ESTATICA DE PARTICULAS Y CUERPOS RIGIDOS. BERNARDO ARENAS GAVIRIA Universidad de Antioquia Instituto de Física

Transcripción

1 ESTTI E PRTIULS Y UERPOS RIGIOS ERNRO RENS GVIRI Universidad de ntioquia Instituto de Física 2016

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3 Índice general 6. Estática de partículas y cuerpos rígidos Introducción Equilibrio de un cuerpo Estática de una partícula en dos y tres dimensiones Equilibrio de un cuerpo rígido Equilibrio de un cuerpo rígido sometido sólo a dos fuerzas Equilibrio de un cuerpo rígido sometido sólo a tres fuerzas Estructuras en equilibrio nálisis de una armadura rmadura simple o estáticamente determinada Fuerzas en vigas ENUNIOS ibliografía 25 3

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5 apítulo 6 Estática de partículas y cuerpos rígidos ompetencias. En esta unidad se busca que el estudiante: nalice las condiciones bajo las cuales, una partícula o un cuerpo rígido, se encuentra en equilibrio estático, tanto en dos como en tres dimensiones. nalice las condiciones que se satisfacen cuando un cuerpo rígido está en equilibrio, sometido a la acción sólo de dos fuerzas ó sólo de tres fuerzas. plique las condiciones de equilibrio a cuerpos rígidos formados por varios cuerpos rígidos. istinga entre fuerza externa y fuerza interna. istinga entre armadura, armazón y máquina. efina y analice el concepto de armadura simple. Utilice el método de los nodos y el método de las secciones, en el análisis de una armadura. Obtenga, analítica y gráficamente, la forma como varía la fuerza cortante y el momento de flexión en el interior de una viga. ONEPTOS SIOS En esta unidad, se analizan las condiciones bajo las cuales un cuerpo, tratado bajo el modelo de partícula o bajo el modelo cuerpo rígido, se encuentra en equilibrio, particularmente en equilibrio estático. Se estudian diferentes estructuras y los métodos que permiten obtener información sobre las fuerzas que se ejercen las diferentes partes de ella Introducción Hasta ahora se ha analizado la dinámica de los cuerpos que se pueden tratar, bien bajo el modelo de partícula o bien bajo el modelo cuerpo rígido. Para ello se ha tenido en cuenta el hecho que las fuerzas tienden a imprimir tanto efectos de traslación como de rotación sobre los cuerpos. En esta unidad, se analiza con cierto detalle, casos en los cuales un cuerpo se encuentra en estado de reposo. Igualmente, se consideran casos en los cuales un cuerpo interactúa con otros cuerpos, generando fuerzas que mantienen el cuerpo o estructura en reposo, esto es, las fuerzas que actúan no tienden a imprimir ningún efecto sobre el cuerpo rígido, es decir, sobre el cuerpo actúa un sistema fuerza par nulo Equilibrio de un cuerpo En la unidad 4 se encontró que siempre es posible reemplazar un sistema de fuerzas, actuando sobre un cuerpo rígido, por un sistema fuerza par aplicado en un punto arbitrario y que

6 2 PÍTULO 6. ESTÁTI E PRTÍULS Y UERPOS RÍGIOS es completamente equivalente en lo referente a traslación y rotación. En el caso particular que la fuerza y el par sean cero, el sistema de fuerzas externas forma un sistema equivalente fuerza par nulo, es decir, no tienden a imprimir ningún efecto de traslación ni de rotación sobre el cuerpo rígido. uando esto ocurre, se dice que el cuerpo rígido se encuentra en equilibrio, bien sea estático o dinámico. Lo dicho anteriormente, se puede expresar en forma matemática como se describe en lo que sigue. Que la fuerza del sistema fuerza par, no tienda a imprimir efectos de traslación, significa que la fuerza neta sobre el cuerpo sea nula, esto es F = F i i = 0, (6.1) o en componentes rectangulares, la ecuación (6.1) lleva a las expresiones F x = 0, F y = 0, (6.2) F z = 0. Que el par del sistema fuerza par, no tienda a imprimir efectos de rotación, quiere decir que el momento neto sobre el cuerpo sea nulo, es decir M = M i i = 0. (6.3) Igualmente, al descomponer la ecuación (6.3) en componentes rectangulares, se obtienen las expresiones M x = 0, M y = 0, (6.4) M z = 0. En el caso particular que las fuerzas actúen sobre un plano, por ejemplo en el plano xy, se dispone de las expresiones F x = 0, F y = 0, (6.5) M z = 0. En el caso de fuerzas coplanares, las ecuaciones de equilibrio (6.5) no son las únicas tres condiciones a utilizar. También es posible utilizar dos ecuaciones de momentos, evaluados respecto a dos puntos y una de las dos primeras expresiones de la ecuación (6.5). Igualmente, se pueden emplear tres ecuaciones de momentos evaluados respecto a tres puntos no colineales. La única condición a tener presente, es la utilización de sólo tres condiciones de equilibrio en el caso coplanar, ya que si se utilizan cuatro condiciones de equilibrio, por ejemplo, una de ellas es combinación lineal de las otras tres. Las condiciones de equilibrio anteriormente consideradas son de validez general, y particularmente las referentes a la suma de momentos de las fuerzas se satisfacen respecto a cualquier punto, siempre y cuando el cuerpo rígido esté en equilibrio. Para el caso de una partícula en equilibrio, estático o dinámico, la fuerza neta es nula y se satisfacen las ecuaciones (6.1) o (6.2) para el caso de fuerzas en tres dimensiones y las dos primeras expresiones de las ecuaciones (6.5) en el caso de dos dimensiones. uando el cuerpo rígido se encuentra en un estado de equilibrio, estático o dinámico, la fuerza neta es nula y el momento neto es nulo, o sea, sobre el cuerpo rígido actúa un sistema fuerza par nulo Estática de una partícula en dos y tres dimensiones Para un cuerpo considerado bajo el modelo de partícula, como se expresó anteriormente, la fuerza neta o resultante de las fuerzas que actúan sobre ella debido a la interacción con otros cuerpos, es nula si esta se encuentra en reposo. e este modo es aplicable la ecuación (6.1), teniendo presente si se trata de una situación en dos o tres dimensiones. Ejemplo 6.1 Un bloque de masa m se sostiene mediante una cuerda que pasa por una polea ideal móvil, como se ilustra en la figura 6.1. a) Haga el diagrama de cuerpo libre para el bloque y para la polea. b) Plantee las ecuaciones que garantizan el estado del bloque y de la polea. c) Halle la tensión en

