Programación Lineal Entera

Transcripción

1 Programación Lineal Entera Los modelos de programación entera son una extensión de los modelos lineales en los que algunas variables toman valores enteros. Con frecuencia las variables enteras sólo toman valores en 0-1, ya que este tipo de variables permiten representar condiciones lógicas. Este tipo de modelos permite representar sistemas mucho más complejos. A cambio, la resolución de los mismos se complica excesivamente. No se puede utilizar la suavidad de las funciones para inferir el comportamiento de las mismas cerca del óptimo. Problemas con unas solas decenas de variables pueden ser casi imposibles de resolver. 1

2 Programación Entera: contenidos 1. Introducción 2. Algunos modelos básicos y Modelización con variables binarias a) El problema del transporte b) Problema de la mochila c) Problema del viajante (opt. combinatoria) d) Problema de asignación, asignación generalizada y asignación cuadrática e) Problema del cubrimiento, empaquetado y partición f ) Problema del emparejamiento (opt. combinatoria) g) Otros problemas 3. Resolución del problema. a) Planos de corte b) Ramificación y acotación (Branch and Bound). 2

3 Programación Entera: ejemplos mín c t x Ax b x 0 x i entera para i I {1,..., n} Si I = {1,..., n} Programación Lineal Entera Pura. Si I = {1,..., n} Programación Lineal Entera Mixta. Si x i {0,1}, i I Programación Binaria o

4 Programación Entera: ejemplos En general, un problema de Programación Lineal Entera puede surgir por varios motivos: Directos: las variables que se utilizan son cuantitativas y enteras. Codificados: Se utilizan variables enteras para representar el cumplimiento o no de ciertas condiciones (normalmente son variables 0 1). Transformados: Las variables enteras aparecen para facilitar la modelización de algunas condiciones (implicaciones, disyunciones, etc.) 4

5 Problemas directos: ejemplo Una empresa de automóviles dispone de tres factorías, A, B y C y de dos centros de distribución, D1 y D2. Las capacidades de producción de las 3 factorías durante un año son 1000, 1500 y 1200 vehículos, respectivamente. Las demandas en los centros de producción son de 2300 y 1400 vehículos respectivamente. El coste de transporte en tren es de 10 pesetas por kilómetro y vehículo. Si la matriz de distancias entre las factorías y los centros de distribución vienen dada por la siguiente tabla, cuántos vehículos deben fabricarse en cada factoría para que el transporte desde cada una de las factorías a cada uno de los centros de distribución sea mínimo? D1 D2 A B C

6 Problemas directos: ejemplo Modelo: problema del transporte en el que la mercancía que debe ser transportada es un bien indivisible donde x ij = minimizar 3 2 i=1 j=1 (10d ij )x ij sujeto a x 11 + x x 21 + x x 31 + x x 11 + x 21 + x x 12 + x 22 + x x ij Z +, i = 1,2, j = 1,2,3 cantidad de vehículos a transportar de la factoría i, i = 1,2 hasta el centro de distribución j, j = 1,2,3 6

7 Problemas codificados: ejemplo Un ingeniero informático autónomo quiere optar a realizar un proyecto informático de entre 5 que salen a concurso. Sólo tiene presupuesto para pagar las tasas de solicitud en 3 proyectos. A qué 3 proyectos optar? Beneficio esperado (en miles de euros) que puede obtener a los 3 años con cada uno de los proyectos. Estimación de la probabilidad de que no le concedan cada uno de los proyectos Proyecto Beneficio (miles euros) Probabilidad de rechazo Problema: qué proyectos debería solicitar para obtener un beneficio mayor y asegurarse de que la suma de las probabilidades de rechazo no sea superior a 1.5 7

8 Problemas codificados: ejemplo (cont.) Variables de decisión: x i = 1, si se solicita el proyecto i, 0, si no se soliciota el proyecto i. i = 1,2,3,4,5 Restricciones: Límite presupuestario: x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 3 Suma de las probabilidades de rechazo no exceda 1.5 0,4x 1 + 0,7x 2 + 0,4x 3 + 0,5x 4 + 0,6x 5 1,5 Condición de variables binarias: x i {0,1}, i = 1,2,3,4,5 8

