Números Naturales y Cardinales

Transcripción

1 Liceos Bicentenario Matemática Números Naturales y Cardinales Material complementario para Séptimos Años Temas: - Características de los números naturales - Simbología - Operatoria en N (+, -,, :) - Prioridad de las operaciones - Potencias de base y exponente natural - m.c.m y M.C.D. - par, impar, sucesor, antecesor - Ejercitación Versión: Estudiante 1

2 Conjuntos numéricos La necesidad de contar, viene de tiempos inmemoriales. La humanidad creó entonces algunos sistemas que le permitieron registrar la cantidad de objetos. Primeramente en forma muy rudimentaria, con los dedos, con piedritas, etc. Luego se volvió necesario inventar un sistema más estándar, ahí nacen los sistemas numéricos. En nuestros días usamos el Sistema Numérico Decimal, cuyas características son: 1.- Este sistema o conjunto numérico conocido como el conjunto de los dígitos {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} Como puedes ver, este conjunto tiene Cardinalidad= 10, pues son 10 elementos los que lo forman. Las combinaciones que se pueden realizar con estos elementos dan origen a lo que conocemos como Sistema Numérico Decimal. 2.- Es posicional, es decir que cada cifra o dígito tiene un valor según la posición que ocupa. Ejemplo: Los siguientes números están formados por tres Cifras o dígitos Caso 1: 345 Caso 2: 534 Caso 3: 453 Miremos la cifra 4, en el primer Caso, corresponde a la posición de las decenas, en el segundo caso corresponde a las unidades y el tercer caso a las centenas. Es decir estos tres números si los ordenamos de menor a mayor quedan de la siguiente forma: 345; 453; 543 Este es un ejemplo de cómo en nuestro Sistema Numérico Decimal es posicional. Al cumplir la característica de ser posicional, podemos establecer una Relación de Orden entre los elementos que lo componen. 2

3 Es decir, podemos usar los símbolos que conoces: < : menor que > : mayor que A los números formados por los dígitos se les llama Números Naturales y son los que como su nombre indica, fueron usados por nuestros antepasados humanos para contar los objetos que los rodeaban: vacas, piedras, árboles, etc. Una forma de resumir la información en matemática es escribiéndola con símbolos. Sus características principales: i) 1, es el primero, no hay natural anterior al uno. ii) Si a a 1, esto presenta el concepto de Sucesor. Simbología : números naturales : Pertenece a =>: Implica o Entonces Observación: El número 1 no tiene Antecesor en el conjunto de los Números Naturales. 1, es el primer número de este conjunto, el sucesor de 1 es, = 2, el sucesor de 2 es = 3, y así sucesivamente, por lo tanto: 1,2,3,4,5,6,..., los 3 puntos,, significan y así sucesivamente. 3

4 Los Naturales en la recta numérica Operatoria en los naturales. Lo más probable es que en tiempos de la prehistoria humana, ya se conociera lo que hoy llamamos Adición (más conocida como suma). Veamos algo de Teoría de Conjuntos que nos puede explicar lo que es realmente lo que llamamos suma: A={ 8 vacas} y B={7 vacas}. Entonces si reunimos los elementos de los dos conjuntos tendremos la cantidad total: A U B = {15 vacas} esta es una forma de expresar la suma, en forma de conjuntos. Adición (suma, su símbolo es el +) La forma antes descrita de agregar elementos no es tan práctica por lo que se inventó la Operación Adición (suma) Ejemplo1: = 7 ó Observación: Los términos de la adición son: Ejemplo2: = a + b C sumandos suma 4

5 Sustracción (resta, su símbolo es el - ) La necesidad de quitar surge inmediatamente, es así como aparece la operación sustracción que es contraria a la operación adición. Ejemplo1: 7 3 = 4 ó Ejemplo2: = 625 ó Observación: Los términos de la sustracción son: a minuendo - b sustraendo C resta o diferencia Para Analizar: Qué sucede si el Minuendo es menor que el Sustraendo?. Respuesta: Simbología : no pertenece a (Más sobre este tipo de números lo veremos en una próxima unidad: Números Enteros ) 5

6 Multiplicación ( ) : si se quiere sumar más de una vez, un mismo número, a lo que llamaremos suma iterada, estaremos en presencia de la operación Multiplicación. Ejemplo1: = 7 4 = 28 Ejemplo2: = 43 6 = 258 Observación: 1) Sólo usaremos el símbolo para referirnos a la multiplicación. 2) factores producto División ( : ) Si se quiere repartir en partes iguales una cantidad, deberemos usar la operación División Ejemplo1: 56 : 4 = Ejemplo2: 128 : 37= 3 17 Observación: Los términos de una división son: a : b = d c a: dividendo b: divisor c: resto o residuo d: couciente o cociente El símbolo indica que se ha terminado la división. 6