7 6.2. EQUILIRIO E UN UERPO 3 las cuerdas. d) Evalúe para d = 450 mm, h = 15 cm y m = 15 kg. d m Figura 6.1: loque suspendido de una cuerda. Solución a) iagramas de cuerpo libre. En este caso se tienen dos partículas en equilibrio estático, sometidas a fuerzas en una y dos dimensiones, como se ilustra en la figura 6.2. b) Ecuaciones que garantizan el d T 2 T 3 T 3 T 1 m mg d d h h Resolviendo el sistema de ecuaciones anteriores, donde se tiene igual número de ecuaciones que de incógnitas, se llega a los resultados d T 1 = T 2 = 2 + h 2 mg, (6) 2h T 3 = mg. (7) d) Finalmente, al reemplazar los valores dados en las ecuaciones (6) y (7), se obtiene. T 1 = T 2 = N, T 3 = 147 N Ejemplo 6.2 La figura 6.3 muestra dos fuerzas que actúan en el origen de coordenadas. a) Obtenga las componentes rectangulares de cada una de las fuerzas. b) Encuentre el ángulo que cada fuerza forma con cada uno de los ejes coordenados. c) Si estas fuerzas actúan sobre una partícula, determine si esta se encuentra en equilibrio. 450 N z 50 o 700 N Figura 6.2: iagrama de cuerpo libre del bloque y la polea móvil. x 65 o 25o O 35 o y estado de equilibrio estático para ambos cuerpos. Para el bloque + F v = 0, T 3 mg = 0, (1) Para la polea ideal, esto es de masa despreciable + F h = 0, T 1 cos θ T 2 cos θ = 0, (2) + F v = 0, T 1 sen θ + T 2 sen θ mg = 0. (3) onde en las ecuaciones (2) y (3) y de acuerdo con la figura, se tiene sen θ = cos θ = h h 2 + d 2, (4) d h 2 + d 2. (5) Figura 6.3: Fuerzas sobre una partícula. Solución a) Teniendo en cuenta la información dada y la descomposición de fuerzas mostrada en la figura 6.4, se tiene que la fuerza F 1 de magnitud 700 N expresada en componentes rectangulares, está dada por x 450 N z F z 50 o 700 N F h 65 o 25o O F y 35 o Figura 6.4: omponentes rectangulares de las fuerzas. Fx F 1 = ( i j k)N. (1) y

8 4 PÍTULO 6. ESTÁTI E PRTÍULS Y UERPOS RÍGIOS e igual forma la fuerza F 2 de magnitud 450 N, está dada por F 2 = (155.78i j k)N. (2) b) El coseno del ángulo que forma una fuerza con un eje de coordenadas, se obtiene al dividir la componente sobre dicho eje por la magnitud de la fuerza. e este modo los ángulos que forma la fuerza F 1 con cada eje están dados por θ x = o, θ y = o, θ z = 50 o. 350 mm 700 mm x T T z 700 mm O Mg 250 mm 300 mm 650 mm Figura 6.6: iagrama de cuerpo libre del cilindro. T y En su lugar, los ángulos que la fuerza F 2 forma con cada eje son θ x = o, θ y = o, θ z = 25 o. c) Para saber si la partícula a la que se aplican las fuerzas se encuentra en equilibrio, se debe hallar la fuerza neta total o resultante que actúa sobre ella. Utilizando el método de la geometría vectorial para sumar vectores, y las ecuaciones (1) y (2), se encuentra que la fuerza neta en componentes rectangulares está dada por F neta = ( 70.84i j k)N. e acuerdo con este resultado se concluye que la partícula no se encuentra en equilibrio ya que la fuerza resultante que actúa sobre ella es diferente de cero. Por lo tanto, la partícula está sometida a una fuerza cuya magnitud y dirección están dadas por F neta = N, θ x = o, θ y = o, θ z = o. Ejemplo 6.3 Un cilindro se sostiene mediante tres cuerdas, como se ilustra en la figura 6.5. Halle la magnitud de la tensión en las cuerdas y, y la masa del cilindro, sabiendo que la magnitud de la tensión en la cuerda es 550 N. 350 mm 700 mm x z 700 mm O 250 mm 300 mm 650 mm Figura 6.5: ilindro suspendido de tres cuerdas. Solución omo se ilustra en la figura 6.6, primero se considera y el diagrama de cuerpo libre para el cilindro, que será tratado bajo el modelo de partícula, ya que las fuerzas que actúan sobre él tienden a generar solo efectos de traslación. onsiderando la información dada en el enunciado y el diagrama espacial, se encuentra que las componentes rectangulares de cada una de las fuerzas mostradas en el diagrama de cuerpo libre, son T = T ( 0.4i j k), (1) T = ( i j k) N, (2) T = T (0.73i k), (3) W = 9.8 mk. (4) Teniendo en cuenta que las condiciones de equilibrio para el caso de una partícula están dadas por las ecuaciones (6.2), y las ecuaciones (1), (2), (3) y (4) se obtiene el sistema de ecuaciones simultáneas 0.4T T = 0, (5) 0.33T = 0, (6) 0.86T T 9.8 m = 0. (7) Resolviendo el sistema de ecuaciones simultáneas, dadas por las expresiones (5), (6) y (7), se llega finalmente a T = N, T = N, m = kg Equilibrio de un cuerpo rígido uando un cuerpo rígido se encuentra en equilibrio estático ó dinámico, el sistema fuerza par neto, debido a las fuerzas externas que actúan sobre él, es nulo. Lo anterior significa que si se tiene un sistema de fuerzas en tres dimensiones, son válidas las expresiones (6.1) ó (6.2) y (6.3) ó (6.4). Para el caso de fuerzas en dos dimensiones, son de validez las expresiones (6.5).

