Ejercicios Resueltos

Transcripción

1 Ejercicios Resuelos Alan Ledesma Arisa No separable Asuma que el agene represenaivo iene preferencias de la forma U C, M, N γc + γ σ M ] σ N +η + η. Encuenre la demanda por dinero. Para deerminar la demanda por dinero debemos resolver el problema de elección de las familias. Para simplificar el algebra, definimos: Z γc + γ M ] 2 La uilidad quedaría redefinida como: U C, M, N σ Z σ N +η + η 3 Se pueden compuar las derivadas parciales de Z : Z γc + γ C γ γc + γ M γ γc + γ γz C M ] γ C ] C M ] C 4

2 Análogamene: Z γc M + γ γ γc + γ γ γc + γ M M M ] γ ] M ] M M γz M El problema del consumidor es: max {C s, Ms Ps,Bs,Ns} s β k U C +k, M +k, N +k +k 5 s.a. 6 W N + I B + M C + B + M Donde: Variable Descripción Variable Descripción C Consumo real en M Saldo moneario en B Ahorro nominal en N Horas rabajadas en W Salario nominal en I Tasa de inerés brua nominal en Precio en El lagrangiano es: L β k U + C +k, M +k, N +k +k β k λ +k W +k N +k + I +k B +k + M +k +k C +k B +k M +k 7 2

3 Las condiciones de primer orden son: C U C, + λ 0 λ U C, 8 M U M U M P, λ βλ + P, + λ + βλ + 0 λ B λ + βλ + I 0 βλ + I λ 0 N U N, + λ W 0 U N, W λ Eliminando el muliplicador de lagrange, se obiene el sisema de ecuaciones que deermina la elección ópima del consumidor: U M P, U C, 2 I Uilizando 3], 4] y 5] se puede calcular U M P,, U C, y U N, : U M P, Z σ Z 9 U C, βu C,+ I Π + 3 U N, W U C, 4 M U C, Z σ Z γz σ+ M σ+ C 5 γz C 6 U N, N η 7 Reemplazando 5-7] en el sisema 26-4] se iene: ] M γ C 8 γ I σ+ C β Z+ I C + 9 N W Z η γ σ+ η Z η Π + η C 20 Esas ecuaciones represenan la demanda de dinero, demanda de ahorro y ofera de rabajo, respecivamene. Por ano, la respuesa a esa preguna es la ecuación 8]. 3

4 2. Asuma que las empresas uilizan la siguiene ecnología para producir el bien de consumo, Y N y que las auoridades monearias siguen una regla cuaniaiva que maniene la asa de crecimieno del dinero consane, M M M µ. Encuenre el esado esacionario en dicha economía sin capial. La resricción agregada de la economía es Y C y la condición de opimalidad de las firmas es W. Considerando esas dos úlimas relaciones y la ecnología en 20], se iene que: Y γ σ+ η Z η Y γ Y Z η+σ Y η σ+ η+σ Considerando la definición de Z en 2] y que C Y, se iene que: Z Y γ + γ M Y ] 2 22 Luego, reemplazamos el valor de M Y a parir de la ecuación de demanda de dinero 8]: Z Y γ + γ γ ] 2 γ I 23 Reemplazando ese resulado en 2]: Y γ η+σ γ + γ γ ] 2 γ I σ+ η+σ 24 El nivel de produco en ese caso depende negaivamene de la asa de inerés nominal. En ese caso no se cumple la neuralidad del dinero. Cambios en la canidad de dinero, generan cambios en la asa de inerés nominal y a ravés de ese efeco, aleran el nivel de produco. Inuiivamene, cuando el consumo y el dinero son no-separables, la uilidad marginal del consumo depende del nivel de saldos monearios reales y por lo ano genera un canal a ravés del cual cambios en la canidad de dinero afecan el secor real de la economía. Cuando la asa de inerés nominal se eleva, los agenes reducen su enencia de saldos monearios reales, y dado que M / es complemenario al consumo, reduce la uilidad marginal del consumo, reduciendo el incenivo que ienen las familias a oferar rabajo. 2 Dolarización En ese caso las familias pueden uilizar ano soles como dólares para realizar ransacciones. Por lo ano el nivel de liquidez que manienen depende del uso de ambas monedas. 4

5 Definimos el nivel de liquidez como, L M x D e x, donde, M represena la demanda por moneda domésica y D la demanda por divisas dólares, mienras que e es el ipo de cambio el precio del dólar en érminos de soles. El problema ahora es: max {C s, Ms Ps, esds Ps,Bs,B s,ns} s β k U C +k, L +k, N +k +k s.a. 25 W N + I B + I B e + M + D e C + B + B e + M + D e Donde: Variable C M D L B B I I W N Descripción Consumo real en Saldo moneario en de Soles Saldo moneario en de ME Liquidez oal en Ahorro nominal en de MN Ahorro nominal en de ME Tasa de inerés brua nominal en por acivos en MN Tasa de inerés brua nominal en por acivos en ME Salario nominal en Horas rabajadas en Precio en. Deermine las condiciones ópimas. El Lagrangiano es: L β k U C +k, L +k, N +k +k W +k N +k + I +k B +k + I + λ +k β k +k B +k e +k +M +k + D +k e +k +k C +k B +k B+k e +k M +k D +k e +k 5

6 Las condiciones de primer orden son: U L P, C U C, + λ 0 λ U C, 26 U M L P, U L P, L M x λ L U ed L e D x λ P, L M M β λ + + λ + λ + β 0 L λ + λ + λ + e D β λ + e + λ e B λ + βλ + I 0 e + β 0 e β λ + I 29 λ λ e + βλ + I e + 0 B β λ + I e + λ e 30 N U N, + λ W 0 U N, λ W 3 Eliminando el muliplicador de Lagrange, se obienen las condiciones de opimización: L U L P, x U C, I 32 M L U L P, x U C, e + 33 e D I De comparar 34] y 35], se iene que: β U C,+ U C, β U C,+ U C, I e Π + 34 I e + Π + e 35 U N, U C, W 36 I I 6 e + e 37

7 Ecuación que se conoce en la lieraura como la paridad descubiera de asas de inerés Considere: UC, L P, N lnc + ln L P b N +η + η 39 Deermine la demanda de sole, dólares y ahorro. Uilizando 39] en el sisema 32-35]: Donde: M xc 40 I e D xc I 4 I C βc + 42 Π + N b C η I I W η 43 e + e 44 En el caso de preferencias logarímicas, las demandas por cada moneda son crecienes en el nivel de consumo, y decrecienes respeco a sus correspondienes asas de inerés. Observe que ese resulado es sensible a la función de uilidad que se escoja. Se puede calcular el raio de dolarización: e D x M x I I El raio de dolarización es creciene en la asas de inerés en soles y decreciene en la asa de inerés en dólares 45 Si aplicamos logarimos naurales, se obiene su versión más conocida: i i + e