Espacios Vectoriales Introducción Espacio Vectorial. (4 de Abril de 2003)

Transcripción

1 Capítulo 1 Espacios Vectoriales 4 de Abril de Introducción Frecuentemente se encuentran objetos matemáticos que pueden ser sumados entre si o multiplicados por un número. Ejemplos de tales objetos son los vectores geométricos, las matrices, las funciones, los polinomios, las soluciones de ecuaciones diferenciales, etc. En todos estos ejemplos los objetos matemáticos son de naturaleza completamente diferentes y las operaciones para la suma y la multiplicación por un número están perfectamente definidas. Se puede tener una visión unificada de todos estos objetos a través del concepto de Espacio Vectorial Espacio Vectorial Definición 1. Sea V un conjunto no vacío de elementos, V = {x 0, x 1, x 2, x 3...}. El conjunto V se denomina un Espacio Vectorial si satisface el siguiente conjunto de axiomas: 1. Axiomas de Clausura: Axioma 1. Clausura respecto a suma: A todo par de elementos x 1 y x 2 de V le corresponde un único elemento de V llamado la suma de x 1 y x 2, el cual se designa por x 1 + x 2. Axioma 2. Clausura respecto a la multiplicación por un número real: A todo elemento x de V le corresponde un único elemento de V llamado el producto de α por x 1 y designado por αx 1. Las dos operaciones anteriores deben satisfacer los siguientes axiomas: 2. Axiomas para la suma: Axioma 3. Ley Conmutativa: x 1 + x 2 = x 2 + x 1. 1

2 2 CAPÍTULO 1. ESPACIOS VECTORIALES Axioma 4. Ley Asociativa: x 1 + x 2 + x 3 = x 1 + x 2 + x 3. Axioma 5. Existencia del elemento Cero: Existe un elemento en V, designado por el símbolo 0, tal que: x = x 1. Axioma 6. Existencia de opuestos: Para todo elemento x 1 dev, existe un elemento, designado por x 1, tal que: x 1 + x 1 = Axiomas para la multiplicación por números: Axioma 7. Ley Asociativa: αβx 1 = αβx 1. Axioma 8. Ley Distributiva para la suma en V: αx 1 + x 2 = αx 1 + αx 2. Axioma 9. Ley Distributiva para la suma de números: α + βx 1 = αx 1 + βx 1. Axioma 10. Existencia del elemento idéntico: Para todo elemento x 1 dev, se tiene que: 1x 1 = x 1. Es natural llamar a los elementos de un espacio vectorial vectores. Los espacios vectoriales definidos de esta manera se llaman Espacios Vectoriales Reales por el hecho de que los elementos de V son multiplicados por números reales α, β, γ... Si en los axiomas se utilizan números complejos en lugar de números reales el espacio vectorial se denomina Espacio Vectorial Complejo. Los siguientes son ejemplos de espacios vectoriales: 1. El conjunto V=R, el conjunto de los números reales. 2. Los conjuntos ordenados de n números reales x 1, x 2, x 3...x n, designados por R n. 3. Los vectores geométricos en el espacio de dimensión tres, es decir, los segmentos dirigidos utilizados en el cálculo vectorial. 4. El conjunto V=C, el conjunto de todos los números complejos. Aunque los elementos de V son números complejos éste es un espacio vectorial real porque los escalares son reales. 5. El conjunto de funciones vectoriales definidas en algun intervalo [a, b]. Con la suma de funciones definidas de manera usual: f + gx = fx + gx, y la multiplicación de una función f por un escalar: αfx = αfx. 6. El conjunto de todas las funciones definidas en el punto 1, siendo f1 = 0. Si se reemplaza el 0 por un número c 0 se violarían los axiomas de clausura. 7. El conjunto de todos los polinomios de grado n. 8. El conjunto de matrices de orden n.

3 1.2. ESPACIO VECTORIAL Dimensionalidad de un espacio vectorial Se definen a continuación los conceptos de dependencia e independencia de vectores. Definición 2 Sea V un espacio vectorial. Se dice que los vectores x 0, x 1, x 2,...x k son Linealmente Dependientes si existen números α, β, γ... θ no todos iguales a cero tal que: αx 0 + βx 1 + γx θx k = Los vectores que no son linealmente dependientes se dice que son Linealmente Independientes, es decir, un conjunto de vectores x 0, x 1, x 2...x k se llaman vectores linealmente independientes si la igualdad: αx 0 + βx 1 + γx θx k = 0, implica que: α = β = γ =... = θ = 0. Cuando los vectores son linealmente dependientes, ecuación 1.1, y al menos uno de los coeficientes, digamos α, es diferente de cero. Entonces: αx 0 = βx 1 γx 2... θx k. Al dividir por α: x 0 = β α x 1 γ α x 2... θ α x k. Si definimos ξ 1 = β α, ξ2 = γ α,... ξk = θ α, la ecuación anterior se puede escribir como: x 0 = ξ 1 x 1 + ξ 2 x ξ k x k = k ξ i x i 1.2 i=1 Siempre que un vector x 0 pueda ser expresado a través de los vectores x 1, x 2...x k en la forma 1.2 se dice que x 0 es una combinación lineal de los vectores x 1, x 2...x k, es decir, si los vectores x 0, x 1, x 2...x k son linealmente dependientes entonces al menos uno de ellos es una combinación lineal de los otros. Si R 3 es el conjunto de vectores en el espacio de tres dimensiones, entonces es posible encontrar tres vectores linealmente independientes y cualquier cuarto vector formará un conjunto de vectores linealmente dependientes. Definición 3: Un espacio vectorial V se dice de dimensión n si éste contiene n vectores linealmente independientes y cualquier n + 1 vectores de V será linealmente dependiente. Si V es un espacio vectorial que contiene un número arbitrariamente grande de vectores linealmente independientes, entonces se dice que V es de dimensión infinita. Al definir el término espacio vectorial de dimensión n tal espacio contendrá n vectores linealmente independientes y se dice que el espacio contiene una base. Teorema 1: Todo vector x 0 de un espacio vectorial V de dimensión n queda unívocamente representado como una combinación lineal de vectores base: e 1, e 2,... e n. Demostración: Sea e 1, e 2,... e n una base de V y x un vector arbitrario de V. El conjunto

