Simulación y optimización 1

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1 Simulación y optimización 1 Carlos E. Azofeifa 2 Resumen Se presenta el complemento de Ball como una herramienta eficaz en problemas típicos de optimización de modelos bajo presencia de incertidumbre. Para ello se utiliza el OptQuest Ball el cual encuentra mediante técnicas avanzadas de optimización la combinación correcta de variables para producir el mejor resultado posible en modelos de simulación. Se resolverá primeramente el problema usando Solver, luego se comparan y analizan los resultados obtenidos con lo realizado en OptQuest. Palabras claves: pronóstico, optimización, estadística, riesgo, incertidumbre, Montecarlo, hipercubo latino Introducción Un problema relevante de un administrador o de un ingeniero en un ambiente altamente globalizado es realizar excelentes pronósticos del futuro, sobre todo en presencia de riesgo e incertidumbre. Por ejemplo, en problemas cotidianos de nuestro entorno como maximizar un portafolio de inversiones. Al considerar el modelo matemático de este portafolio, observamos que no es difícil encontrar una solución de manera que el retorno esperado sea máximo, esta posible solución del problema puede ser encontrada usando programación lineal en el caso en que el modelo se comporte como tal, o bien utilizando un método alternativo. Sin embargo esta solución solamente es una respuesta al momento presente, seguirá siendo válida dentro de un año, un mes o tres años?, o a largo plazo cuál será la mejor inversión? Observemos que no solamente queremos hacer un buen pronóstico de las inversiones, sino además queremos que éstas sean máximas en determinado tiempo, es decir que alcancen valores óptimos. Así esperaremos al final del proyecto de inversión un retorno máximo. Por tanto al hacerse más complejo el mundo de los negocios, ha aumentado la necesidad de asegurar, sobre cierta base racional, el futuro. Se necesitan planear ventas, tasas de interés para futuras inversiones, indicadores económicos para planeamiento financiero, niveles de ingreso, inventarios, tasas de natalidad, desempleo, etc. En el caso de optimizar un modelo lineal usando Solver de Excel y realizando el estudio de sensibilidad, podríamos mantener válida nuestra solución siempre y cuando, nuestras variables tengan un dominio adecuado dentro de los rangos asignados en el estudio de sensibilidad, de lo contrario tendríamos que volver a optimizar en cada caso y por tanto cambiar de nuevo nuestra inversión para posibles cambios del dominio de las variables. Optimización Un ejercicio cotidiano es elegir la opción más adecuada entre varias opciones, es decir, encontrar la mejor solución a un problema determinado, entre un conjunto factible de soluciones. La mayoría de las veces se nos presenta un conjunto grande de posibles restricciones y debemos obtener un modelo matemático del problema para poder resolverlo, desde luego también queremos que este modelo sea lo más cercano a la descripción del problema real. La teoría que nos proporciona los resultados y herramientas adecuadas para estudiar este tipo de problemas se llama Optimización Matemática. Las aportaciones de esta teoría se remontan a los años cuarenta y cincuenta del siglo pasado. Entre sus ramas importantes podemos mencionar la Programación 1 Este artículo fue financiado por el Proyecto No 820-A2-115, inscrito en la Vicerrectoría de Investigación de la U.C.R 2 Profesor Escuela de Matemática U.C.R U.N.A 1

