Radiación y Ondas Guiadas

Transcripción

1 Radacón y Ondas Guadas UNIVRSIDD CTÓLIC NDRÉS BLLO FCULTD D INGNIRÍ SCUL D INGNIRÍ D TLCOMUNICCIONS PROF. LUIS JCINTO FRNÁNDZ.5.5 ocub d 4 R ( ) y c Paon d Radacón Plano-

2 Pfaco La sgun oba sá dgda a los sudans d la Unvsdad Caólca ndés Bllo y sá adapada al conndo d la asgnaua Radacón y Ondas Guadas, ubcada n l sépmo sms d la Caa d Ingnía d Tlcomuncacons. Sn mbago, ambén pud s d uldad paa alumnos d oas unvsdads qu sén cusando Ondas Guadas o como una bv noduccón a nnas. l xo sólo xs n fomao lcónco y sá n pmann vsón, no sólo paa cog posbls os sno poqu s aggan consanmn nuvos ccos y mplos. Db aclaas qu una oba como ésa no conn maal cno po cno ognals, ya qu s aa d concpos d domno públco y qu han sdo aados amplamn n la laua, n los lbos cláscos d lcomagnsmo. Lo qu sí s nnovado s la foma como s psna dcho maal al lco. dconalmn, los poblmas numécos y algunas sccons como las fdas a la solucón compuaconal d las línas d ansmsón s son d m xclusva auoía. Lus Fnánd

3 RDICIÓN Y ONDS GUIDS UNIVRSIDD CTÓLIC NDRÉS BLLO FCULTD D INGNIRÍ SCUL D INGNIRÍ D TLCOMUNICCIONS PROF. LUIS JCINTO FRNÁNDZ Capíulo I... Concpos Fundamnals Inoduccón Las cuacons báscas Rlacons Consuvas l Concpo d Con Gnalada ngía y Ponca Solucón d las cuacons d Maxwll Ondas vaas n l spaco lb Ondas vaas n mdos lnals smpls Poncals lécco y Magnéco. Poncals adados Vaacons snusodals. cuacons complas Vco d Poynng complo Polaacón d las ondas lcomagnécas Rpsnacón gnéca d ondas planas Radonlacs Popagacón n mdo no homogénos Popagacón n mdos con péddas y n mdos lnals gnals Capíulo. Rflxón y Rfaccón d Ondas Planas Compoamno d las ondas n la nfa n mdos. Rflxón y Rfaccón d Ondas Planas Incdnca d ondas planas sob un plano pfcamn conduco Incdnca oblcua d ondas planas sob una supfc pfcamn conducoa a) Campo lécco paallo a la nfa b) Campo magnéco paallo a la nfa Incdnca nomal d una onda plana a un dlécco Incdnca nomal sob mdos dléccos safcados Incdnca nomal sob un mdo pacalmn conduco Incdnca oblcua sob un dlécco. Rfaccón Incdnca oblcua sob un mdo dlécco safcado Incdnca oblcua sob un mdo pacalmn conduco Capíulo 3. Ondas Guadas Ondas guadas Ondas TM guadas. Guía d ondas d placas paallas Rpsnacón d los campos n componns ansvsals y longudnals Ondas TM sob oas gomías. Tansfomacons confoms

4 3- poxmacón ccual. Línas d ansmsón Ondas T sob una guía d placas paallas Ondas TM guadas Inpacón físca d la popagacón mul-modo Concpo d modo domnan Inoduccón a la oía dl spco angula Guía d ondas cangula Guía d ondas clíndca Modos TM n guías d ondas clíndcas Modos T n guías d ondas clíndcas Impdanca d nada d Línas d Tansmsón Volas y cons. Paón d ondas saconaas Caga coplada Ccuo bo Caga ssva pua l Tansfomado d / Inconxón d línas coplamno con ansfomado / coplamno con un sub coplamno con dos subs coplamno con Rd PI Ponca ncdn y Ponca Rflada Línas con péddas Méodos gáfcos paa l sudo d las línas d ansmsón l Dagama Bccula La Caa d Smh Rpsnacón d Tnsons y Cons n la Caa d Smh plcacons d la Caa d Smh Impdanca d nada d una lína sn péddas dmanca d nada d una lína sn péddas Convsón d Impdanca a dmanca Volas y Cons Línas con péddas coplamno d cagas con un sub Rspusa d fcunca dl sub sncllo coplamno po mdo d sub dobl Línas con dfn mpdanca caacísca coplamno con paámos concnados coplamno s-paallo coplamno paallo-s Méodos combnados. Rds T y Rds Solucón compuaconal lgomos cusvos Cofcn d Rflxón n línas n paallo Capíulo 4. Paámos d Dspsón Paámos d Dspsón... 7

5 4.. Casos paculas La caga como gnado Ponca apan Sgnfcado físco d la nomalacón Ma admanca aumnada mplos d cálculo Oo mplo: l pun d Whason Rds d N puos Rpsnacón d una d d N puos Rds d puos mplo d cálculo. Caso mplo d cálculo. Caso mplo d cálculo. Caso Ponca Tansfda n una Rd d N-puos Rds sn péddas La condcón unaa n ds d dos puos Rds Smécas Componns no cípocos Oas Macs uladas n Rds mplos d cálculo Sofwa paa l cálculo d Rds.... Capíulo 5. Radacón Radacón Campo adado po un dpolo coo Inpacón d las solucons. Campo lano y campo ccano. Paón d adacón Paámos dl Paón d adacón Rpsnacón n émnos d componns ansvsals y adals poxmacón d campo lano Campo adado po un dpolo magnéco Paámos báscos d un adado lcomagnéco Rssnca d adacón La anna como cpo nnas lnals Lína d con unfom Lína d con con fas lnal Radacón dsd abuas. lmno d Huygns lpsods d Fsnll Dfaccón alddo d obsáculos. Modlo Flo d cuchllo... 5 Capíulo 6. Radonlacs lmnos d cálculo d nlacs

6 Radacón y Ondas Guadas Capíulo I Concpos Fundamnals -. Inoduccón. l obvo d s cuso s l sudo óco y l análss d los fnómnos lcomagnécos qu vaían n l mpo, con pacula énfass n aqullos qu psnan vaacons snusodals. n s capíulo s psnan los concpos fundamnals, y s psum qu l sudan pos un conocmno pvo n lcosáca, n oía d ccuos léccos y n álgba y análss vcoal. n l caso dl álgba s sma qu l sudan db conoc los méodos d solucón d cuacons dfncals n dvadas pacals bao condcons d conono, y domna los concpos asocados d auovalos y solucons caacíscas. ns d comna con l cuso popamn dcho val la pna aa d solv las sguns nogans: a) Qué s una oía? b) Cual s l papl dl Ingno n l pocso d poduccón d conocmnos? c) Cual s l papl d la Toía lcomagnéca n la caa d Ingnía lécca y n la Ingnía d Tlcomuncacons? Paa spond a la pma pguna s ncsao dsaca qu odo l dsaollo qu ha xpmnado la spc humana dsd su apacón sob la Ta hac unos pocos mls d años ha sdo posbl gacas a la xaodnaa capacdad d magnacón dl cbo humano. s pcsamn la capacdad d magna, d fanasa, d spcula, lo qu l pm al homb avana más allá d lo mamn vdn, l pm ancpa sulados y va posbls sgos o al mnos asum n foma conscn als sgos. Uno d nusos pans más ccanos n la volucón, l chmpancé pud s nsñado a mana una hamna, po s ncapa d ulala paa ca nuvas hamnas. D gual mana, s ha logado nsñals a mov las pas dl ad po sn qu san capacs d uga una pada al. Todo so s dbdo a qu l cbo dl smo, como l d oos anmals, accona an las UCB-IT I- LJF-lf

7 ccunsancas d gual foma qu un compuado: smplmn sgu un conuno d glas apnddas, po sn qu sa capa d ancpa l sulado d sus accons. Una gacla accona an la psnca d un g y mpnd la huda sgundo sus nsnos (s dc, "l pogama apnddo"). l s humano an ccunsancas nuvas nd a acua ambén nsnvamn, po vnualmn su cbo halla una "solucón" qu l pm accona n foma dfn an las ccunsancas: s ca un conocmno nuvo a pa dl xsn. Una v cado y valdado s conocmno (sgundo glas muy pacdas a las d la Ingnía d Sofwa), smplmn s ncopoado a la "bbloca" d pogamas sdns y ulado posomn cuando las ccunsancas lo amn o cuando sa qudo n un nuvo pocso d cacón d conocmnos. l pm paso dl pocso d cacón d conocmnos conss n l modla. Un modlo s smplmn una psnacón d la aldad n una foma apopada paa qu l cbo puda manala a su convnnca duan l pocso d pnsa. l modla s nca con una obsvacón d la aldad; la caldad dl modlo (y su uldad) saán dmnadas n un alo gado po nusa capacdad d obsvacón. La obsvacón s un pocso mnal qu mplca "v más allá d lo vdn". La obsvacón qu d una "adquscón d daos" a avés d nusos óganos d los sndos, un pocsamno paa "fla" o "lmpa" sos daos d nfomacón spua qu puda s lvan paa l obo dl modla, y una fnca consan al conocmno pvo paa vfca la vald d dchos daos. sos pocsos no son scuncals sno qu sán ínmamn laconados n sí. vnualmn sug l modlo como pas d un ompcabas qu s van unndo. Sn mbago, s modlo ncal podá lugo s modfcado o fnado duan l pocso d cacón d la oía, como s vá más adlan. n l caso d los fnómnos afns a la ngnía la obsvacón y l modla han sdo alados (pncpalmn n los úlmos dos sglos) po los físcos. Una v qu s dspon d un modlo, l póxmo paso conss n la fomulacón d hpóss, y su valdacón. so s l "uga con l modlo", s l "wha f" d los conomsas, la "spculacón" d los cnífcos. S s dspon n nuso cbo d un modlo, podmos ca xpmnos mnals, s dc som nuso modlo a una s d pubas y saca conclusons d sas xpncas: Qué pasaía s muvo l alfl a al o cual poscón? Cuál sía l mpaco sob l índc busál s s poduc un ala d la asa d nés acvo d un UCB-IT I- LJF-lf

8 %? S podá loga moa l compoamno d los componns lcóncos n ala fcunca s los fabcamos con snuo d Galo n luga d Slco? son algunas d las pubas a qu somían sus modlos spcvamn un ugado d ad, un conomsa y un ngno lcónco. l obo d una oía conss n aa d pdc los hchos ans d qu ocuan paa saca povcho d lo posvo o va suacons ngavas. Paa pod ala odas sas xpncas mnals s ncsa un conuno d glas ígdas a fn pod gaana la vald d los sulados. Tals glas han sdo dsaolladas a pa d modlos pvos y consuyn colcvamn lo qu s llama una oía. Po supuso qu la vald d una oía dpnd d la caldad dl o los modlos qu la sopoan, y po ano nn l valo d una "vdad lava", sólo valda n las condcons n qu s dsaollaon sos modlos. Paa lusa s puno d vsa consdéns las sguns oías acca d la foma d la Ta y l Unvso: paa l homb pmvo ddcado a acvdads d pasoo y agculua basaba un modlo d Ta Plana ubcada n l cno dl Unvso (dspués d odo él a l cno d su "Unvso"). sa a su "vdad". Su modlo sasfacía odas las pubas a qu él podía somlo. Sn mbago, cuando l homb comnó a avnuas n l ma, mpó a obsva ccunsancas n las cuals su modlo d Ta Plana no pdcía cocamn los hchos. Con l cuso dl mpo s dsaollaon nuvas oías hasa llga a nusa concpcón acual d una Ta donda (no xacamn sféca) qu no s n moamn l "cno dl Unvso". S s sá sudando una pada d ad o un pado d bésbol la oía sá consuda po las glas báscas dl ugo más las sagas dsaolladas a lo lago dl mpo y puba d llo son los nconabls lbos qu s han sco acca dl llamado "ugo-cnca" o las naacons d dsacados ugados. n odo caso s qu d un lngua n l cual scb sa oía. l ugado d ad db domna concpos como "apua", "ugo mdo, "aqu", "ma", c. Po oa pa n l bésbol s qu nnd émnos como "caa", "sk", "hom-un", "doubl-play", c. n l caso d las oías físcas, l lngua s la mamáca. Los modlos físcos (así como oos muchos modlos) s psnan n l lngua d las mamácas y s a avés d sus glas qu s pud "uga l pado" qu nos pma pdc l compoamno d una nav spacal, una onda lcomagnéca o l moo d un auomóvl. Inclusv los mamácos ambén dsaollan modlos qu ls han pmdo laboa nuvas oías y ca nuvas UCB-IT I-3 LJF-lf

9 hamnas como las mamácas d los conunos dfusos, los facals y las mamácas dl caos. l aplca una hamna mamáca a un modlo físco (y a cualqu oo ambén) s db n mucho cudado d vfca los líms d vald d la msma y las condcons dl modlo. Po mplo, a lo lago d s cuso s aplcaá con mucha fcunca l "oma d supposcón" y s nssá n la condcón d qu los mdos dbán s lnals. La úlma apa n l dsaollo d una oía conss n la npacón d los sulados y (sob odo n l caso d la ngnía) n su aplcacón. Las hpóss dbán s confonadas con la vdnca xpmnal, sa ésa l sulado d mdcons als o pubas analícas o numécas sob l modlo, o una mcla d ambas. La Toía d la Gavacón Unvsal fu dsaollada po Nwon a avés d la obsvacón d la caída d los cupos (la lynda lo abuy a la caída d una manana sob su caba), y l popo Nwon aló nnumabls xpmnos paa vfcala. Po oa pa los posulados d Maxwll dbon spa 5 años ans d s vfcados. xsn así msmo nnumabls aplcacons d la msma n nusa vda daa. n sumdas cunas l pocso nmnabl d poduccón d conocmnos pud sums n l sgun dagama: Obsvacón Modla Hpóss (oía) Vfcacón Conclusons plcacons b) Cual s l papl dl Ingno n l pocso d poduccón d conocmnos? UCB-IT I-4 LJF-lf

10 n las consdacons anos s ha asgnado la acvdad d modla pncpalmn (aunqu no xclusvamn) al físco, y l dsaollo d la oía al mamáco. sa ha sdo una asgnacón oalmn abaa paa aa d lusa cada una d las acvdads con un pofsonal dmnado, pus l pmo db s capa d fomula sus hpóss y valdalas usando l lngua d las mamácas, n ano qu l sgundo podá fomula modlos mamácos apos paa sus ncsdads paculas. l ngno po oa pa sá más nvolucado n las aplcacons páccas d sos conocmnos. l s nu d los conocmnos dvados d los modlos ócos paa sasfac ncsdads a avés d nvncons páccas. Sn mbago, paa pod llva a cabo sas alacons él db sa conscn d los líms d aplcabldad d las oías, y po ano db sa famlaado con odo l pocso dsd la obsvacón d los fnómnos hasa la valdacón d los sulados qu confman la oía. sí msmo, l ngno s obsvado d fnómnos, dvados d la aplcacón pácca d los conocmnos, y pud ala apos dcos al modla o poa sus obsvacons paa qu oos alcn las modfcacons pnns a los modlos. n ocasons l ngno dbá fomula sus popos modlos, adlana hpóss, valdalas y vnualmn convlas n una aplcacón pácca como n l caso dl dsño d ccuos lcóncos, n l dagnósco d fallas o n la planfcacón d ssmas d comuncacons. c) Cual s l papl d la Toía lcomagnéca n la caa d Ingnía d Tlcomuncacons? La spusa a sa pguna apac ya n l úlmo páafo dl puno ano: l ngno db conoc la oía, dsd las obsvacons qu don ogn a los modlos, la fomulacón mamáca d los msmos y las conclusons qu s dvan d la aplcacón d los pncpos, sn pd d vsa los líms d vald d los modlos. Db nnd qu los msmos consuyn sólo "vdads lavas" ausadas a la lmada (y ncsaa) smplcdad d los modlos paa noncs conoc cuando s ha agoado la vald d un modlo y s ncsao cu a una oía más gnal. La cnología mpon nuvos y más xgns qumnos a los conocmnos qu db mana un ngno: vlocdads más alas n las compuadoas poducn msons lcomagnécas qu no pudn s pdchas po la UCB-IT I-5 LJF-lf

11 oía d ccuos, ssmas d ponca nconcados d mayo xnsón psnan poblmas d sabldad qu qun dl uso d ondas vaas paa s compnddos, ssmas d comuncacons d ala capacdad qu anspoan mls d convsacons lfóncas smulánas n una fba ópca, c. -. Las cuacons báscas l modla usual d los fnómnos lcomagnécos s ala a avés d las dnomnadas cuacons d campo, lavas a ss candads físcas. Cada una d sas candads sá psnada po una vaabl qu oma un valo (scala o vcoal) n cada puno dl spaco. n algunas ocasons s da l msmo nomb a la vaabl qu a la candad físca qu lla psna. l conuno d odos los punos dl spaco n l cual sé dfnda la vaabl gna lo qu s llama un campo. Po mplo, la nnsdad lécca vn psnada po l vco Innsdad d Campo lécco, y l conuno d odos los punos dl spaco dond sán dfndos sos vcos consuy un Campo d Innsdads. Las ss candads fundamnals y las vaabls qu las psnan son: La Innsdad lécca, psnada po, l vco nnsdad d campo lécco, n undads d Vols/m. La Innsdad Magnéca, psnada po H, l vco nnsdad d campo magnéco, n undads d mp/m La Dnsdad d Fluo lécco, psnada po l vco D,n undads d Coulomb/m La Dnsdad d Fluo Magnéco, psnada po l vco B, n undads d Wb/m La Dnsdad d Con lécca, psnada po J, vco, n undads d mp/m La Dnsdad d Caga lécca, psnada po q v, scala, n undads d Coulomb/m 3 sas vaabls son funcons no sólo d poscón sno ambén dl mpo. S dc qu una vaabl s d compoamno gula (wll-bhavd) cuando s una funcón connua y pos UCB-IT I-6 LJF-lf

12 dvadas connuas. n odos los punos dond las vaabls anos son gulas s cumpln las cuacons d Maxwll (n foma dfncal): B(x,y,,) ( x, y,, ) ; B(x,y,,) D(x,y,,) H ( x, y,, ) J ; D(x,y,,) qv( x, y,, ) (.) (.) sas cuacons ncluyn la nfomacón connda n la cuacón d connudad v x y q (,,, ) J ( x, y,, ) (.3) qu xpsa la consvacón d la caga. n sas xpsons s ha ulado la cusva paa las vaabls qu son funcons dl mpo y dl spaco (x, y,, ) con la fnaldad d sva las las nomals paa las candads complas qu son sólo funcón dl spaco (x, y, ). smsmo las candads vcoals s ndcaán n nga o con un guón ncma. s mpoan calca l sgnfcado d sas cuacons. n pacula, a psa d qu las msmas s scbn con un sgno d gualdad, n aldad psnan ansfomacons nycvas: la dsbucón spacal d los campos s conscunca d la vaacón mpoal d los fluos ( po no a la nvsa!!!) dmás d la foma dfncal d las cuacons d Maxwll, xs ambén una foma ngal, la cual s más apopada paa aqullos casos cuando pudan xs dsconnudads spacals, como n l caso d nfacs n mdos. n sos casos s db cumpl qu los fluos san connuos a avés d la dsconnudad. La foma ngal s obn d la aplcacón dl oma d Sok o l oma d Gn a las xpsons dfncals. d dl B ds ; B ds d S d d H dl D ds J ds ; D ds q d S V v (.4) (.5) UCB-IT I-7 LJF-lf

13 dond, n l caso d las ngals d la quda s s una supfc aba bodada po l camno cado l, n ano qu n l caso d las ngals d la dcha S s una supfc cada qu nvulv al volumn V. La foma ngal d la cuacón d connudad s: d J ds d S V q d v (.6) n odos los casos s sgun las glas nomals d la mano dcha paa la ngal d cculacón, y qu l dfncal ds apuna haca afua d la supfc cada. sí msmo xsn candads ccuals o candads ngals qu dpndn d las vaabls d campo: v, l vola n undads d Vols, la con lécca n undads d mps q, la caga lécca n undads d Coulombs, l fluo magnéco n undads d Wbs, l fluo lécco n undads d Coulombs u, la fua magnomo n undads d mps La lacón xplíca d sas candads ccuals con las vaabls d campo s: v q dl J ds ; ; q d ; v B S u ds D H dl ds (.7) (.8) (.9) Igualmn, s mannn las convncons nomals spco a los sgnos, s dc, n l caso d las ngals d lína la fnca posva s al comno d la aycoa d ngacón; n l caso d las ngals d supfc, la fnca posva sá n la dccón d ds. Las cuacons d Maxwll ambén pudn s scas n émnos d las candads ccuals mcladas con las vaabls d campo UCB-IT I-8 LJF-lf

14 y la cuacón d connudad d d d S l ; B ds d H dl ; d dq J ds d D ds q (.) (.) (.) -3. Rlacons Consuvas dmás d las cuacons d campo, s qu spcfca las caacíscas dl mdo n l cual xsn dchos campos. S s consda l domno d y H como l campo lcomagnéco (s dc la gón n cada uno d cuyo punos sán dfndos y H ) noncs s podán xpsa D, B y J n émnos d y H. n foma gnal s podá scb D D(,H) B B(,H) J J(,H) (.3) las cuáls son las lacons consuvas. Las fomas xplícas d las msmas s pudn halla po xpmnacón o dducs d consdacons aómcas. l émno spaco lb s ula paa dnoa al vacío o cualqu oo mdo qu nga sncalmn las msmas caacíscas. n s caso las lacons consuvas asumn fomas paculamn sncllas: D B H J (.4) dond o s la pmvdad dl vacío y o s la pmabldad dl vacío. Bao cas ccunsancas las lacons consuvas ambén adqun fomas sncllas paa muchos maals. S dc qu als maals son lnals smpls y las lacons son UCB-IT I-9 LJF-lf

15 D B H J (.5) n s caso s la pmvdad dl mdo, s su pmabldad y s la conducvdad. Db calcas qu sas lacons s cumpln sólo bao cas ccunsancas; pudn da d cumpls cuando o H o sus dvadas mpoals san muy gands n cuyo caso los maals pasan a compoas n foma no lnal. xsn oas ccunsancas n las cuals los valos d ó son funcons d poscón n l spaco y s habla noncs d maals no homogénos. xsn así msmo maals n los cuals D no n la msma dccón d, o B no s paallo a H ; als maals son llamados ansoópcos. La dfncón d lnaldad pud s xndda paa muchos maals d acudo a las sguns cuacons dfncals lnals: D... H H B H... (.6) J l Concpo d Con Gnalada Fu Maxwll l pmo n noa qu la ly d mp paa la sáca, H = J, a ncompla paa l caso d campos vaabls n l mpo. l cogó la ly paa nclu una con d dsplaamno lécco D admás d la con d conduccón. l s magnaba qu al con a poducda po l dsplaamno d cagas pncns al "é", un fludo sn pso qu llna odo l spaco. S bn l concpo d é ha sdo dscaado po hab sdo mposbl su dccón s convnn consda al émno D como una con. D gual mana, y dada la smía d las cuacons d Maxwll lgunos auos consdan hoy día qu al saía consudo po los nunos, paículas subaómcas sn caga n masa. V po mplo: Los Ts Pmos Mnuos dl Unvso, d Wnbg. UCB-IT I- LJF-lf

16 s convnn consda al émno B como una con d dsplaamno magnéco. Fnalmn, y paa oma n cuna las funs, s ncluán n las cuacons las dnomnadas cons mpsas (o mpusas), ano léccas como magnécas. Los símbolos J y M s usaán paa dnoa las cons léccas o magnécas, n gnal, con supíndcs qu ndqun l po d con. Po ano las cons oals sán: J D c J J B M M (.7) (.8) dond los supíndcs, c dnoan spcvamn cons oals, d conduccón mpsas. Smlas consdacons podán aplcas a las candads ccuals. n émnos d sas cons gnaladas, s podán scb las cuacons d Maxwll dfncals como: M ; H J (.9) lo cual ncuna aplcacons n muchos casos d la oía. Las cuacons d dvgnca no han sdo psnadas xplícamn poqu qudan auomácamn ncludas n sa psnacón. -5. ngía y Ponca Consdéns las candads ccuals, v, v dl ; J ds (.) l poduco v. psna la ponca nsanána qu s sá ncambando n dos pas d un ccuo. l anala la lacón d sas candads con las vaabls d campo s apan qu l poduco nno J db psna alguna foma d dnsdad d ponca; po xnsón l poduco H M ambén db slo. l consda la dndad vcoal UCB-IT I- LJF-lf

17 H H H (.) y al susu po las cons gnaladas s n H H M J (.) la cual al s ngada sob una gón dlmada po una supfc y aplca l oma d la dvgnca s conv n H ds d S J H M (.3) mbas xpsons sán npadas como dos fomas d la consvacón d la ngía. l agumno d la ngal d supfc, s dc, H S (.4) s l vco d Poynng, l cual s npa como una dnsdad d fluo d ponca, y n undads d [Wa/m ]. Su dvgnca p f S H (.5) sá noncs la dnsdad d ponca voluméca [Wa/m 3 ] qu mana d un puno y la P f S ds H (.6) s la ponca oal qu abandona la gón a avés d la supfc d ngacón. Smlamn los oos émnos d (.) pudn npas como la aa d ncmno d la dnsdad d ngía n un puno, n ano qu los émnos sans d (.3) psnan la aa d ncmno d ngía dno d la gón. n l caso d mdos lnals smpls los úlmos dos émnos d (.) s convn n: ds J J (.7) UCB-IT I- LJF-lf

18 H M H H M (.8) dond J y M psnan posbls funs d cons, s módulo dl vco, y H s l módulo d H. l faco ½ povn d Los émnos w y w H son déncos a las dnsdads d ngía d los m campos lécco y magnéco sácos y sa npacón sá mannda paa los campos dnámcos. l émno s dnfca como la dnsdad d ponca convda a ngía caloífa, o ponca dspada. Fnalmn, la dnsdad d ponca sumnsada po las funs d con sá dfnda como: ps J H M (.9) La dccón d fnca d las funs d ponca s opusa a la d la ponca dspada como lo vdnca l sgno mnos n la xpsón (.9). n émnos d las candads dfndas anomn s pud scb la xpsón (.) como: (.3) sa xpsón pud npas como sgu: n cualqu puno la dnsdad d ponca sumnsada po las funs db s gual a aqulla qu abandona l puno, más la dspada, más la aa d ncmno n las dnsdads d ngía lécca y magnéca almacnadas. Una foma más común d la consvacón d la ngía s aqulla qu s f a oda la gón. n cospondnca a las dnsdads d ngía s dfnn las ngías nas lécca y magnéca dno d la gón como d s f d w w m W d La ngía na convda a calo po undad d mpo s ; W m H d (.3) UCB-IT I-3 LJF-lf

19 P d d (.3) y, fnalmn, la ponca na sumnsada po las funs qu s hallan dno d la gón s, P J H M d s n émnos d sas dfncons s pud scb la cuacón (.3) como P P P s f d d d W W m (.33) (.34) Po ano, la ponca sumnsada po las funs dno d una gón db s gual a aqulla qu abandona la gón, más la dspada, más la aa d ncmno d las ngías lécca y magnéca almacnadas dno d la msma. -6. Solucón d las cuacons d Maxwll. -6. Ondas vaas n l spaco lb. Las cuacons d Maxwll consuyn un modlo qu dscb las lacons n las vaabls d campo, po paa qu san d uldad dbn s manpuladas paa ancpa suacons qu pudan s apovchadas po l cnífco o l ngno. Sn mbago, n su foma más gnal als cuacons son xmadamn dfícls d solucona a psa d su sncll apan. n luga d aa d halla una solucón gnal lo qu s pud hac s suda un conuno d suacons paculas y xapola las conclusons obndas a fn d nu cual sá l compoamno gnal d las vaabls d campo. Paa comna sa labo s comnaá po modla l mdo. n nuso sudo s consdaán cas xclusvamn mdos qu san lnals, soópcos y homogénos; más aún, s consdaán n pncpo mdos lnals smpls y l paso a mdos lnals gnals s alaá cuando sa ncsao. l pm mdo a consda sá l spaco lb paa obn las pmas conclusons, las cuals sán aplcadas lugo a oos mdos lnals smpls. sas sccons s han lgdo omando n cuna qu una gan candad d mdos d nés pácco pudn s modlados como mdos lnals smpls n una ampla gama d valos d y H. Po oa pa l modlo db s sufcnmn sncllo paa pod ula hamnas mamácas UCB-IT I-4 LJF-lf

20 habuals, y al msmo mpo db n la gd apopada paa pm aba a conclusons váldas. Las lacons consuvas paa l spaco lb, sn funs n cagas lbs, sán dadas po las xpsons (.4). Cuando s subsuyn n (.) y (.) s obn: H ; H H ; (.35) (.36) Paa halla una solucón sá ncsao conv l conuno d cuacons anos n una xpsón qu connga a una sola d las vaabls d campo. Una v hallada sa vaabl sá muy fácl halla la oa hacndo uso d las xpsons (.35) o (.36). Paa comna s omaá l oo d la pma cuacón d (.35) y s haá uso d la dndad vcoal, H La dvgnca s co po (.36). Po oa pa dbdo a qu l mdo s lnal, homogéno soópco, s una consan y s pud nv l odn n las dvadas spacals y mpoals. La cuacón quda noncs H y fnalmn (.37) La subsucón d (.37) n (.36) poduc una cuacón dénca paa H. sa s la dnomnada cuacón d popagacón y s dmosaá a connuacón qu sus solucons son ondas n movmno. Consdés n pm luga l sgun caso smplfcado: l campo (d nnsdad lécca) psna l msmo valo (n magnud y dccón) n odos los punos d un plano nfno, sá conndo n l msmo, po s lb d vaa n la dccón ppndcula a és. Más UCB-IT I-5 LJF-lf

21 UCB-IT I-6 LJF-lf aún, s consdaá qu al pasa d un plano a oo sólo la magnud vaía po no su dccón. Sn pédda d gnaldad s lgá un ssma d coodnadas cangulas d mana qu sé conndo n l plano (x,y) y las vaacons ocuan n la dccón dl. n sas condcons s podá scb: û, ), (,,, y x (.38) dond u s un vco unao conndo n l plano ansvsal (x,y) y (,) s la magnud d. l susu n (.37) s obn:,,,, u u u u D aquí s obn la sgun xpsón scala l xpand l Laplacano dl scala (,) s n, Las pmas dvadas son nulas, po lo qu fnalmn, (.39) Cualqu funcón dl spaco y dl mpo d la foma f o f ), ( (.4) o, una combnacón lnal d llas s solucón d (.39). Paa dmosalo s alaá l sgun cambo d vaabls, s noncs, ) (, ' s f s f ds d s s f ds d f ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( y x ), ( ), (

22 y, smlamn d f ds Las dvadas mpoals son, '', f s f s f ( s) s d ds d s d f ds ds y d s d f ds ds Fnalmn, al susu n (.39) s obn la dndad ', f s f s f ( ) s '', f s ( ) f s f ( s) '' '' f ( s) f ( s) con una dmosacón smla paa f (,). Cuál s la npacón físca d f (,)? Consdés n pm luga la vaacón spacal d f paa un nsan d mpo dado, po mplo =. noncs (, ) = f (, ) sá un funcón d una sola vaabl "". n oo nsan d mpo poso = s n ambén (, ) = f (, ). f ( ) f ( ) Po, S s dfn una candad, al qu f (, ) f f noncs, po lo qu f (, ) f f (, ) (, ) (, ) UCB-IT I-7 LJF-lf

23 y, smlamn H(, ) H(, ) (.4) so sgnfca qu al anscu l mpo d a, la dsbucón spacal d s p po dsplaada n la candad n la dccón posva d las "". Una funcón con sas caacíscas s dc qu s un popagado o una funcón d onda. n s caso pacula s dc qu f (,) s una funcón d onda plana. Un análss smla con f (,) dmusa qu sa onda s dsplaa n la dccón ngava d las "". Po ano, la solucón d la cuacón (.39) sá consuda po la supposcón d dos ondas qu avanan spcvamn n l sndo posvo y ngavo d las "". D la cuacón (.4) s pud xa oa conclusón mpoan. S s dfn = -, noncs = - La cuacón s pud scb noncs como, (, ) (, ) (.4) so sgnfca qu la onda mpla un co mpo n dsplaas d un luga a oo dl spaco la candad. Po ano la onda s muv a una vlocdad fna. La vlocdad a qu s muv sa onda vndá dada po l cocn /. Cuando s subsuy la dfncón d s halla qu sa vlocdad s, c cuyo valo s,99776 x 8 m/sg, la vlocdad d la lu n l vacío. (.43) hoa qu s ha hallado una solucón paa l campo, basaá subsula n (.35) paa halla H. H H d Ulando (.38) s n, u,, u UCB-IT I-8 LJF-lf

24 l gadn n la dccón k, l vco unao sob l "". Po ano, l campo magnéco ndá la dccón dada po l vco unao v qu ambén yac n l plano x,y y qu cumpl con la condcón u x v = k. Po ano, los vcos u, v y k consuyn una íada. Consdés n pm luga la solucón f. noncs, y, La dvada mpoal d f val, po lo qu, fnalmn, f (, ) f '(, ) k, H f, k d u f(, ) ( ) f (, ) H f, k u (.44) l émno s una caacísca dl mdo y cb l nomb d mpdanca nínsca dl vacío. l susu los valos d y s obn un valo d = 377 Ohms. n la cuacón (.44) s pud noa qu la dccón d H sá pfcamn dfnda: H sá n l plano ansvsal pus s nomal a k y admás ambén s ppndcula a u. Po oa pa, s s hubs consdado la solucón f, l sulado saía smlamn n l plano ansvsal y ppndcula a u, po d sndo opuso como pud dmosas fáclmn al calcula l gadn. l sulado n s caso s H f, k u f, v (.45) dconalmn, s pud dmosa qu sas solucons d H obdcn a una cuacón dfncal smla a la (.37) y po ano son ambén ondas vaas. Dbdo a qu los campos y H sán ínmamn laconados po las cuacons d Maxwll, l émno onda s aplcaá n lo sucsvo paa fs ndsnamn a las solucons d ambos. n algunas ocasons s ulaá una nomnclaua pacula paa dfnca n sí las solucons qu vaan n l sndo d las "" posvas y las qu vaan n sndo opuso, como po mplo: onda pogsva y onda gsva. UCB-IT I-9 LJF-lf

25 n conclusón, la aplcacón d las cuacons d Maxwll a un modlo sncllo dl mdo como lo s l spaco lb ha pmdo aba a una xpsón (la.37) cuyas solucons son ondas vaas. Paa dmosa so s cuó a un modlo sncllo d los campos y s lgó convnnmn la onacón dl ssma d coodnadas paa smplfca la aplcacón d las fómulas mamácas; sn mbago, duan s pocso s ha sdo guoso paa pm qu las conclusons pudan s gnaladas sn pd vald. n pacula la onacón dl campo pud s cualqua, n ano cumpla con la pmsa d n l msmo valo n odos los punos d un plano; po ano, la onacón d s plano ambén pud s cualqua. Dbdo a la lnaldad dl opado d dvacón spacal,, s posbl camba d un ssma d coodnadas a oo sn qu s afcn los sulados; so sgnfca qu los sulados son ndpndns dl ssma d coodnadas ulado po lo qu samos n lbad d lg n cada caso aqul qu conduca a las xpsons más sncllas sn sacfca la vald d los msmos. sí msmo s ha hcho uso d la lnaldad dl mdo paa ncamba las opacons d dvacón spacal y mpoal, n l dsaollo d la cuacón d popagacón. so a su v pmá xapola los sulados obndos al caso d oos mdo lnals, a psa d hab basado la dduccón n l spaco lb. s modlo d campo cb l nomb d onda plana nfna dbdo pcsamn a qu ano como H yacn n un plano d xnsón nfna ppndcula a la dccón d popagacón. Sn mbago, no s db pd d vsa las lmacons dl modlo. Una onda plana nfna s sólo una apoxmacón a la aldad. scamn hablando, la onda plana nfna no xs, poqu conllvaía una ponca nfna. n fco, l vco d Poynng dfndo n (.4) val, paa la onda pogsva, S H f, u, v f S H f,, u v f f, La ponca ansfda a avés d la supfc vn dada po (.6) P f k Sds f, ya qu l dfncal d supfc apuna n la dccón. k dsk UCB-IT I- LJF-lf

26 P f f, ds (.46) Como l agumno d la ngal d supfc s consan n l plano ansvsal, la ngacón sob un plano nfno conduc a un sulado ncompabl con la vdnca xpmnal. Rsulados smlas s obnn paa la onda gsva (dfnda po f(,)). Sn mbago, l modlo d onda plana sgu sndo úl dno d líms schos ya qu muchas ondas pudn s consdadas como localmn planas. so sía quvaln a la uldad qu n l modlo d Ta Plana paa l homb qu no pnd alas mucho d su casa. Cuando s qua consda suacons más gnals sá ncsao ula oos modlos más complos, como la onda sféca, qu psnn una mo apoxmacón a la aldad. La uldad pácca d sas ondas vaas adca n qu las msmas pudn s uladas como poadoas paa l anspo d nfomacón a gands dsancas (como n l caso d la lvsón y la ado). La ngía lécca poducda n los cnos d gnacón vaa a avés d las línas d ansmsón n foma d ondas hasa los cnos d consumo. -6. Ondas vaas n mdos lnals smpls Cuando s subsuyn las lacons consuvas paa mdos lnals (.5) n las cuacons d Maxwll, s obnn sulados quvalns a las xpsons (.35) y (.36). n pacula, s s hac = las xpsons son déncas, con la salvdad qu mplaa a y mplaa a. La cuacón d popagacón (.37) s ansfoma n (.47) po lo qu las conclusons son smlas a las obndas paa l caso d la onda plana: las solucons son ondas vaas. Paa l caso d la onda plana nfna los sulados son smlas, xcpo qu la vlocdad d popagacón s ahoa, Y la mpdanca nínsca s, v (.48) UCB-IT I- LJF-lf

