Cátedra Bolívar.Temas de Teoría Económica y su Método 11. Documento 113:

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1 Cáedra Bolívar.Temas de Teoría Económica y su Méodo 11. Documeno 113: hp://ideas.repec.org/s/eaa/ecodev.hml Publicaciones de la Cáedra Bolívar. Faculad de Economía y Empresa de la USC. Direcor Luis Caramés Vieiez Temas de Teoría Económica y su Méodo nº 11 Documeno 113 de la Serie Economic Developmen Los documenos 103 a 118 de esa serie han sido publicados por la Cáedra Bolívar de la USC en el libro, ediado por Juan José Jardón Urriea (UMSNH) Temas de Teoría Económica y su Méodo Web de la Cáedra Bolívar: hp:// USC= Universidad de Saniago de Composela (España) UMSNH= Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo (México) ALGUNOS PRINCIPIOS FINANCIEROS QUE SON CONSISTENTES CON EL POSTULADO DE RACIONALIDAD ECONÓMICA Francisco VENEGAS-MARTÍNEZ Escuela Superior de Economía Insiuo Poliécnico Nacional, México Resumen: Ese rabajo de invesigación muesra la consisencia de los principios financieros más imporanes con la noción de racionalidad económica perfeca, lo cual sugiere que la exisencia de consumidores racionales es un posulado conveniene para el desarrollo adecuado de la eoría económica. Para ello la ecuación diferencial parcial (EDP) de Black-Scholes-Meron (BSM) que deermina el precio del produco derivado se obiene bajo diferenes principios financieros ales como condiciones de no arbiraje, modelo CAPM (Capial Asse Pricing Model), porafolios replicanes, VPN (valor presene neo), modelo de Markowiz, ec. Poseriormene se obiene exacamene la misma ecuación de BSM uilizando un consumidor-inversionisa maximizador de uilidad sujeo a su resricción presupuesal, lo que confirma la consisencia de dichos principios financieros con la racionalidad económica. JEL Codes: A1, B4 I. Inroducción Ese rabajo de invesigación muesra la consisencia de los principios financieros más imporanes con la noción de racionalidad económica perfeca, lo cual sugiere que la exisencia de consumidores racionales es un posulado conveniene para el desarrollo adecuado de la eoría económica. Para ello, la ecuación diferencial parcial (EDP) de Black- Scholes-Meron (BSM) que deermina el precio de un produco derivado se obiene bajo diferenes principios financieros ales como: condiciones de no arbiraje, modelo CAPM (Capial Asse Pricing Model), porafolios replicanes, VPN (valor presene neo), modelo de Markowiz, ec. Poseriormene, se obiene exacamene la misma ecuación de BSM uilizando un consumidor-inversionisa maximizador de uilidad sujeo a su resricción presupuesal, lo que confirma la consisencia de dichos principios financieros con la racionalidad económica. El posulado de racionalidad económica ha sido, desde hace varias décadas, un asuno de coninuo debae sobre el comporamieno de los agenes económicos cuando ésos oman decisiones de consumo y porafolio. Se dice que un consumidor es racional si resuelve problemas de opimización a ravés de un proceso insanáneo que se lleva a cabo desde

2 Cáedra Bolívar.Temas de Teoría Económica y su Méodo 11. Documeno 113: hp://ideas.repec.org/s/eaa/ecodev.hml su cerebro. Evidenemene, no ha sido fácil de acepar que los consumidores cuando oman decisiones de consumo y porafolio, lo hacen de al manera que maximizan una función de uilidad sujeos a su resricción presupuesal, ya que eso involucra un proceso complejo de absracción para planear problemas de opimización y oro proceso odavía más elaborado para resolverlos de manera insanánea. Peor aún, cuando la oma 04 TEMAS DE TEORÍA ECONÓMICA Y SU MÉTODO de decisiones se realiza en un ambiene de riesgo e inceridumbre, enonces el planeamieno y la resolución del problema de opimización se conviere en un asuno muy sofisicado. Desde hace muchas décadas varios inenos se han hecho para relajar el concepo de racionalidad económica perfeca (o hiper-racionalidad). Uno de los inenos más imporanes se refiere al rabajo pionero de Herber Simon (1957) quien ya planeaba la noción de racionalidad limiada (o acoada) en la que, primero, el individuo elige una función de uilidad enre un conjuno de funciones disponibles en su cerebro y, poseriormene, ordena en érminos de sus preferencias las posibles alernaivas siguiendo un proceso que no es an fino como el que exigirían las condiciones de primer orden de un problema de opimización, siendo el ordenamieno de posibilidades más bien un proceso burdo en el senido que revisa grupos de alernaivas y elige, casi insanáneamene, aquellas que pudieran esar cerca del ópimo. Por oro lado, la economía experimenal ha logrado un avance impresionane, desde el rabajo seminal de Vernon Smih (196), mosrando con experimenos conducidos la ausencia del comporamieno racional perfeco en los agenes. Por lo anerior, se podría decir que la racionalidad económica perfeca es un posulado falso, aun cuando exisieran buenas aproximaciones. El parir de posulados falsos para desarrollar una eoría no necesariamene es un problema. Por ejemplo, la mecánica clásica se basa en res posulados (las res leyes de Isaac Newon ( )). Sin embargo, el primer posulado conduce a la exisencia de sisemas inerciales y ales sisemas no se encuenran en el universo, aunque haya buenas aproximaciones (esrellas lejanas que sirvan como punos de referencia). En ese caso, aun cuando se pare de un posulado falso, los resulados que se desprenden de él sí describen y explican muchos fenómenos naurales. En consecuencia, la primera ley de Newon, aunque falsa, es conveniene para el desarrollo adecuado de gran pare de la física (la física clásica). Oro ejemplo similar es el posulado de la inexisencia de monopolos magnéicos, el cual sirve para esablecer una de las ecuaciones de James Clerk Maxwell ( ) del elecromagneismo. Ese posulado no se sabe, hasa la fecha, si es falso o no, sin embargo se sabe que es conveniene para el desarrollo adecuado de la eoría elecrodinámica clásica.

