TEMA 5 REFLEXIÓN Y TRANSMISIÓN DE

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1 Tema 5: Reflexón y ansmsón de ondas planas lecodnámca TMA 5 RFLXIÓN Y TRANSMISIÓN D ONDAS PLANAS Mguel Ángel Solano Véez

2 lecodnámca Tema 4: eflexón y ansmsón de ondas planas TMA 5: RFLXIÓN Y TRANSMISIÓN D ONDAS PLANAS 5. Inoduccón n el capíulo aneo se ha esudado la solucón de las ecuacones de Maxwell en el caso más smple en el que la popagacón se ealza en un medo nfno. llo da luga a una solucón que es una onda plana. l sguene paso es analza qué sucede cuando exsen dfeenes medos po los que se popaga una onda plana. sudaemos pmeamene la suacón cuando enemos dos medos semnfnos en el caso de ncdenca nomal de la onda soe la supefce de sepaacón y luego paa ncdenca olcua. Fnalmene se analzaá el caso de ncdenca nomal en múlples medos. s convenene ecoda que las supecces de sepaacón ene los dfeenes medos son nfnas. 5. Incdenca nomal Consdeemos el caso en que enemos dos medos semnfnos caacezados po su pemvdad ε, su pemealdad µ y su conducvdad σ y una onda plana polazada según el eje X ncde desde el medo en el, como ndca la fgua 5.. La nefase de sepaacón esá colocada en el plano XY y es de exensón nfna. Medo ε, µ, σ Medo ε, µ, σ Y X H H H Fgua 5..- Reflexón y ansmsón en ncdenca nomal

3 3 Tema 5: Reflexón y ansmsón de ondas planas lecodnámca Los campos en el medo paa la onda ncdene son = e a = 0 0 H e a γ z x γ z y (5.) donde ; γ = α jβ = jωµ σ jωε = jωµ σ jωε y paa la onda eflejada γ z x = e a = H e a γ z y (5.) Análogamene paa el medo γ z x = e a = H e a γ z y (5.3) donde ; γ = α jβ = jωµ σ jωε = jωµ σ jωε Soe la supefce de sepaacón, que supongamos que esá colocada en z=0, se cumplen las condcones de conono = ; H H = H en z = 0 Susuyendo se oene = ; = (5.4) 0 0

4 lecodnámca Tema 4: eflexón y ansmsón de ondas planas 4 y despejando Γ= = ; T = = 0 0 (5.5) sendo Γ y T los coefcenes de eflexón y ansmsón, especvamene, en z=0. S los medos se consdean sn péddas los coefcenes de eflexón y ansmsón son eales. Puede calculase un coefcene de eflexón vso a una dsanca d de z=0 que es donde ealmene se poduce la eflexón de la onda como j z z β Γ ( z = 0) e j βd Γ ( z = d ) = = = Γ ( z = 0) e (5.6) j z z β z d e = z = d De la msma foma se puede calcula un coefcene de ansmsón efedo a unos planos alejados de z=-d y z=d como ( z d ) jβ d z = d = T ( z = 0) e = = = = z d j d z d β = = e ( β β ) j d d T T ( z 0) e (5.7) sas expesones valen paa medos sn péddas. n el caso de medos con péddas hay que cama las consanes de fase β po sus coespondenes consanes de popagacón. Las densdades de poenca asocadas, paa el caso de medos sn péddas son Re * 0 av { } z z av S = H = a = a S w onda ncdene m * 0 = Re S av { H } = az Γ = az Γ S w av onda eflejada m ( ) * 0 0 = Re { } = = Sav H az T az T = = a Γ z S w av onda ansmda m noa : compoa que T = Γ

5 5 Tema 5: Reflexón y ansmsón de ondas planas lecodnámca jemplo: Consdeemos el caso en el que el medo es un conduco pefeco. Soe su supefce, el campo elécco angencal dee anulase ya que el campo elecomagnéco en su neo es nulo. Po ano = 0 en z = 0 = Γ = 0 Γ = lo que ndca que el coefcene de eflexón de un conduco pefeco es, es dec, que el campo elécco eflejado nvee la poladad especo al campo elécco ncdene. l campo oal en el medo es = = a j sen β z x 0 H H H a z 0 = = y cosβ sos campos muesan que no hay poenca meda asocada en el medo. l campo en el domno del empo es ( z, ) = a sen β z sen ω x 0 H ( z, ) a cos z cosω 0 = y β de foma que paa un valo de ω fjo, el campo elécco ene un nulo donde el magnéco un máxmo y vcevesa y se poducen en Nulos de Maxmos de H βz = nπ, z = n λ n = 0,,,... Maxmos de Nulos de H ( ) π, ( ) λ ( 0,,,... ) βz = n z = n n = 4 como se ve en la fgua 5.