9 Problemas codificados: ejemplo (cont.) Objetivo: maximizar el beneficio esperado 90x x x x x 5 Cómo cambiarías el modelo anterior si se hubiera pedido que la probabilidad de no obtener ningún proyecto fuese, a lo sumo, del 10 %? Si seleccionamos, por ejemplo, los proyectos 1, 2 y 3: P {no obtener ningún proyecto} = P {rechazan P 1 y P 2 y P 3 } = (0,4)(0,7)(0,4) = P {no obtener ningún proyecto} 0,1 (0,4)(0,7)(0,4) 0,1 log((0,4)(0,7)(0,4)) log(0,1) log(0,4) + log(0,7) + log(0,4) log(0,1) log(0,4)x 1 log(0,7)x 2 log(0,4)x 3 log(0,5)x 4 log(0,6)x 5 1 9

10 Problema de la Mochila Se dispone de n objetos para llenar una mochila. El objeto j tiene un peso p j y tiene una utilidad (valor) c j. La mochila admite un peso máximo de b. El problema consiste en decidir qué objetos se introducen en la mochila de forma que se maximice la utilidad de los objetos seleccionados. Variables: x j = 1 si el objeto j es seleccionado, 0 en otro caso. j = 1,..., n 10

11 Problema de la Mochila Restricciones: Límite de peso de la mochila: n j=1 p j x j b Condición de variables binarias: x j {0,1} j = 1,..., n Función objetivo: máx n j=1 c j x j Se pueden considerar variantes en las que se incluya también el volumen, etc. O la posibilidad de que haya más de una unidad de cada objeto. Entonces, las variables serían x j igual al número de unidades del objeto j seleccionadas. 11

12 Problema de asignación El modelo de asignación permite asignar eficientemente un conjunto de personas a un conjunto de trabajos, máquinas a tareas, coches de policía a sectores de una ciudad, vendedores a zonas, etc. El objetivo es minimizar los costes, tiempos de desplazamiento, o maximizar la efectividad. Es un modelo muy frecuente como submodelo en otros más complejos. 12

13 Problema de asignación. Ejemplo Juan es el jefe de un bufete de jóvenes abogados y está interesado en la utilización más efectiva de sus recursos de personal buscando la forma de hacer las mejores asignaciones de abogado-cliente. El 1 de Marzo le llegan 4 nuevos clientes. Revisando a su personal encuentra que 4 abogados: Ana, Bruno, Carmen y Domingo. Todos pueden ser asignados a los casos. Cada uno de ellos sólo se puede hacer cargo de un caso. 13

14 Problema de asignación. Ejemplo (cont.) Para decidir la mejor asignación Juan tiene en cuenta una tasa de efectividad (de 1 a 9) construida sobre actuaciones anteriores de dichos abogados, ya que no todos son igual de buenos (especialistas) en todo tipo de procesos: tasa de efectividad según caso de cliente Abogado divorcio (1) fusión desfalco (3) herencias (4) empresarial (2) ana (1) bruno (2) carmen (3) domingo (4)

15 Problema de asignación. Ejemplo (cont.) Para determinar la asignación más efectiva Juan debe resolver el siguiente problema de asignación máx 6x x x x x x x x 44 + s.a. 4x x x x x x x x 44 4 i=1 4 j=1 x ij = 1, j = 1,...,4, x ij = 1, i = 1,...,4, x ij {0,1}, i = 1,...,4, j = 1,...,4. donde las variables x ij, i = 1,...,4, j = 1,...,4, se definen como x ij = 1, si el abogado i lleva el caso del cliente j, 0, en otro caso. 15

16 Problema de Asignación Generalizada. Ejemplo Es una generalización del modelo anterior. Cada abogado puede hacerse cargo de más de un cliente simultáneamente, siempre y cuando no supere su capacidad Un sistema de procesamiento compartido tiene 3 ordenadores diferentes (O j, j = 1,2,3) y tiene que procesar 6 tareas (T i i = 1,...,6) Todas las tareas se pueden realizar en cualquier ordenador, pero no pueden fraccionarse (se deben completar en el ordenador en que se inician) Los tiempos de procesamiento de cada tarea i en cada ordenador j, t ij, varía según el ordenador El tiempo disponible de cada ordenador para ejecutar las tareas está limitado 16

