Capítulo 9. Procesos de transporte

Transcripción

1 Capítulo 9 Procesos de transporte 1

2 Flujo El flujo de una magnitud a través de una superficie es la cantidad de la misma que atraviesa la superficie por unidad de tiempo. Tipos de flujos: Partículas: s 1 Volumen: m 3 s 1 Masa: kg s 1 Energía: W Carga eléctrica: A El número de Avogadro y la masa molecular nos permiten pasar de un flujo de partículas a uno de masa. La densidad nos transforma un flujo de masa en uno de volumen. La densidad de flujo es el flujo a través de una superficie dividido por el área de la misma.

3 Movimiento de difusión El recorrido libre medio l corresponde a la distancia media que recorre una partícula entre dos colisiones. Dicha distancia dividida por la velocidad media es el tiempo de colisión. El recorrido libre medio vale: l = 1 4πa 2 n p siendo a el radio molecular y n p la densidad de partículas. La velocidad media de una molécula de gas viene dada por: y el tiempo de colisión por: v = 3kT m τ = l m 3kT.

4 Primera ley de Fick La densidad de flujo j x de un determinado tipo de partículas en un punto es proporcional al gradiente de su concentración correspondiente: j x = D dn dx La constante de proporcionalidad D se denomina coeficiente de difusión. En el caso general, en que hay una posible dependencia temporal, la ecuación de continuidad es: j x = n t.

5 Segunda ley de Fick En el caso unidimensional tenemos: En el caso tridimensional: n t = n D 2 x 2 n t = D 2 n x + 2 n 2 y + 2 n 2 z 2 Esta ecuación recibe el nombre de ecuación de la difusión y describe el transporte de partículas por difusión.

6 Coeficiente de difusión El coeficiente de difusión de un gas en otro es aproximadamente igual a: D = vl = v 4πa 2 n a es un valor medio de los radios moleculares de los dos tipos de partículas. La velocidad media es proporcional a T, mientras que la densidad es inversamente proporcional a T, y D es proporcional a T 3/2. El coeficiente de difusión se mide en m 2 /s. Einstein encontró que para una partícula en un fluido D vale: D = kt F = kt 6πηa η es el coeficiente de viscosidad y a el radio de la partícula.

7 Caso estacionario unidimensional La densidad de flujo es igual a: j = D n 2 n 1 x 2 x 1 n 1 y n 2 son las concentraciones en los puntos x 1 y x 2, respectivamente. La concentración es: n = n 1 + (n 2 n 1 ) x x 1 x 2 x 1

8 Caso estacionario esférico La densidad de flujo es de la forma: en donde la constante b vale: j = b r 2 b = D(n 2 n 1 ) 1 r 2 1 r 1 La concentración es igual a ( 1 r 1 r1 ) n = n 1 + b D La difusión desde una zona pequeña a todo el espacio corresponde a considerar n 2 = 0 en r 2 =.

9 Dependencia temporal El tiempo de igualación de una diferencia de concentraciones entre dos regiones a una distancia L es aproximadamente: t L2 D La distancia que recorre una partícula en función del tiempo en un movimiento de difusión es: L Dt

10 Difusión del calor La densidad del flujo de calor es proporcional al gradiente de temperaturas Q St = K T x K se denomina conductividad térmica, y se mide en W/(m K). La temperatura se difunde de forma similar a las partículas. El coeficiente de difusión térmica vale: D t = K ρc p El coeficiente de difusión térmica del aire vale m 2 /s.

11 Problemas estacionarios Caso unidimensional: entre dos puntos x 1 y x 2, a temperaturas T 1 y T 2, se establece un flujo calorífico: La temperatura, a su vez, es: Q St = K T 2 T 1 x 2 x 1 T = T 1 + T 2 T 1 x 2 x 1 (x x 1 ) Caso esférico: la densidad de flujo calorífico es: j q = K(T 2 T 1 ) r 2 La temperatura varía de la forma: T = T 1 + (T 2 T 1 ) ( 1 r2 1 r1 ) 1 1 r 1 r 1 1 r 2 1 r 1

12 Otras formas de transporte calorífico Convección: se produce cuando el medio en sí se mueve formando una corriente. Radiación: El calor perdido (o ganado) por unidad de área y de tiempo, R, viene dado por: R = ɛσ(t 4 T 4 0 ) en donde σ es la constante de Stefan Boltzmann, igual a W/(m 2 K 4 ), ɛ es la emisividad del cuerpo, es aproximadamente igual a 0.3; T es la temperatura absoluta del cuerpo y T 0 la del entorno. Evaporación: el calor latente de evaporación vale, aproximadamente, J kg 1.