6 lecodnámca Tema 4: eflexón y ansmsón de ondas planas 6 Conduco pefeco λ Conduco pefeco Fgua 5..- Campos elécco y magnéco eflejados po un conduco pefeco 5.3 Incdenca olcua Vamos a consdea ahoa el caso en que una onda plana unfome popagándose po un medo choca cona oo (amos medos sn péddas) en ncdenca olcua. Dedo a la complejdad que enañaía analza un caso an geneal, vamos a dvd el polema en dos suacones que podíamos llama

7 7 Tema 5: Reflexón y ansmsón de ondas planas lecodnámca canóncas. Paa ello, lo pmeo que hay que hace es defn el plano de ncdenca como aquel plano que conenen a la deccón pependcula a la nefase y a la deccón en la que se popaga la onda ncdene. Una vez hecho eso, una onda con un campo elécco polazado según cualque deccón, podá sempe descomponese como un veco pependcula al plano de ncdenca y oo conendo en el plano de ncdenca. Al pme caso se le denomna polazacón pependcula y al segundo paalela Polazacón pependcula k θ H n Medo ε, µ θ X an an3 Medo ε, µ θ H k θ k Y an H θ Fgua squema de ncdenca olcua con polazacón pependcula l campo elécco de la onda ncdene coespondene a la fgua 5.3 es 0 = ay 0 jk = 0e donde k = kxax kzaz = ank an = ax senθ az cosθ po lo ano

8 lecodnámca Tema 4: eflexón y ansmsón de ondas planas 8 = y a e 0 ( θ cosθ ) jk xsen z (5.8) De la msma foma el campo magnéco ncdene es = x z 0 H ( a θ a senθ ) e ( θ cosθ ) jk xsen z cos (5.9) Igualmene paa el campo eflejado y ansmdo = y a e ( θ cosθ ) jk xsen z = x z H ( a cosθ a senθ ) e ( θ cosθ ) jk xsen z (5.0) donde =Γ 0 y, lógcamene, k =k. = y a e ( θ cosθ ) jk xsen z = x z H ( a cosθ a senθ ) e ( θ cosθ ) jk xsen z (5.) donde = T 0. Paa oene los coefcenes de eflexón Γ y ansmsón T en z=0 deemos aplca las condcones de conono, que paa dos medos deléccos son y H H H an = an an = an z = 0 z = 0 z = 0 z = 0 (5.) lo que da luga a jkxsen θ jkxsen θ jkxsen θ Γ = e e T e ( cosθ Γ cosθ ) = cosθ jk xsenθ jkxsen θ jkxsen θ e e T e ecuacones que son váldas paa odos los valoes de x. Po lo ano, podemos esc que k sen θ = k sen θ = k sen θ de donde se deduce que

9 9 Tema 5: Reflexón y ansmsón de ondas planas lecodnámca θ = θ Ley de Snell de la eflexon k sen k sen Ley de Snell de la efaccon θ = θ y po ano cosθ de donde despejando se oene Γ = T cosθ ( Γ ) = T cosθ cosθ Γ = = cosθ cosθ 0 cosθ T = = cosθ cosθ 0 (5.3) sendo = µ µ ε y = ε. Paa el caso haual de medos deléccos no magnécos (µ =µ =µ 0 ) Γ = ε ε cosθ sen θ ε ε ε ε cosθ sen θ ε ε cosθ T = ε ε cosθ sen θ ε ε (5.4) n las fguas 5.4 y 5.5 se muesan los módulos de los coefcenes de eflexón y ansmsón paa los casos en que ε /ε > y ε /ε > especvamene.

10 lecodnámca Tema 4: eflexón y ansmsón de ondas planas 0 Noacón: e ε Noacón: e ε Fgua Módulos de Γ y T paa ncdenca pependcula y ε /ε >.