3 Cáedra Bolívar.Temas de Teoría Económica y su Méodo 11. Documeno 113: hp://ideas.repec.org/s/eaa/ecodev.hml ALGUNOS PRINCIPI OS FINANCIEROS 05 Ese rabajo de invesigación muesra la consisencia enre los principios financieros más imporanes y la noción de racionalidad económica perfeca. Para ello, la ecuación diferencial parcial (EDP) de Black- Scholes-Meron (BSM) cuya solución deermina el valor de un produco derivado se obiene bajo diferenes principios financieros ales como: condiciones de no arbiraje, coberura de la riqueza, argumenos ipo CAPM, porafolios replicanes y auofinanciables, valor presene neo (VPN) y el modelo de Markowiz (195) y Sharpe (1964). Poseriormene, se obiene exacamene la misma ecuación uilizando el posulado de racionalidad económica: un consumidor-inversionisa maximizador de uilidad sujeo a una resricción presupuesal que considera la posibilidad de inegrar un porafolio con un bono libre de riesgo (de incumplimieno), un acivo riesgoso (una acción) y un produco derivado sobre dicho acivo (una opción). Lo anerior, quiere decir que el posulado de racionalidad económica es consisene con muchos de los resulados que se obienen de la aplicación de los principios fundamenales que se uilizan en la eoría y prácica financiera. En oras palabras, los principios fundamenales conllevan de manera implícia el principio de racionalidad económica; siuación que vuelve a raer al cenro de la discusión la acepación o no de dicho posulado o de cualquiera de sus formas relajadas. Por úlimo, es imporane desacar que la mayor pare de esa invesigación oma como puno de parida los rabajos de Black y Scholes (1973); Markowiz (195); Meron (1969), (1971) y (1973); Sharpe (1964); y Venegas-Marínez (001), (005), (006a), (006b), (006c) y (008). El rabajo esá organizado como sigue. En la sección II se obiene la EDP de BSM uilizando condiciones de no arbiraje. En esa sección se lleva a cabo un análisis deallado y riguroso sobre el modelo de BSM ya que ése es cenral para el desarrollo de la presene invesigación. En el ranscurso de la sección III se deriva la EDP de BSM mediane la condición de coberura de la riqueza. A ravés de la sección IV se genera de la EDP de BSM mediane el uso del modelo CAPM (Capial Asse Pricing Model). En la sección V se obiene la EDP de BSM mediane el uso de porafolios replicanes y auofinanciables. En la sección VI se reproduce de la ecuación BSM mediane el méodo del valor presene neo. En el ranscurso de la sección VII se obiene la ecuación BSM con base en el modelo de Markowiz. En la sección VIII, con el fin de mosrar que los principios financieros, presenados en las secciones II-VII,

4 Cáedra Bolívar.Temas de Teoría Económica y su Méodo 11. Documeno 113: hp://ideas.repec.org/s/eaa/ecodev.hml 06 TEMAS DE TEORÍA ECONÓMICA Y SU MÉTODO llevan consigo de manera implícia la noción de racionalidad económica se obiene, con ciero dealle, la ecuación BSM bajo el supueso de que exisen consumidores-inversionisas que maximizan uilidad sujeos a su resricción presupuesal. En la sección IX se presenan las conclusiones. Por úlimo, se incluye un apéndice sobre el lema de Iô. II. Obención de la ecuación diferencial parcial de BSM mediane condiciones de no arbiraje En 1973, Fischer Black y Myron Scholes y, de manera independiene, Rober Meron desarrollaron, bajo el supueso de ausencia de oporunidades de arbiraje (ley de un solo precio), un modelo para valuar una opción europea cuando el precio del acivo subyacene es conducido por un movimieno geomérico Browniano (los rendimienos del acivo son normales con media cero y varianza dependiene del iempo). El modelo BSM ha fomenado de manera imporane que los paricipanes en los mercados financieros se cubran conra los diversos riesgos a que esán expuesos. También ha desempeñado un papel cenral en el avance an impresionane que ha enido, recienemene, la economía financiera y las maemáicas financieras modernas. Ane odo eso, es imporane desacar que el modelo BSM puede ser empleado como herramiena para generar ganancias de millones de dólares en periodos coros de iempo (unas semanas), pero ambién si no se uiliza adecuadamene puede generar pérdidas asronómicas en periodos de iempo aún más coros (unos días). La imporancia prácica del modelo BSM radica en que su aparición es casi simulánea con el arranque de la bolsa de opciones Chicago Board of Opions Exchange. Anes de escribir cualquier ecuación es imprescindible esablecer los supuesos básicos del modelo clásico de Black-Scholes-Meron, a saber: [i.] El acivo subyacene es una acción que no paga dividendos durane la vida del conrao; [ii.] el precio del acivo subyacene es conducido por el movimieno geomérico Browniano, es decir, los rendimienos son normales con media cero y varianza dependiene del iempo. [iii.] la volailidad del precio del acivo subyacene se maniene consane a ravés del iempo;

5 Cáedra Bolívar.Temas de Teoría Económica y su Méodo 11. Documeno 113: hp://ideas.repec.org/s/eaa/ecodev.hml ALGUNOS PRINCIPI OS FINANCIEROS 07 [iv.] las venas en coro del subyacene en cuesión son permiidas, es decir, se puede pedir presado el acivo para venderlo en el presene y hacer uso del efecivo, y poseriormene cuando se iene que devolver el acivo, se recompra (si es posible) a un precio menor a fin de generar alguna ganancia; [v.] el mercado del subyacene es líquido y divisible, es decir, el subyacene siempre se puede vender en cualquier fracción de unidad; [vi.] no hay cosos de ransacción (comisiones e impuesos); [vii.] el mercado opera en forma coninua, es decir, no hay fines de semana ni días fesivos; [viii.] exise un sisema bancario en el que los agenes pueden presar y pedir presado a una asa de inerés consane a odos los plazos; [ix.] no exisen oporunidades de arbiraje (no hay ganancias libres de riesgo). Dinámica del precio del subyacene y riesgo de mercado Considere un movimieno Browniano (W ) [0,T ] definido sobre un espacio fijo de probabilidad con su filración aumenada Q, F, ( F W [0,T ], P. Eso es, W es una variable aleaoria normal con media cero y varianza,q es un espacio muesral (el conjuno de odos los posibles resulados), F es una σ -álgebra (un conjuno de evenos), F W represena oda la información sobre precios disponible al iempo y P es una medida de probabilidad. Se supone que el precio del acivo subyacene al iempo, S es conducido por el movimieno geomérico Browniano, es decir, los rendimienos del acivo son normales con media cero y varianza, d S = µs d + σ S d W (1) En ese caso, el parámero de endencia, µ R, represena el rendimieno medio esperado y σ > 0 es la volailidad insanánea por unidad de iempo. El proceso d W modela las flucuaciones propias del rendimieno del subyacene y, como se sabe, saisface: d W N (0, d ), E [d W ] = 0, y V ar [d W ] = E [(d W ) ] = d.