27 (.49) Cuando s consdan valos fnos d, las cuacons son H ; H S no hay cons mpsas n cagas lbs, sas cuacons s pudn solv d la msma mana qu paa l spaco lb: S oma l oo d la pma xpsón, H H S mplaa n la sgunda y s n fnalmn, (.5) l pm y c émno son smlas a los d la cuacón (.47). l sgundo émno, llamado émno d laacón, s sponsabl d un dcamno d las solucons a mdda qu las ondas s alan dl ogn, lo cual s sá d acudo con la vdnca xpmnal. La cuacón (.5) no s pud solv dcamn a mnos qu s conoca la dpndnca mpoal d los campos. n sccons posos s asumá una dpndnca snusodal d los campos paa suda l compoamno d las solucons. -7. Poncals lécco y Magnéco. Poncals adados. Hasa l momno s ha abaado con las vaabls y H, qu psnan las candads Innsdad lécca Innsdad Magnéca, spcvamn. La cuacons d Maxwll fuon sulas n las sccons (-6. y -6.) asumndo qu no xsn funs n cagas lbs. Sn mbago, cuando s consdan poblmas d adacón n los cuals xsn funs s más convnn ula un conuno d vaabls dfns qu smplfcan las cuacons. S sas nuvas vaabls s laconan adcuadamn con y H, sá posbl halla las dsbucons d los campos a pa d las solucons d las cuacons n las vaabls auxlas. Consdés d nuvo las cuacons d Maxwll B ; B UCB-IT I- LJF-lf

28 D H J ; D qv Una dfncón convnn paa una vaabl auxla s, B (.5) Ya qu la dvgnca d B s gual a. l vco cb l nomb d poncal vcoal magnéco. l susu n la pma cuacón d (.) s n, s dc, (.5) Cualqu vco cuyo oaconal s co s l gadn d una funcón scala, (.53) (.54) l scala cb l nomb d poncal scala lécco. Paa obn una cuacón paa s susuy (.5) y (.54) n la pma d (.) asumndo qu l mdo s lnal smpl. B J J J Hasa l momno sólo s ha spcfcado l oo d, po lo qu aún samos lbs paa scog la dvgnca. Paa smplfca la cuacón ano vamos a hac, sa s la llamada condcón d Lon. n conscunca, (.55) UCB-IT I-3 LJF-lf

29 J J (.56) sa cuacón s smla a la (.37) a xcpcón d las funs qu apacn dl lado dcho. D la sgunda cuacón (.) s n qu, q v La susucón n (.54) poduc q qv Y al susu (.55) s obn fnalmn, v (.57) Una v hallados y los campos y H s hallan dcamn d (.53) y (.54) como sgu, H La solucón d (.56) y (.57) poduc una solucón naual y una solucón foada. La solucón naual s smla a la ya obnda paa (.37), s dc, ondas vaas. Paa halla la solucón foada consdmos n pm luga una fun d con punual ubcada n l ogn d coodnadas. Como lo sablc (.56), l vco n la dccón d la fun; sn mbago, su magnud dbá s hallada solvndo la cuacón, sua a la condcón d fona qu mpon la fun. n odos los punos dl spaco, xcpo n l ogn la cuacón (.56) s duc a la cuacón d popagacón y sula convnn, po aons d smía, scog un ssma d coodnadas sfécas paa solv dcha cuacón. Consdés un ssma d coodnadas sfécas cuyo pola concd con l d coodnadas cangulas. noncs sá posbl ansfoma la cuacón vcoal d popagacón n una cuacón scala como sgu, q v d UCB-IT I-4 LJF-lf

30 (,, ) a(,, )k noncs, a a, (xcpo n l ogn) Dbdo a qu s aa d una fun punual, s d spas qu a nga smía sféca y po ano no dpnd d n d. Con sa condcón, l Laplacano n coodnadas sfécas s duc a: a Las solucons son d la foma a f Paa dmosalo s haá l cambo d vaabls a (.58) (.59) s Las dvadas s calculan como sgu, Po oa pa, paa cualqu sgno, a df s f ( s) f ( s) ds df ds a f ( s) a df ds lo cual al susu n (.58) sasfac la cuacón. n las solucons (.59), la xpsón con l sgno ngavo cospond a una onda qu s ala dl ogn n l sndo posvo d las, n ano qu la oa psna a una onda qu s dsplaa haca l ogn d coodnadas. sas solucons, dnomnadas ondas sfécas, son váldas n odos los punos dl spaco xcpo n l ogn, pus al hacs = l valo d a quda ndmnado. Po oa pa, s df ds f ( s) df ds d f ds d f a ds df ds d f ds UCB-IT I-5 LJF-lf

31 no xsn funs xnas qu adn n la dccón dl ogn dbmos dspca la solucón gsva. Ulando los msmos agumnos s halla qu l poncal scala lécco psna solucons smlas, sndo su fun una caga punual ubcada n l ogn d coodnadas sfécas. Paa nnd l sgnfcado d las solucons s sudaá l compoamno d n dos punos dl spaco, y n dos mpos dfns. S s sgun los msmos pasos qu conduon a la cuacón (.4) s halla qu, (, ) ( ), so sgnfca qu los poncals vcoals sufn un ado d mpo al pasa dl puno al +, y admás psnan una dsmnucón d amplud popoconal a la lacón d las dsancas al ogn d ambos punos. Una conclusón smla s aplca a los poncals scalas. La vlocdad d popagacón s, smlamn al caso d la onda plana,. n sas condcons s acosumba dnoa a y con l nomb d poncals adados paa nfaa l hcho d qu los fcos poducdos po una fun s apcan n oos punos dl spaco al cabo d un co mpo, l cual s conscunca d la vlocdad d popagacón fna d la onda. S s consda una dsbucón d funs sá ncsao suppon los fcos ndvduals d cada una d llas. Pmamn s ncsao calcula la magnud dl vco poncal magnéco n funcón d las cons mpsas. Paa llo vamos a consda un pquño clndo qu od a la fun d con lmnal. La cuacón (.56) s válda paa cualqu funcón connua d mpo y spaco. S s consdan vaacons lnas, las dvadas mpoals s podán dspca fn a los oos émnos: n s caso la cuacón d popagacón s duc a la cuacón d Posson qu n po solucón: I l a 4 dond I s la con cculan y l s la longud d dcho lmno d con. Paa dmosalo s hac uso dl oma d la dvgnca, qu dc qu paa cualqu vco F: UCB-IT I-6 LJF-lf

32 S F ds V dv F dv Como l Laplacano d un scala s la dvgnca dl gadn, noncs la cuacón d popagacón s pud scb como: V a J adv J dv V S ads S scog como volumn d ngacón una sfa d ado, la cual ncluy a un clndo d alo l y áa s J l S usa la sfa paa la ngal dl poncal y l clndo paa la con ya qu J val co fua dl clndo. n conscunca, y como l gadn d a no dpnd d los ángulos, s n a 4 I l La con I s gual al poduco d la dnsdad d con J po l áa d la bas dl clndo y, a su v, l poduco d sa úlma po la alua dl clndo l psna l volumn dl clndo lmnal. Fnalmn, como l gadn s sólo a, l valo d a s halla po ngacón: I l a 4 S ahoa, s consda una dsbucón d funs habá qu ala una ngacón sob un volumn qu connga a dchas funs. UCB-IT I-7 LJF-lf

33 J - Fgua. Coodnadas d la fun y dl puno moo S s l ado vco cospondn a un puno dl spaco, y s l cospondn a una fun cualqua, noncs su conbucón al campo sá: J ( ' ) d(, ) dv' 4 ' Dond v s un dfncal d volumn n l spaco d las funs, y l campo oal s halla supponndo odas las conbucons J ( ' ) (, ) dv' 4 ' (.6) Smlamn, l poncal scala dbdo a las cagas sá: qv ( ' ) (, ) dv' 4 ' (.6) -8 Vaacons snusodals. cuacons complas. Un caso común paa l ngno s consda magnuds qu vaían snusodalmn n l mpo. Más aún, a avés d la S d Fou ó d la Tansfomada d Fou, una funcón cualqua dl mpo pud s psnada po la supposcón d snusods. sas vaabls snusodals pudn s psnadas n émnos d xponncals complas a avés dl Toma d Mov. UCB-IT I-8 LJF-lf

34 Consdés una funcón dl mpo f ( ) F cos. Dcha funcón pud psnas como, f ( ) F cos F. R Dbdo a qu l opado pa al s lnal, y F s un númo al, s pud noduc n l agumno d dcha funcón, dond s ha dfndo un númo complo F como F R F f ( ) R (.6) F F (.63) s númo complo s dnomna un faso. S bn las vaabls físcas son als, la psnacón fasoal s muy convnn poqu smplfca xaodnaamn los cálculos cuando s aa d vaabls snusodals. Fnalmn, paa obn las vaabls vdadas sólo hay qu ala la opacón ndcada n (.6). l cofcn ha sdo ncludo paa abaa con valos fcacs d la vaabl, ya qu ésos son los poados po los qupos d mdcón. D sa mana odas las vaabls d campo pudn s convdas a psnacón fasoal y las cuacons pudn s scas n émnos d las nuvas vaabls paa smplfca los cálculos. Los vcos sán: ( x, y,, ) R ( x, y, ) H( x, y,, ) R H( x, y, ) D( x, y,, ) R D( x, y, ) B( x, y,, ) R B( x, y, ) J( x, y,, ) R J( x, y, ) (.64) (.65) (.66) (.67) (.68) UCB-IT I-9 LJF-lf

35 y smlamn los scalas, ( x, y,, ) R ( x, y, ) (.69) qv( x, y,, ) R qv( x, y, ) ( x, y,, ) R ( x, y, ) (.7) (.7) Las opacons d dvacón mpoal sulan paculamn sncllas n l caso fasoal. Consdés d nuvo la vaabl f() d la cuacón y óms la dvada spco al mpo, g()=d/d f() g( ) R d d d f ( ) R F R d d F d F R G R dond s ha dfndo un nuvo faso G. so qu dc qu, n lo fn a las vaabls fasoals, la opacón d dvacón mpoal s quvaln a una mulplcacón po. n émnos d las nuvas vaabls s pudn scb las cuacons d Maxwll como, B H ; B D J ; D q v F d d (.7) La cuacón d popagacón (.37) s conv n, (.73) (.74) la cual s la conocda cuacón d Hlmhol. l émno apac fcunmn n las cuacons d onda, así qu am qu s l dé un nomb spcal, l númo d onda, k, k Paa l caso dl vacío s n, (.75) UCB-IT I-3 LJF-lf

36 UCB-IT I-3 LJF-lf k (.76) S s aplca la cuacón d Hlmhol al modlo d onda plana nfna, s n qu la cuacón scala (.39) s ansfoma n, (.77) Nós qu ahoa s abaa con dvadas oals. La cuacón (.77) n po solucons xponncals complas, k k y La pma d llas psna la onda pogsva y la sgunda a la onda gsva. D mana qu, n gnal, k k (.78) dond + y - son, spcvamn, los valos qu asumn las onda pogsva y la gsva n l ogn d coodnadas. S - s co, noncs sólo xs la onda pogsva. Una v hallado l campo lécco, s pud halla l campo magnéco a pa d la cuacón (.7), k k k k k d d H k k k k k k k k k k H sas solucons son quvalns a las f y f halladas pvamn paa l caso d la onda plana. Paa llo s alaá la opacón ndcada n (.64), cos R,, R,,, k y x y x k dond + s l ángulo d fas d +. S apca qu la funcón f s l cosno. l susu l valo d k s n, ) ( ) ( k d d H

37 cos cos lo cual concd con la dfncón d f y po ano psna una onda qu s muv n l sndo posvo d las. Todas las conclusons anomn obndas paa l caso gnal d la onda plana son po ano aplcabls a s caso pacula d xcacón snusodal. l émno psna un aso d mpo, lo cual sá d acudo con la conclusón pva d qu la onda mpla un co mpo n movs d un puno a oo dl spaco (y n conscunca s aasa). La dsanca coda po la onda qu poduc un aaso d fas d adans s conoc con l nomb d longud d onda,, d mana qu k ( ) T Fgua. Vaacón mpoal dl campo ( ) Fgua 3. Vaacón spacal dl campo La vlocdad d popagacón pud xpsas n funcón dl númo d onda, c k (.79) UCB-IT I-3 LJF-lf

38 n ano qu paa oos mdos lnals s n qu, Smlamn, las longuds d onda sán spcvamn k y k (.8) La vlocdad dfnda po (.79) o (.8) cospond a la aa d dsplaamno qu ndía qu n un obsvado hpoéco paa obsva una fas consan n la onda. n fco, la fas nsanána d la onda s: S s consan, noncs al dva spco dl mpo s n, d d d d n conscunca vf cb l nomb d vlocdad d fas. n los ssmas d comuncacons s abaa con sñals complas qu no son snusodals, po qu pudn s psnadas po una supposcón d snusods. n sos casos nsa sab cuál s la vlocdad a la cual s muv la nfomacón. sa s una spc d vlocdad fcva dl gupo d ondas qu anspoa la nfomacón. Consdés una onda modulada n M/DSB, cuya psnacón n l mpo s: f ( ) cos cos dond c s la fcunca d la poadoa sn modula, c su amplud pco, y m s la fcunca d la moduladoa. l aplca las dndads gonomécas al poduco d los cosnos s obn, c v (.8) lo cual cospond a la supposcón d dos ondas d fcuncas (c-m) y (c+m) spcvamn. l cabo d una dsanca ambas ondas s habán asado n una candad qu dpnd dl númo d onda k, s cual s funcón d la fcunca. n los casos sudados hasa ahoa k() s una funcón lnal d, po paa mayo gnaldad s asumá aquí una vaacón cualqua. l valo d k a la fcunca d cada una d sas snusods s k d v f c m d f ( ) c cos( c m) c cos( c m) k UCB-IT I-33 LJF-lf

39 pud halla po una xpansón n s alddo d la fcunca d la poadoa ya qu nomalmn m<<c, l susu n (.8) s n f(, ) dk k( wc m) k( c) m oos émnos d odn supo d dk k( wc m) k( c) m d c cos (ω c ω m (k ω m dk dω )) + c cos (ω c + ω m (k + ω m dk dω )) f(, ) c cos (ω c k ω m ( dk dω )) + c cos (ω c k + ω m ( dk dω )) f(, ) c cos (ω c k)cos (ω m ( dk dω )) hoa, s s dsa obsva una fas consan n la poadoa basaía con hac consan; n conscunca, Po oa pa, s s dsa obsva una fas consan n la nvolvn (la sñal moduladoa), noncs l agumno dl cosno db s una consan. l dva guala a co s n la sgun dfncón paa la vlocdad d gupo, v f d d c k c k v d g d dk d (.8) S pud dmosa adconalmn, po mdo d la dfncón dl vco d Poynng qu vg s la vlocdad a la qu s popaga la ngía n l mdo. n l caso d la onda plana nfna ambas vlocdads son guals, po n cas ccunsancas pudn s dfns. Más aún, s posbl n cas ccunsancas qu vf sa mayo qu la vlocdad d la lu n l vacío, lo cual no conadc los pncpos d nsn puso qu la vlocdad d fas s sólo un concpo goméco y no cospond a nnguna magnud físca. Po oa pa, la vlocdad UCB-IT I-34 LJF-lf

40 d gupo s cospond a una magnud físca (la popagacón d la ngía) y po ano sá smp mno ó gual a la vlocdad d la lu. -8. Vco d Poynng complo n la xpsón (.4) s dfnó l vco d Poynng nsanáno como H S l abaa con campos qu vaían snusodalmn n l mpo s posbl modfca sa dfncón a fn d podla adapa a las candads poadas po los nsumnos d mdcón. n l caso d los campos, los nsumnos ndcan l valo. m. s., n ano qu n la ponca la candad ndcada s l valo mdo. l valo mdo d la dnsdad d ponca qu mana d un puno s obn al nga l valo nsanáno a lo lago d un píodo y dvd l sulado po la duacón d dcho píodo, S S S T T Sd Hd T T T T max T T T max H max max cos max H H H cos max max T cos T max d cos d cos cos T cos S H max (.83) S bn sa xpsón poduc l valo coco d la ponca n l nconvnn d no pods xpsa dcamn n émnos dl poduco H. dmás s pd la nfomacón sob la ngía almacnada n los campos (la cual s pomda a co a lo lago dl píodo). Sn mbago, s s dfn un nuvo vco S como l poduco H H max H H cos H H d UCB-IT I-35 LJF-lf

41 (.84) noncs, s soluconan las lmacons anos. n fco, s s oma la pa al d S s obn lo cual s pcsamn S, l valo mdo d S. La candad dfnda po la cuacón (.84) cb l nomb d vco d Poynng complo. D mana smla a la cuacón (.), vamos a calcula la dvgnca dl vco d Poynng complo: n l caso d mdos lnals smpls, H po lo qu al susu n (.84) s n, * * H H H s dc, R y H * * * S H (.86) * (.85) dond y H son spcvamn los valos mdos cuadácos d los módulos d los vcos d campo. noncs, n la cuacón d balanc ngéco s n qu l pm sumando psna la ngía dspada po cclo, po undad d volumn. Paa npa l sgundo sumando s susuyn H y n émnos d los valos máxmos y s obn, H T S H H S R H R H max H 4 max max Im S (.87) Po ano, la pa magnaa d S conn nfomacón sob la dfnca d las ngías magnéca y lécca almacnadas po cclo d la onda n un puno. max H cos H cos H * * * H H H UCB-IT I-36 LJF-lf

42 S s nga la dvgnca d S n un volumn s obndá, d foma análoga a la cuacón (.34), la cuacón d balanc d ngía oal como (.88) dond Ps psna la ponca pomda compla ngada po la fun, Pf s la ponca pomdo qu mana dl campo, Pd s la ponca dspada como calo y W y Wm son las ngías almacnadas n los campos lécco y magnéco po cclo. Cuando s aplca (.84) al caso d la onda plana nfna n l spaco lb s n qu, S H paa l caso d una onda qu s popaga a lo lago dl. n s caso s obsva qu la dccón d S s la msma d la popagacón d la onda, y su magnud s al. so úlmo sgnfca qu las ngías almacnadas n los campos son guals (y po so su dfnca s co) dbdo a qu (la mpdanca nínsca) s un númo al. Cuando s sudan oo po d ondas, l valo d S pud ulas paa dfn una mpdanca dl mdo, la cual pud s compla. k P P P W W s f d * k m k -9. Polaacón d las ondas lcomagnécas. n la xpsón (.78) s consdó un vco unao n la dccón dl campo lécco. Tal vco unao s ppndcula a la dccón d popagacón k n l caso d una TM, po hasa l momno no s ha spcfcado la dccón d dcho vco n l plano ansvsal. n muchas suacons páccas sucd qu l compoamno d las ondas pud s dsno paa onacons dfns dl campo lécco. Tal onacón s dfná como polaacón d la onda y s podán dnfca dos suacons gnals, y vaas dvadas. S dnomnaá polaacón lnal la suacón n la cual l campo lécco mann la msma onacón n l spaco a mdda qu la onda s popaga. Cuando la popagacón ocu n la amósfa s s acosumba dnomna polaacón vcal u hoonal a las suacons n las cuals l campo lécco mann spcvamn dchas onacons. Una sgunda suacón a consda s aqulla cuando la onacón dl vco nnsdad d campo lécco camba a mdda qu la onda s popaga. sa suacón s dnomna UCB-IT I-37 LJF-lf

43 polaacón lípca, y un caso pacula d lla s la polaacón ccula. n ambos casos s dsngu adconalmn n los dos sndos d oacón dl vco. Una onda polaada lípcamn pud consdas como la supposcón d ondas planas polaadas lnalmn. la nvsa, una onda d polaacón lnal s pud halla po la supposcón d ondas polaadas n foma lípca. so halla aplcacons n los flos polaod d foogafía o n los ssmas d lcua d los CD (dscos compacos). Consdés la sgun suacón: dos ondas planas polaadas lnalmn, d la msma fcunca, y movéndos n la msma dccón. mbas ondas dfn n polaacón, amplud y ángulo d fas. l campo oal sá la suma, Po smplcdad s asumá qu las ondas s popagan n la dccón, y qu los vcos y sán spcvamn sob los s y, aunqu las conclusons qu s xagan sán d caác gnal. l campo nsanáno sá, (,,, ) R x y dond y son las ampluds. m. s. d los campos y s la dfnca d fas. l émno, la consan d fas, s smla al númo d onda, k, ya dfndo con anodad, po s mucho más gnal y s dfná con más popdad n la póxma sccón. x, y,, ) cos( ) cos( ) ( x, y,, ) ( Los cosnos dcos d son: x cos (.89) y cos cos cos sn sn (.9) l valo dl módulo s cos cos cos sn sn (.9) UCB-IT I-38 LJF-lf

44 S s gual a co, noncs cos s una consan mulplcada po l popagado; gualmn, los cosnos dcos son consans. n conscunca, la onda sulan n una onacón consan qu dpnd sólo d la lacón d magnuds d las ondas componns, y. n cualqu caso, l ángulo, dl vco unao spco al d coodnadas x dpnd dl cocn d (.9) n (.89), an y x cos( ) (cos an( )sn) cos( ) (.9) x Campo lécco y Fgua 4.Onda 3. Onda con con polaacón plana plana l caso = ya fu sudado anomn y poduc an. Oo caso pacula sncllo ocu cuando =. S, adconalmn s consda la suacón: =/ s n an an. Una solucón obva a sa condcón s. mdda qu anscu l mpo, l valo d s hac cada v más ngavo, s dc qu l vco unao ga n l sndo d las aguas dl lo, al mpo qu l valo máxmo dl campo pmanc consan. S dc noncs qu la onda sá polaada cculamn haca la dcha (RHCP): polaacón ccula dxóga. UCB-IT I-39 LJF-lf

45 S =3/ noncs an an y y la onda sá polaada cculamn haca la quda (LHCP): polaacón ccula lvóga. Cuando y noncs, a mdda qu anscu l mpo (o s consdan dfns punos n l spaco) la amplud máxma dl campo vaía dsd cos hasa cos. La onacón ambén vaía sgún (.96) y la fgua dsca po l xmo dl vco n l plano ansvsal s una lps. S dc noncs qu la onda sá polaada n foma lípca (haca la dcha o la quda, sgún cosponda). x Campo lécco y Fgua 5. Onda con polaacón lípca l mayo d sa lps sá nclnado a 45º (ó 35º), cuando =. La nclnacón sá dfn paa oos valos. Paa halla la cuacón d la lps s scbán las xpsons d mana d lmna la dpndnca mpoal. D las cuacons (.89) y (.9) s n qu las componns d, obndas d la mulplcacón po los cosnos dcos son: x y x y cos cos cos cos sn sn S s dspa l valo dl cosno n la pma cuacón y s susuy n la sgunda, s pud obn una cuacón qu s ndpndn dl mpo: UCB-IT I-4 LJF-lf

46 UCB-IT I-4 LJF-lf sn cos x x y Rodnando los émnos s n, cos sn y x x cos cos sn x y y x x y, fnalmn, cos sn x y y x (.93) qu s la cuacón d una lps. -. Rpsnacón gnéca d ondas planas n los casos anos s ha consdado paa smplfca los cálculos qu las ondas planas vaan a lo lago d uno d los s d coodnadas, como n l caso d la cuacón (.38). S sudaá a connuacón una psnacón paa ondas planas qu van n dccons cualsqua dl spaco. n pm luga s consdaá un vco unao u n la dccón d popagacón d la onda. Tal vco pud a su v s psnado n émnos d los vcos unaos n las dccons d los s coodnados a avés d sus cosnos dcos. Po mplo: k u y x u u u (.94) dond ux=cos x s l cosno dco n la dccón dl x, x s l ángulo n u y dcho, y smlamn paa las componns sans. smsmo s consdaá un vco unao n l plano ansvsal, n la dccón dl campo lécco. n émnos d los cosnos dcos s n qu

47 UCB-IT I-4 LJF-lf k y x (.95) Y, po ano k y x (.96) Con sa scognca d u y la cuacón vcoal (.74) s conv n una scala como (.77), cuyas solucons gnals son smlas a la (.78). Consdés la solucón pogsva d sa onda plana (.97) dond s la dsanca mdda n la dccón dl u, y s la magnud dl campo n l ogn. n l ssma d coodnadas cangula las componns d s hallan mulplcando la magnud po los cosnos dcos d. La dsanca coda s la poyccón dl ado vco dl puno,, n la dccón dl vco unao u. S nn noncs y x y x u yu xu u u u y x k k u l númo d onda podía noncs s xpsado como s fus un vco d componns (x, y, ), las cuals son obndas d mulplca po los cosnos dcos n la dccón u. sí qu, fnalmn, y y x x u u u ; ; k y x y x y y x x y x y x y x dconalmn s n qu y x. Cualqu opacón d dvacón mplcaá l cálculo d la dvada dl émno xponncal. Vamos a calcula l gadn: ( β.u ) = ( β(x u x+y u y + u ) ) = x ( β(x u x+y u y + u ) ) + y ( β(x u x+y u y + u ) ) + ( β(x u x+y u y + u ) )k = ( βu x )( β(x u x+y u y + u ) ) + ( βu y )( β(x u x+y u y + u ) ) + ( βu )( β(x u x+y u y + u ) )k

48 =( βu x ) ( β(x u x+y u y + u ) ) + ( βu y ) ( β(x u x+y u y + u ) ) + ( βu )k ( β(x u x+y u y + u ) ) ={( βu x ) + ( βu y ) + ( βu )k }( β(x u x+y u y + u ) ) β.u = ( βu ) (.β ) = (.β ) ( β ) Po ano, oma l gadn d la xponncal s duc a una mulplcacón po ( β) -. Radonlacs. La ngnía d lcomuncacons ula ondas lcomagnécas paa anspoa nfomacón d un puno a oo dl spaco. S dnomna Radonlac a la sucua consuda po un mnal qu m ondas lcomagnécas qu anspoan nfomacón (l ansmso ), oo mnal ncagado d cog dchas ondas paa cupa la nfomacón (l cpo ), y l mdo d ansmsón qu s haya n dchos mnals. n la mayoía d las suacons s posbl consda a sas ondas como sfécas TM ncluso, s s dspca la cuvaua dl fn d ondas s ls pud consda como localmn planas. Sn mbago, cuando l mdo d popagacón no s homogéno como s l caso d la amósfa s, dond admás sá psn la supfc d la msma, las solucons suln s mucho más complcadas qu la smpl onda sféca n l spaco lb. Dsd l puno d vsa mamáco l poblma s duc a solucona una cuacón dfncal (la cuacón d ondas) con condcons d fona, lo cual pud aoa un conuno d solucons (gnfuncons), cada una caacada po un númo (gnvalu); l conuno d los punos dl spaco qu pncn a una d sas solucons s lo qu s dnomna ayo (n la ópca goméca). Tals ayos no son ncsaamn cos y un msmo puno dl spaco pud s aavsado po dfns ayos dbdo al pncpo d supposcón. S s ula un nfoqu d ondas planas (ó localmn planas) s posbl consda dvsas suacons qu s pudn psna cuando sos ayos s dsplaan n la amósfa s. fcuncas muy alas los ayos qu s ansmn n l adonlac s hallan muy unos n sí y psnan un compoamno smla al d las ondas d lu. La mayo pa d la ngía s halla confnada a la baa amósfa y s popagan n una aycoa cas clína. sa suacón s l UCB-IT I-43 LJF-lf

49 dnomna Onda spacal y l fco d la Ta s duc a flxons n l no o a dfaccón alddo d obsáculos. fcuncas muy baas (po dbao d MH), fco dl no s mucho mayo. La conducvdad fna dl no povoca la cculacón d cons nducdas qu nacconan con la onda qu vaa n l a. Dbdo a qu la sñal qu vaa po dno d la a conducoa vaa a una vlocdad nfo a la qu vaa po l a, l fn d onda s nclna y s poduc un fco d onda guada. sa condcón s l conoc como Onda Supfcal. Una ca suacón ocu n l nvalo a 3 MH dond la sñal pud vaa hasa la ala amósfa (la onósfa) dond s dfacada y onada a la a. D acudo a la alua a la cual ocua s fnómno s posbl alcana gands dsancas qu d oa mana sía mposbl d alcana dbdo al fco d somba qu poduc la cuvaua d la a. s mcansmo d popagacón s l dnomna Onda Ionosféca y d hcho a l únco dsponbl paa los nlacs nnaconals ans dl advnmno d los saéls afcals d comuncacons. -.Popagacón n mdo no homogénos. Paa vfca la dccón d popagacón s sudaá l compoamno dl émno d dvgnca, S s consda la popagacón n un mdo lb d cagas s n qu D. hoa bn, D S l mdo s homogéno soópco, l pm émno s co y n conscunca ambén db slo l sgundo. Paa una onda d la foma (.97) la dvgnca val, k k k u k u ku k u ku n conscunca, la dccón d popagacón u s ppndcula al vco nnsdad d campo lécco. so pac un sulado obvo paa l caso d una onda TM qu s popaga n l UCB-IT I-44 LJF-lf

50 spaco lb. Sn mbago, cuando l mdo no s homogéno noncs, po lo qu ya no s váldo asum la condcón d ppndculadad. La cuacón quda, k u u k k û k po lo qu la poyccón d sob la dccón d popagacón s popoconal a la poyccón dl msmo vco sob l vco unao n la dccón d máxma vaacón d. Ppndcula al fn d onda u, dccón d popagacón gad Fgua 6. Popagacón n un mdo nhomogno n funcón d los ángulos mosados n l dbuo s nn noncs qu: sn cos k Po lo qu s fácl v qu l ángulo d dsvacón s obn d: sn cos k UCB-IT I-45 LJF-lf

51 n l caso d la opósfa s vaía más ápdamn n la dccón vcal y va dsmnuyndo con la alua, po lo qu s vcal y haca abao. Po ano, una onda qu vaa n la amósfa s no dscb una ca sno una lína qu s cuva haca abao. sa dsvacón dpnd dl ángulo d lvacón dl ayo. Un ayo lanado vcalmn haca aba no suf dsvacón po cuáno val 9 y n conscunca val. Po l conao, un ayo hoonal suf la mayo dsvacón ya qu l cosno val. dconalmn, como k s popoconal a la fcunca, s fácl v qu los ayos d lu sufn mnos dsvacón qu las sñals d mcoondas. Una onda qu vaa n un mdo no homogéno s cuva n dccón d los punos d mayo pmvdad (o d mayo índc d faccón). n l caso d la onósfa, la suacón s pacda ya qu s aa d un mdo onado. Dbdo a los fcos conapusos d la onacón (poducda po la lu ulavola dl sol) y la combnacón d las paículas lbs, apacn dsbucons vcals d dnsdad ónca qu s conocn con l nomb d capas onosfécas. Paa modla la popagacón d las ondas n sos mdos onados s ncsao susu y d la amósfa nua po nuvos valos fc y fc, los cuals son complos y dpndns d la fcunca. l sulado no s qu l fn d la onda s muv más ápdamn n las onas dond la dnsdad d ons s mayo. Po ano la onda s cuva n la dccón n qu dsmnuy la dnsdad ónca. Dpndndo dl ángulo d ncdnca y d la fcunca d la onda, la msma pud xpmna una cuvaua al qu dvulva al ayo haca la a (llamada ónamn flxón onosféca ), ó pud cuvas haca aba y scapa haca l spaco. alua Capa onosféca Haca l spaco Sñal dvula haca la Ta Dns. ónca Fgua 7. Popagacón n la onósfa UCB-IT I-46 LJF-lf

52 Dbdo a qu l mcansmo d fomacón d las capas onosfécas dpnd d la acvdad sola, la alua d las msmas, así como su dnsdad, camba consanmn a lo lago dl día po lo qu l alcanc d la flxón camba n conscunca. D gual mana, la máxma fcunca a la qu s pud loga una flxón camba con la hoa dl día, las sacons dl año y l cclo d acvdad d las manchas solas. sa fcunca s conoc como MUF (máxma fcunca ulabl) y xsn ogansmos nnaconals qu publcan caas d MUF paa l adcuado dsño d adonlacs onosfécos. -. Popagacón n mdos con péddas y n mdos lnals gnals Hasa l momno s ha consdado xclusvamn la popagacón d ondas planas n mdos sn péddas. La solucón d las cuacons d Maxwll poducía ondas pogsvas y gsvas, qu n l caso d la onda plana nfna no psnaba vaacons n su amplud. m. s. a mdda qu s popagaba. n l caso d las ondas sfécas xs una vaacón d la amplud po la msma s conscunca d la cuvaua fna dl fn d ondas y no s dbda a péddas. Sn mbago, los mdos als psnan péddas dbdas a la conducvdad fna qu posn y po ano nsa conoc los cambos qu xpmna la onda cuando vaa a avés d dchos mdos. Consdés d nuvo las cuacons d Maxwll paa ondas snusodals n l caso d mdos d conducvdad fna, H connuacón s dfná una pmvdad fcva f como sgu, (.98) f (.99) Dond, la pa al, s smplmn, y la pa magnaa s /. l susu n la xpsón d H s n, H Fnalmn, al susu n la xpsón d la cuacón d onda s n, f UCB-IT I-47 LJF-lf

53 dond ahoa, (.) f (.) Po ano, y las solucons a la cuacón son d la foma (.) y (.3) Paa ondas planas qu s dsplaan a lo lago dl. l xpand s obn, paa la solucón pogsva, (.4) s dc, qu n l sndo d popagacón la onda no sólo s aasa sno qu ambén su amplud dsmnuy xponncalmn. La candad cb l nomb d consan d popagacón. Su pa al,, s la consan d anuacón y s la consan d fas. La longud d onda sá ahoa, (.5) Idéncas conclusons s obnn paa la onda gsva, s dc, la onda s anúa y s aasa n la dccón d -. n l caso d ondas snusodals n mdos lnals gnals las xpsons (.6) s pudn scb como, D( x, y,, ) Po lo qu los fasos s pudn psna po ( x, y,, ) UCB-IT I-48 LJF-lf

54 Y, smlamn, D( x, y, ) ( x, y, ) B( x, y, ) H( x, y, ) Y po ano, la consan d popagacón s obndá como, La magnud dl oo d s, Po lo qu, H H d d H Z w Z La mpdanca d onda, Zw, no s gual a la mpdanca nínsca y val, w (.6) (.7) (.8) (.9) Consdés d nuvo la cuacón (.), D dond, Z w (.) ; (.) Un mplo d compoamno d sas candads s musa n la sgun gáfca: (.) UCB-IT I-49 LJF-lf

55 4 ( ) ( ) ( ) Fgua 8 Vaacón d las consans d anuacón y d fas con la fcunca Paa saca conclusons acca d sas fómulas s consdaán dos casos paculas: un mdo d baas péddas y un mdo conduco. n l pm caso s n qu. La susucón poduc 8 Po oa pa, n l caso d conducos, po ano, y po ano, la onda s anúa a la msma aa qu s aasa. (.3) (.4) UCB-IT I-5 LJF-lf

56 Dlécco Conduco La mpdanca d onda n s caso s Fgua 9. Compoamno d la onda n un mdo con péddas Z w (.5) La mpdanca d onda s compla y n un ángulo d /4 adans. Un concpo muy mpoan asocado a sa popagacón n conducos s l d dsanca plcula ó pofunddad d pnacón,, dfndo como aqulla dsanca n la cual la amplud d los campos s ha ducdo a / dl valo n la supfc dl conduco: Como la dnsdad d con s dcamn popoconal a la magnud dl campo magnéco, s pud conclu qu n s caso la con cculan s halla concnada sncalmn n las ccanías d la supfc dl conduco, n una candad dfnda po la pofunddad d pnacón. Paa sma s fco, y su vaacón con la fcunca, n la sgun abla s musan las pofunddads d pnacón paa vaos mals y a vaas fcuncas. UCB-IT I-5 LJF-lf

57 Pofunddad d pnacón paa vaas mals (n cm) Cu=5,8 x 7 Smms/m ; g= 6,7 x 7 Smmns/m 6 H kh 4 H 8 H H Cu,853,9,669 6,69 x -4 6,69 x -5 g,8,6,647 6,47 x -4 6,47 x -5 D la abla ano pud obsvas qu la pnacón d la onda n l mal s dspcabl, sob odo a fcuncas lvadas, y n conscunca la con d conduccón nducda po los campos s sncalmn supfcal. sa dduccón s ho asumndo una onda plana ncdn a un conduco d xnsón nfna. n l caso d sucuas als, s ncsao ahc los cálculos paa oma n cuna las dmnsons fnas dl conduco y la gomía dl msmo. Sn mbago, los sulados obndos n sos casos son sncalmn los msmos mosados n la abla. s po sa msma aón qu muchos conducos d ala fcunca pudn s hucos, ya qu no hay páccamn con cculan po las pas más nnas dl conduco. UCB-IT I-5 LJF-lf

58 Capíulo. Rflxón y Rfaccón d Ondas Planas UCV-I-m I-53 LJF-lf

59 Capulo -. Compoamno d las ondas n la nfa n mdos. Rflxón y Rfaccón d Ondas Planas. Hasa s momno s ha sudado l compoamno d las ondas planas vaando n l spaco lb. Insa conoc l compoamno d sas ondas cuando s pasa d un mdo a oo, s dc, cuando s aavsa la nfa n dchos mdos. S consdaán dos casos: ncdnca nomal ncdnca oblcua a la nfa. sí msmo s analaán dos suacons: cuando l sgundo mdo s un conduco pfco, y cuando s un mdo lnal smpl. -. Incdnca d ondas planas sob un plano pfcamn conduco. Como s xplcó anomn un caso sncllo d anala s l cospondn al d una onda plana qu ncd ppndculamn sob un plano pfcamn conduco d xnsón nfna. l campo n l dlécco (l mdo ) conss d la supposcón d dos ondas como s dspnd d la solucón gnal d la cuacón d onda y l obvo d sa sccón s halla una xpsón d los campos omando n cuna la condcón d fona qu mpon l conduco. l gual qu n la mayoía d las suacons sudadas anomn s asumá un d coodnadas cangulas cuyo "" concd con la dccón d popagacón. l ogn d coodnadas s asumá abaamn sob l conduco, s dc qu la nfa saá ubcada sob l plano =. La solucón gnal s, ( ) H ( ) H H k Los campos dno dl mdo, l conduco, son co. n la fona = los campos léccos angncals son guals, po ano, H H H k (.) (.) UCB -II-54 - LJF

