PREPARACIÓN PRUEBAS ACCESO CFGS

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1 ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD Puntos clave de Estadística: Definiciones: Población Conjunto de elementos sobre los que hacemos el estudio Muestra Si la población es grande, elegimos un grupo representativo de elementos de la población al azar. Ese grupo es la muestra aleatoria Variable Estadística Es una propiedad de los elementos de la población que queremos estudiar y que la medimos. Variables cuantitativas y cualitativas Las cualitativas no se pueden medir numéricamente. Las cuantitativas sí. Variables continuas y discretas Las discretas solo tienen un número finito de valores y las continuas pueden tener infinitos valores Tamaño de la muestra N El número N de individuos que tomamos para la muestra Definiciones: Rango de variación de la muestra (o de la población) Los límites entre el valor x i más pequeño posible (de la muestra o de la población) y el valor más grande posible. Moda: Es el valor más repetido (el que tiene una frecuencia f i mayor). Definiciones: Frecuencia absoluta f i del valor x i El número f i de veces que x i se repite en la muestra Frecuencia relativa del valor x i Es la frecuencia absoluta dividida por el número total de valores, es decir, por el tamaño de la muestra: Lo puedo expresar como un número entre 0 y 1 o lo puedo expresar en %. Frecuencia acumulada absoluta F i del valor x i Ordeno los valores x i de menor a mayor y la sumo las frecuencias absolutas de todos los valores anteriores y la del valor x i Frecuencia acumulada relativa Lo mismo que antes pero con frecuencias relativas. Cuando llego al último valor me ha de dar 1 o el 100%. Definiciones: Clases y marca de clase Si me dan los valores agrupados en intervalos (por ejemplo [0-5],[5-10],[10-15] ) los valores de las frecuencias nos las darán para esos intervalos. A esos intervalos les llamamos clases. Al valor medio de esos intervalos le llamamos marca de clase. Mediana: Si hacemos la tabla de las frecuencias relativas acumuladas, es el valor que corresponde al 50% en la función de distribución. Eso significa que ocupa la posición central, la del 50% y que en la muestra hay los mismos valores menores que él que valores mayores que él. Cómo calcular la mediana? Si tenemos un conjunto de n datos: 1º) Ordenamos los valores de menor a mayor. Si los valores se repiten, se ponen tantas veces como se repiten. 2º) Si el número de datos es impar, el valor n/2+0.5 me da la posición central. El valor que ocupa esa posición es la mediana. 3º) Si el número de datos es par, me fijo en los valores que ocupan las posiciones n/2 y n/2+1. Entonces hago la media de esos dos valores (sumo los 2 valores y divido entre 2). Esa es la mediana. Percentiles: Un percentil del x por ciento significa el valor de la muestra que, si hemos ordenado los valores de menor a mayor poniendo los valores repetidos tantas veces como salen, está justo por delante del x por ciento de los valores más bajos de los muestra. N valores de la Cuartiles: Son los percentiles del 25%, del 50% y del 75%. Deciles: Son los percentiles del 10%, 20%, 30%, etc. 1

2 Media aritmética: Me da el promedio de los datos. Varianza: Me indica lo más o menos concentrados que están los datos entorno a la media. Tengamos en cuenta que: Se puede calcular también como: Desviación típica: Coeficiente de variación: Qué hacemos cuando tenemos los datos en intervalos (clases)? Si consideramos que las frecuencias se concentran en las marcas de clase, lo calculamos como un conjunto de variables discretas pero eso no es exacto. Los valores de la media, la mediana y los percentiles normalmente no estarán justo en la marca de clase, sino en algún punto del intervalo más escorado hacia el lado que tenga mayor frecuencia. Así hay una serie de fórmulas que se aproximan más a la realidad. Si tenemos a:intervalo de cada clase; L i es el límite inferior de la clase i, f i-1, f i, f i+1 las frecuencias de