17 Problema de Asignación Generalizada. Ejemplo (cont.) Ordenador Tarea O 1 O 2 O 3 T T T T T T T. disp. (C j ) A qué ordenador debemos mandar cada tarea si queremos minimizar el tiempo total de procesamiento? Variables x ij = i = 1,...,6, j = 1,2,3. 1, si la tarea i se asigna al ordenador j, 0, en otro caso., 17

18 Problema de Asignación Generalizada. Ejemplo (cont.) Función objetivo T = 18x x x x x x x x x x x x x x x x x x 63 Restricciones Cada tarea se procesa en un sólo ordenador: 3 j=1 x ij = 1, i = 1,...,6. Limitación de tiempo disponible en cada ordenador: 18x x x x x x x x x x x x x x x x x x

19 Problema de Asignación Generalizada. Ejemplo (cont.) T = mín 6 3 i=1 j=1 3 j=1 6 i=1 t ij x ij x ij = 1, i = 1,...,6 t ij x ij C j, j = 1,2,3 x ij {0,1} Cómo cambiarías el modelo para que el tiempo de procesamiento total fuese el tiempo que tardan en completarse todas las tareas que se procesan en paralelo en los 3 ordenadores? 19

20 Problema de Asignación Generalizada. Ejemplo (cont.) Función objetivo T = máx { 18x x x x x x 61, 16x x x x x x 62, 12x x x x x x 63 } T = mínmáx 3 j=1 6 i=1 6 i=1 t i1 x i1, 6 i=1 t i2 x i2, 6 i=1 x ij = 1, i = 1,...,6 t ij x ij C j, j = 1,2,3 x ij {0,1} t i3 x i3, 20

21 Problema de Asignación Generalizada. Ejemplo (cont.) T = mín z 6 i=1 6 i=1 6 i=1 3 j=1 6 i=1 t i1 x i1 z t i2 x i2 z t i3 x i3 z x ij = 1, i = 1,...,6 t ij x ij C j, j = 1,2,3 x ij {0,1} 21

22 Problema de Cubrimiento. Ejemplo Un técnico de sistemas del laboratorio de cálculo de la Escuela Politécnica Superior quiere acceder a cinco archivos distintos. Hay copia de estos archivos en distintas cintas de backup: CINTAS f1 C1, C2, C5, C6, C8, C9, C10 f2 C1, C3 f3 C2, C5, C7, C10 f4 C3, C6, C8 f5 C1, C2, C4, C6, C7, C9, C10 Los tamaños de las cintas de backup C1,...,C10 son: (30,50,10,20,10,40,30,10,20,20) Para poder recuperar los archivos, primero hay que hacer un volcado de las cintas al disco duro. Éste tiene que ser de la cinta completa, no puede copiarse sólo una parte. Cómo determinar el conjunto de cintas a volcar de forma que se ocupe el menor espacio de disco posible y se puedan recuperar todos los archivos? 26

23 Problema de Cubrimiento. Ejemplo (cont.) Variables x i = 1 si volcamos la cinta i al disco duro, 0 si no la volcamos. i = 1,...,10. Restricciones El archivo 1 tiene que ser accesible al menos 1 de las cintas de backup que tiene copia del archivo 1 se debe volcar: x 1 + x 2 + x 5 + x 6 + x 8 + x 9 + x 10 1 El resto de archivos debe ser también accesible: x 1 + x 3 1 x 2 + x 5 + x 7 + x 10 1 x 3 + x 6 + x 8 1 x 1 + x 2 + x 4 + x 6 + x 7 + x 9 + x 10 1 Condición de variables binarias: x ij {0,1}, i = 1,..., n. 27

24 Implicaciones entre variables binarias Cómo le añadirías al modelo las siguientes condiciones? Si se vuelca la cinta 4, debe volcarse la 6: x 4 x 6 Si no se vuelca la cinta 3, debe volcarse la 1: x 3 + x 1 1 ( 1 x 3 x 1 ) Si se vuelca la cinta 2, no se puede volcar la cinta 6: x 2 + x 6 1 ( x 6 1 x 2 ) No se pueden volcar a la vez las cintas 1, 9 y 10: x 1 + x 9 + x