60 l campo lécco d la onda gsva n l ogn n la msma magnud y dccón d la onda pogsva, po sndo opuso. l campo magnéco angncal oal n l dlécco no s gual a co poqu s compnsado po la cculacón d una con supfcal n l conduco. D la cuacón (.) s apca qu H H. La onda pogsva fu gnada po una alguna fun nfnamn lana n l spaco, po la onda gsva s gnada n la nfa al sasfac las condcons d fona. l mcansmo qu da ogn a sa onda gsva (qu s la cculacón d la con supfcal) s dnomna flxón y n lo sucsvo s daá l nomb d onda ncdn a la pogsva y onda flada a la gsva, como ndcan los supíndcs d las xpsons (.) y (.). Dcho d oa foma, cuando una onda ncd sob un conduco pfco apac una con supfcal paa sasfac las condcons d fona, y sa con supfcal s la fun d la onda flada. l susu (.) n (.) s n, l póxmo paso conss n anala los sulados obndos. La pma nogan a solv s: Cuál s la dccón n qu s muv la onda psnada po las cuacons (.3)? Paa solv so s ncsao dvolv l cambo d vaabls paa obn los campos nsanános a pa d los fasos, x y,, R x, y, R ( ) sn H ( ) H H cos (.3) sn snsn, so s l poduco d una funcón dl mpo po oa funcón dl spaco y po ano no n la foma dsca n (.4)!!! Un aonamno smla s obn al calcula l campo magnéco. No xs una lacón qu lgu al mpo con l spaco como n las funcons f y f dscas anomn, po lo qu s sulado no psna una onda n movmno. S dc qu la onda dsca po la cuacón (.3) s una onda saconaa. s sulado luc dsconcan a pma vsa: Como s posbl qu la combnacón d dos ondas n movmno poduca una onda qu no s muv? UCB -II-55 - LJF

61 Sn mbago, un análss un poco más pofundo pm solv sa apan conadccón: Toda la ponca qu llva la onda ncdn s flada po l conduco pfco haca la fun y po ano no hay fluo no d ponca. l vco d Poynng complo d la onda (.3) s, l émno s muy fácl d calcula ya qu s un númo al. Fnalmn, s obn sn cos * S H H * * H * k noncs, H k ya qu S k sn cos sn k (.4).5 f( x) x Fgua. Onda saconaa La dnsdad d ponca na ansfda s la pa al d, la cual s co poqu S s S magnao puo. Sn mbago, su pa magnaa qu s la ponca acva no s co, lo cual ndca qu xs un almacnamno local d ngía. D gual foma qu n l caso d un condnsado o una bobna, la ngía qu s almacna n l campo duan un smcclo s dvula n l sgun smcclo. UCB -II-56 - LJF

62 La lacón n l campo lécco y l magnéco n la onda (.3) n dmnsons d mpdanca, po no s gual a la mpdanca nínsca dl mdo. sa mpdanca d onda s, Z w () = () = ( sn(β)) H () H =η ( an(β)) (.5) ( cos(β)) sa mpdanca s acva pua y s admás vaabl con la poscón. S s consda un puno a una dsanca "d" d la nfa s n, = -d Z w (d) = η an(βd) = η an (π d ) (.6) λ s dc qu, dpndndo d la dsanca a la nfa, l conduco pud luc como una bobna, un condnsado o una combnacón d ambos. Paa < d < /4, Zw s nducvo, n ano qu paa /4 < d < / l compoamno s capacvo. Cuando d s pquño s n qu, d d d d anh an 3 lo cual s pud npa como una bobna n s con un condnsado. Cuando = la mpdanca val co, lo cual s pud npa como una condcón d sonanca cuando las pas acvas s canclan n sí. Po oa pa n l nono d / l dsaollo n s d la coangn conduc a un sulado qu s pud npa como un ccuo sonan paallo. Dbdo a la podcdad d la angn los sulados anos s pudn xnd a los punos d n / n,,, paa la sonancas s y d n / 4 n,3,5, paa las sonancas paallo. sa compaacón n aplcacons páccas n fcuncas muy alas paa consu lmnos acvos po mdo d línas d ansmsón ya qu s muy dfícl consu condnsados o bobnas qu funconn cocamn a sas fcuncas Incdnca oblcua d ondas planas sob una supfc pfcamn conducoa n la cuacón (.) s consdó la solucón gnal dl campo n l dlécco, UCB -II-57 - LJF

63 (.7) l pm émno s la onda ncdn. l sgundo s la onda flada cuya fun s la con supfcal nducda n la nfa. Rsula po ano convnn consda a como la supposcón d dos ondas pogsvas, po con consans d popagacón dfns y, cuyas magnuds son guals po dfn n sus cosnos dcos. Tal psnacón n la vnaa d pods xnd fáclmn paa consda los casos d ncdnca oblcua. Paa l caso d ncdnca nomal, la cuacón (.) s ansfoma n, (.8) dond, cos( ) k y cos( ) k S ahoa s consda qu la onda ncd n la nfa con un ángulo cualqua, noncs l campo oal n l dlécco vndá dado po la cuacón (.8) con los valos apopados d y dados po los cosnos dcos. Paa l sudo d la flxón oblcua s consdaán dos casos paculas: a) l campo lécco s paallo a la nfa y b) l campo magnéco s paallo a la nfa. Po smplcdad n los cálculos s asumá un ssma d coodnadas cangula, con la nfa ubcada n l plano =. Con sa scognca dl ssma d coodnadas la condcón d fona s xpsaá como: a) Po aas d un conduco pfco l campo lécco angncal db s co. n conscunca las componns x y y sán co n =. b) La componn angncal d campo magnéco no sá co dbdo a la xsnca d una con supfcal n la nfa. l vco unao u d la onda ncdn sá n l plano (x,) y choca con la nfa con un ángulo spco a la nomal a la nfa, (.9) D gual mana la dccón d la onda flada vn dada po un vco unao u, qu sá nclnado un ángulo spco a la nomal, u sn cos k () UCB -II-58 - LJF

64 La cuacón (.8) s ansfoma n, xsn cos xsn cos u sn cos k (.) u u Infa x Fgua. Gomía paa l sudo d la ncdnca oblcua a) Campo lécco paallo a la nfa Consdés ahoa l pm caso. l campo lécco ncdn n dccón. n odos los punos d la nfa (=) s db cumpl qu l campo lécco angncal db s nulo; n pacula al hac x= s n qu x, ndá ambén dccón. La subsucón poduc, x sn x. so sgnfca qu l campo cos x sn cos, la cual db s co paa cualqu puno d la nfa, s dc, cuando =, d dond s concluy qu, Fnalmn x sn x sn sn sn y sn cos cos x ( x, ) (x, ) = β(x snθ) (- sn(β cos θ )) (x, ) = x(β snθ ) (- sn( β cos θ )) (.) s sulado musa una onda qu s popaga a lo lago dl d las "x" con una consan d fas qu s l poduco d po l sno dl ángulo d ncdnca, y qu s saconaa n "". s convnn xpsa n funcón d sus componns a lo lago d sos s, UCB -II-59 - LJF

65 dond noncs, (.) Rsa ahoa halla l campo magnéco. l campo pud hallas po supposcón y mplaando los sulados. Oa posbldad s oma l oo d (.), d dond, H H k x x x x x sn x x sn x x x x sn cos( x x l pm sumando qu s l poduco d u k sn y cos x xx ( x, ) sn H x x sn cos x k k (.3) po x, n dccón k y s po ano ppndcula a y a la dccón d popagacón. S dfná una mpdanca d onda (n la dccón ) como, Z H sn( ) sn x (.4) l sgundo sumando d (.3) n dccón y sá dsfasada / adans spco al pm sumando. Fnalmn, x xx H( x, ) ( x, ) cos k (.5) n una onda como la dfnda po (.) y (.5) sólo l campo lécco s ppndcula a la dccón d popagacón, pus H psna admás una componn longudnal. S dc qu sa onda psna un modo TRNSVRSO-LÉCTRICO (T) paa dfncala d las UCB -II-6 - LJF

66 ondas planas sudadas anomn, las cuals s dnomnan Tansvsals lcomagnécas (TM). Ulando la dfncón dada n la sccón.8 s n qu la vlocdad d fas d la onda T val, v f x sn sn (.6) La vlocdad d fas dsca po (.6) pac poduc un sulado absudo: la vlocdad d fas s mayo qu la vlocdad d la lu n l mdo!! Sn mbago, so no conadc los posulados d nsn pus la vlocdad d fas s sólo una dfncón goméca; no psna l dsplaamno d nnguna paícula maal n l dl fluo d ngía. Db codas qu la vlocdad d fas fu dfnda como la vlocdad a la qu ndía qu movs un obsvado hpoéco paa apca una fas consan n la onda. La vlocdad d gupo s smplmn la componn d vlocdad d la onda plana n la dccón, y val, v vsn l vco d Poynng, obndo d mulplca (.) po l conugado d (.5), s g (.7) * x x x * x x xx S sn sn cos k (.8) l vco d Poynng n componns ano longudnals como ansvsals. Un análss más dallado d la solucón obnda pm obsva qu la componn longudnal () s al, n ano qu la componn ansvsal s magnaa. Po ano sólo xs fluo no d ngía n la dccón d popagacón. Como la onda s saconaa n la dccón ansvsal k, la componn dl vco d Poynng n sa dccón s magnaa pua (Mas adlan s dmosaá qu s xsn péddas n la nfa sa componn n admás una pa al). v S 4sn sn ZH k UCB -II-6 - LJF

67 v v Infa v g v f x Fgua. Vlocdad d fas y vlocdad d gupo b) Campo magnéco paallo a la nfa. l aamno d s caso s smla al sudado anomn. l campo magnéco n dccón, y la onda ncd n la nfa con un ángulo como n l caso ano. Las condcons d fona s ducn a hac qu la componn angncal dl campo lécco, s dc, x, sa gual a co n =. Las dmás componns d campo pudn s dfns d co. l campo lécco ncdn s, u x l campo lécco flado s, x y l campo oal s la suma d ambos. ( x, ) k x u cos sn k, u u cos sn k, sn x cos sn x cos cos sn k cos sn k Po ano, sn x cos sn x cos cos cos x n cualqu puno d la nfa, =, s campo angncal db s gual a co, po ano, Paa qu s cumpla so paa cualqu valo d "x", s db cumpl qu, al gual qu n l caso (a) ya sudado, y admás, l susu s obn, sn x sn x cos cos, noncs, sn x cos sn x cos cos cos x UCB -II-6 - LJF

68 y fnalmn, S s usan las dfncons anos sn y cos, s obn la cual s la componn longudnal dl campo ya qu la onda s sá dsplaando n la dccón. La componn ansvsal dl campo lécco s, (.9) xx sn cos (.) sa cuacón musa qu la componn ansvsal dl campo lécco n una foma quvaln a la cuacón (.), s dc la onda s popaga a lo lago dl "x" con una consan d fas x, y s saconaa a lo lago dl "". D mana smla al caso (a), las componns longudnals y ansvsals dl campo lécco sán dsfasadas n sí / adans. S s aplca l oo dl campo lécco s n qu, H, po lo qu H x x k k H x x x y, al susu po los valos d x y y y fcua la suma s obn, sn x cos cos cos x x x x x cos cos sn cos xx H cos (.) l cocn d los campos ansvsals, s dc (.) n (.) s una mpdanca, x sn x cos sn cos x cos sn x x x sn x cos sn x cos sn sn xx H cos cos sn Z sn sn H (.) UCB -II-63 - LJF

69 l campo dfndo po las cuacons (.) y (.) sólo n componn ansvsal dl campo magnéco, n ano qu l campo lécco nn adconalmn una componn longudnal. l msmo cb l nomb d modo TRNSVRSO-MGNÉTICO (TM). D mana smla al caso (a), l vco d Poynng n una componn al n la dccón d popagacón, qu s l poduco d las componns ansvsals d los campos. dconalmn n una componn ansvsal qu s magnaa lo cual ndca qu xs un almacnamno local d ngía. S 4cos sn Z Fnalmn, y paa vfca la vald d los sulados obndos s haá = paa compoba s las fómulas s ducn a aqullas d la ncdnca nomal. n l caso d la onda T d la cuacón (.) s n, xx ( x, ) sn x xx xx H( x, ) sn cos k l consda la ncdnca nomal = s n x= sn()= y = cos()=, po ano ( x, ) sn H( x, ) cos k lo cual s pcsamn la cuacón (.3). Rsulados smlas s obnn al susu = n (.) y (.) paa la onda TM. k -.3 Incdnca nomal d una onda plana a un dlécco. n las sccons -. y -. s ha sudado l caso d la ncdnca d ondas planas sob un conduco pfco qu poduc una flxón oal d la ngía. S sudaá a connuacón l caso cuando la onda plana pasa d un dlécco a oo, y s dmosaá qu la ngía s sólo pacalmn flada. S sudaá lugo l caso cuando xsn vaas capas dléccas y l caso d la ncdnca oblcua. UCB -II-64 - LJF

70 UCB -II-65 - LJF Fgua 3. Incdnca nomal a un dlécco n l pm caso s ulaá una gomía smla a la mplada n la sccón -., dond una onda plana ncd sob la nfa dsd l smplano qudo. S ulaá un ssma d coodnadas cangula con l ogn sob la nfa. l campo oal vn dado po la cuacón (.) H H H k (.3) po ahoa la condcón d fona s dfn: La componn angncal dl campo lécco db s connua a avés d la nfa. dmás, como l sgundo mdo s dlécco no hay cons supfcals y las componns angncals dl campo magnéco dbn s connuas. S l sgundo mdo s d xnsón nfna no xsá onda flada n él po lo qu, ' ' H k (.4) n la nfa =, s db cumpl la condcón d fona po lo qu los módulos, ' (.5) ' H H (.6) s s un ssma d dos cuacons con dos ncógnas. l susu (.5) n (.6) s obn, y

71 d dond, (.7) dond s ha dfndo la candad compla como l cocn d los dos fasos y. sa candad cb l nomb d COFICINT D RFLXIÓN. sí msmo s pud dfn un COFICINT D TRNSMISIÓN, T, como, T (.8) Una aplcacón pácca d sos concpos s n nsayos no dsucvos: S s pud md l cofcn d flxón noncs s pud conoc la mpdanca nínsca dl mdo "" a pa d la cuacón (.7), (.9) n aldad s s sólo un sulado cospondn a una suacón dal d mdos d xnsón nfna po s la bas d muchos ssmas d nsayos no dsucvos. n sccons subsguns s gnalaán sos sulados paa aplcalos a suacons mucho más als. S s subsuy la cuacón (.7) n la (.) s pudn obn oas conclusons nsans. n fco, ( ) S sa xpsón s scb n émnos d los cofcns d flxón y d ansmsón s n, sn T s dc, qu l campo oal n l mdo "" s pud npa como la supposcón d dos ondas: una d llas d amplud T qu s popaga nomalmn a avés d ambos mdos, y una onda saconaa d amplud qu xs sólo n l mdo "". UCB -II-66 - LJF

72 Mdo Fgua 4. Onda saconaa y onda ansmda -.4 Incdnca nomal sob mdos dléccos safcados. Un caso fcun d nés pácco ocu cuando una onda ncd sob la nfa d un mdo compuso po pocons d caacíscas léccas dfns. Paa modla s caso s consdaá una suacón snclla dond una onda plana nfna povnn dl smplano qudo ncd ppndculamn sob un mdo d xnsón ansvsal nfna, po d ancho "d", l cual a su v sá un conaco con un c mdo d xnsón nfna haca l smplano dcho. l ogn d coodnadas s lgá n la nfa n los mdos "" y "". Mdo 3 d Fgua 5. Mdos safcados Po xnsón d la suacón psnada n -.3 s n qu las magnuds d los campos léccos n cada mdo son, UCB -II-67 - LJF

73 y los campos magnécos son, ( ) ( ) 3 3 ( ) 3 (.3) (.3) (.3) H ( ) D la connudad d las componns ansvsals dl campo s n, H ( ) 3 3 H3 ( ) 3 (.33) (.34) (.35) d d 3 ( d) ( d) 3 3 H H d H d 3 ( ) d d 3( ) 3 d 3d (.36) (.37) (.38) (.39) D (.37) y (.39) s pud halla un cofcn d flxón n los mdos "" y "3",, como sgu: l cocn d (.37) n (.39) s smplmn la mpdanca nínsca dl mdo "3", ( ) () H() UCB -II-68 - LJF

74 d d d d 3 (.4) d d d d d d 3 dond. Po compaacón con (.9) s pud scb, 3 (.4) d dond s obn nmdaamn, s sulado s pud susu n las cuacons (.36) y (.38) las cuals qudan, d 3 3 (.4) s s un ssma d dos cuacons con dos ncógnas y +. Dvdndo las cuacons n sí s n, d dond, 3 an d 3 an d (.43) 3 an d 3 an d po ano, l cofcn d flxón obsvado n l mdo "" conn no sólo nfomacón d las mpdancas nínscas d los oos dos mdos sno ambén dl goso dl mdo "". s sulado pud s ápdamn gnalado a mdo d múlpls capas. S s hac 3 cos d sn d cos d 3 sn d cos d sn d cos d sn d 3 3 UCB -II-69 - LJF

75 vaa la fcunca d xcacón s posbl sablc un conuno d cuacons smlas a (.39) qu pudn s sulas numécamn n un compuado paa obn las mpdancas nínscas y los gosos d los mdos. n algunas aplcacons páccas s nvían ns d ondas d coa duacón (llamados "chp"), los cuals nn un gan conndo spcal, a avés d la musa y s obsvan los onos n l mpo. sas sñals s musan po mdo d un convdo /D d ala vlocdad y la onda flada s spaa d la ncdn n foma numéca paa dspués pocd al cálculo d los gosos y las mpdancas. sa écnca ambén ha sdo mplada ulando ulasondo n luga d ondas lcomagnécas n aplcacons qu van dsd la dccón d fallas n sucuas d dfcos y pospccón pola hasa l dagnósco dl fo n l vn mano. n l caso d qu s a d una musa sumgda, l c mdo s gual al pm, n cuyo caso la xpsón (.43) s smplfca a, an d an d (.44) -.5 Incdnca nomal sob un mdo pacalmn conduco Los sulados d las sccons anos pudn s ápdamn xnddos al caso d mdos pacalmn conducos ó mdos lnals gnals hacndo uso d los concpos psnados n la sccón (-). Paa llo s subsuyn y po valos fcvos complos f y f, como s psna n (.6) y (.7), los cuals oman n cuna a las cons d conduccón. llo hac qu la consan d popagacón connga ahoa una pa al, y qu la mpdanca d onda Zw dfa d la mpdanca nínsca dl mdo. n l caso d la ncdnca sob un sólo mdo la fómula (.7) s ansfoma n, Z (.45) Z Cuando s aa d mdos safcados la xpsón (.43) s modfca cambando no sólo las mpdancas nínscas po las mpdancas d onda, sno qu admás los émnos d la foma an (d) cambaán a anh (d). UCB -II-7 - LJF

76 -.6 Incdnca oblcua sob un dlécco. Rfaccón D mana smla al caso psnado n (-.) s consdaá una onda qu ncd oblcuamn a la nfa n los mdos. sí msmo s d spas qu xsan dos pos d solucons dpndndo d la onacón dl campo lécco spco a la nfa: una solucón T y una TM. a) Consdés n pm luga l caso d una onda cuyo campo lécco s paallo a la nfa. l campo oal n l dlécco "" s, ( ) n ano qu n l mdo "" l campo sá, xsn cos xsn cos ( ) xsncos ya qu s ha asumdo qu l msmo s d xnsón nfna n la dccón "" y po ano no xs flxón. La condcón d fona mpon qu la componn angncal d los campos léccos sa gual a ambos lados d la nfa, po lo qu, n = s db n, paa cualqu valo d x. n pacula, paa x= s n, y, al susu n la cuacón ano poduc xsn xsn x sn xsn xsn x sn dconalmn, dbdo a qu l mdo s soópco s d spas qu la onda flada mannga la msma polaacón d la onda ncdn, po lo qu ambén la onda ansmda ndá l campo lécco n la dccón "y". noncs, la cuacón ano sá válda ambén paa los módulos d los vcos, xsn xsn x sn la cual s pud scb n émnos dl cofcn d flxón (dl mdo "") como, xsn xsn x sn UCB -II-7 - LJF

77 Paa qu sa xpsón s cumpla paa odos los valos d la vaabls "x", sá ncsao qu, sn sn sn (.46) Po ano, al gual qu n l caso d flxón po un conduco, l ángulo d ncdnca s gual al ángulo d flxón: ==. Sn mbago, la onda qu s ansm al mdo "" s popaga con un ángulo d nclnacón dfn, sn sn (.47) s fnómno n l cual la dccón d una onda camba al pasa d un mdo d popagacón a oo s dnomna RFRCCIÓN, y la onda qu s popaga n l mdo "" s dnomna onda facada. La combnacón d la onda ncdn con la flada n l mdo "" poduc una onda T. Sn mbago la onda ansmda al mdo "" s xclusvamn TM. La vlocdad d fas d la onda TM n cada mdo s l cocn, po ano, sn v v sn la cual s la conocda Ly d Snll d la ópca. S l mdo "" s l vacío, noncs l cocn c/v s l llamado índc facvo dl mdo "". Ulando s msmo (.48) aonamno, s pud npa la cuacón (.46) como v x vx sn sn sn s dc, las vlocdads d fas (n la dccón "x") son guals n las s ondas. Paa halla las magnuds d los campos flado y facado s scbán a connuacón las xpsons d los campos magnécos: H H H H Las componns d sos campos son, xsn cos xsn cos xsn cos H UCB -II-7 - LJF

78 H H H cos sn k cos sn k cos sn k Po la connudad d las componns angncals s n qu, la cual conunamn con, cos cos cos cos cos consuy un ssma d dos cuacons con ncógnas y. La solucón s, T cos cos cos cos cos cos cos (.49) (.5) Las cuacons (.49) y (.5) s ducn a las (.7) y (.8) paa l caso d ncdnca nomal como a d spas. l póxmo paso conss n anala los sulados obndos. n pm luga s analaá la cuacón d Snll (.47). sn sn S s asum qu la pmabldad magnéca s la msma n ambos mdos, noncs la aón d las consans d fas sá gual a la aí cuadada d la aón d las pmvdads, sn sn UCB -II-73 - LJF

79 so qu dc qu s l mdo "" n una pmvdad mayo qu l mdo "" l ayo s acca a la nomal. n caso conao s ala. n s úlmo caso xs un lím al ángulo d ncdnca más allá dl cual no xs ansmsón al mdo "". S dc noncs qu ha ocudo una flxón oal n la nfa. s fco s apovcha n dsnos dsposvos ópcos como n los bnoculas paa mplaa a los spos. Tambén s ula n las fbas ópcas d índc scalonado. s ángulo cíco s, sn c (.5) b) l sgundo caso a suda s l cospondn a un ayo qu ncd oblcuamn sob la nfa y cuyo campo magnéco s paallo a la msma. Sgundo los msmos pasos anos s scbn las xpsons oals a ambos lados d la nfa y s aplca la condcón d connudad d las componns angncals. l campo lécco n l mdo "" s, ( ) n ano qu n l mdo "" l campo sá, xsn cos xsn cos ( ) xsn cos con xpsons smlas paa los campos magnécos. n s caso los campos sán nclnados spco a la nfa, y paa los campos magnécos cos sn k cos sn cos sn k H H H H H H k La cuacón d connudad d los campos léccos n la nfa s, UCB -II-74 - LJF

80 xsn x sn cos cos cos xsn l guala las consans d fas n la dccón "x" s obn d nuvo la condcón (.46), s dc, l ángulo d ncdnca s gual al d flxón, y la aón d los ángulos d ncdnca y faccón s nvsa d la aón d las 's. cos dconalmn s n qu cos l guala los campos magnécos angncals s obn H H H lo cual, al xpsalo n émnos d las mpdancas nínscas poduc, l solv l ssma d cuacons s obn, T cos cos cos cos cos cos cos (.5) (.53) n l mdo "" la combnacón d las ondas ncdn y flada poduc un campo TM, pus l campo magnéco sólo n componn n la dccón, y s po ano ppndcula a la dccón d popagacón. l anala los sulados obndos s obnn déncas conclusons sob la xsnca d un ángulo cíco qu poduc flxón oal. Sn mbago, la cuacón (.5) pm pv un sulado nsan qu no s psna n l caso (a) sudado ans: bao cas condcons d ángulo d ncdnca mpdancas nínscas s posbl loga qu no xsa flxón. n sas condcons s n qu, cos cos l ángulo d ncdnca paa l cual sucd s fco s llama ángulo d Bws. l aplca la ly d Snll al mmbo d la dcha s obn, UCB -II-75 - LJF

81 UCB -II-76 - LJF B B sn sn cos d dond, cos B sc an B B (.54) Nomalmn n l caso d dléccos la pmabldad s muy ccana a la dl spaco lb y las lacons anos s pudn xpsa n émnos d las pmvdads, sc an B B (.55) Po lo ano, cuando la onda ncdn sá polaada d mana qu l campo magnéco sa paallo a la nfa y l ángulo d ncdnca s gual al ángulo d Bws noncs no hay flxón. n caso d qu la onda ncdn sé polaada con un ángulo cualqua, sólo sá flada la componn qu pos l campo lécco paallo a la nfa y s dc po ano qu la nfa s polaan. s po d fco s apca fáclmn n la lu flada dsd una vnana: s s ula un csal polaado (llamado comcalmn Polaod) s pud cancla oalmn l flo dl vdo d la vnana lo cual dmusa qu la lu flada sá polaada n un solo plano. n l puno -.8, dond s aa la flxón dsd mdos pacalmn conducos como l agua d ma, s dmosaá ambén la xsnca d s compoamno dfncal paa las dfns polaacons. n l sgun mplo s musa l compoamno d los cofcns d ansmsón y flxón paa un caso pacula. Nós qu l cofcn d ansmsón pud asum valos supos a, po so no sgnfca qu s sé volando l pncpo d consvacón d la ngía. Smplmn, la mayo amplud dl campo lécco vn acompañada d una dsmnucón n l campo magnéco dbdo a la mpdanca nínsca dl mdo.

82 Cofcn Cofcns d Rflxón y Tansmsón,5 =,5, ,5 - -,5 ángulo d ncdnca (gados) Rflxón T Tansmsón T Rflxón TM Tansmsón TM Fgua 6. Vaacón angula d los cofcns d ansmsón y d flxón -.7 Incdnca oblcua sob un mdo dlécco safcado. Los concpos dl puno ano pudn s xnddos fáclmn al caso d mdos safcados. La Ly d Snll pud s aplcada a cada una d las nfacs paa calcula la nuva aycoa d los ayos, y las cuacons (.49), (.5), (.5) y (.53) pmán halla las magnuds d los campos ansmdos a avés d cada d los mdos. n l caso d mdos cuya pmvdad vaía connua po suavmn, como la amósfa, s ls pud consda como consudos po un gan númo d capas. Dbdo a qu la pmvdad camba muy poco n capa y capa la flxón sá dspcabl y sólo habá faccón. l índc facvo dl a a nvl ma s apoxmadamn,73 n condcons nomals y dcc cas hasa la undad a gands aluas, po lo qu s aonamno s pud ula como una buna apoxmacón paa halla la aycoa d los ayos n la amósfa nomal. La onda sulan sá un ayo TM qu s popaga n una aycoa cuva n la anna ansmsoa y la cpoa. Sn mbago, n condcons UCB -II-77 - LJF

83 anómalas d la amósfa, como n l caso d los ducos, s méodo goméco pd vald pus l campo sulan conn adconalmn modos T y TM. -.8 Incdnca oblcua sob un mdo pacalmn conduco. Cuando s aa d mdos conducos l méodo a sgu s sncalmn l ulado n la sccón -.6, con la salvdad d qu ahoa la lacón dl campo lécco al magnéco n l mdo "" sá dada po la mpdanca d onda y no po la mpdanca nínsca. Dbdo a qu las vlocdads d fas a lo lago d la nfa dbn s guals s cumplá qu l ángulo d ncdnca sá gual al d flxón. n l caso dl ángulo d faccón s cumplá ambén la Ly d Snll po db codas qu s la pa magnaa d la consan d popagacón, " " Las xpsons (.49) y (.5) s modfcan subsuyndo a po la mpdanca d onda Zw, la cual paa bunos conducos vn dada po la xpsón (.4), a b Z w Z Z w w cos cos cos cos cos Z cos Z w w cos cos (.56) (.57) l cofcn d flxón s ahoa complo y psna un compoamno dfn paa ambas polaacons. Sn mbago, n l caso d la cuacón (.57) no s posbl loga la canclacón compla dl numado ya qu Zw s complo. qul ángulo paa l cual s obn un mínmo d flxón s l dnomna psudo-ángulo d Bws. s d hac noa qu Z vaía con la fcunca y n conscunca ambén los cofcns d flxón dados po (.56) y (.57). sa s la usfcacón d poqué las manchas d ac sob agua poducn flos d dfns colos: l cofcn d flxón s dfn paa cada una d las componns spcals d la lu blanca. UCB -II-78 - LJF

84 s mpoan l caso d la popagacón d sñals d ado sob l ma. Dbdo a la gan candads d sals dsulas l agua d ma s un xcln conduco y admás n una ' ccana a 8 vcs la dl a. so poduc una mpdanca d onda xmadamn baa paa cas odas las fcuncas d nés n comuncacons. l susu n las xpsons (.56) y (.57) s halla qu l cofcn d flxón s ccano a paa l caso d polaacón vcal, y - paa la polaacón hoonal. n l pm caso xs adconalmn un psudo-ángulo d Bws lo cual ayuda a duc sas flxons ndsabls. UCB -II-79 - LJF

85 Capíulo 3. Ondas Guadas UCV-I-m -II-8 - LJF

86 3. Ondas guadas. Hasa los momnos s ha sado consdando l caso dal d la popagacón d ondas n mdos d xnsón nfna. Ocasonalmn s han consdado oos mdos, como la amósfa, po d xnsón sufcnmn gand como paa no compom la vald d las hpóss ncals. Sn mbago, xsn una gan candad d suacons páccas n las cuals no s posbl consda a los mdos como d xnsón nfna. sas gomías consuyn sucuas qu guían a las ondas dsd las funs hasa cagas; casos páccos son las línas d ansmsón qu "anspoan" la ngía lécca poducda n las cnals d gnacón hasa los cnos d consumo, los cabls lfóncos qu nconcan a los subscpos dl svco o las fbas ópcas uladas n l anspo masvo d daos, vo y vdo n las ds d comuncacons d ala capacdad. l méodo a sgu conss n suda una sucua d placas paallas, la cual s d xnsón nfna n sólo dos d las dccons dl spaco, paa lugo conv los sulados obndos a oas sucuas po mdo d ansfomacons gomécas apopadas. 3-. Ondas TM guadas. Guía d ondas d placas paallas. Como ya s mnconó, s consdaá l caso d una sucua d placas paallas n las cuals s popaga una onda. Una d las lámnas s halla sob l ogn d coodnadas y ocupa l plano "x". La sgunda lámna s paalla s ésa y s halla ubcada sob l plano y=d. l campo lécco n dccón y la onda s sá popagando n la dccón k. y a d x Fgua 7. Guía d ondas d placas paallas Dbdo a la smía d la sucua s asumá qu l campo lécco s unfom n las placas y sólo pud vaa n la dccón d popagacón. Dbdo a qu las placas son UCB-IT -III-8 - LJF

87 UCB-IT -III-8 - LJF pfcamn conducoas los campos dno d llas son nulos y la componn nomal dl campo lécco sólo pud s compnsada po la psnca d una caga supfcal sob las placas. sas cagas vaabls dan ogn a la cculacón d una con supfcal sob la caa nna d las placas (la caa qu ma al spaco n llas). sa con supfcal compnsa a la componn angncal dl campo magnéco ya qu dno dl conduco l campo val co. Como no xsn cagas n cons sob las caas xnas, ampoco xsán campos fua d la sucua. La solucón gnal d los campos sá, H H H k (.) Po s ha asumdo una xnsón nfna n la dccón d popagacón y po ano no xsá onda flada. noncs, k H H (.) La lacón d las magnuds d los campos sgu sndo la mpdanca nínsca dl mdo. l campo lécco y l magnéco son ppndculas n sí y a la dccón d popagacón, po ano la solucón obnda s una onda Tansvsal lcomagnéca (TM). S s nga l campo lécco a lo lago d un ayco n las lámnas s halla la dfnca d poncal, d dy V d d (3.) Po oa pa, la magnud d la dnsdad d con supfcal s gual a H y s ppndcula al campo magnéco. Paa la lámna qu sá n l ogn, la nomal n dccón, po ano la dnsdad d con n sa lámna val, (3.) n ano qu paa la oa lámna la nomal s -, po ano, k H K

88 K d H k (3.3) s dc, las cons cculan n dccons opusas y nn la msma magnud. S s consda un oo d ancho "a" sob las lámnas, n la dccón ansvsal, la con qu ccula po s oo s I = K a. S ahoa s dvd la dfnca d poncal n sa con s podá dfn una mpdanca paa s oo d guía, Z ca V I d d a d a (3.4) La mpdanca dfnda po (3.4) cb l nomb d mpdanca caacísca d la sucua. La cuacón (3.) dfn una "onda" d vola qu s popaga a lo lago d la sucua a la msma vlocdad dl campo lécco, n ano qu la (3.) dfn la "onda" d con. Las comllas s han ulado paa nfaa qu l émno onda scamn hablando s aplca a los campos y no a las vaabls ccuals. D la msma mana como (3.) y (3.) dfnn al vola ncdn y a la con ncdn, s pudn halla xpsons smlas paa las vaabls fladas. n l puno 3-. s connuaá l sudo d sas vaabls ccuals. Una conclusón mpoan d sos sulados s qu l modo TM sob una sucua como ésa qu d la xsnca d un conduco d ono paa las cons qu cculan po las pads. Las línas d campo lécco nacn n una pad y mun n la pad opusa. Los sulados obndos son ndpndns d la fcunca d abao así qu la dsbucón spacal d los campos s smla a la hallada n l caso sáco. Po oa pa s db noa qu la ngía s anspoada po l campo n l dlécco y no po l conduco. n fco, l poduco * H n l dlécco n la dccón k d popagacón d la onda y n un valo fno; po oa pa, n l conduco l vco d Poynng val co poqu los campos son nulos dno d un conduco pfco. D sa foma la funcón dl conduco no s dcamn l anspo d la ngía lcomagnéca sno su guía dsd la fun hasa la caga dond db consums. D gual mana qu n l caso d los campos xsán volas y cons flados cuya nfnca poducá vaacons a lo lago d la sucua, s dc un paón d ondas UCB-IT -III-83 - LJF

89 saconaas. 3-. Rpsnacón d los campos n componns ansvsals y longudnals. n sccons anos s obuvon solucons a los campos caacadas po la psnca (o ausnca) d una componn n la dccón d popagacón. spcífcamn la solucón T pos una componn dl campo magnéco n la dccón d popagacón; n la solucón TM xs una componn longudnal dl campo lécco, y n l caso TM no hay componns longudnals. Con la fnaldad d xnd los sulados obndos hasa ahoa n modlos d xnsón nfna a oos casos d nés pácco s acosumba spaa los campos n componns ansvsals y longudnals y modfca n foma acod las cuacons d campo. so n po una pa la vnaa d conv las cuacons vcoals n oas scalas quvalns, y po la oa ayuda a compnd mo cos fnómnos d popagacón como la xsnca d fcuncas d co. S l mdo s lnal s pud aplca supposcón y l campo oal n una gón pud consdas como la suma d solucons caacíscas o "modos". Paa qu la solucón sa compla als modos dbn oogonals y po ano lnalmn ndpndns. Dada una ca dccón d fnca n l spaco (po mplo la dccón d popagacón d una onda), l campo oal s pud s pud xpsa como, TM T TM x, y, x, y, x, y, x, y, con una xpsón smla paa l campo magnéco. La pma sumaoa conndá a lo sumo dos émnos (cuando xsa onda flada), po l sgundo y c sumando pudn abaca vaos émnos cada uno d llos dnfcado po un valo caacísco o auovalo. S s scog la dccón d fnca sob l "", noncs l plano "xy" sá ansvsal. S la onda s sá dsplaando a lo lago d la dccón d fnca noncs odas las vaacons a lo lago d s sán d la foma y po ano la dvada spacal / s duc a una mulplcacón po -. so pm a su v spaa l opado spacal componns ansvsals y longudnals. noncs, TM TM ; H TM H TM (3.5) n UCB-IT -III-84 - LJF

90 T T ; H T H T H T k (3.6) TM TM TM k ; H TM H TM (3.7) k (3.8) l susu (3.8) n las cuacons d campo s obndán xpsons smplfcadas. n pacula cada una d las componns d campo conndá un émno d la foma - l cual podá s lmnado duan la dduccón d la dpndnca ansvsal d los msmos Ondas TM sob oas gomías. Tansfomacons confoms. l susu (3.8) n las cuacons d campo paa un modo TM s n, TM TM k H TM TM k H J TM k TM k H (3.9) (3.) (3.) (3.) dond s ha supuso un mdo lnal, soópco y homogéno y dspovso d funs. Sn mbago, n (3.) s ha pvso la cculacón d una con supfcal n los conducos d la guía. l guala po spaado las componns ansvsals y las longudnals, s n d (3.9), k lo cual pm dfn una mpdanca d onda Z TM como, TM H TM (3.3) Z TM (3.4) H TM Z TM k TM (3.5) UCB-IT -III-85 - LJF

91 La componn longudnal d (3.) poduc H TM J (3.6) po ano, y como la dvgnca d H s co, sá ncsao qu xsa una cculacón d con paa sopoa al modo TM. La componn longudnal d (3.9) s, (3.7) po ano s oaconal y pud s xpsada como l gadn d una funcón poncal, TM TM (3.8) l susu n (3.) s n, TM TM k (3.9) la cual s la cuacón d Laplac n dos dmnsons. so qu dc qu la dsbucón ansvsal dl poncal s ndpndn d la fcunca y dpnd sólo d la gomía d las condcons d fona, po ano pud soluconas paa l caso lcosáco. La cuacón d Laplac pud s hallada n foma analíca (n algunos casos sncllos) o n foma numéca n un compuado. Una v hallado s calcula l gadn y s subsuy n (3.8); no s db olvda nclu l émno - n TM y n l campo magnéco. Dbdo a qu n s caso la funcón poncal dpnd sólo d la gomía d la sucua s posbl ula ansfomacons confoms paa obn nuvas solucons a pa d oas conocdas. Po mplo, n la sccón 3-. s halló la solucón a un campo TM n dos lámnas paallas; sa gomía pud ansfomas fáclmn paa halla solucons paa l campo n una sucua coaxal o n un pa d hlos paallos. s méodo ambén s ha usado paa halla una pma apoxmacón n l caso d mco-línas, pus n sas úlmas xsn admás modos n homogénos. lgunas popdads d las ansfomacons confoms son qu los ángulos s mannn n la ansfomacón y qu los cículos s ansfoman n oos cículos (las línas cas pudn consdas como cículos d ado nfno). so pm consda la condcón d bod mpusa po conducos clíndcos como una asfomacón d la sucua d placas paallas consdada anomn. UCB-IT -III-86 - LJF