4 4 CAPÍTULO 1. ESPACIOS VECTORIALES x, e 1, e 2,... e n conforman entonces un conjunto de n+1 elementos linealmente dependientes, es decir existen n + 1 números: ξ 0, ξ 1, ξ 2,...ξ n no todos iguales a cero tal que: Como ξ 0 0, entonces: ξ 0 x + ξ 1 e 1 + ξ 2 e ξ n e n = 0, x = ξ1 ξ 0 e 1 ξ2 ξ 0 e 2... ξn ξ 0 e n. Es decir, todo vector x de R es en realidad una combinación lineal de los vectores e 1, e 2,... e n. Por otro lado, si se supone que: y además al restar estas últimas ecuaciones resulta: x = ξ 1 e 1 + ξ 2 e ξ n e n, x = γ 1 e 1 + γ 2 e γ n e n, 0 = ξ 1 γ 1 e 1 + ξ 2 γ 2 e ξ n γ n e n. Ya que los vectores e 1, e 2,... e n son linealmente independientes, entonces es decir: ξ 1 γ 1 = ξ 2 γ 2 =... = ξ n γ n = 0, ξ 1 = γ 1, ξ 2 = γ 2,... ξ n = γ n. lo que demuestra la unicidad de la representación para el vector x. Definición 4: Si e 1, e 2,... e n forman una base de un espacio vectorial V de dimensión n y: n x = ξ i e i = ξ 1 e 1 + ξ 2 e ξ n e n, 1.3 i=1 entonces los números ξ 1, ξ 2,... ξ n se denominan las coordenadas del vector x relativa a las bases e 1, e 2,... e n. Por lo enunciado en el Teorema 1, cualquier vector x de V tiene un único conjunto de coordenadas. Convención de Einstein: De ahora en adelante se utilizará el convenio de suma implícita de Einstein, en el cual, índices repetidos dentro de una sumatoria implica la suma de 1 a n, es decir, la ecuación 1.3 puede escribirse como: x = ξ i e i. 1.4 Con la introducción de las componentes de un vector se simplifica enormemente las operaciones con los elementos de un espacio vectorial, sin embargo, las componentes {ξ i } dependen de la base elegida {e i } y un cambio de base implica un cambio en las componentes. Por ejemplo:

5 1.3. ESPACIOS EUCLÍDEOS 5 Sea V el espacio vectorial conformado por los polinomios de grado n 1. En este espacio los n polinomios: 1, t,..., t n 1 forman una base. Es decir, que las coordenadas del polinomio P t = a 0 t n 1 + a 1 t n a n 1, en esta base, son los coeficientes: a 0, a 1,...,a n 2, a n 1. Sea el conjunto e 1 = 1, 0,..,0, e 2 = 0, 1,..,0,..., e n = 0, 0,..,1. Entonces los números ξ 1, ξ 2,... ξ n son las coordenadas del vector x = ξ 1 e 1 + ξ 2 e ξ n e n, relativa a las bases e 1, e 2,..., e n Subespacio de un Espacio Vectorial Dado un espacio vectorial V y sea U un subconjunto no vacío de V. Si U es un espacio vectorial, entonces U se llama un Subespacio de V. Definición 5: Un subconjunto no vacío U de un espacio vectorial V se denomina un Subespacio de V si cumple con los axiomas de clausura de la Definición 1. Es decir, un conjunto U de vectores x 1, x 2,... de V se llama un subespacio de V si para los vectores x 1 U y x 2 U entonces esto implica que x 1 + x 2 U y λx 1 U. Como un subespacio de un espacio vectorial es un espacio vectorial es correcto hablar de una base de un subespacio vectorial. Es claro que la dimensión de un subespacio arbitrario de un espacio vectorial no puede ser mayor que la dimensión del espacio vectorial. El espacio vectorial más simple, si ignoramos los espacion nulos, es el espacio vectorial de dimensión 1, 1D. Una base es este espacio es el único vector e 1 0. Es decir, un espacio vectorial 1D esta conformado por el conjunto de todos los vectores αe 1, donde α es un escalar arbitrario. Si ahora consideramos el conjunto de vectores de la forma x = x 0 + αe 1, donde x 0 y e 1 0 son vectores fijos y α un escalar arbitrario. Este espacio 1D es llamado, en su analogía con el el espacio tridimensional, una línea en el espacio vectorial V. De la misma manera al conjunto x = x 0 + αe 1 + βe 2 es llamado un plano en el espacio vectorial V de dimensión 2, 2D Espacios Euclídeos En la geometría euclídea son intruducidos conceptos que tienen que ver con la longitud de un vector o ángulo entre vectores. Con la noción de espacio vectorial, donde únicamente contamos con las operaciones de suma y de multiplicación por un escalar, no es posible formular estos conceptos de la geometría euclídea. Sin embargo, a partir del concepto de producto interior es posible alcanzar las ideas desarrolladas en la geometría euclídea. Definición 6: Si para todo par de elementos x 1 y x 2 pertenecientes a un espacio vectorial V existe un número real, denotado por x 1 x 2, tal que: 1. x 1 x 2 = x 2 x 1, 2. αx 1 x 2 = αx 2 x 1 α un número real,