9 6.2. EQUILIRIO E UN UERPO Equilibrio de un cuerpo rígido sometido sólo a dos fuerzas Si un cuerpo rígido está en equilibrio, sometido únicamente a la acción de dos fuerzas, el momento total de las dos fuerzas respecto a cualquier punto es nulo. sí, al considerar los puntos de aplicación de las fuerzas F 1 y F 2 en la figura 6.7(a), se tiene M = 0, condición que se satisface siempre y cuando la línea de acción de la fuerza F 2 pase por el punto como se ilustra en la figura 6.7(b). Igualmente, respecto al punto también se de- F 1 F 2 F 1 F 2 F 2 (a) (b) (c) Figura 6.7: uerpo rígido en equilibrio, sometido sólo a dos fuerzas. be cumplir la condición M = 0, por lo que en este caso, la línea de acción de F 1 debe pasar por el punto como lo muestra la figura 6.7(c). Por otro lado, como se presenta equilibrio de traslación, esto es F = 0, F1 F 1 F 3 F 1 F 1 F 3 F 2 F 2 F 2 F 3 (a) (b) (c) Figura 6.8: uerpo rígido sometido sólo a tres fuerzas. evaluados respecto al mismo punto. omo en la figura 6.8(b) las líneas de acción de F 1 y F 2 se cortan en el punto, entonces M = 0, por lo que la línea de acción de F 3 también debe pasar por para garantizar el equilibrio, como se muestra en la figura 6.8(c). Si las líneas de acción de las tres fuerzas no se cortan, deben ser paralelas. sí, las tres fuerzas deben ser tales que sus líneas de acción sean concurrentes, o se corten en algún punto, para garantizar que el cuerpo rígido se encuentre equilibrio. e lo contrario, son paralelas las líneas de acción de las tres fuerzas. Ejemplo 6.4 La varilla, de longitud L y masa M, permanece en la posición mostrada en la figura 6.9. Si la pared es lisa y la superficie horizontal es rugosa, determine a) Las reacciones en los extremos de la varilla. b) La fuerza de fricción estática, si el movimiento de la varilla es inminente y el coeficiente de fricción en el extremo es µ. c) Los valores de las cantidades obtenidas en los numerales anteriores, para M = 3 kg, θ = 25 o y µ = se debe cumplir que F 1 = F 2. En síntesis, si un cuerpo rígido sometido a la acción de dos fuerzas se haya en equilibrio, las dos fuerzas deben tener igual magnitud, la misma línea de acción y sentidos opuestos Equilibrio de un cuerpo rígido sometido sólo a tres fuerzas Igual que en el caso anterior, si el cuerpo rígido está en equilibrio sometido solamente a la acción de tres fuerzas, figura 6.8(a), se cumple la condición M = 0, donde los momentos son Figura 6.9: Varilla apoyada en el piso y la pared. Solución Teniendo en cuenta los dos apoyos en los extremos de la varilla, el diagrama de cuerpo libre es como se ilustra en la figura En el extremo sólo actúa la normal que la pared lisa ejerce sobre la varilla, mientras que en el extremo actúan, la fuerza x debida a la fricción estática entre la varilla y la superficie horizontal y la normal y ejercida por el piso. Por otro lado, el peso de la varilla actúa en su

10 6 PÍTULO 6. ESTÁTI E PRTÍULS Y UERPOS RÍGIOS Ejercicio 6.1 Resuelva el ejemplo 6.4 teniendo en cuenta que sobre la varilla actúan tres fuerzas. x Mg Ejercicio 6.2 nalice la situación que se presenta, cuando en el ejemplo 6.4 se supone que el piso es liso y la pared es rugosa. y Figura 6.10: iagrama de cuerpo libre de la varilla. centro de masa, coincidente con el centro geométrico si es homogénea como se supone en este caso. Ecuaciones de movimiento. omo la varilla permanece en la posición mostrada, quiere decir que está en equilibrio estático, esto es, se deben cumplir simultáneamente las siguientes condiciones + F x = 0, x = 0, (1) + F y = 0, y Mg = 0, (2) y tomando el sentido antihorario como positivo M = MgLcosθ + Lsenθ = 0. (3) a) Mediante las ecuaciones (1), (2) y (3), se encuentra que las reacciones en los extremos de la varilla están dadas por = 1 2 Mgcotθ = 1 2 Mgcscθ 1 + 3sen 2 θ tan 1 (2tanθ). (5) b) En general, entre la fuerza de fricción estática y la normal de la superficie se cumple la relación F s µn. (6) hora, como el movimiento es inminente, la ecuación (6) adquiere la forma F s = µn. (7) Por las ecuaciones (1), (2) y (7), con x = F s y y = N, la fuerza de fricción estática es x = µmg. (8) c) Reemplazando valores en las ecuaciones (4), (5) y (8), se obtiene = N. = N 43 o. F s = 7.35 N. Ejemplo 6.5 La varilla de longitud L y masa M, conectada a una articulación en el extremo, está unida a un bloque de masa m, mediante una cuerda que pasa por una polea ideal fija, como en la figura La superficie horizontal es lisa. etermine a) La masa mínima del bloque, que permite levantar la varilla del piso. b) Las componentes rectangulares de la reacción en y la tensión en la cuerda. c) La masa mínima m, la reacción en y la tensión en la cuerda, para M = 2kg y θ = 40 o. m Figura 6.11: Varilla apoyada i articulada. Solución e acuerdo con el diagrama espacial, el triángulo es isósceles. e ahí que el ángulo que forma la cuerda con la horizontal es L β = θ. (1) El diagrama de cuerpo libre, para el bloque y para la varilla, teniendo en cuenta el apoyo y las conexiones del sistema, es el mostrado en la figura Utilizando la información contenida en los diagra- T m mg T` L Figura 6.12: iagrama de cuerpo libre del bloque y la varilla. mas de cuerpo libre, las ecuaciones de equilibrio estático, están dadas como sigue. v h

11 6.2. EQUILIRIO E UN UERPO 7 Para el bloque Para la varilla + F v = 0, T mg = 0. (2) + F h = 0, R m M R/2 Figura 6.13: isco a punto de subir un escalón. h Tcosβ = 0, (3) + F v = 0, + Tsenβ Mg + v = 0, (4) y tomando el sentido antihorario como positivo M = 0, 1 2 MgLcosθ Lcosθ TLsenβ = 0. (5) a) Para determinar la masa mínima m, se considera el instante en el cual la varilla va a despegar del piso, esto es, en el momento que la normal se hace cero. sí, mediante las ecuaciones (1), (2) y (5), se llega a la expresión m = 2 1 Mcosθsec 1 2 θ. (6) b) on ayuda de las ecuaciones (1), (2), (3), (4) y (6), se encuentra que las componentes rectangulares de la reacción en, están dadas por Ejercicio 6.3 En la figura 6.13, el disco de masa M y radio R, está unido a un bloque de masa m, mediante una cuerda que pasa por una polea ideal fija. etermine a) La masa mínima m, a partir de la cual el disco subiría el escalón de altura 1 2 R. b) Las componentes rectangulares de la reacción en y la tensión en la cuerda. c) La masa mínima m, la reacción en la esquina y la tensión en la cuerda, para M = 1.5 kg y R = 20 cm. Ejercicio 6.4 omo se ilustra en la figura 6.14, una esfera de masa m, descansa sobre dos superficies que forman entre sí un ángulo θ. a) Qué condición deben cumplir las líneas de acción de las fuerzas que actúan sobre la esfera? Justifique su respuesta. b) La condición anterior depende del valor del ángulo θ? Por qué? h = 1 2 Mgcosθtan 1 2 θ, (7) v = 1 2 Mg(2 cosθ). (8) Reemplazando la ecuación (6) en la ecuación (2), la tensión en la cuerda es T = 1 2 Mgcosθsec 1 2 θ. (9) c) Por la ecuación (6), la masa mínima tiene el valor m = 0.82 kg. Reemplazando valores en las ecuaciones (7) y (8), es posible encontrar que la reacción en es = 12.4 N o. Finalmente, por la ecuación (9), la tensión en la cuerda está dada por T = 7.99 N 70 o, donde la dirección corresponde al ángulo β mostrado en el diagrama de cuerpo libre. Figura 6.14: Esfera entre planos inclinados. Ejemplo 6.6 La barra de la figura 6.15, de masa 20 kg y longitud 5 m, se mantiene en la posición indicada mediante una articulación de rótula en el extremo, la cuerda, y la cuerda. La barra se encuentra en el plano yz. Encuentre a) la tensión en cada cuerda, y b) la reacción en el extremo. x 2 m 2.5 m z 1.5 m 3 m 3.5 m Figura 6.15: arra en el espacio tridimensional. y

