DISEÑO, REALIZACION Y SENSITIVIDAD DE FILTROS ELIPTICOS MODIFICADOS

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1 DISEÑO, REALIZACION Y SENSITIVIDAD DE FILTROS ELIPTICOS MODIFICADOS David Báez-Villegas 1 David Báez-López 1 Department of Classical and Modern Languages Texas Tech University Lubbock, Texas U.S.A. Departamento de Ingeniería Electrónica Universidad de las Américas Puebla Cholula, Puebla, México dbaeziec@mail.udlap.mx RESUMEN Presentamos una transformación que se puede aplicar a las funciones de transferencia de filtros elípticos con el propósito de mejorar su retardo de grupo mediante la reducción de la cantidad de máximos en la banda de paso. La sensitividad en la realización escalera también se reduce. ABSTRACT We present a transformation than can be applied to elliptic filter transfer functions. The purpose of this transformation is to improve group delay by reducing the amount of maxima in the filter passband. Sensitivity in the passive ladder realization is rduced in the new filter realization. 1. INTRODUCCIÓN Los filtros elípticos se conocen desde la década de 1930 cuando fueron desarrollados por Wilhelm Cauer [1,] en Alemania. En esta época la principal aplicación de los filtros era en telefonía y telecomunicaciones para separar canales contiguos de información, una tarea que los filtros elípticos realizan mejor que cualquier otro tipo de filtro. Una de las razones por la que los filtros elípticos son mejores que otros filtros es la existencia de rizo tanto en la banda de paso como de rechazo, como se muestra en la Fig Este comportamiento se describe exactamente mediante el uso de funciones elípticas de Jacobi [], y estas funciones son las que le dan el nombre a este tipo de filtros, aunque también se les conoce como filtros Cauer (por su inventor), y como filtros de funciones elípticas. Aunque el nombre de filtro elíptico podría llevar a pensar que tienen forma elíptica, dicho nombre es el más común para describir a este tipo de filtros. De los tipos de funciones de filtros existentes, las funciones elípticas proporcionan la mejor aproximación debido al rizo presente en la banda de paso y en la banda de rechazo, el cual hace que la magnitud se haga cero en la banda de rechazo logrando una mayor pendiente de la magnitud en esta banda y por lo tanto aproximándose mejor a la característica pasabajas ideal. Esta mejor aproximación en magnitud provoca que la aproximación en fase no sea la mejor de todas, desafortunadamente. El objetivo de este trabajo es presentar una transformación que nos lleve a reducir el número de rizos en la banda de paso de la magnitud de un filtro elíptico pasabajos para de esta manera mejorar el retardo de dichos filtros. Adicionalmente, realizaremos la síntesis pasiva escalera de las nuevas funciones, para finalmente realizar un análisis de sensitividad sobre estos circuitos.

2 . TRANSFORMACIONES PARA FILTROS ELÍPTICOS Usando el método clásico de aproximación de filtros elípticos de la sección 1 se conoce la ubicación de los máximos en la banda de paso llamados polos de reflexión y de los mínimos en la banda de paso llamados ceros de transmisión. Para una función elíptica, los polos de reflexión son P i y los ceros de transmisión son 1/P i. Para este tipo de filtro la función característica está dada por K( = s n / + P i= 1 s Pi n / 1 s s i + P + 1 i n n par impar (.1) i= 1 s Pi + 1 donde n es el orden del filtro elíptico. Esta función característica está relacionada con la función de transferencia H( mediante la ecuación de Feldtkeller [1] 1 1 H ( H ( = 1+ K( K( (.). Mapeo en Frecuencia El propósito de aplicar un mapeo a una función elíptica es el de reducir la cantidad de máximos que existen en el rizo de la banda de paso. Nótese que para órdenes pares no existe máximo en ω= 0 rads/seg mientras que sí existe para órdenes impares. Una manera de reducir el número de máximos en la banda de paso es aplicar una transformación de tal manera que el máximo más cercano al origen se una a la frecuencia ω= 0 rads/seg. Esto reducirá el número de máximos y por lo tanto mejorará el retardo de grupo del filtro elíptico. La transformación o mapeo finalmente debe preservar la frecuencia de corte de tal manera que si el filtro está normalizado, entonces para ω c =1 rad/seg deseamos que v c =1 r/s. Por lo tanto la transformación es v ω ω m 1 ω m = (.3) Nótese que cuando ω= ω m,, v = 0 y cuando ω= 1, v = 1. La transformación (.3) sólo vale para frecuencias sobre el eje jω en el plano original y sobre el eje jv sobre el plano transformado. Para generalizar esta transformación para todo el plano, podemos sustituir s p ω = y v = (.4) j j donde s es la variable compleja original y p es la variable compleja en el plano transformado. Realizando la sustitución indicada, la transformación (.3) se convierte en p s + ωm = (.5) 1 ω m