11 Tema 5: Reflexón y ansmsón de ondas planas lecodnámca Noacón: e ε Noacón: e ε Fgua Módulos de Γ y T paa ncdenca pependcula y ε /ε <. De las ecuacones (5.4) y examnando las fguas aneoes, se deduce que

12 lecodnámca Tema 4: eflexón y ansmsón de ondas planas Los coefcenes de eflexón y ansmsón son sempe eales (el pmeo negavo y el segundo posvo) sempe que ε >ε. S las pemvdades de amos medos son guales el coefcene de eflexón es ceo. S ε <ε, Γ y T son eales hasa un ceo ángulo de ncdenca θ =θ c (llamado ángulo cíco). Po encma de él Γ =, y oda la onda ncdene es eflejada, poducéndose el fenómeno de eflexón oal Polazacón paalela n ese caso el campo elécco esá conendo en el plano de ncdenca. La suacón se ve en la fgua 5.6. k Medo ε, µ X Medo ε, µ k H n θ an an3 θ H θ k Y an H Fgua squema de ncdenca olcua con polazacón paalela Sguendo el msmo poceso que paa el caso de polazacón pependcula, los campos ncdene, eflejado y ansmdo son

13 3 Tema 5: Reflexón y ansmsón de ondas planas lecodnámca = x z ( θ θ ) a a sen e 0 ( θ cosθ ) jk xsen z cos = y 0 H a e ( θ cosθ ) jk xsen z = x z ( θ θ ) a a sen e ( θ cosθ ) ( θ cosθ ) jk xsen z cos = H ay e jk xsen z (5.5) (5.6) (5.7) donde =Γ 0 y, lógcamene, k =k. = x z ( θ θ ) a a sen e ( θ cosθ ) ( θ cosθ ) jk xsen z cos = H ay e jk xsen z (5.8) donde = T 0. De las condcones de conono se oene jkxsen θ jkxsen θ jkxsen θ cosθ e Γ cosθ e = T cosθ e jk xsen θ jkxsen θ jkxsen θ e Γ e = T e de donde se oenen las leyes de Snell y las elacones cosθ Γ = T cosθ de donde despejando se oene ( ) Γ = T cosθ cosθ Γ = = cosθ cosθ 0 cosθ T = = cosθ cosθ 0 (5.9)

14 lecodnámca Tema 4: eflexón y ansmsón de ondas planas 4 sendo = µ y µ ε = ε. Paa el caso haual de medos deléccos no magnécos (µ =µ =µ 0 ) Γ = ε ε cosθ sen θ ε ε ε ε cosθ sen θ ε ε ε cosθ ε T = ε ε cosθ sen θ ε ε (5.0) n las gáfcas 5.7 se muesan los módulos de los coefcenes de eflexón y ansmsón oendos de las expesones 0, en funcón del ángulo de ncdenca omando como paámeo la elacón ε /ε. Noacón: e ε

15 5 Tema 5: Reflexón y ansmsón de ondas planas lecodnámca Noacón: e ε Fgua Módulos de Γ y T paa ncdenca paalela y ε /ε >. De las expesones (5.0) y de las fguas aneoes se deduce que xse un ángulo de ncdenca θ =θ B, llamado ángulo de Bewse, paa el cual el coefcene de eflexón se anula. A medda que la elacón ε /ε aumena el ángulo de Bewse ende a 90 gados. Cuando ε /ε > los coefcenes de eflexón y ansmsón son eales y además s θ <θ B Γ < 0 y s θ >θ B Γ > 0. Po oo lado T > 0. n el caso en que ε /ε < se poduce de nuevo el fenómeno de eflexón oal al gual que sucede en el caso de polazacón pependcula. so ndca que el ángulo cíco es ndependene de la polazacón y se poduce sempe que el pme medo sea más denso que el segundo, es dec, sempe que ε /ε <. 5.4 Tansmsón oal: ángulo de Bewse Los coefcenes de eflexón y ansmsón son funcón de los paámeos consuvos de los dos medos que foman la nefase de sepaacón, del ángulo de ncdenca (y amén del ángulo de efaccón o

16 lecodnámca Tema 4: eflexón y ansmsón de ondas planas 6 ansmsón que es a su vez funcón del ángulo de ncdenca). La peguna que nos hacemos es: exse algún ángulo de ncdenca paa el que el coefcene de eflexón sea ceo, es dec, oda la poenca pase el medo?. Veamos cómo podemos conesa a esa peguna paa cada una de las dos polazacones Polazacón pependcula Necesamos que el numeado de la ecuacón (5.3) coespondene al coefcene de eflexón se anule, lo que se poduce cuando cosθ cosθ µ ε Γ = = 0 cos = cosθ θ cosθ cosθ µ ε µ ε sen θ = cos θ µ ε Ulzando la ley de Snell µ ε k sen k sen sen sen θ = θ θ = θ µ ε podemos pone la ecuacón aneo como µ ε µ ε sen = θ sen θ µ ε µ ε y despejando se oene senθ = ε µ ε µ µ µ µ µ (5.) ε µ µ µ ε µ que es la condcón paa la como senθ ε µ µ µ ε µ exsenca de ángulo de Bewse. Paa el caso muy haual de medos no magnécos µ =µ =µ 0, enonces de (5.) se deduce que senθ =, es dec, que no exse nngún ángulo de ncdenca eal que poduzca que el coefcene de eflexón sea ceo paa el caso de polazacón pependcula.