6 6 CAPÍTULO 1. ESPACIOS VECTORIALES 3. x 1 + x 2 x 3 = x 1 x 3 + x 2 x 3, 4. x 1 x 1 0, y x 1 x 1 = 0 si y sólo si x 1 = 0, entonces se dice que se ha definido un producto interior. Un espacio vectorial con un producto interior definido se denomina un espacio euclídeo E n. Los siguientes son ejemplos de espacios euclídeos: 1. El espacio tridimensional ordinario R 3 de vectores. Aqui el producto interior se define como el producto de las longitudes de cada vector por el coseno del ángulo entre ellos. 2. El espacio vectorial conformado por conjuntos ordenados de números reales. Sean x 1 = ξ 1, ξ 2,..., ξ n y x 2 = η 1, η 2,..., η n elementos de éste espacio vectorial, el producto interior definido como: cumple con las condiciones 1 4. x 1 x 2 = ξ 1 η 1 + ξ 2 η ξ n η n, 3. Sea Ca, b un espacio vectorial conformado por funciones continuas en el intervalo [a, b]. Se define el producto interior de dos funciones f y g con: f g = b a fxgxdx Definición 7: La Longitud o Norma de un vector x de un espacio euclídeo se define como: x = x x. 1.5 Definición 8: El ángulo ϕ entre dos vectores x 1 y x 2 de un espacio euclídeo se define de la siguiente manera: [ ] x1 x 2 ϕ = arc cos. 1.6 x 1 x 2 Los vectores x 1 y x 2 se llaman ortogonales si x 1 x 2 = 0. Un par de elementos ortogonales se denomina ortonormales si cada uno de los vectores tiene norma igual a la unidad. El siguiente ejemplo no es más que la conexión de lo anteriormente expuesto con el teorema de Pitágoras. Sean x 1 y x 2 dos vectores ortogonales, entonces por la definición de norma de un vector resulta: x 1 + x 2 2 = x 1 + x 2 x 1 + x 2, por la ley distributiva del producto interior Condición 3 se tiene: x 1 + x 2 2 = x 1 + x 2 x 1 + x 2 = x 1 x 1 + x 1 x 2 + x 2 x 1 + x 2 x 2. Ya que los vectores x 1 y x 2 son ortogonales, entonces x 1 x 2 = x 2 x 1 = 0, resultando x 1 + x 2 2 = x 1 x 1 + x 2 x 2 = x x 2 2.

7 1.3. ESPACIOS EUCLÍDEOS 7 Es decir, el cuadrado de la longitud de la diagonal de un rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de sus dos lados ortogonales. Otro resultado que se puede obtener es el siguiente. Sea ϕ el ángulo entre dos vectores x 1 y x 2, esto es: cos ϕ = x 1 x 2 x 1 x 2, por otro lado se tiene que: o de manera equivalente esto significa que 1 x 1 x 2 x 1 x 2 1, x 1 x 2 2 x 1 2 x 2 2 1, x 1 x 2 2 x 1 x 1 x 2 x Desigualdad que se conoce con el nombre de Desigualdad de Schwarz. Si x 1 y x 2 son dos vectores de E n, entonces: x 1 + x 2 2 = x 1 + x 2 x 1 + x 2 = x 1 x 1 + 2x 1 x 2 + x 2 x 2, pero como 2x 1 x 2 2 x 1 x 2, resulta x 1 + x 2 2 = x 1 + x 2 x 1 + x 2 x x 1 x 2 + x 2 2 = x 1 + x 2 2. es decir, una consecuencia de 1.7 es que: x 1 + x 2 x 1 + x En geometría la distancia entre dos puntos se define como la longitud del vector x 1 x 2. De manera general, en un espaci oeuclídeo E n se define la distancia entre x 1 y x 2 por s = x 1 x Transformación de coordenadas bajo un cambio de bases Sea {e i } y {e i } dos bases de un espacio vectorial de dimensión n, y sea la conexión entre las bases: e 1 = a 1 1 e 1 + a 1 2 e a 1 n e n e 2 = a 2 1 e 1 + a 2 2 e a 2 n e n : : : : 1.9 e n = a n 1 e 1 + a n 2 e a n n e n Si se utiliza la convención de Einstein, éste sistema de ecuaciones se puede escribir como: e i = a i j e j, 1.10