7 Comprobación de una división (Algoritmo de la división) Para comprobar una división se debe multiplicar el Cuociente por el Divisor y a este producto se le suma el Resto. Si está correcto el cálculo, debería dar como resultado el dividendo. Ejemplo1: Si comprobamos el Ejemplo anterior: (3 37) + 17 = = = 128 Algoritmo de la división a : b = d (d b) + c = a c Símbolo: significa si y sólo si Potencia: La potenciación es una multiplicación iterada, es decir un mismo número (base) se multiplica por sí mismo, un número de veces. Este número de veces se le llama exponente de la potencia. Ejemplo: 7 5 = = Observación: Los términos de la Potenciación son: exponente a n = b base potencia(resultado) 7

8 Prioridad de las operaciones Al resolver expresiones aritméticas donde se empleen operaciones diferentes, deberemos tener presente la Prioridad de las operaciones. 1º Paréntesis 2º Potencias 3º Multiplicación o División 4º Adición o Sustracción Observación: Este orden debe respetado, pues si cambias el orden obtendrás un resultado erróneo Observaciones: i) Si un ejercicio contempla paréntesis anidados (uno dentro de otro), deberás siempre realizar las operaciones desde el paréntesis interior hacia el exterior. ii) Si un ejercicio presenta dos operaciones del mismo nivel de prioridad, deberás operar de izquierda a derecha según aparezcan. Ejemplo1: 45 : 9 3 = Ejemplo2: = 5 3 = 10-7 = 15 3 Ejemplo3: (5 + [8 4 17]) = (5 + [32-17]) = (5 + 15) = 20 8

9 Notación decimal de un número natural. Veamos el siguiente número y su descomposición aditiva: = Si te fijas hemos descompuesto este número mediante el uso de potencias de 10. Veamos cómo queda si usamos la nomenclatura de potencias: = Algunas Potencias de = = = = n = tantos ceros según sea el exponente 9

10 Más sobre los Naturales Sucesor: Si n, entonces n + 1, es el sucesor de n. Antecesor: Si n, entonces n 1, es el antecesor de n, con n >1 Par: Si n, entonces 2 n, es par Números pares = {2,4,6,8,10, } Sucesor par: p pares p 2, es sucesor par de p. (Si a un número par le agregas 2, obtendrás su sucesor par.) Simbología : Para todo Antecesor par: p pares p 2, es antecesor par de p; p > 2 (Si a un número par le quitas 2, obtendrás su antecesor par.) Para Analizar: 1) El 2 tiene antecesor par?. Respuesta: 10

11 Impar: Si n, entonces 2 n 1, es impar. Número impares = {1,3,5,7,9, } Sucesor impar: q impares q 2, es impar sucesor de q. (Si a un número natural impar le agregas 2, obtendrás siempre su sucesor impar.) Antecesor impar : q impares q 2, es impar antecesor de q. q > 2 (Si a un número natural impar le quitas 2, obtendrás siempre su antecesor impar.) Primos: Son aquellos números que son distinto de 1 y se pueden dividir en forma exacta sólo por sí mismo. Ejemplo: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,.. Compuestos: Son aquellos que además de dividirse por sí mismo, tiene uno o más divisores primos. Ejemplo: 4, 6, 8, 9, 10,. 11

12 Múltiplo: a,b, c a b c c es múltiplo de a y de b. Ejemplo: 4 3 = 12 => diremos que 12 es múltiplo de 4 y también es múltiplo de 3. M(4) = {4,8,12,14,.} y M(3)= {3,6,9,12,15,.} Divisores: a,b, c a b c a y b son divisores de c Ejemplo: 12 : 1 = : 2 = 6 12 : 3 = 4 D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12} 12 : 4 = 3 12 : 6 = 2 12 : 12 = 1 Observación: Todas estas divisiones son exactas, es decir el resto es Cero. Reglas de Divisibilidad i) Todo número es divisible por 2, si su última cifra es cero ó par. ii) Todo número es divisible por 3, si la suma de sus cifras es múltiplo de 3. iii) Todo número es divisible por 4, si sus dos últimas cifras son ceros o múltiplo de 4. iv) Todo número es divisible por 5, si su última cifra es 0 ó 5. v) Todo número es divisible por 6, si lo es por 2 y 3 a la vez. vi) Todo número es divisible por 8, si sus 3 últimas cifras son ceros o la suma de las tres últimas cifras son múltiplos de 8. vii) Todo número es divisible por 9, si la suma de sus cifras es múltiplo de 9. 12

