ANÁLISIS DEL ESQUEMA DE LA DERIVADA EN ESTUDIANTES UNIVERSITARIOS. Màster de Recerca en Educació

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1 ANÁLISIS DEL ESQUEMA DE LA DERIVADA EN ESTUDIANTES UNIVERSITARIOS Màster de Recerca en Educació Claudio Fuentealba Aguilera Tutoras: Edelmira Badillo y Carmen Azcárate Entrega: 13 de Junio de 2014 Defensa: 26 de Junio de 2014

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3 ANÁLISIS DEL ESQUEMA DE LA DERIVADA EN ESTUDIANTES UNIVERSITARIOS Màster de Recerca en Educació Claudio Fuentealba Aguilera Tutoras: Edelmira Badillo y Carmen Azcárate Entrega: 13 de junio de 2014 Defensa: 26 de Junio de 2014

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5 Agradecimientos En este apartado quiero agradecer a la personas que hicieron posible el desarrollo y finalización del este trabajo final de máster. En especial, a la Dra. Edelmira Badillo Jiménez por haber aceptado ser la tutora de este trabajo, estando siempre presente para ayudarme, orientarme y motivarme en cada una de las etapas. Asimismo, a mi cotutora, la Dra. Carmen Azcárate Giménez, por su orientación y sabios consejos, lo cuales me permitieron enfocar de mejor forma mi trabajo. Por otro lado, quiero expresar mi agradecimiento a la Dra. Gloria Sánchez- Matamoros de la Universidad de Sevilla y a la Dra. María Trigueros del Instituto Tecnológico Autónomo de México, por sus aportes y orientaciones referentes tanto a aspectos teóricos como prácticos. Finalmente, agradezco a CONICYT, quien a través de su programa de formación de capital humano avanzado, Becas Chile, ha entregado el financiamiento necesario para el desarrollo de este trabajo.

6 ÍNDICE DE CONTENIDOS Introducción Planteamiento del problema Objetivos de la investigación Marco teórico La Teoría APOE Las estructuras y los mecanismos de construcción de la Teoría APOE La noción de esquema Niveles de desarrollo de un esquema La tematización de un esquema Marco metodológico Paradigma y enfoque de investigación Participantes Instrumentos de recolección de datos El cuestionario La entrevista clínica Diseño del proceso de análisis Análisis y resultados Análisis de los cuestionarios Análisis en profundidad de los cuestionarios seleccionados Análisis del nivel de desarrollo TRANS Análisis del proceso de tematización del esquema Conclusiones Bibliografía Anexos 46

7 ÍNDICE DE FIGURAS Y TABLAS Figura 1 : Construcciones y mecanismo de la Teoría APOE (Asiala et al., 1996; p. 9).. 5 Tabla 1 : Relaciones lógicas que se establecen entre los elementos matemáticos que configuran el concepto de derivada Sánchez-Matamoros (2004)... 8 Tabla 2 : Procedencia de las tareas del cuestionario Tabla 3 : Tarea 1 y elementos matemáticos asociados a su resolución... Tabla 4 : Tarea 2 y elementos matemáticos asociados a su resolución... Tabla 5 : Tarea 3 y elementos matemáticos asociados a su resolución. Tabla 6 : Modificaciones de las tareas del cuestionario utilizadas en la entrevista clínica.... Tabla 7 : Objetivos de las modificaciones de las condiciones de la tarea Figura 2 : Esquema del proceso de análisis de la investigación. 15 Tabla 8 : Análisis acelerado de los cuestionarios en términos de la completitud de cada una de las tareas Tabla 9 : Descripción de los niveles de desarrollo del esquema de la derivada en términos de las relaciones lógicas establecidas (Sánchez-Matamoros, 2004; p.153). Figura 3 : Fragmento del protocolo de resolución del estudiante A9 en la Tarea N 1.. Figura 4 : Gráfica del estudiante A9 en la Tarea N Figura 5 : Fragmento del protocolo de resolución del estudiante A9 en la Tarea N 2... Figura 6 : Gráfica del estudiante A9 en la Tarea N Figura 7 : Protocolo de resolución y gráfica del estudiante A9 en la Tarea N 3... Figura 8 : Fragmento del protocolo de resolución del estudiante A23 en la Tarea N Figura 9 : Gráfica del estudiante A23 en la Tarea N Figura 10: Fragmento del protocolo de resolución del estudiante A24 en la Tarea N 2... Figura 11: Fragmento del protocolo de resolución del estudiante A23 en la Tarea N 2... Figura 12: Fragmento del protocolo de resolución del estudiante A23 en la Tarea N 3... Figura 13: Gráfica del estudiante A1 en la Tarea N 1... Figura 14: Fragmento del protocolo de resolución del estudiante A1 en la Tarea N 1... Figura 15: Fragmento del protocolo de resolución del estudiante A1 en la Tarea N 1.. Figura 16: Fragmento del protocolo de resolución del estudiante A1 en la Tarea N 1.. Figura 17: Gráfica del estudiante A1 en la Tarea N Figura 18: Fragmento del protocolo de resolución del estudiante A1 en la Tarea N 2.. Figura 19: Fragmento del protocolo de resolución del estudiante A1 en la Tarea N 2.. Figura 20: Fragmento del protocolo de resolución del estudiante A1 en la Tarea N 2.. Figura 21: Fragmento del protocolo de resolución del estudiante A1 en la Tarea N 2.. Figura 22: Gráfica del estudiante A1 en la Tarea N Figura 23: Fragmento del protocolo de resolución del estudiante A1 en la Tarea N 3.. Figura 24: Fragmento del protocolo de resolución del estudiante A1 en la Tarea N 3.. Tabla 10 : Clasificación de los estudiantes según su nivel de desarrollo del esquema de la derivada.. Tabla 11: Características del nivel de desarrollo TRANS del esquema de la derivada... Tabla 12: Criterios que evidencian que el estudiante A1 ha tematizado el esquema de la derivada

