Inteligencia Artificial. Oscar Bedoya
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- Trinidad Saavedra Juárez
- hace 7 años
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Transcripción
1 Inteligencia Artificial Oscar Bedoya
2 * Inferencia en lógica de predicados * Forma canónica * Forma normal conjuntiva
3 Lógica y Agentes Agentes basados en conocimiento
4 Lógica y Agentes Agentes basados en conocimiento - Lógica proposicional - Lógica de predicados BC - Prolog
5 Lógica y Agentes Agentes basados en conocimiento maullido(1,1) gato(1,2) gato(2,1) maullido(1,2) gato(1,1) gato(2,2) gato(1,3) maullido(1,3) gato(1,2) gato(2,3) gato(1,4) maullido(1,4) gato(1,3) gato(2,4) gato(1,5) maullido(1,5) gato(1,4) gato(2,5) gato(1,6) maullido(1,6) gato(1,5) gato(2,6) maullido(3,1) gato(2,1) gato(3,2) gato(4,1) maullido(1,1) gato(1,2) gato(2,1) maullido(1,2) gato(1,1) gato(2,2) gato(1,3) maullido(1,3) gato(1,2) gato(2,3) gato(1,4) maullido(1,4) gato(1,3) gato(2,4) gato(1,5) maullido(1,5) gato(1,4) gato(2,5) gato(1,6) maullido(1,6) gato(1,5) gato(2,6)
6 Lógica y Agentes Agentes basados en conocimiento maullido(1,1) gato(1,2) gato(2,1) maullido(1,2) gato(1,1) gato(2,2) gato(1,3) maullido(1,3) gato(1,2) gato(2,3) gato(1,4) maullido(1,4) gato(1,3) gato(2,4) gato(1,5) maullido(1,5) gato(1,4) gato(2,5) gato(1,6) maullido(1,6) gato(1,5) gato(2,6) maullido(3,1) gato(2,1) gato(3,2) gato(4,1)
7 Lógica y Agentes Agentes basados en conocimiento i j maullido(i,j) gato(i,j-1) gato(i,j+1) gato(i+1,j) gato(i-1,j)
8 Lógica y Agentes Dada la siguiente base de conocimientos convierta a notación de conjuntos y demuestre c 1. b d 2. d a 3. a ( b c) La base de conocimientos está en lógica proposicional (no hay cuantificadores)
9 Modus Ponens Resolución unitaria Y-Eliminación n Y-Introducción i Las reglas de inferencia se definieron para sentencias en lógica proposicional n n O-Introducción 1 1
10 Lógica y Agentes 1. x P(x) Q(x) 2. x R(x) 3. x Q(x) R(x) Cómo inferir cuando se tienen sentencias cuantificadas (lógica de predicados)?
11 Represente las sentencias dadas en el siguiente enunciado: Todos los hombres son mortales Sócrates es un hombre Demostrar Sócrates es mortal
12 Represente las sentencias dadas en el siguiente enunciado: Todos los hombres son mortales Sócrates es un hombre 1. x Hombre(x) Mortal(x) 2. Hombre(Sócrates)
13 Términos base Los términos base no contienen variables lógicas Solo pueden ser una constante o un predicado aplicado sobre valores 1. x Hombre(x) Mortal(x) 2. Hombre(Sócrates) Término base 1. x juega(cali,x) gana(x) Término base
14 Dos nuevas reglas de inferencia Eliminación universal Eliminación existencial
15 Modus Ponens Resolución unitaria Y-Eliminación n Y-Introducción i n n O-Introducción 1 1
16 Modus Ponens Resolución unitaria Y-Eliminación n Y-Introducción i Eliminación universal Eliminación existencial n n O-Introducción 1 1
17 Dos nuevas reglas de inferencia Eliminación universal x SUST({x/g}, ) donde x es una variable y g es un término base
18 Dos nuevas reglas de inferencia Eliminación universal x SUST({x/g}, ) BC: 1. x LeGusta(x, ElHelado)