las clases y F i-1, F i, F +1 las frecuencias acumuladas de las clases. Moda: (antes he visto que el intervalo con más frecuencia era el de la marca L i Mediana: (antes he ordenado por las frecuencias relativas acumuladas y he visto que el percentil del 50% (corresponde a una frecuencia absoluta acumulada=n/2) cae en la clase cuya marca es L i ) Percentiles del X%: La media y la varianza se calculan igual, no se necesita ninguna fórmula especial. EJERCICIOS ORIENTADOS A ESCRIBIR LOS DATOS EN TABLAS Y GRÁFICAS, CALCULANDO FRECUENCIAS: 1. Ejercicio: En una clase de preparación a las pruebas de acceso hay 7 personas morenas, 9 de pelo castaño, 4 rubias, 1 pelirroja, 3 calvos pelaos y 1 de pelo cano. Haz una tabla en la que se recojan los valores y sus frecuencias absolutas y relativas. Dibuja después un histograma de frecuencias relativas. Luego calcula la moda. 2. Ejercicio: En unas elecciones a delegado de alumnos, se ha producido el siguiente recuento de votos: Pepe: XXXXXX Andrea: XXX Pili: XXXXXXXXXXX Yosua Trotski: XXXXXXX Chan Chen Chou: X Florín Catalín: XXXX Haz una tabla en la que se recojan los valores y sus frecuencias absolutas y relativas. Dibuja después un histograma de frecuencias relativas. Luego calcula la moda. Finalmente, dibuja un diagrama de sectores. 3. Ejercicio: El número de habitantes de cada uno de los pisos de una finca de 36 pisos es: 2,4, 2, 3, 1, 7, 1, 4, 3, 5, 0, 3, 4, 2, 3, 3, 6, 4, 1, 0, 2, 5, 4, 1, 3, 0, 4, 5, 4, 3, 2, 4. Haz una tabla en la que se recojan los valores de nº de habitantes por vivienda y sus frecuencias absolutas, relativas y relativas acumuladas. Dibuja después un histograma de frecuencias relativas. Luego calcula la moda, la mediana, la media y la desviación típica. 2

3 4. Ejercicio: Los consumos de agua por habitante de las 10 principales capitales españolas indican que hay 2 que consumen 150 litros, 2 que consumen 175 litros, 3 que consumen 200 litros, 2 que consumen 225 litros y 1 que consume 250 litros. Haz una tabla en la que se recojan los valores de consumos por habitante y sus frecuencias absolutas, relativas y relativas acumuladas. Dibuja después un histograma de frecuencias relativas. Luego calcula la moda, la mediana, la media y la desviación típica. 5. Ejercicio: Se ha realizado en tu ciudad una encuesta sobre el número de hijos entre mujeres de 50 años. Se ha tomado una muestra de 40 mujeres obteniendo los siguientes resultados (desordenados): Haz una tabla en la que se recojan los valores de consumos por habitante y sus frecuencias absolutas, relativas y relativas acumuladas. Dibuja después un histograma de frecuencias relativas. Luego calcula la moda, la mediana, la media y la desviación típica. EJERCICIOS ORIENTADOS A CALCULAR MODAS, MEDIANAS, MEDIAS Y VARIANZAS: 6. Ejercicio: Arturito ha sacado un 7 en el primer parcial de mates, un 8 en el segundo y su nota final ha sido un 6. Si el profesor hace la media aritmética de los parciales para obtener la nota final, qué nota ha sacado en el tercer parcial? 7. Ejercicio: En 2ºESO A, las notas del examen de Física han sido: Nota Frecuencia En 2ºESO B, las notas del examen de Física han sido: Nota Frecuencia Calcula la moda, la mediana, la media, la varianza y la desviación típica de las dos distribuciones. Cuál de ellas tiene mayor media? Cuál de ellas tiene mayor variabilidad? 8. Ejercicio: El número de regalos navideños que han recibido los niños de una clase de primaria se recoge en la siguiente gráfica Haz una tabla estadística con las frecuencias absolutas, relativas y relativas acumuladas. Luego calcula la moda, la mediana, la media y la desviación típica. 3

