Ecuaciones en Derivadas Parciales

Transcripción

1 Ecuaciones en Derivadas Parciales Una ecuación en derivadas parciales (EDP) es una ecuación diferencial cuya incógnita es una función que depende de más de una variable El orden de una EDP es el orden de la derivada parcial más alta En este tema vamos a estudiar algunas EDPs lineales de segundo orden a coeficientes constantes Las tres ecuaciones básicas: ondas, calor y Laplace/Poisson Todas las EDPs que estudiaremos provienen de modelos físicos: la vibración vertical de las cuerdas de una guitarra o la membrana de un tambor; la evolución de la temperatura en piezas 1D, 2D o 3D; los equilibrios elásticos y térmicos de los problemas anteriores, etc Esto proporciona una valiosa intuición del comportamiento que deben tener las soluciones de las EDPs consideradas y podremos interpretar físicamente los resultados obtenidos La ecuación de ondas 1D (cuerda vibrante) Consideramos el movimiento ondulatorio vertical de una cuerda vibrante horizontal de longitud L de densidad constante y composición homogénea sometida a una fuerza externa que actúa en la dirección vertical Notamos por u(x, t) al desplazamiento vertical respecto la posición de equilibrio del punto x [, L] de la cuerda en el instante t R Análogamente, F (x, t) es la fuerza externa por unidad de masa que actúa sobre el punto x [, L] en el instante t R La fuerza empuja hacia arriba/abajo cuando F (x, t) es positiva/negativa La EDP que modela el movimiento es u tt c 2 u xx = F (x, t), x (, L), t R Aquí, los símbolos u tt y u xx denotan las segundas derivadas parciales respecto el tiempo y la posición, respectivamente El parámetro c 2 = τ/ρ depende de la tensión τ y de la densidad lineal ρ La cantidad c será interpretada más adelante como la velocidad a la que viajan las ondas en el material considerado Diremos que esta EDP es homogénea cuando F (x, t) Si consideramos que la cuerda vibrante es de longitud infinita algo sin sentido físico, pero con interés matemático, escribiremos x R Ejercicio Usar que los términos u tt y c 2 u xx tienen las mismas unidades para deducir que c tiene unidades de velocidad horizontal (es decir, espacio horizontal partido tiempo) La ecuación del calor 1D Consideramos la evolución de la temperatura en una barra homogénea de longitud L que posee algunos focos o sumideros de calor internos 1 descritos por una función F (x, t) Las focos/sumideros de calor corresponden a los puntos x e instantes t tales que la función F (x, t) es positiva/negativa Notamos por u(x, t) la temperatura del punto x [, L] en el instante t Como no vivimos en un mundo 1D, desde un punto de vista físico tiene más sentido considerar la evolución de la temperatura en un muro homogéneo infinito de grosor L, siendo x [, L] la coordenada que atraviesa el muro La EDP que modela la evolución de la temperatura es u t k 2 u xx = F (x, t), x (, L), t > El parámetro k 2 = κ/cρ depende de la conductividad térmica κ, la densidad lineal ρ y el calor específico c del material que conforma la barra o el muro infinito La EDP es homogénea cuando F (x, t) Si consideramos que la barra es de longitud infinita, escribiremos x R Ejercicio Probar que la función u : R (, + ) R definida por u(x, t) = 1 4πk2 t e x2 /4k 2 t cumple la ecuación del calor homogénea Calcular lím t u(x, t) Qué pasa cuando t <? 1 Por ejemplo, un transistor se calienta cuando una corriente eléctrica circula por él 1

2 2 Depositado en ed/edppdf Equilibrios elásticos y térmicos 1D del caso homogéneo Buscamos los equilibrios elásticos en ausencia de fuerzas externas y los equilibrios térmicos en ausencia de focos/sumideros de calor internos: F (x, t) Equilibrio significa que el estado del cuerpo se mantiene estacionario en el tiempo, luego buscamos soluciones u = u(x) que no dependan del tiempo y así desaparecen las derivadas parciales u t y u tt En tal caso, las EDPs u tt = c 2 u xx y u t = k 2 u xx se reducen a la EDO lineal de segundo orden u =, cuyas únicas soluciones son las funciones lineales de la forma u(x) = ax + b, con a, b R Queda probado pues que los únicos equilibrios elásticos de una cuerda vibrante no sometida a fuerzas externas y los únicos equilibrios térmicos de una barra sin focos ni sumideros de calor internos son los estados (desplazamiento o temperatura) lineales Las versiones multidimensionales Antes de dar las versiones multidimensionales de las ecuaciones anteriores, recordamos que el Laplaciano de una función u : Ω R n R que depende de una variable vectorial x = (x 1,, x n ) R n es la función u = div grad u = n j=1 2 u x 2 j = u x1x u xnx n Por ejemplo, si la función u depende de una única variable x R, entonces u = u xx En cambio, si depende de tres variables: (x, y, z) R 3, entonces u = u xx + u yy + u zz Además, cuando la función dependa de la posición x = (x 1,, x n ) y el tiempo t, interpretaremos que el Laplaciano sólo afecta a las variables de posición; es decir, el Laplaciano no incluye el término u tt Las versiones n-dimensionales de las ecuaciones anteriores son las siguientes La ecuación de ondas que modela el movimiento ondulatorio de un cuerpo elástico Ω R n es u tt c 2 u = F (x, t), u = u(x, t), x = (x 1,, x n ) Ω, t R La ecuación del calor que modela la evolución de la temperatura en un cuerpo Ω R n es u t k 2 u = F (x, t), u = u(x, t), x = (x 1,, x n ) Ω, t > Desde un punto de vista físico, sólo interesan los casos 1D, 2D o 3D Es decir, n 3 Al igual que en las versiones 1D estamos suponiendo que el cuerpo es completamente homogéneo La función F (x, t) representa la acción de una fuerza exterior en el caso de la ecuación de ondas o los focos y sumideros de calor internos en el caso de la ecuación de calor Se supone que F (x, t) es un dato conocido La ecuación de Laplace/Poisson A partir de las versiones n-dimensionales de las ecuaciones de ondas y calor, vemos que si la función F (x, t) no depende de t, entonces los equilibrios térmicos y elásticos de un cuerpo Ω R n están modelados por la llamada ecuación de Poisson u = G(x), u = u(x), x = (x 1,, x n ) Ω Aquí, G(x) = F (x)/c 2 en la ecuación de ondas y G(x) = F (x)/k 2 en la ecuación del calor La versión homogénea de esta ecuación recibe el nombre de ecuación de Laplace: u =, u = u(x), x = (x 1,, x n ) Ω Condiciones iniciales, condiciones de frontera y flujo Todas las ecuaciones anteriores tienen infinitas soluciones Para capturar una solución concreta impondremos condiciones adicionales, que pueden ser de dos tipos: iniciales y de frontera Condiciones iniciales: desplazamiento, velocidad y temperatura Estas condiciones fijan el estado del objeto en el instante inicial Empezamos por la ecuación de ondas, que es de segundo orden en el tiempo, luego necesita exactamente dos condiciones iniciales; a saber, fijar El desplazamiento inicial: u(x, ) = f(x) para x Ω; y La velocidad inicial: u t (x, ) = g(x) para x Ω