19 Dos nuevas reglas de inferencia Eliminación universal x SUST({x/g}, ) BC: 1. x LeGusta(x, ElHelado) 2. LeGusta(Ben,ElHelado) Elim-Universal(1), ={x/ben}
20 Dos nuevas reglas de inferencia Eliminación universal x SUST({x/g}, ) BC: 1. x LeGusta(x, ElHelado) 2. LeGusta(Ben,ElHelado) Elim-Universal(1), ={x/ben} 3. LeGusta(Juan,ElHelado) Elim-Universal(1), ={x/juan}
21 Dos nuevas reglas de inferencia Eliminación existencial x SUST({x/k}, ) donde x es una variable y k es un símbolo de constante que no aparece en la base de conocimientos inicial
22 Dos nuevas reglas de inferencia Eliminación existencial x SUST({x/k}, ) BC: 1. x Matar(x,Juan) 2. Amigo(Luis,Juan)
23 Dos nuevas reglas de inferencia Eliminación existencial x SUST({x/k}, ) BC: 1. x Matar(x,Juan) 2. Amigo(Luis,Juan) 3. Matar(Pedro,Juan) Elim-Existencial (1), ={x/pedro}
24 Dos nuevas reglas de inferencia Eliminación existencial x SUST({x/k}, ) BC: 1. x Matar(x,Juan) 2. Amigo(Luis,Juan) No se puede realizar la sustitución {x/luis} 3. Matar(Pedro,Juan) Elim-Existencial (1), ={x/pedro}
25 Modus Ponens Resolución unitaria Y-Eliminación n Y-Introducción i n n O-Introducción 1 1
26 Modus Ponens Resolución unitaria Y-Eliminación n Y-Introducción n i n Eliminación universal x SUST({x/g}, ) Eliminación existencial x SUST({x/k}, ) O-Introducción 1 1
27 Represente las sentencias dadas en el siguiente enunciado: Todos los hombres son mortales Sócrates es un hombre Pruebe que Sócrates es mortal
28 Represente las sentencias dadas en el siguiente enunciado: Todos los hombres son mortales Sócrates es un hombre Pruebe que Sócrates es mortal 1. x Hombre(x) Mortal(x) 2. Hombre(Sócrates) Demostrar Mortal(Sócrates)
29 1. x Hombre(x) Mortal(x) 2. Hombre(Sócrates)
30 1. x Hombre(x) Mortal(x) 2. Hombre(Sócrates) 3. Hombre(?) Mortal(?), Elim-Universal (1), ={x/?}
31 1. x Hombre(x) Mortal(x) 2. Hombre(Sócrates) 3. Hombre(DonOmar) Mortal(DonOmar), Elim-Universal (1), ={x/donomar}
32 1. x Hombre(x) Mortal(x) 2. Hombre(Sócrates) 3. Hombre(DonOmar) Mortal(DonOmar), Elim-Universal (1), ={x/donomar} 4. Hombre(Socrates) Mortal(Socrates), Elim-Universal (1), ={x/socrates}
33 1. x Hombre(x) Mortal(x) 2. Hombre(Sócrates) 3. Hombre(DonOmar) Mortal(DonOmar), Elim-Universal (1), ={x/donomar} 4. Hombre(Socrates) Mortal(Socrates), Elim-Universal (1), ={x/socrates} 5. Mortal(Sócrates), MP(2,4)
34 Modus Ponens Resolución unitaria Y-Eliminación n Y-Introducción n i n O-Introducción Eliminación universal x SUST({x/g}, ) Eliminación existencial x SUST({x/k}, ) Introducción existencial 1 1 x SUST({g/x}, )
35 1. x Hombre(x) Mortal(x) 2. Hombre(Sócrates)
36 1. x Hombre(x) Mortal(x) 2. Hombre(Sócrates)
37 1. x Hombre(x) Mortal(x) 2. Hombre(Sócrates) 3. Hombre(Sócrates) Mortal(Sócrates), Elim-Universal (1) ={x/sócrates} 4. Mortal(Sócrates), res(2,3)
38 1. w P(w) Q(w) 2. x P(x) R(x) 3. y Q(y) S(y) 4. z R(z) S(z) Demostrar S(a)
39 1. w P(w) Q(w) 2. x P(x) R(x) 3. y Q(y) S(y) 4. z R(z) S(z) 5. P(a) Q(a), Elim-Universal(1) ={w/a} 6. P(a) R(a), Elim-Universal(2) ={x/a} 7. Q(a) S(a), Elim-Universal(3) ={y/a} 8. R(a) S(a), Elim-Universal(4) ={z/a} 9. P(a) S(a), res(5,7) 10. R(a) S(a), res(6,9) 11. S(a), res(8,10)