13 Presión osmótica La presión osmótica es igual a: p o = n srt V = N skt V en donde n s es el número de moles y N s el de partículas del soluto. Si existen varias sustancias disueltas, la presión osmótica es la suma de las presiones debidas a cada una de ellas. La osmolaridad es igual al número de moles de solutos impermeables por litro de disolución. La presión osmótica correspondiente a una disolución de osmolaridad igual a la unidad es de 22.4 atm. La energía necesaria para separar por ósmosis inversa es: W = p V

14 Transporte a través de membranas La densidad de flujo j a través de una membrana es: j = L p L es el coeficiente de filtración de la membrana igual a: L = CπR4 8ηd R es el radio de un poro y d el grosor de la membrana. La densidad de flujo de soluto en una disolución es proporcional a la diferencia de concentraciones: j s = ωrt n ω recibe el nombre de permeabilidad de la membrana. Si el transporte es por difusión ωrt = D/d, y si es a través de poros: ωrt = CπR2 D d

15 Problema 9.1 Las moléculas de un gas poseen una masa de 46 u. El gas tiene una densidad de 1.5 kg/m 3. En un punto existe un flujo de partículas de s 1. Obtén el flujo de volumen y el flujo de masa correspondientes a dicho flujo de partículas.

16 Problema 9.2 El flujo de partículas de una sustancia disuelta en un líquido es de s 1. El flujo de masa correspondiente es de 10 5 kg/s. Cuál es la masa molecular de la sustancia?

17 Problema 9.3 Calcula el recorrido libre medio de un gas a una presión de 0.5 atm y una temperatura de 100 K. Supón un radio medio de las moléculas de 3 Å.

18 Problema 9.4 Estima el coeficiente de difusión de la hemoglobina en el agua a 20 C, sabiendo que η = N s/m 2 y que el radio efectivo de la hemoglobina es de 5.2 nm.

19 Problema 9.5 Tenemos una disolución acuosa de azúcar entre los planos de coordenadas x = 0 y x = 0.2 m. La concentración de azúcar en el primer plano es constante, igual a 2 mol/l y en el segundo igual a 0.2 mol/l. Calcula: (a) la concentración de azúcar entre los dos planos, (b) la densidad de flujo de partículas de azúcar, (c) la densidad de flujo de masa, sabiendo que la masa molecular del azúcar es de 180 u, (d) la velocidad de arrastre de las partículas de azúcar, (e) su velocidad media a una temperatura de 0 C, (f) el radio efectivo de la molécula de azúcar (a partir del coeficiente de difusión).

20 Problema 9.6 Un objeto de 1 mm de radio sumergido en agua desprende una sustancia con una concentración de 10 4 mol/l. El coeficiente de difusión de la sustancia en el agua es de 10 9 m 2 /s. Cuántas partículas de la sustancia se difunden hacia el agua por minuto?

21 Problema 9.7 Dejamos una mota de tinta en agua. Si el coeficiente de difusión de la tinta utilizada en el agua es de 10 9 m 2 /s, cuánto tiempo tarda la tinta en ocupar una nube esférica de 10 cm de radio?

22 Problema 9.8 Tenemos una barra de hierro de 0.1 m 2 de sección y 0.7 m de longitud. Uno de sus extremos se mantiene a 150 C y el otro a 0 C. Determina: (a) la temperatura a lo largo de la barra, (b) la densidad de flujo calorífico, (c) las calorías que se han transmitido por la barra en una hora.