3 Depositado en ed/edppdf 3 En cambio, la ecuación del calor es de primer orden en el tiempo, luego basta fijar la temperatura inicial: u(x, ) = f(x) para x Ω Y, para acabar, la ecuación de Laplace/Poisson es estática, luego no tiene sentido fijar el estado inicial del objeto, ya que ese estado es justamente la incógnita del problema Sería como preguntar de qué color es el caballo blanco de Santiago Condiciones de frontera: Dirichlet, Neumann, mixtas y periódicas Estas condiciones (también llamadas condiciones de contorno) determinan la interacción del objeto con el medio que lo rodea, luego sólo tienen sentido cuando el objeto estudiado tiene frontera Por ejemplo, la cuerda vibrante infinita no tiene frontera y las cuerdas de una guitarra sí Consideraremos cuatro tipos de condiciones de frontera Dirichlet: Consisten en fijar el valor de la función u en los puntos de la frontera Neumann: Consisten en fijar el valor de la derivada u n en los puntos de la frontera El símbolo u n denota a la derivada en la dirección normal exterior a la frontera La convención que seguimos en el caso 1D es: u n = u x en el extremo derecho y u n = u x en el extremo izquierdo Más adelante, veremos que la derivada u n cuantifica el flujo de calor a través de la frontera Mixtas (sólo en el caso 1D): Consisten en considerar una condición de tipo Dirichlet en un extremo y una condición de tipo Neumann en el otro Periódicas (sólo en el caso 1D): Consisten en imponer que las funciones u y u x tengan el mismo valor en los dos extremos del intervalo [, L] En los tres primeros casos, diremos que estas condiciones son homogéneas cuando todos los valores fijados sean iguales a cero La función idénticamente nula (también llamada solución trivial) cumple cualquier condición homogénea Ejemplo 1 Sea W R 3 un cuerpo de frontera S = W Un PVI de calor en este cuerpo 3D sin focos ni sumideros de calor interno con condiciones de frontera de tipo Neumann consiste en las ecuaciones u t = k 2 u (x, y, z) W t > u(x, y, z, ) = f(x, y, z) (x, y, z) W (x, y, z, t) = h(x, y, z, t) (x, y, z) S t > u n donde la temperatura inicial f : W R y el flujo h : S [, + ) R son funciones conocidas Ejemplo 2 Un PVI de calor 1D en una barra de longitud L sin focos ni sumideros de calor interno con condiciones de frontera de tipo Neumann consiste en las ecuaciones u t = k 2 u xx x (, L) t > u(x, ) = f(x) x (, L) u x (, t) = h i (t) t > u x (L, t) = h d (t) t > donde la temperatura inicial f : [, L] R y los flujos h i, h d : [, + ) R son funciones conocidas Análogamente, si imponemos que las condiciones de frontera sean periódicas, el problema queda así: u t = k 2 u xx x (, L) t > u(x, ) = f(x) x (, L) u(, t) = u(l, t) t > u x (, t) = u x (L, t) t > Ejemplo 3 Un problema de Poisson 2D en un cuadrado de lado 2L con condiciones de frontera de tipo Dirichlet homogéneas consiste en las ecuaciones u xx + u yy = G(x, y) x ( L, L) y ( L, L) u(±l, y) = y ( L, L) u(x, ±L) = x ( L, L)

4 4 Depositado en ed/edppdf donde la función G : [ L, L] [ L, L] R es un dato conocido Análogamente, si imponemos que las condiciones de frontera sean de tipo Neumann homogéneas, entonces el problema queda así: u xx + u yy = G(x, y) x ( L, L) y ( L, L) u x (±L, y) = y ( L, L) u y (x, ±L) = x ( L, L) Interpretación del flujo en la ecuación del calor Para entender qué es flujo de calor a través de la frontera, explicaremos una ley de conservación referente a la evolución de la temperatura en un cuerpo 3D o una barra 1D sin focos ni sumideros de calor internos Empezamos por el caso 3D Consideramos un cuerpo W R 3 y sea S = W su frontera Sea u(x, y, z, t) una solución del problema considerado en el ejemplo 1 e introducimos la función T (t) = 1 Vol(W ) W u(x, y, z, t)dxdy dz que mide la temperatura promedio del cuerpo en el instante t Su derivada es T 1 (t) = u t (x, y, z, t)dxdy dz = k2 u(x, y, z, t)dxdy dz Vol(W ) W Vol(W ) W k 2 u = (x, y, z, t)ds = k2 h(x, y, z, t)ds Vol(W ) n Vol(W ) S Las propiedades que hemos usado son: derivada bajo el signo de la integral (primera igualdad), la ecuación del calor homogénea (segunda igualdad), el teorema de la divergencia de Gauss (tercera igualdad, mirar el ejemplo 33 de los apuntes de Cálculo Vectorial) y las condiciones de frontera de tipo Neumann (cuarta igualdad) Por tanto, la tasa de variación de la temperatura promedio es proporcional a la integral del flujo de calor h sobre la superficie cerrada S En realidad, la función h(x, y, z, t) determina exactamente a qué velocidad se escapa/entra el calor a través de cada punto (x, y, z) S en cada instante t La temperatura promedio se mantiene constante cuando h (es decir, cuando el cuerpo está térmicamente aislado y ni entra ni sale calor por la frontera) o cuando hds (es decir, cuando el S calor que entra por un lado se compensa exactamente con el calor que sale por otro) Por contra, la temperatura promedio aumenta/disminuye cuando la integral hds es positiva/negativa (es decir, S cuando hay una entrada/salida neta de calor) A continuación, estudiamos el caso 1D; o sea, la evolución de la temperatura en una barra de longitud L Sea u(x, t) una solución del problema considerado en la primera parte del ejemplo 2 e introducimos la función T (t) = 1 L u(x, t)dx que mide la temperatura promedio de la barra en el instante t Su derivada es T (t) = 1 L u t (x, t)dx = k2 L S u xx (x, t)dx = k2 [ ux (x, t) ] x=l L = k2 ( hd (t) + h x= i (t) ) L Las propiedades que hemos usado son: derivada bajo el signo de la integral (primera igualdad), la ecuación del calor (segunda igualdad), el teorema fundamental del cálculo (tercera igualdad) y las condiciones de frontera (cuarta igualdad) Por tanto, la suma h d (t) + h i (t) nos dice cual es la tasa de variación de la temperatura promedio T (t) En otra palabras, las funciones h d (t) y h i (t) nos dicen a qué velocidad fluye el calor por el extremo derecho e izquierdo de la barra, respectivamente Cuando son positivas/negativas, tenemos una entrada/salida de calor por el extremo correspondiente Ejercicio Comprobar que la temperatura promedio se mantiene constante al considerar condiciones de frontera periódicas en una barra 1D Interpretar físicamente el resultado