8 Introducción El propósito de este trabajo ha sido analizar y describir el nivel de desarrollo del esquema de la derivada en estudiantes con instrucción previa en cálculo diferencial. En este sentido, nos interesó caracterizar dichos niveles de desarrollo con el objeto de entender cómo se desarrolla el concepto de derivada en la mente del estudiante. Para llevar a cabo, el análisis del esquema de la derivada, tomamos como marco de referencia la Teoría APOE (acción-proceso-objeto-esquema) y en particular, nos centramos en los niveles de desarrollo de un esquema, planteados por Piaget y García (1983/1989) a través de la tríada de desarrollo INTRA-INTER-TRANS. Por otro lado, para enfocar mejor nuestro análisis, realizamos una revisión de la literatura concerniente al desarrollo del esquema de la derivada, observando dos posturas teóricas respecto a su análisis: la de Baker et al. (2000) compartida por Badillo (2003), que indican que el desarrollo del esquema de la derivada, puede describirse en función de la interacción de otros esquemas que configuran el concepto y la de Sánchez-Matamoros (2004), que caracteriza los niveles de desarrollo del esquema de la derivada, en función de los elementos matemáticos que los estudiantes utilizan y las relaciones lógicas que establecen entre estos elementos. En el caso particular de este estudio, nos decantamos por la segunda opción. De esta forma, clasificamos a los estudiantes en cada uno de los niveles de desarrollo correspondientes, en función de las respuestas entregadas a las tres tareas que contenía el cuestionario que fue aplicado. Luego, seleccionamos aquellos estudiantes asignados al nivel TRANS de desarrollo del esquema de la derivada, para aplicarles un segundo instrumento que consistió en una entrevista clínica sobre su proceso de resolución del cuestionario, de esta forma, pretendíamos caracterizar con mayor profundidad este nivel de desarrollo del esquema y al mismo tiempo, modificamos algunas de las condiciones propuestas en cada una de las tareas, para dar cuenta si los estudiantes con un nivel de desarrollo TRANS, habían tematizado el esquema de la derivada. El presente trabajo se encuentra estructurado en cinco partes, la primera relacionada con el planteamiento del problema y los objetivos del estudio. En la segunda parte, se desarrolla el marco teórico, realizando una mirada general a la Teoría APOE, profundizando en los niveles de desarrollo de un esquema y el proceso de tematización. En la tercera parte, se presenta el marco metodológico, en el cual se describe el tipo de investigación, los participantes del estudio, los instrumentos de recogida de datos y las fases de la investigación. En la cuarta parte, se presenta el proceso de análisis de los datos, comenzando con el análisis de las repuestas a los cuestionarios y la clasificación de los estudiantes, a los distintos niveles de desarrollo y posteriormente, se presenta el análisis de las entrevistas que permitieron indagar, en las características del nivel de desarrollo TRANS y el proceso de tematización. Finalmente, en la última parte del estudio, se presentan las conclusiones referentes a cada uno de los objetivos planteados para nuestra investigación.

9 Planteamiento del problema El concepto de derivada, es sin duda, uno de los elementos fundamentales y estructurantes de cualquier curso de cálculo o análisis matemático. Nadie discute su importancia, es por ello que está incluido en los currículos de la gran mayoría de las carreras tanto del área científica como de matemáticas. Sin embargo, el aprendizaje del concepto de derivada resulta ser un reto cognitivo para la gran mayoría de los estudiantes, ya que involucra, la compresión cabal de conceptos previos tales como: funciones, límites y continuidad. En este mismo sentido Azcárate (1990) menciona que la comprensión de la derivada implica una comprensión previa de algunos conceptos, entre los cuales menciona la velocidad media e instantánea, tasa media de variación y la pendiente de una recta. Es por estas razones, que muchos estudiantes presentan dificultades en la comprensión del concepto de derivada, lo cual queda de manifiesto en: las bajas calificaciones, los altos índices de abandono y reprobación que se presentan en gran parte de los cursos. Por otro lado, desde mi experiencia como profesor de cálculo, he observado que un gran número de estudiantes presentan dificultades cuando trabajan con el concepto de derivada, ya que tienden a utilizar técnicas memorísticas y algorítmicas para resolver los problemas que se le proponen, lo que generalmente no los lleva a un camino óptimo de resolución. En este sentido, Artigue (1995) plantea que algunos estudiantes son capaces de resolver los problemas que se les proponen con la aplicación correcta de las reglas de derivación; sin embargo, presentan graves dificultades cuando necesitan manejar el significado del concepto de derivada, ya sea a través de su expresión analítica (como límite del cociente incremental) o en su interpretación geométrica (como pendiente de la recta tangente). Esta situación no es nueva y ha sido motivo de numerosas investigaciones que la han abordado desde diversos planteamientos teóricos. Por ejemplo, Baker, Cooley y Trigueros (2000), en su estudio sobre el esquema gráfico del cálculo, identifican ciertas dificultades presentes en los estudiantes ante aspectos característicos de una función como: la existencia de puntos cúspides, tangentes verticales, cambios en las condiciones de continuidad y niveles de comprensión de la segunda derivada. Al mismo tiempo, corroboraron lo que habían establecido estudios anteriores, que indicaban que los estudiantes no consideran a las derivadas como funciones y en el momento que realizan el análisis de una función, tienden a extraer toda la información posible, utilizando sólo la primera derivada. En este mismo sentido, Badillo, Azcárate y Font (2011) y Sánchez- Matamoros, García y Llinares (2006), han subrayado la influencia de los contextos, ya que los estudiantes no relacionan automáticamente sus concepciones construidas sobre los conceptos de razón, límite y función vinculados a las ideas de derivada dadas en distintos contextos. Por otro lado, también existe la dificultad referente a las concepciones previas de los estudiantes que provienen de su experiencia, las que pueden contener aspectos contradictorios que se manifiestan según las situaciones y son muy resistentes al cambio. Considerando esta situación y la gran demanda social referente a que la investigación en didáctica de la matemática, no sólo analice la problemática de la enseñanza de la disciplina sino que también contribuya a la solución (por medio de producción de material de apoyo para el aprendizaje de los alumnos), es que enfocaremos nuestra investiga-