3 Esta transformación se puede aplicar a los polos y a los ceros de la función de transferencia de un filtro elíptico. Los polos y ceros transformados formarán un nuevo filtro elíptico modificado. Este proceso se puede repetir cuantas veces se desee mientras existan máximos en la banda de paso..3 Ejemplo Consideremos el filtro elíptico normalizado de orden 9 con A max = 1dB ω s = rad/seg, cuyos polos y ceros son y cuya función de transferencia H( es polos ceros p 1, = j z 1, = + j.066 p 3,4 = j z 3,4 = + j.7007 p 5,6 = j z 5,6 = + j.97 p 7,8 = j z 7,8 = + j p 9 = s s s s H0( = s s s s s s s s s cuya magnitud está graficada en la Fig..1. Los máximos están dados por Fig..1 a) Gráfica de la magnitud de la función elíptica de orden 9. b) Detalle del rizo de la banda de paso. Para esta función ω m = La transformación es entonces = s con lo que los nuevos polos y ceros y máximos son p

4 polos SOMI XV ceros p 1, = j z 1, = + j.1405 p 3,4 = j z 3,4 = + j p 5,6 = j z 5,6 = + j p 7,8 = j z 7,8 = + j p 9 = De los polos se puede obtener la nueva función de transferencia que se grafica en la Fig... Este proceso se puede repetir tantas veces como existan máximos en la banda de paso. Es de notarse que la frecuencia de la banda de rechazo también se modifica y su nuevo valor es Fig.. Magnitud de la función de transferencia después de realizar una transformación. Podemos ver en esta gráfica que, aunque sigue siendo de noveno orden, parece de séptimo orden ya que sólo tiene, en la banda de paso, tres máximos finitos más el máximo en el origen. En la Fig..3 se comparan los retardos de grupo de la función de transferencia H 4 ( y del filtro elíptico original de orden 9. Como se puede observar existe una mejoría del retardo de grupo del filtro elíptico modificado sobre el filtro elíptico original. Esto se debe a que se ha ido reduciendo la cantidad de máximos en la banda de paso mediante la transformación usada. Original Modificado Fig..3 Retraso de grupo para los filtros de noveno orden original y con dos corrimientos de máximos..4 Notación Los filtros elípticos reciben también el nombre de filtros Cauer por su inventor Wilhelm Cauer. La notación tradicional es C nn A max ω s donde C indica filtro eliptico o Cauer, nn es el orden de la función, A max es el tamaño de la variación o rizo en la banda de paso en db y ω s es la frecuencia donde principia la banda de paso. De tal manera que para nuestro ejemplo tendríamos

5 C como ahora los filtros elípticos pueden modificarse corriendo uno o más máximos al origen, añadimos las letras m r en seguida del número de máximos que se hayan corrido. De esta manera, los filtros elípticos modificados tendrán la notación C nn A max ω s m r donde m indica modificado y r indica el número de máximos removidos o corridos al origen de la función de transferencia original. 3. SINTESIS PASIVA ESCALERA La síntesis de circuitos pasivos escalera que están terminados con resistencias constituye un tópico importante en teoría de circuitos. Esto se debe a que en la práctica la mayoría de los circuitos de dos puertos están excitados por una combinación de fuente y resistencia y entregan la señal procesada a una carga con impedancia finita. Además, se pueden seleccionar valores adecuados de resistencias para acoplar fuente y carga. Por simplicidad supondremos que la impedancia de la fuente está normalizada a la unidad. Otra característica importante de los circuitos pasivos es su inherente baja sensitividad lo que los hace útiles como prototipos de filtros activos los cuales pueden ser realizados como parte de un circuito integrado más complejo conservando las bajas sensitividades de los filtros pasivos. La topología a buscar es la de la Fig Fig. 3.1 Topología a realizar. 3.1 CASO DE RESISTENCIAS TERMINALES IGUALES. El caso de circuitos pasivos escalera con resistencia terminales iguales es un caso muy común y que además es el que mejores sensitividades presenta. Este caso sólo es posible cuando la magnitud de la función de transferencia tiene un valor máximo para ω = 0. Este caso no se presenta en funciones que poseen un rizo en la banda de paso y donde en ω = 0 la magnitud no tiene un máximo como es el caso de las funciones Chebyshev y elípticas de orden par. Sin embargo, es posible realizar una transformación tal que el máximo de menor magnitud en la banda de paso se corra hacia el origen, es decir, hacia ω = 0, tal y como lo realizamos en la sección [1]. 3. FUNCIONES DE PUNTO DE EXCITACIÓN La obtención de las funciones de punto de excitación necesarias para el desarrollo de la función de transferencia en un circuito pasivo escalado principia con la obtención de la función característica K( de la ecuación (.1) y de la función de transferencia H( H 1 V ( = V en sal ( ( = CP( (3.1)