6 Cáedra Bolívar.Temas de Teoría Económica y su Méodo 11. Documeno 113: hp://ideas.repec.org/s/eaa/ecodev.hml 08 TEMAS DE TEORÍA ECONÓMICA Y SU MÉTODO Dinámica del precio de la opción El valor, o precio, de una opción europea de compra es claramene función de los disinos parámeros que inervienen en los érminos o cláusulas del conrao, ales como: el precio de ejercicio K y la vida del conrao T, donde T es la fecha de vencimieno y es la fecha de inicio del conrao. Por supueso, el valor de dicha opción ambién dependerá de las caracerísicas del acivo subyacene, ales como: su precio, S, rendimieno esperado, µ, y volailidad, σ, así como la asa de inerés, r, que prevalece en el mercado de crédio. Así, el valor de una opción europea como c = c(s, ; K, T, σ, µ, r ). () Observe que S (precio del acivo al iempo ) y (fecha en que se inicia el acuerdo) son las variables relevanes en el conrao. En lo que sigue, no se hará medición explícia de los parámeros T,K,r, y σ, excepo cuando sea necesario. Es decir, el valor de la opción se denoará simplemene como c = c(s, ). Ahora bien, durane el inervalo de iempo [, + d ], el acivo subyacene cambia de S a S + d S, en consecuencia, el precio de la opción cambia de c a c + d c. El cambio marginal en el precio de la opción se obiene mediane el lema de Iô (ver Apéndice I), como: d c = c c 1 S c c c + S + σ S d + σ S d W (3) S Dinámica de un porafolio combinado del subyacene y su opción Considere ahora un porafolio con ω 1 unidades del acivo subyacene de precio S y ω unidades de una opción de compra sobre el subyacene de precio c(s, ). Si 1 denoa el valor acual, al iempo, del porafolio, enonces = ω1 S + ω c(s, ). (4) El cambio en el valor del porafolio, durane el insane, debido a flucuaciones propias del mercado esá dado por d = ω 1 S + ω d c. (5)

7 Cáedra Bolívar.Temas de Teoría Económica y su Méodo 11. Documeno 113: hp://ideas.repec.org/s/eaa/ecodev.hml ALGUNOS PRINCIPI OS FINANCIEROS 09 Después de susiuir (1) y (3) en (5), se obiene la siguiene expresión para el cambio de valor del porafolio: 1 c c 1 c c d = ω 1 + ω µs d + ω 1 + ω σ S d W S S 1 c 1 c + ω c + S σ S d. (6) La ecuación (6) coniene dos ipos de érminos. Los érminos de endencia, muliplicados por d, y el érmino aleaorio, muliplicado por d W. Ese úlimo, modela el riesgo de mercado del porafolio, el cual se puede eliminar si se eligen, adecuadamene, las canidades de ω 1 y ω en la conformación del porafolio. Adminisración del riesgo de mercado A fin de eliminar el riesgo de mercado del porafolio se deben seleccionar ω 1 y ω de al manera que se anule el coeficiene de d W en el érmino esocásico de la ecuación (6), es decir, c ω 1 + ω = 0. S Claramene, exisen infinias posibilidades de seleccionar ω 1 y ω para lograr el objeivo. Si, por ejemplo, se oman ω = 1 y ω 1 = A, se iene que (A) 1 c 1 c c d = + S σ S d. (7) Es usual referirse a esa elección paricular de ω = 1 y ω 1 = A como coberura Dela. Esa esraegia de coberura perfeca es dinámica, ya que durane el periodo [, + d ] la canidad c/ S cambia con S y. Evidenemene, la coberura Dela es aplicable sólo durane el insane d. De ora manera, al ranscurrir el iempo, la coberura se deeriora paulainamene perdiendo su efecividad. Por lo ano, si se emplea esa coberura en (4), se obiene 1 (A) = c AS lo cual significa que esá cubriendo una vena en coro de A unidades del subyacene con una opción de compra sobre una acción.

8 Cáedra Bolívar.Temas de Teoría Económica y su Méodo 11. Documeno 113: hp://ideas.repec.org/s/eaa/ecodev.hml 10 TEMAS DE TEORÍA ECONÓMICA Y SU MÉTODO Cuena bancaria Se supone que exise un mercado de crédio libre de riesgo de incumplimieno, es decir, un sisema bancario en el que los agenes pueden presar o pedir presado a una asa consane, r, a odos los plazos y, en consecuencia, libre de riesgo de mercado, la cual se aplica en forma coninuamene capializable. Por ejemplo, si un agene deposia b 0 unidades monearias, enonces el saldo en su cuena bancaria, al iempo, esá dada por b = b 0 e r. De esa manera, el rendimieno en su cuena saisface d b = r b d, juno con la condición inicial b (0) = b 0. Inversión alernaiva del valor del porafolio 1 Bajo la elección ω = 1 y ω 1 = A, el valor del porafolio resulane es (A) = c AS. Si esa canidad se deposia en un banco que paga una asa de inerés r, enonces el cambio en el valor del porafolio, durane d, es (r ) (A) d = r d = (c AS )r d. (8) En ese caso, d es el iempo en el que se aplica la asa r. Condiciones de no arbiraje Bajo el supueso de no arbiraje, se iene que (A) (r ) d = d. (9) En efeco, si la asa de rendimieno del porafolio combinado fuera más grande que el inerés que paga el banco, enonces se pediría presado, en, al banco la canidad AS + c para inverir en el porafolio de acciones y opciones. Poseriormene, en + d se le pagan al banco los inereses más el capial y el resane represena una ganancia libre de riesgo. Por oro lado, si el rendimieno del porafolio fuera menor que el inerés que paga el banco, enonces se debe inverir el dinero en el banco, pues la aplicación de una coberura Dela carece de senido. Ecuación diferencial parcial de Black-Scholes-Meron

9 Cáedra Bolívar.Temas de Teoría Económica y su Méodo 11. Documeno 113: hp://ideas.repec.org/s/eaa/ecodev.hml ALGUNOS PRINCIPI OS FINANCIEROS 11 En esa sección se obiene una de las ecuaciones más imporanes en finanzas. Una forma alernaiva de escribir (9) es 1 c 1 c c 1 c c + σ S d = S S + c r d. (10) S Equivalenemene, c 1 c c + S σ S + S S r r c = 0. (11) la cual es conocida como la ecuación diferencial parcial de Black- Scholes-Meron. Las condiciones de fronera y final para deerminar una solución única esán dadas, respecivamene, por c(0, ) = 0 y c(s, T ) = max (S K, 0), donde K es el precio de ejercicio de la opción. La primera condición dice que si el acivo es grauio, enonces el derecho de comprarlo en el fuuro carece de valor y la segunda condición expresa la ganancia del propieario del derecho de compra en la fecha de vencimieno. La ecuación (11) es una ecuación diferencial parcial lineal parabólica. De hecho, casi odas las ecuaciones diferenciales parciales en maemáicas financieras ienen una forma similar. La linealidad significa que si se ienen dos soluciones, enonces la suma de ellas ambién es una solución. En oras palabras, si odos los acivos de un porafolio saisfacen la ecuación (11), enonces el porafolio ambién saisface. Por úlimo, el hecho de que la ecuación diferencial parcial sea parabólica significa que esá relacionada con la ecuación de difusión de calor. Esa ecuación describe cómo se difunde el calor en una viga (hecha de algún maerial conducor) de dimensión infinia. En ese caso, la emperaura en un puno de la viga esá asociada al rendimieno del acivo. La ecuación de Black-Scholes-Meron coniene odas las variables que deerminan el valor del conrao y los parámeros ales como el precio de conado del acivo subyacene, el iempo y la volailidad, pero no se hace mención al rendimieno medio esperado µ. Cualquier dependencia sobre µ se ha eliminado al anular el coeficiene de d W en el cambio de valor del porafolio. Observe que en su lugar aparece, en la ecuación (11), la asa de inerés libre de riesgo. Eso significa que si odos los paricipanes en el mercado de opciones esán de acuerdo con el nivel de