40 1. w R(w) P(w) Q(w) S(w) 2. x Q(x) R(x) 3. y S(y) P(y) 4. z P(z) R(z) Demostrar R(a)
41 1. w R(w) P(w) Q(w) S(w) 2. x Q(x) R(x) 3. y S(y) P(y) 4. z P(z) R(z) 5. R(a) P(a) Q(a) S(a), Elim-Universal(1) ={w/a} 6. Q(a) R(a), Elim-Universal(2) ={x/a} 7. S(a) P(a), Elim-Universal(3) ={y/a} 8. P(a) R(a), Elim-Universal(4) ={z/a} 9. R(a) P(a) S(a), res(5,6) 10. P(a) R(a), res(7,9) 11. R(a), res(8,10)
42 1. x P(x) 2. x P(x) Q(x) 3. x Q(x) R(x) 4. x S(x) T(x) 5. S(a) Demostrar R(b) T(a)
43 1. x P(x) 2. x P(x) Q(x) 3. x Q(x) R(x) 4. x S(x) T(x) 5. S(a) 6. P(b), Elim-Existencial(1) ={x/b} x se puede reemplazar por b porque no está en BC inicial
44 1. x P(x) 2. x P(x) Q(x) 3. x Q(x) R(x) 4. x S(x) T(x) 5. S(a) 6. P(b), Elim-Existencial(1) ={x/b} 7. P(b) Q(b), Elim-Universal(2) ={x/b} 8. Q(b) R(b), Elim-Universal(3) ={x/b} 9. S(a) T(a), Elim-Universal(4) ={x/a} 10. Q(b), res(6,7) 11. R(b), res(8,10) 12. T(a), res(5,9) 13. R(b) T(a), Y-Intro(11,12)
45 1. x T(x) Q(x) 2. x Q(x) 3. P(b) P(c) 4. x R(x) T(x) 5. x P(x) S(x) Demostrar R(a) S(c)
46 1. x T(x) Q(x) 2. x Q(x) 3. P(b) P(c) 4. x R(x) T(x) 5. x P(x) S(x) 6. P(c), Y-Elim(3) 7. T(a) Q(a), Elim-Universal(1) ={x/a} 8. Q(a), Elim-Existencial(2) ={x/a} 9. T(a), res(7,8) 10. R(a) T(a), Elim-Universal(4) ={x/a} 11. R(a), res(9,10) 12. P(c) S(c), Elim-Universal(5) ={x/c} 13. S(c), res(6,12) 14. R(a) S(c), Y-Intro(11,13)
47 1. x P(x) Q(x) 2. x Q(x) S(x) 3. x S(x) 4. T(c) Demostrar P(a) P(b)
48 1. x P(x) Q(x) 2. x Q(x) S(x) 3. x S(x) 4. T(c) 5. P(a) Q(a), Elim-Universal(1) ={x/a} 6. Q(a) S(a), Elim-Universal(2) ={x/a} 7. S(a), Elim-Existencial(3) ={x/a} 8. Q(a), res(6,7) 9. P(a), res(5,8) 10. P(b) Q(b), Elim-Universal(1) ={x/b} 11. Q(b) S(b), Elim-Universal(2) ={x/b} 12. S(b), Elim-Existencial(3) ={x/b} 13. Q(b), res(11,12) 14. P(b), res(10,13) 15. P(a) P(b), Y-Intro(9,14)
49 Modus ponens generalizado Logra en un solo paso lo que se requería al aplicar Y-Introducción, Eliminación universal y Modus ponens
50 Modus ponens generalizado Logra en un solo paso lo que se requería al aplicar Y-Introducción, Eliminación universal y Modus ponens 1. P(a) 2. Q(a) 3. x (P(x) Q(x)) R(x) Demostrar R(a)
51 Modus ponens generalizado Logra en un solo paso lo que se requería al aplicar Y-Introducción, Eliminación universal y Modus ponens 1. P(a) 2. Q(a) 3. x (P(x) Q(x)) R(x) 4. (P(a) Q(a)) R(a), Elim-Universal (3) ={x/a}
52 Modus ponens generalizado Logra en un solo paso lo que se requería al aplicar Y-Introducción, Eliminación universal y Modus ponens 1. P(a) 2. Q(a) 3. x (P(x) Q(x)) R(x) 4. (P(a) Q(a)) R(a), Elim-Universal (3) ={x/a} 5. P(a) Q(a), Y-Intro(1,2)
53 Modus ponens generalizado Logra en un solo paso lo que se requería al aplicar Y-Introducción, Eliminación universal y Modus ponens 1. P(a) 2. Q(a) 3. x (P(x) Q(x)) R(x) 4. (P(a) Q(a)) R(a), Elim-Universal (3) ={x/a} 5. P(a) Q(a), Y-Intro(1,2) 6. R(a), MP(4,5)
54 1. T(a) 2. S(a) 3. x (T(x) S(x)) P(x) 4. U(a) 5. x (P(x) U(x)) Q(x) Demostrar Q(a)
55 1. T(a) 2. S(a) 3. x (T(x) S(x)) P(x) 4. U(a) 5. x (P(x) U(x)) Q(x) 6. (T(a) S(a)) P(a), Elim-Universal (3) ={x/a} 7. T(a) S(a), Y-Intro(1,2) 8. P(a), MP(6,7) 9. (P(a) U(a)) Q(a), Elim-Universal (5) ={x/a} 10. P(a) U(a), Y-Intro(4,8) 11. Q(a), MP(9,10)
56 1. T(a) 2. S(a) 3. x (T(x) S(x)) P(x) 4. U(a) 5. x (P(x) U(x)) Q(x) 6. (T(a) S(a)) P(a), Elim-Universal (3) ={x/a} 7. T(a) S(a), Y-Intro(1,2) 8. P(a), MP(6,7) 9. (P(a) U(a)) Q(a), Elim-Universal (5) ={x/a} 10. P(a) U(a), Y-Intro(4,8) 11. Q(a), MP(9,10) Elim-Univ Y-Intro MP Elim-Univ Y-Intro MP
57 Modus ponens generalizado p 1 p 2... p n (p 1 p 2... p n q) SUST(,q) donde p i son términos base y p i son sentencias cuantificadas en las que existe una sustitución p i =SUST(,p i ) para toda i tal que
58 Modus ponens generalizado p 1 p 2... p n (p 1 p 2... p n q) SUST(,q) 1. P(a) 2. Q(a) 3. x (P(x) Q(x)) R(x)
59 Modus ponens generalizado p 1 p 2... p n (p 1 p 2... p n q) SUST(,q) 1. P(a) 2. Q(a) 3. x (P(x) Q(x)) R(x) 4. R(a), MPG(1,2,3) ={x/a}
60 1. T(a) 2. S(a) 3. x (T(x) S(x)) P(x) 4. U(a) 5. x (P(x) U(x)) Q(x) Demostrar Q(a) usando MPG
61 1. T(a) 2. S(a) 3. x (T(x) S(x)) P(x) 4. U(a) 5. x (P(x) U(x)) Q(x) 6. P(a), MPG(1,2,3), ={x/a}
62 1. T(a) 2. S(a) 3. x (T(x) S(x)) P(x) 4. U(a) 5. x (P(x) U(x)) Q(x) 6. P(a), MPG(1,2,3), ={x/a} 7. Q(a), MPG(4,5,6), ={x/a}
63 Si se quisiera aplicar modus ponens generalizado, las sentencias en BC tendrían que ser: - Una implicación con una conjunción en el lado izquierdo y un solo átomo a la derecha - Un término base
64 Si se quisiera aplicar modus ponens generalizado, las sentencias en BC tendrían que ser: - Una implicación con una conjunción en el lado izquierdo y un solo átomo a la derecha. (sentencias Horn) - Un término base Alfred Horn ( )
65 Forma canónica Cuando la base de conocimientos se forma exclusivamente de sentencias Horn se dice que está en forma canónica
66 Cómo convertir una BC a forma canónica Se eliminan los cuantificadores existenciales No es necesario escribir los cuantificadores universales 1. x P(x) 2. x (Q(x) R(x)) S(x) 3. T(b) 1. P(a) 2. (Q(x) R(x)) S(x) 3. T(b)
67 1. T(a) 2. S(a) 3. x (T(x) S(x)) P(x) 4. U(a) 5. x (P(x) U(x)) Q(x) Convertir a forma canónica
68 1. T(a) 2. S(a) 3. (T(x) S(x)) P(x) 4. U(a) 5. (P(x) U(x)) Q(x)
69 1. x E(x) U(x) M(x) F(x) 2. x A(x) U(x) 3. x E(x) M(x) 4. E(a) A(a) Expresar en forma canónica
70 1. E(x) U(x) M(x) F(x) 2. A(x) U(x) 3. E(x) M(x) 4. E(a) A(a)
71 1. E(x) U(x) M(x) F(x) 2. A(x) U(x) 3. E(x) M(x) 4. E(a) A(a) Demostrar F(a) usando MPG
72 1. E(x) U(x) M(x) F(x) 2. A(x) U(x) 3. E(x) M(x) 4. E(a) A(a) 5. E(a), Y-Elim(4) 6. A(a), Y-Elim(4) 7. U(a), MPG(2,6) ={x/a} 8. M(a), MPG(3,5) ={x/a} 9. F(a), MPG(1,5,7,8) ={x/a}
73 1. x y T(x) R(x,y) P(y) I(x) 2. x y T(x) J(x) P(y) R(x,y) 3. x P(x) 4. T(a) J(a) Expresar en forma canónica y demostrar I(a)
74 1. T(x) R(x,y) P(y) I(x) 2. T(x) J(x) P(y) R(x,y) 3. P(b) 4. T(a) J(a)
75 1. T(x) R(x,y) P(y) I(x) 2. T(x) J(x) P(y) R(x,y) 3. P(b) 4. T(a) J(a) Demostrar I(a)
76 1. T(x) R(x,y) P(y) I(x) 2. T(x) J(x) P(y) R(x,y) 3. P(b) 4. T(a) J(a) 5. R(a,b), MPG(2,3,4) ={x/a, y/b} 6. T(a), Y-Elim(4) 7. I(a), MPG(1,3,5,6), ={x/a, y/b}
77 1. x R(x) J(x) C(x) S(x,a) 2. x C(x) R(x) E(x,b) 3. x E(x,b) R(x) S(x,a) S(x,c) 4. R(u) J(u) C(u) Expresar en forma canónica y demostrar S(u,c)
78 1. R(x) J(x) C(x) S(x,a) 2. C(x) R(x) E(x,b) 3. E(x,b) R(x) S(x,a) S(x,c) 4. R(u) J(u) C(u)
79 1. R(x) J(x) C(x) S(x,a) 2. C(x) R(x) E(x,b) 3. E(x,b) R(x) S(x,a) S(x,c) 4. R(u) J(u) C(u) Demostrar S(u,c)
80 1. R(x) J(x) C(x) S(x,a) 2. C(x) R(x) E(x,b) 3. E(x,b) R(x) S(x,a) S(x,c) 4. R(u) J(u) C(u) 5. R(u), Y-Elim(4) 6. J(u), Y-Elim(4) 7. C(u), Y-Elim(4) 8. S(u,a), MPG(1,4) ={x/u} 9. E(u,b), MPG(2,5,7) ={x/u} 10. S(u,c), MPG(3,5,8,9) ={x/u}
81 Modus Ponens Y-Eliminación n Y-Introducción n i n Resolución {, } {, } {, } Eliminación universal x SUST({x/g}, ) Eliminación existencial x SUST({x/k}, ) O-Introducción 1 1
82 Modus ponens generalizado p 1 p 2... p n (p 1 p 2... p n q) SUST(,q) donde p i son términos base y p i son sentencias cuantificadas en las que existe una sustitución p i =SUST(,p i ) para toda i tal que
83 Resolución generalizada p 1... p j... p m q 1... q j... q n SUST(, p 1... p j-1 p j+1... p m q 1... q j-1 q j+1... q n ) donde p i son términos base, q i son predicados cuantificados universalmente y existe una sustitución tal que unifiquen p j y q j
84 Resolución generalizada p 1... p j... p m q 1... q j... q n SUST(, p 1... p j-1 p j+1... p m q 1... q j-1 q j+1... q n ) 1. P(a) R(a) 2. x P(x) Q(x)
85 Resolución generalizada p 1... p j... p m q 1... q j... q n SUST(, p 1... p j-1 p j+1... p m q 1... q j-1 q j+1... q n ) 1. P(a) R(a) 2. x P(x) Q(x) 3. P(a) Q(a), Elim-Universal(2) ={x/a}
86 Resolución generalizada p 1... p j... p m q 1... q j... q n SUST(, p 1... p j-1 p j+1... p m q 1... q j-1 q j+1... q n ) 1. P(a) R(a) 2. x P(x) Q(x) 3. P(a) Q(a), Elim-Universal(2) ={x/a} 4. R(a) Q(a), res(1,3)
87 Resolución generalizada p 1... p j... p m q 1... q j... q n SUST(, p 1... p j-1 p j+1... p m q 1... q j-1 q j+1... q n ) 1. P(a) R(a) 2. x P(x) Q(x)
88 Resolución generalizada p 1... p j... p m q 1... q j... q n SUST(, p 1... p j-1 p j+1... p m q 1... q j-1 q j+1... q n ) 1. P(a) R(a) 2. x P(x) Q(x) 3. R(a) Q(a), RG(1,2) ={x/a}
89 Resolución generalizada p 1... p j... p m q 1... q j... q n SUST(, p 1... p j-1 p j+1... p m q 1... q j-1 q j+1... q n ) donde p i son términos base, q i son predicados cuantificados universalmente y existe una sustitución tal que unifiquen p j y q j
90 Forma normal conjuntiva Si cada una de las sentencias es una disyunción, se dice que están en forma normal conjuntiva
91 Conversión a forma normal conjuntiva Procedimiento para convertir una sentencia cualquiera a forma normal conjuntiva 1. Eliminar implicaciones 2. Empujar las negaciones 3. Eliminar cuantificadores existenciales
92 Conversión a forma normal conjuntiva Procedimiento para convertir una sentencia cualquiera a forma normal conjuntiva 1. Eliminar implicaciones p q p q 2. Empujar las negaciones (p q) p q (p q) p q ( p) p
93 3. Eliminar los cuantificadores existenciales Caso 1: un cuantificador existencial no está dentro del alcance de uno universal
94 3. Eliminar los cuantificadores existenciales Caso 1: un cuantificador existencial no está dentro del alcance de uno universal y x P(x,y) Q(x,y) El cuantificado existencial no está dentro del alcance de uno universal x y P(x,y) Q(x,y) El cuantificado existencial está dentro del alcance de uno universal
95 3. Eliminar los cuantificadores existenciales Caso 1: un cuantificador existencial no está dentro del alcance de uno universal x P(x) x y P(x) Q(y)
96 3. Eliminar los cuantificadores existenciales Caso 1: un cuantificador existencial no está dentro del alcance de uno universal x P(x) x y P(x) Q(y) Se reemplaza la variable cuantificada existencialmente por una constante que no hace parte de BC
97 3. Eliminar los cuantificadores existenciales Caso 1: un cuantificador existencial no está dentro del alcance de uno universal x P(x) quedaría como P(a) donde a es una constante que no está en BC x y P(x) Q(y) quedaría y P(a) Q(y), donde a es una constante que no está en BC Se reemplaza la variable cuantificada existencialmente por una constante que no hace parte de BC
98 Caso 2: un cuantificador existencial está dentro del alcance de uno universal
99 Caso 2: un cuantificador existencial está dentro del alcance de uno universal Todos tenemos un corazón x y Persona(x) Corazon(y) Tiene(x,y) Si se reemplaza y por una constante se tendría: x Persona(x) Corazon(H) Tiene(x,H)
100 Caso 2: un cuantificador existencial está dentro del alcance de uno universal Todos tenemos un corazón x y Persona(x) Corazon(y) Tiene(x,y) Si se reemplaza y por una constante se tendría: x Persona(x) Corazon(H) Tiene(x,H) Lo que indica que todas las personas comparten el mismo corazón
101 Caso 2: un cuantificador existencial está dentro del alcance de uno universal Todos tenemos un corazón x y Persona(x) Corazon(y) Tiene(x,y) Si se reemplaza y por una constante se tendría: x Persona(x) Corazon(H) Tiene(x,H) Para indicar que cada persona tiene su propio corazón se incorpora una función
102 Caso 2: un cuantificador existencial está dentro del alcance de uno universal x y Persona(x) Corazon(y) Tiene(x,y) x Persona(x) Corazon(f(x)) Tiene(x,f(x)) Se reemplaza la variable cuantificada existencialmente por una función que depende de la variable cuantificada universalmente
103 1. x y (E(y) R(x,y)) A(x) 2. x y A(x) (I(y) M(x,y)) 3. x E(x) R(a,x) 4. M(a,b) M(c,b) 5. G(b) 6. x G(x) I(x)
104 1. x y (E(y) R(x,y)) A(x) 2. x y A(x) (I(y) M(x,y)) 3. x E(x) R(a,x) 4. M(a,b) M(c,b) 5. G(b) 6. x G(x) I(x) 1. Eliminar implicaciones
105 1. x y (E(y) R(x,y)) A(x) 2. x y A(x) (I(y) M(x,y)) 3. x E(x) R(a,x) 4. M(a,b) M(c,b) 5. G(b) 6. x G(x) I(x) 1. Eliminar implicaciones 1. x y (E(y) R(x,y)) A(x) 2. x y A(x) ( I(y) M(x,y)) 3. x E(x) R(a,x) 4. M(a,b) M(c,b) 5. G(b) 6. x G(x) I(x)
106 1. x y (E(y) R(x,y)) A(x) 2. x y A(x) ( I(y) M(x,y)) 3. x E(x) R(a,x) 4. M(a,b) M(c,b) 5. G(b) 6. x G(x) I(x) 2. Empujar negaciones
107 1. x y (E(y) R(x,y)) A(x) 2. x y A(x) ( I(y) M(x,y)) 3. x E(x) R(a,x) 4. M(a,b) M(c,b) 5. G(b) 6. x G(x) I(x) 2. Empujar negaciones 1. x y E(y) R(x,y) A(x) 2. x y A(x) I(y) M(x,y) 3. x E(x) R(a,x) 4. M(a,b) M(c,b) 5. G(b) 6. x G(x) I(x)
108 1. x y E(y) R(x,y) A(x) 2. x y A(x) I(y) M(x,y) 3. x E(x) R(a,x) 4. M(a,b) M(c,b) 5. G(b) 6. x G(x) I(x) 3. Eliminar cuantificadores existenciales
109 1. x y E(y) R(x,y) A(x) 2. x y A(x) I(y) M(x,y) 3. x E(x) R(a,x) 4. M(a,b) M(c,b) 5. G(b) 6. x G(x) I(x) 3. Eliminar cuantificadores existenciales 1. E(f(x)) R(x,f(x)) A(x)
110 1. x y E(y) R(x,y) A(x) 2. x y A(x) I(y) M(x,y) 3. x E(x) R(a,x) 4. M(a,b) M(c,b) 5. G(b) 6. x G(x) I(x) 3. Eliminar cuantificadores existenciales 1. E(f(x)) R(x,f(x)) A(x) 2. A(x) I(y) M(x,y)
111 1. x y E(y) R(x,y) A(x) 2. x y A(x) I(y) M(x,y) 3. x E(x) R(a,x) 4. M(a,b) M(c,b) 5. G(b) 6. x G(x) I(x) 3. Eliminar cuantificadores existenciales 1. E(f(x)) R(x,f(x)) A(x) 2. A(x) I(y) M(x,y) 3. E(d) R(a,d)
112 1. x y E(y) R(x,y) A(x) 2. x y A(x) I(y) M(x,y) 3. x E(x) R(a,x) 4. M(a,b) M(c,b) 5. G(b) 6. x G(x) I(x) 3. Eliminar cuantificadores existenciales 1. E(f(x)) R(x,f(x)) A(x) 2. A(x) I(y) M(x,y) 3. E(d) R(a,d) 4. M(a,b) M(c,b) 5. G(b) 6. G(x) I(x)
113 1. E(f(x)) R(x,f(x)) A(x) 2. A(x) I(y) M(x,y) 3. E(d) R(a,d) 4. M(a,b) M(c,b) 5. G(b) 6. G(x) I(x) Representar en forma de conjuntos
114 1. E(f(x)) R(x,f(x)) A(x) 2. A(x) I(y) M(x,y) 3. E(d) R(a,d) 4. M(a,b) M(c,b) 5. G(b) 6. G(x) I(x) Representar en forma de conjuntos 1. { E(f(x)), R(x,f(x)), A(x)} 2. { A(x), I(y), M(x,y)} 3. {E(d)} 4. {R(a,d)} 5. {M(a,b), M(c,b)} 6. {G(b)} 7. { G(x), I(x)}
115 1. { E(f(x)), R(x,f(x)), A(x)} 2. { A(x), I(y), M(x,y)} 3. { G(x), I(x)} 4. {E(d)} 5. {R(a,d)} 6. {M(a,b), M(c,b)} 7. {G(b)} Demostrar por contradicción M(c,b)
116 1. { E(f(x)), R(x,f(x)), A(x)} 2. { A(x), I(y), M(x,y)} 3. { G(x), I(x)} 4. {E(d)} 5. {R(a,d)} 6. {M(a,b), M(c,b)} 7. {G(b)} 8. { M(c,b)} Demostrar por contradicción M(c,b)
117 1. { E(f(x)), R(x,f(x)), A(x)} 2. { A(x), I(y), M(x,y)} 3. { G(x), I(x)} 4. {E(d)} 5. {R(a,d)} 6. {M(a,b), M(c,b)} 7. {G(b)} 8. { M(c,b)}
118 1. { E(f(x)), R(x,f(x)), A(x)} 2. { A(x), I(y), M(x,y)} 3. { G(x), I(x)} 4. {E(d)} 5. {R(a,d)} 6. {M(a,b), M(c,b)} 7. {G(b)} 8. { M(c,b)} 9. { R(x,d), A(x)} RG(1,4) ={f(x)/d}
119 1. { E(f(x)), R(x,f(x)), A(x)} 2. { A(x), I(y), M(x,y)} 3. { G(x), I(x)} 4. {E(d)} 5. {R(a,d)} 6. {M(a,b), M(c,b)} 7. {G(b)} 8. { M(c,b)} 9. { R(x,d), A(x)} 10. {A(a)} RG(1,4) ={f(x)/d} RG(5,9), ={x/a}
120 1. { E(f(x)), R(x,f(x)), A(x)} 2. { A(x), I(y), M(x,y)} 3. { G(x), I(x)} 4. {E(d)} 5. {R(a,d)} 6. {M(a,b), M(c,b)} 7. {G(b)} 8. { M(c,b)} 9. { R(x,d), A(x)} 10. {A(a)} 11. {I(b)} RG(1,4) ={f(x)/d} RG(5,9), ={x/a} RG(3,7), ={x/b}
121 1. { E(f(x)), R(x,f(x)), A(x)} 2. { A(x), I(y), M(x,y)} 3. { G(x), I(x)} 4. {E(d)} 5. {R(a,d)} 6. {M(a,b), M(c,b)} 7. {G(b)} 8. { M(c,b)} 9. { R(x,d), A(x)} 10. {A(a)} 11. {I(b)} 12. { A(x), M(x,b)} RG(1,4) ={f(x)/d} RG(5,9), ={x/a} RG(3,7), ={x/b} RG(2,11), ={y/b}
122 1. { E(f(x)), R(x,f(x)), A(x)} 2. { A(x), I(y), M(x,y)} 3. { G(x), I(x)} 4. {E(d)} 5. {R(a,d)} 6. {M(a,b), M(c,b)} 7. {G(b)} 8. { M(c,b)} 9. { R(x,d), A(x)} 10. {A(a)} 11. {I(b)} 12. { A(x), M(x,b)} 13. { M(a,b)} RG(1,4) ={f(x)/d} RG(5,9), ={x/a} RG(3,7), ={x/b} RG(2,11), ={y/b} RG(10,12), ={x/a}