23 Problema 9.9 Cuánto desciende en un segundo la temperatura de un cubito de hielo de 3 cm de radio y a 30 C cuando está en contacto con agua a 25 C? Qué tiempo tardaría en alcanzar los 0 C?

24 Problema 9.10 Calcula la conductividad térmica del aire a partir de su coeficiente de difusión térmica, densidad y calor específico.

25 Problema 9.11 Si la temperatura en nuestra piel es de 37 C y en nuestro entorno de 24 C, y podemos suponer que el calor se difunde como si fuéramos un objeto esférico de 1.8 m 2 de superficie, cuánto calor por unidad de tiempo perdemos por conducción?

26 Problema 9.12 Halla la potencia perdida por radiación por una persona de 1.7 m 2 de superficie corporal y 37 C de temperatura en un lugar a 20 C. Supón un coeficiente de emisividad de 0.3.

27 Problema 9.13 La concentración de hemoglobina en el interior de un glóbulo rojo posee una osmolaridad de 0.01 mol/l. Determina la presión osmótica que se establece cuando sumergimos un glóbulo rojo en agua destilada a 20 C.

28 Problema 9.14 Cuántos kilogramos de glucosa hay que disolver por metro cúbico de agua para obtener una disolución isotónica, o sea, de 0.3 osmol/l? La masa molecular de la glucosa es de 180 u. Cuál será la presión osmótica de la disolución a 36 C?

29 Problema 9.15 Qué cantidad de cloruro sódico hay que añadir por litro de agua para obtener la misma presión osmótica que la del agua del mar, que es de 25.8 atm a 20 C? (Supón que la sal se disocia completamente.)

30 Problema 9.16 Qué energía mínima se necesita para desalinizar por ósmosis inversa 1 m 3 de agua con una osmolaridad de 1.1 osmol/l a 23 C? Compara el resultado con la energía requerida para evaporar la misma cantidad de agua. Si el precio de 1 kw-h de energía es de 15 pesetas, cuál es el costo mínimo para desalinizar 1 m 3 de dicha agua?

31 Problema 9.17 La presión osmótica de una disolución acuosa a 25 C es de 2.5 atm y su densidad es de 1.02 kg/l. Cuál es la masa molecular del soluto?

32 Problema 9.18 Si la presión osmótica del plasma es de 28 mm de Hg, qué potencia neta consumen los riñones para filtrar 180 litros diarios del mismo por ósmosis inversa?

33 Problema 9.19 Un recipiente con una disolución acuosa de masa molecular 200 u está separado por una membrana semipermeable de otro con agua pura. Si la temperatura es de 20 C y la diferencia de niveles de los recipientes es de 1 cm, Cuál es la concentración de la disolución?

34 Problema 9.20 Una membrana de 0.5 mm de espesor posee 100 poros por centímetro cuadrado. El radio de un poro es de 0.6 mm, y el área de la membrana de 0.1 m 2. La membrana constituye la base de un cilindro lleno de agua, hasta una altura de 1 m. Determina: (a) el coeficiente de filtración de la membrana, (b) el volumen de agua que atraviesa la membrana por unidad de tiempo al principio, (c) la variación de la altura de la columna de agua con el tiempo.

35 Problema 9.21 Una máquina de diálisis posee una membrana que separa el fluido corporal cuyo contenido de uréa se quiere reducir de un volumen muy grande de fluido, que podemos suponer que no contiene uréa. El área de la membrana es de 0.5 m 2 y la permeabilidad es de ωrt = m/s. El fluido corporal que deseamos filtrar posee un volumen de 30 l y una concentración de nitrógeno de 0.9 g/l. Calcula el flujo de nitrógeno que se filtra inicialmente. Prueba que la concentración de nitrógeno en el fluido es una función exponencial, si suponemos infinito el volumen del líquido externo. Encuentra el tiempo necesario para reducir la concentración de nitrógeno a la mitad.

36 9.1 Las moléculas de un gas poseen una masa de 46 u. El gas tiene una densidad de 1.5 kg/m 3. En un punto existe un flujo de partículas de s 1. Obtén el flujo de volumen y el flujo de masa correspondientes a dicho flujo de partículas. Un mol de la sustancia considerada pesa 46 g y contiene N A moléculas. Por tanto, el flujo de masa es: φ masa = φ part N A = = kg/s. La densidad es el factor que nos pasa de flujo de masa a flujo de volumen: φ vol = φ masa ρ = = m 3 /s.