17 7 Tema 5: Reflexón y ansmsón de ondas planas lecodnámca 5.4. Polazacón paalela Realzando el msmo poceso que paa el caso aneo se oene senθ = ε µ ε µ ε ε ε ε (5.) ε µ ε ε ε µ que es la condcón paa la como senθ ε µ ε ε ε µ exsenca de ángulo de Bewse. Paa el caso muy haual de medos no magnécos µ =µ =µ 0, enonces de (5.) se deduce que ε ε ε θ = θb = sen = cos = an ε ε ε ε ε (5.3) que son expesones váldas paa oene el ángulo de Bewse. 5.5 Reflexón oal: ángulo cíco Hemos vso que ano paa la polazacón pependcula como paalela es posle que oda la poenca ncdene se efleje en la nefase, es dec, que se poduzca que Γ=. Veamos cuando se poduce eso paa amas polazacones 5.5. Polazacón pependcula Paa deemna ajo qué condcones se poduce eflexón oal se dee de cumpl la elacón cosθ cosθ Γ = = cosθ cosθ que se cumplá sempe que los segundos sumando del numeado y del denomnado sean magnaos puos. Ulzando la ley de Snell eso seá así cuando µε µε cosθ = θ = θ = θ sen sen j sen µε µε lo que se cumplá sempe que

18 lecodnámca Tema 4: eflexón y ansmsón de ondas planas 8 µ ε µε sen θ de donde se deduce el ángulo cíco como θ µ ε c = sen (5.4) µ ε que es el ángulo a pa del cual se poduce eflexón oal. Ya que la funcón seno no puede se mayo que la undad se dee cumpl, paa que exsa ángulo cíco, µ ε µ ε. Paa el caso haual de medos no magnécos, el ángulo cíco es que θ ε c = sen (5.5) ε que exsá sempe que se cumpla la condcón ε ε. Po ano, paa medos no magnécos (que es el caso de la mayoía de los deléccos) exsá ángulo cíco sólo s la ncdenca se poduce desde un medo más denso en oo menos denso. Cuando el ángulo de ncdenca es gual al ángulo cíco, enonces el ángulo de ansmsón es µε µε µ ε θ = sen sen = sen = sen = 90º θ µε µε θ θ µε = c Los coefcenes de eflexón y ansmsón se educen a Γ = ; T = θ = θ θ = θ c c Los campos ansmdos son jk x = ay 0 e 0 jk x H = az e que epesenan una onda plana que vaja paalela a la nefase en el sendo x como se ve en la fgua 5.7. Los planos de fase consane de la onda son paalelos al eje z. A esa onda se le denomna onda supefcal.

19 9 Tema 5: Reflexón y ansmsón de ondas planas lecodnámca X Planos de fase consane θ θ θ =θ c Y X Planos de amplud consane β Planos de Fase consane θ α θ c θ Y Fgua Planos de fase y amplud consane paa el caso de ncdenca con ángulo cíco y supeo al ángulo cíco. La densdad de poenca meda asocada con la onda ansmda es * { } 0 Re w Sav = H = ax θ = θ m c (5.6) que no conene nnguna componene nomal en la deccón nomal a la nefase, po lo que no hay ansfeenca de poenca al medo y oda la poenca es eflejada haca el medo. xamnando las densdades de poenca asocadas a las ondas eflejadas y ansmdas vemos que amas concden