8 8 CAPÍTULO 1. ESPACIOS VECTORIALES donde los coeficientes a i j son cantidades escalares que tienen que ver con la transformación de coordenadas: a i j = xj x i Sea {ξ i } las coordenadas de un vector x en la primera base y {ξ i } sus coordenadas en la segunda base. Entonces x = ξ i e i = ξ i e i. Utilizando las expresiones dadas por las ecuaciones 1.10 se tiene: x = ξ i e i = ξ i a i j e j = ξ j a j i e i = ξ j a j i e i. Como los {e i } son linealmente independientes, los coeficientes de los {e i } deben ser los mismos: ξ i = a j i ξ j a k iξ i = a k ia j i ξ j 1.11 Hay que hacer la acotación de que las cantidades a i j, que determinan el cambio de bases, se pueden representar como los elementos de una matriz A. Las cantidades a j i, que aparecen en la ecuación 1.11, son las componentes de la transpuesta de A y los elementos a k i por la que se multiplicó la ecuación 1.11 son los elementos de la inversa de la transpuesta de A. En general, se tiene que para cualquier transformación se cumple que : a k ia j i = δ k j AA 1 = El símbolo δ i j, llamado Delta de Kronecker, de define por δ i j = { 0 si i j 1 si i = j 1.13 De esta manera la ecuación 1.11 resulta en: a k iξ i = a k ia j i ξ j = δ k j ξj = ξ k. Se puede notar claramente que mientras los vectores bases transforman de acuerdo a 1.10, es decir: e i = a i j e j, y las componentes de un vector transforman con la inversa de a i j, es decir: ξ i = a i jξ j Los elemetos a i j también se pueden determinar a partir de la transformación de coordenadas: a i j = xi x j 1.15 En los dos casos, A y A 1, determinan la transformación de coordenadas por completo. Para que la transformación sea una transformación de coordenadas correcta ésta debe ser no singular, es decir, su Jacobiano debe ser diferente de cero: deta = 0.

9 1.3. ESPACIOS EUCLÍDEOS 9 Un ejemplo de una transformación de coordenadas es cuando se rota el sistema de coordenadas cartesianas un ángulo α en torno al eje z. Un vector x de E 2 puede descomponerse en componentes tanto en el sistema no rotado {x 1, x 2 } como en el sistema rotado {x 1, x 2 } y la relación entre ambos sistemas es: x 1 = x 1 cosα + x 2 senα 1.16 x 2 = x 1 senα + x 2 cosα 1.17 Se dice que las componentes del vector x transforman bajo rotaciones. En general, para un campo vectorial con componentes A i = A i x 1, x 2, x 3...x n se tiene que estas componentes transforman bajo rotaciones de la misma manera que 1.16 y 1.17 y asi se garantiza que el vector A es independiente de la rotación del sistema de coordenadas. Se puede generalizar el sistema 1.16 y 1.17 para el caso de E n si se define: a 1 1 = cosα, a 1 2 = senα, a 2 1 = senα, a 2 2 = cosα, y asi escribir 1.16 y 1.17 de una manera más compacta: x i = a i jx j, i = 1, 2, 1.18 A manera de generalizar se dice que el conjunto de cantidades A i constituyen las componentes de un vector A de dimensión n, sí y sólo sí: A i = a i ja j, i = 1...n, 1.19 Es posible resolver el sistema 1.16 y 1.17 para {x 1, x 2 }, resultando: En coordenadas cartesianas es fácil verificar que: x 1 = x 1 cosα x 2 senα 1.20 x 2 = x 1 senα + x 2 cosα 1.21 a i j = xi x j = xj x i = a i j, por ejemplo: a 2 1 = x2 x 1 = x1 x 2 = senα Bases Ortogonales Con anterioridad se introdujo la noción de una base sistema coordenado para un espacio vectorial. En un espacio vectorial quizás no existe razón para preferir una base de otra, pero en un espacio euclídeo es preferible utilizar las llamadas bases ortogonales, por la misma razón que en la geometría se prefieren los sistemas coordenados cartesianos. Definición 9: Los vectores {e i } forman una base ortogonal en un espacio euclídeo E n si se

10 10 CAPÍTULO 1. ESPACIOS VECTORIALES cumple que: e i e j = 0, para i j. Un conjunto ortogonal se denomina ortonormal si cada uno de sus elementos tiene norma igual a la unidad, es decir si: e i e j = δ ij Sea {e i } una base ortonormal en un espacio euclídeo de dimensión n, entonces si: x 1 = ξ 1 e 1 + ξ 2 e ξ n e n x 2 = η 1 e 1 + η 2 e η n e n entonces: x 1 x 2 = ξ 1 e 1 + ξ 2 e ξ n e n η 1 e 1 + η 2 e η n e n pero como: e i e j = δ ij resulta que: x 1 x 2 = ξ 1 η 1 + ξ 2 η ξ n η n Esto significa que el producto de dos vectores relativos a una base ortonormal es igual a la suma de los productos de las correspondientes coordenadas de esos vectores. Si se tienen una base arbitraria w i entonces se tiene que: Por otro lado, si entonces al multiplicar por e 1, resulta: x 1 x 2 = a ij ξ i η j, i, j = 1...n x = ξ 1 e 1 + ξ 2 e ξ n e n x e 1 = ξ 1 e 1 e 1 + ξ 2 e 2 e ξ n e n e 1 Por ser los e i e j = 0, para i j, entonces: de manera similar ξ 1 = x e 1 e 1 e 1 ξ 2 = x e 2 e 2 e 2,..., ξn = x e n e n e n. Es claro que si la base es ortonormal, entonces: ξ 1 = x e 1, ξ 2 = x e 2,..., ξ n = x e n. Es natural llamar al producto interno x e i, la proyección del vector x sobre e i.