25 Implicaciones entre variables binarias (cont.) Si se vuelca la cinta 2 o la 5, no pueden volcarse ni la 6, ni la 9. Existen varias alternativas: Si se vuelca la cinta 2, no se puede volcar la cinta 6, y si se vuelca la cinta 5 tampoco: Lo mismo para la cintas 9: x 2 + x 6 1 x 5 + x 6 1 x 2 + x 9 1 x 5 + x 9 1 Otra posibilidad es modelar esta condición como: x 6 + x 9 2 2x 2 x 6 + x 9 2 2x 5 30

26 Implicaciones entre variables binarias En general, cuando un valor concreto de una variable binaria condiciona el valor que han de tomar otras variables binarias. La condición (y = 0 x = 0), es equivalente a x y. Si no se vuelca la cinta y, entonces tampoco se puede volcar la cinta x. La condición (y = 0 x = 1), es equivalente a x 1 y. Si no se vuelca la cinta y, entonces se debe volcar la cinta x. La condición (y = 1 x = 0), es equivalente a x 1 y. Si se vuelca la cinta y, entonces no se puede volcar la cinta x. La condición (y = 1 x = 1), es equivalente a x y. Si se vuelca la cinta y, entonces también hay que volcar la cinta x. 31

27 Coste fijo. Ejemplo La empresa PECÉ vende ordenadores y debe hacer una planificación de la producción durante la próxima semana. La compañía produce 3 tipos de ordenadores: de mesa (A), portátil normal (B) y portátil de lujo (C) Todos los ordenadores que se montan en una semana, se venden en esa semana. El beneficio neto por la venta de uno de estos ordenadores es 350, 470 y 610 euros, respectivamente Los ordenadores A y B pasan un control de calidad y la empresa dispone de 120 h. para realizar estos controles. Los ordenadores de tipo C pasan otro control distinto y la empresa dispone de 48 h. a la semana para realizarlos. Cada control requiere 1 h. El resto de operaciones de montaje requieren 10, 15 y 20 h. para los ordenadores de tipo A, B y C, respectivamente. La empresa dispone de una capacidad de 2000 horas/semana Cuánto debe producir de cada ordenador para maximizar el beneficio? Ejemplo tomado de Modelling the Supply Chain (Shapiro) 32

28 Coste fijo. Ejemplo (cont.) Variables: x A, x B y x C, cantidad a producir de cada tipo de ordenador, de mesa, portátil y de lujo. Modelo Solución: z = máx 350x A + 470x B + 610x 1 C s.a. x A = 120, x B = 0, x C = 40 x A + x B 120 (test 1) x C 48 (test 2) 10x A + 15x B + 20x C 2000 (montaje) x A, x B, x C Z + Este producción requiere de las 120 h. disponibles de test 1 y de las 2000 de montaje, mientras que sobran 8 de las 48 h. disponibles de test 2 Ejemplo tomado de Modelling the Supply Chain (Shapiro) 33

29 Coste fijo. Ejemplo (cont.) El problema inicial planteado por la empresa PECÉ no considera ninguna relación entre los costes de producción y los beneficios. Simplemente se trata de una asignación de recursos. Si quieren tratar estos costes, deben ser incluidos en la función objetivo: beneficio neto = ingreso por ventas gasto en producción El precio de venta es de 400, 520 y 686 euros para cada tipo de ordenador, respectivamente. Ejemplo tomado de Modelling the Supply Chain (Shapiro) 34

30 Coste fijo. Ejemplo (cont.) La compañía ha estimado que pasar los test de tipo 1 y 2, implica: Un coste fijo de 2016 euros, independientemente del número de ordenadores que lo pasen. Un coste variable, por hora, de 32 euros. Un coste fijo de 1200 euros, independientemente del número de ordenadores que lo pasen. Un coste variable, por hora, de 38.5 euros Costes test 1 Costes T Cómo incluir el coste fijo en el modelo? (función de coste con un salto) Ejemplo tomado de Modelling the Supply Chain (Shapiro) 35

31 Coste fijo. Ejemplo (cont.) Para incluir este coste fijo se recurre a variables binarias: δ 1 = 1 si se utiliza el test 1 0 en otro caso Hay que garantizar que si no utiliza este test, no se haga uso de ninguna de las horas disponibles: x A + x B 120δ 1 Para el test de tipo 2 se define una variable δ 2 de la misma forma. Ejemplo tomado de Modelling the Supply Chain (Shapiro) 36