20 lecodnámca Tema 4: eflexón y ansmsón de ondas planas 0 * 0 0 Re av { } x θ z cos θ θ = θ S H a sen a w = = = m c * 0 0 Re av { } x θ z cos θ θ = θ S = H = a sen a = w m c Cuando el ángulo de ncdenca es mayo que el ángulo cíco (θ >θ c ), la ley de Snell puede escse como k µε sen θ sen θ sen θ θ θ j θ = = > = R θ X > θc k θ > θc µε θ > θ c es dec, el ángulo de ansmsón es un númeo complejo. Además, µε µε cosθ θ θ θ = sen = sen = ± j sen θ > θc θ > θ µε c µε θ > θ θ > θ c c Po lo ano, cuando θ >θ c el ángulo de ansmsón θ no es físcamene ealzale ya que es un ángulo complejo y po ano no es el ángulo con el que la onda ansmda se efaca. De hecho, lo que sucede, como se puede deduc de las fguas 5.6, es que po encma del ángulo cíco, el módulo del coefcene de eflexón sgue sendo la undad, es dec, no hay onda ansmda haca el medo, o dcho con oas palaas, en el medo haá una onda supefcal. Paa demosalo veamos el campo y las densdades de poenca asocadas a cada onda. l campo elécco ansmdo es ( cos ) α ez = a e = a Γ e e jk xsen θ z θ j βe x y y 0 (5.7) donde µε α θ ω µ ε θ µ ε e = k sen = sen µε θ > θ θ > θc c µε β θ ω µ ε θ µ ε e = k sen = sen µε θ > θ θ > θc c La expesón (5.7) muesa que la onda ansmda es se popaga paalela a la nefase y sus planos de fase consane son paalelos al eje z como muesa la fgua 5.8. Además, los planos de amplud consane son planos paalelos a la

21 Tema 5: Reflexón y ansmsón de ondas planas lecodnámca nefase de foma que la amplud de la onda decae ápdamene a medda que nos alejamos de la nefase de sepaacón. se es el caso de una onda de supefce, es dec, se popaga soe una supefce y su amplud dsmnuye ápdamene cuando se aleja de ella. Además, esa onda es amén una onda plana no unfome poque los planos de fase consane y los planos de amplud consane no concden. Po oo lado, la velocdad de fase de esa onda es v ω ω p pe = = = < β e µε µε k senθ senθ µε µε θ > θ θ > θ v c c v p que es una velocdad de fase meno que la coespondene a una onda plana unfome que se popagase po el medo. sa onda se popaga paalelamene a la nefase con planos de fase consane que son paalelos al eje z. sa onda ene amén planos de amplud consane paalelos al eje x dados po la expesón paa α e. Su valo es al que la onda decece muy ápdamene a medda que nos alejamos de la nefase, y páccamene en unas pocas longudes de onda la enegía es páccamene nula. La onda es po ano amén una onda supefcal. Pueso que su velocdad de fase es meno que la velocdad de la luz en el medo, amén se la denomna onda lena. Nomalmene, velocdades de fase mayoes que la popa nínseca de una onda plana odnaa se pueden consegu en ondas con ángulos de ncdenca eales, como sucede en la velocdad de fase en una deccón que no concda con la deccón de popagacón. Velocdades de fase menoes que las nínsecas pueden conseguse con ondas planas vajando con ángulos de popagacón complejos. sas ondas son ondas planas no unfomes. Bajo condcones de ángulo de ncdenca gual o mayo al ángulo cíco los coefcenes de eflexón y ansmsón se educen a jψt jψt X e e ; T g Γ = Γ = Ψ = θ θc R Ψ j Ψ T T ; θ θ T = T e = e T = c R R X µ µ ε µ X = sen ; R = cosθ ε µ ε ε θ y la densdad de poenca meda asocada a la onda es

22 lecodnámca Tema 4: eflexón y ansmsón de ondas planas µε T 0 α ez av = x θ θ θc µε θ θ S a sen e c que de nuevo muesa que no hay señal ansméndose en la deccón nomal a la nefase y, po ano, oda la poenca dee eflejase haca el medo. Como esumen podemos ndca que cuando una onda ncde (ncdenca olcua) desde un medo más denso en uno menos denso (ε <ε s µ =µ ) Cuando el ángulo de ncdenca es meno que el ángulo cíco la onda se ansme al segundo medo con un ángulo de ansmsón θ que es mayo que el ángulo de ncdenca θ. Al medo se ansme una poenca eal dgda según el ángulo de ansmsón. A medda que el ángulo de ncdenca cece y se hace gual al ángulo cíco el ángulo de ansmsón cece más ápdamene y se hace gual a 90º. Aunque en el medo exse una onda (necesaa paa que las condcones de conono se cumplan) con campos fomando una onda supefcal a lo lago del eje x (paalelo a la nefase). No hay poenca eal ansmda al medo y oda la poenca se efleja al medo. Los planos de fase consane son paalelos al eje z. Cuando el ángulo de ncdenca es mayo que el ángulo cíco en el medo exse una onda que vaja en la deccón x (paalela a la nefase) y que smuláneamene se aenúa fueemene en la deccón z (nomal a la nefase). No exse poenca eal ansméndose en la deccón nomal a la nefase y oda la poenca se efleja haca el medo. Sn emago, exse una onda en el medo pues es necesaa paa que se cumplan las condcones de conono. La onda en el medo vaja con una consane de fase meno que la coespondene a una onda odnaa que vajase po el msmo medo Polazacón paalela l pocedmeno paa oene el ángulo cíco y odas sus popedades y caaceíscas es dénco al segudo paa el caso de polazacón pependcula. Se puede demosa que el ángulo cíco no es funcón de la polazacón.