11 1.4. FUNCIONES LINEALES Funciones Lineales En esta sección se estudiarán las funciones más simples que se pueden definir sobre un espacio vectorial. Definición 10: Una función lineal o forma lineal f se define sobre un espacio vectorial si para cualquier vector x es posible asociar un número fx de manera que se cumplen las siguientes condiciones: 1. fx 1 + x 2 = fx 1 + fx fλx = λfx. De esta manera, si {e i } es una base para un espacio vectorial V de dimensión n y como todo vector x puede ser representado como una combinación lineal de los vectores base x = ξ i e i, entonces, por las propiedas de una función lineal resulta que: Si se define fe i = ω i, se tiene que: fx = f ξ i e i = ξ i fe i. fx = ω i ξ i. Es fácil demostrar que las cantidades ω i transforman bajo un cambio de base de la misma manera que lo hacen los vectores covariantes, es decir de la forma: ω i = a i j ω j. Por otra lado, la suma de dos funciones lineales y el producto de una función lineal por un escalar son funcionea lineales, esto significa que el conjunto de funciones lineales conforman un espacio vectorial Espacios Duales Definición 11: Sea V un espacio vectorial de dimensión n. Se entiende por un espacio vectorial dual V de V al espacio cuyos elementos son funciones lineales definidas sobre V. Al espacio vectorial V se le suele llamar también espacio directo. Los vectores que pertenecen al espacio directo son los vectores contravariantes y a los objetos que pertenecen al espacio dual se denominan vectores covariantes Bases Duales Se puede denotar el valor de una función lineal f en un punto x por f x, de esta manera para todo par de elementos f V y x V existe asociado un número f x tal que: 1. f x 1 + x 2 = f x 1 + f x 2.

12 12 CAPÍTULO 1. ESPACIOS VECTORIALES 2. f λx = λf x. 3. λf x = λf x. 4. f 1 + f 2 x = f 1 x + f 2 x. No se debe confundir 1-4 con la definición del producto interno en un espacio euclídeo, ya que en aquel caso el producto interno es un número asociado con un par de vectores del espacio euclídeo mientras que en 1-4 es un número asociado con un par de vectores que pertenecen a espacios vectoriales diferentes V y V. Los vectores f y x son llamados ortogonales si f x = 0. Definición 12: Dada un base en el espacio directo {e i } existe una base canónica en el espacio dual definida por: µ i e j = µ i e j = δ i j 1.22 Para un vector arbitrario: µ i x = µ i ξ j e j = ξ j µ i e j = ξ j δ i j = ξ i. Se puede decir que que µ i es una función, también llamada una forma, que asocia a todo vector x su componente contravariante ξ i. El conjunto de formas {µ i } son linealmente independientes. Si {e i } es una base en el espacio directo y f una forma arbitraria en el dual, entonces f e i = f e i definen cantidades escalares ω i que determinan la función lineal f del espacio dual. ω i = f e i, i = 1...n, por lo tanto, para un vector arbitrario fx = f ξ i e i = ξ i f e i = ξ i ω i. Las cantidades {ω i } se conocen como las componentes covariantes de f, esto significa que permiten expresar a f como una combinación lineal de ω i : fx = ω i ξ i = ω i µ i x f = ω i µ i Por lo tanto, el conjunto {µ i } forma una base en el espacio dual de dimensión n. Si x = ξ i e i es un vector en en el espacio directo y f = ω i µ i un vector en el espacio dual entonces: f x = ω i µ i ξ j e j = µi e j ωi ξ j = δ i jω i ξ j = ω i ξ i. Para bases arbitrarias {e i } y {µ i } en V y V se tiene: donde a i j = µ j e i. f x = a i j ω j ξ i. 1.24

13 1.4. FUNCIONES LINEALES Bases duales en un espacio euclídeo Sea E n un espacio euclídeo de dimensión n. Cualquier función lineal f sobre E n puede ser expresada de la siguiente forma: fx = x x 1, 1.25 donde x 1 es un vector fijo unívocamente determinado por la función lineal f. Es decir, si {e i } es una base ortonormal de E n y x = ξ i e i, entonces fx es de la forma: fx = ω i ξ i, i = 1...n. Nada impide que los coeficientes {ω i } sean las coordenadas de un vector x 1 y como las bases {e i } son ortonormales: x x 1 = ω i ξ i, i = 1...n, esto demuestra que existe un vector x 1 tal que Por otro lado, x 1 es único ya que si entonces fx = x x 1. fx = x x 1 y fx = x x 2, x x 1 = x x 2 x x 1 x 2 = 0 x, lo que significa que x 1 = x 2. De esta manera, en el caso de un espacio euclídeo toda función f puede ser reemplazada por el correspondiente vector x 1 y en lugar de escribir f x se puede escibir x 1 x. Esto significa que en E n se pueden reemplazar los vectores covariantes con los contravariantes. Es licito tratar de encontrar expresiones para {µ i } en terminos de una base dada {e i }. Sea e i = g ij µ j. Para encontrar los coeficientes g ij procedemos de la siguiente manera: e i e k = g ij µ j e k = gij µj e k = gij δ k j = g ik. Es decir, si la base {µ i } es la base dual a {e i }, entonces donde e i = g ij µ j, 1.26 g ik = e i e k Es claro que también se podría haber resuelto 1.26 para µ i y obtener entonces: µ i = g ij e j, 1.28