32 Ejemplo (cont.) La función objetivo resulta: máx400x A + 520x B + 686x C 2016δ δ 2 32x A 32x B 38,5x C Modelo z = máx 400x A + 520x B + 686x C 2016δ δ 2 32x A 32x B 38,5x C s.a. x A + x B 120δ 1 (test 1) x C 48δ 2 (test 2) 10x A + 15x B + 20x C 2000 (montaje) x A, x B, x C Z +, δ 1, δ 1 {0,1} La solución óptima es x A = 120, x B = 0 y x C = 40. En este caso, el plan de producción óptimo no ha cambiado. Sólo cambia el beneficio, que es de euros, en lugar de los euros del modelo original. Se ha mejorado la estimación de costes. Ejemplo tomado de Modelling the Supply Chain (Shapiro) 37

33 Resolución del problema 38

34 La resolución se complica: el redondeo La primera tentación a la hora de abordar la resolución de un problema de programación entera es redondear la solución obtenida al relajar la condición de integralidad. Esta no es una buena estrategia ya que: 1. No siempre proporciona la solución óptima. 2. No garantiza la obtención de soluciones factibles. 3. La selección del redondeo adecuado es un problema exponencial. 39

35 El redondeo: ejemplo Consideremos el siguiente problema de programación lineal entera z = mínx 1 11x 2 x x x x x 1, x 2 0 y enteras Solución óptima sin considerar las condiciones de integralidad: x 1 = 15 y x 2 = 5,5 40

36 El redondeo: ejemplo La región factible del modelo es: (10, 5) (15, 6) (15, 5) (15, 11 2 ) Posibles redondeos: x 1 = 15 y x 2 = 6: no verifica la primera restricción. x 1 = 15 y x 2 = 5: es factible y z = 40. La solución x 1 = 10 y x 2 = 5 es factible y z = 45 41

37 Resolución de un problema entero Idea: Un problema lineal continuo es muy sencillo de resolver por qué no desarrollar métodos de resolución que empleen la programación lineal continua como una herramienta para resolver el problema entero? cómo desarrollar estos métodos? a partir de las propiedades de la solución de un problema continuo y de las del método de resolución del mismo, y a partir de las características de un problema entero (cómo se modele el problema será muy importante) 42

38 Resolución del problema Los métodos más usados parten de la relajación del problema Idea: sustituir el problema entero original por un problema más sencillo, que pueda ser resuelto más fácilmente y, por tanto, que pueda ser utilizado para obtener cotas. La más usada es la relajación lineal que consiste en eliminar la condición de que las variables tomen valores enteros. Pero, no es la única 43

39 Resolución del problema Problema: Los puntos extremos no tienen por qué ser enteros Si fueran enteros no habría problema por qué no obtener la envoltura convexa? demasiado costoso Hay unas formulaciones mejores que otras: más fuertes 44

40 Resolución del problema Solución: los métodos más extendidos son 1. Métodos de Planos de Corte: se introducen nuevas restricciones al problema relajado, hasta lograr que la solución óptima del nuevo problema sea entera. Se eliminan algunas soluciones continuas sin eliminar ninguna solución entera. 2. Métodos enumerativos: consisten en enumerar de forma impĺıcita las soluciones y mediante test o cotas para la función objetivo, descartarlas antes de conocerlas expĺıcitamente. El método Branch and Bound (Ramificación y Acotación): divide en problemas menores: ramificación y descarta algunos de ellos: acotación 3. Métodos híbridos: combinan las 2 estrategias anteriores El método Branch and Cut (Ramificación y Corte) 45

41 Resolución: Branch and Bound Método de enumeración impĺıcita: divide en problemas menores: ramificación y descarta algunos de ellos: acotación A veces puede usarse como heurístico, si no se exploran todos los nodos. Si se exploran todos sí se garantiza el óptimo. 52

42 Ejemplo 1 máx2x 1 + 3x 2 5x 1 + 7x x 1 + 9x 2 36 x 1, x 2 Z + Óptimo lineal: (63/17,40/17), z = 14,4707 5x 1 + 7x 2 = 35 4x 1 + 9x 2 = 36 Cota: z opt 14,