10 Cáedra Bolívar.Temas de Teoría Económica y su Méodo 11. Documeno 113: hp://ideas.repec.org/s/eaa/ecodev.hml 1 TEMAS DE TEORÍA ECONÓMICA Y SU MÉTODO volailidad del acivo, enonces esán igualmene de acuerdo con el valor de la opción aunque engan diferenes preferencias al riesgo expresadas a ravés de µ. En oras palabras, odos los agenes esán dispuesos a omiir sus preferencias al riesgo, µ, y acepar un rendimieno libre de riesgo, r, después de ponerse de acuerdo con el nivel de volailidad del acivo. Mercados compleos En esa sección se presena, de manera inuiiva, el concepo de mercados compleos, el cual consise en la posibilidad de replicar el precio de una opción a ravés del valor de un porafolio de acciones y efecivo. Observe primero que a parir de la ecuación (8), se cumple que (r) 1 1 AS + d = c (1) r d Si se escribe b = 1 (r), enonces 1 (r) = d b = r b d y (1) se rans- forma en AS + b = c, es decir, si se diseña un porafolio que iene acciones, en una canidad A, y efecivo b, enonces se puede replicar el precio de la opción. III. Derivación de la ecuación de BSM mediane la coberura de la riqueza Suponga que un inversionisa comienza con un ciero nivel de riqueza, A 0, e inviere una canidad A en un en un acivo con riesgo, de precio S, y el reso en oro acivo que paga una asa de inerés consane, r, a odos los plazos y libre de riesgo de incumplimieno, de al manera que la dinámica de acumulación de su riqueza queda represenada por Es decir, d A = A d S + r [ A A S ]d. d A = r [ A + A S (µ r )]d + A σ S d W. Sea c(s, ) el precio de una opción europea de compra que paga en el vencimieno max (S T K, 0), Si se desea cubrir el porafolio con una opción de al manera que c(s, ) = A para oda, enonces d c = d A son iguales. Después de susiuir (3) en d c = d A e igualar érminos esocásicos y deerminisas se encuenra de nuevo ecuación diferencial parcial de BSM.

11 Cáedra Bolívar.Temas de Teoría Económica y su Méodo 11. Documeno 113: hp://ideas.repec.org/s/eaa/ecodev.hml ALGUNOS PRINCIPI OS FINANCIEROS 13 IV. Obención de la ecuación BSM mediane el modelo CAPM A coninuación se obiene la ecuación de Black-Scholes-Meron mediane el modelo CAPM, el cual es uilizado con mucha frecuencia para valuar acciones. El modelo CAPM describe la relación enre el riesgo y el rendimieno esperado de un acivo y es muy úil para valuar acciones (íulos de capial) que emien las empresas para financiarse. Específicamene, el modelo CAPM dice que la diferencia enre el rendimieno de una acción y la asa de CETES (Cerificados de la Tesorería) es proporcional a la diferencia enre el rendimieno del IPC (Índice de Precios y Coizaciones de la Bolsa Mexicana de Valores) y la asa de CETES. Suponga, como anes, que la dinámica del precio del acivo subyacene es conducida por el movimieno geomérico Browniano, es decir, el rendimieno del acivo es d R s = d S S = µd + σ d W (13) Para calcular el cambio marginal en el precio de la opción se uiliza la ecuación (3). Para calcular el cambio marginal en el precio de la opción por cambios en S, se uiliza la expansión en serie de Taylor hasa érminos de segundo orden: c c 1 c d c = d S + + S S σ S d. (14) Observe ambién que el rendimieno de la opción se puede describir como c S 1 c 1 S c d R c = d R S + ( + σ S c c S )d. (15) De acuerdo con el modelo CAPM, los rendimienos de la opción y del acivo subyacene saisfacen, respecivamene, las siguienes condiciones lineales con respeco al rendimieno del mercado, d R M, y E [ R c ] r d = β c [ E [d R M ] r d ] (16) E [ R S ] r d = β S [ E [d R M ] r d ], (17) donde C ov(d R S, d R M ) β S = V ar (d R M ) (18)

12 Cáedra Bolívar.Temas de Teoría Económica y su Méodo 11. Documeno 113: hp://ideas.repec.org/s/eaa/ecodev.hml 14 TEMAS DE TEORÍA ECONÓMICA Y SU MÉTODO y c C ov(d R c, d R M ) C ov S d R S c, d R M c S β c = = = β S (19) V ar (d R M ) V ar (d R M ) S c ya que C ov(d, d R M ) = 0. Si se susiuyen las ecuaciones (15), (17), (18) y (19) en (16), se iene E d c r d = β c c ( E [d R M ] r d ) = c S S c ( E [d R S ] r d ), (0) lo cual implica que c E [d c] r cd = ( E [d R S ] r d ). (1) S Si se susiuye la ecuación (13) en (1), se sigue que c c E [d c] r cd = ( E [d R S ] r d ) = S (µ r )d, () S S donde se ha considerado que E [d W ] = 0. (3) Por úlimo, si se susiuye (14) en la ecuación () se iene la ecuación diferencial parcial de BSM V. Obención de la ecuación BSM mediane porafolio replicanes Se desea deerminar un porafolio combinado de una posición larga del acivo subyacene y un depósio bancario que, en cada insane, repliquen el valor de una opción europea de compra. Se supone que el acivo subyacene y la opción se negocian en forma coninua de al manera que el riesgo se elimine en odo momeno, es decir, la coberura es dinámica. Se supone, como siempre, que el precio del acivo subyacene, S, sigue un movimieno geomérico Browniano. Asimismo, se supone que en la economía exise un sisema bancario que paga por depósios una asa consane y libre de riesgo r. De esa manera, si se hace un depósio de b unidades monearias, el rendimieno de dicha inversión, en el insane d, es S R b = d b b = r d. (4)