14 14 CAPÍTULO 1. ESPACIOS VECTORIALES donde g ij es la inversa de la matriz g ij, esto es: g ij g jk = δ i k 1.29 Al objeto g que tiene componentes g ij y que pueden representarse por una matriz bidimensional se le denomina métrica. Como se vió anteriormente éste objeto permite conectar los espacios directo y duales de la siguiente manera. Sea {A i } las componentes de un vector covariante en el espacio dual, entonces este vector tiene asociado un vector en el espacio directo dado por A i = g ij A j, de la misma manera, un vector contravariante de componentes {B i } tiene asociado un vector covariante de componentes B i = g ij B j. Este manera de bajar y subir índices se denomina contracción de índices. En coordenadas cartesianas {e i } = {î, ĵ, ˆk}, y como estos vectores base son mutuamente ortogonales, por 1.27 resulta que: 1.5. Análisis Vectorial g ij = g ij = A partir de la definición de vectores es natural proceder a operar con estos objetos. Las operaciones con vectores deben ser matemáticamente consistentes con todo lo anteriormente expuesto y en esta sección se tendrá en cuenta que los vectores pertenecen a un espacio euclídeo tridimensional Producto Escalar Definición 13: Sean los campo vectoriales Ax = A i e i y Bx = B j e j. El producto escalar o producto punto se define como: Ax Bx A i B i = g ij A i B j Es de hacer notar que la cantidad A i B i, por ser una cantidad sin índices libres, es una cantidad que es invariante, es decir, que no depende del sistema de coordenadas. En coordenadas cartesianas es claro que Ax Bx = A i B i. Se puede demostrar que 1.31 es invariante bajo rotaciones: A B = A i B i = a i ja j a i k B k = a i ja i k A j B k = δ j k A j B k = A k B k = A B. Si se representa el sistema de coordenadas de manera tal que el plano definido por los vectores A y B sea el plano x y, y si se hace coincidir al vector A con el eje x, entonces A = Aî

15 1.5. ANÁLISIS VECTORIAL 15 y B = B cosθî + Bsenθĵ, donde A y B son las magnitudes de los vectores A y B y θ el ángulo que forman. Por lo tanto: Ax Bx = AB cosθ Con esta última expresión es fácil ver que los vectores A y B son ortogonales si cosθ = 0, es decir, si A y B son perpendiculares. Para calcular la norma del vector A, se tiene que cosθ = 1 en 1.32 y entones: A A = A 2 = A i A i A = A i A i Si C = A + B, la norma de C será: C C = A + B A + B = A A + A B + B A + B B = A 2 + 2A B + B 2 = A 2 + B 2 + 2AB cosθ Si C = B BA A BB, entonces C C = B BA A BB B BA A BB 0 = B B 2 A A B BA B 2 A B 2 B B + A B 2 B B = B B 2 A A B BA B 2 0 = B BA A A B 2 0, La última expresión no es más que la desigualdad de Schwarz: A AB B A B Producto Vectorial Es posible definir otro tipo de producto entre vectores en espacios euclídeos. Definición 14: Sean los campo vectoriales Ax = A i e i y Bx = B j e j. El producto vectorial se define de la siguiente manera: C = A B, 1.34 donde C i = A j B k A k B j Los índices i, j, k son todos diferentes y pueden cambiar sólo en orden cíclico, es decir, que las únicas posibildades diferentes de cero, son: C 1 = A 2 B 3 A 3 B 2, C 2 = A 3 B 1 A 1 B 3, C 3 = A 1 B 2 A 2 B 1. Es posible demostrar que los C i transforman como las componentes de un vector bajo rotaciones. Según la ley de transformación: C i = a i jc j,