12 8 PÍTULO 6. ESTÁTI E PRTÍULS Y UERPOS RÍGIOS Solución e acuerdo con el diagrama espacial y la información dada en el enunciado, el diagrama de cuerpo libre para la barra es como se muestra en la figura Teniendo en cuenta el diagrama de cuerpo b) Reemplazando las ecuaciones (7) y (8) en las ecuaciones (1), (2) y (3), se encuentra que las componentes de reacción en el extremo, tienen los valores x 0, (9) x 2 m 2.5 m x z z 1.5 m y T T 196 N 3.5 m 3 m Figura 6.16: iagrama de cuerpo libre de la barra. libre para la barra, se encuentra que las fuerzas en componentes rectangulares están dadas por T = T ( 0.35i 0.93j k), T = T (0.52i 0.83j 0.21k), W = (196 N)k, = x i + y j + z k. omo la barra se encuentra en equilibrio estático, sobre ella actúa un sistema fuerza par nulo. e este modo, las ecuaciones que garantizan el equilibrio traslacional, adquieren la forma F x = 0, 0.35 T T + x = 0, (1) F y = 0, 0.93 T 0.83 T + y = 0, (2) F z = 0, 0.12 T 0.21 T z = 0, (3). M O = 0, 3.27T T 392 = 0, (4) 1.05T T = 0, (5) 1.4T 2.08T = 0. (6) omo se dispone de seis ecuaciones y hay cinco incógnitas, el problema tiene solución numérica. a) Utilizando las ecuaciones (5) y (4), se encuentra que la magnitud de la tensión en cada cuerda, está dada por T = N, (7) T = N. (8) y y = N, (10) z = N. (11) Las ecuaciones (9), (10) y (11) indican que la reacción en es paralela al plano yz, ya que la componente de reacción en x es nula. e este modo, la magnitud de la reacción en el extremo de la barra, es = N. (12) Finalmente, mediante las ecuaciones (10) y (12), es posible demostrar que el ángulo que forma la reacción en con el eje y, tiene el valor θ y = o. Ejercicio 6.5 El dispositivo de la figura 6.17, conocido como grúa, permite levantar ó sostener cuerpos de gran masa M. La grúa está conectada en el extremo mediante una articulación, y el brazo de longitud L = 3 m tiene una masa m = 100 kg y hace un ángulo de 45 o con la horizontal. El cable forma un ángulo de 30 o con la horizontal y puede soportar una tensión máxima de 10 kn. Encuentre la masa máxima que se puede levantar, bajo las condiciones indicadas. 30 o 45o M L/12 Figura 6.17: Grúa estática. Ejercicio 6.6 La plataforma rectangular de la figura 6.18 es uniforme, tiene una masa de 200 kg, mide 2.56 m de longitud y 1.2 m de ancho. En y la plataforma está conectada mediante bisagras y sostenida por un cable fijo a las esquinas y que pasa por un gancho sin fricción E. Suponiendo que la bisagra en no experimenta ninguna fuerza axial, determine a) la tensión en el cable, b) las reacciones en y.

13 6.3. ESTRUTURS EN EQUILIRIO 9 z x 1.8 m 1.84 m 0.72 m E 1.2 m 0.24 m 0.24 m Figura 6.18: Tablón en plano horizontal Estructuras en equilibrio En la primera parte de esta unidad se analizaron situaciones en las cuales intervenía un sólo cuerpo, sobre el cual actúan fuerzas ejercidas por otros cuerpos, es decir, sobre él se ejercen únicamente fuerzas externas. En lo que sigue, se analizan cuerpos rígidos formados a su vez por varios cuerpos rígidos, unidos entre sí por diferentes tipos de conexiones y conocidos como estructuras. Particularmente, se consideran estructuras en equilibrio. En el análisis de estructuras es necesario tener muy clara la diferencia entre una fuerza externa, la cual es ejercida por otro cuerpo ajeno a la estructura, y fuerza interna, que es ejercida por una parte de la estructura sobre otra. entro de las estructuras se consideran aquellas conocidas como armaduras y de las cuales se analizan dos métodos que permiten determinar las fuerzas en cada uno de los componentes de la armadura, denominados método de los nodos y método de las secciones. Finalmente se estudian fuerzas en vigas estáticas. Una escalera de tijera es un buen ejemplo de una estructura. Esta situación se analiza en el ejemplo 6.7 Ejemplo 6.7 La escalera de tijera mostrada en la figura 6.19, fue construida mediante dos escalerillas cada una de masa M y longitud L. Las escalerillas están conectadas mediante una bisagra en el extremo y se mantienen unidas por medio de un miembro horizontal de longitud L/2, sujeto a los puntos medios de las dos escalerillas. a) Halle la reacción sobre la escalera en los puntos de apoyo y. b) Encuentre la fuerzas de reacción en los extremos del miembro horizontal. e acuerdo con el resultado obtenido, el miembro horizontal está sometido a tensión o compresión? c) etermine las componentes de reacción en el extremo, debido a la acción de una escalerilla sobre la otra. y L L/2 Figura 6.19: Escalera de tijera. Solución omo la escalera se encuentra en equilibrio estático, cada uno de los cuerpos rígidos que la componen, también se encuentra en reposo. Por ello, es posible y necesario, tener en cuenta la escalera como un todo y cada una de las partes que la conforman. Por tal razón, primero se hace el diagrama de cuerpo libre para la escalera completa y para cada una de las escalerillas. N L Mg L/2 L L Mg Figura 6.20: iagrama de cuerpo libre de la escalera completa. N L Mg x x y y N T 1 T 1 T 2 T 2 Figura 6.21: iagrama de cuerpo libre de cada escalerilla. En el diagrama de cuerpo libre de la figura 6.20, se observa que en la escalera completa únicamente aparecen los pesos de cada escalerilla y las reacciones en los apoyos y, por ser las fuerzas externas que actúan sobre ella. No aparecen las fuerzas de reacción en el extremo ni las fuerzas generadas por el miembro horizontal, ya que son fuerzas internas para la escalera completa, mas no para cada una de las escalerillas, como se muestra en la figura hora se plantean las ecuaciones de equilibrio estático, necesarias para obtener el valor de las cantidades pedidas en el enunciado. Mg L N