13 Cáedra Bolívar.Temas de Teoría Económica y su Méodo 11. Documeno 113: hp://ideas.repec.org/s/eaa/ecodev.hml ALGUNOS PRINCIPI OS FINANCIEROS 15 Porafolio replicanes Se desea deerminar un porafolio que combine una posición larga del acivo subyacene con un depósio bancario que replique el valor de una opción europea de compra. Suponga que se desean enconrar procesos esocásicos v = v(s, ) y w = w(s, ), ales que v S + w b = c(s, ), 0 T (5) La condición (5) indica que no exisen posibilidades de arbiraje. Por ejemplo, si, anes del vencimieno, el lado izquierdo de (5) fuera menor que el lado derecho, se oma una posición cora en la opción de compra y la prima se inviere inmediaamene en el porafolio combinado a fin de generar una ganancia libre de riesgo. Asimismo, se supone que en la fecha de vencimieno la ecuación (5) ambién se cumple sin imporar la rayecoria que ome el acivo subyacene. Porafolio auofinanciables Se supone que una vez que se ha realizado la inversión inicial no se requieren fondos adicionales para manener el porafolio, de al forma que los cambios requeridos en v se compensen con cambios, con signo opueso, en w. Así, S d v + b d W = 0. (6) Eso significa que v d S + w d b = d c(s, ). (7) Después de susiuir (4) en (7), se obiene v (µs d + σ S d W ) + w r b d = 1 c c µs + 1 σ S c c + S S d + c σ S d W (8) S Si se igualan los coeficienes de dw en (9), se obiene 1 c c v = S. (9) De la misma manera, de (5) se sigue que c(s, ) v S w = b (30)

14 Cáedra Bolívar.Temas de Teoría Económica y su Méodo 11. Documeno 113: hp://ideas.repec.org/s/eaa/ecodev.hml 16 TEMAS DE TEORÍA ECONÓMICA Y SU MÉTODO Las canidades v y w deerminan el porafolio replicane del valor del derivado, el cual para su manenimieno es auofinanciable. Ecuación diferencial parcial de Black-Scholes-Meron A coninuación se obiene la ecuación diferencial parcial de Black- Scholes-Meron. Si ahora se igualan los érminos en d, se sigue que 1 c c 1 S c c v µs + w r b = + S µs + σ S d (31) Después de susiuir (9) y (30) en (31), se obiene la ecuación diferencial parcial de BSM. VI. Obención de la ecuación BSM mediane el valor presene neo En esa sección se obiene la fórmula de Black-Scholes-Meron para calcular el precio de una opción europea de compra mediane el valor presene de las ganancias esperadas. Se supone que el acivo subyacene es una acción que no paga dividendos durane la vida del conrao y que su precio es conducido por un movimieno geomérico Browniano. Con ese propósio se deermina, primero, la función de densidad del precio del subyacene en la fecha de vencimieno. Poseriormene, se calcula la inegral que define el valor presene del valor inrínseco esperado, canidad que proporciona el precio eórico del produco derivado en cuesión. Disribución del rendimieno logarímico del subyacene Considere un movimieno Browniano (ambién llamado proceso de Wiener) (W ) [0, T ] definido sobre un espacio fijo de probabilidad con una filración ( Q, F ( F ) [0, T ], P.. Se supone que el precio de una acción al iempo, S, es conducido por el movimieno geomérico Browniano. Una simple aplicación del lema de Iô (véase el Apéndice I) conduce a 1 c 1 d (l n S ) = µ σ d + σ d W. (3) Si se discreiza la ecuación anerior con A = T, enonces se obiene 1 c 1 l n S T l n S = µ σ (T ) + σ T, (33)

15 Cáedra Bolívar.Temas de Teoría Económica y su Méodo 11. Documeno 113: hp://ideas.repec.org/s/eaa/ecodev.hml ALGUNOS PRINCIPI OS FINANCIEROS 17 donde N (0, 1). Por lo ano, n ST T ln S n N (µ 1 σ )(T T ), σ (T ). (34) En oras palabras, el rendimieno logarímico iene disribución normal con la misma varianza del cambio porcenual de S, pero con parámero de endencia, µ 1 σ ; menor al rendimieno medio esperado, µ. Valuación neural al riesgo Debido a la consideración de un rendimieno esperado µ, la ecuación (3) no es independiene de las preferencias al riesgo de los agenes que paricipan en el mercado del subyacene. En efeco, enre mayor sea la aversión al riesgo de un agene, mayor iene que ser el rendimieno medio esperado, µ, a fin de que el premio v = µ r le sea aracivo al agene. Si se supone que odos los agenes son neurales al riesgo, es decir, no requieren de un premio para inducirlos a paricipar en el mercado, enonces v = 0, así, µ = r y de esa manera el rendimieno medio esperado de cualquier acivo es la asa de inerés libre de riesgo, r. Ora forma de medir el premio al riesgo, de uso más frecuene, consise en esandarizar v por unidad de varianza (más precisamene por unidad de desviación esándar), es decir, λ = v/σ. En ese caso, si σ aumena, enonces λ, disminuye y el agene pediría más v para compensar el aumeno en σ hasa conseguir que λ aumene y alcance su nivel inicial. De igual forma el agene podría acepar una disminución v a cambio de una disminución en σ. Como anes, si los agenes no requieren de un premio para inducirlos a paricipar en el mercado, enonces λ = 0. Ahora bien, si se escribe 1 c µ r d d W d S = r S d + σ S + σ S σ + = r S d + σ S (λd + d W ), (35) enonces, bajo el supueso de neuralidad al riesgo, λ = 0, se iene un movimieno Browniano de la forma d S = r S d + σ S d W. (36) Función de densidad del precio del acivo

16 Cáedra Bolívar.Temas de Teoría Económica y su Méodo 11. Documeno 113: hp://ideas.repec.org/s/eaa/ecodev.hml 18 TEMAS DE TEORÍA ECONÓMICA Y SU MÉTODO En esa sección se obiene la función de densidad del precio del acivo subyacene bajo el supueso de neuralidad al riesgo. En visa de (36), se iene que l n(s T /S ), iene una disribución normal con media (r 1 σ )(T ) y varianza σ (T ). Considere N (0, 1) y su densidad 1 1 φ () = e, R. (37) FJ Si se define ahora g() := S T = S exp (r 1 σ 3 )(T ) + σ T 1 (38) se iene que n T l n ST ( r 1 σ. (T ) g 1 S (S ) = σ T De esa manera, la función de densidad de S T, dado S, esá dada por la expresión de cambio de variable 1 dg 1 (s) f ST /S (s S ) = φg (s) (40) d s 1 Es decir, 1, 1 n 1 f ST /S (s S ) = FJ(T )σ s exp l n s nr T! 1 σ (T ) i S σ T (39). (41) Esa función de densidad condicional se uilizará para calcular el valor presene neo de una opción europea. Valuación neural al riesgo de una opción europea de compra El precio de una opción de compra europea en con precio de ejercicio K y vencimieno en T, c = c(s ; K, r, σ ), esá dado por r (T ) c = e max Z 0 (s K, 0) f S T S (s S )d s Z = e r (T ) (s K ) f S T S (s S )d s Z K = e r (T ) r (T ) s f S T S (s S )d s K e s> K Z s> K f ST S (s S )d s. (4)