23 3 Tema 5: Reflexón y ansmsón de ondas planas lecodnámca 5.6 Incdenca olcua: medo sn pédas medo con péddas Consdeemos ahoa el caso en el que la ncdenca se hace desde un medo sn péddas en oo con péddas como muesa la fgua Planos de amplud consane ε, µ X ε, µ, σ n Ψ =β θ θ Y Ψ =ξ Planos de fase consane Fgua Incdenca olcua ene un medo sn péddas y oo con péddas l campo elécco en el medo es (en foma genéca paa cualque polazacón) ( xsen z cos ) ( j )( xsen z cos e γ θ θ e α β θ = = θ ) (5.8) De la ley de Snell γ θ γ θ sen = sen se puede esc γ j β sen θ sen θ sen θ γ α j β = = j β α j β jξ cosθ = sen θ = sen θ = s e = s cos ξ jsen ξ

24 lecodnámca Tema 4: eflexón y ansmsón de ondas planas 4 Susuyendo en (5.8) ( α jβ) x senθ z s( cos ξ jsenξ) α j β = e = zs ( α cos ξ βsen ξ) j βxsenθ zs( αsen ξ β cosξ) = e e j β y que aevadamene se puede esc como zp = e e [ β θ ] j xsen z q (5.9) donde ( α cos ξ β ξ) p = s sen ( α ξ β cosξ) q = s sen La expesón (5.9) ndca que la onda en el medo es una onda plana no unfome. l campo elécco nsanáneo es [ ] zp j βxsenθ z q jω zp ( x, z, ) = Re( e e e ) = e cos ( ω β xsenθ z q ) (5.30) que ndca que los planos de amplud consane (z=ce.) son paalelos a la nefase y los planos de fase consane ( β xsen θ z q = ce. ) esán nclnadas un ángulo Ψ (que no es el ángulo θ ). Paa oene ese ángulo ( βsen θ ) x qz ( βsenθ ) q ( βsenθ ) q ω β xsen θ z q = ω β sen θ q (5.3) S defnmos el ángulo Ψ de foma que βsen θ sen Ψ = = ( β sen θ ) ( β sen θ ) q u q q cos Ψ = = u q q u q

25 5 Tema 5: Reflexón y ansmsón de ondas planas lecodnámca donde u = βsenθ. Po lo ano β sen θ Ψ = g = g q u q con lo que podemos pone el campo elécco en el medo como ux qz j ω u q u q u q ( x, z, ) = Re e = j ω u q ( x sen Ψ z cos Ψ) = Re e = j ω u q ( nψ ) = Re e donde nψ = ax sen Ψ az cos Ψ. De esas ecuacones se deduce que l vedadeo ángulo de efaccón es Ψ y no θ (que es complejo). La onda en el medo vaje según la deccón dada po el veco unao n Ψ. Los planos de fase consane son pependculaes al veco unao n Ψ como se muesa en la fgua 5.9. La velocdad de fase de la onda en el medo se oene de la foma haual, es dec, gualando la fase de la onda a una consane y dfeencando especo al empo, d ω u q ( n ) Ψ = ce ω u q nψ = 0 d ( Ψ p ) ω u q n v = 0 de donde se oene que v ω ω p = = u q ( β sen θ ) q (5.3)

26 lecodnámca Tema 4: eflexón y ansmsón de ondas planas 6 que muesa que la velocdad de fase es funcón del ángulo de ncdenca y de los paámeos consuvos de los dos medos. 5.8 Reflexón y ansmsón de múlples nefases Paa consegu ceos compoamenos especales, muchas veces es necesao dspone de múlples nefases. n esa seccón vamos a analza el compoameno de una onda plana cuando ncde soe dfeenes medos que foman múlples nefases. Consdeaemos sólo el caso de ncdenca nomal empezando po el denomnado polema de los es medos y acaaemos con el polema genéco de múlples nefases l polema de los es medos l polema que se va a analza se muesa en la fgua 5.0. ε, µ, σ ε, µ, σ d ε 3, µ 3, σ 3 Γ = Γ = Γ 3 = 3 3 z=-d - z=-d z=0 - z=0 z=-d z=0 z Fgua l polema de los es medos Según vmos aneomene, el coefcene de eflexón paa ncdenca nomal ene dos medos semnfnos es Γ = A una dsanca z=-l de la nefase, y supuesos los medos sn péddas, el coefcene de eflexón que se ve es