14 10 PÍTULO 6. ESTÁTI E PRTÍULS Y UERPOS RÍGIOS Ecuaciones de equilibrio para la escalera completa M = 0, N L Mg L 2 (1 + cos 60) Mg L cos 60 = 0. (1) 2 M = 0, Mg L 2 (1 + cos 60) + Mg L 2 cos 60 N L = 0. (2) + F y = 0, N + N Mg Mg = 0. (3) Ecuaciones de equilibrio para la escalerilla izquierda M = 0, Mg L 2 cos 60 T L 1 2 sen 60 N L cos 60 = 0, (4) + F x = 0, x T 1 = 0, (5) + F y = 0, N Mg + y = 0. (6) a) Mediante las ecuaciones (1) y (2), se encuentra que las reacciones en los apoyos y de la escalera, están dados por N = N = Mg. (7) b) Fuerza de reacción que actúa en los extremos del miembro horizontal. e acuerdo con la tercera ley de Newton, se debe tener en cuenta que si T 1 es la fuerza que el miembro ejerce sobre la escalerilla, T 1 es la fuerza que la escalerilla ejerce sobre el miembro horizontal. e acuerdo con lo anterior y empleando las ecuaciones (4) y (7), se obtiene T 1 = T 1 = 0.58Mg. (8) El signo menos significa que en los diagramas de cuerpo libre las fuerzas T 1 y T 1 tienen sentidos opuestos a los considerados inicialmente. Por lo tanto, la fuerza T 1 actúa hacia la izquierda sobre el miembro horizontal y como este se encuentra estático, la fuerza T 2 actúa hacia la derecha, indicando con esto que el miembro horizontal está sometido a tensión, ya que las fuerzas que actúan sobre él tienden incrementar su longitud. c) Las reacciones x y y, debido a la conexión que existe entre las dos escalerillas, se obtienen con ayuda de las ecuaciones (5), (6), (7) y (8), encontrando que x = 0.58Mg, y = 0. El signo menos en la componente x, indica que el sentido de la fuerza correspondiente es opuesto al mostrado en el diagrama de cuerpo libre. Teniendo en cuenta la forma como se construyen las diferentes estructuras, es posible distinguir entre tres tipos de ellas, como se describe en lo que sigue. rmadura Es una estructura fija y estable, formada por elementos rectos unidos en sus extremos por medio de pasadores. Se construyen para soportar cargas y de tal forma que en cada extremo actúa una fuerza cuya línea de acción es paralela al elemento mismo, es decir, es una fuerza longitudinal. Las dos fuerzas en los extremos deben cumplir la condición de ser opuestas y de igual magnitud, para garantizar el equilibrio estático. rmaduras para puentes, armaduras para torres de energía y armaduras para techos, son ejemplos de este tipo de estructuras. rmazón Igual que una armadura, es una estructura fija y estable, formada por elementos rectos. Se construyen para soportar cargas y a diferencia de una armadura, en los extremos pueden actuar dos ó más fuerzas cuyas líneas de acción no tienen que ser paralelas al elemento. e este modo, la única diferencia con la armadura, se presenta debido a que hay elementos de fuerza múltiple. La escalera de tijera, es un ejemplo de armazón. Máquina diferencia de las estructuras anteriores, una máquina tiene partes móviles, se construye para transmitir y cambiar fuerzas, y tiene por lo menos un elemento de fuerza múltiple. Un alicate, una llave de contención o una retroexcavadora, son ejemplos de máquinas nálisis de una armadura omo fue definida antes, una armadura está constituida por varios elementos rectos de dos fuerzas y es una estructura estable, utilizada tanto en puentes como en edificios.

15 6.3. ESTRUTURS EN EQUILIRIO 11 Los diferentes elementos que conforman una armadura, se conectan en sus extremos o nodos (nudos) por medio de pasadores lisos. uando todos los elementos de una armadura se encuentran en el mismo plano, se habla de una armadura plana, a diferencia de una armadura en el espacio, en la cual los elementos se encuentran en diferentes planos. Las armaduras se construyen del modo indicado, buscando que las fuerzas o cargas sobre los diferentes elementos se concentren en los nodos, esto es, en los extremos de los elementos. unque generalmente se desprecia el peso de los elementos de una armadura frente a las cargas que esta soporta, cuando este no sea despreciable, su peso se supone que actúa sobre los nodos, la mitad en cada nodo. Se debe tener claro que el peso es una fuerza externa que actúa sobre la armadura completa, mientras que las fuerzas sobre cada elemento, corresponden a fuerzas internas en la armadura completa. omo las fuerzas sobre un miembro de una armadura, actúan en los extremos y son longitudinales, estos pueden estar sometidos a tensión o compresión. Es decir, si las fuerzas tratan de estirar o incrementar la longitud del elemento, se dice que está sometido a tensión; de otro modo, si las fuerzas tienden a comprimir o reducir la longitud del miembro, se dice que está sometido a compresión. Las dos situaciones se muestran en le figura 6.22 rmadura Fink rmadura Howe rmadura Pratt Fink compuesta Figura 6.23: rmadura utilizadas en techos. puentes, cada una con el nombre asignado. on rmadura Howe rmadura Pratt rmadura Warren Tensión ompresión Figura 6.22: Miembro sometido a tensión o compresión. En las figuras 6.23, se muestran diversas armaduras con los nombres asociados a cada una de ellas y que son empleadas en estructuras para techos. Igualmente, en las figuras 6.24 se tienen armaduras que se utilizan en estructuras para Warren modificada Figura 6.24: rmadura empleadas en puentes. el fin simplificar el análisis de una armadura real, se hacen las siguientes aproximaciones, las cuales permiten considerarla como una armadura ideal. 1. Los miembros o elementos de la armadura se consideran rectos y delgados, esto es, se desprecia su espesor. 2. Los nudos o nodos donde se unen los diferentes elementos de la armadura se representados mediante puntos.