123 1. { E(f(x)), R(x,f(x)), A(x)} 2. { A(x), I(y), M(x,y)} 3. { G(x), I(x)} 4. {E(d)} 5. {R(a,d)} 6. {M(a,b), M(c,b)} 7. {G(b)} 8. { M(c,b)} 9. { R(x,d), A(x)} 10. {A(a)} 11. {I(b)} 12. { A(x), M(x,b)} 13. { M(a,b)} 14. {M(a,b)} RG(1,4) ={f(x)/d} RG(5,9), ={x/a} RG(3,7), ={x/b} RG(2,11), ={y/b} RG(10,12), ={x/a} res(6,8)
124 1. { E(f(x)), R(x,f(x)), A(x)} 2. { A(x), I(y), M(x,y)} 3. { G(x), I(x)} 4. {E(d)} 5. {R(a,d)} 6. {M(a,b), M(c,b)} 7. {G(b)} 8. { M(c,b)} 9. { R(x,d), A(x)} 10. {A(a)} 11. {I(b)} 12. { A(x), M(x,b)} 13. { M(a,b)} 14. {M(a,b)} 15. RG(1,4) ={f(x)/d} RG(5,9), ={x/a} RG(3,7), ={x/b} RG(2,11), ={y/b} RG(10,12), ={x/a} res(6,8) Y-Intro(13,14)
125 Convierta a forma normal conjuntiva y demuestre por contradicción R(a,b) T(a,b) 1. x y Q(x) R(y,x) 2. x y P(x) T(x,y) S(x) 3. P(a) 4. S(a)
126 Convierta a forma normal conjuntiva y demuestre por contradicción R(a,b) T(a,b) 1. Q(b) R(y,b) 2. P(x) T(x,f(x)) S(x) 3. P(a) 4. S(a)
127 Convierta a forma normal conjuntiva y demuestre por contradicción R(a,b) T(a,b) 1. {Q(b) R(y,b)} 2. {P(x),T(x,f(x)), S(x)} 3. { P(a)} 4. {S(a)}
128 Convierta a forma normal conjuntiva y demuestre por contradicción R(a,b) T(a,b) 1. {Q(b) R(y,b)} 2. {P(x),T(x,f(x)), S(x)} 3. { P(a)} 4. {S(a)} 5. { R(a,b), T(a,b)}
129 1. {Q(b) R(y,b)} 2. {P(x),T(x,f(x)), S(x)} 3. { P(a)} 4. {S(a)} 5. { R(a,b), T(a,b)} 6. {Q(b)}, Y-Elim(1) 7. {R(y,b)}, Y-Elim(1) 8. { T(a,b)}, RG(5,7) ={y/a} 9. {P(a), S(a)}, RG(2,8) ={x/a, f(x)/b} 10. { S(a)}, res(3,9) 11., Y-Intro(4,10)
130 Convierta a forma normal conjuntiva y demuestre por contradicción T(b) 1. x y R(x,y) Q(y) 2. x y R(x,y) (T(y) P(y)) 3. Q(b) 4. P(b)
131 Convierta a forma normal conjuntiva y demuestre por contradicción T(b) 1. {R(a,y), Q(y)} 2. { R(x,f(x)), T(f(x)), P(f(x))} 3. {Q(b)} 4. { P(b)} 5. { T(b)} 6. {R(a,b)}, RG(1,3), ={y/b} 7. {T(b),P(b)}, RG(2,6), ={x/a,f(x)/b} 8. {T(b)}, res(4,7) 9., Y-Intro(5,8)
132 Convierta a forma normal conjuntiva y demuestre por contradicción R(b) 1. x y (P(x) Q(y)) R(x) 2. x y Q(x) S(y) 3. x P(x) 4. S(a)
133 Convierta a forma normal conjuntiva y demuestre por contradicción R(b) 1. { P(x),Q(f(x)),R(x)} 2. { Q(b), S(y)} 3. {P(b)} 4. {S(a)}
134 Convierta a forma normal conjuntiva y demuestre por contradicción R(b) 1. { P(x),Q(f(x)),R(x)} 2. { Q(b), S(y)} 3. {P(b)} 4. {S(a)} 5. { R(b)} 6. { Q(b)}, RG(2,4) ={y/a} 7. { P(x),R(x)}, RG(1,6) ={f(x)/b} 8. {R(b)}, RG(3,7) ={x/b} 9., Y-Intro(5,8)
135 Convierta a forma normal conjuntiva y demuestre por contradicción G(a,d) 1. x C(x) G(a,x) 2. C(f) 3. C(b) 4. x y (P(x,y) M(y,x)) C(y) 5. C(c,d) M(d,c) 6. x P(c,x) P(e,x)
136 1. { C(x),G(a,x)} 2. {C(f)} 3. {C(b)} 4. { P(x,y),M(y,x),C(y)} 5. {P(c,d)} 6. { M(d,c)} 7. { P(c,x),P(e,x)} 8. { G(a,d)}
137 1. { C(x),G(a,x)} 2. {C(f)} 3. {C(b)} 4. { P(x,y),M(y,x),C(y)} 5. {P(c,d)} 6. { M(d,c)} 7. { P(c,x),P(e,x)} 8. { G(a,d)} 9. {M(d,c),C(d)}, RG(4,5) ={x/c, y/d} 10. {C(d)}, res(6,9) 11. {G(a,d)}, RG(1,10) ={x/d} 12., Y-Intro(8,11)
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