10 ción en comprender las relaciones que establecen los estudiantes, entre los distintos elementos matemáticos que configuran el concepto de derivada y que ponen en juego a la hora de resolver problemas que involucran la utilización del esquema. De esta forma, pretendemos que en un futuro próximo podamos contribuir al diseño una ruta de aprendizaje del concepto de derivada que asegure, en alguna medida, que los estudiantes manejan los elementos matemáticos necesarios que les permiten resolver todo tipo de problemas a un cierto nivel. 1.1 Objetivos de la investigación Por las razones antes descritas, nos proponemos analizar el esquema de la derivada que exhiben alumnos con instrucción previa en cálculo diferencial y para ello, hemos planteado los siguientes objetivos: Objetivo general Caracterizar y describir el nivel de desarrollo del esquema de la derivada en alumnos universitarios con instrucción previa en cálculo diferencial. Objetivos específicos Analizar la comprensión de la derivada de los alumnos que exhiben un nivel alto de desarrollo del esquema. Describir e interpretar las relaciones lógicas que se establecen en cada nivel de desarrollo del esquema. Caracterizar y describir el proceso de tematización del esquema de la derivada.

11 Marco teórico 2.1 La Teoría APOE Tomando como marco de referencia epistemológico las ideas de Piaget, Dubinsky y un grupo de investigadores Research on Undergraduate Mathematics Education (RUMEC), han desarrollado un marco teórico denominado Teoría APOE (Acción- Proceso-Objeto-Esquema). Este marco, es el resultado de la interpretación de la ideas piagetianas referentes a la abstracción reflexiva, aplicado a la investigación del pensamiento matemático avanzado (PMA). El objetivo de APOE es describir tanto el camino como la construcción, de las estructuras cognitivas lógico-matemáticas, realizadas por un individuo durante el proceso de aprendizaje de un concepto matemático. En términos simples, la Teoría APOE, intenta estudiar y modelar la forma en que un estudiante aprende matemáticas, pero también, como éstas se pueden enseñar de forma efectiva. Por lo tanto, como menciona Trigueros (2004) es una Teoría que no se preocupa únicamente del aprendizaje, sino que también se preocupa por la enseñanza. Desde el punto de vista de la teoría APOE, la construcción del conocimiento matemático pasa por tres etapas básicas: acción, proceso y objeto. El paso por estas tres etapas, no es necesariamente secuencial. Una persona puede pasar mucho tiempo en etapas intermedias e incluso estar en una etapa de construcción para ciertos aspectos de un concepto matemático y en otra, para otros. Lo que sí puede afirmarse, es que el manejo que una persona hace de un concepto, ante distintas situaciones problemáticas, es diferente cuando un individuo responde con un nivel caracterizado por un proceso en la teoría que cuando lo hace a nivel acción o cuando lo hace a nivel objeto. Es claro, además, que el tipo de respuesta del sujeto dependerá en gran medida de la demanda cognitiva del tipo de problema al que responde (Trigueros, 2004). 2.1 Las estructuras y los mecanismos de construcción de la Teoría APOE Si bien en nuestro estudio, el foco principal no está en el análisis de la respuesta de los estudiantes frente a las tareas en términos de acciones, procesos y objetos, creemos que es necesario tener presente, a qué construcciones corresponde y cuáles son los mecanismos de construcción correspondientes, para cada caso. En la Teoría APOE, las acciones, procesos y objetos son las estructuras mentales que, según este marco, un sujeto construye a la hora de aprender un determinado concepto matemático, y como ya se mencionó, el paso por estas etapas no es necesariamente secuencial. El mecanismo para pasar de un estado de construcción de conocimiento matemático a otro, en esta teoría, es la abstracción reflexiva. La abstracción reflexiva es una herramienta mental, o dispositivo del que se hace uso en los procesos de construcción del conocimiento, que permite al estudiante, a partir de las acciones sobre los objetos, inferir sus propiedades o las relaciones entre objetos de un mismo nivel de pensamiento. Esto implica, entre otras cosas, la organización de la información en un marco intelectual organizado a nivel superior (Dubinsky, 1991). Con respecto a la acción, Asiala et. al. (1996) indican que es una transformación de un objeto, el cual es percibido por el individuo, hasta cierto punto, como algo externo. Siguiendo esta idea, Dubisnky (1996) complementa la definición de acción indicando que corresponde a una respuesta a estímulos, los cuales pueden ser físicos o mentales, es decir, que una acción puede consistir en una simple respuesta o en una secuencia de ellas. En cada caso, el efecto es transformar en forma física o mental, uno o varios obje-

12 tos. Por otra parte, menciona que aunque la concepción de acción es muy limitada, las acciones marcan el principio crucial del entendimiento de un concepto. Por lo tanto, el acercamiento pedagógico de la teoría APOE basada en una teoría de aprendizaje comienza con actividades diseñadas para ayudar a los estudiantes a construir acciones (Dubinsky, 1996). Por otra parte, según Dubinsky (1996), cuando una acción se repite y el individuo reflexiona sobre ella, puede interiorizarse en un proceso. Por lo tanto, un proceso corresponde a una construcción interna, que ejecuta la misma acción, pero no necesariamente requiere de un estímulo externo. En este sentido, el individuo percibe el proceso como algo interno y bajo su control, a diferencia de la acción que corresponde a respuestas a estímulos externos. Siguiendo esta idea, cuando un individuo ya tiene construido un proceso, varias cosas son posibles, por ejemplo, puede coordinar dos o más procesos para dar origen a un nuevo proceso o bien, puede revertirlo para llegar a las acciones de las se ha originado dicho proceso. Cuando un individuo reflexiona sobre las operaciones aplicadas a un proceso en particular, toma conciencia de éste como un todo, realiza aquellas transformaciones (ya sean acciones o procesos) que pueden actuar sobre él y puede construir de hecho, esas transformaciones, entonces está pensando en este proceso como un objeto. En este caso, decimos que el proceso ha sido encapsulado en un objeto. En el curso de la realización de una acción o un proceso sobre un objeto, suele ser necesario desencapsular y regresar el objeto, al proceso del cual se obtuvo, con el fin de usar sus propiedades al manipularlo (Dubinsky, 1996). Por otro lado, Asiala, et. al. (1996) mencionan que en general, la encapsulación de procesos para obtener objetos es extremadamente compleja, ya que el tomar conciencia sobre las operaciones aplicadas a un proceso y reflexionar sobre ellas, resulta de una alta dificultad cognitiva para los estudiantes. Los mecanismos, las construcciones y relaciones antes descritas se ilustran en la Figura 1. Figura 1: Construcciones y mecanismo de la Teoría APOE (Asiala et al., 1996; p. 9) 2.2 La noción de esquema La noción de esquema, al igual que la de abstracción reflexiva, proviene de las ideas de Piaget y ha comenzado a jugar un rol fundamental, dado que las construcciones mentales que moviliza un estudiante, a la hora de resolver un problema complejo, no podían ser explicadas sólo en términos de acciones, procesos y objetos. Sin embargo, la definición de esquema de Piaget, ha sido ajustada y tiene un significado preciso en la teoría APOE, permitiendo de esta forma, dar una explicación de la manera en que se desarro-

13 llan los conceptos matemáticos en la mente del individuo, a través de las construcciones y relaciones cognitivas que genera. En este sentido, un esquema para una parte específica de las matemáticas se define como la colección de acciones, procesos, objetos y otros esquemas, que están relacionados consciente o inconscientemente en la mente de un individuo, en una estructura coherente y que pueden ser empleados en la solución de una situación problemática que involucre esa área de las matemáticas. Cuando un sujeto se encuentra frente a un problema específico en el ámbito de las matemáticas, evoca un esquema para tratarlo. Al hacerlo, pone en juego aquellos conceptos de los que dispone en ese momento y utiliza relaciones entre estos. Ante una misma situación, diferentes estudiantes, utilizan los mismos conceptos y diferentes relaciones entre ellos. El tipo de relaciones que cada sujeto establece entre los conceptos que utiliza, así como el tipo de construcción del concepto que muestra, dependen de su conocimiento matemático. Se espera que a mayor conocimiento, se hayan construido más relaciones entre conceptos y que estas relaciones, formen estructuras cognitivas coherentes en el sentido de que el individuo distinga claramente aquellas situaciones que pueden tratarse poniendo en juego un esquema específico de las que no puede (Trigueros, 2005; p. 11). De esta forma, las construcciones acciones, procesos y objetos, se relacionan entre ellas, se organizan en una estructura superior y coherente, a la cual se le denomina esquema. Es justamente, en esta estructura que focalizaremos nuestro estudio para observar esquemas en distinto grado de formación o estructuración y para ello, tendremos presentes las relaciones e interconexiones que manifiestan los estudiantes a la hora de resolver las distintas tareas que se les plantean. La figura 1 muestra los construcciones mentales básicas de la teoría. 2.3 Niveles de desarrollo de un esquema Como se mencionó anteriormente, cuando se habla de esquemas en la teoría APOE, no basta con definir las acciones, los procesos y los objetos que intervienen en la resolución de un problema por parte de los estudiantes, además, hay que tener muy presentes, las relaciones e interconexiones entre ellos. En este sentido Trigueros (2004) indica que cuando se toman en consideración esas relaciones, es posible identificar en las acciones de los estudiantes que resuelven un mismo problema, esquemas en distinto grado de formación o de estructuración, dependiendo de qué relaciones pueden identificarse como construidas. Por lo tanto, de ninguna manera, hay que considerar que el esquema para un determinado concepto matemático se mantiene fijo, sino al contrario, éste se encuentra en constante evolución y se reestructura dependiendo de las nuevas situaciones problemáticas a las que se enfrenta el estudiante. En este sentido, Piaget y García (1983/1989) plantean que el conocimiento crece según ciertos mecanismos y que un esquema se desarrolla o evoluciona pasando por tres niveles o fases: INTRA INTER TRANS, denominado/a triada, que se suceden según un orden fijo, caracterizándose por el grado de construcción de relaciones entre los elementos constitutivos. Siguiendo esta idea, definen los niveles de desarrollo de un esquema de la siguiente forma: INTRA: lo propio de este periodo es el descubrimiento de una acción operatoria cualquiera, y la búsqueda del análisis de sus diversas propiedades internas o de sus consecuencias inmediatas, pero con una doble limitación. En primer lugar, no hay coordinación de esta preoperación con otras en un agrupamiento organizado; pero además el análisis interno de la operación en juego se acompaña de errores que se co-

14 rregirán progresivamente, así como de lagunas en la inferencia que de ella puedan deducirse.(p. 163) INTER: una vez comprendida una operación inicial es posible deducir de ella las operaciones que están implicadas, o de coordinarlas con otras más o menos similares, hasta la constitución de sistemas que involucran ciertas transformaciones. Si bien hay aquí una situación nueva, existen sin embargo limitaciones que provienen del hecho de que las composiciones son restringidas ya que solamente pueden proceder con elementos contiguos.(p.165). TRANS: es fácil de definir en función de lo que precede, como involucrando, además de las transformaciones, síntesis entre ellas. Dichas síntesis llegan a la construcción de estructuras (p.167). A partir de esta definición de la triada del nivel de desarrollo de un esquema, en las últimas décadas, se han elaborado diversos estudios referentes al concepto de derivada. Por ejemplo, la investigación de Baker, Cooley y Trigueros (2000) analizó el esquema de cálculo gráfico, a través de la resolución, de los estudiantes, de un problema gráfico no rutinario, en su estudio plantearon que el esquema gráfico de cálculo estaba conformado por la interacción de dos esquemas a los que denominaron esquema de propiedad y esquema de intervalo, utilizando para su análisis una doble triada. Posteriormente las mismas autoras, en un nuevo estudio, ampliaron su trabajo considerando un número mayor de tareas en sus instrumentos de investigación. Por su parte, Badillo (2003) realiza un análisis de la comprensión del concepto de derivada de un grupo de profesores de matemáticas y física de Colombia, en su investigación, utilizó la idea de coordinación de esquemas, considerando que el esquema de la derivada estaba conformado por el esquema algebraico y el esquema gráfico. Sin embargo, para el caso específico de nuestro estudio, tomaremos como referencia el trabajo realizado por Sánchez-Matamoros (2004), en él que se realiza un análisis del esquema de la derivada en términos de la relaciones lógicas, que los estudiantes establecen entre los distintos elementos matemáticos a la hora de resolver problemas. En este sentido entenderemos que un elemento matemático es el producto de una disociación o de una segregación del concepto vinculada al concepto y a sus propiedades (Piaget, 1963; p. 72). A partir de esta última definición, es posible indicar que el concepto de derivada posee elementos estructurantes de distinta naturaleza, caracterizados por los modo de representación y el carácter de dichos elementos. Con respecto, a los modos de representación, es posible indicar que el concepto de derivada está conformado por dos tipos de elementos: los analíticos y los gráficos. Por otro lado, en relación al carácter o naturaleza podemos indicar que son de tipo: puntual (si hacen referencia a una propiedad especifica en un punto) o global (si corresponde a una propiedad correspondiente a un intervalo). Considerando lo anterior, entenderemos que un esquema corresponde a la estructura matemática formada por los elementos matemáticos y las relaciones lógicas que se establecen entre ellos y que puede ser evocado, para la resolución de un problema (Sánchez- Matamoros, García y Llinares, 2008). A partir de esta definición, nos proponemos caracterizar el desarrollo del esquema de la derivada en función de las relaciones lógicas conjunción, contrarrecíproco y equivalencia que son las que los alumnos establecen entre los elementos matemáticos para inferir los significados explícitos e implícitos presentes en cada una de las tareas. Las relaciones lógicas que se establecen entre los elementos matemáticos que conforman el concepto de derivada se describen en la Tabla 1.

15 Tabla 1: Relaciones lógicas que se establecen entre los elementos matemáticos que configuran el concepto de derivada Sánchez-Matamoros (2004). Relación lógica Conjunción lógica (y lógica) Contrarrecíproco Equivalencia lógica (o doble implicación): Descripción Es la relación que se produce entre elementos matemáticos cuando se usan conjuntamente para hacer inferencias. Es la relación que se establece en un condicional directo y su contrarrecíproco A B B A. Es la relación que se establece en un bicondicional y la conjunción de los condicionales A B A B B A. A partir de la identificación de los elementos matemáticos y las relaciones lógicas que se establecen entre ellos, podemos definir los niveles de desarrollo del esquema de la derivada de la siguiente forma: NIVEL INTRA: En este nivel, los alumnos no recuerdan gran parte de los elementos matemáticos necesarios para la resolución de la tarea y con respecto, a aquellos elementos que recuerdan, no son capaces de establecer relaciones lógicas o bien, las establecen pero de forma errónea, lo cual no les permite responder a la tarea favorablemente. Un estudiante perteneciente al nivel INTRA muestra dificultades al intentar coordinar los elementos matemáticos que relacionan f con f ' y f con f ''. NIVEL INTER: Los alumnos, pertenecientes a este nivel, recuerdan un mayor número de elementos matemáticos y son capaces de establecer algunas relaciones lógicas entre los elementos, generalmente de forma correcta. Las relaciones lógicas que se presentan con mayor frecuencia son la conjunción y el contrarrecíproco, mientras que al intentar relacionar los elementos matemáticos a través de la equivalencia, aún muestran algunas dificultades. En este nivel, los estudiantes, aún no poseen síntesis en los modos de representación gráfico y analítico, por este motivo, las relaciones que establece se dan en un mismo modo de representación. Un estudiante asignado al nivel INTER evidencia un tratamiento distinto de los mismos elementos matemáticos y las relaciones lógicas entre estos elementos, dependiendo del modo de representación en el cual se entreguen en la tarea. NIVEL TRANS: Un estudiante asignado a este nivel es capaz de establecer cualquiera de las relaciones lógicas descritas entre los elementos matemáticos, independiente del modo de representación en el cual estén dados dichos elementos, lo cual le permite realizar inferencias con respecto a propiedades implícitas que facilitan la resolución de la tarea de forma satisfactoria. En relación a la síntesis que forma parte de la descripción de los niveles de desarrollo, ésta se aplica a situaciones en las que hay que relacionar (relación lógica) información gráfica y analítica, es decir, usar información procedente de dos sistemas de representación diferentes para considerarla conjuntamente y obtener una cosa que no se conocía. Considerar la información conjuntamente significa establecer algún tipo de relación lógica entre los elementos matemáticos para tomar una decisión relativa a la situación en la que se encuentra (Sánchez-Matamoros, 2004).

16 2.4 La tematización de un esquema Una vez que un esquema se encuentra formado está en constante evolución, pudiendo ser enriquecido y relacionado con nuevos esquemas correspondientes a otros conceptos matemáticos. Por otro lado, cuando un estudiante reflexiona sobre su comprensión del esquema de un concepto, visto como un todo y es capaz de realizar nuevas acciones sobre el esquema, entonces se dice que el esquema ha sido tematizado en un objeto, es decir, se llega a una nueva estructura mental, que son los esquemas; en esta instancia pueden ser tratados como objetos e incluirse en organizaciones de esquemas de más alto nivel (Asiala, et al., 1996). Aquí es importante destacar que existen dos formas de construir un objeto, la primera es encapsulando un proceso o bien, tematizando un esquema. Según Trigueros (2005), la tematización del esquema implica, por una parte, la coherencia del esquema, es decir, la posibilidad de que el sujeto reconozca las relaciones que están incluidas en el esquema y sea capaz de decidir qué problema puede resolverse utilizando el esquema y cuál no. Esta coherencia, ya está presente en el nivel TRANS, pero ahora el estudiante es capaz de desagrupar el esquema para utilizar las partes que lo componen cuando esto es necesario y reagrupar, nuevamente las partes que se necesitan en la solución de un problema que requiere las mismas componentes y tiene la posibilidad de realizar acciones sobre el esquema, es decir, de utilizarlo como objeto en la solución de un nuevo problema. Esto permite concluir que la tematización de un esquema, aunque posible, es muy difícil de lograr. Finalmente, para el propósito de nuestro estudio, consideraremos lo planteado por Sánchez-Matamoros (2004), quien indica que un estudiante llega a la tematización del esquema, cuando es capaz de poner de manifiesto los dominios de validez de las propiedades, es decir, sabe adaptarse a la nueva situación cuando se modifica alguna condición inicial del problema. Por ejemplo, en relación al esquema de la derivada, cuando es capaz de trasladar las relaciones entre el par f y f ', al par f ' y f ''.

17 Marco metodológico 3.1 Paradigma y enfoque de investigación El presente estudio es de tipo cualitativo y posee carácter descriptivo, ya que los objetivos de la investigación están orientados a caracterizar y describir el desarrollo del esquema de la derivada. En este sentido, Dankhe (1989) manifiesta que un estudio de tipo descriptivo corresponde a la investigación que busca especificar las propiedades importantes de personas, grupos, comunidades o cualquier otro fenómeno que sea sometido a análisis. Por lo tanto, la investigación descriptiva tiene como objetivo llegar a conocer las situaciones, costumbres y actitudes predominantes a través de la descripción exacta de las actividades, objetos, procesos y personas. Su meta no se limita a la descripción de los datos, sino a la predicción e identificación de las relaciones que existen entre dos o más variables. Los investigadores no son meros tabuladores, sino que recogen los datos sobre la base de una hipótesis o teoría, exponen y resumen la información de manera cuidadosa y luego, analizan minuciosamente los resultados, a fin de extraer generalizaciones significativas que contribuyan al conocimiento del objeto de estudio. 3.2 Participantes Los participantes del estudio fueron 25 estudiantes universitarios de la provincia de Barcelona. De los cuales 17 correspondían a estudiantes de tercer curso de Ingeniería en Organización Industrial de una universidad privada, los que previamente, habían realizado por lo menos un curso de Cálculo Diferencial e Integral y uno de Ecuaciones Diferenciales. Los restantes 8 alumnos, pertenecían al primer curso del grado de Matemáticas y Física de una universidad pública y habían concluido recientemente el curso de Cálculo Diferencial. 3.3 Instrumentos de recolección de datos Para recoger los datos necesarios con el fin de responder a nuestros objetivos, elaboramos dos instrumentos que son los que tradicionalmente utiliza la Teoría APOE: cuestionario y entrevistas clínica sobre el proceso de resolución del cuestionario El cuestionario El primer instrumento es un cuestionario, en el cual se planteaban tres tareas sobre la compresión gráfica de la derivada. La resolución de dichas tareas involucraba el uso de los elementos matemáticos que configuran el concepto de derivada. Para la construcción del cuestionario, se tomaron en consideración investigaciones previas sobre el esquema del concepto de derivada y seleccionaron las más relevantes que se muestran en Tabla 2. Tabla 2: Procedencia de las tareas del cuestionario. Tarea 1 2 Procedencia Tarea basada en las que figuran en los artículos de investigación de Asiala et al. 1997, y de Baker et al. Modificada por Sánchez-Matamoros (2004). El gráfico de la tarea procede de la prueba de selectividad Andalucía LOGSE de 1997 de 2º de bachillerato de Ciencias Sociales, en el ejercicio de selectividad sólo se les pedía el valor de '7 f '3, y el cálculo de ciertos límites de f f y x. Fue modificada por Sánchez-Matamoros (2004) para pedir además

18 3 Tarea 1 el valor de f ' 10, f ' 14 y f ' 15 por la diversidad del comportamiento de la función en estos puntos, entre los que se encuentra x 14 punto anguloso o cúspide (tratado en el artículo de Baker et al. 2000) y además, sustituyó el apartado b) que figuraba en la prueba de selectividad sobre el cálculo de límites de f x en determinados puntos, por el apartado b) que figura en la tarea donde se pide el esbozo del gráfico de f ' a partir del gráfico de f. Tarea que figura en el libro Calculus M. Spivak, 1974, editorial reverté,s.a. Fue modificada por Sánchez-Matamoros (2004) agregando información extra sobre los valores extremos de f '. En la tarea se proporciona información analítica de la función f en términos de f ' y f '', con dichos elementos se les solicita a los estudiantes esbozar la gráfica de la función f. El objetivo de esta tarea es observar si los estudiantes son capaces de establecer las relaciones tanto puntuales como globales que asocian el signo de f ' en un intervalo con la monotonía de f en dicho intervalo, el signo de f '' en un intervalo con la concavidad de f en el intervalo y los ceros de f ' con la posible existencia de valores extremos o puntos de inflexión. En la Tabla 3 se presenta la primera tarea y los elementos matemáticos necesarios para su resolución. Tabla 3: Tarea 1 y elementos matemáticos asociados a su resolución. Tarea 1 Elementos matemáticos presentes f a, entonces en x a existe un máximo, mínimo o punto de inflexión. 1.- Si ' Si f ' 0 en un intervalo I, entonces f crece en I. 3.- Si f ' 0en un intervalo I, entonces f decrece en I. 4.- Si f '' 0 en un intervalo I, entonces f es convexa en I. 5.- Si f '' 0 en un intervalo I, entonces f es cóncava en I. Tarea 2 La segunda tarea presentada en modo gráfico, poseía dos partes, la primera se centra en comportamiento local de la función y se les solicita a los estudiantes, calcular la derivada en puntos específicos de f. El objetivo de esta primera parte, es observar si los estudiantes son capaces de calcular la derivada en los puntos que poseen distintos com-

19 portamientos. Para la resolución era necesario que manejaran el significado de la derivada como razón de cambio y como pendiente de la recta tangente en un punto. En la segunda parte se les solicitaba esbozar el gráfico de f ' a partir del gráfico de f, en este caso, pretendíamos observar si los alumnos manejan los elementos matemáticos analíticos y/o gráficos globales que surgen de la implicaciones contrarias a la que se utilizan en la tarea 1. En este sentido, cabe destacar que el buen desarrollo por parte de los alumnos de las tareas 1 y 2, es un indicador de que establecen relaciones del tipo equivalencia lógica y por otra lado, presentan síntesis en los modos de representación, ya que manejarán, los elementos relacionados presentados en modos distintos de representación. En la Tabla 4 se presenta la segunda tarea y los elementos matemáticos necesarios para su resolución. Tabla 4: Tarea 2 y elementos matemáticos asociados a su resolución. Tarea 2 Elementos matemáticos 1.- f ' a es igual a la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x a. 2.- Si f es derivable en x a, entonces f es continua en x a. (Contrarecíproco) 3.- Si en x a existe un valor extremo o punto de inflexión de la función f, entonces f ' a 0. ' ' 4.- Punto cúspide derivada laterales distintas f a f a. 5.- Aproximación de la tasa de variación instantánea, a través de la tasa de variación media. 6.- Si f es creciente en un intervalo I, entonces f ' 0 en I. 7.- Si f es decreciente en un intervalo I, entonces f ' 0en I. 8.- Si f es convexa en un intervalo I, entonces f ' es creciente en I. 9.- Si f es cóncava en un intervalo I, entonces f ' es decreciente en I Si f es una parábola, entonces f ' es una recta.

20 Tarea 3 En la tercera tarea presentada en modo gráfico, les solicitamos a los estudiantes, construir el gráfico de f a partir de la gráfica de f ', donde la gráfica de f ' muestra: variados cambios de signo, crecimiento, ceros, puntos de tangencia horizontal y un punto anguloso. El objetivo de la tarea es que los alumnos sean capaces de establecer las relaciones lógicas que vinculan: el crecimiento de f ' con la convexidad de f, el signo de f ' con la monotonía de f, los ceros y valores extremos de f ' con los valores extremos y puntos de inflexión de f. Lo importante de esta tarea. es que para poder vincular f ' con f, necesariamente debe analizarse que sucede con f '', por lo tanto, debe considerarse a f ' como una función y a f '' como su derivada. En la Tabla 5 se presenta la tercera tarea y los elementos matemáticos necesarios para su resolución. Tabla 5: Tarea 3 y elementos matemáticos asociados a su resolución. Tarea Si ' 0 Elementos matemáticos f a, entonces en x a existe un máximo, un mínimo o un punto de inflexión de f.(con tangente horizontal) 2.- Si f ' posee signos distintos a la izquierda y a la derecha del punto de abscisa x a, entonces en x a existe un valor extremo. 3.- Si f '' posee signos distintos a la izquierda y a la derecha del punto de abscisa x a, entonces en a, f a existe un punto de inflexión. 4.- Si f ' 0 en un intervalo I, entonces f crece en I. 5.- Si f ' 0 en un intervalo I, entonces f decrece en I. 6.- Si f ' crece en un intervalo I, entonces f '' 0 en I, luego f es convexa en I. 7.- Si f ' decrece en un intervalo I, entonces f '' 0 en I, luego f es cóncava en I Entrevista clínica La entrevista clínica tenía dos finalidades claras: (1) profundizar en el proceso de resolución de las tareas propuestas a los estudiantes y (2) indagar en el proceso de temati-

21 zación del esquema de la derivada. Para esto último, realizamos pequeñas modificaciones a las condiciones de las tareas del cuestionario (Tabla 6) con el fin de identificar, si los alumnos eran capaces de movilizar las relaciones lógicas entre los elementos matemáticos a una situación nueva. Tabla 6: Modificaciones de las tareas del cuestionario utilizadas en la entrevista clínica. Tarea Modificación Pregunta 1 Eliminamos la condición c. Existe algún cambio significativo en la gráfica de si eliminamos la condición c? 2 Suponiendo que la gráfica corresponde a f '. Si la gráfica corresponde a f ' Qué sucedería con la gráfica de f en los puntos de abscisas x 7 y x 14? Modificamos la gráfica de f ' 3 Qué sucedería con la gráfica de f en los puntos P 1 y x 2, si sabemos que f es continua? Como ya se mencionó, el objetivo de cada modificación era observar si los alumnos podían movilizar sus relaciones a estas nuevas situaciones, sin embargo, cada una de las preguntas tenía un objetivo específico detrás de su formulación, los que se muestran en la Tabla 7. Tabla 7: Objetivos de las modificaciones de las condiciones de las tareas. Tarea Objetivo de la modificación Identificar si el estudiante es capaz de determinar que no existen cambios significativos en la gráfica de f debido a la fuerza de la condición de continuidad. Observar si es capaz de establecer que en dichos puntos existen puntos de inflexión de f para lo cual, es necesario que relacionen f ' con f ''. De esta forma, deben ser capaces de observar a f ' como función y f '' como su derivada, para poder inferir sobre lo que sucede en estos puntos con respecto a f. Observar si el alumnos es capaz de determinar que en P 1 existiría un mínimo para la función f y en x 2 un punto cúspide. 3.4 Diseño del proceso de análisis En relación a la planificación del proceso de análisis, se estructuró en dos fases para la consecución de los objetivos propuestos para nuestro estudio. La Figura 2 muestra las fases de análisis del estudio.

22 Figura 2: Esquema del proceso de análisis de la investigación. Fase 1 Como primer paso de esta fase, se realiza un análisis acelerado de los protocolos de resolución de los estudiantes, de cada una de las tareas, en términos de la completitud de ellas. El objetivo de este primer análisis es seleccionar aquellos protocolos que tengan la mayor cantidad de información susceptible de ser analizada. Una vez realizado el proceso de selección de los protocolos seleccionados, estos son analizados en función de los elementos matemáticos que utilizan y las relaciones lógicas que establecen entre dichos elementos. El objetivo de este análisis es clasificar a cada uno de los estudiantes seleccionados en uno de los niveles de desarrollo del esquema de la derivada. Fase 2 Una vez concluida la Fase 1, se seleccionan aquellos estudiantes que son clasificados en el nivel TRANS del esquema de la derivada. A estos, se les aplica una entrevista clínica que tiene dos objetivos: (1) profundizar en su proceso de resolución del cuestionario y, (2) establecer si han tematizado el esquema de la derivada e indagar en el proceso de tematización.