16 12 PÍTULO 6. ESTÁTI E PRTÍULS Y UERPOS RÍGIOS 3. Los nudos, que en realidad son pasadores, se asume que son lisos, es decir que no presentan fricción. 4. uando los pesos de los elementos son comparables con las cargas aplicadas a la armadura, se aplican en los extremos del miembro, de lo contrario se toman como despreciables. 5. En lo que respecta a las cargas aplicadas a una armadura, se consideran como cargas concentradas en lo nudos. 6. Los miembros y caras de una armadura plana se toman en el mismo plano. e acuerdo con lo anterior, la fuerza que se ejerce sobre un elemento, debido a la acción ejercida por el pasador liso, está dirigida a lo largo del miembro. omo se ilustra en la figura F F F F P Nodo o nudo F P F P F P F Figura 6.25: Fuerzas en elementos y nodos. En la figura 6.25 se ha tenido en cuenta la tercera ley de Newton, es decir, la fuerza que un pasador ejerce sobre el extremo de un elemento, es de igual magnitud y sentido opuesto a la fuerza que el elemento ejerce sobre el pasador. Teniendo en cuenta la deformación o no de una armadura, estas se dividen en armaduras estables y armaduras inestables. rmadura estable o rígida: Es una armadura que no cambia su configuración debido a las cargas aplicadas y a las reacciones en sus conexiones o apoyos. Una armadura estable está conformada de tal manera que sus elementos forman triángulos. Por ello, la armadura estable, más estable que existe, es triangular. Una armadura que se construye tomando como base un triángulo, se denomina armadura simple. rmadura inestable o no rígida: Es una armadura que se deforma como consecuencia de las cargas aplicadas y de las reacciones en sus conexiones y apoyos. Una armadura inestable está constituida de tal forma que sus elementos pueden formar polígonos de más de tres lados. Por ello, la armadura inestable más sencilla corresponde a una armadura rectangular rmadura simple o estáticamente determinada Una armadura es simple, cuando en ella se pueden determinar todas las incógnitas, aplicando las condiciones que garantizan su equilibrio. Para una armadura simple, construida con m elementos, apoyada o conectada de tal forma que actúan r reacciones y con un total de j nodos, se satisface la expresión m + r = 2j. (6.6) Lo anterior es posible comprobarlo con cada de las armaduras simples mostradas en las figuras 6.23 y El término de la izquierda, m + r, en la ecuación (6.6), corresponde al número total de incógnitas a determinar en una armadura y el término de la derecha, 2j, es el número de ecuaciones linealmente independientes, que permiten resolver completamente una armadura. En el caso de no poder determinar todas las incógnitas mediante condiciones de equilibrio, se dice que la armadura es estáticamente indeterminada. uando esta situación se presenta es necesario hacer una análisis de las deformaciones que se presentan en los miembros de la armadura. Lo anterior indica que el número de incógnitas es mayor que el número máximo de ecuaciones de equilibrio linealmente independientes, es decir, (m + r > 2j). Para hallar las fuerzas que actúan sobre los miembros o elementos de una armadura, se dispone del método de los nodos que permite conocer las fuerzas en todos los elementos de la armadura y el método de las sesiones mediante el cual es posible encontrar las fuerzas que actúan en algunos miembros de la armadura.

17 6.3. ESTRUTURS EN EQUILIRIO 13 omo se explica a continuación, independiente del método a emplear, cuando se hace el análisis de una armadura, por inspección se deben encontrar los miembros o elementos de fuerza cero o nula, ya que esto puede simplificar en buena medida los procedimientos involucrados. En la armadura estática de la figura 6.26, se tienen varios elementos de fuerzas cero. Lo que se debe tener en cuenta para este análisis, es el hecho que las fuerzas en los extremos de cada elemento son paralelas al elemento. Observando el nodo, se tiene que sobre él sólo actuaría una fuerza horizontal ejercida por el elemento que es anulada por la carga Q y una fuerza vertical generada por el elemento, que no puede ser anulada ya que la fuerza neta sobre el nodo es cero, o sea que este es un elemento de fuerza cero. l analizar el nodo, la carga horizontal P sería anulada por la fuerza horizontal que el elemento ejerce sobre él; pero la fuerza vertical ejercida por el elemento sobre el nodo, no hay quien la anule, por ello es un elemento de fuerza cero. l considerar el nodo, la fuerza horizontal del patín sobre este nodo es anulada por el elemento, por lo cual no es posible que en este nodo se anule la componente vertical de la fuerza que ejercería el elemento, por lo que este es otro elemento de fuerza cero. Q Figura 6.26: Elementos de fuerza nula. Método de los nodos P El método de los nudos o nodos, está basado en el equilibrio de una partícula, ya que el punto de unión de varios elementos de la armadura se encuentra estático, cuando la armadura está en reposo. Lo anterior indica que por cada nodo se dispone de dos ecuaciones de equilibrio linealmente independientes. Por lo tanto, si en la armadura hay un total de j nodos, para resolverla completamente, es necesario resolver 2j ecuaciones linealmente independientes. En el método de los nodos o nudos para resolver completamente una armadura, se deben seguir los pasos que a continuación se describen. 1. Primero se debe tener mucha claridad sobre el diagrama espacial de la armadura a analizar, identificando por inspección si existen miembros de fuerza cero. 2. El paso siguiente tiene que ver con la realización del diagrama de cuerpo libre de la armadura completa, que permite hallar las reacciones generadas por las conexiones y apoyos. 3. Luego se eligen los nodos más adecuados y se hace el diagrama de cuerpo libre para cada uno de ellos. 4. En este paso se plantean las ecuaciones de equilibrio estático para la armadura completa y para cada nodo. 5. Finalmente, se resuelve el sistema de ecuaciones obtenido, hasta encontrar tanto las fuerzas externas como internas, determinando si cada uno de los miembros de la armadura se encuentra en tensión o compresión. Ejemplo 6.8 Mediante un rodillo, la armadura para techo de la figura 6.27, está apoyada en a una superficie horizontal y conectada a una articulación en. En el nodo se aplica una carga de 100 N. a) Encuentre las fuerzas de reacción debidas a agentes externos. b) Halle las fuerzas en todos los miembros de la armadura. c) etermine, para cada elemento de la armadura, si está sometido a tensión o compresión. Solución e acuerdo con los pasos a seguir, primero se deben hacer los diagramas de cuerpo libre de la armadura completa y de cada uno de los nodos, como se muestra en la figura En este caso no se tienen elementos de fuerza cero. Teniendo en cuenta los diagramas de cuerpo libre de la figura 6.28, las ecuaciones que garantizan el estado de reposo de la armadura completa, tienen la