37 9.2 El flujo de partículas de una sustancia disuelta en un líquido es de s 1. El flujo de masa correspondiente es de 10 5 kg/s. Cuál es la masa molecular de la sustancia? La masa molecular de la sustancia es: x = N Aφ masa φ part 1000 = = 201 u.

38 9.3 Calcula el recorrido libre medio de un gas a una presión de 0.5 atm y una temperatura de 100 K. Supón un radio medio de las moléculas de 3 Å. El recorrido libre medio depende de la densidad de partículas, dada por: n p = N V = nn A V = pv V kt El recorrido libre medio es: l = 1 4πa 2 n p = = = m π = m.

39 9.4 Estima el coeficiente de difusión de la hemoglobina en el agua a 20 C, sabiendo que η = N s/m 2 y que el radio efectivo de la hemoglobina es de 5.2 nm. El coeficiente de difusión de la hemoglobina en agua es: D = kt 6πηa = π = m 2 /s.

40 9.5 Tenemos una disolución acuosa de azúcar entre los planos de coordenadas x = 0 y x = 0.2 m. La concentración de azúcar en el primer plano es constante, igual a 2 mol/l y en el segundo igual a 0.2 mol/l. Calcula: (a) la concentración de azúcar entre los dos planos, (b) la densidad de flujo de partículas de azúcar, (c) la densidad de flujo de masa, sabiendo que la masa molecular del azúcar es de 180 u, (d) la velocidad de arrastre de las partículas de azúcar, (e) su velocidad media a una temperatura de 0 C, (f) el radio efectivo de la molécula de azúcar (a partir del coeficiente de difusión). (a) La concentración de azúcar entre los planos variará linealmente con la distancia y por tanto: n(x) = n 1 + (n 2 n 1 ) x x 1 x 2 x 1 = x 0.2 (b) La densidad de flujo viene dada por: = 2 9x mol/l. j = D n 2 n 1 = (0.2 2) 1000 x 2 x = mol/(s m 2 ). Y la densidad de flujo de partículas es igual a: j p = jn A = = s 1 m 2. (c) La densidad de flujo de masa es: j m = = kg/(s m 2 ). (d) La velocidad de arrastre la deducimos a partir de la densidad de flujo de partículas y de la densidad de partículas. Si una cantidad j de

41 partículas atraviesa una sección unidad es como si las n partículas por unidad de volumen poseyeran una velocidad igual a: v a = j p = N A = n p n(x) N A = x 10 9 m/s (2 9x)1000 (e) La velocidad media de las moléculas de azúcar viene dada por: v = 3kT m = = 194 m/s (f) El radio efectivo de la molécula de azúcar será: a = kt 6πηD = π = m.

42 9.6 Un objeto de 1 mm de radio sumergido en agua desprende una sustancia con una concentración de 10 4 mol/l. El coeficiente de difusión de la sustancia en el agua es de 10 9 m 2 /s. Cuántas partículas de la sustancia se difunden hacia el agua por minuto? La densidad de flujo en el caso estacionario esférico viene dada por: j = b r = 1 D(n 2 n 1 ) 2 r 2 1 r 2 1 = Dn 1r 1. r 1 r 2 Hemos supuesto n 2 = 0 y r 2 =. El flujo de partículas es: φ p = 4πr 2 jn A = 4πDn 1 r 1 jn A = 4π = s 1 = /min.

43 9.7 Dejamos una mota de tinta en agua. Si el coeficiente de difusión de la tinta utilizada en el agua es de 10 9 m 2 /s, cuánto tiempo tarda la tinta en ocupar una nube esférica de 10 cm de radio? El tiempo que tarda una sustancia en difundirse es: t = L2 D = = 107 s.