4 9. Ejercicio: El número de multas de tráfico que han pagado los comerciales de una empresa durante el año 2014 se recoge en la siguiente gráfica Haz una tabla estadística con las frecuencias absolutas, relativas y relativas acumuladas. Luego calcula la moda, la mediana, la media y la desviación típica. EJERCICIOS CON DATOS AGRUPADOS: 10. Ejercicio: En una clase de preparación a las pruebas de acceso a ciclos formativos se mide la estatura de los alumnos: [1,50-1,60) [1,60-1,70) [1,70-1,80) [1,80-1,90) [1,90-2,00) Haz una tabla en la que se recojan los valores de las marcas de clase y sus frecuencias absolutas, relativas y relativas acumuladas. Además añade una columna con los valores x i f i y otra con los valores x i f i 2. Dibuja después un histograma de frecuencias relativas. Luego calcula la media y la desviación típica teniendo en cuenta las marcas de clase. 11. Ejercicio: En una clase de preparación a las pruebas de acceso a ciclos formativos se mide el peso de los alumnos: [40-50) [50-60) [60-70) [70-80) [80-90) [90-100) [ ) Haz una tabla en la que se recojan los valores de las marcas de clase y sus frecuencias absolutas, relativas y relativas acumuladas. Además añade una columna con los valores x i f i y otra con los valores x i f i 2. Luego calcula la media y la desviación típica. 12. Ejercicio: En una clase de preparación a las pruebas de acceso a ciclos formativos hay 7 personas entre (18,19) años; 4 personas entre (20,21) años; 3 personas entre (22,23) años; 4 personas entre (24, 25) años; 2 personas entre (26,27) años; 1 persona de 30 años y 2 personas entre (36,37) años. Haz una tabla en la que se recojan los valores en intervalos de 2 años en 2 años y sus frecuencias absolutas, relativas y relativas acumuladas. Dibuja después un histograma de frecuencias relativas. Luego calcula la moda y la mediana empleando las fórmulas específicas, y la media y la desviación típica teniendo en cuenta las marcas de clase. 13. Ejercicio: El gasto eléctrico de octubre en la finca en la que vive tu profesor ha sido de: Haz una tabla estadística completa. Luego calcula media, varianza, moda y mediana. 4

5 Puntos clave de Probabilidad: Población, Variable Aleatoria y el resto de conceptos de estadística son en general aplicables. Experimento aleatorio: Un fenómeno que depende del azar. Desde lanzar una moneda al aire a elegir un alumno al azar de la clase. Suceso elemental Es cada uno de los resultados posibles de un experimento aleatorio. Suceso compuesto Cuando tenemos en cuenta varios experimentos, ya sea repitiendo el mismo varias veces o juntando varios, por ejemplo: lanzar una moneda y tirar un dado a la vez. Sucesos independientes 2 sucesos son independientes si la probabilidad de que se cumpla 1 no influye en la probabilidad de que se cumpla el otro. Si sí influye, entonces son dependientes. Probabilidad de un suceso condicionada a que se haya cumplido otro La misma fórmula escrita al revés nos da la Probabilidad de la intersección de 2 sucesos como: Probabilidad de un suceso A (fórmula de Laplace) Medición de la probabilidad (0,1) Tomamos la probabilidad de cualquier suceso imposible como 0 Tomamos la suma de las probabilidades de todos los sucesos como 1. Probabilidad del suceso contrario Si el suceso A tiene probabilidad P(A), el suceso contrario A = no A tiene probabilidad P(A )=1-P(A) Probabilidad de la unión de 2 sucesos Si A y B son incompatibles (no pueden suceder a la vez) Probabilidad de la intersección de 2 sucesos si éstos son dependientes Probabilidad de la intersección de 2 sucesos si éstos son INdependientes Probabilidad condicionada si los sucesos A y B son independientes: Puntos clave de Combinatoria: Factorial del número n: n!=n (n-1) (n-2) Variaciones de m elementos tomados de n en n. Tengo m elementos. Cojo solo n, no se pueden repetir y el orden es importante. El número de posibilidades es: Permutaciones de m elementos Es un caso particular de variaciones en las que tengo que tomar todos los elementos: Combinaciones de m elementos tomados de n en n En el caso de que los elementos no se puedan repetir pero además el orden no sea importante. Si el orden es importante pero sí puedo repetir, entonces el número de posibilidades de tomar m elementos de n en n es simplemente: m n. Por ejemplo, Cuántos números de 3 cifras puedo escribir? Sé que son de 0 a 999, que son Eso se obtiene como