92 Consdés la ansfomacón logaímca, W = C ln Z + C (3.) dond W = u + v y Z = x + y son númos complos consudos a pa d las coodnadas n los planos ansvsals d las sucuas. l logamo d un númo complo s halla fáclmn ulando la foma pola, Z ln Z ln ln (3.) Po ano, W C ln C (3.) y, s s asumn las consans como númos als, noncs, u C ln C v C (3.3) S ahoa s dscb la sucua d placas paallas n l plano ansfomado (u,v) s ncuna qu n l plano (x,y) so quval a una sucua coaxal. b a Fgua 8. Cabl coaxal n fco, s s consda a la coodnada "u" como la funcón poncal, noncs n l plano (x,y) las quponcals cospondn a línas d ado consan. Consdmos las quponcals = y =V, cospondns al ado xno nno dl coaxal, paa halla las consans d la xpsón, C V ln( b) C c ln( a) C UCB-IT -III-87 - LJF

93 noncs, V V C y C ln( b) ln( a b) ln a b Po ano ln b u V (3.4) ln a b y, al oma l gadn, s n lnb a (3.5), V, dond la dpndnca - ha sdo ncluda mplícamn n V. Paa halla la mpdanca caacísca s ncsao calcula la con, la cual s obn d la cculacón dl campo magnéco. y, H TM dl J ds I H TM k TM Z TM Z TM V ln b a (3.6) dond I s la con na abaada po l conono d ngacón. n l spaco n los conducos ésa sá la con qu ccula po l conduco cnal. S s nga a lo lago d un ayco ccula, noncs dl n la dccón dl vco unao, po ano la ngal d cculacón s duc a, I Z TM V ln y, fnalmn, la mpdanca caacísca sá, d TM b a Z lnb a V Z ca V I TM Z ln b a (3.7) Paa un coaxal con dlécco d a so val, Z ca 6ln b a (3.8) sí msmo, s no xsn péddas Z TM s smplmn la mpdanca nínsca dl mdo,, UCB-IT -III-88 - LJF

94 UCB-IT -III-89 - LJF po lo qu, (3.9) Un aamno smla s pud hac paa l caso d conducos paallos. La ansfomacón cospondn s, (3.3) d dond s obn, Fgua 3.3 S s asum qu los clndos sán a poncals V y V spcvamn, noncs la consan C val, (3.3) dond "d" s la spaacón y "R" l ado d cada conduco. Fnalmn, a b Z ca ln 6 a Z a Z C W ln a x y a x y C v y a x y a x C u an an ln R d V R d R d V C cosh ln Fgua 9 Cabl d hlos paallos R d -V V

95 V u ln d 4cosh R x a y x a y (3.3) dond a d R S s sgun los msmos pocdmnos anos s halla fnalmn qu la mpdanca caacísca val, Z ca Z TM cosh d R (3.33) Los casos psnados hasa ahoa dmusan qu s s dspon d una ansfomacón confom apopada s posbl halla la mpdanca caacísca paa una sucua pando d los sulados d una sucua conocda. Sn mbago, n muchos casos d nés pácco la suacón s usamn la opusa, s dc, s dspon d la sucua po no d la ansfomacón. Cuando la sucua pud consdas como consuda po lados cos qu s nscan paa confoma un polígono, noncs s pud ula la ansfomacón d Schwa paa solv l poblma lcosáco y a pa d llo halla la mpdanca caacísca. l méodo s basa n qu cada sgmno d lína ca s ansfomaá n un cículo y qu los ángulos s manndán n la ansfomacón. Fnalmn s consuy una solucón a pa d sos sulados pacals. Los dalls d sa ansfomacón s hallan n l lbo d Ramo, Whnny y Van Du, po s mpoan noa qu la msma pud s usada no sólo paa halla solucons cadas (analícas) sno qu s psa ambén paa halla solucons numécas po mdo dl compuado. UCB-IT -III-9 - LJF

96 Fgua. Impdanca caacísca d dvsas línas TM 3- poxmacón ccual. Línas d ansmsón. n la sccón 3- s sablcó qu s s ngaban las vaabls d campo s obndían vaabls ccuals como la dfnca d poncal (cuacón 3.) y vnualmn s llgó ncluso a dfn una mpdanca caacísca como l cocn d sas vaabls ccuals. Más aún s llgó a sablc qu n la psnca d campos pogsvos y gsvos ambén xsn las cospondns vaabls ccuals; como los campos gsvos son nomalmn poducdos po la psnca d dsconnudads s acosumba ula los advos "ncdn" y "flada" paa las vaabls d campo pogsvas y gsvas UCB-IT -III-9 - LJF

97 spcvamn. sas vaabls d campo pudn s dcadas fáclmn po los nsumnos d mdcón y las dsconnudads son poducdas po mpdancas concnadas o po mpdancas quvalns poducdas po la combnacón d dvsos ccuos. La funcón d sas sucuas dnomnadas "línas d ansmsón" s la d sv d guía a la ngía lcomagnéca dsd las funs a las cagas cospondns; n los ssmas d ponca s ulan paa l anspo d la ngía poducda n las cnals moléccas o hdoléccas hasa los cnos d consumo. n l caso d comuncacons s ulan línas d ansmsón paa conca los ansmsos a las annas, paa conca los abonados lfóncos a las cnals, paa foma ds d áa local (LNs), c. n odos sos casos l mayo nés dl ngno conss n l compoamno longudnal dl ssma l cual sá psnado n foma más snclla po las vaabls ccuals n luga d las vaabls d campo. n la sccón -.3 s dfnó l cofcn d flxón como l cocn dl campo lécco flado n l ncdn (cuacón.7). S s ngan po spaado cada uno d sos campos n los conducos qu foman la lína d ansmsón s obndán así msmo volas: uno flado y uno ncdn, cuyo cocn podá s dfndo ambén como un cofcn d flxón. n l caso d los campos la flxón a poducda po un cambo n la mpdanca nínsca d los mdos (s concpo fu amplado n.45 n funcón d la mpdanca d onda). Cuando s aa d línas d ansmsón la flxón s poducda po un cambo n la mpdanca caacísca cuando s concan n sí oos d lína, o po mpdancas concnadas colocadas al fnal d una lína. La mpdanca caacísca, así como la vaacón spacal d las vaabls ccuals pud s hallada a pa dl modlo dfncal d la lína d ansmsón. so conduc a sulados quvalns a los ya consgudos a pa d las vaabls d campo. n pm luga s hallaán las cuacons ccuals dl modlo dfncal y s compaaán con las cuacons d campo, paa sablc smluds y dfncas. connuacón s hallaán las solucons paa la nsón y la con y s paculaaá al caso snusodal paa halla la mpdanca caacísca. Fnalmn s sablcá una lacón n la mpdanca caacísca y la capacanca lcosáca qu pmá halla dcha mpdanca n muchos casos n los cuals no s cuna con una ansfomacón confom apopada. UCB-IT -III-9 - LJF

98 Un oo muy pquño d lína d ansmsón d longud s pud psna como un cuadpolo: R L +/ v C G v+v/ Fgua. Modlo dfncal Fgua 3.5 d la lína d ansmsón dond R, L, C y G son spcvamn la ssnca, nducanca, capacanca y conducanca d fugas po undad d longud, y v son los valos nsanános d nsón y con. La caída d nsón n la ama s s, v R L y la vaacón d con dbda a los lmnos n paallo s, v G v C Po ano, v v R L v G v C (3.34) l compaa las cuacons (3.34) con las xpsons d campo s halla una gan smlud. spcífcamn, s s consda a la nsón v como quvaln a la nnsdad d campo, a como quvaln a H, y L, C y G como quvalns spcvamn a, y, noncs la pma d sas cuacons s smla al oo d paa una onda plana (a xcpcón quás dl émno n R). La sgunda cuacón s smla al oo d H con xcpcón dl sgno; so s conscunca d qu l oo no poduc un vco sno un psudo vco. UCB-IT -III-93 - LJF

99 La cuacón (3.34) s pud scb paa l caso snusodal n émnos d fasos V I, como sgu: dv R I L I d di GV C d R L I Z I G CV Y V (3.35) dond Z cb l nomb d mpdanca longudnal po undad d longud, y Y s la admanca ansvsal po undad d longud. Dvando la pma cuacón spco a "" y subsuyndo la sgunda cuacón n s sulado s obn fnalmn, d V d Z Y V d V d V (3.36) dond s ha dfndo una consan, como cuya solucón gnal s d la foma, Z Y. sa s la conocda cuacón dl lgafsa V V V (3.37) dond sólo fala po dmna las consans V + y V -. sa solucón sá psnada po volas vaos d la msma foma qu los campos. La consan s compla, y su pa magnaa psna l dsfasa qu xpmnan los volas al dsplaas a lo lago d la lína d ansmsón, Z Y R LG C (3.38) D mana análoga a la cuacón.5, s dfná la longud d onda como La con s halla susuyndo (3.37) n (3.35), I() = I + () + I () (3.39) Po ano, la lacón dl vola a la con paa cada una d las ondas, qu s la mpdanca caacísca, sá, dv ( ) I( ) Z d Z I( ) Z d d V V V V V V V V Z Z Z UCB-IT -III-94 - LJF

100 Z ca V I V I Z R G L C (3.4) fcuncas muy alas, cuando L >> R y C >> G sa mpdanca nd a Z ca hf L C (3.4) La sgun fgua musa l compoamno d la mpdanca caacísca y d la consan d popagacón con la fcunca, paa l caso d una lína lfónca ípca. 6 5 ( f) ( f) R( Z( f) ) Im( Z( f) ) 3 4 f 3 4 f Fgua. Compoamno fcuncal d la mpdanca caacísca sa mpdanca d ala fcunca ambén pud s hallada solvndo l poblma lcosáco dbdo a la lacón n las vaabls ccuals y las vaabls d campo paa l modo TM. Consdés un oo d lína d ansmsón d longud unaa, po la cual ccula una con consan y mann así msmo una dfnca d poncal sáca n sus conducos (po ano s asum qu no hay ssnca longudnal n fugas a avés dl dlécco). Sa C un camno cualqua n los conducos, y C un camno cado alddo d uno d los conducos. Las vaabls ccuals son, V dl ; I H dl C Sn mbago, paa la onda TM s n qu l campo magnéco s, H k C UCB-IT -III-95 - LJF

101 y ano H como yacn n l plano ansvsal. l poduco nno val, H dl k dl k dl dl po ano, I C H dl C dl (3.4) n l poblma lcosáco s n qu la caga sob l conduco d longud unaa sá, y, al dvd po la dfnca d poncal s obn la capacanca d s oo d lína (d longud unaa), C q q V C dl V C dl y la con, Po ano, la mpdanca caacísca sá, I CV Z ca V I C D gual mana s pud dmosa qu Z ca V I L (3.43) connuacón s musan las mpdancas caacíscas d algunas d oas línas d ansmsón comuns: Lína lípca confocal (a y b s mayos, c dsanca n focos) Placas colnals (D dsanca n placas, w ancho d las placas) Impdanca caacísca b ln a 4D ln w b a c c paa D w UCB-IT -III-96 - LJF

102 Pa blndado s D s (D dámo dl blnda, d dámo d paa D d y s d d D s conducos, s dsanca n conducos) Conduco sob un plano d a 4h (d dámo dl conduco, h alua sob l ln paa h d d plano) Las gomías d sos cabls s psnaon anomn, al fnal d la sccón Ondas T sob una guía d placas paallas (uovalos), (dos méodos: subsucón d la condcón d bod n la xpsón T, méodo d spaacón d vaabls). n la sccón 3-. s sudó una sucua consuda po dos placas paallas n las cuals s dsplaaba una onda cuyo campo lécco saba dgdo n las msmas. spcífcamn las placas saban sob los planos "y=" y "y=d", y l campo nía la dccón dl "y". La solucón a un modo TM. S sudaá a connuacón la suacón qu s psna cuando l campo lécco d la onda qu s dsplaa n la msma sucua sá onado paallamn a los planos conducos. l campo lécco n dccón y s dsplaa a lo lago dl "". Fn d onda plana local d u y u Fgua 3. Gomía paa l sudo d los modos T y TM s vdn qu s s nga l campo lécco a lo lago d un camno n las placas l sulado s co, po ano s caso no pud s sulo po l méodo ulado anomn paa l caso d los modos TM. S mosaán a connuacón dos fomas d aaca l poblma: una conss n compaa sa suacón con la d ncdnca oblcua d una onda TM sob un conduco pfco y xndlo al caso d dos conducos. La oa foma sá solv dcamn las cuacons d campo paa un modo T. l campo oal paa la ncdnca oblcua vn dado po las cuacons (.) y (.3) UCB-IT -III-97 - LJF

103 modfcadas paa sa onacón d los campos, y, y, sn y y H ( y, ) ( y, ) cos k y y y (3.44) (3.45) Paa sasfac la condcón d bod n l plano y=d sá ncsao qu l poduco yd sa un múlplo no d adans. so sablc noncs una condcón sob y y n conscunca sob y l ángulo d ncdnca d las ondas planas consuyns. Sólo son posbls algunos valos d y, y n d n,, (3.46) Smlamn, l ángulo d ncdnca sá dpndn d n po cuano: cos cos y Paa cada uno d sos valos xs una solucón dfn dl campo dada po las xpsons anos, y po ano cbn l nomb d valos caacíscos o auovalos (gnvalus). Las solucons asocadas son noncs las funcons caacíscas (gnfuncons). Como y s l poduco d po l cosno dco n la dccón dl "y", noncs xsá ambén un conuno d valos dscos d ángulos, cada uno cospondn a una solucón. Fnalmn, como la suma d los cuadados d los cosnos dcos db s la undad s n qu, y (3.47) y, como no hay pédda, noncs =k l númo d onda, po ano k y n d (3.48) Dpndndo dl valo d "n" sa dfnca pud n valos posvos o ngavos. Las mplcacons d so s analaán posomn. Po los momnos s analaá l sulado UCB-IT -III-98 - LJF

104 paa l campo magnéco. La cuacón (3.45) musa qu l campo magnéco n una componn ansvsal y una longudnal. Como s mosó n (.8) s la componn ansvsal, conunamn con l campo lécco, la sponsabl d la ansmsón d ponca a lo lago d la sucua. La solucón obnda pud noncs consdas como una onda qu s popaga a lo lago dl "" po qu s saconaa n la dccón "y". La longud d onda n la dccón val onda n la dccón y como. Smlamn s pud dfn una longud d d c n d n Susuyndo sos valos n la cuacón 3.47 s obn la sgun lacón: y c (3.49) n dond s ha dfndo como la longud d onda n spaco lb =/. l méodo mosado poduc l sulado coco paa l caso d la guía d placas paallas. Sn mbago, cuando s sudan sucuas más complas s ncsao dspon d un méodo gnal paa halla las solucons. s méodo conss n duc la cuacón vcoal d Hlmhol a una xpsón scala, paa lugo solv la cuacón dfncal sulan po l méodo d spaacón d vaabls paa halla los auovalos y las funcons caacíscas. La cuacón (3.6) sablc qu, paa un modo T, los campo son, T T (3.5) y qu, k (3.7) l susu n las cuacons d Maxwll s obn, k T T T H H k (3.5) T T T k H H k ; H T H (3.5) T k T H T k (3.5) UCB-IT -III-99 - LJF

105 T T k H H k (3.53) dond s supon al mdo lb d cagas y d cons. Las cons qu cculan po los conducos s omaán n cuna posomn al consda las condcons d fona. La spaacón n componns ansvsals y longudnals poduc los sguns sulados: T T H k (3.54) La cuacón (3.55) pm dfn una mpdanca d onda como, la cual s dénca al sulado pvamn hallado cuando =. (3.55) (3.56) (3.57) (3.58) (3.59) (3.6) T T k ZH H (3.6) (3.56) sablc qu H T s oaconal y po ano pud s hallado como l gadn d una funcón poncal. D hcho, s s susuy (3.55) n (3.57) s obn, y, fnalmn, T T T H H H T T k H H T T T T H H k H T Z H T H T H T H T (3.6) Po oa pa, s s sulado s subsuy n (3.59) s obn, UCB-IT -III- - LJF

106 H T T H la cual s la foma scala d la cuacón d Hlmhol. La candad n paénss s una consan dfnda como, k c = (ω με + γ ) = k + γ (3.63) po lo qu la cuacón quda H T k H c T (3.64) sa s una cuacón dfncal n dvadas pacals d las coodnadas ansvsals. D hcho s una cuacón d popagacón n l plano ansvsal, dond kc psna la consan d popagacón n dcho plano. Como la consan d popagacón n l mdo s k = ω με s convnn dfn una consan ω c d mana qu k c = ω c με. Como s vá más adlan sa nuva consan n l sgnfcado d una fcunca d co. s nsan noa qu s sulado s podía ancpa dcamn d la cuacón vcoal d Hlmhol al hac la spaacón n componns ansvsals y longudnals. n fco, dbdo a qu l Laplacano s la dvgnca dl gadn, l opado s pud xpsa, n émnos d componns ansvsals y longudnals como: k k k s opado s susuy n la cuacón d popagacón paa H y s obn: H k H H H k so da ogn a dos cuacons, una vcoal n la componn ansvsal y la oa scala n la componn longudnal. H H k H k H Sn mbago, aún s ncsao abaa con las cuacons báscas paa pod vncula los campos ansvsals (H y ) con la componn scala (n s caso H). Paa halla las solucons caacíscas y los auovalos s ncsao aplca las condcons d fona. Paa llo s acosumba ula l méodo d spaacón d vaabls xpsando H n un ssma d coodnadas apopado a la sucua qu s sá sudando a fn d qu las condcons d fona adquan una foma snclla. UCB-IT -III- - LJF

107 Paa la guía d placas paallas s convnn ula coodnadas cangulas y scb a H como l poduco d dos funcons, (db codas qu s sulado db a su v mulplcas po paa n la vaacón n las s coodnadas dl spaco). (x,y) H f(x) g(y) noncs, H T k H c T x fg y fg k c fg d dx d dy g f f k c fg f d dx f g d dy g k c l pm sumando s sólo funcón d "x" y l sgundo sólo d "y". S su suma s una consan, cada sumando po spaado db s una consan; po ano la cuacón s spaa como f d dx f (3.65) k x g d dy g (3.66) k y dond k x k y k c (3.67) Las solucons a sas cuacons dfncals son snos y cosnos, f(x) cos (k x x) B sn (k x x) g(y) C cos (k y y) D sn (k y y) dond sa po halla los cofcns y las consans d spaacón. Subsuyndo n (3.58) s n, UCB-IT -III- - LJF

108 H T H T g kc df dx f dg dy y, d (3.6), T k df dg g f c dx dy Como n sa sucua s ndpndn d "x" y n dccón s n qu "f" db s una consan, n conscunca kx db s co. Po ano T k k C snk y D k cosk y y y y y c n la sccón 3.6, al consda l caso d la guía cangula, s ndá qu xs adconalmn una condcón d fona n la dccón x y po ano kx ndá qu s dfn d co. l campo angncal db s co n los conducos, po ano la condcón d fona sá T = n "y=" y n "y=d". y D y d k y d n n,, po ano, T y kc C snk y î lo cual s dénco a los sulados hallados anomn cuando s dnfca a =, kc = ky= y y k=. s mpoan noa qu kc no n un valo únco, sno qu más bn n un conuno d valo dscos qu dpndn dl índc n. s po sa aón qu fcunmn s scb como kc,n (n las guías d ondas xsn dos condcons d fona qu sablcn dos conunos d índcs, po lo qu n s caso s scbá kc,mn) 3-4 Ondas TM guadas. n l puno ano s sudó una suacón cuando l campo lécco a paallo a las placas qu consuyn la guía d ondas y s halló qu la solucón a un conuno d modos T. S sudaá ahoa la suacón complmnaía, cuando l campo magnéco s paallo a las UCB-IT -III-3 - LJF

109 placas, po l campo lécco no s ppndcula a llas. D acudo a lo sudado n -. so cospond a un modo Tansvso-Magnéco (TM). La sucua s la msma ano, con las placas paallas al plano (x,), po ahoa l campo magnéco n dccón. l campo lécco n admás d la componn n dccón, una n la dccón d popagacón k. Las cuacons d pada son la (3.7) y la (3.8) TM TM TM k ; H TM H TM (3.7) k y las cuacons d Maxwll n émnos d sas componns d campo son, TM TM TM k k H k TM TM TM H k TM TM k k TM k H (3.8) (3.68) (3.69) (3.7) (3.7) La spaacón n componns longudnals y ansvsals poduc, TM TM TM H (3.7) k (3.73) H TM TM (3.74) k H (3.75) La mpdanca d onda Z s dfn a pa d la cuacón (3.75), TM TM TM k TM H (3.76) Z (3.77) UCB-IT -III-4 - LJF

110 TM Z H TM k (3.78) D (3.7) s n qu TM s oaconal po lo qu pud s hallada como l gadn d una funcón poncal. sa funcón scala s TM. Subsuyndo (3.78) n (3.73) s llga a, d dond TM TM TM TM TM (3.79) D (3.7) s n qu TM TM (3.8) y al susu n ésa l sulado ano s llga a, TM TM (3.8) qu s la cuacón scala d Hlmhol paa l modo TM. La consan kc s dfn d gual foma qu n (3.67). D aquí n adlan s sgu l msmo pocdmno qu paa los modos T, s dc, s aplca spaacón d vaabls paa conv la cuacón n dvadas pacals n un conuno d cuacons dfncals odnaas y lugo s aplcan las condcons d bod paa halla los auovalos y las funcons caacíscas. Los auovalos son las kc,n y n conscunca las c,n. La consan d popagacón psna una lacón no lnal con la fcunca d abao lo cual s conoc como compoamno dspsvo ya qu las vlocdads d gupo son dfns paa dfns fcuncas. s compoamno dspsvo s obsva ambén n las mpdancas d onda. D hcho, al susu l valo d n las xpsons 3.6 y 3.77 d las mpdancas d los modos T y TM spcvamn s obn (paa péddas pquñas): UCB-IT -III-5 - LJF

111 Z Z gn Hn n c, n c, n c, n (3.8) n sas xpsons s han ndcado xplícamn los subíndcs n (m y n n l caso d guías d onda), paa ndca qu odas sas candads son dfns paa los dsnos modos, aún paa una msma fcunca d abao. 3-5 Inpacón físca d la popagacón mul-modo. l fnal d la sccón 3-3, al anala la cuacón (3.48), s mnconó qu s podían psna vaos pos d compoamno dpndndo dl valo d "n". hoa s analaán sos compoamnos. n pm luga s db coda qu, dbdo a la lnaldad dl mdo, l campo solucón s una supposcón d odas las solucons nconadas. Cada una d sas solucons apoa una conbucón al campo oal qu dpnd d las condcons d fona d la sucua qu s sá consdando. lgunas d sas conbucons pudn ncluso s co dpndndo d la gomía: po mplo, una dsconnudad noducda ppndculamn a las placas conducoas d la guía sudada anomn pud smula la poduccón d modos TM n pfnca a los T. Sn mbago, l campo sulan aún pud s xmadamn complo n las nmdacons d la dsconnudad. Cuál s la conscunca d la popagacón smulána d odos sos modos? n pm luga s calculaán las vlocdads d fas y d gupo a pa d la cuacón (3.48) UCB-IT -III-6 - LJF

112 Fn d onda plana local B d u y u C smsmo, la longud d onda val: La vlocdad d fas s Fgua 4. Vlocdads d fas y d gupo n la guía d ondas v f n d v f c v c (3.83) dond "v" s la vlocdad d popagacón n l mdo, y s ha dfndo una consan c como, c n (3.84) d D la fgua ano s obsva qu l fn d ondas planas s ha dsplaado d la poscón a la B paa la onda TM qu s muv a la vlocdad v. Dcho fn s ha movdo d la poscón a la C paa la onda T (o TM) qu s muv a la vlocdad d fas vf. D la gomía d la fgua s obsva qu l ángulo d nclnacón spco a la nomal a la pad s al qu: v v f sn, po lo qu c cos cos c. so sgnfca qu la onda T (ó TM) s pud obn po la supposcón d dos ondas TM, con la polaacón adcuada, qu vaan boando n las pads d las placas paallas, nclnadas n un ángulo dado po la xpsón ano. S la fcunca d abao s mayo qu la fcunca d co d un modo dado, l ángulo cospondn s al po lo qu s sá n psnca d un UCB-IT -III-7 - LJF

113 modo al. S, po l conao, la fcunca s mno qu la fcunca d co, l cosno s mayo qu uno, lo cual cospond a un ángulo magnao, po lo qu samos n psnca d un modo vanscn, como s dscb más adlan. dconalmn sa psnacón s la bas d la oía dl spco angula qu s dscb n la sccón D gual mana s dfná una consan c como: n conscunca v d c y f n c c La vlocdad d gupo s, c v c g v d d d d (3.85) sas xpsons ndcan qu ano la vlocdad d fas como la vlocdad d gupo son funcons d fcunca. dconalmn s n qu ambas vlocdads dpndn ambén d la consan c dfnda n (3.84), la cual s a su v dpndn d y y n conscunca, d las dmnsons ansvsals d la guía. Po ano, aún paa l msmo valo d fcunca d la sñal, cada uno d los modos s popaga a una vlocdad dfn. S s mayo qu c, noncs los adcals son als. Tambén db noas qu la longud d onda s dfn paa cada modo, aún paa la msma fcunca d xcacón. Como ndca (3.83) la vlocdad d fas s mayo qu la vlocdad d popagacón d la onda TM n l mdo, lo cual no consuy una volacón a las lys d la lavdad como ya fu dscudo anomn. La vlocdad d gupo s mno qu la vlocdad d popagacón d la onda TM. sos sulados ndcan qu s xsn vaos modos popagándos n l mdo, noncs la nfomacón qu s nvía coá l mdo po dfns mcansmos, cada uno d llos con su popa vlocdad d gupo. S dc noncs qu xs popagacón mul-ayco. Cuando sas ondas alcanan l cpo habán mplado mpos dfns paa co l mdo, po lo qu s obsvaá la llgada d la msma nfomacón n dfns nsans. so s c UCB-IT -III-8 - LJF

114 aduc n la cpcón d cos qu n l caso d la lvsón poducn la fomacón mágns "fanasmas". D mana smla, n l caso d guías d ondas o fbas ópcas qu anspoan sñals dgals, als cos pudn ocasona nfnca ín smbólca n pulsos conscuvo, lo cual oblga a dsmnu la vlocdad d ansmsón. Cuando c s mayo, noncs los adcals son magnaos y no xsn n vf n vg. Po ano no hay popagacón d la sñal n sos modos. n fco s s subsuy l valo d n la consan d popagacón s n, =, y s s hac magnao, noncs la consan d popagacón s hac al po lo qu sólo xsá anuacón d la sñal po no popagacón. n sas condcons s dc qu l modo s vanscn. so sgnfca qu cada modo s compoa como una spc d flo pasa-alos cuya fcunca d co s c. Paa una fcunca d abao dada sólo s popagaán aqullos modos cuya fcunca d co sa nfo a lla, Popagacón c c c3 c4 No Popagacón Fgua 5. Fcuncas d co d la guía d ondas n l mplo ano, s la fcunca d abao sá n c3 y c4, noncs s saán popagando smulánamn sólo los s pmos modos. sa gáfca s smplmn dscpva d las condcons d popagacón y no-popagacón. Paa nnd mo l compoamno n l nono d la fcunca d co, s consdaá l caso d una guía con péddas pquñas (po no co). La consan d popagacón paa un modo dado val: k c c c S = s n qu paa fcunca po dbao dl co sá namn al, y po ncma dl co sá magnaa pua y vaando paabólcamn con la fcunca. UCB-IT -III-9 - LJF

115 d spaco lb.5 ( ) ( ) anuacón d guía d onda Fgua 3.9 Como s apca, po dbao dl co la anuacón s gand y, a mdda qu nos alamos d la fcunca d co la anuacón d la guía dcc (a dfnca d lo qu sucd con los cabls). La consan d fas vaía n foma apoxmadamn paabólca n l nono d la fcunca d co, y a alas fcuncas nd asnócamn al valo d spaco lb. s compoamno dspsvo d la guía db s compnsado po mdo d un cualado n los ssmas d comuncacons d ala capacdad, n spcal cuando anspoan sñals d lvsón ya qu la nfomacón d colo vaa n la fas d la sñal. La sgun fgua musa l compoamno dspsvo ano d las mpdancas d onda como d las vlocdads d fas y d gupo. Las vlocdad sán fdas a la vlocdad d popagacón n l mdo y las fcuncas sán fdas a la fcunca d co dl modo cospondn. UCB-IT -III- - LJF

116 3 4 Zh( f) 8 Z( f) f vf( f) vg( f) f Fgua 7 Compoamno fcuncal d la vlocdad d fas y d gupo 3.5. Concpo d modo domnan. Dbdo a lo xpuso n l puno ano, s ncsao s cudadosos n la scognca d la fcunca d abao paa una dmnada sucua d ansmsón, ó vcvsa, dada la fcunca d abao scog apopadamn l ssma d ansmsón. Una fcunca dmasado baa saá po dbao d las fcuncas d co d los modos y no habá popagacón. Po oa pa, una fcunca dmasado ala poducá popagacón mulmodo, cada uno d llos dsplaándos a una vlocdad dfn. Lo dal s scog la fcunca d abao n l nvalo d fcuncas compnddo n las fcuncas d co dl pm y sgundo modo. D sa mana sólo s saá popagando un modo y no habá los poblmas UCB-IT -III- - LJF

117 dscos. S dc noncs qu s modo s l DOMINNT pus saá psn n odas las suacons d popagacón. Sn mbago, db noas qu no smp s abaa con sucuas monomodo. D hcho, s las dmnsons d la guía son lo sufcnmn gands, s posbl qu l gan númo d modos T y/o TM s combnn poducndo una onda qu sa localmn TM (n l cno d la sucua) y sólo s obsvaán las componns n homogénas cca d las pads, las cuals no afcaán a la aplcacón spcífca. Un mplo d llo son los almnados mulmodo ulados n la sgunda gnacón d annas nas como s l caso d Camaagua II: l ssma ula guías d gan dámo (n compaacón a la longud d onda) paa pm la popagacón d un modo cuas TM qu vaa boando n spos d mcoondas, n l ansmso y la anna; los spos sán ubcados n las unons d mana d pm l movmno ano n amu como n lvacón sn camba la gomía dl campo lcomagnéco, como s musa n la sgun fgua. Rflco paabólco spo n óula d lvacón spo n óula amual T x Fgua 8. nna con almnado mulmodo 3.5. Inoduccón a la oía dl spco angula. n l puno ano s mosó qu cada modo T o TM pud xpsas como la supposcón d dos ondas planas qu vaan nclnadas n un ángulo UCB-IT -III- - LJF

118 c n cos cos cos c d spco a la dccón ansvsal. mdda qu aumna la fcunca d la sñal po ncma d la fcunca d co, l agumno dl cosno dsmnuy, po lo qu l ángulo aumna accándos a / n l lím; conscunmn, ano vp como vf ndn a la vlocdad v d popagacón d la onda plana. Po oa pa cuando dsmnuy accándos a c, al agumno dl cosno nd a, l ángulo nd a, la vlocdad d gupo nd a y la vlocdad d fas cc haca l nfno. n la fcunca d co la onda s dn. fcuncas más baas no hay popagacón pus cos > y so cospond a un ángulo magnao. sa psnacón n émnos d ondas planas s xpsaá n foma spcal como dos línas: /c - cos Fgua 9. spco Fgua angula 3. d ondas planas so s pud xnd al caso d múlpls modos como sgu: UCB-IT -III-3 - LJF

119 /c /c /c /c cos Fgua 3. spco angula Fgua d ondas 3. planas d múlpls modos l sgno ngavo s ha usado paa al caso d las componns TM, paa oma n cuna l cambo n la polaacón d las ondas TM componns. La spaacón n las componns ansvsals s nvsa a las dmnsons ansvsals d la guía d placas paallas. sas línas spcals son quvalns a los cofcns d una s d Fou poqu l nvalo d ngacón s fno. n l spaco lb s pud ula la msma psnacón po ahoa la s s mplaada po la ngal (ó ansfomada) poqu l nvalo d ngacón s xnd hasa l nfno. D sa foma l campo n una gón s pud sna como la supposcón d un númo nfno d ondas planas qu llgan dsd odas las dccons dl spaco, odas d la msma fcunca, po qu dfn n amplud y dccón. qullas ondas cuyo cosno dco sa mno d la undad cospondn a ángulos als y po ano psnan ondas popagans. Sn mbago, n la psnacón spcal nn cabda adconalmn ondas cuyo cosno dco s mayo qu la undad; las msmas cospondn a ondas vanscns, las cuals, s bn no s popagan, almacnas ngía y pudn s ncsaas paa sasfac las condcons d bod d una sucua dmnada. Po mplo, una dsconnudad n la guía podía xca algunos d sos modos vanscns, los cuals sólo xsán n l nono d al dsconnudad po no acaaán nfomacón a lo lago d la guía. sí como la oía dl spco angula pm sna l campo n una gón a pa d un númo fno (ó nfno) d ondas planas llgando a la gón dsd odas las dccons dl UCB-IT -III-4 - LJF

120 spaco (als ó magnaas), po cpocdad s ambén posbl ula las ondas componns paa sma l campo adado dsd una gón dl spaco dond s conoca la dsbucón d los campos (léccos ó magnécos). so halla aplcacons n la oía d annas paa la pdccón dl paón d adacón d una anna n la cual s conoca la dsbucón dl campo n la apua. so s dscuá con más pofunddad n la sccón Guía d ondas cangula. n las sccons 3-3 y 3-4 s solvó l caso d la popagacón n dos placas paallas nfnas. S bn al sucua no xs n la pácca svó paa noduc dos concpos: la popagacón TM y posomn su aplcacón n sucuas als como cabls paallos y cabls coaxals. dconalmn s noduon los concpos d popagacón T y TM n dcha sucua. sos úlmos sán dscudos a connuacón n sucuas páccas als como la guía d ondas cangula. n fcuncas d mcoondas no s ulan nomalmn cabls paallos o coaxals dbdo a las alas péddas qu psnan, n spcal s consdan nddos lagos como los ulados n los ansmsos y las annas ubcadas n os alas. n su luga s ulan guías d onda con sccons ansvsals d dfn foma y qu no ulan popagacón TM. Una d las más sncllas d suda s la guía d ondas cangula, poqu las condcons d fona s aplcan d foma naual n l ssma d coodnadas cangula. Consdés n pm luga una sucua como la mosada n la fgua, consuda po cuao pads conducoas ubcadas n los planos x=, x=a, y= y=b. y b a x Fgua 3. Guía d ondas cangula UCB-IT -III-5 - LJF

121 La popagacón ocu a lo lago dl como n la sucua d placa placas paallas d 3-3. Ulando l msmo aonamno qu n 3-3, s va a halla una solucón T ulando la cuacón scala d Hlmhol (3.63). plcando la spaacón d vaabls n coodnadas cangulas s obnn como solucons gnals paa f(x) y g(y), lo sgun: f(x) cos (k x x) B sn (k x x) g(y) C cos (k y y) D sn (k y y) df kx sn dx dg C k y sn dy k x B k cosk x x k y D k cosk y y x y x y dond sa po halla los cofcns y las consans d spaacón. l campo lécco ansvsal había sdo hallado anomn como: T k df dg g f c dx dy n las pads hoonals la condcón d fona s x=, paa y= y y=b lo cual mplca dg/dy=. D aquí s n nmdaamn qu D= y ky=n /b Smlamn, n las pads vcals, y= paa x= y x=a. Po ano df/dx db s co paa ambas suacons y n conscunca B= y kx=m /a. Fnalmn s n qu H x, y f ( x) g( y) C cos k xcos k y x y (3.86) l poduco C = Hmn s l valo máxmo dl campo magnéco longudnal. D (3.6) s obn l campo magnéco ansvsal: H T Hmn k sn y x x y y x y k c k xcosk y k cosk xsnk (3.87) UCB-IT -III-6 - LJF

122 D (3.6) s obn l campo lécco ansvsal como T T Z k H T Z w H Hmn k cos y y x y x x y k c k xsnk y k snk xcosk (3.88) dond, k obnn d : m n c, mn k x k y a b y smlamn a (3.8), las fcuncas d co s k c, mn c, mn dond los subíndcs nm s han ulado paa ndca qu los auovalos dpndn d m y n. Smlamn, mn y mn s obndá d: mn k c, mn k y mn mn n l caso d qu xsan vaos modos popagándos smulánamn, cada uno d llos ndá una vlocdad d fas dfn, al gual qu vlocdads d gupo dsnas, como s pud apca al susu n (3.83) y (3.85). Las ampluds ambén sán dfns y dpndán dl dsposvo con qu s nyc la sñal n la guía d ondas. Paa halla la solucón TM s sguá l msmo pocdmno sólo qu ulando la cuacón (3.8) n luga d la (3.64). La solucón s l campo lécco longudnal l cual s xpsaá gualmn como l poduco d dos funcons n vaabls spaadas. l aplca las condcons d fona s obn la solucón:, mn con los msmo valos anos d kx y ky. Las componns ansvsals son: H k, mn c, mn k k x, mn c, mn cos k sn c, mn k xsnk y x k xsnk y k snk xcosk y y x sn y k xcosk y k cosk xsnk y x y Nós qu n s caso no s admn modos d la foma (,n) o (m,) qu haían nula la componn longudnal. n la sgun abla s musan las fcuncas d co paa vaas guías d ondas cangula páccas. y y x x x y y UCB-IT -III-7 - LJF

123 Fcuncas d co d guías d onda cangulas (n GH) a(n) b(n) fc fc fc fc,,5,8,5643,5643,688 8, 9,,388,6567,6567,7336 5, 7,5,3937,7874,7874,8834 9,75 4,875,6569,39,39, ,5 3,5,9854,878,878,356 4,3,5,37337,74675, ,796,84,34,794 4,588 4,47 4,8733,87,87 3,5465 6,393 6,7738 7,477,59,795 3,746 7,483 7,483 8,35,37,6 4,343 8,686 9,49439,445,,497 5,6338,5676,883,99587,9,4 6,5668 3,336 4, ,566,75,37 7,874 5,7483 5,9684 7,79743,6,3 9, , ,98878,3,4,7 4,674 8,48 34, ,4765,8,4,9 4,83 4,83 47,66,4, 6, ,7778 5, ,9545 Dl análss d sa abla s concluy qu l modo domnan paa la guía d ondas cangula s l T. dconalmn, las fcuncas d co paa combnacons nm dsnas d co, son guals paa l caso T y l TM. n la sgun lámna s musa la foma d los campos ansvsals paa algunos modos T y TM d la guía cangula. Fgua 3. Campos ansvsals d dvsos modos n guía cangula Fgua 3.4 UCB-IT -III-8 - LJF

124 3.7 Guía d ondas clíndca. Connuando con l msmo aonamno d la sccón 3-6, s sudaá ahoa oa sucua snclla d gan nés pácco: la guía d ondas clíndca. a Fgua 33 Guía Fgua d ondas 3.5 clíndca Como smp, nsa halla los auovalos (qu dfnn las fcuncas d co d los modos) así como las dsbucons d los campos cospondns a dchos modos. Po aons d smía al aplca las condcons d bod, s convnn usa n s caso coodnadas clíndcas,,, po lo qu: Dond: R,, k (3.89) R s un vco unao n la dccón d s un vco unao n la dccón d k s un vco unao n la dccón d. Las dvadas ansvsals son po ano: Gadn: Dvgnca: Roo: R a a a a a k Laplacano: UCB-IT -III-9 - LJF

125 UCB-IT -III- - LJF 3.7. Modos TM n guías d ondas clíndcas. n pm émno s consdaán los modos TM paa la guía ccula. n s caso s n c k y la condcón d bod sá = cuando =a. l susu la xpsón dl Laplacano s obn: c k (3.9) S obsva d nuvo qu no hay dvadas cuadas y po ano s pud aplca l méodo d spaacón d vaabls. S asum noncs =f()g(): fg k fg fg fg c fg k g f f g f g c Dvdndo po fg y mplaando las dvadas pacals po oals s obn: c k g d d g f d d f f d d f (3.9) Mulplcado po y spaando los émnos n y n s obn: g d d g k f d d f f d d f c (3.9) Como so db cumpls paa odo f y g, noncs pud conclus qu las xpsons anos son guals a una consan y scb: f k d df d f d c (3.93) g g d d (3.94) sa úlma xpsón da ogn a solucons snusodals

126 g cos sn (3.95) Como l campo db s pódco con l ángulo, noncs sólo pud asum valos nos: =n. l susu sa condcón n la cuacón 3.93 s halla qu la msma s la cuacón dfncal d Bssl, la cual n como solucons gnals Jn(kc) y Yn(kc), las funcons d Bssl d pma y sgunda clas spcvamn, odn n y agumno kc. Sn mbago, n l poblma físco n consdacón sólo s acpabl la pma solucón pus noncs, la solucón paa s pud xpsa como cosn snn J k, l póxmo paso s aplca la condcón d bod = paa =a. so sgnfca qu J n k a J p c d odn n. Po ano l auovalo s obn como n nm n c Y n. (3.96), dond pnm s la m-ésma aí d la funcón d Bssl k c, nm p a nm, l cual pud susus n las xpsons gnals d, c y Z, las cuals vndán afcadas d los cospondns subíndcs nm k p a nm (3.97) c, nm kc, nm a p nm (3.98) Z k nm Z (3.99) Las sans componns dl campo s hallan a pa d la aplcacón d las fómulas gnals paa los modos TM a la solucón hallada paa. Raícs d la funcón d Bssl d odn n n pn pn pn3,45 5,5 8,654 3,83 7,6,74 5,35 8,47,6 UCB-IT -III- - LJF

127 3.7. Modos T n guías d ondas clíndcas. l pocdmno paa halla H s muy smla al ulado paa halla n los modos TM. llo conduc sncalmn a las msmas solucons gnals, po paa halla las solucons H paculas la condcón d bod a aplca s: La solucón gnal s: H a B cosn B snn J k, L aplcacón d la condcón d bod conduc a: dnomnaán p nm y los auovalos son k c, nm p a J n kc nm a n c Máxmos y mínmos d la funcón d Bssl d odn n n p n p n p n3 3,83 7,6,74,84 5,33 8,536 3,54 6,74 9,97 cuyas aícs s (3.) Los émnos B cos n y B sn n s pudn xpsa como: B / / B B cos y B B sn B po lo qu l paénss d la xpsón d H s duc a B B / cos n so qu dc qu la foma paa dl campo ansvsal paa un modo nm dado sá pfcamn dfnda; sólo la onacón d los campos vn dmnada po la xcacón. La sgun abla sum las fcuncas d co d los modos T y TM. Como pud obsvas, l modo domnan s l T, l cual n la fcunca d co más baa. UCB-IT -III- - LJF

128 UCB-IT -III-3 - LJF Fcuncas d co d la guía d ondas clíndca* Modo Raí d kca fc T J,84,84 f TM J,45,45 f T J 3,54 3,54 f T,TM J,J 3,83 3,83 f T3 J 3 4, 4, f TM J 5,35 5,35 f T4 J 4 5,3 5,3 f T J 5,33 5,33 f TM J 5,5 5,5 f TM3 J3 6,379 6,379 f *noa: l valo f val c/a. Las cuacons d campo paa los modos TM son c n k J n cos,, c c n k n k J n H cos,, c n c k J n k H cos,, Z H Z H Z ; ; smsmo, las cuacons d campo paa los modos T son: c n k J n B B H cos,, c n c k J n B B k n cos,, c n c k J n B B k cos,, Z H Z H H H H ; ; La sgun lámna musa la foma d los campos ansvsals paa algunos modos T y TM d la guía d ondas clíndca.