44 9.8 Tenemos una barra de hierro de 0.1 m 2 de sección y 0.7 m de longitud. Uno de sus extremos se mantiene a 150 C y el otro a 0 C. Determina: (a) la temperatura a lo largo de la barra, (b) la densidad de flujo calorífico, (c) las calorías que se han transmitido por la barra en una hora. (a) Supongamos que el extremo a 0 C se encuentra en x = 0 y el otro en x = L = 0.7 m. La temperatura en función de x es: T = T 1 + T 2 T 1 L x = x = 214x C. (b) La densidad de flujo calorífico viene dada por: j q = k T 2 T 1 x 2 x 1 = = W/m 2. (c) Durante 1 hora la barra transmite un total de calorías igual a: Q = j q St = = J = 1390 kcal.

45 9.9 Cuánto desciende en un segundo la temperatura de un cubito de hielo de 3 cm de radio y a 30 C cuando está en contacto con agua a 25 C? Qué tiempo tardaría en alcanzar los 0 C? La densidad de flujo calorífico en el caso esférico viene dada por j q = b r = 1 K(T 2 T 1 ) 2 r = r 2 r r20.54 ( ) 0.03 = W/m 2. r 2 El descenso de temperatura del hielo en un segundo es: T = Q c p m = 4πr2 j q t c p m = 4π π = C. La ecuación que nos da el cambio de temperatura es: dt dt = 4πr2 j q c p m = 4πKr 1 c p m (25 T ) 4π = π (25 T ) = (25 T ). La solución a esta ecuación es de la forma: T = 25 Ae αt. A ha de ser 55 C para que en t = 0 la temperatura sea T = 30 C. α se determina a partir de la ecuación diferencial y sale: α = /s. El tiempo necesario para llegar a T = 0 C es: 0 = 25 55e αt = t = 1 α 55 ln 25 = 0.79 = 839 s

46 9.10 Calcula la conductividad térmica del aire a partir de su coeficiente de difusión térmica, densidad y calor específico. La conductividad térmica es igual a: K = D t ρc p = = W/(m K). El valor experimental es de W/(m K).

47 9.11 Si la temperatura en nuestra piel es de 37 C y en nuestro entorno de 24 C, y podemos suponer que el calor se difunde como si fuéramos un objeto esférico de 1.8 m 2 de superficie, cuánto calor por unidad de tiempo perdemos por conducción? El calor que perdemos por conducción por unidad de tiempo es: Q t = j q 4πr 2 = 4πK(T 2 T 1 )r 1 = 4π0.024(24 37) 1.8 = 1.48 J/s. 4π Hemos supuesto que la temperatura de nuestro entorno se consigue en r 2 =.

48 9.12 Halla la potencia perdida por radiación por una persona de 1.7 m 2 de superficie corporal y 37 C de temperatura en un lugar a 20 C. Supón un coeficiente de emisividad de 0.3. El calor perdido por radiación por unidad de tiempo es: Q t = Sɛσ(T 4 T 4 0 ) = ( ) = 54 J/s.

49 9.13 La concentración de hemoglobina en el interior de un glóbulo rojo posee una osmolaridad de 0.01 mol/l. Determina la presión osmótica que se establece cuando sumergimos un glóbulo rojo en agua destilada a 20 C. La presión osmótica entre el interior y el exterior de un glóbulo rojo es: p = nrt V = = N/m 2 = 0.24 atm.

50 9.14 Cuántos kilogramos de glucosa hay que disolver por metro cúbico de agua para obtener una disolución isotónica, o sea, de 0.3 osmol/l? La masa molecular de la glucosa es de 180 u. Cuál será la presión osmótica de la disolución a 36 C? Suponiendo que todas las moléculas de azúcar se disocian, la cantidad que necesitamos es: La presión osmótica es: m = cv = = 54 kg. p = nrt V = = N/m 2 = 7.6 atm.

51 9.15 Qué cantidad de cloruro sódico hay que añadir por litro de agua para obtener la misma presión osmótica que la del agua del mar, que es de 25.8 atm a 20 C? (Supón que la sal se disocia completamente.) El número de osmoles por litro que producen la presión osmótica dada es de: n = pv = = 1.07 osmoles. RT Suponiendo una disociación total, estos osmoles equivalen a una masa de: m = = 31.5 g. 2 en donde 58.8 u es la masa molecular del cloruro sódico, y el factor 2 se debe a que se disocia en dos iones.

