Determinar sobre la base D dos puntos F y G tales que el trapecio quede dividido por las rectas EF y EG en tres partes equivalentes. 13. Las dos bases de un trapecio miden 15 y 7 cm. Se une uno de los extremos de la base menor con un punto M de la base mayor tal que el triángulo y el cuadrilátero que se forman tienen la misma área, encontrar el punto M. 14. Mostrar que el triángulo determinado por las rectas que van del punto medio de uno de los lados no paralelos de un trapecio a los vértices opuestos es equivalente a la mitad del trapecio. 15. Hallar una fórmula para calcular el área comprendida entre tres circunferencias del mismo radio y tangentes exteriormente. 16. Se tiene un inscrito en una circunferencia de radio R. Sabiendo que m( ) = 60 0 y m(â) = Encontrar el área del triángulo. (Rta.: R 4 (3+ 3)) 17. Si los lados de un triángulo miden 84,84 y 60, y el perímetro de un triángulo semejante a este es 85. a) uales son las medidas de los lados del segundo triángulo? b) ual es el área del segundo triángulo?

34 9 PÍTULO 8. RES c) ual es la longitud de la altura del primer triángulo?. 18. Demostrar que en un triángulo, cualquiera de las medianas lo divide en dos triángulos equivalentes. 19. Dado el con medianas N y M relativas a y respectivamente, las cuales se cortan en O. Probar que las regiones determinadas por el cuadrilátero N OM y el triángulo O, son equivalentes. 0. Demostrar que el área de un trapecio es igual al producto de la altura por la base media del trapecio. (la base media de un trapecio es el segmento que une los puntos medios de los lados no paralelos del trapecio) 1. Demostrar que la relación de polígonos equivalentes es una relación de equivalencia.. Dado un triángulo equilátero de lado x, probar que la longitud de cualquiera de sus alturas es: h = x El área de un hexágono regular es 50 3 centímetros cuadrados. uales son el perímetro y la apotema? 4. Si un triángulo equilátero y un hexágono regular tienen el mismo perímetro. Hallar la razón de sus áreas. 5. La longitud de cada uno de los lados de un octógono regular es centímetros. ual es su área? 6. Sea D un cuadrado de lado a, sea E un punto entre D y y F un punto entre y, H E DF. Si DE = F = a, mostrar 3 que: a) DF E, b) [ DEH] = 4 39 a, c) [HF] = a 7. Si la apotema de un hexágono regular es de 5 metros. uales son el perímetro y el área? 8. Sea el triángulo, con D entre y, =, = D, probar que: (m) = (m).(md)

35 8.4. EJERIIOS Y PROLEMS DE RES Sea el triángulo acutángulo, con D, E, F las alturas respectivas, las cuales se cortan en O, probar que: mf.md.me = me.mf.md 30. Sea el trapecio D con lados paralelos y D, sea E el punto de corte de las diagonales, probar que me.mde = me.me 31. Seaeltriángulo acutángulo,cond,e,d E = {F}, probar que: md m.m me = 1 3. Sean D,E y F los puntos medios de los lados de un triángulo, probar que DEF 33. Sea el triángulo, con D entre y, E entre y, F entre y, DF,DE, = Â, probar que: mfd med = md md 34. Sea el triángulo, con D entre y, E entre y, F entre y, D, FDE rectángulo, probar que: (FDE) = me.mf.mf.me 35. Sea el triángulo isósceles con  recto, D punto medio de, E punto medio de D sombrear el triángulo DE. Hallar: a) El área de la región sombreada en función del área del triángulo. b) Eláreadelaregiónnosombreadaenfuncióndeláreadeltriángulo. c) La razón entre el área de la región no sombreada y el triángulo.

36 94 PÍTULO 8. RES (Rta.: a) 1 4 [ ], b)3 4 [ ], 3 4 ) 36. Sea D un trapecio con D, E punto medio de. Mostrar que ED ED. 37. Demostrar que las tres medianas de un triángulo determinan seis triángulos equivalentes. 38. Sea D un trapecio con D, sea E el punto medio de. Probar que: (DE) = (D) 39. Sea el triángulo equilátero sea h la medida de cualquiera de las alturas del triángulo, sea D un punto cualquiera en el interior del triángulo, sean DE,DF,DG. Probar que: mde +mdf +mdg = h. 40. Sea D un cuadrado de lado 3 metros, si se cortan triángulos rectángulos isósceles en las esquinas, de longitud de cada cateto x, formándose un octógono regular, hallar el valor de x y el área del octógono. 41. Si la razón entre el apotema de un cuadrado y el apotema de un hexágono regular es 3 y la medida del lado del cuadrado es 1 centímetros. Hallar el área del 4 hexágono. 4. Mostrar que el área de un triángulo de lados a, b, c es igual a abc donde R es el radio de la circunferencia circunscrita. 4R, 43. Mostrar que el área de un triángulo es pr, donde r es el radio de la circunferencia inscrita y p es el semi-perímetro del triángulo. 44. Demostrar que la suma de las áreas de las lúnulas construidas sobre un triángulo rectángulo es igual al área de dicho triángulo. (ver Figura)