18 14 PÍTULO 6. ESTÁTI E PRTÍULS Y UERPOS RÍGIOS 30 o 30 o 100 N Figura 6.27: rmadura de techo. rmadura completa 30 o 30 o 100 N v h Nodo Nodo + F x = 0, T T = 0. (6) + F y = 0, T 100 = 0. (7) + F x = 0, h + T cos 30 T = 0. (8) a) Fuerzas de reacción en la conexión y en el apoyo. Por las ecuaciones (1), (2) y (3), se encuentra que las componentes de reacción en y en, están dadas por v = 50 N, h = 0 y = 50 N. forma Para cada nodo 30 o 30 o 100 N v h Figura 6.28: iagramas de cuerpo libre. M = 0, v L 100 L 2 M = 0, = 0. (1) 100 L L = 0. (2) 2 + F x = 0, h = 0. (3) onde = = L/2. e forma similar y utilizando los diagramas de cuerpo libre para cada uno de los nodos, las ecuaciones que garantizan el equilibrio estático para cada nodo, están dadas por Nodo + F x = 0, T T cos 30 = 0. (4) + F y = 0, T sen 30 = 0. (5) b)fuerzas en los miembros de la armadura. Mediante las ecuaciones (4), (5), (6), (7) y (8), permiten saber que los valores de las fuerzas en cada miembro son T = T = T = 100 N, T = T = N. c) Para saber si cada elemento está sometido a tensión o compresión, es necesario tener en cuenta la tercera ley de Newton, ya que en los diagramas de cuerpo libre se consideran las fuerzas que los elementos ejercen sobre los nodos y nos interesan las fuerzas que los nodos ejercen sobre los elementos. Teniendo en cuenta lo anterior, los miembros y están sometidos a compresión, mientras que los elementos, y están sometidos a tensión. Método de las secciones diferencia del método de los nudos, el método de las secciones está basado en el equilibrio de un cuerpo rígido de una porción de la armadura, ya que si armadura completa está en equilibrio, parte de ella también lo está. En este caso, se dispone entonces de seis ecuaciones simultáneas linealmente independientes. Tres de ellas asociadas a la armadura completa y de las cuales es posible conocer las reacciones en los apoyos y conexiones y las otras tres que surgen al imponer las condiciones de equilibrio a la porción de la armadura, y mediante las cuales es posible conocer las fuerzas longitudinales

19 6.3. ESTRUTURS EN EQUILIRIO 15 que actúan como máximo en tres elementos de la armadura. Si no es necesario conocer las fuerzas que actúan sobre todos los miembros de una armadura, sino sobre algunos de ellos, el método más adecuado es el de las secciones, y los pasos a seguir son 1. Inicialmente hay que tener mucha claridad sobre el diagrama espacial de la armadura a analizar, identificando por inspección si existen miembros de fuerza cero. 2. Luego se obtiene el diagrama de cuerpo libre de la armadura completa, mediante el cual es posible hallar las reacciones generadas por las conexiones y apoyos. 3. continuación se elige la porción de la armadura que incluya los miembros de interés y se hace el diagrama de cuerpo libre correspondiente. En la porción se debe incluir como mínimo un elemento completo. 4. e acuerdo con los dos diagramas de cuerpo libre, se plantean las ecuaciones de equilibrio estático para la armadura completa y para la porción de interés. 5. Por último, se resuelve el sistema de seis ecuaciones simultáneas, encontrando tanto las fuerzas externas como internas, determinando si en cada uno de los miembros de interés se encuentra en tensión o compresión. Ejemplo 6.9 La armadura de la figura 6.29 está conectada a una pared mediante una articulación y apoyada en ella mediante un rodillo. a) Halle las componentes de reacción en los puntos y E. b) etermine las fuerzas en los miembros, y E. c) Teniendo en cuenta los resultados del numeral anterior, diga si los miembros, y E se encuentran sometidos a tensión o compresión. Solución e acuerdo con la conexión y el apoyo de la armadura, el diagrama de cuerpo libre para la armadura completa, tiene la forma mostrada en la figura Tomando la porción izquierda de la armadura (), el diagrama de cuerpo libre correspondiente es el mostrado en la figura Las ecuaciones de equilibrio para la armadura completa, están dadas por M = 0, m 5 kn 4 m E 4 m Figura 6.29: rmadura simple m 5 kn 4 m E y E x 4 m Figura 6.30: iagramas de cuerpo libre de la armadura completa E4 = 0. (1) 5 M E = 0, x4 = 0. (2) + F y = 0, y 5 4 = 0. (3) 5 Para la sección izquierda de la armadura, se tienen las siguientes ecuaciones de equilibrio. 4 3 M = 0, T E4 = 0. (4) 4 m M = 0, 5 kn 4 m T T TE 4 m Figura 6.31: iagrama de cuerpo libre de la sección izquierda.

20 16 PÍTULO 6. ESTÁTI E PRTÍULS Y UERPOS RÍGIOS T 4 = 0. (5) + F y = 0, 2 T 2 54 = 0. (6) 5 a) omponentes de reacción en y E. Empleando las ecuaciones (1), (2) y (3), se encuentra que E = 11 kn, x = 8 kn y y = 4 kn. b) Las fuerzas longitudinales sobre los miembros, y E se obtienen mediante las ecuaciones (4), (5) y (6), llegando a T = 4 kn, T = 5.66 kn y T E = 11 kn. c) e acuerdo con los resultados del numeral anterior, los sentidos considerados para las fuerzas sobre los tres elementos en la porción de la armadura, son los correctos. Por lo tanto, al utilizar la tercera ley de Newton se llega a concluir: los elementos y están sometidos a tensión y el elemento E a compresión. Ejercicio 6.7 Resuelva la situación planteada en el ejemplo 6.9, tomando la porción derecha de la armadura. Ejercicio 6.8 etermine las fuerzas en los miembros, y de la armadura considerada en el ejemplo Fuerzas en vigas En las secciones anteriores se han analizado situaciones de partículas y cuerpos rígidos en equilibrio, particularmente armaduras simples. En los métodos estudiados ha sido posible determinar las fuerzas externas que actúan sobre el cuerpo rígido, debido al tipo de conexiones y apoyos que le permiten estar es reposo. En el caso de una armadura simple, se analizaron dos métodos que hacen posible determinar las fuerzas que mantienen unidos los elemento de ella. En la primera parte de esta sección, se estudian las fuerzas en vigas, esto es, se consideran las fuerzas que mantienen unido un elemento determinado de una estructura. Una viga se define como una elemento delgado y prismático, que puede ser recto o curvo, y se construye de tal forma que soporta cargas a lo largo de su longitud, que tienden a generar deflexiones transversales. Las vigas son de utilidad en estructuras tales como puentes, edificios y aviones. Las vigas pueden soportar fuerzas concentradas, fuerzas distribuidas y pares a lo largo de su longitud. Hasta este momento, a los cuerpos se les ha aplicado fuerzas que actúan en un punto, es decir, fuerzas concentradas. una viga también se le pueden aplicar fuerzas que están distribuidas sobre varios puntos de ella, o sea, fuerzas distribuidas. En la figura 6.32 se muestra una viga sobre la cual actúan, simultáneamente, dos fuerzas concentradas de 10 N y 25 N; dos pares de 50 N m y 120 N m; y una fuerza uniformemente distribuida de 15 N m 1 10 N 15 N m N m 25 N 120 N m Figura 6.32: Viga sometida a dos fuerzas concentradas, una fuerza distribuida y dos pares. uando actúa una fuerza distribuida sobre una viga, es posible reemplazarla por una fuerza concentrada equivalente, aplicándola en el punto adecuado. la viga de la figura 6.33 se le aplica una fuerza distribuida de 35 N m 1, que actúa sobre una longitud de 2 m. 35 N m -1 2 m Figura 6.33: Viga sometida a una fuerza distribuida. En este caso, la fuerza concentrada equivalente tiene una magnitud de 35 N m 1 2 m = 70 N y su punto de aplicación se encuentra a 1 m del extremo derecho, como se ilustra en la figura Si la fuerza no está uniformemente distribuida sobre la viga, el punto de aplicación de la

21 6.4. FUERZS EN VIGS 17 fuerza concentrada equivalente, se debe calcular utilizando los métodos empleados en el análisis de centroides y centros de gravedad, que no corresponde a los temas de este curso. Las 70 N Se tiene una viga en voladizo cuando solo está conectada o empotrada en uno de sus extremos, es decir, cuando se le impide cualquier tipo de movimiento a dicho extremo. También se habla de una viga con voladizo, cuando no está conectada o apoyada en uno o los dos extremos. Una viga simple es aquella que esta apoyada por medio de un rodillo en uno de sus extremos y conectada a una articulación en el otro, es decir, cuando es estáticamente determinada, ya que el número de reacciones debido a los apoyos o conexiones es igual al número de incógnitas. En lo que sigue y como lo permite la física, se consideran vigas estáticamente determinadas, esto es, cuando las condiciones de equilibrio son suficientes para determinar las reacciones desconocidas, en otras palabras, cuando el número de ecuaciones coincide con el número de incógnitas. uando aparecen más incógnitas que ecuaciones, es necesario recurrir a los métodos de resistencia de materiales, con el fin imponer nuevas condiciones que permitan el análisis completo de la viga. Primero se considera un elemento recto de dos fuerzas, sometido a tensión en sus extremos, como se muestra en la figura F F 1 m Figura 6.34: Fuerza concentrada equivalente. vigas pueden estar apoyadas o conectadas por medio de articulaciones, pasadores o rodillos. Igual que en el caso de una armadura, una viga está estáticamente determinada cuando el número máximo de incógnitas, debido a las reacciones en los apoyos o conexiones, es tres. Pregunta 6.1 Una viga está conectada: (a) dos articulaciones, (b) a dos patines y una articulación y (c) tres patines. Para cada caso, la viga es estáticamente determinada ó estáticamente indeterminada? Explique. -F F -F Figura 6.35: Elemento sometido a tensión. En la figura 6.35 se asume que el miembro se encuentra estático, sometido a tensión por las fuerzas F y F. Si se lleva a cabo un corte hipotético de dicho miembro en, se tienen las porciones y que también deben estar en equilibrio estático. Por ello, si ejerce la fuerza F sobre, por la tercera ley de Newton se tiene que ejerce la fuerza F sobre. Lo anterior indica que estas fuerzas internas son las que permiten mantener unidas las dos partes del miembro, existen siempre que el elemento esté sometido a tensión y se conoce como fuerza axial. hora, se analiza un miembro recto de dos fuerzas pero sometido a compresión, como se ilustra en la figura F -F F -F Figura 6.36: Miembro sometido a compresión. En la figura 6.36 se asume que el miembro se encuentra en reposo, sometido a compresión mediante las fuerzas F y F. Si se lleva a cabo el corte hipotético de dicho miembro en, se tienen las porciones y que también deben estar en equilibrio estático. Por ello, si ejerce la fuerza F sobre, por la tercera ley de Newton se tiene que ejerce la fuerza F sobre. Lo anterior indica que estas fuerzas internas son las que permiten mantener unidas las dos partes del miembro, existen mientras el F F F

22 18 PÍTULO 6. ESTÁTI E PRTÍULS Y UERPOS RÍGIOS miembro esté sometido a compresión y es una fuerza axial. omo la sección es arbitraria, se tiene que la magnitud F de la fuerza interna es la misma en cualquier sección del elemento y se habla de la fuerza en el miembro. hora se considera un miembro estático, sobre el cual actúan simultáneamente varias fuerzas, tal como en el elemento mostrado en la figura En este caso, las fuerzas exter- Q h1 Q h Q V2 Qv Q 2 F h P 2 Q 2 F v h -M-F M -F v Figura 6.37: Miembro de varias fuerzas. nas que actúan sobre la viga tienden a imprimir efectos tanto de traslación como de rotación sobre ella. l hacer un corte hipotético en la sección, las dos partes de la viga continúan en reposo, por lo que actúa una fuerza axial de magnitud F h y una fuerza cortante F v, para garantizar que la fuerza neta sea nula sobre cada parte del elemento. dicionalmente, se tiene un momento de flexión con magnitud M, el cual garantiza que el momento total sea nulo sobre cada porción del miembro. uando se desea conocer en un elemento de una estructura, la fuerza axial, la fuerza cortante y el momento de flexión, se deben seguir los siguientes pasos 1. Primero se debe tener claridad sobre el diagrama espacial de la estructura. P P 2 P 1 4. Luego se hace el diagrama de cuerpo libre el cual incluye la fuerza axial, la fuerza cortante y el momento de flexión en el corte. 5. poyándose en los diagramas de cuerpo libre, se plantean las ecuaciones de equilibrio para la estructura completa y para el elemento donde se realizó el corte. 6. Finalmente se resuelve el sistema de ecuaciones, para obtener la información solicitada. En lo que sigue se aplican cargas transversales, esto es, perpendiculares a las viga, lo cual genera una simplificación puesto que no será necesario analizar efectos axiales sobre la viga. e este modo, el análisis se reduce a analizar los efectos cortantes y los efectos de flexión a lo largo de la viga.este caso se presenta con frecuencia cuando se utilizan vigas en diferentes situaciones reales. Es costumbre utilizar la convención que a continuación se describe, para el análisis de vigas. En el caso más general, se considera una viga simple conectada tanto a una articulación, como a un patín y sometida a cargas transversales y pares a lo largo de su longitud. Luego de hacer V M M Figura 6.38: Fuerza cortante y momento de flexión. V (a) (b) (c) (d) 2. continuación se hace el diagrama de cuerpo libre de la estructura completa, mediante el cual será posible determinar las reacciones generadas por las conexiones y apoyos. 3. omo paso siguiente, se hace un corte transversal en el elemento que contenga la sección de interés. un corte en la viga de la figura 6.38(a), puede ocurrir que las fuerzas externas, reacciones y cargas, tiendan a desplazar la porción izquierda de la viga verticalmente hacia arriba, respecto a la porción derecha, como se ilustra en la figura 6.38(b). Esto hace que la fuerza cortante que la porción derecha ejerce sobre la porción izquierda, esté dirigida verticalmente hacia abajo. hora, por la tercera ley de Newton y sobre