13 Observación: Una de las reglas más entretenidas es la divisibilidad por 7: Un número es divisible por 7 cuando la diferencia entre el número sin la cifra de las unidades y el doble de la cifra de las unidades es 0 ó un múltiplo de 7. Verifica usando la regla de divisibilidad del 7, si los siguientes números son divisibles por 7: i) 294 Respuesta: ii) 423 Respuesta: iii) Respuesta: 13

14 Mínimo Común Múltiplo (m.c.m.) Como el nombre lo indica, corresponde al menor múltiplo común. Ejemplo: Encontrar el m.c.m. entre 4, 6 y 8. Usaremos una tabla Factores primos = 24 Otra forma de verlo es obtener la descomposición prima de cada número Entonces el m.c.m. corresponderá al producto de los factores comunes y no comunes de mayor exponente =

15 Máximo Común Divisor (M.C.D.) Como el nombre lo indica corresponde al mayor de los divisores comunes. Veamos un ejemplo: El M.C.D. es el producto de las potencias comunes de menor exponente. Entonces M.C.D. = 2 3 = 6 Cómo saber rápidamente la cantidad de divisores que tiene un número? Respuesta: Veámoslo con un ejemplo: 24 = = , si tomamos los exponentes y cada uno le sumamos 1 y luego multiplicamos los resultados, tendremos el número de divisores = = 2 Entonces 4 2 = 8. Por lo tanto el 24 tiene 8 divisores. 15

16 Números Cardinales Los mayas mucho antes que los árabes ya conocían el 0 (año 36 a. C.), es el número que indica ausencia de objetos. El cero aparece en nuestro sistema decimal y nos permite formar números como: 1.000; 3.201; etc. Si vemos la representación gráfica de los conjuntos numéricos hasta ahora estudiados, mediante un diagrama de Venn, tendremos: 0 N U {0} = N 0 = N* N 1, 5, 89, , El conjunto de los Cardinales, es decir, la unión entre Los Naturales y el conjunto que contiene al Cero nos permitirá establecer nuevas relaciones numéricas. Visto como recta numérica nos queda: Observación: El cero se considera número par ( Se encuentra entre dos impares y además es un entero múltiplo de 2 ) 16

17 Notas para el Alumno: - El espacio que queda en el costado derecho de este cuadernillo, le permitirá a usted realizar sus cálculos o tomar apuntes, si lo consideran necesario. Ejercicios I. Completa los cuadritos con el Sucesor y el Antecesor en cada caso: (considera que los números pedidos deben ser Números Naturales) Notas del estudiante i) 82 ii) 99 iii) iv) 55 v) 349 vi) vii) 1 viii) 10 17

18 II. Resuelve los siguientes ejercicios: Notas del estudiante 1) = 2) = 3) = 4) = 5) = 6) = 7) = 8) = 9) = 10) = 11) = 12) = 13) = 14) = 15) = 16) 37 ( ) = 18

19 Notas del estudiante 17) ( ) 1 = 18) ( ) 35 = 19) = 20) = 21) = 22) = 23) ( ) 13 = 24) (47 23) + 16 = 25) ( ) 11 = 26) = 27) = 19

20 28) = Notas del estudiante 29) = 30) = III.- Resuelve los siguientes ejercicios: 1) = 2) 32 7 = 3) = 4) = 5) = 6) 54 8 = 7) = 8) = 9) 8 88 = 10) = 20

21 Notas del estudiante 11) = 12) = IV.- Divide y anota en cada recuadro el cuociente y el resto: 13) 126 : 6 = cuociente resto 14) 88 : 22 = cuociente resto 15) 56 : 8 = cuociente resto 16) 27 : 6 = cuociente resto 17) 46 : 13 = cuociente resto 21

22 18) : 333 = cuociente resto Notas del estudiante 19) 500 : 25 = cuociente resto 20) 78 : 7 = cuociente resto 21) 59 : 5 = cuociente resto 22) : 31 = cuociente resto 23) : 225 = cuociente resto 24) 68 : 9 = cuociente resto 22

23 V.- Calcula el valor de cada expresión: Notas del estudiante 25) 2 5 = 26) 3 4 = 27) 13 2 = 28) 20 3 = 29) 3 5 = 30) 2 6 = 31) = 32) 5 4 = 33) = 34) 7 4 = 35) 6 4 = 36) 8 4 = 23