129 Fgua 34 Campos ansvsals n guía d ondas clíndca Fgua Impdanca d nada d Línas d Tansmsón Volas y cons. Paón d ondas saconaas. n la sccón 3- s noduo l concpo d la lína d ansmsón. n pacula s ho una apoxmacón ccual d las vaabls d campo, con énfass n sucuas qu sopoan modos TM como cabls paallos y cabls coaxals, obnndo volas y cons a pa d los campos ansvsals. D gual mana s obuvo una xpsón paa la mpdanca, como l cocn d dchas nsons y cons. n las sccons sguns s sudaon sucuas qu sopoan oos modos como T y TM y s dfnon mpdancas d onda como cocns d los campos léccos y magnécos ansvsals. Ya qu son los campos ansvsals los sponsabls d la ansfnca fcva d la ngía dsd los gnados haca las cagas, s posbl ula la oía d línas d ansmsón ambén paa sas sucuas, a psa d no pod dfn n llas nsons o cons, hacndo las sguns susucons: a) La mpdanca d onda s ulaá como mpdanca caacísca d la lína quvaln. b) La vlocdad d fas s usaá como vlocdad d popagacón quvaln UCB-IT -III-4 - LJF

130 UCB-IT -III-5 - LJF c) n conscunca s usaá n luga d k, paa l cálculo d la longud d onda. d) l vola quvaln sá una magnud fcca popoconal a la magnud dl campo lécco ansvsal ) D gual mana, la con quvaln n la lína d ansmsón sá una candad popoconal a la magnud dl campo magnéco ansvsal. f) l cofcn d flxón sá l cocn d los campos flado ncdn, y cospondá al dfndo paa los volas o cons d la lína d ansmsón. n la cuacón (.7) s dfnó al COFICINT D RFLXIÓN,, como l cocn dl campo lécco flado n l campo ncdn. D la msma mana, paa la lína d ansmsón s dfn al Cofcn d Rflxón,, como l cocn dl Vola Rflado n l Vola Incdn. Igualmn s dfná un Cofcn d Rflxón d Con,, como l cocn d la Con Rflada n la Con Incdn. D mana qu la cuacón (3.37) s conv n: V V V V (3.) dond V + s la nsón n un puno d la lína omado como fnca (=), V + () s la nsón ncdn n un puno gnéco y ()= s l Cofcn d Rflxón n dcho puno. S s dfn =() como l Cofcn d Rflxón n l puno d Rfnca s n: V V V V V V ) ( (3.) D mana smla s pudn dfn las xpsons quvalns paa la con: I I I I (3.3) I I I I I I (3.4) n (3.36) s dfnó la mpdanca caacísca como l cocn d la nsón ncdn n la con ncdn, l cual s gual al cocn d la nsón flada n la con flada. La IMPDNCI D NTRD vsa n un puno d la lína d ansmsón s l cocn d la nsón oal n la con oal, d mana qu:

131 Z V I V I Z (3.5) n sa xpsón s ha psnado la mpdanca caacísca po Z po s l más usado n la pácca. mdda qu s consdan punos a lo lago dl la nsón ncdn va cambando, al gual qu la flada y po ano la nsón oal. Paa suda con más dall sos cambos s consdaá pmo l caso smplfcado d la LÍN SIN PÉRDIDS, dond =. n s caso no hay anuacón d las ondas, sno solamn un cambo d fas. La nsón oal vn dada po (3.96). Una sonda d mdcón colocada n l puno ndcaá una magnud popoconal al vola oal gnoaá la fas. Po lo qu V V V V (3.6) n l caso d la lína sn péddas l módulo d la nsón ncdn s consan y l compoamno d la nsón oal vn dmnado po l Cofcn d Rflxón: V V V (3.7) Sucd qu n la vda al l cofcn d flxón vn dmnado po las cagas concadas al fnal d la lína d ansmsón, po lo cual s s l puno d fnca dóno. Sn mbago, s odas las dsancas s van a md con fnca a la caga s convnn hac un cambo d vaabl qu pm ubca l ogn d coodnadas n la caga, d mana qu ahoa =-l n conscunca, la xpsón d la nsón quda V l V l l l V l (3.8) n sa xpsón s ha dfndo =caga. S ahoa, s gafca la nsón a lo lago d la lína, s obsva un compoamno alnan a mdda qu camba la fas dl cofcn d flxón. s s conoc con l nomb d PTRÓN D ONDS STCIONRIS D TNSIÓN. UCB-IT -III-6 - LJF

132 Vmax Vmn dsanca dsd la caga Fgua 35 Paón d ondas saconaas S s nomala la nsón, dvdéndola po la nsón ncdn quda sólo l émno n dsanca dsd la caga Fgua 36 Dagama d manvla La psnacón mosada a la quda s conoc con l nomb d dagama d manvla. Una psnacón smla pud aas paa la con oal I=I + (+)=I + (-). + Paón d Ondas saconaas d Tnsón - Paón d Ondas saconaas d Con dsanca dsd la caga Fgua 37 Paons d onda saconaa d vola y d con UCB-IT -III-7 - LJF

133 Una magnud muy mpoan paa caaca l compoamno d línas d ansmsón s l RO ó RLCIÓN D ONDS STCIONRIS (SWR, Sandng Wav Rao, n nglés), l cual s dfn como l cocn d la máxma nsón n la mínma dl paón d ondas saconaas. Dl gáfco ano s n: RO Dbdo a qu n la lína sn péddas l módulo dl cofcn d flxón no vaía, l valo d RO s consan. Sn mbago, n línas con péddas s ndá un valo d RO dfn paa cada puno d la lína. La mpdanca d nada, n funcón d las nuvas coodnadas val Z l V I l l V I l l l l n la caga l=, po ano la mpdanca d caga val: Z caga Z V I Z Z Z l l caga caga (3.9) (3.) D sa xpsón s fácl obn l cofcn d flxón a pa d la mpdanca d la caga: caga Z Z caga caga Z Z Z Z Z caga caga Z caga caga (3.) La magnud caga=zcaga/z s conoc con l nomb d mpdanca d caga nomalada y s usa comúnmn n l sudo d línas d ansmsón po cuano s mucho más dscpva dl compoamno d la msma qu la mpdanca absolua. D hcho, s posbl abaa odos los poblmas d línas d ansmsón n émnos d mpdancas (y admancas) nomaladas ya qu l concpo s fáclmn xapolabl al caso d guías d ondas dond no s posbl dfn una mpdanca n émnos d nsons y cons. La mpdanca d nada n cualqu puno d la lína s pud halla susuyndo las xpsons (3.99) y (3.7) n la (3.5) UCB-IT -III-8 - LJF

134 UCB-IT -III-9 - LJF l l l l l caga caga (3.) Po aons d smplcdad, n lo sucsvo s ulaá c paa la mpdanca d caga (nomalada) y c paa l cofcn d flxón n la caga. Mulplcando l numado y l dnomnado po l s obn: l c c l l c c l l l l l l c c (3.3) l l l l c l l l l c l c l c l c l c l (3.4) anh anh l l l c c l l l l c l l l l c (3.5) sa xpsón s gnal. Paa l caso pacula d la lína sn péddas = y po lo ano =. noncs s n qu anh(l)= an(l). noncs, la mpdanca d nada d la lína sn péddas s la famla fómula: l l l c c an an (3.6) Smlamn pud hallas una xpsón paa la admanca, ya sa hacndo una dduccón smla o smplmn omando los nvsos n sa úlma xpsón. l y l y l y c c an an (3.7) Paa nnd mo l sgnfcado d las xpsons anos s sudaán vaos casos paculas d mpdanca d caga 3.8. Caga coplada n s caso Zcaga = Z po lo qu caga = y l cofcn d flxón n cualqu puno a

135 lo lago d la lína s co. Po sa aón la nsón nomalada s consan, gual a..5 Vola Dsanca a la caga Cooccuo Fgua 38 La mpdanca d caga val co, po lo qu caga=-. l cofcn d flxón a lo lago d la lína val ( l). La nsón val sn l.5 Vola Dsanca a la caga Fgua 39 Como s v, los mínmos dl paón d ondas saconaas sán spaados n /. so sucd no sólo n sa condcón pacula sno n odos los punos dl paón pus la nsón nomalada, +, s p cada v qu l agumno d s ncmna n adans, s dc, cuando la longud s al qu l =. / Ccuo bo quí la mpdanca nd a nfno, y l cofcn d flxón n la caga a +. l cofcn d flxón a lo lago d la lína val ( l). La nsón val UCB-IT -III-3 - LJF

136 cos l.5 Vola Dsanca a la caga Fgua 4 D aquí s obsva qu al cabo d l/4 s vulv a poduc la condcón d cooccuo, pus s cípoca d la d ccuo abo. Las línas mnadas n cooccuo o ccuo abo psnan una mpdanca d nada qu s acva pua; d sa foma pudn smulas capacancas nducancas a fcuncas d VHF hasa mcoondas. s po d línas s ls dnomna subs Caga ssva pua Cuando la caga s ssva pua, po dfn d, l paón d ondas saconao mpa n un máxmo s la caga s mayo qu. Smlamn, la nsón n la caga s mínma s la msma s mno qu..5.5 Vola Vola Dsanca a la caga Dsanca a la caga Fgua 4 UCB-IT -III-3 - LJF

137 3.8.6 Impdanca d un mínmo y un máxmo. S s aplca la lacón (3.) a un máxmo s n: max max RO max (3.8) Po oa pa, n un mínmo s n: mn mn mn RO (3.9) l Tansfomado d /4. l caso spcal d una lína d ansmsón d longud /4 s d mucha uldad n ssmas d comuncacons. La mpdanca d nada nomalada d sa lína val: c an an c an c l l c c an (3.) Con una xpsón smla paa la admanca. S ahoa s consdan las mpdancas no nomaladas s n: Z Z Z Z Z (3.) Z Z Z c c c so halla aplcacons n algunos ssmas d acoplamno como s dscu más adlan Inconxón d línas. Las línas d ansmsón pudn s concadas n s, n paallo ó n cascada. n los dos pmos casos, la mpdanca oal sá la combnacón s o paallo d las mpdancas d nada d cada una d las línas ndvduals. La mpdanca obnda sá a su v la caga concada n l xmo d la lína sgun y así sucsvamn. mplo: UCB-IT -III-3 - LJF

138 l=, l=,5 M l=,8 c=,35+,8 Fgua 4 Inconxón d línas n l mplo ano las línas y s combnan n paallo n l puno M. Los valos son, spcvamn, = 3,78 y =,346 +,3. l valo obndo d la combnacón s,458 +,34 y consuy a su v la mpdanca d caga d la lína d,5. Fnalmn l valo d la mpdanca d nada dl ssma sula s d,9,33. Oo mplo d la combnacón d línas s apca n l dplx, l cual s un aglo qu pm la conxón smulána d dos ansmsos a una sola anna. = =/ C=/ B=(-)/ /4 /4 D=(-)/ Fgua 43 Dplx la fcunca f l cooccuo d la lína C, apac n paallo con l gnado. sa mpdanca co s fla como un ccuo abo a la bas d la anna y, n conscunca no modfca la mpdanca d la anna vsa dsd l gnado. D mana smla, a la fcunca f l cooccuo aísla al gnado dl ccuo d anna, po lo qu l UCB-IT -III-33 - LJF

139 gnado v smplmn una caga acoplada coplamno con ansfomado /4. n una xpsón ano s dmosó qu la mpdanca nomalada obsvada a la nada d una lína d longud /4 s l nvso d la mpdanca d caga. S la mpdanca d caga fus ssva pua, noncs a avés d una scognca apopada d la mpdanca caacísca d la lína sía posbl l acoplamno d la caga a una lína d ansmsón dada. Consdés l sgun ssma: Z M Z Z Zc Fgua 44 Tansfomado Fgua 3.6 cuao S dsa calcula y Z n funcón d Zc y Z paa qu l ssma sé acoplado. D la dfncón d acoplamno s concluy qu s la mpdanca ZM n l puno M s gual a Z l ssma saá acoplado. S s scog la dsanca d mana qu la mpdanca Z l a la nada d la lína Z sa ssva pua s cumplá qu: Z M Z an Z 4 Z Z an Z 4 /4 Z Z Z Z D aquí s obn: Z Z Z l S l valo d scogdo s al qu Z l = Zmax=RO Z, noncs: Z ROZ n ano qu s s un mínmo, noncs: Z Z RO l valo d s pud calcula n bas a qu n l máxmo l valo dl ángulo dl cofcn d flxón s º (n l mínmo s 8º). noncs, s s calcula l valo d caga s halla UCB-IT -III-34 - LJF

140 ápdamn l sulado: caga caga caga n conscunca, caga y an x y c paa un máxmo c paa un mínmo 3.8. coplamno con un sub. Consdés l sgun ssma ym y M B M yc Fgua 45 coplamno Fgua 3.7 con sub smpl S dsa halla y B, n funcón d yc=g+b paa qu l ssma sé acoplado. D la dfncón d acoplamno s n qu M ym l sub sá n paallo con la lína qu va a la caga, po ano, y M y y s M Como l sub sólo noduc vaacons n la pa magnaa, l valo d db s al qu la pa al d y M sa gual a, n ano qu la pa magnaa sá compnsada po l sub. y M y s b s UCB-IT -III-35 - LJF

141 y M b S yc an y an g b an g b an c g b an b an g an l guala a + bs s obnn dos cuacons con dos ncógnas: g b g an b g an g an b s b an g an b an b an g b an g an an La pma xpsón s una cuacón d sgundo gado qu n como solucons: an lo cual, vnualmn s duc a b 4 b 4 an b b g b b gb g g g g g g g D sa xpsón pudn hallas los valos, los cuals s pudn susu n la sgunda xpsón paa halla bs., y vnualmn B. n l caso pacula d qu la caga fus ssva pua las xpsons s ducn a an g g y b s g g RO RO sa úlma xpsón s aplcabl ambén a cagas gnals ya qu l RO s ndpndn d la poscón. l sgno dbá scogs d acudo a la solucón d slcconada. mplo: sumndo un admanca d caga yc=,34,7, hall los dos solucons d acoplamno. Solucón. RO= 4,588 an = -,5 =,45 bs=,675 B=,86 Solucón. RO= 4,588 an = -4,386 =,86 bs= -,675 B=,44 UCB-IT -III-36 - LJF

142 3.8. coplamno con dos subs. Consdés l sgun ssma M C y M y c B y c Fgua 46 coplamno con sub dobl S dsa halla B y C, n funcón d yc=g+b paa qu l ssma sé acoplado. D la dfncón d acoplamno s n qu ym db s d la foma - bc, sndo bc la subcpanca dl sub C. s valo s obn d la aslacón d la admanca y B la cual la combnacón d la admanca d caga con l sub B. Vamos a dnomna b a la subcpanca d la combnacón, d mana qu y C =g+ b. D gual mana s dnomnaá a a la an(), po lo qu s podá scb: y y' a g b' a bc g b' C M a y' C a n sa xpsón las ncognas son b y bc y s pudn scb dos cuacons spaando las pas al magnaa spcvamn. g ab b' a ab' ag g gab' agb' a ' ag ab' ag ab' ag b' a ab' ab' ag ag b C La gualacón d las pas als pm obn una cuacón d sgundo gado d dond s obn b y s valo s susuy n la sgunda cuacón paa halla bc. g gab' agb' a ab' ag g gab' agb' a a b' ab' a g g a b' ab ' g a g ag La solucón s: g b' a Con s valo s halla la suscpanca dl sub B : a g b B b' b l anala s sulado s pud obsva qu xsn dos solucons dbdo al dobl sgno UCB-IT -III-37 - LJF

143 dl adcal. Tambén qu s posbl qu no xsa solucón, s l agumno dl adcal s hac ngavo, lo cual dpnd dl valo d g: S g s mno qu la undad smp habá solucón. Sn mbago, cuando g s mayo qu hay una spaacón d los subs más allá d la cual no hay solucón. l valo lím d spaacón s: an g Paa lusa sa aplcacón consdés l sgun poblma: yc=,37 +,8 y los subs sán spaados n,34. l valo d a s: an (,34) =,6. Con s valo s obnn las sguns solucons: bc bb,44 -,5 -,6 -,88 Po oa pa, s la caga vala yc= +,5, solamn s podá obn una solucón s los subs sán spaados n mnos d, coplamno con Rd PI. fcuncas baas s ulan paámos concnados n luga d subs dbdo a qu las longuds d los msmos ndían valos mpáccos. Un ssma d acoplamno muy popula s la dnomnada d PI, qu conss n una bobna n s n la nada y la salda y un pa d condnsados como s ndca n la sgun fgua. x3 yc=g+ b b b Fgua 47 coplado PI UCB-IT -III-38 - LJF

144 La admanca oal dl lado dla caga s y=yc+ b. La mpdanca s l nvso y quda n s con la acanca x3 paa poduc la mpdanca. = g + (b + b ) Vamos a dfn β = b + b y γ = g + β noncs: La admanca y val = g β γ = g + (γ x 3 β) γ y = γ(g (γ x 3 β)) g + (γ x 3 β) sa admanca db s d la foma b paa qu al sumala a la suscpanca d nada s cancl la pa magnaa. D aquí s obn γ g = g + (γ x 3 β) D sa xpsón s obn fnalmn β = ± g g x 3 x 3 Paa qu xsa solucón, l émno bao l adcal db s posvo. so sablc una condcón paa x3: x 3 g n los ccuos páccos la acanca s s mann fa mnas qu los capacos s vaían d mana connua. Sn mbago, paa cumpl con la condcón ano s acosumba vaa sa acanca po pasos ulando una bobna con vaas dvacons y un conmuado. Una v calculada s calculan las subcpancas b y b: b = β b b = (γ x 3 β) g mplo: S yc= y x3 =.5 s n qu l émno subadcal val.885. S nn dos solucons posvas paa. Las subcpancas spcvas son: b b UCB-IT -III-39 - LJF

145 S s scoga x3>.87, l poblma no n solucón como pud s compobado fáclmn. Po oa pa, s alguna d las suscpancas sula ngava, so sgnfca qu dbá susus l capaco spcvo po una bobna qu poduca l valo dsado. 3.9 Ponca ncdn y Ponca Rflada La onda ncdn llva asocada una ca candad d ponca la cual, n l caso d una caga acoplada s dspaía oalmn n lla y su valo sía: P V I * V V Z Smlamn, la onda flada llva asocada una ca candad d ponca, P -, cuyo valo s: * V V Z * V Z P V Z V Z V Z P l émno s dnomna cofcn d flxón d ponca. Paa línas mnadas n cagas cualsqua xsán V + y V -, y la ponca ansfda a la caga sá la dfnca d la ponca ncdn y la flada: _ P P P P n la pácca s pf xpsa la ponca n dbm n luga d Was y po ano las xpsons anos qudan como: P dbm log P mw ; P logp mw dbm P dbm P dbm RT P dbm P dbm RFL quí s han dfndo RT= log (/ ) : Pédda d ono y RFL= - log (- ) : Pédda d flxón. Los émnos RT y RFL no psnan nnguna pédda al n l ssma y sólo laconan las poncas P +, P - y P. 3. Línas con péddas. n la solucón gnal d las cuacons paa la lína d ansmsón con xcacón snusodal s halló: UCB-IT -III-4 - LJF

146 V V I I c c l l Dond = +. S s dbuan las nsons ncdn, flada y oal a lo lago d la lína n sas condcons s n V I c c l l V( l) 4 4 V oal Plano d caga V( l) V( l) 5 5 l Fgua 48 Paón d onda saconaa d la lína con péddas La gáfca d la nsón nomalada, Vnom= + quda como sgu:.5.5 Vnom( l) l Fgua 49 Paón nomalado D sa mana, l paón d ondas saconaas n la foma ndcada n la fgua, con valos máxmo y mínmos cambans a lo lago d la lína. l cofcn d flxón s: V V V V c c Po lo ano, l valo d va dsmnuyndo a mdda qu s consdan punos más alados d l l c l UCB-IT -III-4 - LJF

147 la caga, a la aa l. D sa foma, las péddas d ono, d flxón y l RO vaían a lo lago d la lína con péddas, a dfnca dl caso sn péddas dond son consans. S s obsva la aycoa qu dscb l xmo dl ado-vco d, s n qu la msma no s una ccunfnca sno una spal qu s acca al cno a mdda qu s obsvan punos más alados d la caga. Fgua 5 n la mayoía d los casos páccos no hac fala dbua la spal pus sólo nsan los punos xmos d la aycoa. l cofcn d flxón a la nada s pud halla consdando pmo l puno paa la lína sn péddas, y cogndo lugo l módulo n la candad - l. Como l valo d l gnalmn vn xpsado n db sá ncsao fcua la convsón pmo ó usa. Im( ( l) ) l np l db,53 l db / R( ( l) ) 3. Méodos gáfcos paa l sudo d las línas d ansmsón dconalmn a los méodos mamácos ambén s han dsaollado méodos gáfcos paa l sudo d las línas d ansmsón qu, s bn no nn la msma pcsón d los pmos, popoconan una vsón basan claa d los fnómnos qu ocun n las msmas. dconalmn pmn ahoos d mpo sob odo n l caso d sucuas complcadas como n l caso d los acoplamnos mulsub. D los méodos xsns s sudaán aquí solamn aqullos qu hacn uso dl Dagama Bccula ó Dagama Casano y d la Caa d Smh. La Caa d Smh fu nvnada po Phllp Smh n 939 mnas abaaba UCB-IT -III-4 - LJF

148 paa RC, aunqu l ngno aponés Kuakawa nvnó un dsposvo smla un año ans. l movo qu nía Smh paa hac s dagama a psna gáfcamn las lacons mamácas qu s podían obn con una gla d cálculo. La caa d Smh fu dsaollada n los Laboaoos Bll. Dbdo a los poblmas qu nía paa calcula la adapacón d las annas a causa d su gan amaño, Smh dcdó ca una caa paa smplfca l abao. D la cuacón d Flmng, y n un sfuo po smplfca la solucón dl poblma d la lína d ansmsón, dsaolló su pma solucón gáfca n la foma d un dagama cangula. Phllp pssó n su abao y l dagama fu dsaollado gadualmn con una s d pasos. La pma caa cangula fu lmada po la gama d daos qu podía acomoda. n 936 dsaolló un nuvo dagama qu lmnó la mayoía d las dfculads. La nuva caa a una foma coodnada pola spcal n la cual odos los valos d los componns d la mpdanca podían s acomodados. Las cuvas dl cocn consan d la onda d la suacón, d la anuacón consan y dl cofcn d flxón consan an odos cículos coaxals con l cno dl dagama. Las scalas paa sos valos no an lnals, po an sasfacoas. Con l mpo la gn qu abaa n s ámbo popuso las caas paa solucona poblmas d las línas d ansmsón. [Tomado d Wkpda: hp://s.wkpda.og/wk/caa_d_smh ] 3.. l Dagama Bccula l Dagama Bccula s una psnacón dl plano d mpdancas nomaladas (ó admancas nomaladas) dond sán ndcados los lugas gomécos qu cospondn a valos consans dl módulo ó dl ángulo dl cofcn d flxón d nsón (ó d con). La cuacón d pada s: Dbdo a qu ano como son númos complos, la xpsón ano psna una ansfomacón dl plano n l plano. Una popdad fundamnal d las ansfomacons confoms s qu los cículos (y las ccunfncas) s ansfoman n oos cículos (las UCB-IT -III-43 - LJF

149 línas cas s consdan ccunfncas d ado nfno a sos fcos). dconalmn, los ángulos n línas n un plano s consvan n la ansfomacón. Po lo ano, s dos línas s ncpan n ángulo co n un plano, sa cuadaua s manndá n l plano ansfomado. n l plano l luga goméco cospondn a un valo consan dl módulo dl cofcn d flxón s una ccunfnca cnada n l ogn. s luga goméco cospond po ano a una ccunfnca n l plano. Tals fguas nn un cno y un ado dados po: Cno, ; ado l luga goméco cospondn a valos consans dl ángulo dl cofcn d flxón son línas adals n l plano. Son po ano ppndculas a las línas d módulo consan. n conscunca, sas línas s ansfomaán n ccunfncas ppndculas a las dscas anomn. n la fgua s musa un dagama casano al como s mpm comcalmn, y n lla s pud apca qu las ccunfncas d módulo d cofcn d flxón han sdo ouladas n émnos d la Pédda d Rono, n ano qu las cospondns al ángulo apacn ouladas n émnos d dsancas al gnado n longuds d onda. UCB-IT -III-44 - LJF

150 4 3, 3 d B Im() ,3 3-4 R ( ) Fgua 5 Dagama bccula Los poblmas s fomulan n émnos d sos lugas gomécos y l dagama s ula paa pasa consanmn d un plano al oo. Po mplo, paa halla la mpdanca d nada d una lína mnada n una mpdanca dada, s ubca la msma n l plano. connuacón s ubcan las línas cospondns al módulo y ángulo dl cofcn d flxón. S la lína s sn péddas, las mpdancas d nada posbls saán sob la ccunfnca cospondn a dcho módulo. Paa dmna l valo d la mpdanca s UCB-IT -III-45 - LJF

151 l l ángulo (n lambdas), s suma la longud d la lína y con s valo s locala l puno fnal sob la ccunfnca d módulo consan. Consd l sgun mplo: c=3 + y la lína md,8. Las ccunfncas cospondns son: db y,3. l puno fnal saá sob la ccunfnca a,3+,8=,33, lo cual cospond a una mpdanca d,4,9 3.. La Caa d Smh La Caa d Smh s una psnacón dl plano dond sán ndcados los lugas gomécos cospondns a =R()= consan y x=im()=consan. n los úlmos años s ha vulo más popula qu l Dagama Bccula, po lo qu s l sudaá con más dall. Sn mbago, las écncas mosadas aquí son gualmn aplcabls a la oa caa, aunqu xsn suacons dond una psna vnaas spco a la oa. La ansfomacón d pada s: sa ansfomacón confom pud s npada n émnos d las sguns cuao ansfomacons lmnals: a) Una ansfomacón n la candad (,) : + b) Una nvsón alddo dl ogn : /(+) c) Una mulplcacón po (-,): -/(+) d) Una anslacón n (,) : -/(+) UCB-IT -III-46 - LJF

152 Fgua 5 Caa d Smh La fgua psna una Caa d Smh al y como s mpm comcalmn hoy n día. n la msma s ha mosado a íulo d mplo l vco dl cofcn d flxón cospondn a la mpdanca +,5. Las ccunfncas d pa al consan nn sus cnos ubcados sob l hoonal, n ano qu las d pa magnaa consan son ppndculas a las pmas y sus cnos sán sob l vcal (no mosado n l dbuo). n la pa nfo s musan vaas scalas auxlas qu dpndn dl módulo dl cofcn d flxón, : Cofcn d flxón d ponca, RO (ó SWR), RT, RFL, Tnsón nomalada, c. Su uso s mosaá más adlan con dvsos mplos. n la acualdad muchos qupos d mdcón, n pacula los analados d ds, musan UCB-IT -III-47 - LJF

153 sus sulados dcamn sob la Caa d Smh como s musa n la sgun fgua. Fgua 53 nalado d Rds 3..3 Rpsnacón d Tnsons y Cons n la Caa d Smh Dbdo a qu la Caa d Smh s una psnacón dl plano s posbl ndca n lla oas candads laconadas con l cofcn d flxón. n pacula s posbl ndca las nsons y cons nomaladas omando n cuna qu, V I v V I como s ndca n la fgua sgun. UCB-IT -III-48 - LJF

154 + Fgua 54 Tnsons y cons n la Caa d Smh 3. plcacons d la Caa d Smh 3.. Impdanca d nada d una lína sn péddas Halla la mpdanca d nada d una lína sn péddas po mdo d la Caa d Smh s muy fácl s s oma n cuna qu un dsplaamno a lo lago d la lína poduc sólo un cambo n l ángulo d fas dl cofcn d flxón. n s caso s ula la Caa como un nomogama paa la convsón d mpdanca nomalada n. connuacón s la sa la candad l al ángulo dl cofcn d flxón y fnalmn s obn la mpdanca d nada po mdo d la msma caa. Gáfcamn l pocdmno conss n locala la nsccón d las ccunfncas d pa al consan y pa magnaa consan cospondns a las componns d la mpdanca d la caga. l ado vco qu un s puno con l cno d la caa s caga. S aa noncs un sgmno d ca qu polongu s ado vco hasa l bod d la caa y s l l ángulo dl cofcn d flxón. S nsas conoc l módulo d basa con llva la longud d s vco po mdo dl compás a las scalas auxlas qu s hallan n la pa nfo d la caa. S s conoc la longud l d la lína, noncs al ángulo hallado s l sa la candad l, n gados, y s aa oo ado vco qu una al cno d la caa con l bod a s ángulo, y po mdo d un compás s llva l módulo d caga sob sa nuva lína. D las ccunfncas d pa al y pa magnaa qu pasan po s puno s ln dcamn las componns d la mpdanca d nada como s musa n la fgua. UCB-IT -III-49 - LJF

155 Línas d Pa Ral consan Impdanca Línas d Pa Imagnaa consan Fgua 55 Lugas gomécos n la Caa d Smh n l caso d qu la longud d la lína sa vaabl, l ángulo vaaá y l xmo dl vco dscbá un cículo, Ccunfnca d RO consan Fgua 56 Ccunfncas d RO consan 3.. dmanca d nada d una lína sn péddas S s conoc la admanca d la caga y s dsa halla la admanca d nada d la lína, l pocdmno s dénco al ano, con la únca dfnca concpual qu ahoa la Caa d Smh s la psnacón dl plano d cofcn d flxón d con dond sán ndcados los lugas gomécos cospondns a valos consans d la pa al y la pa magnaa d la admanca nomalada, pus nn la msma lacón funconal qu la xsn n l cofcn d flxón d nsón y la mpdanca Convsón d Impdanca a dmanca. Dbdo a qu =- s posbl conv mpdancas n admancas dcamn po mdo UCB-IT -III-5 - LJF

156 d la Caa d Smh. Concpualmn s saía ulando la Caa paa halla l cofcn d flxón d nsón cospondn a la mpdanca. l cofcn d flxón d con s halla nmdaamn d la lacón ano y ahoa s ula la caa d nuvo paa halla admanca a pa d. Gáfcamn l pocdmno conss n locala l puno d nsccón d las ccunfncas cospondns a las coodnadas d la mpdanca. Po s puno s aa una lína ca qu pas admás po l cno d la caa. Con l compás s llva l módulo dl cofcn d flxón sob la polongacón d s sgmno, a pa dl cno, y s ln dcamn las coodnadas d la admanca. Impdanca dmanca Fgua Volas y Cons. l dscb l paón d ondas saconaas s do qu l msmo a una psnacón d la nsón oal. m. s. a lo lago d la lína. La nsón nomalada s obn d dvd sa nsón oal n la nsón ncdn y s psna po mdo dl dagama d manvla, s dc, V I v, con una xpsón quvaln paa la con V I sas magnuds son sólo funcón d y po ano nn psnacón n la Caa d Smh. UCB-IT -III-5 - LJF

157 + Ángulo d la nsón ó con Ccunfnca d nsón o con consan Fgua 58 n algunos poblmas páccos sa psnacón n uldad pus los valos d v son fáclmn mdbls n módulos (aunqu no n fas). n sos casos la nfomacón d fas pud hallas gáfcamn po mdo d la Caa d Smh s s conoc algún dao adconal como la dsanca n los nsumnos. n l sgun mplo s n qu la ponca ncdn mdda fu d Was, la con n l xmo dl ansmso fu d,6 mps y la con n la bas d la anna fu d,8 mps. La longud d la lína d ansmsón hasa la bas d la anna s d,4 a la fcunca d abao, y la lína n una mpdanca d 5 Ohms. Cuáno val la mpdanca n la bas d la anna?. P, I,4 IB Fgua 59 La con ncdn n l xmo ansmso val,44 mp 5. n l xmo ansmso s qu n qu la ccunfnca con cno n la admanca (+) y d ado,3 s l luga goméco d odas las admancas als qu l módulo d la con nomalada val,6/,44=,3. Las admancas d caga qu poducían sa suacón s n l UCB-IT -III-5 - LJF

158 xmo dl ansmso pudn s obndas asladando (gáfcamn) haca l xmo d la caga cada uno d los punos d s luga goméco n la candad,4,4 haca lacaga Solucón:,7 +, asladado =,3 B =,7 Fgua 6 Dbdo a qu la lína s sn péddas, so pud logas gáfcamn gando haca la caga l cno d la ccunfnca n,4 y aándolo d nuvo con l msmo ado d,3. Po oa pa, la ccunfnca d ado,7 cnada n (,+) psna l luga goméco d odas las admancas d caga qu poducn una con nomalada cuyo módulo s,7. La nsccón d ambas ccunfncas sasfac smulánamn las dos condcons y s po ano la solucón al poblma. l sulado buscado s yc=,7 +, 3..5 Línas con péddas dmás d las aplcacons mnconadas paa línas sn péddas, la Caa d Smh s úl paa mosa los cambos d mpdanca qu s sucdn n una lína al dond xsn péddas. La fómula d la mpdanca d nada d una lína al s: n c anh l anh c l c anh anh c La msma s no sólo complcada d valua, sno qu ampoco apoa nfomacón sob los pocsos qu s sán sucdndo n la lína a mdda qu s consdan punos más alados l l d la caga. Po oa pa, l cofcn d flxón a la nada d la lína s: UCB-IT -III-53 - LJF

