MÉTODO SIMPLEX. PROFESORA: LILIANA DELGADO HIDALGO

Tamaño: px

Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "MÉTODO SIMPLEX. PROFESORA: LILIANA DELGADO HIDALGO"

María Antonia Vázquez Ruiz
hace 7 años
Vistas:

1 MÉTODO SIMPLEX PROFESORA: LILIANA DELGADO HIDALGO 2. Relación Entre Método Gráfico y Enumeración De Método Gráfico Sujeto a: x 1 = 4 2x 2 = 12 3x 1 + 2x 2 = 18 Restricciones Como Igualdades 1

2. Relación Entre Método Gráfico y Enumeración De x 1 = 4 2x 2 = 12 3x 1 + 2x 2 = 18 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 8 6 4 2 0 Restricción 1 0 1 2 3 4 5 7 6 5 4 3 2 1 0 Restricción 2 0 1 2 3 4 5 Restricción 3

2 2. Relación Entre Método Gráfico y Enumeración De x 1 = 4 2x 2 = 12 3x 1 + 2x 2 = Restricción Restricción Restricción 3 Restricción 1 Restricción 2 Restricción Relación Entre Método Gráfico y Enumeración De Enumeración de Soluciones Básica Forma Estándar Sujeto a: x 1 + S 1 = 4 2x 2 + S 2 = 12 3x 1 + 2x 2 + S 3 = 18 x 1, x 2, S 1, S 2, S 3 0 2

3 2. Relación Entre Método Gráfico y Enumeración De Forma Estándar Sujeto a: x 1 + S 1 = 4 2x 2 + S 2 = 12 3x 1 + 2x 2 + S 3 = 18 x 1, x 2, S 1, S 2, S 3 0 Se debe igualar m y n, y por lo tanto le corresponde hacer (n-m) variables iguales a cero para poder tener soluciones consistentes. Las soluciones que logra de esta manera se llaman. Se observa el conjunto de ecuaciones resultantes en la forma estándar, y dado que hay m ecuaciones y n incógnitas (en este caso m = 3 y n = 5) el sistema de ecuaciones no se puede solucionar inmediatamente. 2. Relación Entre Método Gráfico y Enumeración De Forma Estándar Sujeto a: x 1 + S 1 = 4 2x 2 + S 2 = 12 3x 1 + 2x 2 + S 3 = 18 x 1, x 2, S 1, S 2, S 3 0 x1 x2 s1 s2 s Se observa el conjunto de ecuaciones resultantes en la forma estándar, y dado que hayan m ecuaciones y n incógnitas (en este caso m = 3 y n = 5) le corresponde hacer (n-m) variables iguales a cero para poder tener soluciones consistentes. Las soluciones que logra de esta manera se llaman. 3

4 2. Relación Entre Método Gráfico y Enumeración De Forma Estándar Sujeto a: x 1 + S 1 = 4 2x 2 + S 2 = 12 3x 1 + 2x 2 + S 3 = 18 x 1, x 2, S 1, S 2, S 3 0 x1 x2 s1 s2 s El número posible de soluciones básicas del sistema con m igualdades y n variables será igual a todas las posibles formas de escoger las n-m variables de las n variables totales, esto es: n n n! = = n-m m m!( n m)! 2. Ejemplo: Enumeración De x1 x2 s1 s2 s3 P P P P P P P P ibilidad NO NO NO Los puntos resaltados con verde representan Soluciones Básicas ibles ya que cumplen con todas las restricciones. Los demás puntos violan restricciones de no-negatividad. El Método Simplex únicamente considera para su análisis las SBF. Las SBF son los vértices de la Región ible y por tanto allí estará el óptimo. 4