5 Depositado en ed/edppdf 5 Linealidad: superposición y homogeneización Existen varios trucos simples que se pueden aplicar en todos los problemas lineales que aparecen en este tema, pero los explicaremos a través de ejemplos concretos para no dispersarnos Superposición Consideramos los dos PVIs de calor 1D en una barra de longitud L sin focos ni sumideros de calor internos dados por v t = k 2 v xx x (, L) t > v(x, ) = f(x) x (, L) v x (, t) = t > v x (L, t) = t >, w t = k 2 w xx x (, L) t > w(x, ) = x (, L) w x (, t) = h i (t) t > w x (L, t) = h d (t) t > Ambos problemas tienen condiciones de frontera de tipo Neumann La diferencia estriba en que el primero tiene una única condición no homogéna: la temperatura inicial, mientras que el segundo tiene dos: las condiciones de frontera en los extremos de la barra Entonces, dadas dos soluciones cualesquiera v(x, t) y w(x, t) de estos problemas, su superposición (suma) u(x, t) = v(x, t) + w(x, t) es una solución del PVI de calor 1D presentado en la primera parte del ejemplo 2, que tiene tres condiciones no homogéneas En general, podemos trocear cualquier problema lineal en varios subproblemas de forma que cada subproblema tenga pocas (quizá incluso sólo una) ecuaciones/condiciones no homogéneas, siendo, por tanto, más simple que el problema original En tal caso, si conseguimos resolver todos los subproblemas, la superposición (suma) de sus soluciones cumplirá el problema original Homogeneización Este truco es similar al anterior, pero en vez de trocear el problema original en varios subproblemas simples, ahora queremos simplificarlo mediante un cambio de variables astuto Para fijar ideas, consideramos el PVI de calor 1D en una barra de longitud L = 1 sin focos ni sumideros de calor internos con condiciones de frontera de tipo Dirichlet constantes u t = k 2 u xx x (, 1) t > u(x, ) = x 2 x (, 1) u(, t) = 1 t > u(1, t) = 2 t > La función v(x) = x + 1 cumple las condiciones de frontera: v() = 1 y v(1) = 2 Por tanto, si realizamos el cambio de variables w(x, t) = u(x, t) v(x), el problema original se transforma en w t = k 2 w xx x (, 1) t > w(x, ) = x 2 x 1 x (, 1) w(, t) = t > w(1, t) = t > que es un problema bastante más simple pues hemos homogeneizado las dos condiciones de frontera, sin deshomogeneizar la EDP Fórmula de D Alembert para la cuerda vibrante infinita Teorema (Fórmula de D Alembert) Consideramos el PVI de la cuerda vibrante infinita u tt c 2 u xx = F (x, t) x R t R u(x, ) = f(x) x R u t (x, ) = g(x) x R donde la fuerza externa F (x, t), el desplazamiento inicial f(x) y la velocidad inicial g(x) son funciones conocidas Este PVI tiene una única solución que viene dada por u(x, t) = 1 ( ) 1 x+ct f(x + ct) + f(x ct) + g(y)dy + 1 { t } x+c(t s) F (y, s)dy ds 2 2c 2c x ct x c(t s)

6 6 Depositado en ed/edppdf La siguiente demostración es opcional, no forma parte del temario de examen, pero deben entenderse las consecuencias físicas que se derivan de la fórmula Demostración Sólo consideramos el caso F (x, t) ; es decir, cuando no actúa ninguna fuerza externa sobre la cuerda La idea principal consiste en realizar el cambio de variables ξ = x + ct, η = x ct para simplificar la EDP Para eso debemos relacionar las derivadas parciales de la función transformada v(ξ, η) = u(x, t) con las derivadas parciales de la función original u(x, t) Aplicamos repetidamente la regla de la cadena: u x = u x = v ξ ξ x + v η u t = u t = v ξ ξ t + v η u xx = u x x = v ξ x + v η x = u tt = u t t = c v ξ t c v η t = c η x = v ξ + v η η t = cv ξ cv η ( vξ ξ + v ) ( η ξ ξ x + vξ η + v ) η η η x = v ξξ + 2v ξη + v ηη ( vξ ξ v ) ( η ξ ξ t + c vξ η v η η Por tanto, resolviendo la EDP transformada se obtiene que u tt = c 2 u xx c 2( v ξξ 2v ξη + v ηη ) = c 2 ( v ξξ + 2v ξη + v ηη ) v ξη = v ξ (ξ, η) = r(ξ) para alguna función r : R R arbitraria ) η t = c2( v ξξ 2v ξη + v ηη ) v(ξ, η) = p(ξ) + q(η) para algunas funciones p, q : R R arbitrarias u(x, t) = p(x + ct) + q(x ct) para algunas funciones p, q : R R arbitrarias Es decir, la solución general de la EDP de la cuerda vibrante infinita posee infinitas soluciones, las cuales dependen de dos funciones arbitrarias, de la misma manera que la solución general de una EDO lineal de segundo orden dependía de dos constantes libres Por tanto, para hallar la solución del PVI planteado, utilizaremos la misma estrategia seguida con las EDOs: determinar las dos funciones libres imponiendo las dos condiciones iniciales Así pues, imponemos que f(x) = u(x, ) = p(x) + q(x), g(x) = u t (x, ) = cp (x) cq (x) Derivando la primera ecuación y multiplicando por c, se obtiene la relación cp (x) + cq (x) = cf (x) Combinando esta última relación con la segunda ecuación resulta que Integrando esta última igualdad, se obtiene que p(x) = 1 2 f(x) + 1 2c x g(y)dy + k, p (x) = 1 2 f (x) + 1 2c g(x) q(x) = f(x) p(x) = 1 2 f(x) 1 2c x g(y)dy k, con lo cual las funciones libres p(x) y q(x) quedan determinadas salvo una constante de integración común k R Finalmente, u(x, t) = p(x + ct) + q(x ct) = 1 2 pues las dos constantes de integración se cancelan entre si ( f(x + ct) + f(x ct) ) + 1 2c x+ct x ct g(y) dy,

7 Depositado en ed/edppdf 7 Observación La fórmula de D Alembert implica que el desplazamiento vertical de la cuerda en el punto x y en el instante t sólo depende de: 1) El desplazamiento inicial en los puntos x ± ct; 2) La velocidad inicial en el intervalo [x ct, x + ct]; y 3) La fuerza externa ejercida sobre los puntos y en los instantes s tales que (y, s) pertenece al triángulo de vértices (x, t) y (x ± ct, ) Observación La anterior demostración de la fórmula de D Alembert muestra que, en ausencia de fuerzas externas, el desplazamiento de la cuerda es de la forma u(x, t) = p(x + ct) + q(x ct) para algunas funciones p, q : R R Esto significa que el desplazamiento de la cuerda vibrante infinita en ausencia de fuerzas externas consiste en la superposición de dos ondas, cuyos perfiles vienen dados por las funciones p(x) y q(x), viajando en sentidos opuestos a velocidad c Concretamente, la onda de perfil p(x) se desplaza hacia la izquierda, mientras que la onda de perfil q(x) se desplaza hacia la derecha Es recomendable conectarse al enlace para ver la animación Waves que muestra este fenómeno mediante un applet de JAVA Pregunta Sea F (x, t) la fuerza (por unidad de masa) externa sobre la cuerda Sean f(x) y g(x) el desplazamiento y la velocidad iniciales de la cuerda Cuál es la aceleración inicial? (Respuesta: u tt (x, ) = c 2 u xx (x, ) + F (x, ) = c 2 f (x) + F (x, )) Separación de variables El método de separación de variables es un método para resolver problemas con simetrías que poseen una única condición (inicial o de frontera) no homogénea No desarrollaremos una teoría general, sino que lo aplicaremos a tres o cuatro ejemplos concretos PVFs lineales de segundo orden El susodicho método de separación de variables requiere resolver ciertos problemas de valores en la frontera (PVFs) asociados a EDOs lineales homogéneas a coeficientes constantes de segundo orden mediante el método del polinomio característico Definición P (m) = m 2 + a 1 m + a es el polinomio característico de la EDO x + a 1 x + a x = La importancia del polinomio característico radica en que si x(t) = e mt, entonces x (t) + a 1 x (t) + a x(t) = m 2 e mt + a 1 me mt + a e mt = P (m)e mt Usando esta relación podemos expresar la solución general de la EDO x + a 1 x + a x = en términos de las raíces de su polinomio característico Lema Sea x h (t) la solución general de la EDO x + a 1 x + a x =, donde a 1, a 2 R Entonces: P (m) tiene dos raíces reales diferentes m 1, m 2 R x h (t) = c 1 e m1t + c 2 e m2t ; P (m) tiene una raíz real doble m R x h (t) = e m t (c 1 + c 2 t); y P (m) tiene raíces complejas conjugadas m ± = α ± β i R x h (t) = e αt( c 1 cos βt + c 2 sin βt ) Demostración En la asignatura de Cálculo 2 se explicó que el conjunto de soluciones de una EDO lineal homogénea de orden n es un subespacio vectorial de dimensión n Por tanto, si encontramos dos soluciones linealmente independientes x 1 (t) y x 2 (t) de la EDO x + a 1 x + a x =, podemos asegurar que su solución general es x h (t) = c 1 x 1 (t) + c 2 x 2 (t), con c 1, c 2 R libres Si P (m) tiene dos raíces reales diferentes m 1 y m 2, entonces x 1 (t) = e m1t y x 2 (t) = e m2t son dos soluciones linealmente independientes Si P (m) tiene una raíz real doble m, entonces x 1 (t) = e m t es una solución y aplicando el método de reducción de orden (ver Cálculo 2 ) obtenemos que x 2 (t) = te m t es otra solución Si P (m) tiene dos raíces complejas conjugadas m ± = α ± β i R, entonces las funciones x ± (t) := e (α±β i)t = e αt e ±βt i = e αt( cos βt ± i sin βt ),

8 8 Depositado en ed/edppdf son soluciones de la EDO La última igualdad es consecuencia de la fórmula de Euler En particular, las combinaciones lineales x 1 (t) := x +(t) + x (t) 2 = e αt cos βt, x 2 (t) := x +(t) x (t) 2i = e αt sin βt también son soluciones de la EDO y resultan ser linealmente independientes Con esto queda probado que la solución general tiene una de las tres formas dadas en el lema Nos centramos ahora en los PVFs homogéneos de la forma x + a 1 (λ)x + a (λ)x = α 1 x(t 1 ) + α 11 x (t 1 ) = α 2 x(t 2 ) + α 21 x (t 2 ) = donde los instantes t 1 t 2 y los coeficientes α ij y a i (λ) son datos del problema Los coeficientes a 1 (λ) y a (λ) son constantes, pero dependen de un parámetro λ La función x(t) siempre es una solución de estos PVFs Es la llamada solución trivial Queremos saber para qué valores del parámetro λ R existen soluciones no triviales Definición Estos valores son los valores propios (VAPS) y las soluciones no triviales son las funciones propias (FUPS) del PVF Un VAP es simple/doble cuando la dimensión del subespacio vectorial formado por sus FUPS es uno/dos Seguiremos los siguientes pasos para calcular los VAPs y sus FUPS: 1 Expresar la solución general de la EDO homogénea en función del parámetro λ R; es decir, x h (t; λ) = c 1 x 1 (t; λ) + c 2 x 2 (t; λ), c 1, c 2 R 2 Imponer las condiciones de frontera, para así obtener un sistema lineal homogéneo de la forma ( ) c1 A λ c =, c = 3 Calcular los (posiblemente infinitos) VAPs resolviendo la ecuación característica det[a λ ] = 4 Para cada VAP λ = λ, calcular sus FUPs resolviendo el sistema indeterminado A λ c = Antes de calcular los VAPs y las FUPs de algunos PVFs clásicos, observamos que es posible expresar la solución general de la EDO x = λx, λ R, como una combinación lineal de: Funciones trigonométricas si λ = µ 2 < : x h (t) = c 1 cos µt + c 2 sin µt; Funciones hiperbólicas si λ = µ 2 > : x h (t) = c 1 cosh µt + c 2 sinh µt; y Funciones monomiales si λ = : x h (t) = c 1 + c 2 t La importancia de estas expresiones radica en que la EDO x = λx aparece en casi todos los problemas de separación de variables que estudiaremos después En particular, conviene saber resolver con soltura los cuatro PVFs que aparecen en la siguiente proposición Proposición Listamos los VAPs y las FUPs de los siguientes PVFs clásicos 1 PVF con condiciones de frontera tipo Dirichlet: x = λx, x() = x(l) = VAPs: λ n = (nπ/l) 2, FUPs: x n (t) = sin(nπt/l), para n 1 2 PVF con condiciones de frontera tipo Neumann: x = λx, x () = x (L) = VAPs: λ n = (nπ/l) 2, FUPs: x n (x) = cos(nπt/l), para n 3 PVF con condiciones de frontera mixtas: x = λx, x() = x (L) = VAPs: λ n = (n + 1/2) 2 π 2 /L 2, FUPs: x n (t) = sin ( (n + 1/2)πt/L ), para n 4 PVF con condiciones de frontera periódicas: x = λx, x( L) = x(l) y x ( L) = x (L) λ = es un VAP simple de FUP c (t) 1 λ n = (nπ/l) 2 es VAP doble de FUPs c n (t) = cos(nπt/l) y s n (t) = sin(nπt/l), para n 1 c 2

9 Depositado en ed/edppdf 9 Demostración Ninguno de estos cuatro PVFs tiene VAPs positivos Por ejemplo, si x(t) es una FUP de VAP λ, integrando por partes, usando que x = λx y cualquiera de los tres primeros tipos de condiciones de frontera anteriores (Dirichlet, Neumann o mixtas), vemos que ( x (t) ) 2 dt = x(t)x (t)dt [ x(t)x (t) ] t=l t= = λ ( x(t) ) 2 dt λ = (x (t)) 2 dt (x(t))2 dt En el caso periódico se obtiene el mismo resultado, pero integrando en el intervalo [ L, L] Además, λ = x (t) Es decir, λ = es un VAP si y sólo si la función x(t) 1 cumple las condiciones de frontera, lo cual sólo sucede con las condiciones de tipo Neumann y las periódicas Finalmente, basta calcular los VAPs negativos: λ = µ 2 < y sus FUPs Recordamos que en tal caso la solución general de la EDO x = λx es la combinación lineal de funciones trigonométricas x h (t) = c 1 cos µt + c 2 sin µt, c 1, c 2 R 1 Al imponer que x h (t) cumpla las condiciones de frontera tipo Dirichlet, obtenemos el sistema ( ) ( ) 1 c1 A λ c =, A λ =, c = cos µl sin µl c 2 Por tanto, sin µl = det[a λ ] = µ = µ n = nπ L, n Z λ = λ n = µ 2 n = ( ) nπ 2, L n 1 En la última equivalencia hemos pasado de n Z a los enteros n 1 Las dos razones para hacerlo son que n está elevado al cuadrado (por tanto, los enteros negativos son superfluos) y que la elección n = no tiene sentido (pues estamos en el caso λ < ) Para calcular las FUPs de VAP λ = λ n = µ 2 n, debemos resolver el sistema indeterminado } c 1 = c 1 cos + c 2 sin = x() = ( 1) n = c } 1 = c 1 = c 1 cos nπ + c 2 sin nπ = x(l) = c 2 R libre Por tanto, x n (t) = sin(µ n t) = sin(nπt/l) es una FUP de VAP λ n = (nπ/l) 2, para n 1 2 Al imponer que x h (t) cumpla las condiciones de frontera tipo Newmann, obtenemos el sistema ( ) ( ) 1 c1 A λ c =, A λ =, c = sin µl cos µl c 2 Por tanto, sin µl = det[a λ ] = µ = µ n = nπ L, n Z λ = λ n = µ 2 n = ( ) nπ 2, L n 1 Hemos pasado de n Z a los enteros n 1 por el mismo motivo que antes Para calcular las FUPs de VAP λ = λ n = µ 2 n, debemos resolver el sistema indeterminado } µ n c 2 = c 1 µ n sin + c 2 µ n cos = x () = ( 1) n µ n c 2 = c 1 µ n sin nπ + c 2 µ n cos nπ = x = c } 1 R libre (L) = c 2 = Por tanto, x n (t) = cos(µ n t) = cos(nπt/l) es una FUP de VAP λ n = (nπ/l) 2, para n Hemos escrito n, en vez de n 1, para incluir que x (t) 1 es una FUP de VAP λ = 3 Al imponer que x h (t) cumpla las condiciones de frontera mixtas, obtenemos el sistema ( A λ c =, A λ = 1 sin µl cos µl ), c = Y cos µl = det[a λ ] = µ = µ n = (n+1/2)π L, n Z λ = λ n = µ 2 n = (n+1/2)2 π 2 L, n 2 Hemos pasado de n Z a los enteros n por lo de siempre Para calcular las FUPs de VAP λ = λ n = µ 2 n, debemos resolver el sistema indeterminado } c 1 = c 1 cos + c 2 sin = x() = ( 1) n+1 µ n c 1 = c 1 µ n sin µ n L + c 2 µ n cos µ n L = x = c } 1 = (L) = c 2 R libre Por tanto, x n (t) = sin(µ n t) = sin ( (n+1/2)πt/l ) es una FUP de VAP λ n = (n+1/2) 2 π 2 /L 2, para todo n ( c1 c 2 )

10 1 Depositado en ed/edppdf 4 Al imponer que x h (t) cumpla las condiciones de frontera periódicas, obtenemos el sistema ( ) ( ) 2 sin µl c1 A λ c =, A λ =, c = 2µ sin µl c 2 Luego 4µ sin 2 µl = det[a λ ] = µ = µ n = nπ L, n Z λ = λ n = µ 2 n = ( ) nπ 2, L n 1 Hemos pasado una vez más de n Z a los enteros n 1 Para calcular las FUPs de VAP λ = λ n = µ 2 n, debemos resolver el sistema indeterminado } = 2c 2 sin(µ n L) = x(l) x( L) = = 2µ n c 1 sin(µ n L) = x (L) x = c } 1 R libre ( L) = c 2 R libre Por tanto, c n (t) = cos(µ n t) = cos(nπt/l) y s n (t) = sin(µ n t) = sin(nπt/l) son dos FUPs linealmente independientes del VAP doble λ n = (nπ/l) 2, para todo n 1 Con esto hemos acabado la prueba de la proposición Ejercicio Resolver el PVF con condiciones mixtas x = λx, x () = x(l) = Separación de variables en la ecuación de ondas 1D Consideramos una ecuación de ondas 1D homogénea con condiciones de contorno de tipo Neumann homogéneas Para simplificar supondremos que la cuerda tiene longitud L = π y que la soltamos, sin impulso, con un desplazamiento inicial f(x) = 1 2 cos(3x) También supondremos que no actúa ninguna fuerza externa Notamos por c la velocidad a la que viajan las ondas por la cuerda Las ecuaciones que modelan este problema son u tt = c 2 u xx x (, π) t R u(x, ) = 1 2 cos(3x) x (, π) (1) u t (x, ) = x (, π) u x (, t) = t R u x (π, t) = t R La idea básica del método consiste en buscar soluciones en forma de variables separadas u(x, t) = X(x)T (t) de la parte homogénea del problema a resolver En el caso anterior, todas las condiciones y ecuaciones son homogéneas, salvo la referente al desplazamiento inicial, luego su parte homogénea es u tt = c 2 u xx x (, π) t R u (1) t (x, ) = x (, π) h u x (, t) = t R u x (π, t) = t R Al imponer que la función u(x, t) = X(x)T (t) cumpla: La ecuación del ondas u tt = c 2 u xx, se obtiene que X(x)T (t) = c 2 X (x)t (t), luego X (x) X(x) = T (t) c 2 T (t) = λ R La condición inicial u t (x, ) =, vemos que T () = La condición de frontera u x (, t) =, vemos que X () = La condición de frontera u x (π, t) =, vemos que X (π) = Por tanto, obtenemos dos problemas separados: { X (x) = λx(x) X () = X (π) =, { T (t) = λc 2 T (t) T () = En la sección anterior vimos que los VAPs y las FUPs del PVF con condiciones de Neumann asociado a la función X(x) son } VAPs: λ = λ n = n 2 n FUPs: X(x) = X n (x) = cos(nx)

11 Depositado en ed/edppdf 11 Ahora nos centramos en el problema asociado a la función T (t), pero teniendo en cuenta que λ = λ n = n 2 En particular, la solución general de la EDO T + n 2 c 2 T = es T (t) = c 1 cos(cnt) + c 2 sin(cnt), c 1, c 2 R Al imponer la condición inicial T () =, vemos que c 2 = y c 1 R queda libre Tras tomar c 1 = 1, que es la opción más simple, obtenemos la familia de funciones T (t) = T n (t) = cos(cnt), n Así pues, hemos obtenido que todas las funciones de variables separadas de la familia u n (x, t) = X n (x)t n (t) = cos(nx) cos(cnt), n son soluciones del problema homogéneo (1) h Estas funciones reciben el nombre de modos normales y describen la forma en que vibra la cuerda Concretamente, debido a la linealidad del problema homogéneo (1) h, cualquier vibración de la cuerda que estamos estudiando es una superposición (suma) de estos infinitos modos normales En otra palabras, la solución general del problema homogéneo (1) h viene dada, al menos a nivel formal, por la serie u(x, t) = n a n u n (x, t) = n a n cos(nx) cos(cnt), donde las infinitas amplitudes a, a 1, a 2, R quedan, de momento, indeterminadas Para resolver esta indeterminación, recuperamos la única condición no homogénea del problema original; es decir, la referente al desplazamiento inicial Imponiendo que 1 2 cos(3x) = f(x) = u(x, ) = n a n cos(nx) = a + a 1 cos x + a 2 cos(2x) + a 3 cos(3x) +, se obteniene por inspección directa que a = 1, a 3 = 2 y las demás amplitudes son nulas, luego u(x, t) = a u (x, t) + a 3 u 3 (x, t) = 1 2 cos(3x) cos(3ct) es una solución del problema original (En realidad es la única, pero no lo probaremos) Así pues, en este caso la vibración de la cuerda es la superposición de dos modos normales: el cero y el tres Observación La solución anterior se puede reescribir en forma de dos ondas superpuestas viajando en sentidos opuestos a velocidad c Efectivamente, pues u(x, t) = 1 2 cos(3x) cos(3ct) = 1 cos ( 3(x + ct) ) cos ( 3(x ct) ) = p(x + ct) + q(x ct), con p(x) = 1/2 cos(3x) = q(x) (Hemos usado la relación 2 cos a cos b = cos(a + b) + cos(a b)) Ejercicio Leer la entrada inglesa de Wikipedia sobre standing waves; es decir, sobre ondas estacionarias Ver alguno de los muchos videos que existen en Youtube sobre standing waves, en los cuales se visualizan experimentalmente los primeros modos normales de vibración de una cuerda También se pueden ver algunos modos normales de vibración de una membrana elástica rectangular en un video de Youtube titulado Science fun El experimento consiste en derramar sal encima de una membrana negra que vibra por el sonido que emite un altavoz situado debajo para comprobar que los modos normales cambian con la frecuencia del sonido Ejercicio Escribir las dos EDOs que se obtienen al imponer que la función u(x, t) = X(x)T (t) cumpla la EDP u tt = ku t + c 2 u xx, escogiendo la opción que proporciona una EDO lo más simple posible para la función X(x) Esta EDP recibe el nombre de ecuación de la cuerda vibrante con fricción, pues el término ku t proviene de una fuerza de fricción proporcional (y opuesta) a la velocidad

12 12 Depositado en ed/edppdf Desarrollos de Fourier En el último paso del ejemplo anterior, hemos conseguido determinar todos los coeficientes libres por inspección directa Cuando eso no sea posible, utilizaremos las siguientes fórmulas, ya vistas en la asignatura Cálculo 2, para calcular desarrollos de Fourier El desarrollo de Fourier completo de una función f : [ L, L] R es f(x) a 2 + a n = 1 f(x) cos(nπx/l) dx, L a n cos(nπx/l) + b n sin(nπx/l), L n 1 b n = 1 f(x) sin(nπx/l) dx L El desarrollo de Fourier en cosenos de una función f : [, L] R es f(x) a 2 + n 1 a n cos(nπx/l), a n = 2 L El desarrollo de Fourier en senos de una función f : [, L] R es f(x) n 1 b n sin(nπx/l), b n = 2 L L f(x) cos(nπx/l) dx f(x) sin(nπx/l) dx En los dos primeros casos, el primer término a /2 es el promedio de la función f(x) Se puede probar que estos desarrollos en serie son (absoluta, uniformemente) convergentes cuando la función f(x) es suficientemente regular, pero en esta asignatura trabajamos a un nivel puramente formal, sin preocuparnos por la convergencia Ejercicio Sea f : [, 2π] R la función definida por f(x) = 1 π 2 x Comprobar, integrando por partes, que los coeficientes de su desarrollo de Fourier en senos son b n = 1 π 2π (1 π 2 x) sin(nx/2)dx = 4π 2 ( 1)n n Separación de variables en la ecuación del calor 1D ( 1) n, n 1 π n Objetivo En este segundo ejemplo del método de separación de variables, veremos que al resolver la ecuación del calor 1D homogénea con condiciones de contorno de tipo Dirichlet constantes, la temperatura tiende al equilibrio térmico (en inglés, steady state) Homogeneizaremos las condiciones de contorno antes de separar variables mediante un cambio de variables astuto Problema físico Tenemos una barra de longitud L > compuesta por un material de conductividad térmica κ, densidad ρ y calor específico c Notamos k 2 = κ/cρ La temperatura inicial de la barra viene dada por una función f : [, L] R Finalmente, mantenemos constante la temperatura de la barra en ambos extremos: α R es la temperatura en el izquierdo y β R es la temperatura en el derecho Además, suponemos que no hay focos o sumideros de calor internos Modelo matemático Las ecuaciones que modelan este problema son u t = k 2 u xx x (, L) t > u(x, ) = f(x) x (, L) u(, t) = α t > u(l, t) = β t > Pasos del método 1 Encontrar unas funciones v(x) y g(x) tales que el cambio de variables w(x, t) = u(x, t) v(x) transforme el problema original en el problema con condiciones de contorno homogéneas ( ) w t = k 2 w xx x (, L) t > w(x, ) = g(x) x (, L) w(, t) = t > w(l, t) = t >

13 Depositado en ed/edppdf 13 Expresar v(x) y g(x) en términos de las cantidades α, β, L y de la función f(x) 2 Imponer que w(x, t) = X(x)T (t) cumpla la parte homogénea del problema ( ) Escribir el PVF asociado a la función X(x) y el problema asociado a la función T (t) 3 Resolver el PVF asociado a la función X(x) 4 Teniendo en cuenta los VAPs del PVF anterior, resolver el problema asociado a T (t) 5 Calcular los modos normales (es decir, las FUPs) de la parte homogénea del problema ( ) 6 Probar que, a nivel formal, la solución del problema original cumple lím t + u(x, t) = v(x) 7 Interpretar físicamente estos resultados Desarrollo del método 1 Al imponer que la función w(x, t) = u(x, t) v(x) cumpla la EDP w t = k 2 w xx resulta = w t k 2 w xx = (u t k 2 u xx ) (v t k 2 v xx ) = k 2 v (x) = v (x) = Al imponer que la función w(x, t) = u(x, t) v(x) cumpla las condiciones de contorno queda { = w(, t) = u(, t) v() = α v() = v() = α = w(l, t) = u(l, t) v(l) = β v(l) = v(l) = β La única función v(x) tal que v (x) =, v() = α y v(l) = β es v(x) = α + (β α)x/l La gráfica de la función v(x) es la linea recta que une los puntos (, α) y (L, β) Finalmente, g(x) = w(x, ) = u(x, ) v(x) = f(x) α + (α β)x/l 2 Al imponer que la función w(x, t) = X(x)T (t) cumpla: La ecuación del calor w t = k 2 w xx, se obtiene que X(x)T (t) = k 2 X (x)t (t), luego X (x) X(x) = T (t) k 2 T (t) = λ R La condición de frontera w(, t) =, vemos que X() = La condición de frontera w(l, t) =, vemos que X(L) = Por tanto, obtenemos dos problemas separados: { X (a) (x) = λx(x) (b) { T (t) = λk 2 T (t) X() = X(L) = El problema (a) es un PVF con condiciones de tipo Dirichlet asociado a la función X(x) 3 Vimos en la sección anterior que los VAPs y las FUPs del PVF (a) son: } VAPs: λ = λ n = n 2 π 2 /L 2 n 1 FUPs: X(x) = X n (x) = sin(nπx/l) 4 Una solución de problema (b) para λ = λ n = n 2 π 2 /L 2 es T (t) = T n (t) = e n2 k 2 π 2 t/l 2, n 1 5 Así pues, los modos normales (las FUPs) de la parte homogénea del problema ( ) son w n (x, t) = T n (t)x n (x) = e n2 π 2 k 2 t/l sin(nπx/l), n 1 Teniendo en cuenta que X n (x) es una función acotada y T n (t) tiende a cero cuando t +, resulta que lím t + w n (x, t) = para toda x (, L) y para todo entero n 1 6 La solución final w(x, t) = n 1 b nw n (x, t) del problema ( ) se determina imponiendo la condición no homogénea g(x) = w(x, ) = n 1 b n w n (x, ) = n 1 b n sin(nπx/l) Es decir, b n = 2 L g(x) sin(nπx/l)dx, n 1, son los coeficientes del desarrollo de Fourier en senos de la función g(x) en el intervalo [, L] Por tanto, deshaciendo el cambio de variables, la solución u(x, t) = v(x) + w(x, t) del problema original cumple lím t + u(x, t) = v(x) + lím w(x, t) = v(x) + t + n 1 b n lím w n(x, t) = v(x) t +