43 Ejemplo 1 (3.7059,2.3529) z= Óptimo lineal: (63/17,40/17), z = 14,4707 5x 1 + 7x 2 = 35 4x 1 + 9x 2 = 36 Cota: z opt 14,

44 Ejemplo 1 (3.7059,2.3529) z= x 1 + (4,2.14) z= x 1 + 7x 2 = 35 Nuevo óptimo: (4,2,14), z = 14,43 4x 1 + 9x 2 = 36 Cota: z opt 14,

45 Ejemplo 1 (3.7059,2.3529) z= x 1 + (4,2.14) z= x 2 + no factible 5x 1 + 7x 2 = 35 4x 1 + 9x 2 = 36 Cota: z opt 14,

46 Ejemplo 1 (3.7059,2.3529) z= x 1 + (4,2.14) z= x x 2 2 no factible (4.19,2) z=14.4 5x 1 + 7x 2 = 35 Nuevo óptimo: (4,19,2), z = 14,40 4x 1 + 9x 2 = 36 Cota: z opt 14,

47 Ejemplo 1 (3.7059,2.3529) z= x 1 + (4,2.14) z= x x 2 2 no factible 5 x 1 + (5,1.43) z=14.29 (4.19,2) z=14.4 5x 1 + 7x 2 = 35 Nuevo óptimo: (5,1,43), z = 14,29 Cota: z opt 14,4707 4x 1 + 9x 2 = 36 48

48 Ejemplo 1 (3.7059,2.3529) z= x 1 + (4,2.14) z= x x 2 2 no factible 2 x x 1 + (5,1.43) z=14.29 (4.19,2) z=14.4 no factible 5x 1 + 7x 2 = 35 Cota: z opt 14,4707 4x 1 + 9x 2 = 36 49

49 (3.7059,2.3529) z= Ejemplo 1 4 x 1 + (4,2.14) z=14.43 x x 2 2 no factible 5 x 1 + (5,1.43) z=14.29 (4.19,2) z= x x 2 1 no factible (5.59,1) z=14.2 5x 1 + 7x 2 = 35 Nuevo óptimo: (5,59,1), z = 14,2 Cota: z opt 14,4707 4x 1 + 9x 2 = 36 50

50 (3.7059,2.3529) z= Ejemplo 1 4 x 1 + (4,2.14) z=14.43 x x 2 2 no factible 5 x 1 + (5,1.43) z=14.29 (4.19,2) z= x x 2 1 no factible (5.59,1) z=14.2 5x 1 + 7x 2 = 35 Nuevo óptimo: (6,0,71), z = 14,13 6 x 1 + (6,0.71) z=14.13 Cota: z opt 14,4707 4x 1 + 9x 2 = 36 51

51 (3.7059,2.3529) z= Ejemplo 1 4 x 1 + (4,2.14) z=14.43 x x 2 2 no factible 5 x 1 + (5,1.43) z=14.29 (4.19,2) z= x x 2 1 no factible (5.59,1) z=14.2 5x 1 + 7x 2 = 35 6 x 1 + (6,0.71) z=14.13 x 2 + no factible Cota: z opt 14,4707 4x 1 + 9x 2 = 36 52

52 (3.7059,2.3529) z= Ejemplo 1 4 x 1 + (4,2.14) z=14.43 x x 2 2 no factible 5 x 1 + (5,1.43) z=14.29 (4.19,2) z= x x 2 1 no factible (5.59,1) z=14.2 5x 1 + 7x 2 = 35 Nuevo óptimo: (7,0), z = 14 6 x 1 + (6,0.71) z=14.13 x x 2 0 no factible (7,0) z=14 a: z opt 14,4707 Incumbent: 14 z opt 53 4x 1 + 9x 2 = 36

53 (3.7059,2.3529) z= Ejemplo 1 4 x 1 + (4,2.14) z=14.43 x x 2 2 no factible 5 x 1 + (5,1.43) z=14.29 (4.19,2) z= x x 2 1 no factible (5.59,1) z=14.2 5x 1 + 7x 2 = 35 Nuevo óptimo: (5,1), z = 13 6 x x 1 5 (6,0.71) z=14.13 (5,1) z=13 x x 2 0 no factible (7,0) z=14 a: z opt 14,4707 Incumbent: 14 z opt 54 4x 1 + 9x 2 = 36