6 donde: F( tiene información de los polos de reflexión, P( tiene información de los ceros de transmisión, tiene información de los polos de sistema y C es una constante cuya función es fijar el máximo valor de H ( jω),en la banda de paso. El valor de C depende del valor de cada una de las resistencias terminales Por ejemplo, si R 1 =R, el valor máximo de H ( jω) en corriente directa debe ser tal que R 1 H ( jω ) = = (3.) R + R con lo que C debe escogerse tal que la ec. (3.1) satisfaga el valor dado de la ec. (3.), es decir, sedebe cumplir que 1 CP( j0 j0) 1 ) = (3.3) Los polinomios P(, F( y están relacionados pòr la ecuación de Feldtkeller por = C P( P( + F( F( (3.4a) o como nosotros la usaremos C = P( P( + C F( F( (3.4b) De la función de transferencia H( conocemos P( y y por la ec. (3.6b) obtenemos F(. De esta manera las funciones de punto de excitación necesarias para la síntesis están dadas en la referencia 1 El proceso de síntesis nos da el circuito de la Fig SENSITIVIDADES Fig. 3.4 Circuito final modificado. Una de las aplicaciones más importantes de los circuitos pasivos escalera elípticos es su aplicación como prototipo para la realización de filtros activos. Básicamente existen dos enfoques para ésto. La realización directa donde existe una sustitución de elementos difíciles de intregrar como son los inductores.el otro enfoque consiste en realizar con integradores y sumadores las ecuaciones que resultan de la interconexión de los componentes del filtro pasivo, mejor conocida como realización salto de rana o escalera activa. Estas dos técnicas de realización activa de filtros activos son muy populares debido a que los filtros pasivos escalera doblemente terminados tienen muy bajas sensitividades dando como resultado un filtro activo con sensitividades muy bajas también.

7 4.1 SENSITIVIDADES DE LOS FILTROS ACTIVOS Es bien conocido que las sensitividades de los filtros pasivos escalera con doble terminación resistiva es baja. Ningún otro tipo de filtro tiene sensitividades mas bajas que las de este tipo de filtros [1]. Por esta razón lo único que realizamos en este análisis de sensitividad es una comparación entre un circuito original y uno transformado. Esta comparación será hecha perturbando una de las resistencias terminales y el elemento central que para nuestro ejemplo es C5. La perturbación será del +10% en los tres elementos. El circuito que analizamos es el siguiente: C m. Las Figs. 4.1 y 4. muestran el rizo de la banda de paso del filtro modificado y original y las respuestas a la variación de +10% a los tres componentes a variar. Como se observa, las variaciones del rizo son pequeñas, del menos de 0.5 db para el caso de R 1, pero para el caso de C5 las variaciones en el filtro eliptico modificado son ligeramente menores. Nótese que para el filtro modificado las variaciones son de aproximadamente 0.5 db pero para el filtro original su variacón es cercana a un db. Por lo tanto vemos que adicionalmente al caso de mejorar el retraso de grupo ahora se ve que las sensitividades también se mejoran. Esto permite garantizar su uso como prototipo de filtros activos. (a) (b) Fig. 4.1a Variación del rizo cuando R 1 varia +10% en el filtro elíptico modificado. b) Variación del rizo en el filtro elíptico original cuando R 1 cambia +10%. (a) (b) Fig. 4.a Variación del rizo cuando C 5 varia +10% en el filtro elíptico modificado.b) Variación del rizo cuando C 5 varia +10% en el filtro elíptico original. 5. CONCLUSIONES El diseño de filtros elípticos para mejorar el retardo de grupo se puede realizar reduciendo el rizo en la banda de rechazo. Esto lo hicimos mediante transformaciones consecutivas cuyo propósito es correr el máximo más cercano al origen hacia éste. También obtuvimos la realización pasiva escalera con el propósito de obtener un prototipo pasivo para un filtro activo. Finalmente, observamos como las sensitividades de este nuevo tipo de filtro elíptico modificado se mantienen

8 bajas y se mejoran en algunos casos. Un trabajo futuro puede considerar la realización de un corrimiento pero sobre los ceros de transmisión que reduciría el número de tanques LC en la realización del filtro pasivo escalera. La herramienta que se uso en este trabajo fue Mathematica 4.0 de Wolfram Research. Inc. REFERENCIAS [1] L.P. Huelsman, Active and passive analog filter design, McGraw-Hill Book Co., New York, [] W. Cauer, Synthesis of Linear Communication Networks, McGraw-Hill Book Co., New York, 1958.