16 16 CAPÍTULO 1. ESPACIOS VECTORIALES utilizando 1.35 se tiene lo siguiente: C i = A j B k A k B j = a j la l a k mb m a k la l a j mb m = a j l a k m A l B m a k l a j m A l B m = a j l a k m a k l a j m A l B m, en la última expresión se puede ver que si m = l entonces el término entre parentesis es igual a cero. Considérese el caso para i = 1, j = 2, k = 3. C 1 = a 2 l a 3 m a 3 l a 2 m A l B m = a 2 1 a 3 m a 3 1 a 2 m A 1 B m + a 2 2 a 3 m a 3 2 a 2 m A 2 B m + a 2 3 a 3 m a 3 3 a 2 m A 3 B m = a 2 1 a 3 2 a 3 1 a 2 2 A 1 B 2 + a 2 1 a 3 3 a 3 1 a 2 3 A 1 B 3 + a 2 2 a 3 1 a 3 2 a 2 1 A 2 B 1 + a 2 2 a 3 3 a 3 2 a 2 3 A 2 B 3 + a 2 3 a 3 1 a 3 3 a 2 1 A 3 B 1 + a 2 3 a 3 2 a 3 3 a 2 2 A 3 B 2 = a 2 1 a 3 2 a 3 1 a 2 2 A 1 B 2 a 2 3 a 3 1 a 3 3 a 2 1 A 1 B 3 a 2 1 a 3 2 a 3 1 a 2 2 A 2 B 1 + a 2 2 a 3 3 a 3 2 a 2 3 A 2 B 3 + a 2 3 a 3 1 a 3 3 a 2 1 A 3 B 1 a 2 2 a 3 3 a 3 2 a 2 3 A 3 B 2, al factorizar se tiene: A C 1 = a 2 2 a 3 3 a 3 2 a B 3 A 3 B 2 + A + a 2 1 a 3 2 a 3 1 a B 2 A 2 B 1, A a 2 3 a 3 1 a 3 3 a B 1 A 1 B 3 al utilizar la ecuación 1.35 resulta: C 1 = a 2 2 a 3 3 a 3 2 a 2 3 C 1 + a 2 3 a 3 1 a 3 3 a 2 1 C 2 + a 2 1 a 3 2 a 3 1 a 2 2 C 3. Si se utilizan las siguientes identidades: a 1 1 = a 2 2 a 3 3 a 3 2 a 2 3 a 1 2 = a 2 3 a 3 1 a 3 3 a 2 1 a 1 3 = a 2 1 a 3 2 a 3 1 a 2 2, resulta que: C 1 = a 1 1 C 1 + a 1 2 C 2 + a 1 3 C 3.

17 1.5. ANÁLISIS VECTORIAL 17 Por lo tanto, C 1 = a 1 i C i, i = 1.,3. Si se procede de la misma manera para C 2 y C 3 se puede demostrar que C es un vector porque todas sus componentes transforman correctamente bajo rotaciones. Análogamente a como se definió el símbolo δ j i se define un nuevo objeto llamado símbolo de Levi-Civita: 1, si i, j, k son diferentes y cambian en orden cíclico ε ijk = 1, si i, j, k son diferentes y cambian en orden no cíclico , en cualquier otro caso. Esto significa que: mientras: lo que puede resumirse en: ε 123 = ε 231 = ε 312 = 1, ε 132 = ε 213 = ε 321 = 1, ε ijk = ε ikj 1.37 Con este nuevo símbolo se puede reescribir la ecuación 1.35, que define el producto vectorial, pero ahora a través de su componente covariante: C i ε ijk A j B k, 1.38 y se tomará esta ecuación como la definición para el producto vectorial del vector A por el vector B. En ese orden. Es fácil ver que A B = B A C i = ε ijk A j B k = ε ikj A k B j = ε ijk B j A k Si C = A B, entonces: A C = A i C i = A i ε ijk A j B k = ε ijk A i A j B k, pero se puede ver que: ε ijk A i A j B k = ε jik A j A i B k = ε ijk A j A i B k, por lo tanto, ε ijk A i A j B k = 0 A A B = 0, lo que indica que C es ortogonal tanto a A como a B.

18 18 CAPÍTULO 1. ESPACIOS VECTORIALES Cálculo de la norma de C = A B. C 2 = C C = C i C i = ε ijk A j B k εimn A m B n = ε ijk ε imn A j B k A m B n. Ahora es necesario introducir las siguientes identidades: ε ijk ε imn = δ j m δ k n δ j n δ k m 1.39 ε ijk ε ijm = 2δ k m 1.40 ε ijk ε ijk = Por lo tanto, C 2 = ε ijk ε imn A j B k A m B n = δm j δn k δn j δm k Aj B k A m B n = δm j δn k A j B k A m B n δn j δm k A j B k A m B n = δ j m A m A j δ k n B n B k δ k m A m δ j n B n A j B k = A j A j B k B k A k B j A j B k = A j A j B k B k A k B k A j B j = A A B B A B A B = A 2 B 2 AB cosθ 2 = A 2 B 2 1 cos 2 θ = A 2 B 2 sen 2 θ, lo que implica que la norma de C es C = A B = ABsenθ Triple producto escalar y triple producto vectorial Estudiaremos las siguientes combinaciones A B C y A B C que aperecen con mucha frecuencia en una gran variedad de problemas. A B C por otro lado, se sabe que: entonces de la misma manera, A B C = A i B C i = A i ε ijk B j C k = ε ijk A i B j C k, ε ijk = ε jki = ε kij, ε ijk A i B j C k = ε jki B j C k A i = B j ε jki C k A i = B C A, ε ijk A i B j C k = ε kij C k A i B j = C k ε kij A i B j = C A B. Es decir A B C = B C A = C A B El triple producto escalar se interpreta gemétricamente como el volúmen del paralelepípedo definido por los tres vectores geométricos A, B y C.