159 n c l l l l c c l so sgnfca qu l ángulo dl cofcn d flxón s modfca d la msma mana qu n l caso d la lína sn péddas. dconalmn s obsva qu l módulo dl cofcn d flxón ha qudado dsmnudo n l faco -l. so s aduc n qu, a mdda qu s consdan punos más alados d la caga, l xmo dl ado vco qu psna al cofcn d flxón dscbá una spal n l plano n luga d una ccunfnca. Paa halla la mpdanca d nada n un caso spcífco basaá con ubca la caga n la Caa y gala haca l gnado como s s aas d una lína sn péddas. connuacón s cog l módulo dl cofcn d flxón mulplcando l ado d la ccunfnca po l émno -l. Paa va cálculos adconals s pud hac uso d las scalas auxlas d la Caa d Smh, n pacula una macada TTN, db MJ. DIV, n la cual sán ndcadas dvsons con un paso d db d anuacón. l pocdmno conss n llva a sa scala l módulo dl cofcn d flxón y lugo movs a lo lago d la msma l númo d db s cospondns a la anuacón d la lína, n la dccón ndcada (haca la caga ó l gnado sgún cosponda). l nuvo valo dl módulo s llva po mdo dl compás a la caa paa l la mpdanca cospondn coplamno d cagas con un sub l caso dl acoplamno d cagas po mdo d un sub sncllo pud solvs fáclmn po mdo d la Caa d Smh una v qu s sablcan las condcons ncsaas paa aa los lugas gomécos cospondns, paa halla la solucón n foma gáfca. La suacón s dscb po mdo dl sgun squma: c B y c yc Fgua 6 Como la dsanca s dsconocda ambén lo s la admanca vsa a la nada d la lína, y c. Sn mbago, odos los valos posbls d sa admanca dbn sa sob una ccunfnca con ado gual al dl módulo dl cofcn d flxón d la caga yc; so UCB-IT -III-54 - LJF

160 dmna una pma cuacón gáfca ó luga goméco. Po oa pa, como la admanca d nada dl sub s acva pua, solamn afcaá a la pa magnaa d la admanca sulan dl paallo con y c. Como s dsa loga l acoplamno, la admanca sulan d la combnacón dl sub con la admanca asladada d la caga db s (+). n conscunca, la pa al d la admanca y c db s, y la pa magnaa sá compnsada po l sub. so dmna una nuva lacón goméca qu dbn cumpl las admancas y c: l luga goméco s la ccunfnca cospondn a pa al gual a. noncs, la solucón dl poblma cospond a aqullos punos d nsccón d ambas ccunfncas, pus n llos s sasfacn smulánamn ambas condcons. Mdndo l dsplaamno dsd la caga hasa l puno (ó los punos) solucón s ncuna la longud dl oo d lína. dconalmn, sá ncsao coloca un sub cuya acanca compns la pa magnaa d la admanca n los punos solucón. Con sa nfomacón s halla noncs la longud dl oo d lína n cooccuo, B. yc Pa al= Solucons y c Ccunfnca d RO consan Fgua Rspusa d fcunca dl sub sncllo s ncsao sa conscn d qu la solucón hallada s válda úncamn a un fcunca. Los ssmas d comuncacons paccos ocupan un co ancho d banda, l cual a su v dpnd d la fcunca máxma d la banda bas a s ansmda, así como dl méodo d modulacón mplado. Cuando vaía la fcunca, camba la longud lécca d cada d las línas qu confoman l ssma d acoplamno, po lo cual s posbl qu la mpdanca d nada nga un valo dfn d la undad y habá flxons. s compoamno pud UCB-IT -III-55 - LJF

161 s fáclmn ancpado n la Caa d Smh. Consdmos l mplo ano, paa dos fcuncas ubcadas a ambos lados d la fcunca d dsño dl acoplado. y c y c y c f < f f=f f>f Fgua 63 n conscunca, s obn un ssma qu psna l compoamno dsado n sólo una gama lava scha d fcuncas. Dbdo a so s ncsao dfn un valo máxmo d cofcn d flxón olabl, paa n funcón d so halla la gama d fcuncas d opacón dl dsposvo..8.6 CofRf( f ) f Fgua 64 n la pácca s busca un compoamno lavamn plano n la banda pasan, po llo qu dl uso d un mayo númo d subs.. UCB-IT -III-56 - LJF

162 3..7 coplamno po mdo d sub dobl unqu l caso dl acoplamno con un sub había sdo sulo n foma analíca anomn, admás dl méodo gáfco, la suacón s complca xaodnaamn cuando l ssma d acoplamno ncopoa más d un sub. Más aún, s posbl qu n cas condcons d mpdanca d caga no puda logas l acoplamno (s dc, qu no halla solucón) y sa suacón no pud pvs fáclmn n un méodo xclusvamn analíco. Sn mbago, al psnas gáfcamn las condcons qu dbn cumpl las admancas (ó mpdancas) nvolucadas s fácl ancpa aqullas suacons n las cuals no s posbl halla una solucón qu popocon l acoplamno dsado. Una suacón ípca d acoplamno con sub múlpl s psna n l sgun dagama, dond las acancas ncógnas s hallan n paallo con una spaacón fa n llas. M C ym y c B yc Fgua 65 La admanca oal sulan d la combnacón paallo d la caga yc con l sub B s ndmnada, po sá ubcada sob l luga goméco d odas las admncas qu ngan la msma pa al qu yc. s s la ccunfnca d pa al consan qu pasa po l puno cospondn a la mpdanca d caga. Como la longud s conocda, la admanca ym s obnda d ga sa ccunfnca haca l gnado n sa dsanca. Po oa pa, sa admanca ym dbá s d la foma + b, dond l valo d la subcpanca s dsconocdo, po sá compnsado po l sub C. La nsccón d sos lugas gomécos qu dscbn la admanca ym consuy la solucón dsada. D aquí s obn nmdaamn l valo d la subcpanca dl sub C, y po mdo d la caa su longud. Gando s puno (ó punos) solucón haca la caga s halla y l, d dond s obn la subcpanca dl sub B y su longud. l pocdmno s lusa n la sgun fgua: UCB-IT -III-57 - LJF

163 y l Ccunfnca d pa al= Ccunfnca asladada Solucons Ccunfnca d la pa al d la caga Fgua 66 D aquí s obsva claamn qu s la pa al d la admanca d caga s mno qu la undad, xsá smp una solucón pus las ccunfncas s ncpaán (a xcpcón alv dl caso cuando sa un númo no d mdas longuds d onda). Sn mbago, cuando la pa al d yl s mayo d s posbl qu, dpndndo dl valo d la longud, las ccunfncas no s ncpn y no hay solucón. La ulacón d un númo mayo d subs pm va sas suacons cícas y, aunqu su solucón s más laboosa qu l mplo mosado, la msma s concpualmn quvaln al méodo dsco Línas con dfn mpdanca caacísca n ocasons s ncsao abaa con línas d dfn mpdanca caacísca. Sn mbago, al abaa sob la Caa d Smh s ncsao s cudadoso pus l cofcn d flxón camba al pasa d un mdo al oo ya qu, s bn la mpdanca no nomalada no camba n la nfa, al dvd po la ssnca d nomalacón camba la mpdanca nomalada. Concpualmn l poblma conss n dvd la d n vaos oos, cada uno d mpdanca caacísca dfn, y ula la caa paa solv cada oo po spaado, nndo la pcaucón d dsnomala y nomala las mpdancas cuando s camba d una lína a oa. Consdés l mplo sgun, dond las mpdancas caacíscas d las dfns línas sán fdas al gnado. UCB-IT -III-58 - LJF

164 ,5 l=,5+,7 Fgua 67 S dsa conoc la mpdanca d nada dl lado dl gnado a mdda qu la dsanca lécca d la lína camba (po mplo, al camba la fcunca). Paa solv so s ncsao nomala la caga sob la lína d =,5. l nuvo valo d mpdanca val:, mdda qu camba la mpdanca d nada s muv sob una ccunfnca cnada sob l cno d la Caa d Smh (l puno d mpdanca + ), paa l caso d la lína cnal. Fnalmn, s valo dbá s dsnomalado po,5 paa obn la mpdanca d nada. S s ala s pocdmno paa cada valo d s obn qu l luga goméco d la mpdanca d nada sá una ccunfnca, po cnada n l valo,5+. s dc, cuando s qu psna l compoamno d una lína con una mpdanca caacísca dsna d la omada como fnca, noncs l luga goméco d los dsplaamnos a lo lago d la lína sguá sndo una ccunfnca, po su cno concd con l co sob l al d una ccunfnca d pa al gual a la vcs la mpdanca caacísca más uno. n l caso pacula dl ansfomado /4 la mpdanca caacísca val RO paa una caga d valo RO Impdanca Impdanca =RO Cno= * RO+ Fgua 68. a) Caso Gnal. B) Tansfomado /4 UCB-IT -III-59 - LJF

165 3..9 coplamno con paámos concnados S bn la Caa d Smh ha sdo dsca hasa ahoa como una hamna paa l sudo d la lína d ansmsón, n la cual los paámos d ssnca, nducanca, capacanca y conducanca sán dsbudos a lo lago d la msma, s posbl ulala ambén paa solv poblmas qu nvolucn paámos concnados. n pacula s posbl ula la caa paa la convsón d mpdanca a admanca (y vcvsa), y paa dscb gáfcamn las condcons qu dbán cumpl las solucons a avés dl aado d los lugas gomécos cospondns. Tals ssmas d acoplamno ncunan aplcacón a fcuncas d MF y HF dond las longuds d lína obndas paa los méodos anos sulan napopadas. Como mplo d so s sudaá a connuacón la aplcacón d la Caa d Smh a la solucón d dos ssmas d acoplamno basados n paámos concnados y dnomnados: s-paallo y paallo-s coplamno s-paallo n l sgun ssma s dsa halla los valos d la nducanca y la capacanca qu pmn acopla la caga yl a la lína d ansmsón. Todas las mpdancas sán nomaladas spco a la lína d ansmsón. M x s b p y l Fgua 69 La admanca oal, sulan d la combnacón d la admanca d caga con l capaco, dscbá n la Caa d Smh un luga goméco, l cual s un sgmno d la ccunfnca d pa al gual a la conducanca d la caga. La mpdanca cospondn s obn d nv la admanca, lo cual cospond gáfcamn a oa l luga UCB-IT -III-6 - LJF

166 goméco obndo anomn n 8º. sa mpdanca dbá s al qu su pa al sa gual a la undad, pus l lmno s canclaá la componn magnaa paa loga l acoplamno; al condcón dscb oo luga goméco qu psna la mpdanca d la combnacón. La solucón s obn d la nsccón d ambas ccunfncas como s musa n la fgua. b p x s Ccunfnca R(y l)= consan Ccunfnca R( M )= Ccunfnca asladada Solucón M Fgua 7 D la gomía d sa fgua s concluy qu podá hallas una solucón smp qu las ccunfncas s con, lo cual ocu smp qu la pa al d la admanca sa mno qu la undad. l valo d la acanca s, xs, s l ngavo d la pa magnaa d la mpdanca cospondn a la nsccón d las ccunfncas mnconadas (macada M n l dbuo). Paa consgu l valo d la subcpanca capacva, basa con aa una ca dsd l puno M a avés dl cno d la Caa, hasa coa la ccunfnca cospondn a la pa al d la caga, y ala la dfnca d las pas magnaas coplamno paallo-s l ssma d acoplamno paallo-s s complmnao dl ano como s pud apca n l sgun dagama y l b p x s l Fgua 7 UCB-IT -III-6 - LJF

167 D mana análoga, la combnacón s d la mpdanca d caga con la acanca xs dscb un luga goméco n la Caa d Smh s un sgmno d la ccunfnca cospondn a la pa al d la caga. l nvlo paa ala la combnacón paallo, la pa al d sa admanca db s gual a paa loga l acoplamno, pus la pa magnaa sá canclada po l condnsado. La condcón paa loga l acoplamno sá noncs qu la pa al d la mpdanca d caga sa mno qu la undad Méodos combnados. Rds T y Rds Las lmacons d los méodos anos spco a la pa al d la caga paa pod loga l acoplamno pudn s supadas po mdo d una combnacón d ambas écncas. D acudo a como s combnn las ds anos s posbl obn dos confguacons báscas: l ccuo T y l ccuo, como s musa a connuacón. y xs y b b Rd T Rd Fgua 7 D mana smla al caso dl acoplamno mulsub, la solucón d s poblma s más laboosa qu n l caso paallo-s (ó su complmnao), po la ulacón d la Caa d Smh pmá halla una solucón más ápdamn qu po la vía analíca. Más aún, dl méodo gáfco s n una da más claa dl pocso d acoplamno y d las posbls condcons qu pudsn lma la aplcacón dl ccuo d acopla. sncalmn s saá usando la Caa paa conv los lugas gomécos d mpdanca a los d admanca y vcvsa. connuacónón s musan los lugas gomécos paa la d PI. UCB-IT -III-6 - LJF

168 dmanca y Impdanca Impdanca xs dmanca y Impdanca Fgua Solucón compuaconal Hoy n día s dspon d compuadoas qu pudn ala muchos d los cálculos mnconados anomn con ala vlocdad y pcsón d cálculo. Sn mbago, paa pod apca apopadamn los sulados obndos s convnn psnalos n foma gáfca sob la Caa d Smh, n luga d smplmn psna los sulados numécos. xsn muchos pogamas qu pudn ulas paa solv poblmas d línas d ansmsón, con mayo o mno gado d dfculad. lgunos son pogamas spcífcos qu s scbn n lnguas como Foan, C++, o Pascal. dmás dl sfuo d pogamacón, qun qu l usuao dsñ una nfa apopada paa l ngso y psnacón d los daos, lo cual pud consum mucho mpo n compaacón al poblma pácco d línas d ansmsón qu s dsa solv. n gnal, s nfoqu s usa cuando s dsa ca un paqu d sofwa dsnado n su uso o comcalacón a cas psonas. Po oa pa xsn paqus d uso gnal qu pmn l ngso d las cuacons d línas d ansmsón sn ncsdad d pogama. l caso más smpl son los calculados po xcl d Mcosof o su quvaln n OpnOffc. Los daos s dsponn n casllas abulas y las fómulas ncsaas s ngsan n oas casllas. Sn mbago, a psa d su ala flxbldad, los sulados ndn a sa pobmn documnados, po lo qu s dfícl nnd lo qu s ho al cabo d vaas smanas. dmás, a psa d qu l xcl n facldads paa la psnacón gáfca ano n coodnadas polas como cangulas, cac d la facldad d psnacón n la Caa d Smh como las qu nn paqus comcals spcífcos como RFSm99. Una alnava nsan la povn los paqus d cálculo d alo nvl, n los cuals l UCB-IT -III-63 - LJF

169 usuao ngsa las cuacons y los daos dl poblma a avés d una nfa amgabl, y qu d gual mana popocona facldads gáfcas paa la psnacón d los sulados, ncluso n l fomao d Caa d Smh. dconalmn, sos paqus pmn la alacón d aas complas a avés d la nvocacón d cas funcons p-pogamadas d mana d lba al usuao d la ncsdad d dsaolla sas pocons d sofwa. Un mplo dond s qu la ulacón d una hamna como sa ocu n l caso d la solucón d ssmas d acoplamno con múlpls subs. unqu, la solucón d un ssma d dos subs s lavamn smpl d ala n foma gáfca, la suacón s complca cuando l númo d subs s ncmna. so s dmosaá más adlan con mplos. Uno d los paqus más flxbls lo consuy MahCad (dl povdo MahSof), conunamn con xum dl msmo fabcan. s úlmo pov las facldads d psnacón sob la Caa d Smh n oas. n lo qu sgu d s capíulo s psnaán vaos mplos qu dmusan l uso d sa hamna, aunqu las das báscas son fáclmn aplcabls a oos paqus d sofwa lgomos cusvos. S bn uno puda smplmn ngsa las cuacons n foma bua n sos ssmas, s ncsao sa conscns d qu l mpo d cálculo y la pcsón dl msmo pudn vs afcados po una saga napopada. Po mplo, la mpdanca pud vaa n una ampla gama (ócamn dsd hasa +, pasando po co), po las compuadoas no s compoan apopadamn cuando nn qu abaa con candads qu alcancn sos valos xmos. s pobabl, noncs qu s obngan valos xaños o qu smplmn l ssma s culgu como conscunca d una dvsón po co. Po oa pa, l cofcn d flxón sá acoado n y, y po ano s mnma la posbldad d os o nsabldads d cálculo. dconalmn, cuando l msmo cálculo s db ala sob un ccuo consudo po un gan númo d sccons, s convnn ula un algomo cusvo qu smplfqu las opacons y dsmnuya l mpo d cómpuo. l algomo qu s dscb a connuacón fu ulado n un poblma d opmacón mosado más adlan y pmó loga una solucón convgn n un quno dl mpo qu quía la ulacón d mpdanca, admás d gaana una solucón sabl (cosa qu no ocuía n l oo caso). UCB-IT -III-64 - LJF

170 3... Cofcn d Rflxón n línas n paallo. l puno d pada s solv la nconxón d dos línas po cuano cas odos los poblmas d acoplamno qun dl uso d subs, la mayoía d llos n paallo. Sn mbago, s algomo s pud aplca cas sn cambos al caso s cuando sa ncsao. Consdés l sgun ssma consudo po la nconxón d s línas. S dsa conoc l cofcn d flxón vso n l puno d unón dsd la lína d la quda, T, y poducdo po los cofcns y d las oas dos línas concadas n paallo. T Fgua 74 Las admancas a la nada d las línas y s hallan a pa d los spcvos cofcns d flxón: y y La admanca oal s la suma d las dos, po ano y T y y l valo dl cofcn d flxón s obn a pa d sa admanca oal Fnalmn s obn: T y y T T 3 T 3 s algomo qu un pa d mulplcacons complas, 8 sumas y una dvsón, po lo más mpoan s qu odas las candads nvolucadas sán acoadas n y uno, y no hay posbldad d qu s psnn suacons nsabls. l cálculo d las admancas quía 8 sumas y s dvsons complas, po n l sgo d qu alguno d los dnomnados UCB-IT -III-65 - LJF

171 puda nd a co, con lo cual l algomo pud poduc sulados nspados. s posbl halla ambén un algomo paa los cofcns d flxón d con, omando smplmn l ngavo d los cofcns d flxón d nsón, s dc, 3 T 3 La únca suacón poncalmn plgosa ocuía n l caso d qu smulánamn y san guals a, s dc, la combnacón n paallo d dos cooccuos. n l caso d un solo cooccuo l algomo pdc cocamn l sulado sn nsabldads. Po mplo, s s hac = 3 T 3 l algomo cospondn, sco n MahCad sá: f 3 ohws 3 S ahoa s qu suda l compoamno d una sucua consuda po sccons d lína d ansmsón con subs n paallo, s pudn coloca las longuds d lína y subs n un aglo (d dos columnas) y ala los cálculos avamn. n l sgun mplo s calculaá la spusa d fcunca d una lína d ansmsón mnada n una caga cuyo cofcn d flxón val.7.3, sguda d 6 subs, como s musa n la fgua Fgua 75 Las dsancas ndcadas n lambdas ocun a la fcunca cnal bao sudo. Las longuds d cada sccón consuda po un oo d lína y un sub s almacnan n un aglo como sgu: UCB-IT -III-66 - LJF

172 L S dnomnamos a l valo dl cofcn d flxón a la salda d una lína, l valo b a la nada sá b a 4 L l dond Ll s la longud dl oo d lína. n l caso dl sub, l cofcn d flxón dl lado dl cooccuo val -, po lo qu l cofcn d flxón valdá c 4 L s, dond obvamn Ls s l lago dl sub. l algomo quda fnalmn como s ndca, dond s ha omado n cuna la posbldad d vaa la fcunca d opacón. CofRf ( fq ) a fo a k b axp 4 L fq k c xp 4L fq k a ( b c) S ahoa s vaía la fcunca dsd.8 hasa. d la fcunca cnal s obn la sgun spusa: UCB-IT -III-67 - LJF

173 f CofRf( f 5) Fgua 76 La posbldad d ala sas opacons avas a gan vlocdad pm aboda poblmas muy complos bao un nfoqu d opmacón. n l sgun poblma s dscb un algomo paa obn un flo pasabanda, con una máscaa spcfcada, n bas a un aglo d 9 subs, pando d una caga con un cofcn d flxón d.7. S dfn una funcón obvo como la dsvacón cuadáca d la spusa spco a la máscaa, ulando la opacón d ngacón dl sofwa MahCad. smsmo s ula la funcón Mnm(obc,y) dl popo sofwa. Las fguas musan la spusa dl flo ans d la opmacón, la consuccón d la funcón obvo, la mnmacón y la spusa sulan dspués d la opmacón. l valo d la caga s scogó basan alo (.7) paa mosa l compomso qu loga l algomo al baa l cofcn d flxón a mnos d.6 n l ancho d banda d nés. Con una caga d.5, s loga baa l msmo a mnos d.8 n la banda pasan. f UCB-IT -III-68 - LJF

174 fo a b xp 4 x fq c xp 4 y fq a b( 3c) ( c) a ( 3 c) ( c) a b CofRff y f obc( y) Gvn. ( CofRf( f y 8) ) df.9 y y.5 y Mnm( obc y) CofRff y f UCB-IT -III-69 - LJF

175 Capíulo 4. Paámos d Dspsón UCB-IT -IV-7 - LJF

176 4- Paámos d Dspsón Hasa l momno s ha sado abaando con nsons y cons (paa l caso d línas d ansmsón) ó campos léccos y magnécos (paa l caso d guías d ondas). D hcho, n una sccón ano s dfnon nsons y cons fccas, popoconals a los campos ansvsals, qu pmn ula n guías d ondas las hamnas dsaolladas paa línas d ansmsón. Sn mbago, aunqu als nsons y cons fccas pmn xnd los concpos d línas d ansmsón a las guías d onda aún son dpndns d magnuds qu no pudn s mddas dcamn. n pacula, s bn s co qu a avés d una sonda pud sudas l compoamno dl campo ansvsal a lo lago d la longud d la guía, l valo absoluo dl campo no s posbl mdlo, qudando ndmnado po un faco d popoconaldad qu dpnd d la foma y dmnsons d la sonda, fcnca d los dodos cfcados, c. n sa sccón s psnaán nuvas vaabls fccas (nsons y cons nomaladas) qu pmn connua usando los concpos dsaollados anomn paa línas d ansmsón, po qu adconalmn pudn s laconados con magnuds mdbls n guías d ondas como s l caso d ponca ansmda ó dspada n una caga. Más aún, la ulacón d sas nuvas vaabls pm xapola los concpos al caso d ds d múlpls puos, nconxons d componns y dsposvos acvos. Las vaabls nomaladas (nsons y cons) cbán l nomb gnéco d paámos d dspsón y, como s vá más adlan, nn dmnsons d [vol-amp] /. l concpo d paámos d dspsón s dsaollaá pando d ds d paámos concnados y sá lugo xapolado al caso dsbudo cuando s psn a una lína d ansmsón ó una guía d ondas po un cuadpolo adcuado. n s sndo los paámos d dspsón consuyn un conuno d vaabls qu dmnan complamn una d, d gual foma qu las cons o nsons n la msma; d hcho son obndos a pa d sas úlmas a avés d combnacons lnals y po ano connn la msma nfomacón acca d la d. Po oa pa, a dfnca d los paámos d cooccuo ó ccuo abo, la ma d dspsón smp xs: n l caso d una d consuda xclusvamn po una mpdanca s no xs la ma d mpdanca, y vcvsa, n una d consuda solamn po una admanca n paallo no xs la ma admanca. Sn mbago, aún n sos casos smp s posbl halla la ma d dspsón. l sgun squma psna a un ccuo consudo po un gnado con mpdanca d UCB-IT -IV-7 - LJF

177 salda Rg almnando a una caga (qu a su v pud conn gnados nnos). n sa fgua y n l so d la dscusón las vaabls subayadas ó n MYÚSCULS psnan magnuds no nomaladas, po comoddad n l aamno d las xpsons nomaladas qu sán d uso más común. Rg Z vg v v Fgua 77 La con qu ccula po l ccuo s v R g g v Z (4.) l vola n los mnals d la caga s: v Z v Z v R g g v Z v (4.) connuacón s fcuaá una nomalacón d las nsons y cons d acudo a las sguns ansfomacons: v v R R (4.3) dond v son cualqua d las nsons ó cons a nomala y R, la ssnca d nomalacón, n un valo abao qu s scogá n foma apopada paa smplfca los cálculos. D gual mana las mpdancas sán nomaladas d acudo a: Z R (4.4) UCB-IT -IV-7 - LJF

178 UCB-IT -IV-73 - LJF s mpoan noa qu, d acudo a sa nomalacón, las nsons y cons nn las msmas dmnsons, s dc, [vol-amp]/. Las mpdancas nomaladas son admnsonals. connuacón s dfnán dos nuvas candads obndas po combnacón lnal d las nsons y cons nomaladas: R R v v b R R v v a (4.5) Como s dmosaá más adlan, los paámos d dspsón a y b sán laconados con l fluo d ponca dsd y haca l gnado. connuacón s laconaá l paámo a con los lmnos consuvos d la d. g g g g g g g g g g g g g g v Z R Z Z R R Z R Z R v R Z R R v Z R R v v Z R v Z Z R v Z R R Z R v v R v Z R v v R Z R R v v a Fnalmn s obn: g g g g v Z R R R Z R Z R v R a (4.6) l fcua la nomalacón, s obn como xpsón fnal: v v a g g g (4.7) D mana smla s obn: v v b g g g (4.8)

179 connuacón s dfná un nuvo paámo d dspsón, S, como: S b a v v g g v g v g (4.9) 4.. Casos paculas Paa compnd mo l sgnfcado dl paámo S s sudaán a connuacón vaos casos paculas a) v= b S a (4.) n s caso s obsva qu l paámo d dspsón S concd con l cofcn d flxón sudado pvamn. b) g= ( gnado acoplado ) b vg S a v g v a g v v v vg vg (4.) (4.) c) = ( caga acoplada ) S, adconalmn, s hac v= noncs: v b vg g v a (4.3) g g vg a g y b (4.4) Sgudamn s xamnaá d nuvo l caso (b) ( gnado acoplado ). l paámo b val: UCB-IT -IV-74 - LJF

180 UCB-IT -IV-75 - LJF v a v v v v b g g (4.5) so qu dc qu, la onda flada dsd la caga haca l gnado sá consuda po una pa dbda al dsacoplamno d mpdanca, más una conbucón dbda a las funs nnas qu pudan xs dno d la caga. 4.. La caga como gnado n muchas ocasons nsa conoc los paámos d dspsón d cas ds mnadas n una caga. n sos casos la ngía flada dsd la caga saá nando a la d y po ano la caga s saá compoando como un gnado. Paa lacona los paámos a y b d la caga con los dl gnado quvaln a y b s aplcan las lacons fundamnals n l sgun ccuo: Fgua 78 Dl msmo s obn: a v v b b v v a (4.6) v b v v a (4.7) Po lo ano, cuando la caga (qu ahoa s gnado) sá acoplada (=) la nsón ncdn dsd la caga s co. n cualqu caso: v =- a b a b

181 UCB-IT -IV-76 - LJF b a a b (4.8) 4..3 Ponca apan La ponca apan ansfda s l poduco Q P I V W * l susu las nsons y cons po los valos nomalados s obn: * * v R R v W (4.9) hoa s susuyn v po los paámos d dspsón: b a b a a b b a b a b a b a b a b a W * * * * * * Im D aquí s obn qu la ponca acva s S a b a P (4.) D gual mana, la ponca ncdn s a P (4.) y la flada s: b P (4.) 4..4 Sgnfcado físco d la nomalacón n pm luga consdés una d sn nomala Fgua 79. Rd d un puo sn nomala N v

182 l fco d nomala una d al qu: v v y R R (4.3) so sula quvaln a pon un ansfomado d valo : R : R v v N Fgua 8. Rd d un puo nomalada ulando un ansfomado d lacón : R so s pud npa d la sgun mana: n la oía d paámos d dspsón, la nomalacón d una d s quvaln a pon un ansfomado a la nada Ma admanca aumnada n muchos casos páccos l cálculo d los paámos d dspsón s smplfca po mdo dl uso d la d aumnada: ésa s una d dfnda a pa d la d nomalada al aggal una ssnca d valo y quval a ncopoa la mpdanca dl gnado n la d ognal. a va v La admanca d nada val Fgua 8 Rd nomalada aumnada y a v a a v (4.4) dconalmn UCB-IT -IV-77 - LJF

183 y a v v S v v n algunos casos sula sncllo calcula la admanca d d aumnada y hac cumpl la gualdad: S y a (4.5) 4..6 mplos d cálculo Una caga d Ohms consum Wa cuando s almna con un gnado d mpdanca 5 Ohms y nsón n vacío dsconocda po consan ndpndn d la caga. Calcul: a) Ponca ncdn b) Ponca Rflada c) Cofcn d Rflxón d) Tnsón n vacío ) Ponca qu s consumía s n luga d Ohms s nn 5 Ohms. Como la ponca dspada s Wa s n qu: Po oa pa, b S a a b 3 w a b 5 5 l susu n la pma xpsón s n: 5 5, Po ano, a =,67 La ponca ncdn s: a 8 w a a 9 9 P a, 5 was y la flada s: P b a, 5 was 9 La ponca dspada s la dfnca: Pd = P P= wa UCB-IT -IV-78 - LJF

184 UCB-IT -IV-79 - LJF S s asum qu vg s consan ndpndn d la caga s n:,5 a v v a g g Po úlmo, al acopla s n qu S= y b=, po lo ano: Pd=P=,5 Was y P= Oo mplo: l pun d Whason Un pun d Whason s un ccuo qu pm obn d mana snclla los paámos d dspsón n ds páccas. l squma ccual s l sgun: Fgua 8 Po aas d dos dvsos d nsón s fácl v qu las nsons V y V son spcvamn: R Z Z v V y v V g g La dfnca val: R Z R Z v R Z Z v V V g g smpl vsa s apca qu V s quvaln al paámo d dspsón a n la condcón d gnado acoplado. La dfnca s l paámo b y la faccón d la dcha s l paámo S. Fnalmn, s n la suma v a b R Z Z v v R Z R Z v V V V V g g g s dc qu V quval a la nsón n la caga. s mpoan dsaca qu s ha ulado l vocablo quval po cuano no s pud sablc una gualdad po aas d candads vg R R Z V V R

185 con undads dfns. l faco d popoconaldad s pcsamn la Rssnca d nomalacón, qu n s caso s scogó gual a R. s ccuo s pud mpla paa md l cofcn d flxón d una caga cualqua n línas d ansmsón y ayuda n l pocso d acoplamno. S s llvan las saldas V y V a dodos cfcados s ndán cons popoconals a la nsón ncdn y a la nsón n la caga; la dfnca sá popoconal a la nsón flada. Manpulando l ccuo d acoplamno ( machng box ) s busca mnma la nsón flada. S pud ula a odas las fcuncas, po n fcuncas muy alas s db n cudado d fabcalo n ccuos mpsos d baa capacanca qu noducan mpcsons n la mdda. Pun ~ V V Machng Box la anna Ccuo sado y dsplay Fgua 83 Una v qu s haya logado l acoplamno l pun db as paa qu no haya consumo nncsao d ponca n las ssncas dl ccuo. S s dsa n una lcua connua d la ponca ncdn y la flada dbn ulas acoplados dcconals qu oman sólo una pquña musa d las ondas vaas y po ano no consumn dmasada ponca dl ansmso. fcunca baas ambén s ula s ccuo n aplcacons als como l ccuo anlocal d los léfonos. l mcófono oma l luga dl gnado y l audífono s coloca n la ama dfncal. S la mpdanca d la lína lfónca fua gual a la ssnca R dl pun, noncs no había flxons y s vaía scucha n l audífono la popa vo; sólo s cb la vo d la oa psona poqu vn n la dccón conaa. La pédda d ponca dbdo a la dspacón s compnsa con los amplfcados d qu sán doados los léfonos modnos. Un ccuo smla s halla dl lado d la cnal lfónca y s dnomna Híbdo o Convdo d a 4 hlos y su funcón s spaa ambas dccons d la UCB-IT -IV-8 - LJF

186 comuncacón qu ansa po l bucl dl usuao paa su pocsamno dno d la cnal. 4. Rds d N puos 4.. Rpsnacón d una d d N puos Las dfncons vsas anomn paa ds d un puo pudn xnds a una d d N puos mplando la oía d macs n luga d los scalas qu s usaon n ds puo. n pm luga s consdaá una d pasva d N puos, la cual pud n ó no ma Z ó Y. n cada uno d los puos las nsons y cons pudn s psnadas como s musa a connuacón: v n v u vu N v n Il u s a c ó n Fgua 84 Rd d N puos sn nomala S s scogn N mpdancas d nomalacón (no ncsaamn guals n sí), sá posbl dfn nsons y cons nomaladas paa cada puo. S s xndn los concpos anos a cada uno d los puos s podán dfn nsons ncdns y fladas, s dc: au vu bu u u v paa u vaando da N u S s asum qu las xcacons a los puos son funs d con, noncs las nsons s laconan con las vaabls ndpndns a avés d la ma Z. D mana smla, s s consdan a las nsons como las vaabls ndpndns noncs las cons s hallan a avés d la ma Y. UCB-IT -IV-8 - LJF

187 D mana smla, los paámos d dspsón a y b saán laconados a avés d una ma cuadada. n s caso las xcacons sán un conuno d gnados acoplados a cada uno d los puos: S concaán N gnados d nsón, cada uno a un puo d la d, con mpdancas d salda guals a la mpdanca d nomalacón dl puo spcvo. S s hac s pocdmno, la d sula smla a una d aumnada dond la ma [Y] smp xs. Rg vg N R gn vgn Fgua 85 Rd N aumnada La ma columna [I], d cons qu nan a cada puo, s gual a: I Y v g (4.6) dond vg s la ma d nsons d los gnados. La nomalacón puo po puo s: v gu R v (4.7) / u gu ó, n foma macal: / v R (4.8) g v g dond R s una ma dagonal, y las v s son macs columna qu psnan spcvamn nsons nomaladas y nsons no nomaladas. / / R I R Y v g / / R Y R v g / y R Y / a R UCB-IT -IV-8 - LJF

188 y a v g (4.9) n sas xpsons ya s la ma N x N d la admanca aumnada y nomalada d la d d N-puos. Cuando s slcconan las Rgu=Ru paa cualqu puo, s cumpl qu: vgu au (4.3) smsmo, d la dfncón d los paámos d dspsón paa cada puo s n qu: u a b (4.3) u u noncs, y gnalando paa odos los puos, s n qu: Po consgun, a b y v y a b a ya a b y a a a g S y a a (4.3) dond s la ma unaa (sólo conn n la dagonal pncpal). 4.. Rds d puos Paa la dscpcón d un puo s usó la gualdad: b= S a n ano qu n ds d N-puos s usa la xpsón macal: [b]=[s] [a] (4.33) dond [b]y [a] son macs columna. n l caso d dos puos s n: b S b S a S a S a a (4.34) b b S S S S a a (4.35) S s coloca n l puo una mpdanca d modo al qu no xsa flxón, s dc qu s acopla al puo, s n qu: UCB-IT -IV-83 - LJF

189 smsmo, a b y S a a b S a y b a a S n sas xpsons, a s popoconal a la ponca ncdn n l puo y b a la ponca qu sal dl puo, d mana qu: P ou y Pn a b (4.36) P P ou n b S (4.37) a lo cual ndca una clas d fcnca n l ssma d dos puos. l msmo aonamno s aplca a los paámos sans. mplo d cálculo. Caso Halla la ma S d un oo d lína d ansmsón. S supon qu odas las línas nn la msma mpdanca caacísca. a a b b Fgua 86 Paámos d dspsón d un oo d lína d ansmsón l aplca l méodo dsco n l puno ano s n b S poqub a yaqu la d sá acoplada n ambos puos D gual mana s obn qu S= S s la longud lécca dl oo d lína, noncs, y bao condcón d acoplamno: UCB-IT -IV-84 - LJF

190 d mana qu, po ano S b a b a y b a y b a S S mplo d cálculo. Caso Línas d mpdanca caacísca dfn: = = a a b b Fgua 87 pma vsa pacía s l msmo caso ano. Sn mbago, l hcho d sa dfn d poduc una flxón n l puo qu da ogn a un paón d ondas saconao n la lína nmda, d mana qu n l puo b sá dfn d co, y po ano ambén l S. Paa acopla l puo, s coloca una caga d valo +. Sn mbago, n la lína nmda s poduc una flxón Γ = + n l puo s n qu sa flxón val Γ = Γ θ La mpdanca cospondn, dsnomalada, val Fnalmn, l valo d S val s paámo val fnalmn: = + Γ Γ S = + UCB-IT -IV-85 - LJF

191 S = + ( θ ) ( + ) θ ( θ ) S = ( + ) ( + ) θ S pud obsva qu s caso s duc al ano cuando s gual, n cuyo caso S valdá. D gual mana, s la lína n una longud múlplo d mda longud d onda, θ=n π, po lo qu S= n l caso pacula d qu valga /, noncs la fomula s duc a S ( ( S s aas d un acoplado /4, l valo d s scog gual a RO po lo qu S ) ) ' ' RO RO l cuál s l módulo dl cofcn d flxón d la caga no acoplada. mplo d cálculo. Caso 3 Consdés la sgun d, consuda po un oo d lína d lago lécco y concada n un xmo a un sub d lago. = = = a b a b Fgua 88 S comna acoplando l puo. La admanca oal n l puo sá la suma d la admanca flada dl puo (qu s uno) y la dl sub y = co θ UCB-IT -IV-86 - LJF