5 2. Definiciones Sobre El Modelo Estándar Solución factible: Cualquier solución del sistema n m que satisfaga las condiciones de no-negatividad. Solución básica: Aquella solución en la cual se les da el valor arbitrario de cero (0) a las n- m variables que sobran en el sistema n m. A las m variables que no se hacen iguales a cero se les llama variables básicas, y se dice que constituyen una base. Solución básica factible: es una solución básica que cumple las condiciones de no-negatividad. (En este caso las variables básicas han de ser positivas. Si al menos una de ellas es igual a cero entonces se dice que la solución es degenerada). Solución óptima: Es la solución factible que proporciona el valor óptimo (máximo o mínimo) para la función objetivo. Teoremas De Optimalidad: I. Las soluciones factibles conforman un conjunto convexo, cuyos vértices son las soluciones básicas factibles. II. Si el sistema tiene una solución factible, entonces existe por lo menos una solución básica factible. III. Si la función objetivo tiene un óptimo (máximo o mínimo) finito, entonces existe por lo menos una solución óptima la cual es una solución básica factible. CONCLUSIÓN: Si la solución óptima de un modelo de P.L. existe, es una solución básica factible De las infinitas soluciones sólo basta con inspeccionar las básicas factibles y la óptima será una de ellas. 5

6 P2 P1 P5 2. Relación Entre Enumeración De y Método Simplex P6 P8 PARA DÓNDE VAMOS?... Punto ibles P1 P2 P5 P6 P8 Valor Z en el Punto Z = 0 Z = 30 Z = 36 Z = 27 Z = 12 Puntos Adyacentes Valor Z en los Adyacentes P2 y P8 P2 (Z = 30) y P8 (Z = 12) P1 y P5 P1 (Z = 0) y P5 (Z = 36) P2 y P6 P2 (Z = 30) y P6 (Z = 27) P5 y P8 P5 (Z = 36) y P8 (Z = 12) P1 y P6 P1 (Z = 0) y P6 (Z = 27) El Método Simplex inicia explorando uno de los puntos, usualmente el origen (en este caso P1), y saltará a un punto adyacente sólo si éste salto mejora el valor de Z. Si estando en un punto se determina que ninguno de los adyacentes a él mejora el valor de Z, entonces se ha encontrado el óptimo. En este casoelóptimoes el punto P5, y se encuentra en 3 iteraciones (P1P2P5). 2. Ejemplo: Enumeración De Modelo Nº 1: Programa de Producción Una compañía productora de elementos eléctricos tiene durante este mes un sobrante en su capacidad total de producción, el cual quiere utilizar para la manufactura de dos artículos de rápida venta, los transformadores de 40 VA y los transformadores de 75 VA. Por su experiencia, se han reunido los siguientes datos: El sobrante en la capacidad de producción se ha estimado en 1400 hr.hombre, 980 hr. en la máquina 1 y 900 hr. en la máquina 2, para este mes. Cuál es la mejor forma de planear la producción? 6

7 2. Ejemplo: Enumeración De X 1 = Número de transformadores de 40 VA que va a producir en el mes. X 2 = Número de transformadores de 75 VA que va a producir en el mes. Modelo Inicial MAX U=400X X 2 Sujeto a: ( 1, 2 ) 0 Modelo Estandarizado MAX U=400X X 2 Sujeto a: = = =900 ( 1, 2, 3, 4, 5 ) 0 2. Ejemplo: Enumeración De n = 5 variable m = 3 restricciones Solución Básica X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 ible Utilidad Sí Sí / Sí Sí /3 0 0 Sí

8 FUENTES: 1. Vidal, Carlos Julio (2005). Introducción A La Modelación Matemática Y Optimización. 2. Bravo, Juan José. Notas de Clase: Método Simplex. 3. Ramírez, Luis Felipe (2009). Notas de Clase: Método Simplex. 4. Toro, Héctor Hernán. Notas de Clase. Método Simplex 8

Documentos relacionados

MÉTODO GRÁFICO. PROFESORA: LILIANA DELGADO HIDALGO

MÉTODO GRÁFICO. PROFESORA: LILIANA DELGADO HIDALGO MÉTODO GRÁFICO PROFESORA: LILIANA DELGADO HIDALGO Liliana.delgado@correounivalle.edu.co Este método grafica las restricciones y la función objetivo del modelo en un plano cartesiano. Para poder representar