6 EJERCICIOS QUE CONECTAN EL CONCEPTO DE FRECUENCIA CON EL DE PROBABILIDAD: 14. Ejercicio: Los resultados de un examen de mates de la prueba de acceso a ciclos superiores han sido los siguientes: Nota Frecuencia Calcula primero las frecuencias relativas y las frecuencias relativas acumuladas. Cuál es la probabilidad (en %) de coger un examen al azar y que tenga un 7 de nota? Cuál es la probabilidad (en %) de coger un examen al azar y que tenga menos de un 5 de nota? Cuál es la probabilidad (en %) de coger un examen al azar y que tenga más de un 8 de nota? 15. Ejercicio: En la clase de preparación a ciclos hay un 60% de chicos y un 40% de chicas. El 80% de los chicos tienen el cabello corto y el 20% lo tienen largo. Para las chicas, el 25% tienen el cabello corto y el 75% lo tienen largo. Cuál es la probabilidad (en %) de coger un alumno y que tenga el pelo corto? 16. Ejercicio: En otra clase de preparación a ciclos hay 40 alumnos, 24 son chicos y 16 son chicas. Hay 16 chicos que tienen el cabello corto y 8 que lo tienen largo. Para las chicas, el 4 tienen el cabello corto y el 12 lo tienen largo. Cuál es la probabilidad (en %) de tomar un alumno al azar y que sea chico? Cuál es la probabilidad (en tanto por 1) de coger un alumno y que tenga el pelo largo? Cuál es la probabilidad (en %) de que el alumno tenga el pelo corto, sabiendo que es chico? Cuál es la probabilidad (en %) de que el alumno sea chica, sabiendo que tiene el pelo largo? EJERCICIOS: 17. Ejercicio: Hay un 12% de personas con sobrepeso. Cuál es la probabilidad de que en un ascensor con 4 personas haya al menos 2 que tengan sobrepeso? 18. Ejercicio: En la lotería de navidad tradicionalmente se juegan números diferentes. Cuál es la probabilidad de que me toque el gordo si juego un boleto? 19. Ejercicio: Juego a la ruleta, donde hay un número que es el cero, que corresponde a la banca y los números del 1 al 36, donde los impares son rojos y los pares, negros. Las diferentes tiradas son sucesos independientes. Cuál es la probabilidad de acertar jugando al número 17? Cuál es la probabilidad de acertar jugando a rojo impar? Cuál es la probabilidad de acertar 3 veces seguidas a rojo? Cuál es la probabilidad de acertar si juego 3 números a la vez? Cuál es la probabilidad de acertar si juego a la 1ª docena? 20. Ejercicio: Tengo una bolsa con 3 bolas rojas y 7 bolas negras. Cuál es la probabilidad de sacar al azar una bola roja? Cuál es la probabilidad de sacar 2 bolas y que sean rojas? Cuál es la probabilidad de sacar 5 bolas y que no salga ninguna roja? Y si después de coger cada bola la volvemos a poner en la bolsa, Cuál es ahora la probabilidad de sacar 2 bolas y que sean rojas? 21. Ejercicio: Lanzo una moneda al azar. Cuál es la probabilidad de sacar cruz? Cuál es la probabilidad de sacar tres caras seguidas? 6

7 22. Ejercicio: Lanzo dos dados. Cuál es la probabilidad de sacar dos unos? Cuál es la probabilidad de sacar al menos 7 puntos? Cuál es la probabilidad de sacar menos que 7 puntos? Cuál es la probabilidad de sacar justo 7 puntos? Cuál es la probabilidad de sacar o 7 o 11 puntos? Cuál es la probabilidad de sacar 11 o 12 puntos? Si repito 2 veces el experimento de los 2 dados, Cuál es la probabilidad de sacar primero un 7 y luego un 11? 23. Ejercicio: Saco naipes de una baraja española. Cuál es la probabilidad de sacar un rey? Cuál es la probabilidad de sacar un basto? Cuál es la probabilidad de sacar cuatro cartas y que al menos me salga un rey o más? Cuál es la probabilidad de sacar tres cartas y que me salgan 3 ases? Cuál es la probabilidad de sacar 2 cartas y que las dos sean oros? 24. Ejercicio: En una clase hay un 30% de chicos y de ellos un 40% usan gafas, mientras que solo un 20% de las chicas usan gafas. Cuál es la probabilidad de sacar al azar a un alumno a la pizarra y que tenga gafas? Cuál es la probabilidad de sacar al azar a un alumno y que sea chico y que tenga gafas? Cuál es la probabilidad de sacar al azar a una chica y que no tenga gafas? 