19 1.5. ANÁLISIS VECTORIAL 19 A B C A B C i = ε ijk A j B C k = ε ijk A j ε kmn B m C n = ε ijk ε kmn A j B m C n. por otro lado se tiene que ε ijk = ε kji, por lo tanto A B C i = ε ijk ε kmn A j B m C n = ε kji ε kmn A j B m C n = δ m j δ n i δ n j δ m i A j B m C n = δ n j δ m i δ m j δ n i A j B m C n = δ n j δ m i A j B m C n δ m j δ n i A j B m C n = δ n j C n δ m i B m A j δ m j B m δ n i C n A j = C j B i A j B j C i A j = B i A j C j C i A j B j = B i A C C i A B, la última expresión implica que A B C = B A C C A B El operador diferencial En analogía con el operador diferencial d/dx que opera sobre una función escalar φx, produciendo una función diferente, podemos definir también un operador que al actuar sobre campos escalares y vectoriales produzca cambios sobre esos campos. Gradiente de un campo escalar Sea ϕx un campo escalar y ϕ x el mismo campo escalar en un sistema rotado. Como los campos escalares son invariantes bajo rotaciones, entonces: ϕ x = ϕx, al derivar a ambos lados con respecto a x i y al considerar la regla de la cadena resulta ϕ x x i = ϕx x i = ϕx x j x j x i = a i j ϕx x j. Las componentes del objeto ϕ transforman bajo rotaciones como las componentes covariantes y lo podemos denotar por dϕ i. Al vector cuyas componentes son dϕ i se le llama x i gradiente de ϕ. dϕ i ϕ x i

20 20 CAPÍTULO 1. ESPACIOS VECTORIALES Al utilizar una base coordenada entonces definimos al vector gradiente de la siguiente manera gradϕ g ij ij ϕ dϕ i e j = g x e i j 1.46 En coordenadas cartesianas es fácil ver que gradϕ = ϕ = ϕ x i e i = ϕ x î + ϕ y ĵ + ϕ z ˆk. El operador diferencial al actuar sobre campos escalares dá como resultado un campo vectorial. Sea ϕ un campo escalar, la diferencial total viene dada por: dϕ = dϕ i dx i = gradϕ dx. Al considerar puntos sobre las superficies de nivel de ϕ, es decir, puntos sobre una superficie S de manera que si x S, entonces ϕ = constante, lo que implica que dϕ = gradϕ dx = 0 sobre S. Por lo tanto gradϕ es un vector perpendicular a la superficie S. Esto significa que si ϕ es un campo escalar, gradϕ es un vector normal a las superficies de nivel de ϕ. Por otro lado, sea n un vector unitario, al producto escalar gradϕ n, se le denomina derivada direccional en la dirección n. De esta manera es claro que en coordenadas cartesianas las derivadas parciales ϕ no son más que derivadas direccionales en las x i dirección de los vectores coordenados unitarios. Derivada de campos vectoriales En general los vectores base e i dependen de las coordenadas, esto significa que si se quiere derivar un campo vectorial Vx = V i e i resulta V x = V j V j e i x i j = x e i j + V j e j x. i Ahora bien, al derivar los vectores base e j respecto a la coordenada x i no se produce un vector en la misma dirección de e j, existe un efecto por el hecho de utilizar una base coordenada que debe ser tomado en cuenta. Esto se hace definiendo la Derivada Covariante la cual se denota por D i y que al actuar sobre las componentes de un campo vectorial resulta D i V k = V k + Γ k x i ij V j, 1.47 donde los símbolos Γ k ij, llamados Símbolos de Christoffel, se definen por: Γ ij k e k e i x j 1.48 Es claro que para un campo escalar D i ϕ = ϕ x i, es decir, la derivada covariante coincide con la derivada parcial.

21 1.5. ANÁLISIS VECTORIAL 21 Divergencia de un campo vectorial Sea Vx = V i e i un campo vectorial, se define la divergencia de Vx por divv D i V i = V i x i + Γ ij i V j El resultado de esta operación es un campo escalar, y en coordenas cartesianas D i V i = V = V i x i = V x x + V y y + V z z En coordenadas cartesianas la derivada covariante coincide con la derivada parcial D i = i Si ϕx es un campo escalar y Vx un campo vectorial, para el producto ϕxvx se tiene: D i [ ϕxv i x ] = i ϕ V i + ϕ D i V i x i Si D i V i = 0, se dice que V es un vector solenoidal. Rotor de un campo vectorial Por definición, el rotor de un campo vectorial V es [rot V] k εijk g g jl D i V l, 1.51 donde En coordenadas cartesianas, g = detg. [rot V] i = [ V] i = ε ijk j V k, 1.52 Cálculo de div A B div A B = D i A B i = D i ε ijk A j B k Por lo tanto, en coordenadas cartesianas = ε ijk D i A j B k = ε ijk [D i A j B k + D i B k A j ] = ε ijk D i A j Bk + A j ε ijk D i B k = ε kij D i A j Bk A j ε jik D i B k. A B = [ A] k B k A j [ B] j = A B A B. 1.53

22 22 CAPÍTULO 1. ESPACIOS VECTORIALES Cálculo de rot ϕv [rot ϕv] k = εijk g g jl D i ϕv l = εijk g g jl i ϕ V l + εijk g g jl ϕ D i V l, por lo tanto, en coordenadas cartesianas Cálculo de div grad ϕ en coordenadas cartesianas donde 2 es el operador Laplaciano. Cálculo de rot grad ϕ ϕv = ϕ V + ϕ V div grad ϕ = D i g ij j ϕ = D j j ϕ, ϕ = j j ϕ = 2 ϕ, 1.55 [rot grad ϕ] k = εijk g g jl D i g lm m ϕ = εijk g g jl i g lm m ϕ = εijk g i j ϕ = εjik g j i ϕ = εijk g j i ϕ, pero por lo tanto, es decir, i j = j i ; [rot grad ϕ] k = εijk g i j ϕ = εijk g j i ϕ = 0, ϕ =