54 (3.7059,2.3529) z= Ejemplo 1 4 x 1 + (4,2.14) z=14.43 x x 2 2 no factible (4.19,2) z= x x 1 4 (5,1.43) z=14.29 (4,2) z=14 2 x x 2 1 no factible (5.59,1) z=14.2 5x 1 + 7x 2 = 35 Nuevo óptimo: (4,2), z = 14 6 x x 1 5 (6,0.71) z=14.13 (5,1) z=13 x x 2 0 no factible (7,0) z=14 a: z opt 14,4707 Incumbent: 14 z opt 55 4x 1 + 9x 2 = 36

55 (3.7059,2.3529) z= Ejemplo 1 4 x x 1 3 (4,2.14) z=14.43 x x 2 2 no factible (4.19,2) z= x x 1 4 (5,1.43) z=14.29 (4,2) z=14 (3,2.67) z=14 2 x x 2 1 no factible (5.59,1) z=14.2 5x 1 + 7x 2 = 35 Nuevo óptimo: (3,2,67), z = 1 6 x x 1 5 (6,0.71) z=14.13 (5,1) z=13 x x 2 0 no factible (7,0) z=14 a: z opt 14,4707 Incumbent: 14 z opt 56 4x 1 + 9x 2 = 36

56 Ejemplo 1 (3.7059,2.3529) z= x x 1 3 (4,2.14) z= x x 2 2 no factible (4.19,2) z= x x 1 4 (5,1.43) z= x x 2 1 no factible (5.59,1) z=14.2 (4,2) z=14 6 x x 1 5 (6,0.71) z=14.13 (5,1) z=13 (3,2.67) z=14 1 x x 2 0 no factible (7,0) z=14 57

57 Ramificación y acotación 1. Resolver el problema lineal relajado asociado, si la solución es entera: solución óptima, si no es entera, inicializar la cota (best bound), inicializar valor mejor sol. entera (best integer) e ir al paso Ramificación: Crear dos subproblemas a partir de una variable entera x que tome un valor fraccional x, añadiendo una nueva restricción: Binaria: x = 0 y x = 1. Entera: x [x] y x [x + 1]. 3. Acotación: en cada subproblema, determinar una cota de la función objetivo. 53

58 Ramificación y acotación 4. Descarte: Se deja de desarrollar una rama si: la solución es entera: su valor mejora el valor mejor sol. entera? actualizar best integer y comparar con la best bound. la cota de la función objetivo es peor que el valor incumbente, descartar por acotación. el problema lineal asociado es infactible. 5. Si se ha obtenido una solución entera cuyo valor alcanza la best bound, parar, se ha obtenido una solución óptima. Si se ha llegado al final de todas las ramas, parar y escoger como óptima la solución con mejor función objetivo. 54

59 Ramificación y acotación. Comentarios Obtención de buenas cotas. Formulaciones más fuertes dan lugar a mejores cotas Ir aprovechando la información que se va obteniendo al desarrollar el árbol para actualizar la best bound Criterios para obtener cotas: relajación lineal, relajación lagrangiana. Criterios de ramificación: por qué nodo seguir? Escoger el último nodo generado (fácil reoptimizar). Escoger el nodo más prometedor (mejor cota). Criterios de ramificación: por qué variable ramificar? No es una decisión trivial. Depende de la estructura del problema. 55

60 Ramificación y acotación. Comentarios Branch and Bound como heurístico La diferencia entre la mejor cota y el valor de la solución incumbente nos da una idea de la calidad de la solución incumbente. Cómo medir la calidad a partir de esa diferencia? Diferencia absoluta: cuánto es de grande? Diferencia relativa: incumbente cota cota 56

61 Comentarios finales Si el tamaño del problema es muy grande y la estructura es compleja de manejar se pueden utilizar procedimientos heurísticos. Estos procedimientos devuelven una solución cercana al óptimo en un tiempo razonable. Solvers para Programación Entera: CPLEX, LAMPS, OSL, SBB, XA, XPRESS, et. Más información en: