FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES SEMILLERO DE MATEMÁTICAS PROPORCIONALIDAD Y PORCENTAJES

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1 FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES SEMILLERO DE MATEMÁTICAS GRADO 6-7 TALLER Nº 5 SEMESTRE II PROPORCIONALIDAD Y PORCENTAJES RESEÑA HISTÓRICA: Anaxágoras, (-500 a - 428) Filósofo, geómetra y astrónomo griego. Nació en Clazomene, en Asia Menor, hacia el año 500 antes de Cristo, hijo de Hegesibulo, o bien de Eubulo. Fue ilustre, no sólo por su nacimiento y riquezas, sino también por su magnanimidad, pues cedió a los suyos todo su patrimonio. Impulsó la investigación de la naturaleza fundada en la experiencia, la memoria y la técnica. A él se le atribuyen las explicaciones racionales de los eclipses y de la respiración de los peces, como también investigaciones sobre la anatomía del cerebro. En sus doctrinas de física, geometría y astronomía combatió muchas supersticiones de su tempo. Vivió su juventud en una época, en la que Clazomene había sido sometida al imperio persa. Posteriormente se trasladó a Atenas, ciudad en la que residiría la mayor parte de su vida, siendo maestro, se hizo buen amigo de posteriormente amigo, de Pericles, un líder político y militar exitoso, aproximadamente cinco años más joven que el. Alrededor del 450 a. C. Anaxágoras fue Acusado de ateismo y condenado a prisión por proclamar que el Sol no era un dios y que la Luna reflejaba la luz del Sol. Esto parece haber sido instigado por los oponentes de Pericles, quien lo salvó de prisión, pero tuvo que abandonar Atenas. Regresó a Jonia donde fundó una escuela en Lampsakos, una de las colonias de Mileto en Jonia, donde tras la muerte de Pitágoras, trató con muchas cuestiones en la geometría. Anaxágoras murió allí y el aniversario de su muerte se convirtió en fiesta para los escolares. OBJETIVO GENERAL Resolver problemas y ejercicios aplicando el concepto de proporcionalidad y regla de tres y porcentaje. OBJETIVOS ESPECÍFICOS Identificar magnitudes directa e inversamente proporcionales. Aplicar la propiedad fundamental de las proporciones. Establecer términos de una proporción. PALABRAS CLAVES Proporción, porcentaje, regra de tres.

2 DESARROLLO TEÓRICO RAZÓN GEOMÉTRICA Y PROPORCIÓN NUMÉRICA La razón o razón geométrica entre dos cantidades a y b es el cociente entre ellas a/b Ejemplo: La razón entre 10 y 2 es 5, ya que 10/2=5 PROPORCIÓN NUMÉRICA Se hace referencia a una proporción numérica cuando las razones pueden ser comparadas entre sí, para observar el comportamiento entre ellas. Los números a, b, c y d forman una proporción si la razón entre a y b es la misma que entre c y d, es decir, si a b c d se llaman medios. La proporción. En la proporción hay cuatro términos; a y d se llaman extremos, c y b a c, se lee como a es a b como c es a d b d CLASES DE PROPORCIONES Pueden ser continuas si sus medios son iguales, y discretas en caso contrario. Los medios de una proporción geométrica continua se llaman medios geométricos o medios proporcionales. Ejemplo: En la proporción 12:6 ::6:3 se dice que 6 es media proporcional MEDIA PROPORCIONAL O GEOMÉTRICA La media proporcional entre dos cantidades, es la raíz cuadrada de su producto. PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE LAS PROPORCIONES En toda proporción, el producto de los extremos es igual al de los medios. Ejemplo: Los números 2, 5 y 8, 20 forman una proporción, ya que la razón entre 2 y 5 es la misma que la razón entre 8 y 20. Se cumple que el producto de los extremos es: 2 x 20 = 40 y el producto de los medios es: 5 x 8 = 40, entonces: 2/5=8/20 En general, se puede comprender el concepto de proporción como la igualdad entre dos razones una relación entre números o magnitudes,

3 Magnitud 1 Magnitud 2 a b ax = bc x = bc/a c x La relación entre las magnitudes puede presentarse de dos formas: Directamente Proporcionales: Las dos magnitudes aumentan o disminuyen simultáneamente Inversamente proporcionales: Una magnitud aumenta y la otra disminuye. REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA Se presenta cuando las magnitudes son directamente proporcionales Magnitud A Magnitud B a b a/c = b/x x = bc/a c x Ejemplo: 50 litros de agua de mar contienen 30 gramos de sal. Cuántos litros de agua de mar contendrán 5200 gramos de sal? Las magnitudes litros de agua y gramos de sal son directamente proporcionales porque a mayor cantidad de litros de agua mayor cantidad de gramos de sal. Agua (litros) 50 x Sal (Gramos) x = / 1300 = 200 REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA (O INDIRECTA) Se presenta cuando las magnitudes varían en forma inversa Magnitud A Magnitud B a b a/c = x/b x = ab/c c x Ejemplo: Un ganadero tiene alimento suficiente para 220 vacas durante 45 días. Cuántos días podrá alimentar con la misma cantidad a 450 vacas? Las magnitudes número de vacas y número de días son inversamente proporcionales porque si aumenta el número de vacas, el ganadero tendrá alimento para menor cantidad de días

4 Número de Vacas 50 x Número de días x = /45 =2200 EJERCICIOS PROPUESTOS: 1. Comprobar si las razones de cada hilera forman una proporción: a:b c:d SI NO 2:6 5:15 21:30 140:200 16:25 14:21-2:5-4:10 8:2 4:-1 3:7 6:14 18:33 6:11 2. Calcular el valor de las siguientes razones: a. 7/21 b. 15/100 c. 80/420 d. 16/10 3. Calcular el valor de x en las siguientes proporciones: a:b = c:d x 5:x = 15:18 23:2 = x:4 23:22 = 69:x 31:7 = x:21 2x:5 = 12:10

5 4. Completar las tablas, de tal forma que los valores sean directamente proporcionales Completar las tablas, de tal forma que los valores sean inversamente proporcionales Establecer si la relación entre las magnitudes que se presentan a continuación es directa o inversa. a. El precio y el número de libros que compro. b. El número de trabajadores de una obra y el tiempo para realizarla c. Los intereses a pagar y el dinero que presta un banco d. La ración diaria de alimentos y el número de de participantes en un campamento pliegos de cartulina cuestan $680 Cuánto costarán 2 pliegos? y 11 pliegos de cartulina? 8. En un vivero vende 2 gramos de semillas de plantas aromáticas por $4000. Si una persona está interesada en sembrar estas semillas en su jardín y cuenta con $18000 Cuánto dinero le hace falta para comprar un kilo de estás semillas?

6 9. Cinco trabajadores desocupan una bodega en 3 horas. Cuánto tiempo tardarán 13 trabajadores? Cuánto tiempo tardarán e trabajadores? 10. Completar la tabla de acuerdo con la informaciòn suministrada EDAD (años cumplidos) Estudian % No estudian % La tabla anterior corresponde a los resultados de una encuesta aplicada a los 125 jòvenes con edades de 11 a 15 años, en una zona rural con dìficil acceso a la educaciòn secundaria, en la que el 44% de ellos no tienen esta posibilidad. 11. Un par de zapatos cuesta $86000, los compradores podrán comprarlos con un descuento de 21% durante las promociones del almacén. Cuánto costarán un par de estos zapatos en promoción? 12. Estefanía compró una revista y al momento de pagar el cajero le dice que obtuvo un descuento de 20% del valor de la revista equivalente a $3000 Cuánto costaba la revista sin descuento? a. $18000 b. $10000 c. $15000 d. Ninguna de las anteriores 13. El costo de la matrícula para un curso de nivel I de idiomas el año anterior tuvo un descuento del 10%. Para el nivel II el costo de la matrícula subió el mismo porcentaje que bajo el nivel I. El costo de la matrícula quedó igual que el de el nivel I? Explique su respuesta. 14. Por una factura de $80000 el comprador ganó un descuento y sólo tuvo que pagar $ Cuál fue el porcentaje descontado? a. 18% b. 20% c. 15% d. Ninguna de las anteriores

7 15. En un curso de matemáticas hay 50 estudiantes de los cuales 30 son mujeres y 20 hombres, del total de estudiantes al 10% no les gustan las matemáticas y de este porcentaje 20% corresponde a mujeres. Qué porcentaje representas las mujeres del curso? a. 12% b. 20% c. 40% d. Ninguna de las anteriores Qué porcentaje representan los hombres del curso? a. 60% b. 45% c. 80% d. Ninguna de las anteriores A cuántos hombres del curso no les gusta la matemática? a. 10% b. 2% c. 4% d. Ninguna de las anteriores Qué porcentaje de mujeres representan cinco de ellas que asisten al curso, provenientes de lugares fuera del área metropolitana? a % b % c % d. Ninguna de las anteriores Qué porcentaje representan dentro del total de asistentes al curso las cinco mujeres provenientes de lugares fuera del área metropolitana? a. 8% b. 10% c. $13% d. Ninguna de las anteriores 16. En determinada área de un campamento se encuentran ubicadas 8 personas, a cada una le corresponde 21 m 2 Qué superficie le corresponderá a cada persona si llegan cuatro excursionistas? a. 12 m 2. b. 16 m 2. c. 14 m 2. d. Ninguna de las anteriores obreros hacen una obra ende 20 metros en 18 días. Cuántos metros de la misma obra, podrán hacer 15 obreros en 30 días? a. 40 m. b. 50 m. c. 60 m. d. Ninguna de las anteriores

8 18. Un grupo de 24 excursionistas tienen víveres para 10 días, tomando 4 comidas diarias. Cuántos días durarán los víveres si se retiran 4 excursionistas y se hacen 3 comidas diarias? a. 16 días b. 22 días c. 24 días d. 32 días 19. Para limpiar los vidrios de la fachada de un edificio, 8 trabajadores siempre tardan 35 horas. Para la próxima labor de limpieza no cuentan con uno de los trabajadores. Cuánto tiempo utilizaran limpiando los vidrios del edificio? 20. El lado de un cuadrado mide 3 cm, Cuánto mide su perímetro?, Y si el lado mide 5 cm? a. 7cm. y 9cm. b.12cm y 20cm c.15cm. y 9cm. d. No hay relación de proporcionalidad 21. Para envasar cierta cantidad de líquido se emplearon envases de 20mililitros, siendo necesarios 1275 envases. Cuántos se necesitaran si los envases son de 30 mililitros? a. 140 envases b. 500 envases c. 850 envases d. Ninguna de las anteriores 22. Una maquina imprime en 75 segundos 2 pliegos de papel. Cuantos pliegos imprimirá en 6 horas? a. 460 pliegos b. 527 pliegos c. 576 pliegos d. Ninguna de las anteriores 23. En un campamento al que concurrieron 155 estudiantes hay víveres para 36 días. Si se incorporaron 25 estudiantes. Para cuántos días alcanzarán los víveres? 24. 2/3 de la capacidad de un estanque equivalen a 60 litros. Cuál será la capacidad de 5/6 del mismo estanque? 25. Para averiguar cuántos kilómetros recorría mi auto con un litro de combustible especial, antes de viajar a un pueblo por una autopista, llené el tanque. Al llegar al pueblo volví a llenar el tanque con el mismo combustible. Para hacerlo tuve que cargar quince litros.

9 Sabiendo que la distancia entre el punto de partida y el punto de llegada al pueblo es de 160 km, cuántos kilómetros recorrió mi auto por cada litro de combustible consumido? a. 18 km/l b. 15,5 km/l c. 10,6km/ls d. Ninguna de las anteriores 26. Cuàl es el 50% del capital total diario recaudado por una cadena de supermercados que tiene: 30 almacenes en cada uno de 25 paìses del mundo donde tiene sucursales, si cada supermercado tienen 22 cajas que registran diariamente un promedio $ cada una. a b c d. Ninguna de las anteriores