2 lineal y no lineal, Programación entera, Programación Convexa, Optimización Dinámica, etc, siendo indispensable también un conocimiento general en Algebra Lineal y Análisis Matemático. En este tipo de problemas podemos encontrar optimización sin restricciones y con restricciones, sin embargo podemos observar que todos estos problemas sean con más o menos componentes matemáticos son determinísticos, es decir, cada uno de ellos se puede resolver con la técnica adecuada. Si no existen restricciones o bien la restricción es de igualdad y con un número menor o igual de variables que la función objetivo, entonces la respuesta al problema es el cálculo diferencial, pues solamente lo que necesitamos es buscar los extremos de una función; esto es, lo que conocemos como Optimización clásica. En cambio, si las restricciones contienen una cantidad mayor de variables que la función objetivo o hay restricciones de desigualdad, es fácil encontrar métodos de resolución. Por ejemplo, si las restricciones y la función objetivo son lineales se utiliza la Programación Lineal y el Solver de Excel (Optimización no clásica). Por el contrario, si las condiciones no se cumplen, tenemos las llamadas Condiciones de Khun-Tucker, que en algunos casos funcionan para localizar puntos críticos. En otros casos cuando fallan por ejemplo las condiciones anteriores se pueden usar en caso de tener información imperfecta (la función objetivo puede no conocerse) métodos numéricos, como por ejemplo el método de Runge Kuta (Matemática borrosa). Estos procesos de optimización tienen como propósito central asignar de la mejor manera posible los recursos para lograr el máximo de una función objetivo, teniendo en cuenta pocas o muchas restricciones. Es decir, debemos escoger los mejores valores para el conjunto formado por las variables de decisión con el fin de minimizar o maximizar una función objetivo satisfaciendo limitaciones o restricciones de estas variables, usualmente las restricciones se aplican mediante ecuaciones o inecuaciones. Por tanto debemos tener un modelo matemático que especifique la variable objetivo, por ejemplo: 1-.Maximizar utilidades o la producción, minimizar costos o recursos. 2-.Un conjunto de restricciones, y 3-.Un conjunto de variables de decisión. Ahora vamos a resolver un problema determinístico, a saber: optimizar un portafolio de inversiones usando Solver Problema de administración de cartera de valores El gerente de cartera de una administradora de pensiones, se le ha pide invertir $ del fondo de pensiones. El departamento de investigación de Inversiones ha identificado 6 fondos con estrategias de inversión variables, resultando en diferentes rendimientos potenciales, como se resume en la siguiente tabla: Tasa esperada de rendimiento de seis fondos de inversión ubicados en Fondos Devolución esperada % Ml Antonio Nicoya B Drake Escazú Jacó Parrita Una manera de controlar el riesgo es limitar la cantidad de dinero invertido en los diversos fondos. Para ese fin, la administración ha especificado las siguientes pautas: 1. La cantidad invertida en Manuel Antonio debe ser al menos de un 30% de la cartera. 2. La cantidad total invertida en Nicoya no debe ser mayor al 40% de la cartera. 3. La cantidad total invertida en Jacó no debe ser mayor al 25% de la cartera 4. La cantidad total invertida en Escazú no debe ser mayor al 25% de la cartera 5. La cantidad invertida en Parrita debe ser al menos de un 10% de la cartera 2

3 De acuerdo a las pautas anteriores, qué cartera debería recomendar el gerente para maximizar la tasa esperada de retorno? Planteamos y resolvemos el problema primeramente usando la hoja electrónica Excel. Su presentación y solución en la hoja se puede observar de la siguiente manera Para su resolución utilizamos Solver el cual se encuentra en Herramientas. Llenamos la información pedida de la siguiente manera: Haciendo clic en Opciones de Solver, ponemos además la siguiente información: Una vez que Solver ha resuelto el problema, coloca el siguiente mensaje: 3

4 Observamos que podemos marcar tres informes: Informe de Respuestas, Sensibilidad y de Límites, en el caso de marcar el informe de sensibilidad se obtiene la siguiente información: Podemos observar en las celdas G9:G14 el aumento permitido a los coeficientes de rentabilidad de manera que la solución no cambie, de igual manera se tienen en las celdas H9:H14 los decrementos permitidos a los coeficientes de rentabilidad para mantener la solución. En caso de que los coeficientes tomen valores fuera de estos dominios, tendríamos que volver a resolver el problema y posiblemente retomar el nuevo plan de inversión. En presencia de incertidumbre Ahora bien, por lo general los modelos de optimización no son completamente determinísticos, en la mayoría de los casos los datos presentan incertidumbre, lo que implica un riesgo el uso de la solución del problema. En el caso en que algunas variables tengan un comportamiento de alguna distribución de probabilidad, entonces los métodos anteriores se vuelven ineficientes, necesitan complementarse para poder tomar decisiones acertadas en caso de incertidumbre. Una ventaja de aplicar el método de simulación al proceso de optimización es que permite abordar problemas con incertidumbre, por eso los valores que arroja el proceso de optimización para las variables de control son valores óptimos. Además en un modelo de optimización probabilística las variables pronosticadas tendrán funciones de distribución condicionadas al conjunto de variables de decisión. 4