23 Análisis y resultados 4.1 Análisis de los cuestionarios En una primera etapa realizamos un análisis acelerado de los protocolos de resolución de cada uno de los 25 estudiantes considerando, como criterio de valoración, la completitud de cada una de las tareas y del cuestionario en general. Para ello, utilizamos algunos criterios que en cierta medida nos aseguraban una mayor obtención de información para su posterior análisis con mayor profundidad. Los criterios de completitud que utilizamos para cada de las tareas fueron completo/incompleto/no resuelta. Los resultados de este análisis se presenta en la Tabla 8. Tabla 8: Análisis acelerado de los cuestionarios en términos de la completitud de cada una de las tareas. Alumno Tarea N 1 Tarea N 2 Tarea N 3 Decisión A1 Completa Completa Completa Seleccionado A2 Completa Incompleta No resuelta No seleccionado A3 Completa Completa Completa Seleccionado A4 Completa Completa Completa Seleccionado A5 Incompleta Completa No resuelta No seleccionado A6 Incompleta Incompleta Incompleta No seleccionado A7 No resuelta Completa No resuelta No seleccionado A8 Completa Incompleta Completa Seleccionado A9 Completa Completa Completa Seleccionado A10 Completa Incompleta No resuelta No seleccionado A11 Completa No resuelta No resuelta No seleccionado A12 Incompleta Incompleta No resuelta No seleccionado A13 Completa No resuelta No resuelta No seleccionado A14 Completa Completa Completa Seleccionado A15 Completa Incompleta Completa Seleccionado A16 No resuelta No resuelta No resuelta No seleccionado A17 No resuelta No resuelta No resuelta No seleccionado A18 Completa Incompleta No resuelta No seleccionado A19 Incompleta Incompleta Incompleta No seleccionado A20 Completa Completa Incompleta Seleccionado A21 Incompleta Incompleta Incompleta No seleccionado A22 Incompleta No resuelta No resuelta No seleccionado A23 Completa Incompleta Completa Seleccionado A24 Incompleta No resuelta No resuelta No seleccionado A25 Incompleta No resuelta No resuelta No seleccionado A partir de este análisis de los protocolos de resolución de los estudiantes, en términos de la completitud de las tareas, redujimos el número de sujetos de estudio a sólo nueve casos: A1, A3, A4, A8, A9, A14, A15, A20 y A Análisis en profundidad de los cuestionarios seleccionados

24 En relación al análisis de estos nueve casos seleccionados utilizamos como referencia los niveles de comprensión de la derivada descritos por Sánchez-Matamoros (2004). De esta forma pretendíamos clasificar a los estudiantes en alguno de los niveles de desarrollo del esquema de la derivada, en términos de los elementos matemáticos utilizados y las relaciones lógicas establecidas entre dichos elementos. Los niveles de desarrollo del esquema de la derivada se muestran en la Tabla 9. Tabla 9: Descripción de los niveles de desarrollo del esquema de la derivada en términos de las relaciones lógicas establecidas (Sánchez-Matamoros, 2004; p.153) Nivel de desarrollo INTRA INTER TRANS Descripción Recordar de manera aislada elementos matemáticos, sin manifestación de relaciones lógicas. Recordar y utilizar con dificultades en algunos ámbitos, elementos matemáticos (o hacerlo con errores). Manifestar esbozo de relación entre algunos elementos con generación de conflictos (a veces) o relacionarlos de manera errónea. Usar con limitaciones algunas relaciones lógicas entre elementos matemáticos, no siendo el uso de algunas de dichas relaciones correctas: La conjunción lógica A B ( y lógica ) El contrarrecíproco A B B A La equivalencia lógica entre elementos matemáticos A B A B B A Usar elementos matemáticos en ámbitos de aplicación diversos. No tener síntesis de los modos de representación: tener dificultades en manejar las mismas relaciones lógicas y los mismos elementos en los modos gráfico y analítico. Posibilidad de establecer relaciones lógicas ( y lógica, contrarrecíproco, equivalencia lógica) para realizar las inferencias. Poder hacer uso de los significados implícitos a los elementos matemáticos. Demostrar síntesis en los modos de representación pudiendo hacer realizar inferencias con independencia del modo de representación utilizado. Aplicando estos niveles de desarrollo al proceso de resolución de las tareas de los nueves casos seleccionados, realizamos el análisis de cada una de las tareas de los cuestionarios. Sin embargo, tuvimos siempre presente que la asignación de un estudiante, a uno u otro nivel de desarrollo del esquema, no dependían únicamente de la resolución correcta o incorrecta de una tarea, sino que requería de una mirada global sobre su proceso de resolución. Para ilustrar el proceso de análisis realizado para cada uno de los estudiantes seleccionados, presentamos un ejemplo de un estudiante asignado a cada uno de los niveles de desarrollo descritos. El caso del estudiante A9: Nivel INTRA de compresión del esquema de la derivada

25 En este apartado se presenta, a modo de ilustración, el proceso de resolución y análisis de cada una de las tareas del cuestionario del estudiante A9. En la Figura 3 se muestra el protocolo de resolución del estudiante de la primera tarea. Como se observa el estudiante recuerda algunos elementos matemáticos necesarios para la resolución de la tarea, sin embargo, no los conecta a través de ningún tipo de relación lógica. Figura 3: Fragmento del protocolo de resolución del estudiante A9 en la Tarea N 1. En relación a los valores extremos y puntos de inflexión, el estudiante recuerda un elemento matemático analítico-puntual relacionado estos puntos, pero no de forma completa, ya que menciona que en los puntos de abscisas x 3y x 5existe un máximo o un mínimo de la función, cuando en realidad el elemento matemático indica: Si f ' a 0, entonces en x a existe un máximo, mínimo o punto de inflexión. Continuando con el análisis de la resolución, es posible observar que tiene construidas las conexiones entre los elementos globales que vinculan el signo de f ' con la monotonía de f y el signo de f '' con los intervalos de convexidad/concavidad de f ', sin embargo, no hace uso de la relación y lógica entre los elementos: