Los Números Primos: un vasto campo de exploración

Transcripción

1 Los Números Primos: un vasto campo de exploración Juan Pablo Prieto Instituto de Matemática y Física Universidad de Talca 1 Introducción Este trabajo pretende mostrar algunas, muy pocas, facetas del estudio de los números primos. Se espera que esta introducción pueda dar lugar a revalorar la aritmética, aquella de los antiguos, la de las preguntas ingenuas, simples. Una ventaja de la aritmética es que, además de su simplicidad y rigor (es de aquellas disciplinas que permite introducir los elementos más importantes de una demostración: hipótesis, tesis, reducción al absurdo, etc.) y simples reglas del juego (la axiomática de la aritmética es intuitiva), permite experimentar numéricamente, especialmente con la llegada de los computadores. Por esta razón, los invito a explorar algunas preguntas, con la idea de motivarlos para incluir esta temática, a nivel de exploración (investigación) en sus aulas. Partes de esta exposición requerirán de un conocimiento de elementos de probabilidad y cálculo integral. Uno de los grandes atractivos de la aritmética es justamente su complicidad con las otras ramas de la matemática como: cálculo, variable compleja, geometría, algebra abstracta, etc. Como sabemos, los enteros distintos de cero, se dividen en tres clases: 1. 1, 1: unidades 2. ±2, ±3, ±5, ±7, ±11,...: primos 3. ±4, ±6, ±8, ±9,...: compuestos Primero, para evitar considerar los signos, trabajaremos con enteros positivos, en este caso un entero positivo n es un primo si n>1 y sus únicos divisores positivos son 1 y n. Los primos constituyen las partículas elementales de la aritmética, en virtud del Teorema Fundamental de la Aritmética, que nos dice: Teorema 1.1 Todo entero mayor que 1 se puede expresar de manera única como producto de primos donde e i es un entero positivo. n = p e1 1 pe k k Una ventaja de los primos, por sobre las partículas elementales es que hay infinitos (este es el gran Teorema de Euclídes, cuya demostración todavía brilla por su elegancia y potencia). 1

2 Demostración 1 (Euclídes). Por contradicción. Supongamos que hay finitos primos y listémoslos: p 1,...,p k. Sea N = p 1 p k +1. Es claro que N 1 es divisible por todos los primos p j. Además, N es divisible por algún p i,demodoquep i divide a N (N 1), lo que evidentemente es imposible. Existe otra demostración famosa dada por Euler en el siglo XVII: p 1 Demostración 2 (Euler). La serie diverge (esto requiere de un trabajo adicional de demostración). p En este trabajo se analizarán algunas preguntas cualitativas y cuantitativas acerca de los primos, y una aplicación. 2 Cómo se encuentran o construyen los números primos? Un principio básico que muestra lo elusivo que son los primos es el siguiente: Los primos se encuentran usando cribas, no usando fórmulas. Los matemáticos que se dedican a buscar primos son como los buscadores de oro, y de hecho usan (básicamente) la misma herramienta: una criba. Para determinar si un número n es primo, el modo más simple (y a la vez menos satisfactorio) es: probar si n es divisible por 2, 3, 5, 7,..., hasta n 1 (aunque basta probar hasta n). La criba más antigua es la de Erastótenes. La idea es simple, se listan los números y de la lista se tarjan todos los múltiplos de 2, luego los de 3 y así sucesivamente. Los números que quedan sin marcar son los primos: 2 3 4/ 5 6/ 7 8/ 9/ 10/ 11 12/ 13 14/ 15/ 16/ 17 18/ 19 20/ 21/ 22/ 23 24/ 25/ 26/ 27/ 28/ 29 30/ 31 32/ 33/ 34/ 35/ 36/ 37 38/ 39/ 40/ 41 42/ 43 44/ 45/ 46/ 47 48/ 49/ 50/ 51/ 52/ 53 54/ 55/ 56/ 57 58/ 59 60/ 61 62/ 63/ 64/ 65/ En la búsqueda de primos, la demostración de Euclídes da lugar a un método seguro para la obtención de nuevos primos. La construcción que mostramos comienza con el 2 y entrega al menos un nuevo primo en cada paso. N 2 = 2+1 N 3 = 2 3+1=7 N 4 = =43 N 5 = =1807= N 6 = = = Como ya dijimos, los primos se encuentran con cribas, esto porque no existen fórmulas para construir sólo primos (ningún polinomio puede producir primos únicamente), sin embargo, hay algunas fórmulas famosas que producen un número asombroso de primos: 2