25. Ejercicio: En una clase hay un 16 chicos y 14 chicas. De ellos hay 7 asesinos y 4 asesinas. Cuál es la probabilidad de sacar al azar a alguien y que no sea asesino/a? Cuál es la probabilidad de sacar al azar a un alumno y que sea chico y asesino? Cuál es la probabilidad de sacar al azar a una chica y que no sea asesina? 26. Ejercicio: Hay un 30% de contraer la gripe, un 15% de coger piojos y un 20% de ser invadido por las lombrices intestinales. Cuál es la probabilidad de tener a la vez las tres enfermedades? 27. Ejercicio: Hay un 30% de guapos y un 25% de altos. Ser guapo y alto son sucesos independientes. Cuál es la probabilidad de ser a la vez alto y guapo? 28. Ejercicio: Tenemos que, según una estadística que ha salido en el Qué me dices : fieles infieles morenos rubios 10 5 pelirrojos 3 9 Cuál es la probabilidad de ser moreno? Cuál es la probabilidad de ser fiel? Cuál es la probabilidad de ser moreno y fiel? Cuál es la probabilidad de ser infiel, si se es pelirrojo? Cuál es la probabilidad de que un rubio sea fiel? Cuál es la probabilidad de no ser pelirrojo ni infiel a la vez? 29. Ejercicio: Para un examen hay 12 tipos diferentes de ejercicios posibles de los cuales se eligen 5 ejercicios. Cuántos tipos de ejercicios diferentes he de prepararme para tener una probabilidad mayor al 50% de que me salgan al menos 3 ejercicios que domine? 7

8 EXÁMENES REALES: Ejercicio de la prueba de junio de Se ha realizado un estudio estadístico en un gran centro comercial sobre el dinero que un/a cliente/a gasta al realiza sus compras en un día cualquiera de la semana. Este estudio nos aporta la siguiente información: Dinero ( ) [0-100[ [ [ [ [ [ [ [ [ Nº personas a) Halla el gasto medio realizado por los clientes ese día. b) Si a todas las personas que gastan más de 300 euros se les obsequia con un regalo cuál es el porcentaje de clientes que reciben dicho regalo?: Ejercicio de la prueba de junio de Las frecuencias del número de asignaturas suspendidas en una clase de 20 alumnos es: Xi (número de asignaturas suspendidas) Fi (frecuencias) Calcula: a) La media, la mediana y la moda de la distribución. b) Si elegimos dos alumnos aleatoriamente, calcula la probabilidad de que ambos tengan sólo una asignatura suspendida. Ejercicio de la prueba de junio de La distribución de las multas por infracciones de tráfico en una ciudad A a lo largo de un determinado período de tiempo viene dada por la relación: 400 multas de multas de multas de 200. Calcular: El valor medio de las multas por dichas infracciones. La varianza y la desviación típica de dicha distribución de sanciones. Ejercicio de la prueba de junio de En un estudio sobre determinadas características sociológicas de un barrio, elegimos aleatoriamente 25 viviendas del mismo y computamos el número de habitaciones de cada una de ellas. El resultado viene representado en el siguiente diagrama de barras: Calcular: a. La media, la mediana y la moda del número de habitaciones de la muestra. b. Si elegimos dos viviendas al azar, calcula la probabilidad de que ambas tengan una sola habitación. 8

9 Ejercicio de la prueba de junio de Un grupo de 75 personas prepara las opciones A, B o C de la prueba de acceso a ciclos formativos de grado superior de formación profesional. De ellas, 30 personas preparan la opción A, 20 la opción B y el resto la opción C. a. Si elegimos una persona al azar, cuál es la probabilidad de que ésta prepare la opción C? b. Si elegimos al azar dos personas, cuál es la probabilidad de que las dos preparen la opción A? c. Si elegimos al azar tres personas, cuál es la probabilidad de que ninguna de las tres prepare la opción B? Ejercicio de la prueba de SEPTIEMBRE de En un edificio hay instalados dos sistemas independientes de seguridad contra incendios. La probabilidad de que se activen si ocurre un incendio es de 0 93 y 0 98 respectivamente. En el caso de que ocurra un incendio, calcula la probabilidad de que: a) No se active ningún sistema y se queme el edificio b) Se active al menos un sistema La confección de un diagrama de árbol puede ayudarte en la resolución. Ejercicio de la prueba de SEPTIEMBRE de El 60% de las personas que cursan unos estudios de matemáticas son mujeres. El 70% de las mujeres y el 50% de los hombres han aprobado un examen. Si elegimos una persona al azar, calcula: a) La probabilidad de que sea mujer y haya aprobado el examen. b) La probabilidad de que haya aprobado el examen. c) Si la nota media de las mujeres es de 6.8 y la nota media de los hombres es 5.2, cuál es la nota media de toda la clase? Ejercicio de la prueba de SEPTIEMBRE de Se realiza una encuesta a una muestra de personas para conocer el número de vehículos que tiene cada uno en propiedad y se obtienen los datos de la siguiente tabla. Xi(Nº de vehículos) Fi(Nº de personas) a) Calcula la media, la mediana y la moda de esta distribución de valores. b) Si elegimos al azar dos estas personas, cuál es la probabilidad de que ambas tengan 2 vehículos? Ejercicio de la prueba de SEPTIEMBRE de Las faltas de ortografía cometidas en una prueba realizada por 80 alumnos de Primaria, vienen reflejadas en la tabla estadística adjunta en la que se han borrado algunos datos. xi (número de faltas) Fi (frecuencia absoluta) fi (frecuencia relativa) 0.1 Se pide: a) Completar los datos de la tabla. b) Calcular la media de la distribución de las faltas de ortografía. c) Calcular la varianza y la desviación típica de dicha distribución. Ejercicio de la prueba de JULIO de Se les pregunta a los alumnos que utilizan el autobús escolar por el tiempo que tardan en llegar desde su casa a la parada del autobús. Los datos obtenidos se recogen en la siguiente tabla: Tiempo (minutos) Nº alumnos a) Qué tanto por ciento de alumnos tarda más de 10 minutos en llegar a la parada? b) Calcula la media c) Calcula la desviación típica. 9

10 EJERCICIOS PRUEBAS DE ACCESO A UNIVERSIDAD: Ejemplo de examen: Se recortan las letras de la palabra PROBABILIDAD y se introducen en una urna. Se extrae una letra de la urna. Calculad las probabilidades de que: a. Sea una vocal. b. Sea una consonante. c. No sea una B. d. Sea una D. e. Sea una T. Junio de 2013: Las notas de un estudiante en los cuatro primeros exámenes de un curso han sido: 3 5, 4 6, 2 3, y 5 1. Le falta por hacer solo un examen y quiere sacar exactamente un 5 de media. Deducir razonadamente qué nota tendrá que sacar en el quinto examen para conseguirlo. Calcular razonadamente la desviación típica y el rango de las notas de las cinco evaluaciones. Junio de 2014: Las notas de 45 alumnos en un examen de Matemáticas han sido: Calificaciones Nº de alumnos Obtener la nota media y la desviación típica de las calificaciones. 2011: Una amiga celebra su cumpleaños en el mes de marzo. Cuál es la probabilidad de acertar ese día? Y si sabemos, además, que la fecha es un número par? 2010: Con siete licores diferentes, cuántos combinados de tres licores cada uno se pueden hacer? Y si tengo siete colores diferentes, cuántas banderas tricolores puedo obtener? Explicar la diferencia entre ambos ejercicios. 2009: Las notas de los alumnos de una clase de Matemáticas son: 7,2 3,7 1,2 9,8 5,4 3,2 7,5 6,4 5,3 6,4 Calcular la media y la desviación típica y explicar su significado. 2008: Cuantas banderas tricolores se pueden componer si usamos el blanco, el azul, el rojo, el verde y el amarillo. En cuántas no estará el color rojo? 2007: Hallar la probabilidad de que, al lanzar dos dados simultáneamente, se obtenga un dos y un cinco. 2006: Calcula el número de palabras (tengan o no sentido) de cuatro letras, sin repetirlas, que se pueden formar con las letras a, c, e, o, s. Calcula la probabilidad de que una, elegida al azar, comience por vocal. 2005: Un portero de un club de futbol ha encajado en los últimos seis partidos el siguiente número de goles 1 ; 0 ; 1 ; 3 ; 0 ; 1. Averiguar la media y la desviación típica de la muestra e interpretar el resultado. 10