52 9.16 Qué energía mínima se necesita para desalinizar por ósmosis inversa 1 m 3 de agua con una osmolaridad de 1.1 osmol/l a 23 C? Compara el resultado con la energía requerida para evaporar la misma cantidad de agua. Si el precio de 1 kw-h de energía es de 15 pesetas, cuál es el costo mínimo para desalinizar 1 m 3 de dicha agua? La presión osmótica correspondiente a agua con esa osmolaridad es: p = nrt V = = N/m 2. El trabajo mínimo que hemos de hacer para desalinizar 1 m 3 de esa agua es: W = pv = = J. La energía requerida para evaporar esa cantidad de agua (supuesta ya a 100 C) es: E = ml V = = J. El costo mínimo de desalinización por metro cúbico de agua es: C = = 11.3 pts.

53 9.17 La presión osmótica de una disolución acuosa a 25 C es de 2.5 atm y su densidad es de 1.02 kg/l. Cuál es la masa molecular del soluto? El número de moles disueltos en un litro será: n = pv RT = = moles. Estos moles han de corresponder a 20 g, pues la densidad total es 1.02 kg/l. Así, la masa molecular del soluto es: m = = 196 u.

54 9.18 Si la presión osmótica del plasma es de 28 mm de Hg, qué potencia neta consumen los riñones para filtrar 180 litros diarios del mismo por ósmosis inversa? La potencia que consumen los riñones es igual a: P = W t = pv t = = W.

55 9.19 Un recipiente con una disolución acuosa de masa molecular 200 u está separado por una membrana semipermeable de otro con agua pura. Si la temperatura es de 20 C y la diferencia de niveles de los recipientes es de 1 cm, Cuál es la concentración de la disolución? El número de moles por unidad de volumen es: n V = p RT = ρgh RT La concentración es de: = = 0.04 mol/m 3. C = = 8 g/m 3.

56 9.20 Una membrana de 0.5 mm de espesor posee 100 poros por centímetro cuadrado. El radio de un poro es de 0.6 mm, y el área de la membrana de 0.1 m 2. La membrana constituye la base de un cilindro lleno de agua, hasta una altura de 1 m. Determina: (a) el coeficiente de filtración de la membrana, (b) el volumen de agua que atraviesa la membrana por unidad de tiempo al principio, (c) la variación de la altura de la columna de agua con el tiempo. (a) El coeficiente de filtración de la membrana vale: L = CπR4 8ηd = 0.01π = m 3 /(N s). (b) En el instante inicial el volumen de agua que atraviesa la membrana por unidad de tiempo es: V t = JS = L p S = = m 3 /s. (c) La variación de la altura de la columna con el tiempo viene dada por: dx dt = V = J = L p = Lρgx. ts La solución de esta ecuación es: x = x 0 exp { Lρgt}.

57 9.21 Una máquina de diálisis posee una membrana que separa el fluido corporal cuyo contenido de uréa se quiere reducir de un volumen muy grande de fluido, que podemos suponer que no contiene uréa. El área de la membrana es de 0.5 m 2 y la permeabilidad es de ωrt = m/s. El fluido corporal que deseamos filtrar posee un volumen de 30 l y una concentración de nitrógeno de 0.9 g/l. Calcula el flujo de nitrógeno que se filtra inicialmente. Prueba que la concentración de nitrógeno en el fluido es una función exponencial, si suponemos infinito el volumen del líquido externo. Encuentra el tiempo necesario para reducir la concentración de nitrógeno a la mitad. El flujo inicial de nitrógeno filtrado es: φ = JS = ωrt ns = = kg/s. La variación de concentración de nitrógeno viene dada por: La solución de esta ecuación es: dn dt = φ V = ωrt (n 0) S V. n = n 0 exp { } ωrt St. V Cuando la concentración se reduce a la mitad t 1 verifica: Despejando t 1 se obtiene: t 1 = V ln 2 ωrt S { 1 2 = exp ωrt St 1 V }. = = s.