27 7 Tema 5: Reflexón y ansmsón de ondas planas lecodnámca j β Γ n z = l = Γ e l Jusamene a la deecha de la nefase, la mpedanca de enada en la deccón z es gual a la mpedanca nínseca del medo, es dec n µ ( = 0 ) = = z ε Po defncón la mpedanca de enada en z=-l es oal z = l n = z = l oal H z = l donde j 0 β l j ( β l j l ) 0 β n oal = = Γ = Γ = z = l z = l e e e z l 0 jβl j ( β l 0 jβ l ) n oal = = Γ = Γ = z = l z = l H H H e e e z l po lo ano jβl Γ e Γ n z = l jg βl n = z l = j = = β l e n z l Γ Γ = jgβ l (5.33) Sguendo el poceso desco, se puede oene el coefcene de eflexón paa el caso de múlples nefases y, en pacula, del polema de los es medos. La mpedanca de enada en z=0 es la mpedanca nínseca del medo 3, es dec n µ 3 ( = 0 ) = 3 = z ε 3 l coefcene de eflexón en la msma nefase es ( 0 ) ( 0 ) n z = 3 Γ n ( z = 0 ) = = n z = 3

28 lecodnámca Tema 4: eflexón y ansmsón de ondas planas 8 n z=-d la mpedanca de enada se puede pone como jβd jβd ( 3 ) ( 3 ) Γ n z = 0 e e n ( z = d ) = = j = βd jβd Γ n z = 0 e 3 3 e 3cos βd jsen βd = cos β d j 3 sen β d y el coefcene de eflexón en z=-d - es j d n z = d β Γ Γ3 e n ( z d ) j βd n z = d Γ Γ3 e Γ = = = (5.34) donde los coefcenes Γ, Γ y Γ 3 se muesan en la fgua 5.0. Con esa expesón hemos sdo capaces de calcula el coefcene de eflexón peo no el de ansmsón al medo 3. n los casos en los que sólo es necesao conoce la poenca eflejada es sufcene; además, s los medos no enen péddas, con el coefcene de eflexón es sufcene paa oene la poenca que pasa al medo 3. Peo s los medos enen péddas o s lo que se necesa es oene el campo elecomagnéco en cada uno de los medos es necesao conoce sus ampludes. llo puede hacese a avés de un poceso que consse en aplca las condcones de conono en cada nefase. Paa ello, supongamos que los medos enen péddas y que el campo elécco esá polazado según el eje x; enonces γ z x = z e e γ z γz γz ( ) H ( z) = e e y es el campo en el medo. Análogamene paa los oos medos γ z x = z e e γ z γz γz ( ) H ( z) = e e y

29 9 Tema 5: Reflexón y ansmsón de ondas planas lecodnámca x 3 = 3 z e γ z 3 γ 3z H z e y 3 = 3 3 pues en el medo 3 no hay onda vajando en la deccón z-. Aplcando las condcones de conono en las dos nefases se oene (noa: paa ese caso omaemos z=0 en la pmea nefase y z=d en la segunda de la fgua 5.0) = en z = 0 = ( ) ( ) γd γd γ 3d e e = e 3 en z = d γd γd γ 3d ( e e ) = e 3 3 que que es un ssema de lneal de 4 ecuacones con 4 ncógnas,, y 3 se pueden expesa en funcón de, que es la amplud de la onda ncdene y que suponemos conocda. Ovamene, cuando el númeo de medos cece amén lo hace el númeo de ecuacones del ssema aneo, de manea que su esolucón a mano se complca y dee emplease un poceso ssemáco que ene necesaamene que se mplemenado en odenado. n el apaado sguene vamos a ve un méodo ssemáco que peme la esolucón manual del caso de múlples dsconnudades, sn mpoa su númeo l polema de los múlples medos n un medo dado el campo elécco, supueso que esá polazado en el eje x se puede esc como γz γz γz z z γ γ x z = e e = e e = e ( Γ ( z ) ) (5.35) donde Γ (z) es el coefcene de eflexón en la poscón z. l campo magnéco coespondene es