37 8.4. EJERIIOS Y PROLEMS DE RES Sea P un punto en el interior del paralelogramo D. Si se une P con los vértices del paralelogramo. Demostrar que [ P]+[ DP] = [ P]+[ PD] 46. Los dos segmentos en queda dividida la hipotenusa de un triángulo rectángulo por el punto de contacto de la circunferencia inscrita, miden 3mt. y mt. alcular el área del triángulo. 47. onstruir un cuadrado que sea equivalente a la suma de dos cuadrados dados. 48. onstruir un cuadrado que sea equivalente a la diferencia de dos cuadrado dados. 49. onstruir un cuadrado que sea la suma de tres cuadrados dados. 50. onstruir un polígono semejante a dos polígonos semejantes dados y sea equivalente a la suma de los dos polígonos dados. 51. onstruir un cuadrado equivalente a un paralelogramo dado. 5. onstruir un cuadrado equivalente a un triángulo dado. 53. onstruir un cuadrado equivalente a un polígono dado. 54. onstruir un rectángulo equivalente a un cuadrado dado, conociendo: a) la suma de la base y la altura del rectángulo; b) la diferencia entre la base y la altura del rectángulo. M 55. Si D es un cuadrado de lado a y M es punto medio de y N es punto medio de D. Hallar el área sombreada. (Rta a ) N D

38 96 PÍTULO 8. RES 56. Si D es un cuadrado de lado 7a, DE = a, EF = 3a y F = a. Hallar el área sombreada. (Rta. 1 (π )) F E 57. Si D es un cuadrado de lado a y M es punto medio de. Hallar el área sombreada. 58. SiDesuncuadradodeladoa.Hallar el área sombreada. D N D D M 59. SiDesuncuadradodeladoa.Hallar el área sombreada. (Rta.: a ( π ) D

39 8.4. EJERIIOS Y PROLEMS DE RES Las tres circunferencias tienen radio a y son tangentes exteriormente dos a dos. Hallar el área sombreada. 61. SiDesuncuadradodeladoa.Hallar el área sombreada. b 63. Las circunferencias (O,a) y (D,a) en la Figura son congruentes, O = a, y son tangentes (porqué?), D (O,a) y O (D,a). Hallar el área de la región sombreada. (Rta.: a ( 3 π)) 3 a D 6. Hallar el área sombreada en la tuerca, en términos de a y b. (Rta.: a ( 1) π 4 b ) O D 64. Eratóstenes (75..) calculó la circunferencia de la Tierra con un método ingenioso. Supuso que los rayos del Sol eran paralelos y descubrió que cuando el Sol se encontraba exactamente sobre lejandría

40 98 PÍTULO 8. RES (punto en la figura), sus rayos formaban un ángulo de 7, ō con un poste vertical situado a 500 millas, en Siena (suán)(punto en la figura). demás, supuso que el ángulo central α también medía 7, ō. Dedujo que la relación del ángulo central α a 500 millas sería igual a la relación del total de grados de una circunferencia para completar la longitud de la circunferencia de la Tierra. Hallar la proporción y calcula la circunferencia de la Tierra. (Rta millas, radio real:4183 millas) α α r O En la figura, el es equilátero de lado a, sobre los lados, y se construyen cuadrados. Hallar el área de cada una de las regiones sombreadas. (Rta.: a 3) 67. En el, sea M y N, sea O M N. Si el área del O y el área del ON es 7 y el área del OM es 3, hallar el área del cuadrilátero OMN. (Rta.: 18) 68. (Teoremadeeva)SeaX Int(),Y Int()yZ Int()en el. La condición necesaria y suficiente para que los segmentos X, Y y Z sean concurrentes es que X Y Z = 1 X Y Z 69. (Teorema de Menelao) Sea el, sean X, Y y Z tres puntos distintos de los puntos, y y sea X, Y y Z. La condición necesaria y suficiente para que los puntos X, Y y Z sean colineales es que X Y Z = 1 X Y Z