14 14 Depositado en ed/edppdf 7 Hemos probado que cuando el tiempo tiende a infinito, la temperatura tiende al equilibrio térmico consistente en que la temperatura viene dada por la recta que une las temperaturas en los extremos Algo acorde con nuestra experiencia física, la cual nos enseña que el calor tiende a distribuirse de la forma mas uniforme posible Ejercicio Conectarse al enlace y entender el applet de JAVA titulado Heat Equation que ejemplifica este fenómeno físico Ejercicio Probar que si substituimos las dos condiciones tipo Dirichlet constantes por dos condiciones tipo Neumann homogéneas, entonces se cumple que lím t + u(x, t) = 1 L f(x)dx La interpretación física de este resultado es la siguiente Las condiciones tipo Neumann homogéneas equivalen a la existencia de un aislamiento térmico perfecto en los extremos que impide que el calor escape o entre, luego tan sólo puede redistribuirse internamente Por tanto, la temperatura tiende a un valor constante y este valor debe coincidir con el promedio de la temperatura inicial Separación de variables en la ecuación de Poisson 2D en dominios rectangulares Objetivo En este último ejemplo del método de separación de variables, vamos a resolver una ecuación de Poisson 2D en un dominio rectangular con condiciones de contorno de tipo Dirichlet Dos de las cuatro condiciones de contorno son no homogéneas Antes de separar variables, homogeneizaremos tanto la ecuación de Poisson (es decir, la transformaremos en una ecuación de Laplace) como una condición de contorno, mediante un cambio de variables Problema original Consideramos las ecuaciones u xx + u yy = 2y x (, π) y (, 2π) u(x, ) = x (, π) u(x, 2π) = 2πx 2 x (, π) u(, y) = y (, 2π) u(π, y) = 1 y (, 2π) Pasos del método 1 Encontrar unas funciones v(x, y) y g(y) tal que el cambio de variables w(x, y) = u(x, y) v(x, y) transforme el problema original en el problema w xx + w yy = x (, π) y (, 2π) w(x, ) = x (, π) ( ) w(x, 2π) = x (, π) w(, y) = y (, 2π) w(π, y) = g(y) y (, 2π) 2 Imponer que la función w(x, y) = X(x)Y (y) cumpla la parte homogénea del problema ( ) Escribir el PVF asociado a la función Y (y) y el problema asociado a la función X(x) 3 Resolver el PVF asociado a la función Y (y) 4 Teniendo en cuenta los VAPs del PVF anterior, resolver el problema asociado a X(x) 5 Calcular la solución general de la parte homogénea del problema ( ) 6 Resolver el problema original Desarrollo del método 1 Al imponer que la función w(x, y) = u(x, y) v(x, y) cumpla la ecuación w xx + w yy = resulta = w xx + w yy = (u xx + u yy ) (v xx + v yy ) = 2y (v xx + v yy ) = v xx + v yy = 2y

15 Depositado en ed/edppdf 15 Al imponer que la función w(x, y) = u(x, y) v(x, y) cumpla las condiciones de contorno correspondientes a los lados inferior, superior e izquierdo queda = w(, y) = u(, y) v(, y) = v(, y) = v(, y) = = w(x, ) = u(x, ) v(x, ) = v(x, ) = v(x, ) = = w(x, 2π) = u(x, 2π) v(x, 2π) = 2πx 2 v(x, 2π) = v(x, 2π) = 2πx 2 Necesitamos una función v(x, y) que cumpla estas cuatro condiciones Para simplificar los cálculos, buscamos esta función en forma de variables separadas: v(x, y) = X(x)Ỹ (y) Entonces, las cuatro condiciones anteriores equivalen a X (x)ỹ (y) + X(x)Ỹ (y) = 2y, X() =, Ỹ () =, X(x) Ỹ (2π) = 2πx 2 Una posible solución es tomar X(x) = x 2 y Ỹ (y) = y Es decir, v(x, y) = x2 y, luego g(y) = w(π, y) = u(π, y) v(π, y) = 1 π 2 y 2 Al imponer que la función w(x, y) = X(x)Y (y) cumpla: La ecuación de Laplace w xx + w yy = se obtiene que X (x)y (y) + X(x)Y (y) =, luego X (x) X(x) = Y (y) Y (y) = λ R La condición de contorno w(, y) =, se obtiene que X() = La condición de contorno w(x, ) =, se obtiene que Y () = La condición de contorno w(x, 2π) =, se obtiene que Y (2π) = Por tanto, obtenemos dos problemas separados: { { X (a) (x) + λx(x) = Y (b) (y) = λy (y) X() = Y () = = Y (2π) El problema (b) es un PVF con condiciones de tipo Dirichlet asociado a la función Y (y) 3 Ya vimos que los VAPs y las FUPs del PVF (b) son: } VAPs: λ = λ n = n 2 /4 n 1 FUPs: Y (y) = Y n (y) = sin(ny/2) 4 La EDO X (x) + λ n X(x) = es lineal, homogénea y a coeficientes constantes Su polinomio característico es P (m) = m 2 + λ n y sus raíces son m 1,2 = ± λ n = ±n/2 Por tanto, la solución general de esta ecuación es X(x) = c 1 e nx/2 + c 2 e nx/2, c 1, c 2 R Al imponer la condición adicional = X() = c 1 + c 2 obtenemos que c 2 = c 1, luego X(x) = c 1 (e nx/2 e nx/2 ), c 1 R Tomando c 1 = 1/2, obtenemos la familia de funciones X n (x) = enx/2 e nx/2 2 = sinh(nx/2), n 1 5 Así pues, los modos normales (las FUPs) de la parte homogénea del problema ( ) son w n (x, y) = X n (x)y n (x) = sinh(nx/2) sin(ny/2), n 1 En particular, resulta que, por linealidad, todas las series de la forma w(x, y) = n 1 β n w n (x, y) = n 1 β n sinh(nx/2) sin(ny/2) son soluciones formales de la parte homogénea del problema ( )

16 16 Depositado en ed/edppdf 6 En el paso anterior los coeficientes β n habían quedado libres, pero ahora los determinamos para así obtener la solución final del problema ( ) imponiendo la única condición no homogénea del problema; a saber, la condición de contorno en el lado derecho del rectángulo: g(y) = w(π, y) = n 1 β n w n (π, y) = n 1 β n sinh(nπ/2) sin(ny/2) = n 1 b n sin(ny/2) donde hemos notado b n = β n sinh(nπ/2) En la sección sobre desarrollos de Fourier vimos que b n = 1 π 2π (1 π 2 y) sin(ny/2)dy = 4π 2 ( 1)n n ( 1) n, n 1 π n son los coeficientes de Fourier del desarrollo en senos de la función g(y) = 1 π 2 y en el intervalo [, 2π] Y deshaciendo el cambio de variables w(x, y) = u(x, y) v(x, y), la solución final es u(x, y) = v(x, y) + w(x, y) = x 2 y + n 1 b n sinh(nx/2) sin(ny/2) sinh(nπ/2) Fin de la Última Parte