17 Cáedra Bolívar.Temas de Teoría Económica y su Méodo 11. Documeno 113: hp://ideas.repec.org/s/eaa/ecodev.hml ALGUNOS PRINCIPI OS FINANCIEROS 19 La primera inegral represena el valor presene del valor medio esperado del pago de la opción en la fecha de vencimieno. Las dos inegrales de (4) se denoarán mediane I 1 y I. Si ahora se uiliza un cambio de variable, la primera inegral se calcula como I 1 := e 1(T ) S Z n> ln( K /S ) (r σ )(T ) σ T 1 1 σ (. i T ()+ r 1 σ (T ) 1 e e d π Z = S { <µ<d 1 } 1 1 π e u d u, (43) donde d 1 se define como en (47) y donde se ha uilizado el hecho de que N (0, 1) con un cambio de variable u = σ T. Las expresiones enre llaves de las inegrales aneriores son los conjunos de inegración. Asimismo, a parir del cambio de un variable, la segunda inegral saisface I := K e r (T ) Z n > ln( K /S ) (r 1 σ )(T ) σ T = K e r (T ) Por lo ano, de (43) y (44) se sigue que donde la función I es la función de disribución acumulada de N (0, 1); es decir, Z d 1 1 I(d ) = P ( d ) e d = 1 I( d ), (46) = π n T n l n S + r + 1 σ T K (T ) d 1 = d 1 (S, ; T, K, r, σ ) = σ, (47) T n T T l n S + nr 1 K σ (T ) d = d (S, ; T, K, r, σ ) = σ = T d 1 σ T. (48) Z { <<d } 1 1 i e d π 1 1 e () d. (44) π c = S I(d 1 ) K e r (T ) I(d ) (45)

18 Cáedra Bolívar.Temas de Teoría Económica y su Méodo 11. Documeno 113: hp://ideas.repec.org/s/eaa/ecodev.hml 0 TEMAS DE TEORÍA ECONÓMICA Y SU MÉTODO Las ecuaciones (45) y (11) son equivalenes en el senido de que (45) es la única solución de (11). VII. Obención de la ecuación BSM mediane el modelo de Markowiz Se supone ahora que el individuo iene acceso a res acivos reales: una acción de precio S, una opción sobre la acción de precio c = c(s, ) y un bono de precio b libre de riesgo de incumplimieno que paga asa fija r. Suponga que el rendimieno que paga el acivo subyacene es d S d R S = = µd + σ d W (49) S d c d R c = c 1 1n c c 1 1 µs σ S c T c = + + d σ S µ d σ d W, c S S + c + c S (51) n c µ c = + Asimismo, suponga que el rendimieno que paga el bono esá dado por d R b = r d. (50) En visa de (50), la aplicación del lema de Iô a c = c(s, ) conduce a que el rendimieno de la opción en (15) se puede reescribir como: donde y c 1 σ c = σ S S c c S µs + 1 c S σ S T 1 c Se supone que c(s, T ) = max (S K, 0), donde K es el precio de ejercicio de la opción. Sea α 1 = S / A la proporción de la riqueza que el individuo asigna a la enencia de acciones, α = c/ A la proporción de la riqueza que asigna a una opción europea de compra sobre la acción, y 1 α 1 α la fracción complemenaria que se asigna a un insrumeno

19 Cáedra Bolívar.Temas de Teoría Económica y su Méodo 11. Documeno 113: hp://ideas.repec.org/s/eaa/ecodev.hml ALGUNOS PRINCIPI OS FINANCIEROS 1 libre de riesgo que paga un rendimieno r consane a cualquier plazo. En ese caso, la riqueza, A, saisface d A = A (1 α 1 α )d R b + A α 1 d R S + A α d R c. (5) Después de susiuir (49) y (51) en la ecuación de la riqueza, ésa se puede reescribir como d A = A (r + (µ r )α 1 + (µ c r )α )d + A (α 1 σ + α σ c )d W. En ese caso, se sigue que 1 µ A = A d A 1 1 E d = r + (µ r )α 1 + (µ c r )α y σ A 1 d A V ar A 1 1 A d = (α 1 σ + α σ c ). Como anes, considere ahora el problema de decisión sobre las proporciones de la riqueza, A, que se asignan a los diferenes acivos: 1 1 n σ σ σ Tn c α1 T Minimizar α1,α σ A = (α 1, α ) σ σ c σ (53) α sujeo a: n T µ1 r µ a = r + (α 1, α ) µ r = µ 0. El Lagrangeano asociado al problema anerior de programación no lineal es 1 L (α 1 σ + α σ ) + v[µ 0 r α 1 (µ 1 r ) α (µ r )], donde v es el muliplicador de Lagrange asociado a la resricción. Las condiciones de primer orden L / σ 1, i = 1,, conducen a n µ r T α 1 σ + α σ c = v σ y α 1 σ + α σ c = vn µc r T. σ c c

20 Cáedra Bolívar.Temas de Teoría Económica y su Méodo 11. Documeno 113: hp://ideas.repec.org/s/eaa/ecodev.hml TEMAS DE TEORÍA ECONÓMICA Y SU MÉTODO En consecuencia, µ r σ = µ c r. σ c Después de susiuir µ c y σ c en la ecuación anerior se iene la ecuación diferencial parcial de Black-Scholes-Meron. VIII. Obención de la ecuación de BSM mediane el posulado de racionalización económica Esa sección muesra que la consisencia de la exisencia de consumidores racionales con los resulados derivados de principios financieros fundamenales como son: condiciones de no arbiraje, argumenos del modelo CAPM, porafolios replicanes y auofinanciables, valor presene de las ganancias esperadas y el modelo de Markowiz. Se supone ahora que el individuo iene acceso a res acivos reales: una acción de precio S, una opción sobre la acción de precio c = c(s, ) y un bono de precio b libre de riesgo de incumplimieno que paga asa fija r. Suponga que el rendimieno que paga el acivo subyacene es d R S = µd + σ d W. (54) Asimismo, suponga que el rendimieno que paga el bono esá dado por d R b = r d. (55) En visa de (54), la aplicación del lema de Iô a c = c(s, ) conduce a que el rendimieno de la opción saisface d c d R c = c = µ c d + σ c d W, (56) donde µ c y σ c se definen como en (51). Sea a la riqueza real del individuo y sean w 1 = S /a la proporción de la riqueza que el individuo asigna a la enencia de acciones,w = c/a la proporción de la riqueza que asigna a una opción europea de compra sobre la acción, y 1 w 1 w la fracción que se asigna a un insrumeno libre de riesgo que paga un rendimieno r consane a cualquier plazo. La variable w i es diferene de α i, la cual fue inroducida en la sección anerior en (5), ya que w i incorpora la decisión de consumo. Por la misma razón, la A de (5) y la a