30 lecodnámca Tema 4: eflexón y ansmsón de ondas planas 30 γz γz γz γz γz Hy ( z) = e e = e e = e ( Γ z ) η η η (5.36) donde η es la mpedanca de onda en el medo. Se defne la mpedanca de onda coespondene al campo elecomagnéco en un puno z como x ( z ) Γ ( z ) ( z) = = η H ( z ) Γ ( z) y (5.37) de donde se oene el coefcene de eflexón en el puno z como ( z) η Γ ( z ) = ( z ) η (5.38) Con esas expesones es posle calcula el coefcene de eflexón en una poscón z=l conocdo en oa poscón z=l, dvdendo se ene z l γ l γ ( = ) Γ ( z = l ) = e = e z l γ l γ ( = ) Γ ( z = l ) = e = e ( l l Γ z = l = Γ z = l e γ ) (5.39) Como ejemplo, podemos conoce el coefcene de eflexón en z=-l conocdo en z=0. n ese caso (l =-l y l =0) Γ 0 l z = l = Γ z = e γ (5.40) Dos popedades esencales vefcan el coefcene de eflexón y la mpedanca de onda:. La mpedanca de onda es connua soe la supefce de sepaacón de dos medos.. l coefcene de eflexón soe la supefce de sepaacón de dos medos es una funcón dsconnua.

31 3 Tema 5: Reflexón y ansmsón de ondas planas lecodnámca Supongamos que una onda plana ncde, con ncdenca nomal, soe una see de lámnas deléccas dfeenes (fgua 5.). Con odo eso podemos oene las ampludes del campo en cada zona. l poceso es el sguene Medo Medo n- Medo n Medo Medo n- n n- - - d d 3 d n- z=-d z=0 z=-d 3 z=0 z=-d 4 z=0 z=-d n- z=0 z=0 Fgua 5..- l polema de múlples medos. l coefcene de eflexón en z=0 mando po la deecha (es dec, en z=0 ) es nulo pues en el úlmo medo (medo n) sólo hay onda vajando en el sendo de z : n ( z ) Γ = 0 = 0. La mpedanca de onda mando en z=0 haca la deecha es Γ 0 n 0 n ( 0 ) = ηn = ηn = ηn Γ 0 0 que es la mpedanca de onda del medo n. 3. Como la mpedanca es una funcón connua, su valo en z=0 (po la deecha) y z=0 - son guales. Po ano, el coefcene de eflexón en z=0 - (en el medo n-) es ηn ηn ( 0 ) Γ n = η n η n 4. Se aslada ese coefcene de eflexón hasa z=-d n- empleando n n n z d z e γ Γ = = Γ = d n n 0

32 lecodnámca Tema 4: eflexón y ansmsón de ondas planas 3 con lo que conocemos el coefcene de eflexón una nefase más a la zqueda que al pncpo. Podemos easgna el ogen y llama z=0 a z=-d n-. 5. A pa de ahoa se epe el poceso desde el puno hasa llega a la pmea nefase, hasa oene el coefcene de eflexón. nonces =Γ ( = ) z d que es la amplud de la onda eflejada en el medo (noemos, que podemos easgna el ogen z=0 a la nefase z=-d ). l eso de las ampludes se calculan como sgue. A pa del campo elécco en el medo γ z ( z) e e γ z x = donde z=0 es la nefase ene el medo y el, enemos que x (0) = Po oo lado soe la nefase z=0, que ecodemos es amén z=-d en lo que especa al medo, el campo elécco po su deecha, es dec, en el medo es γ d x = = Γ = ( z d ) e z d y po la condcón de connudad x(0) = x( z = d), lo que poduce x (0) = = γd e Γ z = d e Γ z = d γ d que es la amplud de la onda que vaja en el medo en el sendo z posvo. Respeco a los oígenes, po ano, paa cada medo z=0 seá sempe la nefase de su deecha y z=-d su nefase de la zqueda. La amplud de la onda que vaja en el medo haca la zqueda es z ( z) =Γ ( z) ( z) e γ que paculazada en la nefase z=0 da =Γ (0)

33 33 Tema 5: Reflexón y ansmsón de ondas planas lecodnámca l poceso se epe ssemácamene hasa alcanza la úlma nefase que poduce decamene la amplud de la onda que emege po el medo n como n = n n 5.8 Refeencas [] Consanne A. Balans: Advanced ngneeng lecomagnecs, John Wley & Sons, Cap.5, 989. [] M. F. Iskande: "lecomagnec Feld and Waves", Pence Hall, 99. [3] C.T.A Johnk: "Teoía lecomagnéca, pncpos y aplcacones", d. Lmusa, 99. [4] C. Paul & S. Nasa: "Inoducon o elecomagnec felds", McGaw-Hll, 987. [5] M. N. O. Sadku: "lemens of lecomagnecs", second edon, Oxfod Unvesy Pess, 995.