192 l cofcn d flxón vso n s puo val: Γ = y + y = co θ co θ Po la dfncón dada anomn, s valo cospond a S. La nsón ncdn n la lína nmda val +, y al popagas al puo suf un aso d gados léccos. Po la dfncón s valo cospondá a S. S = ( + Γ ) θ l sgun paso s acopla l puo y obn l cofcn d flxón vso dsd l puo. Como s ha colocado una admanca d valo n l puo, la admanca oal vsa n s puo concd con l y calculado anomn, y l cofcn d flxón ndá l msmo valo ya calculado. Cuando s cofcn d flxón s obsva dsd l puo va sa afcado d un dsfasa gual al dobl d. noncs: S = Γ θ Fnalmn, la nsón qu ncd n l puo s popaga lbmn al puo dond s modfca po la psnca dl sub. S = θ ( + Γ ) l sgun mplo numéco consda qu la lína nmda n un lago d,, s dc, 43, y qu l sub n un lago d,5 Susuyndo sos valos s obn: S = [, ,98,5498 3,8,5498 3,8,8385 6,58 ] 4.3 Ponca Tansfda n una Rd d N-puos Las cuacons paa la d pasva d N-puos s pudn xpsa n foma paámos d dspsón d una foma smla a la usada paa ds d un puo. l puno d pada sá una d pasva d N-puos con cagas pasvas y gnados con mpdancas als concadas a avés d los puos como s musa a connuacón: UCB-IT -IV-87 - LJF

193 R R Rd d N- puos Rn Fgua 89 La ponca qu na al puo k s Pk, la cual s la dfnca d Pk y Pk, las poncas ncdn y flada spcvamn, s dc: P k P P (4.38) k k Po dfncón, las poncas ncdn y flada son: P k a * k a k y P k b * k b k noncs P k a a b b (4.39) * k k * k k La ponca oal qu na n los N puos sá: N * P a a b k k * k b k (4.4) so s pud xpsa macalmn como: ~ dond s ha dfndo a a * glas dl álgba macal s obn: [b] = [S] [a] ~ ~ b a~ S a a ~ b b P ~ (4.4) qu s la ma [a], anspusa y conugada. Po mdo d las l susu n la xpsón d la ponca s obn: ~ ~ P a ~ a a~ S S a a~ S S a a~ Qa UCB-IT -IV-88 - LJF

194 La ma Q s ha dfndo como: ~ (4.4) Q S S [Q] s l conoc como ma d dspacón y n l caso d ds pasvas db s dfnda posva (DP), s dc, Q >, ó smdfnda posva (SDPO), Q. n l caso d ds pasvas sn péddas Q =. smsmo s pud dmosa qu Q s una ma hméca, s * dc Q Q Rds sn péddas Cuando una d s sn péddas s db sablc qu oda la ponca qu na s gual a la P a ~ Q a qu sal po cuano nada s consum n su no. so s P=. Po ano, s db s qu [Q]= y n conscunca S S unaa d la ma d dspacón. ~, lo cual s conoc como la condcón 4.3. La condcón unaa n ds d dos puos Un caso pacula d gan mpoanca s l d las ds d dos puos sn péddas. Muchos componns d mcoondas can dno d sa cagoía, n pacula los flos. La condcón unaa s dva dl hcho d qu la ma d dspacón db s co pus la ~ S S. l dsaolla s poduco s n d s pasva y sn péddas. Po ano, S S * * S S * * S S S S D aquí s obn fnalmn S S S * S S S S * S (4.43) Las pmas dos xpsons ndcan qu la ponca ansfda al oo puo s smplmn la dfnca d la ponca ncdn y la flada, como s d spas. S l componn s un flo odos los paámos d dspsón vaían con la fcunca y s podán saca las sguns conclusons: a) n la banda pasan la ponca ansfda s máxma y po ano l cofcn d UCB-IT -IV-89 - LJF

195 S^ o S^ flxón a la nada n mínmo. b) n la banda d chao cas no hay ponca ansfda a la caga y po ano l cofcn d flxón s ccano a la undad., S,8 S,6,4,,,4,6,8,,4,6 -, f Fgua 9. Rspusa d fcunca d un flo pasabanda Rds Smécas Muchas d las componns d mcoondas son smécas n l spaco, nndo gacas a su smía aplcacons muy spcals n los ssmas d comuncacons. Tals popdads, ó las d la ma S qu las conn, pudn s obndas a avés d la ma d gomía ó d smía [G]. lgunas aplcacons s hallan n unons d dos puos, dsconnudads n guías d onda, unons T o Y, acoplados dcconals, c. Paa consda las popdads d smía s sudaá n pm luga una sucua n cuyo no xs un campo lcomagnéco. Las solucons d las cuacons d Maxwll dpndn úncamn dl mdo d ansmsón, la fcunca y las condcons d bod, po son ndpndns dl ssma d coodnadas uladas n la dscpcón dl ssma. Dbdo a so la sucua s pud oa ó aslada a oa poscón sn qu s al l campo n su no. Más aún, cas sucuas como la d la fgua pudn oas alddo d cos s d smía sn qu s obsv nngún cambo n la msma; n l mosado la fgua pud oas 8º sob l d smía sn qu s no l cambo (la maca x s ula sólo paa dnfca a uno d los puos). UCB-IT -IV-9 - LJF

196 Vsa fonal Vsa supo Fgua 9 Rd d s puos con d smía La oacón no db confunds con la flxón ya qu ésa no s físcamn alabl. so s db a qu s bn s co qu los campos s flan, al haclo ambos y H, la ponca s popagaía n l msmo sndo. n s sndo s convnn coda qu al aplca las condcons d bod a la nfa d un dlécco con un conduco pfco, l campo lécco angncal (oal) db s co. n conscunca, l campo lécco flado n dccón opusa al ncdn. Sn mbago, l campo magnéco angncal no s afcado po lo qu l vco d Poynng camba d dccón. S la d n smía y po consgun planos d fnca d smía, una opacón qu pud hacs s ncamba los puos d smía con su xcacón y s obndá l msmo sulado qu dando la sucua sn oacón ncambando los campos, ya qu po dfncón la sucua no s dsngubl. l opado [G] d smía pud n pncpo ndca un ncambo, una suma ó una dfnca d cualqua d los campos, s dc, pud opa sob [a], [b], [a]+[b] ó [a]- [b]. Po mplo: [G] [a] = [a ] [G] [b] = [b ] dond [G] pud y db hallas po nspccón, po cuano la nuva xcacón [a ] no s más qu una mcla d los lmnos d [a] (po mplo ncamba ap con aq o camba a po a). Los cofcns d la ma sán ó ó, con no más d un cofcn dfn d co po fla y po columna. mplo: S dspon d una d d 3 puos con sus spcvas xcacons, y s dsa UCB-IT -IV-9 - LJF

197 ncamba los puos y sn ala l 3. n conscunca: G G a a a a Como [G] n un cofcn no-co po columna y po fla sá oogonal, so s: [G] [G] = [] (4.44) Como [G] s al, ambén s unaa [G] - [G] = [] (4.45) n conscunca [G] - = [G] (4.46) Como n la d sméca s pudn ncamba las xcacons, s n qu s [b] = [S] [a], noncs [b ] =[S] [a ] l aplca la ma d smía s obn: [G] [b] = [S] [G] [a] [G] [S] [a] = [S] [G] [a] [G] [S] = [S] [G] (4.47) n conscunca, [G] y [S] son conmuavas. S dc qu [G] y [S] foman macs smlas. sa popdad s mpoan po cuano pm obn algunos d los paámos d la d n foma smplfcada. [S] = [G] - [S] [G] [S] = [G] [S] [G] (4.48) Po mplo: sa una d d s puos con smía n los puos y. n s caso: 3 a' G UCB-IT -IV-9 - LJF

198 S S S S 3 S S S 3 S S S S S S 3 S S S 3 S S S S S S S 3 S S S 3 S S S S S S S 3 S S S 3 S S S D aquí s pud dduc qu: S = S S = S S3 = S3 S3 = S3 S admás la d s cípoca (las ds pasvas consudas con maals soópcos gnalmn lo son) n los puos y 3, s n qu S3 = S3. n conscunca: S = S = S = S = S3 = S3 = S3 = S3 = S33 = S S ahoa s aplca la condcón unaa (asumndo qu la d s sn péddas) s ncunan las sguns lacons: Un dsposvo pácco qu cospond a sas xpsons s l llamado SPRDOR D POTNCI (n Inglés Pow Spl), l cual s musa n la fgua. La sgunda xpsón ndca qu la ponca qu na al puo 3, (- ), s dvd po gual n los oos dos UCB-IT -IV-93 - LJF

199 puos. D gual mana, la ponca qu puda s ansfda dpndá dl dsacoplamno d los puos d salda y dl acoplamno qu puda hab n llos. s dsposvo s ula fcunmn paa almna vaas cagas dsd un msmo gnado. 3 Fgua 9 Oa d cípoca d gan nés s l COPLDOR DIRCCIONL (Dconal Coupl), aunqu la msma no s sméca. 3 Fgua 93 La aplcacón d la condcón unaa poduc: S S S 3 S S S 3 La ponca qu na al puo 3 s (- S 33 ) y db guala a la suma d las poncas ngadas a los oos dos puos. l oo d guía qu va dl puo 3 al s l dnomna lína pncpal y a la oa lína scundaa. Nomalmn, po l puo s xa una pquña faccón d la ponca d nada dl puo y una candad aún mno d la qu na al puo. D sa mana, la sñal qu sal po l puo s una pquña musa d la ponca qu vaa n la lína pncpal n la dccón 3, po no n la dccón 3, d allí l nomb d acoplado dcconal. l émno /S3 xpsado n db s conoc con l nomb d Faco d coplamno dl acoplado (po lo qu luc como una anuacón). D gual mana a /S xpsado n db s l conoc con l nomb d Dcvdad. S S S UCB-IT -IV-94 - LJF

200 4.3.4 Componns no cípocos dmás d los componns dscos anomn, n ccuos d mcoondas s mplan oos como los ISLDORS y CIRCULDORS cuyos puos no son ncambabls. Un ISLDOR s una d no cípoca d dos puos. Su pncpal uldad adca n duc noablmn la onda flada dsd una caga. s mpoan dsaca qu s componn no poduc un acoplamno, sno qu smplmn va qu la onda flada llgu hasa l gnado. xsn muchos modlos, po la mayoía d llos mpla maals ansoópcos como las fas. Ponca ncdn dsd l gnado Ponca ncdn a la caga ídm flada Fgua 94 Oo componn no cípoco s l CIRCULDOR. n la gáfca s musa un Cculado d s puos (aunqu los pud hab d mayo númo d puos). ídm flada 3 Fgua 95 Cculado d 3 puos UCB-IT -IV-95 - LJF

201 n s caso la ponca s ansf d un puo al oo n l sndo ndcado po la flcha. Po mplo, S db s gand (ccano a ) n ano qu S db s lo más pquño posbl. Lo msmo s aplca al so d los puos. s dsposvo s pud usa paa conca un ansmso y un cpo a una anna común. Toda la ponca dl gnado s nvada a la anna y una candad muy pquña s acoplada al cpo. Sn mbago, la ponca cbda po la anna s nvada al cpo con muy poca anuacón. Sn mbago, db ns cudado pus, s la anna suvs dsacoplada, noncs xsía una onda flada fu qu sía aplcada al cpo sauándolo. n algunas suacons paculas como l caso d los ssmas d ada, la magnud d sa onda flada puda daña al cpo, ó al mnos dsmnu nooamn su snsbldad; n sos casos s acosumba coloca a la nada dl cpo un componn d poccón basado n ubos d gas o n componns smconducos como los vasos. nna Tx Rx Fgua 96 l sudo dallado d sos componns s llvaá a cabo n oa asgnaua. 4.4 Oas Macs uladas n Rds Hasa l momno s ha consdado sólo la lacón qu xs n los paámos d salda d una d d N-puos (s dc l vco columna [b]) con las a, a avés d la ma [S]. Sn mbago, xsn oas psnacons macals qu sablcn lacons dfns n los paámos, las cuals pudn s más apopadas n algunos casos paculas. n l caso d ds d dos puos s convnn la ulacón d la ma d ansmsón [T], paculamn n aqullos casos cuando las ds s concan n cascada. La ma d ansmsón s dfn a pa d la sgun lacón: UCB-IT -IV-96 - LJF

202 b a T T T T a b (4.49) sa psnacón pacula s basa n qu cuando las ds s dsponn n cascada, la salda d una d llas s conv n la nada d la sgun. Consdés la sgun d consuda po la cascada d dos ds: b a=b a3 T T a b=a b3 Fgua 97 l aplca a la sgunda d la ma [T] s n: b a 3 3 T T T a T T b T T b T a (4.5) y al susu po los paámos d nada a la pma d s obn fnalmn b a 3 3 T T T T T T T T a b (4.5) so pm dfn una ma d ansmsón quvaln n los puos y 3. s fácl v qu al ma s obnda d la mulplcacón d las macs d ansmsón ndvduals. n gnal s podá scb: [T] = [TN] [TN-]....[T] [T] (4.5) paa la ma quvaln d vaas ds n cascada. Paa halla la ma d ansmsón n émnos d la ma d dspsón s ncsao solv l ssma d cuacons paa halla a y b: D la pma cuacón s halla: b S b S a S a S a a UCB-IT -IV-97 - LJF

203 a Sa b (4.53) S d dond s hallan dcamn T y T. l susu s sulado n la sgunda cuacón s n: D sa foma s obn: b S S S (4.54) S a b S S SS S S S S T (4.55) S S S Una d las mayos aplcacons d la ma d ansmsón s halla n l dsño d ccuos acvos. s fácl v n sa xpsón qu la gananca dl dsposvo dpnd no sólo d S sno qu admás xs un émno d almnacón psnado po S. Dpndndo dl valo d S y d la mpdanca d caga s posbl qu la d sa nsabl y s poducan osclacons ndsabls. Dbdo a qu la solucón d sos ccuos acvos s hac muchas vcs n foma gáfca y a qu los paámos d los componns vaían con la fcunca, los fabcans gnalmn ngan los paámos d dspsón d dchos componns n foma gáfca n sus hoas écncas. 4.5 mplos d cálculo. n l sgun cco s musa la ulacón d la Caa d Smh n l pocso d obncón d la ma d dspsón d una d. S dspon d una caga cuyo cofcn d flxón s d Dcha caga s va a acopla po mdo d un ssma d sub dobl spaados n sí.. Una v sula la d s va a halla la ma d dspsón dl acoplado. S ula l méodo dsco n 3..7 y s hallan dos solucons. S va ula una Caa d Smh qu musa smulánamn los lugas gomécos d la mpdanca (colo oo) y admanca (colo aul). S coloca la caga n la caa d Smh n l puno DP. La admanca val,483+,47. S UCB-IT -IV-98 - LJF

204 oa l cculo d pa al,483 haca l gnado n, y s ncpa con l cculo d pa al gual a. S obnn dos cos con l cculo d pa al : -,9 y +,78. n l dbuo d la quda s musa la pma solucón como l puno TP3. l dvolvs, haca la caga s n l puno TP:,483+,96. l hac la dfnca s obn qu la mpdanca dl sub ccano a la caga val,486 lo cual quval a una longud d,457. Paa loga l acoplamno s ncsao compnsa la admanca dl puno TP3 con un sub d subcpanca,9 lo cual quval a,445con lo qu fnalmn s obn l puno TP4. l pocdmno s smla paa la oa solucón. Fgua 98 l ccuo dl acoplado quda, ulando la pma solucón, como sgu: Fgua 99 Paa halla l paámo d dspsón S s acopla l puo d la caga y s obsva la mpdanca d nada al puo. Nós qu ahoa l puno d pada DP s l cno d la UCB-IT -IV-99 - LJF

205 Caa d Smh. La admanca d nada s l puno TP4:,8+,8. l cofcn d flxón d nsón s l valo d S y val,45-47 Fgua La nsón oal n l puo s l vco amallo (dsd l ogn d volas al puno TP4) y val a*(+s). S hacmos a=, s valo ambén s gual a V (+) dond V s la nsón ncdn n sa lína y s la flxón obsvada n la lína nmda. Su valo sá ndcado po la lína púpua dsd l ogn al puno TP3. D aquí s pud dspa l valo d V =, -54. s valo s aasa n 43, dbdo a la lína d, po lo qu n l oo xmo val, -97,, l cual s aplca a la combnacón d la caga acoplada con l sgundo sub. sa nsón ncdn s mulplca po + qu s l vco n ngo qu va dsd l ogn a TP y val Fnalmn, l valo d S s, Dbdo a qu la d s sméca, és sá ambén l valo d S. UCB-IT -IV- - LJF

206 Paa halla S s p la opacón po n sa caso s acopla l puo y s obsva la flxón n l puo.l sulado s S=,45 6 Fgua Rsumndo, la ma d dspsón val:,45 47,89 33 S = [ ],89 33,45 6 Fnalmn, paa vfca la condcón unaa s calcula =,45 +,89 =,995, lo cual s muy apoxmadamn gual a omando n cuna los os d dondo al l n la Caa d Smh. s s l sulado spado po qu s aa d una d sn péddas. plcando la fómula 4.55 s obn la sgun ma d ansmsón: T = [, , ] UCB-IT -IV- - LJF

207 4.6 Sofwa paa l cálculo d Rds. dmás d los pogamas mnconados anomn como l MahLab xsn algunos qu son spcífcos paa l cálculo d Rds. Uno d llos s RFSym99 l cual n una nfa d usuao smla al MulSm po lo qu s muy fácl d apnd po los sudans. Los componns s slcconan d la lsa d la quda y s dbuan sob la lla como n l sgun mplo Los sulados s pudn psna sob la caa d Smh como n l sgun mplo: UCB-IT -IV- - LJF

208 UCB-IT -IV-3 - LJF

209 Capíulo 5. Radacón UCB-IT -V-4 - LJF

210 5. Radacón. Hasa l momno s ha sudado l compoamno d las ondas lcomagnécas qu vaan n l spaco lb ó n sucuas cadas, como n l caso d las línas d ansmsón, po sn psa dmasada ancón a las funs qu poducn als ondas. n sa sccón s sudaán los mcansmos qu poducn dcha msón d ondas lcomagnécas a pa d las funs; als funs saán consudas po dsbucons d cagas o cons qu vaían n l mpo, ya sa n foma ansoa o pmann. n la sccón -7 s dfnon dos magnuds auxlas dnomnadas spcvamn l poncal magnéco vcoal y l poncal lécco scala. Dchas magnuds fuon lgdas paa smplfca l cálculo d los campos vaos poducdos po la psnca d funs d con o cagas vaabls n l mpo. Las cuacons dfncals cospondns son: J cuyas solucons, n coodnadas sfécas son: y Fnalmn, los campos s hallan a pa d: J (, ) d 4 qv (, ) d 4 H q v d (.55) (.56) (.59) (.59) Las xpsons (.59) y (.6) musan qu l campo lcomagnéco poducdo n un puno dl spaco, psna la msma vaacón mpoal qu las funs ubcadas n, po sufn un ado d mpo qu dpnd d la spaacón -. Como s dmosó ambén n la msma sccón sas pubacons consuyn ondas qu s alan d las funs a una UCB-IT -V-5 - LJF

211 vlocdad () -/ y consuyn lo qu s dnomna l campo d adacón. sas ondas anspoan ngía qu s suplda po las funs. n sa sccón s pofundaá sob sos mcansmos d adacón y, al gual qu n l Capíulo, s usaán xcacons snusodals con la fnaldad d smplfca los cálculos y obn solucons cadas qu san fáclmn npabls. n pm luga s asumán vaacons snusodals y s conván dchas magnuds nsanánas a sus quvalns fasoals:, R, R J, R Las magnuds adadas sán po ano: J q v J, R q v, R J ' R J ' R J ' q v, R gv ' R q ' v (5.) (5.) La susucón d sas candads n (.59) y n (.6) poduc fnalmn las sguns xpsons fasoals: y J 4 qv 4 d d (5.3) (5.4) Rsa ahoa solv sas xpsons paa algunas dsbucons conocdas d funs J( ) y qv( ) con la fnaldad d obn xpsons cadas paa lugo pocd a la npacón UCB-IT -V-6 - LJF

212 d los sulados. Dos d las funs más sncllas son l dpolo lécco y l dpolo magnéco, los cuals s analaán n las póxmas sccons. 5- Campo adado po un dpolo coo. D mana smla a la sccón -7, consdés una fun d adacón consuda po un pquño conduco d longud l po l qu ccula una con I. La longud d dcho conduco s mucho mno qu la longud d la onda n cualqua d los mdos como paa asum qu la con I s consan a lo lago dl msmo. smsmo s asumá qu la longud dl dpolo s mucho mno qu la dsanca n él y cualqu puno dl spaco bao sudo. so úlmo lma la vald d s modlo a aqullos punos als qu = san mucho mayos qu l po s sufcn paa la mayoía d las suacons páccas. sa sucua cb l nomb d dpolo lmnal y l poduco I l s una caacísca dl msmo y cb l nomb d momno dl dpolo. x l I y Fgua l dpolo sá ubcado n l ogn d un ssma d coodnadas sfécas d mana qu la longud dl msmo qud sob l pola. Paa aqullos punos dl spaco qu sasfagan la condcón ano, = >> l, la cuacón (3.3) s duc a: J 4 dv' 4 J dv' UCB-IT -V-7 - LJF

213 UCB-IT -V-8 - LJF Como ) ( J sá sob l pola, noncs, k ) ( J J, y la ngal d volumn s duc a, k k k ) ( ' ) ( ' ) ( l I l ds J dv J dv J Fnalmn s obn, k 4 ) ( l I (5.5) Po ano, n cualqu puno dl spaco l poncal vcoal magnéco n la dccón dl pola y sólo su magnud y fas s afcada po la dsanca a la fun. Los campos s hallan d: H l campo magnéco val noncs, k k k l I l I l I H s ncsao xpsa l vco unao k n émnos d los vcos unaos dl ssma d coodnadas sfécas: sn cos k noncs, sn 4 sn cos 4 sn cos 4 l I l I l I H sn 4 l I H (5.6) l campo lécco val:

214 UCB-IT -V-9 - LJF sn cos 4 sn cos k k l I l I l I l I cos 4 sn cos 4 sn cos 4 sn cos 4 l I l I l I l I sn cos 4 sn cos 4 l I l I Las componns ndvduals son: cos 4 l I R sn 4 sn 4 l I l I Fnalmn, cos l I R (5.7) sn 4 l I (5.8) 5-. Inpacón d las solucons. Campo lano y campo ccano. Paón d adacón. Las cuacons (5.6), (5.7) y (5.8) dfnn l campo lcomagnéco adado po l dpolo lmnal. Pud obsvas qu ano l campo magnéco como l lécco vaían con la dsanca sgundo dvsas lys d dpndnca. Paa npa los sulados obndos s consdaán dos suacons: cuando la dsanca s muy pquña y cuando s muy gand.

215 UCB-IT -V- - LJF n l pm caso s consdaá la gón muy ccana al adado, al qu. noncs, n las xpsons d y H los émnos domnans sán aqullos qu posn la mayo ponca d, s dc, sn 4 l I H cos 4 3 l I R (5.9) sn 4 3 l I l campo magnéco s smla al poducdo po un lmno d con d acudo a la Ly d Bo-Sava, n ano qu l campo lécco quval al poducdo po un dpolo consudo po un pa d cagas léccas. S dc noncs qu l campo poducdo s cuas-sáco dsancas mayos comna a adqu mpoanca un modo nhomogéno, l modo TM, sn 4 l I H cos l I R (5.) sn 4 l I l campo lécco pos componns ano ansvsals como longudnals. La gón dfnda po sas condcons cb l nomb d campo ccano o gón d Fsnll. gands dsancas los émnos d mayo ponca d dcan ápdamn y los campos son:

216 H I l 4 sn R I l sn 4 (5.) Como s apca, és s un modo TM: una onda sféca qu s ala n dccón adal. l campo magnéco s amual n ano qu l campo lécco conn sólo una componn n la dccón d lvacón. sa gón dl spaco cb l nomb d campo lano o gón d Faunhof. s és l campo qu nsa pncpalmn n los ssmas d comuncacons pus s l sponsabl d la ansmsón d la ngía a gands dsancas qu sv d poadoa a la nfomacón. Más adlan s dducá una xpsón paa sablc una dsanca lím n ambas gons. Un análss un poco más dallado d las xpsons (5.) ndca qu los campos adados psnan dpndnca no sólo d la dsanca,, sno ambén dl ángulo d lvacón,. La vaacón adal cospond a una funcón d onda sféca: (5.) La dpndnca angula ndca qu la ngía no s adada po gual n odas dccons. S dc noncs qu la fun d adacón s dcva. La funcón d ángulo F(,) (n l caso gnal dpnd ano d como d ) s conoc con l nomb d paón d adacón d campo. n la mayoía d las aplcacons nsa más l paón d adacón d ponca qu s l cuadado d la funcón ano. n émnos d sas dfncons s pud scb qu l campo lécco n l campo lano val: I l F(, ) 4 xcacón La dnsdad d ponca n campo lano val: Ondasféca Paóndcamponomalado (5.3) UCB-IT -V- - LJF

217 UCB-IT -V- - LJF sn 4 sn 4 * * l I l I H R R sn sn 4 * l I l I H S (5.4) Po ano, la ponca po undad d áa qu s obsva n l campo lano dcc con l nvso dl cuadado d la dsanca y psna admás una dpndnca angula n (sn ) qu dfn al paón d adacón. Fgua 3 La ponca pomdo oal adada po l dpolo lmnal (ó dpolo d H) s obn po ngacón. Tomando como supfc d ngacón una sfa d ado s n: sn sn d d l I da S P 3 3 sn sn d d l I d d l I P d l I d d l I P 3 3 sn sn Po: cos 3 cos sn cos sn sn 3 d d Paón d Radacón dl dpolo coo

218 I l 4 I l P 3 6 n l spaco lb l valo d s po lo qu n s caso, P I l 6 I l (5.5) 5-. Paámos dl Paón d adacón. nalando d nuvo la xpsón (5.3) s obsva qu las dpndncas adal y angula sán claamn dsacopladas. La pma s una funcón d onda sféca, n ano qu l sgundo faco psna una vaacón angula d la foma sn. n l caso gnal sa vaacón pud s cualqua, dpndndo no sólo dl ángulo d lvacón sno ambén dl amu S s gafca la dnsdad d ponca n funcón d sos dos ángulos s obn una fgua dmnsonal como la mosada n la fgua 5.. Sn mbago, muchas vcs nsa l compoamno d la anna n émnos d cada una d sas vaabls angulas po spaado. so cospond a la nsccón d s dagama dmnsonal con un plano dado, ya sa d = consan ó = consan. Paa hac sos dagamas ndpndns dl ssma d coodnadas lgdo s acosumba flos más bn a los campos, d mana qu n lo sucsvo s hablaá dl plano H ó dl plano, paa fs a sos planos caacíscos, y a los spcvos paons d adacón. n l caso dl dpolo coo l campo lécco n dccón y su paón d adacón n s plano n la foma sn. n l plano H no hay vaacón angula y s dc qu la anna psna un compoamno omndcconal. UCB-IT -V-3 - LJF

219 R ( ) R ( ) Paon d Radacón Plano- Paon d Radacón Plano-H Fgua 4 dmás d la psnacón pola, s muy común la psnacón casana. Fnalmn, n ocasons s ula oa psnacón casana dond n l hoonal s psna como vaabl ndpndn l sno dl ángulo d lvacón n luga dl popo ángulo. so s quvaln al spco angula d ondas planas noducdo n l capíulo 3. R ( ) Fgua 5 Paón casano Plano. Dpolo coo n gnal, los lóbulos qu consuyn l paón d adacón son d dfns amaños y nn dfns aplcacons páccas n los ssmas d comuncacons. l lmno d mayo amaño s l dnomna lóbulo pncpal y los oos son dnomnados lóbulos laals, o lóbulos mnos. UCB-IT -V-4 - LJF

220 .5.5 ncho dl ha a 3 db Lóbulos scundaos Lóbulo pncpal R ( ) Paon d Radacón Plano- Fgua 6 Un paámo mpoan d una anna dcva s la lacón d las ampluds d los lóbulos laals al lóbulo pncpal. S dfn como: Po ( lóbulo laal ) SLL db log Po ( lóbulo pncpal ) Oo paámo gualmn mpoan s l Fon-o-Back Rao qu psna la candad d ponca adada haca aás con spco al pncpal. Los paons d adacón s clasfcan n s pos omando n cuna la dccón dl (los) lóbulo(s) pncpal(s) con lacón a las funs: boadsd, nmda y ndf. l dpolo lécco coo n un paón d adacón po boadsd. 5- Rpsnacón n émnos d componns ansvsals y adals n la sccón 5. s dsaollaon las xpsons d los campos a pa d las xpsons gnals paa lugo paculaa a las componns ansvsals y longudnals d los msmos cuando s ala l compoamno ano n l campo ccano como n l lano. Sn mbago, n ocasons s convnn aa con sas componns dsd l pncpo lo cual pm ancpa algunos sulados. Paa mpa s scbán ano l opado vcoal como los campos n émnos d sus componns: H H H UCB-IT -V-5 - LJF

221 UCB-IT -V-6 - LJF Los campo s hallan d la xpsón H La dvgnca val: l gadn d sa dvgnca s: s sulado s susuy n la xpsón dl campo lécco: Las componns son noncs: (5.6) Paa loga una mayo smplfcacón s scbá la cuacón d popagacón n émnos d las componns ansvsals y adals, paa odos los punos dl spaco xcpo n la fun, paa lo cual s calculaá pmo l oo dl oo d y l Laplacano: = ( + ) ( + ) ( + ) = ( + ) [( + ) + ( )] = [( + ) ( + ) + ( + ) ( )]

222 UCB-IT -V-7 - LJF s sulado s susuy n la cuacón d popagacón d mana qu: k k La cual a su v pud spaas n una cuacón vcoal y oa scala: k k La susucón n 5.6 poduc fnalmn: (5.7) Po oa pa, l campo magnéco s halla d: H l úlmo émno s nulo, po lo qu fnalmn las componns son: H H (5.8) Como odos los opados ansvsals connn un émno (/) s d spas qu a gands dsancas los émnos domnans san las componns ansvsals. 5-. poxmacón d campo lano. S s obsva qu = θ θ + sn θ φ φ, noncs a gands dsancas los émnos qu connn s opado sán dspcabls poqu los campos no psnan vaacons angulas buscas. n conscunca las cuacons 5.7 y 5.8 pudn scbs como: (5.9)

223 UCB-IT -V-8 - LJF H H (5.) so sgnfca qu n l campo lano los campos léccos y magnécos son xclusvamn ansvsals, s dc consuyn un modo TM. dconalmn s pud noa qu la dccón dl campo lécco s la msma d la componn ansvsal dl vco poncal magnéco, n ano qu l campo magnéco s ppndcula a dcha componn. Más aún, ya qu los campos sgun una ly dl po Onda sféca, a gands dsancas la dvada β = ω με. n conscunca, l émno ansvsal dl campo magnéco quda: ) ( po lo qu fnalmn ) ( H H (5.) Como a d spas. sos msmos sulados s obnn hacndo la apoxmacón n l opado y susuyndo n la xpsón d gands dsancas l opado s duc sncalmn a poqu las dvadas angulas son dspcabls (s no hay dsconnudads n los campos). noncs, y, n conscunca, Fnalmn, l susu n la xpsón d s obn: (5.) quí s ha dfndo un émno como:

224 (5.3) s vdn qu conss solamn d las componns ansvsals d pus l susando s la componn adal d dcho vco. 5-3 Campo adado po un dpolo magnéco l póxmo lmno a consda s una pquña spa d ado b po la qu ccula una con I. La spa yac sob l plano (x,y) y su cno s halla sob l ogn d coodnadas. b I R y x Fgua 7 l puno d obsvacón s halla a la dsanca dl cno d la spa, y la dsanca gnéca a uno d los punos d la spa s dnoaá po R. S s consda un pquño lmno d la spa d longud dl, la conbucón al campo sá: y l campo oal sá la ngal, d 4 R R I 4 R I dl R dl (5.4) sa ngal s basan dfícl d solv poqu R vaía con la ubcacón dl dfncal dl sob la spa. Sn mbago, s s asum qu la spa s pquña, s dc b<<, noncs s pud scb: UCB-IT -V-9 - LJF

225 UCB-IT -V- - LJF R R R l susu n (5.8) s obn, dl dl R I 4 La sgunda ngal s co. Paa calcula la pma ngal s poyca dl n la dccón d R, d mana qu, sn d R b dl R dond s un lmno d ángulo amual. D la gomía d la sucua s obn, sn sn b b R / sn sn b b R y como >>b, noncs, sn sn b R Fnalmn, la ngal val, sn sn sn sn b b d b b dl R sn b dl R y l poncal magnéco sá, sn 4 b I La candad b I s l momno m d la spa, po lo qu, sn 4 m (5.5) l campo magnéco s obn d,

226 UCB-IT -V- - LJF sn 4 sn 4 m m H l campo magnéco pos componns ano n dccón adal como n lvacón, cos 4 m H R sn 4 m H R Po oa pa, l campo lécco n sólo componn amual poqu : sn c c dconalmn, no hay componn adal d po lo qu la componn ansvsal s duc a : sn 4 m sn 4 m D gual mana qu n l caso dl dpolo lécco s pudn obsva vaas gons: una d compoamno cuas-sáco, l campo ccano dond xs un modo T, y l campo lano o campo d adacón, caacado po un modo TM. n s úlmo caso l campo adado val: sn 4 sn 4 sn 4 m m m sn 4 m H (5.6) S s compaa s sulado con 5. s concluy qu l paón d adacón dl dpolo magnéco n xacamn la msma foma qu l dl dpolo lécco. Obsv qu l campo lécco n dccón n s caso, n ano qu n l ano nía dccón.