21 Cáedra Bolívar.Temas de Teoría Económica y su Méodo 11. Documeno 113: hp://ideas.repec.org/s/eaa/ecodev.hml ALGUNOS PRINCIPI OS FINANCIEROS 3 de (58) son diferenes. En ese caso, el agene desea resolver el siguiene problema (c f. Meron (1969) y (1971): sujeo a: 1 Maximizar C,w 1,w E Z T C 0 S e δs d s + b(a T, T ) F 1, (57) d a = a w 1 d R S + a w d R c + a (1 w 1 w )d R b C d, (58) (58) donde C es consumo, es un parámero de preferencias (grado de aversión al riesgo), δ es la asa subjeiva de descueno (enre mayor es δ más ansioso esá el consumidor por el consumo presene), F es la información relevane al iempo y a b(a T, T ) = T e δ T denoa una herencia. Después de susiuir (54)-(56) en la resricción presupuesal, ésa se puede reescribir como T d a = a nr +(µ r )w 1 +(µ c r )w C d +a (w 1 σ +w σ c )d W. a Si se define (la función de uilidad indireca) 1 J (a, ) = max C,w 1,w E se sigue que Z T +d CS e δs d s + b(a T, T ) F 1, J (a, ) = max C,w 1,w 1 Z +d C S E e δs d s Z T + +d C 1 S e δs d s + b(a T, T ) F = max C,w 1,w [, +d ] 1 Z +d C 1 S E e δs d s + J (a + d a, + d ) F = max C,w 1,w [, +d ] 1 Z +d C 1 S E e δ d + o(d ) + J (a + ) + d J (a, ) F.

22 Cáedra Bolívar.Temas de Teoría Económica y su Méodo 11. Documeno 113: hp://ideas.repec.org/s/eaa/ecodev.hml 4 TEMAS DE TEORÍA ECONÓMICA Y SU MÉTODO en donde se ha uilizado la recursividad de J y una aproximación de primer orden del eorema de Taylor. Observe ambién que J (a T, T ) = b(a T, T ). Con base en el lema de Iô, aplicado a J = J (a, ), y en virud del eorema del valor medio del cálculo inegral, se iene que 1 C 0 = max C,w 1,w E e δ d + o(d ) 1 n C T + J + J a a r + (µ r )w 1 + (µ c r )w a J aa a (w 1 σ + w σ c ) d + J a a (w 1 σ + w σ c )d W F Si se oman esperanzas denro del parénesis y, poseriormene, se divide enre d y se oma el límie cuando d 0; se sigue que n C 0 = máx C,w 1,w e δ n r + (µ r )w 1 + (µ c r )w + J + J a + (59) C T 1 + J aa a (w 1 σ + w σ c ) T a (60) Observe que en la expresión anerior od /d 0 cuando d 0. En lugar de resolver la ecuación diferencial parcial anerior, que no es la inención del presene rabajo, se propone un candidao de solución: enonces y J (a, ) = V (a )e δ, J a = V (a )e δ, J aa = V (a )e δ, J = δ V (a )e δ Ahora bien, si C,w 1 y w son ópimos, se iene que C C T 0 = δ V (a ) + V (a )a nr + (µ r )w 1 + (µ c r )w a 1 + V (a )a (w 1 σ + w σ c ). (61)

23 Cáedra Bolívar.Temas de Teoría Económica y su Méodo 11. Documeno 113: hp://ideas.repec.org/s/eaa/ecodev.hml ALGUNOS PRINCIPI OS FINANCIEROS 5 Suponga enonces a V (a ) = β, V (a ) = β a 1 y V (a ) = β ( 1)a. De esa manera, la ecuación (61) se ransforma en C 0 = a n δβ + β a r + (µ r )w 1 + (µ c r )w C T a 1 + β ( 1)a (w 1 σ + w σ c ). (6) Al derivar la expresión anerior con respeco de C, w 1 y w, se obienen, respecivamene: y C 1 1 β a = 0 (63) β a (µ r ) + β ( 1)a (w 1 σ + w σ c )σ = 0 β a (µ c r ) + β ( 1)a (w 1 σ + w σ c )σ c = 0. Esas res ecuaciones se pueden reescribir como: C = β 1/ 1 a, µ r = (1 )(w 1 σ + w σ c )σ, (64) µ c r = (1 )(w 1 σ + w σ c )σ c. (65) La primera ecuación indica que el consumo es proporcional al nivel de la riqueza. Las dos úlimas ecuaciones implican que los premios al riesgo de S y c(s, ) son iguales, es decir, µ c r σ c = µ r σ (66) Después de susiuir µ c y σ c en la ecuación anerior se iene la ecuación diferencial parcial de Black-Scholes-Meron.

24 Cáedra Bolívar.Temas de Teoría Económica y su Méodo 11. Documeno 113: hp://ideas.repec.org/s/eaa/ecodev.hml 6 TEMAS DE TEORÍA ECONÓMICA Y SU MÉTODO IX. Conclusiones Ese rabajo ha proporcionado diversas pruebas indirecas que muesran que posular la exisencia de consumidores hiper-racionales, aunque es falso, es conveniene para el desarrollo adecuado de la eoría económica. La EDP de segundo grado de BSM cuya solución deermina el precio de un produco derivado se obuvo bajo diferenes principios financieros, ales como: condiciones de no arbiraje, CAPM, porafolios replicanes y auofinanciables, VPN y el modelo de Markowiz. Poseriormene, se obuvo exacamene la misma ecuación (de BSM) uilizando el posulado de racionalidad económica. Eso significa que dicho posulado es, plenamene, consisene con los concepos cenrales que se uilizan en la eoría y prácica financiera. Por úlimo, es imporane desacar que aunque el problema del consumidor-inversionisa racional se resolvió uilizando una forma funcional específica del índice de saisfacción, la obención de ecuación diferencial parcial de BSM es independiene de la función de uilidad. Apéndice I. El lema de Iô Considere una función arbiraria y = ( f, S ) donde S sigue una ecuación diferencial esocásica de la forma d S = µs d + σ S d W, la diferencial esocásica de y, d y, se obiene mediane la expresión: Noas n y d y = + y + 1 σ S y T S d + y σ S d W. S y S 1 Profesor Invesigador de la Escuela Superior de Economía del Insiuo Poliécnico Nacional. El auor desea agradecer los múliples comenarios de un dicaminador anónimo. Referencias bibliográficas Black, F. y M. Scholes, 1973, The Pricing of Opion and Corporae Liabiliies, Journal of Poliical Economy, vol. 81, no. 3, pp Markowiz, H.M., 195, Porfolio Selecion, Journal of Finance, vol. 7, no. 1, pp Meron, R.C., 1973, Theory of Raional Opion Pricing, Bell Journal of Economics, vol. 4, no. 1, pp , 1971, Opimum Consumpion and Porfolio Rules in a Coninuousime Model, Journal of Economic Theory, vol. 3, no. 4, pp

25 Cáedra Bolívar.Temas de Teoría Económica y su Méodo 11. Documeno 113: hp://ideas.repec.org/s/eaa/ecodev.hml ALGUNOS PRINCIPI OS FINANCIEROS 7, 1969, Lifeime Porfolio Selecion under Uncerainy: The Coninuous-Time Case, Review of Economics and Saisics, vol. 51, no., pp Sharpe, W.F., 1964, Capial Asse Prices: A Theory of Marke Equilibrium under Condiion of Risk, Journal of Finance, vol. 19, no. 3, pp Simon, H., 1957, A Behavioral Model of Raional Choice, en Model of Man, Social and Raional: Mahemaical Essay on Raional Human Behavior in a Social Seing, Wiley, New York. Smih, V.L., 196, An Experimenal Sudy of Compeiive Marke Behavior, Journal of Poliical Economy, vol. 70, pp Venegas-Marínez, F., 008, Temporary Sabilizaion in Developing Counries and he Real Opion of Waiing when Consumpion Can Be Delayed, Inernaional Journal of Economic Research, vol. 7, forhcoming., 006a, Sochasic Temporary Sabilizaion: Undiversifiable Devaluaion and Income Risks, Economic Modelling, vol. 3, no. 1, pp , 006b, Fiscal Policy in a Sochasic Temporary Sabilizaion Model: Undiversifiable Devaluaion Risk, Journal of World Economic Review, vol. 1, no. 1, pp , 006c, Riesgos financieros y económicos. (Producos derivados y decisiones económicas bajo inceridumbre), Inernaional Thomson Ediores, Madrid., 005, Bayesian Inference, Prior Informaion on Volailiy, and Opion Pricing: A Maximum Enropy Approach, Inernaional Journal of Theoreical and Applied Finance, vol. 8, no. 1, pp. 1 1., 001, Temporary Sabilizaion: A Sochasic Analysis, Journal of Economic Dynamics and Conrol, vol. 5, no. 9, pp

26 Cáedra Bolívar.Temas de Teoría Económica y su Méodo 11. Documeno 113: hp://ideas.repec.org/s/eaa/ecodev.hml Publicaciones de la Cáedra Bolívar. Faculad de Economía y Empresa de la USC. Direcor Luis Caramés Vieiez Temas de Teoría Económica Documenos 103 a 118 de la Serie Economic Developmen de la USC Los Temas de Teoría Económica han sido publicados en formao impreso en el año 008 por la Cáedra Bolívar: hp:// USC= Universidad de Saniago de Composela (España) UMSNH= Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo (México) ACCESO A LOS DOCUMENTOS del año 011 en la Web de la serie Economic Developmen, en la base inernacional Ideas.Repec: hp://ideas.repec.org/s/eaa/ecodev.hml Documeno 103: INTRODUCCIÓN A LAS INTERRELACIONES DE LA METODOLOGÍA EN TEMAS DE ECONOMÍA. Juan José Jardón Urriea. UMSNH, México Documeno 104: FILOSOFÍA Y METODOLOGÍA DE LA ECONOMÍA, Uskali Mäki, Academy of Finland, Universiy of Helsinki, Finland Documeno 105: METOLOGÍA Y POLÍTICA ECONÓMICA: UNA RECONSIDERACIÓN, Andrés FERNÁNDEZ DÍAZ, Lorenzo Esco Mangas, Faculad de Economía, Universidad Compluense de Madrid (UCM), España Documeno 106. UNA TIPOLOGÍA DE MODELOS ECONÓMICOS, Leobardo Plaa Pérez, Faculad de Economía, Universidad Auónoma de San Luis de Poosí, México Documeno 107. QUÉ PAPEL HAN JUGADO LOS MODELOS EN ECONOMÍA?, Alfonso Ávila De Palacio, Universidad Juárez del Esado de Durango, México Documeno 108. CRECIMIENTO ECONÓMICO: UN DEBATE CENTRAL DE LAS ECONOMÍAS CLÁSICA Y MARXISTA, Gabriel Mendoza Pichardo, Faculad de Economía, UNAM, México Documeno 109. LA DISCUSIÓN ACTUAL SOBRE EL PROBLEMA DE LA TRANSFORMA- CIÓN DE VALORES A PRECIOS DE PRODUCCIÓN, Alejandro Valle Baeza, Faculad de Economía, UNAM, México Documeno 110. LA ESCUELA AUSTRÍACA: UNA PROPUESTA METODOLÓGICA ACTUAL?, Eduardo Scarano, FCPS, Universidad de Buenos Aires, Argenina Documeno 111. PARA QUÉ SE ESTUDIA LA TEORÍA ECONÓMICA?, Hall R. Varian, School of Informaion. Universiy of California Berkeley, USA Documeno 11. LA PERSPECTIVA DE LA MACROECONOMÍA POSTWALRASIANA, David Colander, Deparmen of Economics, Middleburry College, Vermon, USA Documeno 113. ALGUNOS PRINCIPIOS FINANCIEROS QUE SON CONSISTENTES CON EL POSTULADO DE RACIONALIDAD ECONÓMICA, Francisco Venegas-Marínez, Escuela Superior de Economía, Insiuo Poliécnico Nacional, México Documeno 114. LOS MODELOS ECONOMÉTRICOS Y EL REALISMO ECONÓMICO, Willy W. Corez, CUCEA, Universidad de Guadalajara, México Documeno 115. FACTORES QUE INCIDEN EN EL STATUS EPISTEMOLÓGICO DE LA ECONOMETRÍA, María-Carmen GUISÁN, Universidad de Saniago de Composela, España Documeno 116. SELECCIÓN NATURAL: UNA VISIÓN ARQUITECTÓNICA Y UN TRASVASE CONCEPTUAL DESDE LA ECONOMÍA, Mario Casanueva López Documeno 117. LA TEORÍA DE JUEGOS EVOLUTIVOS, NATURALEZA Y RACIONALIDAD, Elvio Accinelli. Faculad de Economía UASLP y UAM-1, México Documeno 118. LAS VARIABLES LATENTES COMO EL NÚCLEO DEL PROCESO DE SELECCIÓN DE LA TEORÍA EVOLUCIONISTA, Juan José Jardón Urriea (UMSNH), Mexico y Adolfo García de la Sienra, Insiuo de Filosofía. Faculad de Economía. Universidad Veracruzana, México.