5 Desarrollo Hoy día con ayuda del computador, podemos realizar todas las actividades anteriores de manera fácil en hojas electrónicas como Excel, con ayuda de sus Ball. Estos softwares combinan simulación y optimización para encontrar el óptimo de modelos que contienen factores de incertidumbre. Algunos problemas que no se pueden resolver por métodos de optimización estándar lineales y no lineales, pueden ser resueltos por ejemplo, el RISKOptimizer el cual combina toda la tecnología análisis de riesgo, y Evolver, algoritmos genéticos de Palisade basados en Solver. Cuándo debemos usar RISKOptimizer? Cuándo debemos encontrar soluciones óptimas en problemas que contienen variables fuera de nuestro control y las cuales toman valores no conocidos? Variables de decisión Las variables de decisión requieren para su definición: 1.Límites: Estos determinan el rango que puede asumir la variable 2.Tipo: Si es discreta o continua 3.Pasos: Define las diferencias entre valores sucesivos de la variable. En algunos casos las variables continuas también requieren esta determinación. Mediante simulaciones se encuentra el mejor valor de estas variables. En el caso de Crystal Ball se tiene el complemento de Decisioneering: OptQuest para encontrar soluciones óptimas para hojas de cálculo con simulaciones. Esta técnica también está diseñada para encontrar soluciones que satisfacen una amplia variedad de limitaciones o restricciones. Proceso básico para la ejecución de OptQuest Crear el modelo de Crystal Ball de la variable de decisión Defina las variables de decisión con Crystal Ball Use OptQuest para seleccionar las variables a optimizar Especifique las restricciones de las variables de decisión Seleccione el pronóstico objetivo y defina todos los requerimientos Seleccione opciones de optimización Interprete los resultados. Con Crystal Ball el CB Predictor puede ser usado solamente para analizar los efectos de incertidumbre en pronósticos. Para el caso de optimizar con Crystal Ball se tiene OptQuest, con este producto se puede analizar el riesgo de nuevos mercados, evaluar experimentos e hipótesis, maximizar el tiempo, el dinero, etc. Lo más interesante es que para usar el OptQuest no se necesita mucho conocimiento estadístico, matemático o computacional para lograr el uso adecuado de la herramienta, lo cual podría ser tedioso y consumirle mucho tiempo en el caso de querer hacerlo manualmente. Para ilustrar el proceso retomaremos el problema anterior y le aplicaremos esta herramienta. Haciendo pruebas de bondad de ajuste tenemos los siguientes supuestos para los retornos de los fondos de inversión: Celda B5: una distribución uniforme con un mínimo de un 17% y un máximo de un 25% Celda C5: una distribución uniforme con un mínimo de un 18% y un máximo de un 23% Celda D5: una distribución uniforme con un mínimo de 16% y un máximo de 22% Celda E5: una distribución triangular con un mínimo de 12% y un máximo de 18% Celda F5: una distribución uniforme con un mínimo de 17% y un máximo de 25% Celda G5: una distribución uniforme con un mínimo de 10% y un máximo de 17% Por ejemplo, la información en la celda G5 se vería así: 5

6 De igual manera para las otras celdas. En el caso de la celda de salida, se tiene: En correr preferencias marcamos Para definir las variables de decisión, como por ejemplo en el caso de Parrita, nos posesionamos en la celda de interés en este caso G8, luego vamos a Cell Define decision y colocamos la información necesaria acerca del fondo de Parrita con las restricciones necesarias como se muestra en la siguiente figura. 6

7 Ahora hacemos clic en OptQuest / New Y creamos un archivo nuevo de optimización, donde se declaran los nombres de las variables así como sus limitaciones y naturaleza: Hacemos clic en Aceptar, también debemos especificar las restricciones, en este caso damos clic en Sum All variables, luego insertamos el uno. La pantalla debe verse así: Haciendo clic en Aceptar, seleccionamos en Select: Maximize Objective y como pronóstico estadístico el promedio o media. 7

8 Si hacemos clic en Aceptar, luego OptQuest nos pregunta si corremos la optimización Escogemos Sí, para obtener las siguiente información acerca del progreso de la optimización. También se ofrece de manera simultánea un progreso gráfico del proceso, así como un resumen del trabajo realizado. Digitamos un tiempo de optimización de cinco minutos, veamos los resultados: 8

9 Interpretación de resultados Puede suceder que la mejor solución identificada en el proceso no sea la solución verdadera del problema, pero esperamos que esté lo suficientemente cercana a la solución óptima. También la calidad de los resultados depende del tiempo seleccionado de búsqueda, la velocidad de la computadora, el número de variables de decisión y de hecho, de la complejidad del problema a resolver. Podemos observar que en la resolución del problema determinístico con Solver el rendimiento esperado del portafolio (optimizado por Solver) es del 21,15%, invirtiendo $ en Ml Antonio, $ en Escazú, $ en Jacó y $ en Parrita, además, no se debe invertir en Nicoya y B Drake. Esta inversión es para el momento presente, en cambio para el caso resuelto con OptQuest entendemos que es una inversión a largo plazo y por tanto se recomienda invertir $ en Ml Antonio, $ en Jacó, $ en Parrita y no invertir en B Drake, Escazú y Nicoya. Lo interesante es que al trasladar la inversión de Escazú a Ml Antonio, el retorno esperado del portafolio es mayor a largo plazo (0,2125). También aquí se recomienda no invertir en Nicoya y B Drake. Por supuesto que todo lo anterior es la respuesta a los rendimientos presentes (en el caso de Solver) y otros rendimientos posibles (a largo plazo) de acuerdo al comportamiento probabilística de los retornos en los fondos de inversión (en el caso de OptQuest). Se deben considerar otras variables que podrían también influir en los montos a invertir en los distintos fondos, como por ejemplo: cambios políticos, otros proyectos turísticos, marinas, centros comerciales, complejos habitacionales, cambios climáticos, bonanza económica, tratados de libre comercio, mano de obra disponible, etc. Todo lo anterior forma parte del conjunto de información para una toma de decisiones acertada, en escenarios donde hay presencia de incertidumbre de las variables consideradas. Una vez obtenida la solución óptima del problema nos gustaría también examinar el proceso de Simulación Ball usando los valores de la solución óptima para tener una idea del riesgo asociado al usar la solución recomendada por OptQuest. A continuación realizamos una simulación de 5000 ensayos con la solución recomendada, en efecto; Observamos que el retorno esperado del rendimiento del portafolio es de un 21%, valor bastante cercano al valor óptimo encontrado por OptQuest, en efecto: 9

10 Aquí podemos obtener también mucha información valiosa usando la distribución normal de la salida del pronóstico, por ejemplo cuál es la probabilidad de que el retorno de la cartera se encuentre entre un 19% y un 22%?, o cuál es la probabilidad de que éste sea mayor al 20%?, o menor al 16%, cuál es el retorno menor o cuál es el más alto?, etc. Información sobre la variabilidad del proceso es importante, para nuestro caso observamos una variabilidad pequeña observando la desviación estándar. Conclusión Para obtener información adecuada bajo un respaldo estadístico con el fin de escoger el modelo más confiable de pronóstico de una manera rápida y fácil tenemos un Ball, él nos proporciona las herramientas adecuadas cuando Solver no puede resolver nuestros problemas, ya sea por tener incertidumbre, o bien por no cumplir las características necesarias, para ello contamos con: la simulación Montecarlo para efectos de riesgo de inversión, el CB Predictor para realizar pronósticos con los estudios estadísticos correspondientes que respaldan la escogencia del método adecuado, y, el OptQuest para encontrar la solución o inversión adecuada a largo plazo optimizando el retorno del portafolio Bibliografía 1. Anderson, Sweeney, Williams. Métodos cuantitativos para los negocios. Séptima edición. México. Editorial Thomson Azarang,M-Gracía, E. Simulación y análisis de modelos estocásticos. McGraw-Hill. México Bierman, Bonini, Hausman. Análisis cuantitativo para la toma de decisiones. Editorial McGraw-Hill. México Crystal Ball. OptQuest 2.1 User Manual Decisioneering. Denver, Colorado Eppen, F/ Gould, G/ Schmidt, C.P/ Moore, J/ Weatherford, L. Investigación de operaciones en la ciencia administrativa. Prentice Hall. México Evans J-Olson D. Introduction to Simulation and Risk Analysis. Prentice Hall.New Jersey Hanke / Reitsch. Pronósticos en los negocios. Prentice Hall. México Hillier /Hillier/Lieberman. Métodos cuantitativos para administración. Un enfoque y casos de estudio, con hoja de cálculo. McGraw-Hill, Inc. México Makridakis.S. Forcasting in the 21st Century, Internacional Journal of forcasting, 7(2)(1991): Mathur, K/ Solow, D. Investigación de operaciones. El arte de la toma de decisiones. Prentice Hall. México