24 37) = 38) = Notas del estudiante 39) 8 3 : 16 = 40) 7 3 : 7 = 41) 4 9 : 12 = 42) 2 4 : 4 2 = 43) = 44) = 45) = 46) 3 15 : 9 = 47) = 48) = 49) = 50) = 51) 175 : 5 : 5 = 52) = 24

25 53) 64 : 4 : 4 : 4 = 54) = Notas del estudiante 55) = 56) : 3 2 = 57) 2 + {2 + [2 + (2 + 2)]} = 58) 3 {3 + [3 2 (6 3)] 1} -1 = 59) {2 [24 8] } : 7 = 60) [3 4 2 : 8-4] + {1000 : 4 5} = 61) 100 { : 1.000} = 25

26 Notas del estudiante 62) (128 : 4) (32 : 4) + (6 3 : 2 3 ) = VI.- Encuentre todos los divisores de: 63) 48 es divisible por los siguientes números { } 64) 17 es divisible por los siguientes números { } Qué tipo de número es éste? 65) 500 es divisible por los siguientes números { } 26

27 66) 204 es divisible por los siguientes números Notas del estudiante { } 67) 45 es divisible por los siguientes números { } VII.- Calcula el Mímimo Común Múltiplo (m.c.m.) y Máximo Común Divisor (M.C.D.)en los siguientes casos: 68) Números m.c.m. M.C.D. 8 y 12 3, 9 y y 19 20, 30 y y 65 24, 36, 18, 12 y 48 27

28 VIII) Complete la tabla con los datos pedidos. (Recuerde que estamos en el conjunto de los números Cardinales) 69) Antecesor Par Antecesor Antecesor Sucesor Sucesor Par Sucesor Impar impar Número Notas del estudiante Observación: Simbología : Existe 28

29 IX) Escriba el resultado de los siguientes problemas en el recuadro: 70) El sucesor del sucesor de 14 es Notas del estudiante 71) El antecesor del antecesor de 27 es 72) El sucesor del antecesor de 100 es 73) El antecesor del sucesor de 78 es 74) El sucesor del antecesor par de 24 es 75) El sucesor impar del antecesor de es 76) El sucesor del sucesor del sucesor de 0 es 77) El sucesor del antecesor del sucesor par de 8 es 29

30 X) Resuelva los siguientes problemas. Anota tu resultado en el recuadro respectivo 1) La mamá de Juan lo mandó a comprar 1 kilo de pan que cuesta $1.150 y un cuarto de jamón que cuesta $890. Cuánto pagó Juan por el total de la compra? Notas del estudiante 2) La edad de Anita en el año será de 70 años. Qué edad tiene actualmente Anita? 3) Un agricultor produce 150 sacos de trigo. Si cada saco contiene 80 kilos de trigo y cada kilo de trigo $640. Cuánto dinero obtendrá si vende todos los sacos de trigo? 4) El sueldo de Jorge es de $ Jorge paga el dividendo de su casa que corresponden a $ , los gastos básicos suman $ y en alimentación gasta $ Cuánto dinero le quedará a Jorge para otros gastos? 30

31 5) Una abuelita dejó una herencia de $ Si los herederos son 4 y se reparte en partes iguales la herencia. Cuánto dinero recibirá cada uno? Notas del estudiante 6) Un automóvil viaja a una rapidez de 80 kilómetros por hora, cuántos Kilómetros recorrerá en 6 horas? 7) La distancia entre Santiago y Concepción es 512 km., si Pedro viaja desde Santiago a la ciudad de Concepción en su auto a una rapidez de 64 km/h. Entonces, Cuántas horas demorará en llegar? 8) Una bacteria triplica su cantidad cada 3 minutos. Al cabo de 15 minutos, Cuántas bacterias habrá, si al inicio había una? 31

32 9) A los futbolistas les otorgan un premio por cada gol que anoten al equipo contrario. Pepe fue contratado por $ mensuales y por cada gol le pagarán $ Si en Marzo anotó 12 goles, Cuánto ganó en ese mes? Notas del estudiante 10) Un profesor tiene 200 lápices para repartir en su curso de 45 alumnos. Si los debe repartir de manera que a cada alumno le corresponda la misma cantidad. Cuántos lápices le sobrarán al repartirlo? 11) Un edificio tiene cuatro departamentos por piso. Cada departamento tiene 4 ventanales, a su vez los ventanales tienen 4 vidrios cada uno. a) Cuántos vidrios hay en total, si el edificio consta de cuatro pisos? b) Escriba su resultado en forma de potencia 32

33 Observaciones importantes Estas tablas pueden resultarte prácticas cuando estés realizando cálculos. Tablas de multiplicación Tabla de cuadrados y cubos Cuadrado Cubo

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