3 1. x 2 x + 17 es primo para x =0, 1, 2, 3, 4,...,16 2. x 2 x + 41 es primo para x =0, 1, 2, 3,..., x produce 150 primos para x entre 0 y 198. Los primos de Mersenne. Un número de la forma M n =2 n 1 se llama número de Mersenne. Estos números tienen un sitial importante en la aritmética debido a que los más grandes primos conocidos son justamente primos de esta forma (ver la tabla de los Primos Top Ten). Además, como veremos, para estos números existe un algoritmo concreto para determinar su primalidad. Observemos qué sucede con estos números analizando el exponente n : Si n =2k con k>1 entonces: 2 2k 1=(2 k 1)(2 k + 1). Si n es compuesto, n = pq, entonces 2 pq 1=(2 p 1)(2 p(q 1) + + 1). De modo que si n es compuesto el número M n no es primo. Sin embargo, si n es primo no necesariamente M n será primo. El Test de Lucas-Lehmer chequea la primalidad de M p =2 p 1. M p es primo M p divide a S p donde S n = S 2 n 1 2 y S 2 = 4 (observe que la sucesión comienza en S 2 ). En la práctica este Test es muy caro, ya que la sucesión S n, para n>1, es: 4, 14, 194, ,... Por si alguien desea encontrar un nuevo (o antiguo) primo de Mersenne, el siguiente pseudocódigo le permitirá escribir un programa para buscarlo (Test de Lucas-Lehmer): TLL(p): s:= 4; for i from 2 to p-1 do s:= sˆ2-2 mod 2ˆp - 1; if s==0 then 2ˆp - 1 es primo else 2ˆp - 1 es compuesto; end Se conocen sólo 36 primos de Mersenne, de hecho de la lista de los primos top ten (los primos conocidos más grandes hasta septiembre de 1997), seis de ellos son primos de Mersenne (ver [Cal]): 3

4 Primos Top Ten primo dígitos quien año Spence, Woltman et al Armengaud, Woltman, et al Slowinski y Gage Slowinski y Gage Slowinski y Gage Jeffrey Young Brown, Noll, et al Slowinski Jeffrey Young Jeffrey Young 1997 Observación 2.1 Los primos de Mersenne dan lugar a los números perfectos (P es perfecto si es la suma de sus divisores propios). Euler probó que todos los números perfectos pares tienen la forma P = M p 2 p 1 donde M p es un primo de Mersenne. Por lo tanto, se conocen sólo 36 números perfectos (no se sabe si hay números perfectos impares). Primos de Fermat Fermat afirmó que todos los números de la forma F n =2 2n + 1 son primos. Una pequeña tabla nos muestra los primeros valores: F o = 3 F 1 = 5 F 2 = 17 F 3 = 257 F 4 = F 5 = Euler probó, 100 años después, que F 5 no es primo, simplemente al descubrir que F 5 = Hasta el momento sólo se conocen 5 primos de Fermat. Asimismo, se ha probado que F 6,F 7,F 8,F 11,F 12,F 13,F 73 son compuestos (este último número tiene más de dígitos). El número de Fermat más pequeño del que aun no se sabe su estado es F 20 que tiene dígitos. Sin embargo, se sabe que F 3310, que tiene más de dígitos, no es primo y uno de sus factores es Así como los primos de Mersenne están relacionados con los números perfectos, los primos de Fermat están relacionados con las construcciones geométricas con regla y compás. Esta relación la descubrió Gauss en su adolescencia. Teorema 2.2 (Gauss). El polígono regular de n lados es constructible con regla y compás si y sólo si n es de la forma n =2 k p 1 p s con k entero 0 y p i primos distintos de Fermat. 4

5 Por ejemplo, los polígonos regulares de n lados con n = 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12,..., 17 son constructibles con regla y compás. Pero si n = 7, 9, 11, 13, 14, 18, es imposible construir un polígono regular de n lados con regla y compás. La construcción del heptágono con regla y compás fue un problema abierto por más de años. A pesar de todo lo que se ha trabajado con los números de Fermat, la siguiente conjetura parece decir que la afirmación original de Fermat dista mucho de ser válida. Conjetura 2.3 Hay un número finito de primos de Fermat. 3 Es un número primo? Para encontrar primos pequeños (menores que ), la manera más eficiente de hacerlo es usando la Criba de Erastótenes. Evidentemente, es más difícil determinar si un número de 20 dígitos es primo usando división y es imposible si el número tiene 200 dígitos. Para esto se necesitan algoritmos mucho más eficientes. El pequeño Teorema de Fermat (no confundir con el Ultimo) nos da una poderosa herramienta para decidir si un número es compuesto: Teorema 3.1 Pequeño Teorema de Fermat: Si p es primo y si a es cualquier entero, entonces a p a (mod p). En particular, si p no divide a a, entonces a p 1 1 (mod p). Dado n>1 elijamos un entero a>1 y calculemos a n 1 (mod n) 1, si el resultado no es 1, n será compuesto. Si el resultado es 1, entonces n podría ser primo, que suele llamarse un primo probable en base a (pseudo primo). Por ejemplo, hay primos menores que , pero sólo pseudo primos en base 2. Puede haber pocos pseudo primos, pero en todo caso hay infinitos en cualquier base a. Con el objeto de mejorar esta prueba de primalidad, podemos intentar usar diferentes bases 2, 3, 5,..., etc. Sin embargo, en este caso nos encontraremos con los números de Carmichael. Definición 3.2 Un entero compuesto n se llama, número de Carmichael si a n 1 1 (mod n) para todo entero a relativamente primo con n. Ejemplos: 561, 1105, 1729, 2465, A pesar de su rareza, también hay infinitos números de Carmichael. Otro test de primalidad, que en teoría es un criterio para determinar si un número es primo, pero que en la práctica es inútil, es el siguiente: Teorema 3.3 de Wilson. n es primo (n 1)! 1(mod n) Para probar, usando este criterio, que 101 es primo habría que calcular 100!, que es un número de 160 dígitos. Existen muchas otras pruebas de primalidad, basadas en diferentes resultados en teoría de números, algunas de las cuales son extremadamente avanzadas para exponer aquí. 1 En el apéndice se presenta un programa escrito en Pascal para realizar esto usando cuadrados sucesivos, es decir descomponiendo el exponente en base 2 5

6 4 Cuántos primos hay? Pregunta aparentemente simple que, sin embargo, tiene muchas aristas, como veremos más adelante. Una posible respuesta es justamente la que dio Euclídes: hay infinitos primos. Esta misma respuesta nos obliga a hacernos una mejor pregunta. Cómo se distribuyen los primos? Cuántos primos hay menores que un cierto número? Cuál es la probabilidad que un número n sea primo? Si tenemos una ventana de largo k y la deslizamos sobre la recta real, cuántos primos vemos? La respuesta ingenua a la última pregunta es un poco más sencilla, vemos algunos, pocos y menos primos, a medida que nos deslizamos. De hecho hay intervalos de longitud arbitraria sin ningún primo. Por ejemplo, el intervalo [1001! + 2, 1001! ] no contiene ningún primo. La respuesta a la segunda pregunta, es conocida como el Teorema del Número Primo, que fue demostrado en 1896 por Hadamard e independientemente por de la Vallée Poussin. Sea π(x) elnúmero de primos menores o iguales a x. Por ejemplo los primos menores que 100 son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 89, 97. Con estos datos, π(3)=2,π(25) = π(26) = π(27) = 9 y π(45) = 14. De hecho, en el intervalo [1001! + 2, 1001! ] la función π es constante. Usando una tabla de números primos (que se puede encontrar en cuasi cualquier texto de aritmética) es posible graficar π(x) en un intervalo (por ejemplo entre 0 y 100). Aún cuando el gráfico aparece como irregular, hay claramente un comportamiento definido para esta función. El conocimiento de π(x) dauna idea de la distribución de los primos. Gauss y Legendre propusieron las siguientes aproximaciones (obtenidas en forma empírica): x dt π(x) := li(x) : Gauss (1791) ln t π(x) 2 x : Legendre (1798) ln x 1, Otra aproximación está dada simplemente por x ln x. Teorema 4.1 del Número Primo (TNP): La cantidad de primos menores o iguales a x es asintótico a x/ ln x. Decimos que a(x) esasintótico a b(x) si lim a(x)/b(x) =1. No significa que a(x) b(x) se aproxime a cero. x Veamos numéricamente estas aproximaciones 6

7 x π(x) x/ ln x x/(ln x 1) Consecuencias: 1. Se puede aproximar π(x) por x/(ln x 1) Consecuencia del TNP. 2. El n-ésimo primo es aproximadamente n ln n. Equivalente al TNP. 3. Dado que aproximadamente. n/ ln n de los enteros menores o iguales a n son primos, la probabilidad de que uno sea primo es alrededor de 1/ ln n. Estudio probabilístico de los primos. En esta parte pretendemos justificar el TNP usando un análisis heurístico. Se debe tener en consideración que la argumentación vertida aquí no es rigurosa, que por lo demás era la manera de hacer matemática por muchos siglos. En todo caso, las conjeturas de Gauss y Legendre respecto de la función π(x) fueron obtenidas con evidencia empírica. La probabilidad que un número cualquiera sea divisible por p es 1/p ya que, partiendo de 1: 1,p,2p, 3p,... cada p enteros uno es divisible por p. Así, la probabilidad que x no sea divisible por ningún primo menor que x es: W (x) = ( 1 1 )( 1 1 )( 1 1 ) = ) (1 1pi p i<x Es decir, esta expresión es la probabilidad de que x sea primo. Aplicando logaritmos a esta igualdad: ln W (x) = ) ln (1 1pi p i<x 1 p i (usando la serie de Taylor Nota: Escribir la serie de Taylor de ln(1 t) y cortarla en el primer término. Un término dado, 1/n en la sumatoria ocurre con probabilidad W (n), por lo tanto (truco principal) se puede escribir: ln W (x) 7 x n=2 x 2 W (n) n W (n) n dn

8 Sea A(x) = 1 W (x) Derivando en ambos lados: (la distancia promedio entre primos), con esto nos deshacemos del signo de la integral: ln A(x) = x 2 dn na(n) A (x) A(x) 1 xa(x) Por lo tanto, A(x) ln x (distancia promedio!!) y además, W (x) 1 ln x Ejemplo: (densidad promedio). x = 20, ln 20 3, así la distancia promedio de los tres primos más cercanos a 20 es 3: 17, 19, 23. x = 150: la distancia promedio será 5 x =10 50 : cada 115 números uno será primo. Así, llegamos a la conjetura de Gauss y al teorema del número primo: Como la densidad promedio de los primos es W (x) 1 ln x, entonces el número de primos sera: x dt π(x) := li(x) ln t 2 5 Una Aplicación de los Primos Codificación Digital con Clave Pública 2. En un sistema de codificación con clave pública, el receptor de un mensaje secreto publica su clave de codificación. Con esta clave cualquier persona puede codificar mensajes para el receptor, sin embargo, el conocimiento de esta clave no permite decodificar el mensaje. Cómo puede ser esto posible? La clave es una llave para una puerta de trampa, es decir, una caja a la que se puede ingresar un mensaje, pero para la cual se necesita otra llave para sacarlo. Como ejemplo se puede pensar en un buzón, al cual es posible ingresar cartas, pero no así sacarlas sin la llave adecuada. Supondremos que tenemos un mensaje cifrado, es decir, un texto transformado a uno o varios números. Sea 1 <M<rel mensaje cifrado. Suponemos que mcd(m,r) = 1. El sistema de criptografía con clave pública que describiremos está basado en aritmética modular. Para esto necesitamos conocer la función φ de Euler, cuyos valores dependen de los divisores de n. Definición 5.1 φ(n) =número de enteros positivos menores que n y coprimos con n. 2 Una referencia general para esta sección es [Sch] 8

9 Esta función cumple con las siguientes propiedades: φ es multiplicativa, es decir: φ(a b) =φ(a) φ(b), cuando mcd(a; b) =1. φ(p k )=p k 1 (p 1) De este modo, si n = p e1 1 pe2 2 pe k k entonces φ(n) =pe1 1 1 (p 1 1)p e2 1 2 (p 2 1) p e k 1 k (p k 1). La codificación consiste en elevar M a una cierta potencia s y guardar sólo el resto módulo r. El mensaje codificado E se obtiene de: E M s (mod r), 1 <E<r Si elegimos como módulo r un número primo, descifrar E, es decir, recuperar M de E sería fácil. Esto se hace del siguiente modo: Calcularemos el recíproco de s, digamos t, resolviendo la congruencia st 1(mod r 1), r 1=φ(r) Para que esta congruencia tenga solución, ya sabemos que s y r 1 deben ser coprimos. Un método para obtener t de s resulta del Teorema de Euler: t s φ(r 1) 1 (mod r 1) Ya que para un tal t se tiene: si mcd(s, r 1). ts s φ(r 1) 1 (mod r 1) Ahora bien, si elevamos el mensaje cifrado E a la potencia t y reducimos módulo r obtenemos el mensaje M: E t M st (mod r) y como st 1 (mod r 1), podemos escribir: st =(r 1)k + 1. Luego, E t M (r 1)k+1 (mod r) Nuevamente aplicamos Euler (o Fermat, ya que r es primo): M r 1 1 (mod r) E t M (mod r) Como 1 <M<r, obtenemos el mensaje M de vuelta. Ejemplo 5.2 Sea s =3,r=17,φ(r 1)=8. Con esta elección de s y r se tiene el siguiente exponente de decodificación: t s φ(r 1) = 11 (mod 16) Por lo tanto st 1 (mod 16). 9

10 Tomemos un mensaje, M =4,el que codificado es: E M s (mod 17) Calculemos M de E y t: E t =13 11 = (13 5 ) 2 13 = ( ) =M (mod 17) Sistema de Codificación Pública Sea r = pq un entero que sea el producto de dos primos p, q. Enlapráctica, p y q son primos con alrededor de 100 dígitos. Además, el método usa un exponente de codificación s que se elige de modo que s y φ(r) sean coprimos. Cualquier persona que quiera recibir mensajes secretos selecciona un triple p, q, s y publica r (el producto de p y q) ys. Para enviar un mensaje, este se cifra en un número M, y luego se eleva a la potencia s módulo r. Para decodificar el mensaje, el receptor tiene calculado t del siguiente modo ts 1 (mod φ(r)) Para esto, conociendo los factores de r = pq, sabe que φ(r) =(p 1)(q 1) y por lo tanto: t s φ(φ(r)) 1 (mod φ(r)) Después descifra el mensaje E del siguiente modo: E M s (mod r) E t M st M φ(r)k+1 (mod r) E t M (mod r) Ejemplo 5.3 Consideremos la siguiente selección de números: p = 7919 (el primo número 1000) q = (el primo número 2000) s = 541 (el primo número 100) Así r = y φ(r) = , y podemos calcular t de la congruencia 541 t 1 (mod ) que resulta en t = De acuerdo al método señalado, el receptor publica los números: y 541. Si una persona desea enviar el mensaje M = , debe calcular (mod ) lo que da E =

11 El receptor recupera el mensaje calculando: (mod ) Nota: Todos los cálculos de este ejemplo fueron realizados usando el software Maple V y el programa potencia del Apéndice. Observación 5.4 Para que el proceso descrito anteriormente funcione, M tiene que ser coprimo con r, pero la probabilidad de que esto no ocurra es alrededor de: Esto se puede estimar así: Considerando que p oporq , y que 1 <M<r, M tiene posibilidades, y para no ser coprimo hay , por lo tanto la probabilidad de que M y r no sean coprimos es: La clave de este sistema radica en que factorizar un número de 200 dígitos que contiene dos primos de 100 dígitos es una tarea titánica, que no puede ser realizada en un tiempo razonable. Además, es infinitamente más fácil determinar si un número dado de 100 dígitos es primo que factorizar un número de esta magnitud. 11

12 6 Apéndice 6.1 Algunas demostraciones En Z se define una relación de equivalencia por a m b a b (mod m). Algunas Propiedades. Sean a, b, c Z : 1. a b (mod m) = a + c b + c (mod m) 2. a b (mod m) = ac bc (mod m) 3. ac bc (mod m) y mcd(c, m) =1 = a b (mod m) El conjunto de clases de equivalencia Z/ m = {[n] : n Z} es un conjunto finito, de hecho: Z/ m = {[0], [1],...,[m 1]} Si m = p es primo, Z/ p es un cuerpo y además el subconjunto (Z/ p ) := Z/ p \{0} es un grupo de orden p 1. Demostración del Pequeño Teorema de Fermat: [1],...,[p 1] forman un grupo de orden p 1. Dado n no divisible por p (es decir, [n] [0]), se tiene: [n] p 1 = [1] o bien, n p 1 1 (mod p) Demostración del Teorema de Wilson: Usando el Teorema de Fermat, la ecuación X p (mod p) se satisface para X =1, 2,...,p 1, pero puede haber sólo p 1 soluciones, por lo tanto: X p 1 1 (X 1)(X 2) (x (p 1)) (mod p) Tomando X = p se tiene: p p 1 1 (p 1)(p 2) 2 1 (mod p) 1 (p 1)! (mod p) Demostración del Teorema de Euler: Observemos que si elegimos los φ(m) números relativamente primos con m, digamos r 1,r 2,...,r φ(m), estos forman un grupo multiplicativo en Z/ m. Multiplicando cada r i por b, con mcd(b, m) = 1, la sucesión br 1,br 2,...,br φ(m) es la misma (mod m). Por lo tanto, br 1 br 2 br φ(m) r 1 r 2 r φ(m) (mod m) b φ(m) 1 (mod m) 12

13 6.2 Programa para calcular altas potencias módulo N El programa a continuación permite calcular a d (mod N) para grandes valores de d. Por ejemplo: (mod 341) (mod 561) (mod 341) El algoritmo está basado en la descomposición binaria (base 2) del exponente d = e o +e 1 2+e e Por ejemplo, a 15 =((a 2 ) 2 ) 2 (a 2 ) 2 a 2 a La idea del programa es reducir a 2 (mod N) antes de calcular la siguiente potencia. PROGRAM POTENCIA(a, d, N); prod := 1; b := a; e := d; while e > 0 do begin if odd(e) then prod := prod* b mod N; e := e div 2; b := sqr(b) mod N; end; write("el resultado de la potencia mod N es: ", prod); end Referencias [Sch] M. R. Schroeder, Number Theory in Science and Communication, Springer-Verlag Springer Series in Information Sciences v. 7,Second Edition, [Gen] E. Gentile, Aritmética Elemental, Escuela de Talentos v. 4. [Cal] C. Caldwell, 13