227 5-4 Paámos báscos d un adado lcomagnéco S s compaan los sulados d la sccón ano con las cuacons (5.) s obsva qu los campos poducdos po l dpolo magnéco sán n cuadaua, ano spacal como mpoalmn, con los dl dpolo hano, y po ano s pudn combna paa obn una onda d polaacón ccula. n ambos casos s pud obsva qu l campo d adacón s pud xpsa como l poduco d una funcón d dsanca (la funcón d onda sféca), po una funcón d ángulo qu dfn l paón d adacón d la anna. n muchos ssmas d comuncacons móvls s usa polaacón ccula y s fácl dsngu sas annas po la psnca d una pquña spa ubcada apoxmadamn n la mad d la longud dl adado lnal (llamado lágo). n oos casos la anna n la apanca d un so hlcodal (comúnmn llamada abo d cochno ) dond cada spa dl hlcod pud consdas como una combnacón d un dpolo d H y una spa plana. Fgua 8. nnas móvls: (a) Pgal, (b) Spng col La cuacón (5.4) musa qu l vco Poynng sá dgdo n la dccón adal, I l S H sn l cual s un númo al. La ponca adada s la ngal d la pa al dl vco d Poynng, po lo qu P R S da RS da UCB -V- - LJF

228 S s nga sob la supfc d una sfa d ado R, noncs la dfncal d supfc val da=r d, dond d s un dfncal d ángulo sóldo. noncs, P R S da R S da U d dond s ha dfndo la candad U como U=R R[S]=R <S>, la cual s dnomna Innsdad d Radacón. D acudo a la dfncón dl paón d campo nomalado (cuacón 5.3) s pud scb U, U F, m connuacón s dfná la gananca dcva d una anna como G D U, P / 4, 4U, U d l valo máxmo d la gananca dcva s la dnomna dcvdad, (5.7) D G Dmax Umax 4U U P max (5.8) D Paa un dpolo d H s n qu 4 max, sn d d (5.9) y la gananca dcva sá: G D I l 6 U R R S I l 6 sn I l 6 3 G D sn La dcvdad dl dpolo hano s po ano,5. sn 4 sn sn d d Ulando la dfncón d F(), la cuacón 5. pud scbs como (5.3) (5.3) UCB -V-3 - LJF

229 n conscunca, la dcvdad val: G D F, 4, F 4, F, d (5.3) n sas xpsons s ha dfndo: D 4 (5.33) F, d (5.34) s s l ángulo sóldo dl ha (ambén llamado ancho dl ha ), l cual sía l ángulo sóldo d un cono n l qu suva concnada oda la adacón d la anna con una nnsdad consan. n la pácca sa valo s ccano al poduco d los ángulos d ponca mad d los paons d adacón y H. so sgnfca admás qu la dcvdad d una anna s nvsa dl ancho dl ha: una anna más dcva n un lóbulo pncpal más scho Cuando s ulan annas páccas s acosumba ula un émno lgamn dfn: la GNNCI. Dbdo a qu n las annas als xsn péddas dspavas, la ponca adada s mno qu la ponca ngada po l gnado. S dfn noncs como Gananca d una anna al cocn: G 4 U P max (5.35) dond <P> s la ponca pomdo ngada po l gnado a la anna. La Gananca d una anna s gual a la Dcvdad cuando no xsn péddas. l cocn U=<P>/4 psna la nnsdad d adacón poducda po una fun qu adas po gual n odas las dccons dl spaco. S bn al fun no xs n la pácca, s muy convnn su ulacón como anna d fnca n muchas suacons als. Tal anna dal s conoc con l nomb d anna soópca. La Gananca pud noncs scbs como, UCB -V-4 - LJF

230 U G U max (5.36) qu pud npas como: La Gananca d una anna s la lacón n la máxma nnsdad d adacón y la poducda po una anna soópca d fnca almnada con la msma ponca d nada : n ocasons s pudn ula como fnca oas annas dfns d la soópca y s pud dfn una gananca spco d al anna como, G U U max (5.37) dond U s la nnsdad d adacón poducda po la anna d fnca almnada con la msma ponca d nada, n la dccón d máxma adacón d la anna n sudo. S s la fcnca d adacón d la anna dfnda como, noncs, s n qu, P P dconalmn, G D (5.38) G 4 S s compaan las cuacons (5.8) y (5.35) s n qu : (5.39) P D P G PIR Umax (5.4) n sa xpsón s ha dfndo l mno PIR (Ponca Isoópca Radada quvaln) como l poduco d la ponca d nada po la Gananca d la nna Tansmsoa y psna la Ponca con la qu s ndía qu sa almnando a una nna Isoópca a fn d poduc la msma Innsdad d Radacón. UCB -V-5 - LJF

231 5-4. Rssnca d adacón S s asum qu no xsn péddas n l adado, noncs s pud consda (dsd l puno d vsa dl gnado) qu la ponca d adacón s gual a la ponca qu s dspaía n una ssnca quvaln po la qu ccula la con dl dpolo. Paa l caso dl dpolo d H n l spaco lb sa ponca val, P P P I l 6 Il 6 po lo qu la ssnca d adacón sá I l sn 6 d 4 I 3 sn d d sn sn d l 8 l 8 R ad (5.4) s mpoan noa qu sa ssnca d adacón sá ambén la ssnca dl gnado quvaln cuando la anna sé acuando como cpoa. D gual mana qu una ssnca al, sa ssnca quvaln sá ambén una fun d udo émco qu s saá ngando al cpo conunamn con la sñal. n los nlacs ss s udo émco sá dbdo cas xclusvamn a la agacón molcula d las paículas a la mpaua ambn. Sn mbago, n l caso d nlacs salals, la anna capaá ambén udo émco d nusa popa galaxa, así como d la a qu oda a la anna (a avés d sus lóbulos laals) lo cual dgadaá la lacón sñal a udo a la nada dl cpo. Oa candad quvaln d nés s la llamada áa fcva d la anna, la cual s dscuá n la póxma sccón. 5-5 La anna como cpo Hasa l momno s han sudado los campos poducdos n l spaco po la cculacón d cons a avés d conducos. Sn mbago, als campos a su v pudn nduc volas y cons n conducos. n als condcons la funcón d la anna s ahoa cog una pocón d la ngía adada (po oa anna) paa llvala a algún dsposvo. Gnalmn, UCB -V-6 - LJF

232 n los ssmas d comuncacons, al dsposvo s un cpo cuya funcón conss n xa la nfomacón qu ha sdo nvada n la poadoa d ala fcunca. La xpnca pácca y la nucón nos pmn adlana qu l compoamno d la anna como cpoa no dbía df apcablmn d su funcón como ansmsoa. n aldad so s co sólo bao cas condcons qu s xpsan fomalmn po mdo dl Toma d Rcpocdad. n un ssma lnal, la spusa n un puno dl spaco dbdo a un símulo n oo puno no s ala cuando s ncamban l símulo y la spusa. Las solucons gnals d las cuacons d Maxwll son ondas qu vaan n dccons opusas n l spaco. n l caso d las funs s han hallado dos solucons, una pogsva y una gsva, po s ha dschado la solucón gsva paa l caso dl spaco sn fonas y lb d oas funs. Sn mbago, s s dspusa d un conuno d funs qu adaan n dccón al ogn con magnuds y fass cospondns al campo d adacón d la anna, noncs sía admsbl la solucón gsva. Sn mbago, aún n l caso gnal, s consdaá qu xs un co fluo d ponca n dccón al ogn (dond sá la anna cpoa). l campo lécco n l ogn dbdo a las funs xnas daá ogn a un vola nducdo l cual pud s ngado como ponca úl a una caga concada a la anna. La ssnca d adacón sá ahoa la mpdanca dl gnado quvaln como sgu: R ad l V I Z L H dond, Fgua 9 UCB -V-7 - LJF

233 l V dl s vola, a su v, poduc una cculacón d con (5.4) I V R ad Z L (5.43) la cual a su v poduc una adacón haca l spaco (so s pud ula paa vaa l compoamno d una anna al aggal lmnos paásos como dcos ó flcos). vnualmn s campo -adado alcana la fun nduc n lla una nsón, d mana qu ahoa s n l sgun ssma: I V I V Fgua S s asumn las cons n los gnados como las xcacons y las nsons como las spusas, noncs s pud scb: V Z V Z Z Z I I (5.44) dond odos los fcos dl mdo y la popagacón sán ncludos n Z. S l mdo s lnal soópco (aunqu no ncsaamn homogéno), noncs la ma s sméca y po ano Z =Z. Po ano, las macs d mpdanca y admanca d ssmas lnals pasvos cípocos son smécas. l camba l ángulo los valos d Z pudn camba po la condcón d cpocdad s mann. S las annas s hallan sufcnmn aladas una d UCB -V-8 - LJF

234 la oa, los émnos Z y Z son mucho más pquños qu Z y Z, lo cual pm dfn una mpdanca d nada d cada anna ndpndnmn d la oa. Sn mbago, cuando la sgunda anna sá n l campo ccano d la pma, l acoplamno n ambas povso po Z y Z afca la mpdanca d nada; so ocu cuando xsn lmnos paásos n la anna ú oos lmnos como la posadua o l fco d la flxón n a. sas cons nducdas afcan ambén l paón d adacón ya qu consuyn funs d adacón adconals. D mana smla a lo dscudo n l capíulo 3, s posbl dfn paámos d dspsón paa s ssma nada-salda consudo po ambas annas: b S b S S S a a noncs, y con l msmo aonamno ano, los émnos S y S dbn s guals poqu la d s sméca. n l campo lano su valo s pquño po lo qu l cofcn d flxón d cada anna s podá dfn po spaado, y n conscunca, las mddas cocvas (s fun ncsaas) s podán hac sob cada anna sn n qu oma n cuna la naccón con la oa. La vnaa d ula paámos d dspsón sá n qu n la pácca s pudn usa los analados d ds paa md los paons d adacón, así como la gananca y la dcvdad d las annas, po mplo cuando s usa una cámaa ancoca. Tambén s posbl ula un analado d ds n los casos cuando no s nga accso al xmo ansmso: n s caso s usa una anna auxla (d fnca) concada como puo () y la oa anna al puo (), y odas las mddas s haán lavas a la anna d fnca, paa dspués coglas a los valos absoluos como s musa n la sgun fgua: UCB -V-9 - LJF

235 nna bao puba Posconado nna d fnca Tx nalado d ds Fgua l paón d cpcón d una anna s una gáfca d la ponca ngada po la fun a su caga acoplada dbdo a una onda plana qu ncd sob la anna a dfns ángulos. n l campo lano, l campo adado s una onda TM sféca, qu pud s consdado como una onda localmn plana n la gón dond s halla la anna cpoa. Dbdo al oma d cpocdad s pud sablc noncs qu l paón d cpcón d una anna s dénco a su paón d adacón. La ponca absobda po la caga pud s laconada con la dnsdad d ponca a avés d un áa quvaln ó fcva: Po absobda Dnsdad d ponca (5.45) Db noas qu sa xpsón dpnd d la ponca absobda po la caga, la cual s funcón d su mpdanca. S dcha mpdanca s la magn d la mpdanca d adacón noncs l áa fcva sá máxma. l áa fcva pud laconas con la gananca d la sgun foma: l oma d cpocdad sablc qu l paón d cpcón s dénco al paón d adacón. Po ano, s s nn dos annas sob las cuals ncd la msma UCB -V-3 - LJF

236 UCB -V-3 - LJF dnsdad d ponca (d una onda plana), noncs la lacón n las áas fcvas sá gual a la aón d las poncas cbdas, y po ano sá gual al cocn d las ganancas: D D G G P P (5.46) S ahoa, s asum qu la pma anna s la soópca, noncs, Gl= poqu l= y Dl=. noncs, D paa cualqu anna. Paa un dpolo coo, y asumndo qu =, s n qu la nsón nducda sá la ngal, l dl V La ponca ngada a la caga acoplada sá, R S R l R V P ad ad (5.47) Po ano, l l R l ad (5.48) Fnalmn, D (5.49) l áa fcva d cualqu anna sá po ano, 4 G G (5.5) la cual s una cuacón fundamnal paa l cálculo d ado-nlacs.

237 5-6 nnas lnals n los apas anos s han consdado dos annas dals: l dpolo lécco y l dpolo magnéco. S bn las msmas no xsn n la aldad, pudn consdas como pa d las annas als y sá ncsao consda l fco suppuso d sas annas lmnals paa halla l paón d adacón d la anna al. Un caso d gan nés pácco lo consuyn las llamadas annas lnals, las cuals s foman a pa d dsbucons d con ubcada a lo lago d una lína (po convnnca s lg l ). sas annas nn smía axal al gual qu los dpolos lmnals, po lo qu s d spa solamn una vaacón n l ángulo. l vco poncal magnéco val: J ( ) 4 I( ) dv 4 k k d k (5.5) poqu las funs d con s hallan sob l. n l campo lano = >>. so pm xa l dnomnado d la faccón fua d la ngal. Sn mbago, lo msmo no s aplcabl al émno xponncal. Paa halla una xpsón paa s émno, s comnaá po scb odas las magnuds n coodnadas cangulas. - I( ) D x y Fgua Dbdo a la smía axal s pud suda l campo n l sólo plano (po mplo y-) y lugo oa los sulados alddo dl. y sn cos l émno d dsanca n la xponncal val: y (5.5) UCB -V-3 - LJF

238 R cos sa xpsón s pud xpand usando l oma dl bnomo y quda: (5.53) R cos cos... (5.54) n l campo lano solamn son sgnfcavos los dos pmos émnos. l o noducdo po l c émno s pud ula como un co paa dlma l comno dl campo lano (ff). l co s qu s o sa un dcssavo d la longud d onda paa la mayo dmnsón d la anna (D). Susuyndo s n: D / ff 6 D aquí s obn l co: Fnalmn s n: D ff 4 4 cos I( ) k d 4 d k / cos I I( ) cos d k (5.55) sa xpsón s conoc como una ansfomada d Fou (d hcho s la ansfomada nvsa) qu mapa l plano / n l plano cos. la dsbucón d con I( /) s l dnomna funcón d lumnacón d la anna. sa ansfomacón s smla al spco angula d ondas planas ya dscudo n l capíulo 3. Dbdo a qu l valo dl cosno sá lmado al nvalo (-,) paa ángulos als solamn sán vsbls aqullos lóbulos qu s halln n dcho nvalo, lo cual dpnd d la longud lécca d la anna (D/), sndo D la dmnsón mayo d la anna. Cuando la anna s pquña, solamn s apca un lóbulo d gual mana qu n los dpolos lmnals; sn mbago, a mdda qu la anna s hac más laga léccamn l lóbulo pncpal s scha y apacn nuvos lóbulos laals qu no saban vsbls anomn. Como mplo d so consdmos l caso d una anna lnal lumnada unfommn (Fgua 3). La funcón d lumnacón s musa a la quda y su ansfomada d Fou a la dcha, la cual s una funcón Snc. UCB -V-33 - LJF

239 Paa obn l campo lécco s ulaá la xpsón, po aplcando la apoxmacón d campo lano. Dbdo a qu n l campo lano las vaacons adal y ansvsal sán dsacopladas s pud scb la xpsón ano d como l poduco d una funcón d onda sféca po una funcón d dcvdad n l caso psn s n qu 4 sn f, k (5.56) n conscunca, 4 f, sn (5.57) l compa s sulado con la xpsón 5. s apca qu nn la msma foma y sólo dfn n l émno f(,) (l momno dl dpolo lmnal ha sdo absobdo n la funcón f()). Po sa aón s acosumba scb qu l paón d adacón F() s l poduco d dos funcons:,, f, F g (5.58) l pm émno s l dnomna faco dl lmno (adado lmnal) * y l sgundo s l faco dl paón (a vcs ambén llamado faco dl aglo, cuando s consdan aglos d annas) Lína d con unfom s s un modlo adcuado paa psna annas coas po cuano s asum qu la nnsdad d con s consan a lo lago d la lína y no suf dsfas alguno I I( ) L paa paa l so (5.59) * lgunos auos npan l faco g como una onda sféca poducda po un lmno d con d longud l sn ubcada ppndculamn a la dccón dl obsvado. Suman W., Thl G. nnna Thoy and dsgn. John Wly and sons, 98, pag 8 UCB -V-34 - LJF

240 L / noncs, f, I L / cos d unqu sa ngal s pud valua dcamn, vamos a scb so como una ansfomada d Fou. D hcho, I( ) s una funcón c( ) y su ansfomada s una funcón snc (L/cos ). I( /) /.63 /L cos Fgua 3. Funcón d lumnacón y su ansfomada Una v qu s mulplca po l faco dl lmno l paón sulan s (solo s musa l módulo poqu n la pácca s md s la ponca):.99 f( k) sn( ( k) ) Fgua 4. Paón d adacón casano d una anna lnal con lumnacón unfom Sn mbago, n la pácca s acosumba mosa l paón d adacón d ponca y usualmn n undads logaímcas ( k) dg 8 UCB -V-35 - LJF

241 F( k) ( k) Fgua 5. Paón d adacón casano d una anna lnal con lumnacón unfom n dg undads logaímcas F( k) ( k) 3 Fgua 6. Paón d adacón pola d la msma anna S apcan claamn l lóbulo pncpal apunando n la dccón boadsd (9º), así como algunos lóbulos laals. Dbdo a qu n MahCad l ogn d los ángulos s la lína hoonal, la lína d con saá ubcada n sa poscón y po ano la dccón boadsd s vcal (9º). Tambén db noas qu n la psnacón casana sólo s UCB -V-36 - LJF

242 musa l nvalo d ángulos a 8º, n ano qu n la psnacón pola s musa odo l nvalo a 36º. l paón cospondn al nvalo 8º a 36º s obn oando l paón mosado alddo d la lína hoonal dbdo a la smía axal qu psna s po d anna. fcos d compaacón s musa a connuacón l paón cospondn al adado lmnal. g( y) ( y) dg 4 7 Fgua 7. Paons d adacón dl dpolo lmnal (Plano ) S apca qu cuando la lacón L/ s gand, la foma dl paón vn dmnada pncpalmn po l émno f(,). so s co sob odo cuando la anna sá adando n la dccón boadsd. Sn mbago, cuando la anna ada cca d la dccón ndf, l émno n sn() pud afca sgnfcavamn la amplud d los lóbulos como s vá n l póxmo mplo Lína d con con fas lnal Cuando s n una dsbucón cualqua d cons, la dmnacón dca dl paón d adacón pud volvs muy laboosa. Sn mbago, apovchando las popdads d la ansfomada d Fou s fácl sma l fco d los cambos n la funcón d lumnacón. Po mplo, s I( ) uva un módulo consan como n l caso ano, po su fas cambaa pogsvamn a lo lago d la anna, s pud adlana qu l fco sá un dsplaamno d la funcón snc, y n conscunca ambén s dsplaaán los lóbulos dl paón d adacón. Los sulados cospondns son: I I( ) / L paa paa l so (5.6) UCB -V-37 - LJF

243 .96 f( k) sn( ( k) ) ( k) dg 8 F( k) ( k) Fgua 8. Tansfomada d la funcón d lumnacón y paón d adacón casano d una dg anna con fas lnal. 8 UCB -V-38 - LJF

244 F( k) ( k) 3 Fgua 9. Paón d adacón pola d la msma anna. Como s apca n la gáfca, l lóbulo pncpal s ha dsplaado dsd la poscón boadsd (9º n l dagama pola) haca un lado (apoxmadamn a 8º n l mplo). so sug la posbldad d camba la dccón d máxma adacón d la anna smplmn cambando la fas d la funcón d lumnacón. D hcho sa s la bas d los ssmas d bado lcónco (lconc scan) ulados n algunos ssmas d ada. Sn mbago, hay qu n cudado con la dfomacón qu pud n l lóbulo pncpal cca d la condcón ndf como s pud apca n l sgun gáfco. UCB -V-39 - LJF

245 .47 f( k) sn( ( k) ) ( k) dg 8 F( k) ( k) dg Fgua. nna lnal adando cca d la condcón ndf. 8 UCB -V-4 - LJF

246 F( k) ( k) 3 Fgua. Paon d adacón pola d la anna lnal adando cca d la condcón ndf. D gual mana, s posbl aplca sos concpos paa oas aplcacons. Po mplo, n la sccón 5-5. s obsva qu l pm lóbulo scundao n una magnud apcabl qu pud s nconvnn paa cas aplcacons. D hcho, la lacón SLL n l lóbulo pncpal y s s apnas d 3. db. so lóbulos d gan amplud son ocasonados po la dsconnudad d la funcón d lumnacón I( ) al fnal d la sucua d la anna. Una mana d dsmnu la amplud d sos lóbulos d dfaccón s scogndo una funcón d lumnacón más suav. Po mplo s s ula una funcón angula o una cosno alado s posbl aumna la lacón SLL a o 6 db. UCB -V-4 - LJF

247 F( k) ( k) Fgua. Paón d adacón casano d una anna lnal con lumnacón Hammng dg F( k) ( k) 3 Fgua 3. Paón d adacón d una anna lnal con lumnacón Hammng Todos sos concpos, qu han sdo dvados paa una anna lnal son gualmn aplcabls al caso d annas d abua qu s dscu n la póxma sccón. UCB -V-4 - LJF

248 5-7. Radacón dsd abuas. lmno d Huygns Hasa l momno s ha consdado xclusvamn l caso d annas consudas po conducos dond s pud dnfca fáclmn a las cons qu consuyn la fun dl campo adado. Sn mbago, xs un gupo mpoan d annas n las cuals no s posbl dnfca als funs. Po l conao, la anna sá consuda po una guía d ondas qu anspoa un modo nhomogéno y s ab haca l spaco paa poduc la adacón. Tals annas s conocn colcvamn con l nomb d annas d abua. La bas dl análss d las annas d abua s la oía d funs scundaas d Huygns. D acudo a sa oía, l fn d onda pud consdas como consudo po una gan númo d funs scundaas; cada una d llas ada ondas sfécas y la supposcón d als ondas sfécas da ogn al nuvo fn d ondas. Sn mbago, a fn d qu als funs poducan cocamn l campo adado s ncsao qu las msmas posan un paón d adacón d la foma (+ cos ), dond s l ángulo mddo dsd la ppndcula al fn d ondas, y qu su fas sé adlanada 9º spco al fn d ondas. Con sa dfncón d las funs s asgua admás qu no xs adacón haca la popa fun. (oo: nós qu n s caso l pola sá n la dccón ppndcula a la abua, po lo cual s camba funcón cosno po sno, n lacón al caso d la anna lnal). S la fun d adacón s alamn dcva (como s l caso d las annas d abua páccas) s pud consda l sgun modlo paa su sudo: un plano conduco nfno ubcado n l plano (x,y), con una abua d dmnsons a y b spcvamn, lumnado dsd aás po la fun d adacón y ubcada smécamn alddo dl ogn d coodnadas. l campo lécco n la dccón dl x y sá co n odos los punos dl plano (po s angncal), xcpo n la abua, n la cual psnaá una vaacón (y). UCB -V-43 - LJF

249 UCB -V-44 - LJF a Plano conduco nfno y x fun smplano dcho R P(R,) b Fgua 4 l campo lano poducdo po una fun scundaa dy sá: a dy y k d k cos 4 ) ( dond s la dsanca dsd la fun scundaa hasa l puno d sudo. S R s la dsanca al puno mdda dsd l ogn s n qu (n l campo lano), ysn R l campo oal adado sá noncs la ngal, a dy y k k b b cos 4 ) ( (5.6) sn sn ) ( cos 4 b b y R k dy y R y a k sn ) ( cos 4 ), ( b b y k R k dy y R a k R (5.6)

250 l sulado vn domnado pncpalmn po l émno ngal. Como l campo angncal s co n odas pas xcpo n la abua, los líms d la ngal s pudn xnd hasa l nfno, d mana qu s émno s ansfom n, k ( y) ysn dy ( y) y ( ) y sn ysn y d dy (5.63) sa s una funcón d ángulo, y a xcpcón dl émno ( + cos ) consuy l paón d adacón d la abua. Un análss d sa ngal musa qu la msma s una ngal d Fou. spcífcamn s la ansfomada nvsa d Fou qu mapa l plano (y/) n l plano sn. La funcón (y/) cb l nomb d funcón d lumnacón d la anna d la msma mana como s dfnó I( ) paa las annas lnals. Po ano, s pud sablc qu l paón d adacón d la anna d abua concd con la an-ansfomada d Fou d la funcón d lumnacón. n l caso psnado, s asumó qu l campo lécco n la abua d la anna solamn psnaba vaacons n la dccón y y d sa mana s vncula sa funcón d lumnacón con sn. Sn mbago, so s gualmn aplcabl al plano x-, dond (x/) sía la funcón d lumnacón y sn sía l plano ansfomado como s musa n la fgua 5.9. Plano conduco nfno P(R,) R b y fun x a smplano dcho Fgua 5 UCB -V-45 - LJF

251 Combnando ambos fcos s n noncs la sgun xpsón paa l campo lano: ( R,, ) k 4 k R R k xsn k ysn cos cos ( x, y) dxdy (5.64) l émno ngal s una Tansfomada d Fou Bdmnsonal y, dbdo a qu las vaabls x y y sán dsacopladas, sá smplmn l poduco d las ansfomadas undmnsonals n cada plano. so n gands aplcacons páccas pus s posbl obn cas cualqu paón d adacón dsado d una anna, smplmn dsñando n foma adcuada la funcón d lumnacón. Las annas d ada uladas n muchos avons d comba ulan s pncpo n la foma d aglos d adados cuyas ampluds y fass son conoladas po un mcopocsado ddcado. Tals annas s conocn comúnmn con l nomb d phasaay. smsmo, s han ulado phas-aays n aplcacons sofscadas como s l caso dl ada moológco qu s musa n la sgun magn Fgua 6. (Insallaon of a phasd aay ada a NSSL Insallaon d'un ada dmnonnl à balayag élconqu au laboao d chch NSSL. {{PD-USGov-DOC-NO}} ). Tomado d hp://s.wkpda.og/wk/chvo:pa_nsallaon.pg UCB -V-46 - LJF

252 D la msma mana, s s suda cudadosamn l campo n l nono d una anna sá posbl sma l compoamno d la msma a gan dsanca. so s l conoc con l nomb d ansfomacón campo ccano-campo lano. D sa mana s posbl uga la caldad dl paón d adacón d una anna dcva sn ncsdad d cu a la ulacón d una cámaa ancoca, las cuals son xmadamn cososas. Las mdcons n l campo ccano s alan n cámaas sm-ancoícas las cuals sólo sán cubas d maal absobn n algunas d sus pads. Sn mbago, s pcso dsaca qu las mdcons dl campo dbn hacs ano n magnud como n fas y la sonda xploaoa db movs n foma pcsa n un plano ppndcula a la dccón d adacón d la anna. UCB -V-47 - LJF

253 5-8 lpsods d Fsnll Db mnconas qu, admás d la aplcacón ya mnconada d dmnacón dl paón d adacón d annas d abua, la oía d funs scundaas s ula ambén n l cálculo d nlacs d ado dond xsan obsáculos. Paa halla l campo cbdo s ncsao nga las conbucons d odas las funs scundaas n l spaco. sa s una ngal d volumn, la cual s acosumba ala sumando las conbucons d odas las funs qu poducn dénco dsfasa. focos d los lpsods F ayo dco d d Fgua 7 l luga goméco qu cospond a las funs scundaas qu poducn l msmo dsfasa n l ansmso y l cpo s un lpsod d volucón y l conuno d odas sas supfcs s conoc con l nomb d lpsods d Fsnll. n l cálculo dl campo cbdo a pa d los lpsods d Fsnll, s pud adlana qu la psnca d obsáculos n l ayco d popagacón lmna las conbucons d algunos d sos lpsods y ala l campo oal cbdo. Como la suma s fasoal, la vaacón dl dsp n l obsáculo y l ayco goméco n las annas pud poduc una vaacón no monoónca n la nnsdad d campo cbda. n las aplcacons d comuncacons n fcuncas lvadas, las dsancas d y d son nomalmn mucho mayos qu la longud d onda d la sñal d ado, y po sa aón s pud consda qu l fn d onda s apoxmadamn plano n un puno nmdo dl nlac como l mosado n la fgua. sa apoxmacón s convnn paa smplfca l cálculo dl campo cbdo. La nsccón d s plano con los lpsods poduc una famla d cículos qu psnan odos los punos dl plano qu poducn l msmo dsfasa n l puno d cpcón a pa d la sñal mda dsd l UCB -V-48 - LJF

254 ansmso. n conscunca, sos cículos vnn paamados po l dsfasa, l cual a su v s funcón dl ado dl cículo. l ala la ngacón sob odas funs scundaas dl fn d onda, s obn una smplfcacón ulando coodnadas polas n luga d cangulas: l lmno d supfc s un oo d anllo como s musa a connuacón: d d lmno d supfc: d d Fgua 8 S no hay obsuccons la ngacón a lo lago d la ccunfnca s dca poqu odas las componns nn la msma magnud y ángulo. n conscunca sólo sa la ngacón n la dccón dl ado. Paa halla la lacón n l dsfasa y l ado R d la ccunfnca cospondn s haá uso d la apoxmacón R << d y d. La gomía dl nlac s la sgun: R R R d d Fgua 9 D la fgua s obn: hoa bn: R R R d d R d R d d d R d d d d R Hacndo uso d la apoxmacón mnconada, s pocd a xpand l adcal n s d poncas, y s consva solamn los dos pmos émnos d la xpansón: UCB -V-49 - LJF

255 UCB -V-5 - LJF d R d d d R d d R D gualmn s obn una xpsón smla paa R-d. Fnalmn, l dsfasa val: d d d d R d R d d R d (5.65) su v, d sa xpsón s pud obn l ado cospondn paa una fas dada. Como las sumas son fasoals, algunas conbucons poducán un ncmno y oas un dcmno d los sulados. Po sa aón s convnn dvd l nvalo adal n onas con dsfasas cospondns a cuadans d ccunfnca, s dc, los lms d una ona a oa son múlplos d n/. sas onas s dnomnan onas d Fsnll y s numan d acudo al númo n; l valo dl ado R d las onas d Fsnll s dnoa po Fn. d d d d n F n l ado d la pma ona d Fsnll val, noncs: d d d d F Fgua 3 n la sgun abla s musa l valo dl ado d la pma ona d Fsnll paa vaas fcuncas uladas n nlac d comuncacons páccos, n l cno dl nlac qu s dond alcana su valo máxmo. La dsanca n xmos dl nlac s km. R R F d d Zonas d Fsnll

256 f(mh) (n m) F(m) ngulo(º) 5, 6,,47,43, 3, 86,6,99,,5 6,4,7 5,,6 38,73,444.,,3 7,39,34.,,5 9,36, 5.,,6,5,4.,,3 8,66,99.,, 6,,7 Tabla 5. S ha aggado l ángulo subnddo po la pma ona d Fsnll a fn d compalo con l lóbulo pncpal d las annas dcvas mpladas comúnmn n comuncacons. Paa sma l campo cbdo s ncsao nga la conbucón d odas las funs scundaas qu yacn n l plano ansvsal al nlac. Sn mbago, s xss un obsáculo qu mpda l paso d algunas d sas componns (como l s d una cámaa foogáfca) la ngacón dbá alas sob las onas d Fsnll no obsudas. 5-9 Dfaccón alddo d obsáculos. Modlo Flo d cuchllo La oía d funs scundaas d Huygns pud ulas paa sma l campo cbdo n una anna cpoa cuando l ayco n ansmso y cpo sá pacalmn obsudo, como s musa n la fgua UCB -V-5 - LJF

257 T T T S O H d R ayo dco R d h S Fgua 3. Gomía dl ayco pacalmn obsudo D acudo a lo xpuso n la sccón ano, cada lmno dl fn d ondas s conv n una fun scundaa d ondas sfécas, y l campo oal n un puno dado pud obns sumando odas las conbucons d sas funs scundaas. Paa sma l campo cbdo n l puno cpo R s haá una ngacón d odas las conbucons dl fn d onda ubcado n l plano S-S dond yac la obsuccón. Dbdo a qu la mayo pa d la ngía s concna n las pmas onas d Fsnll s pud apoxma l fn d ondas cuvo po uno plano a fn d smplfca los cálculos. D sa foma las ngals s pudn xnd (fomalmn) hasa l nfno, a sabndas d qu sas conbucons sán dspcabls y no noducán o apcabl n l sulado. D sa foma l poblma s duc a uno d adacón dsd apuas y pud s aado d mana smla a lo dscudo n la sccón 5.5. n sa abua, y consdando annas dcvas, s posbl consda qu la amplud d las funs scundaas s consan, y qu su fas vaía sgundo la gomía psnada n la sccón ano (lpsods d Fsnll). S s ngan odas las funs scundaas n s fn d ondas l sulado db s l msmo qu l d la popagacón n spaco lb n las dos annas. Sn mbago, la obsuccón va a lmna una pocón d sas funs scundaas, lo cual s aduc n un cambo n los líms d UCB -V-5 - LJF

258 ngacón. dconalmn, y dbdo a qu l obsáculo yac ppndculamn al ayco d popagacón sá ncsao ala un cambo d ssma d coodnadas (d pola a casano) paa aa con sa gomía n pacula. Los pasos dallados d sa dduccón s hallan n l lbo d Lvngson o n lbos d ópca *. quí sólo s mosaán algunos pasos nmdos. La cuacón d pada s la 5.6 modfcada a la gomía mosada n la fgua 3. sa xpsón consda qu las funs scundaas fuon gnadas po una fun qu s halla a una dsanca d d la abua y qu a su v -adan haca un puno dsno qu s halla a d d dcho plano. so s l poduco d dos ondas sfécas, las cuals a su v sán afcadas po la dcvdad d las annas y los émnos d dcvdad d las funs scundaas. l ogn d coodnadas s ha scogdo n l puno dond la lína goméca qu un a las annas ncpa al plano S-S. k ( d, d, ) a 4 d k d k d cos H d y ( y) k dxdy (5.66) La consan a ún odos los fcos d las xcacons y las dcvdads d las annas y s l dsfasa oal dfndo n la cuacón (5.6). s campo lécco va a nduc una nsón n la anna cpoa la cual ngaá a su caga acoplada una ponca R / R ad P 4. l valo pomdo d sa ponca cbda val: P R P T 4 d d x y DT DR d cos d H 4 d d y dxdy (5.67) Como n la pácca las annas s hallan alnadas paa la máxma dcvdad, s pud consda al ángulo H muy ccano a (V abla 5.). smsmo, las ngacons con spco a x y a y s pudn ala spaadamn. Las funcons d s po son las conocdas ngals d Fsnll, las cuals son pans d la funcón o (f(w) y fc(w)). l émno ngal val: * Lvngson D. C., Th Physcs of Mcowav Popagaon; G. T. &., Mayo 967, págnas 45 a 48. Longhus R. S., Gomcal and Physcal Opcs, Longman, 98, capíulo III UCB -V-53 - LJF

259 UCB -V-54 - LJF y y d d d d x d d d d y y x d d d d dy dx dxdy (5.68) Como s ha asumdo qu l obsáculo s xnd nfnamn n la dccón x la pma ngal val. Fnalmn s obn, qu la ponca cbda n funcón d los líms d ngacón y=-h y y=, val: 4 h S S h C C d D D P P R T T R (5.69) n sa xpsón s han dfndo los sguns émnos: d d d du u w C w cos ) ( ) ( w C w C du u w S w sn ) ( ) ( w S w S F h d d d h h Fgua 3 (a) Ingals d Fsnll (b) spal d Conú. La fgua 5.4 musa las funcons C(x) y S(x). n ausnca d obsáculos los líms d ngacón s van al nfno y s n: C x ( ) S x ( ) x x S x ( ) C x ( )

260 C C S n conscunca S( ) P R P T DT DR 4d,5,5,5,5 P T DT DR 4d (5.7) s sulado concuda con la xpsón d spaco lb. n cualqu oo caso, l nvl d la sñal cbda dpnd dl dsp h, o mo dcho dl dsp nomalado h/f como s musa n la Fgua P(h/F) h/f, ds p nomalado Fgua 33 Nvl d sñal cbda n funcón dl dsp. Nomalmn s acosumba psna sos valos n db spco al spaco lb como s musa n la sgun fgua. UCB -V-55 - LJF

261 P(h/F) (db sob l spaco lb) h/f, dsp nomalado Fgua 34 Nvl cbdo n db spco al spaco lb. Un análss d sa fgua musa algunos aspcos nsans:. S l nlac s asan (h=) s cb sólo la cuaa pa dl nvl d spaco lb, a dfnca d lo qu dcaía la nucón (s dc, la mad).. l nvl d spaco lb s alcana n h=,6 F. n muchos casos páccos s oma és valo como co paa l dsp mínmo dl ado nlac. 3. Más allá d s valo l valo cbdo s ncluso supo al dl spaco lb. un valo d apoxmadamn h=,4 F l valo alcana a,4 db po ncma dl spaco lb. so no vola nngún pncpo físco, lo qu sucd s qu s ha dcconado la ngía n sa dccón a xpnsas d la qu cospondía a la ona d somba. 4. mdda qu l dsp connúa aumnando, la ponca cbda oscla alddo dl valo d spaco lb accándos asnócamn a él. 5. n la ona d somba, l nvl d sñal cbdo dscnd buscamn con l dsp. UCB -V-56 - LJF

262 Capíulo 6. Radonlacs UCB -VI-57 - LJF

263 quaon Chap 6 Scon 6 lmnos d cálculo d nlacs. l cálculo d nlacs conss n pdc la ponca cbda n l puno d cpcón y compaala con cas nomas sablcdas paa sma la caldad d la sñal a s cbda. S bn no s l obo d s cuso suda n dall odos los mcansmos d popagacón qu dbn consdas n l caso d los nlacs páccos, s psnaán los pncpos báscos po mdo d un mplo sncllo: l cálculo d un nlac puno-a-puno qu cua po ncma d un no qu ocasona flxons. Tansmso Supfc flcoa Rcpo Fgua 35 n pma nsanca db noas qu la popagacón no ocu n l spaco lb sno n la amósfa, la cual como s ha dscudo ans no s homogéna. n la sccón -.7 s sudó la Incdnca oblcua sob un mdo dlécco safcado, y s concluyó qu n s po d mdo la popagacón no ocu n lína ca (como n l spaco lb) sno qu dscb una cuva. n l caso pacula d la amósfa s y n condcons d faccón nomal, sa cuva s un aco d cículo y como la sccón dl god a la cual sá fda la opogafía pud apoxmas localmn po un aco d cículo, s acosumba conv l poblma ano oo más sncllo dond s fln sólo las cuvauas lavas d los acos. Uno d los modlos poduc una Ta Plana y un ayo cuvo, n ano qu l oo modlo poduc un ayo co sob una Ta qu n un ado d cuvaua modfcado, KR, dond R s l ado al (6.37 km) y K s l llamado Faco d Rado fcvo d la Ta. UCB -VI-58 - LJF

264 Rayo cuvo Ta cuva. R =637 km Fgua 36 Rayo cuvo Ta Plana Fgua 37 Rayo co Ta cuva. KR Fgua 38 Po aons d comoddad usamos s úlmo modlo. n pma nsanca s calculaá la ponca cbda, hacndo absaccón d la supfc flcoa, paa lugo ncopoa los fcos d la flxón. D la xpsón 5.39 s n qu Po absobda Dnsdad d ponca UCB -VI-59 - LJF

265 así qu la ponca ngada a la caga acoplada sá l poduco dl áa fcva po la dnsdad d ponca. D la xpsón 5.4 s n PIR U max 4 La dnsdad d ponca s obn dvdndo U n l cuadado d la dsanca, R, po lo qu fnalmn, la ponca pomdo nada a la caga, P, sá P G P 4R (6.) dond s ha ulado la noacón P paa smbola la ponca pomdo d nada <P>. Como l áa fcva fu dfnda n 5.5 n émnos d la gananca s pud scb P G P G G 4R 4 4 y, Fnalmn s obn la sgun xpsón paa la ponca cbda, P P 4R G G (6.) sa xpsón s conoc como Fomula d Fs y s acosumba scbla n undads logaímcas como sgu: P R db P T db G T db G R db 4 R log (6.3) l úlmo sumando psna la pédda d spaco Lb qu ocu n dos annas soópcas. Como la longud d onda sá laconada con la vlocdad d popagacón, s émno pud scbs como: PL db log(4 R / ) log( 4fR / c) log(4 / c) log( f ) log( R) 8 log(4 / 3. x [ m / sg]) log( f [ H]) log( R[ m]) log(4.99 x log( f [ H]) log( R[ m]) [ m / sg]) log( f [ H]) log( R[ m]) (6.4) Haald T. Fs. hp://n.wkpda.og/wk/fs_ansmsson_quaon UCB -VI-6 - LJF

266 Sn mbago, s s xpsan las dsancas n km y las fcuncas n GH, había qu suma 4 db, al sulado ano (*9+*3=4), po lo qu la consan val ahoa P R dbm P T dbm G T db G R db log f ( GH) log R( km) 9.44 (6.5) Po mplo, n un nlac d mco-ondas a 7.4 GH, con ponca d ansmsón 7 dbm, con annas d 3, db d Gananca cada una, la ponca cbda a 4 km d dsanca val: P 7 dbm 3, 3, log 7,4 log ,4 7,38 3,4 9,44 5, 46dBm Un qupo ípco d ado d ala capacdad paa sa banda d fcuncas qu anspo 56T (9 Mbps n modulacón 8PSK) n un umbal d snsbldad d cpo d dbm paa un BR d -6. so qu dc qu la sñal cbda sá 3 db po ncma dl umbal. sa dfnca s lo qu s conoc como Magn d Dsvancmno y s la holgua ncsaa n l ssma paa pogs cona posbls cambos n l nvl d la sñal po anuacón o nfnca. Paa lusa sos fcos s dbuaá un dagama d nvl como sgu: PIR G P G P Magn d dsvancmno ktbf ktb Fgua 39 UCB -VI-6 - LJF

267 7 dbm 3, db 58, dbm -5,46 dbm -83,66dBm 3, db 3,4 db -65,5 dbm Fgua 4 mplo N : Dno d las cudads s ulan con fcunca nlacs d ado n fcuncas mlmécas qu, s bn son popnsos a anuacón po lluva, pmn nlacs alamn dcvos con annas d pquño amaño. S ulan con fcunca paa nlacs puno a puno n adobass d ssmas d lfonía clula. n s mplo s consdan ados d 5 was opando n la fcunca d GH, con annas d 6 cm d dámo qu nn una gananca d db a sa fcunca. sumndo un umbal d -7 dbm s va a gafca l nvl d sñal cbda n funcón d la dsanca paa lugo sma l magn d dsvancmno paa pogs cona los fcos d la lluva. D acudo a la fómula d Fs, l nvl cbdo sá P = P + G + G log(f) log(d) 9,44 P = log(5) + + log() log(d) 9,44 P = ,44 9,44 log (d) P = 4,89 log (d) UCB -VI-6 - LJF

268 Fgua 4 Sgún so l nlac podía alcana hasa 3 km, obvamn sn nnguna poccón cona dsvancmno. S s usa un magn d dsvancmno d 5 db l alcanc s duc a 5,7 km, po so pmía qu l ssma sobvva an un chubasco con una anuacón d,6 db/km. Consdmos ahoa l fco d la flxón. La gomía s la qu s psna n la fgua. Rayo dco Rayo flado h d h d Ta cuva. KR Plano angn Fgua 4 Las annas sán spcvamn a las aluas h y h sob l plano angn a la supfc s dond ocu la flxón. La sñal qu mg d la anna llga a la oa anna a avés d dos camnos: vía l ayo dco y vía l ayo flado. s úlmo choca con la supfc flcoa y s mdo sgundo las lys d flxón qu s sudaon n l capíulo, y fnalmn llga a la UCB -VI-63 - LJF