PROFESOR LIONEL RAMON FERNANDEZ GEGNER

Transcripción

1 PROFESOR LIONEL RAMON FERNANDEZ GEGNER UNIERSIDAD DE LOS ANDES FACULTAD DE INGENIERIA ESCUELA DE CIIL MERIDA - ENEZUELA JULIO - 00

2 AGRADECIMIENTO Quiero exresar mi más sincero agradecimiento a Mildred, or la labor realizada durante toda la ejecución del resente trabajo, haciendo con entusiasmo y esmero el texto y las correcciones que fueron necesarias, disoniendo arte de su tiemo ara que éste fuera terminado en la fecha revista. A todos aquellos amigos que me dieron ideas con el fin de mejorar el resente trabajo y me animaron a culminarlo. A Aura y a todos aquellos que de una u otra forma me ayudaron, en otras actividades, dejándome tiemo libre ara hacer osible su terminación. Lionel

3 DEDICADO A MIS HERMANOS Ciro Carlos Hortencia Nancy Erika

4 INDICE Caítulo Peso esecífico, densidad 5 iscosidad 6 Módulo de elasticidad volumétrico 6 Tensión suerficial y cailaridad 8 Caítulo Presión, manómetros Fuerzas sobre suerficies lanas 9 Fuerzas sobre suerficies curvas 66 Emuje 90 Aceleración lineal 0 Rotación Caítulo Distribución de velocidades, continuidad 0 Ecuación de Bernoulli 8 Adción y sustracción de energía 6 Fuerzas roducidas en tuberías 7 Fuerzas roducidas en canales 8 Fuerzas roducidas en álabes fijos 9 Fuerzas roducidas en álabes móviles 98 Caítulo Parámetros adimensionales 05 Semejanza dinámica en modelos 0 Caítulo 5 Flujo laminar entre lacas lanas 0 Flujo laminar en tuberías y anillos Flujo turbulento en tuberías 5 Caa límite 60 Resistencia sobre cueros sumergidos 68

5 Caítulo Problema. Un reciiente cilíndrico de.00 m de diámetro y.00 m de alto esa 0.00 kg, si se llena con un líquido el conjunto esa kg, determinar el eso esecífico del líquido, la densidad y el eso esecífico relativo o densidad relativa. El eso esecífico, es or definición, la relación que existe entre el eso de un elemento y su volumen; es decir, W W W π d h Al sustituir los valores numéricos resulta π.00 x kg/m La densidad ρ, es or definición, la relación que existe entre la masa de un elemento y su volumen o también, la relación entre el eso esecífico de un elemento y la aceleración de la gravedad; es decir, 96. kg s / m ρ 9.9 g 9.8 m ρ 9.9 UTM/m La densidad relativa, o eso esecífico relativo, S, es un número adimensional que resulta de la relación entre el eso esecífico densidad de un elemento y el eso esecífico o densidad del agua en condiciones normales; es decir, S ag ρ ρ ag

6 Problema. Determinar la viscosidad cinemática del benceno a 5 o C en Stokes. Con una temeratura de 5 o C se encuentra, en la curva de viscosidad corresondiente al benceno ν 7.60 x 0-7 m /s Las equivalencias son Stoke cm /seg 0 - m /s m /s 0 Stokes or lo tanto ν 7.60 x 0 7 x x 0 - Stokes Problema. Un fluido tiene una viscosidad de centioises y un eso esecífico de 800 kg/m. Determinar la viscosidad cinemática en el sistema técnico de unidades y en Stokes. dinas µ centioise 0.0 oises 0.0 cm s La equivalencia entre ambos sistemas es µ kg s m µ.08 x 0 - kg s m or definición la densidad es 800 ρ g 9.8 kg s 8.55 m ρ 8.55 UTM m La viscosidad cinemática es, or definición ν µ ρ.08 x ν x 0-6 m s La equivalencia es entre ambos sistemas es 5

7 ν x 0-6 ν x 0 - m x 0 s cm ν x 0 - Stokes s Problema. Calcular la viscosidad cinemática del aceite, de eso esecífico 800 kg/m, que se encuentra entre las lacas lanas que se muestran en la figura. La laca suerior se mueve a una velocidad de.80 m/s y tiene un eso esecífico de 500 kg/m. El eso de la laca suerior es W 0.5 x 0.5 x x kg El ángulo de inclinación de la laca con resecto a la horizontal es 0 cos α 0.8 α.6 o La fuerza que roduce el movimiento es la comonente del eso en el sentido del lano de deslizamiento es decir, W 0.69 x sen α kg La ecuación de viscosidad es du τ µ dy si la distribución de velocidades en forma lineal se exresa como 6

8 F A µ u y al desejar resulta µ F A y u al sustituir se obtiene µ x 0. 5 x µ.6 x 0 kg s m La viscosidad cinemática es, or definición, la relación entre la viscosidad dinámica o absoluta y la densidad del fluido; es decir, ν µ ρ ν.6 x x 0-5 m /s Problema.5 El esacio entre dos grandes suerficies lanas de.00 cm, se ha llenado con un líquido de eso esecífico relativo 0.8. Determinar: a) La viscosidad cinemática, si la fuerza requerida ara remolcar una lámina muy delgada de 000 cm a una velocidad de 0.00 cm/seg es de kg, cuando dicha lámina ermanece equidistante de las suerficies. b) La fuerza, si la lámina se encuentra a 7 mm de una de las suerficies. Condición inicial Condición final Cuando la laca móvil se encuentra equidistante de ambas suerficies, la fuerza en la cara suerior es igual a la fuerza en la cara inferior, resultando ara cada cara una fuerza de 7

9 F T F S F I F I F S F T Como la ecuación de viscosidad es F u µ A y resulta F y µ A u Al sustituir los valores numéricos se tiene µ x 0.0 ( 000 x0 ) 0. 0 kg s µ 0.0 m 0.0 ν ν 5.9 x 0 - m /s 0.8 x0 Cuando la laca móvil se encuentra a mm de la laca suerior las fuerzas son diferentes resultando F T F F Para la cara suerior la fuerza necesaria es u F A µ y 000 x0 x 0.0 x0.0 F ( ) F 0.7 kg Para la cara inferior la fuerza necesaria es u F A µ y 000 x 0 x 0.0 x 0.0 F F 0.50 kg Siendo la fuerza total F T kg 8

10 Problema.6 Un cilindro macizo, de eso W, cae en el interior de un cilindro hueco, según se indica en la figura, a una velocidad constante de.00 cm/s. Determinar la viscosidad del aceite que se encuentra entre ambos cilindros. Como la ecuación de viscosidad es τ F A µ u y µ F A y u La fuerza F, corresonde al eso del cilindro interno, W, es igual a la densidad or la aceleración de la gravedad y or el volumen; es decir, F ρ g π F 00 x x F 0.76 kg El área lateral de la suerficie que se mueve es A π D L A π x x 0.05 A 9.9 x 0 - m La searación entre la suerficie móvil del el cilindro que cae, y la fija del cilindro exterior es y 9

11 y x 0 - m Sustituyendo los valores calculados anteriormente se obtiene 0.76 x x 0 kg s µ x0 x 0.0 m Problema.7 Calcular aroximadamente el número de caballos de fuerza erdidos or rozamiento en la chumacera que se muestra en la figura, si el fluido tiene una viscosidad dinámica o absoluta de µ 0.05 kg s/m. de la figura se obtiene n 00 rm, d 5 cm, t 0.0 cm, L 90 cm La velocidad lineal se uede exresar en función de las revoluciones or minuto y el diámetro como π r n π d n u que al sustituir los valores numéricos se obtiene π 0.5 x 00 u u.66 m/s 60 El área lateral de la suerficie móvil es A π d L 0

12 al sustituir los valores numéricos se obtiene A π x 0.5 x 0.90 A 0.98 m Como la ecuación de viscosidad es τ F µ A u t F µ ua t.66 X 0.98 F 0.05 x F kg La otencia necesaria, en caballos de vaor, ara vencer el rozamiento es igual a F u P C x P.76 C Problema.8 Mediante un torque T, se hace girar el disco () con una velocidad angular ω.en la searación, h, entre los dos discos mostrados hay un aceite de viscosidad µ. Si el disco () gira libremente or la acción de rotación del disco (), y ambos discos tienen un diámetro, φ.determinar la velocidad de rotación ω del disco (), desreciando los efectos en los extremos.

13 La ecuación de viscosidad es τ F A µ u t ara el resente caso esta se uede exresar como τ µ t h ( ω ω) r τ µ h r h u ω ω µ r como τ varía con r entonces, la fuerza que actúa sobre un diferencial de área es df τ da τ π r dr ( ω ω) r µ π r dr h df µ π ( ω ω ) r h dr y el torque o momento es dt df r µ π ( ω ω ) r h dr El torque o momento total se obtiene integrando; así, T d d ( ω ω ) r d T µ π dr µ π h 0 0 ( ω ) ω h 0 d r d r T µ π ( ω ω ) h ( d/)

14 ω ω ht d µ π ω ω - µ π ht d Problema.9 Un aceite de viscosidad µ de 0.0 kg s/m, se encuentra en el esacio, h de mm, según se muestra en la figura. Calcular el torque T, requerido ara rotar el cono de radio R de 0 cm y ángulo α de 0 o, si velocidad de rotación n es de 00 rm. El torque o momento total es T fuerza x brazo La ecuación de viscosidad es τ F A µ u t La ecuación de viscosidad, ara una franja diferencial es

15 df da µ u h El diferencial de área, lateral es πr dr da sen α La velocidad lineal, a una distancia r del eje de rotación es u π r n 60 El diferencial de fuerza, que actúa en el diferencia de área es df u µ h da El diferencial de torque es igual al roducto del diferencial de fuerza or el brazo instantáneo r dt µ π rn 60 h πrdr r senα El torque total se obtiene al integrar la exresión anterior; es decir, T µ π n 60 h sen α R 0 r dr T µ π n 60 h sen α R Al sustituir los valores numéricos se obtiene 0.0 x π x00 x 0.0 T 0 60 x 0.00 x sen 0 T 0.56 kg m

16 Problema.0 Un líquido comrimido en un cilindro tiene un volumen de 0.00 m a 70 kg/cm y un volumen de 0.96 m a la resión de 0 kg/cm. Determinar el módulo de elasticidad volumétrico. El módulo de elasticidad volumétrico or definición es E E d d/ / resión final resión inicial (volumen final volumen inicial) / volumen inicial Para una resión inicial de 70 kg/cm corresonde un volumen inicial de 0.00 m Para una resión final de 0 kg/cm corresonde un volumen final de 0.96 m Que al sustituir en la ecuación anterior se obtiene E 0 70 ( ) / kg/cm Problema. Si se alica una resión de 0 kg/cm a.00 m de agua en condiciones normales, determinar cuánto disminuye el volumen si el módulo de elasticidad volumétrico es 000 kg/cm. 5

17 El módulo de elasticidad volumétrico or definición es E d d/ Al desejar la variación de volumen se obtiene d d E d x m.76 x 0 m 76 cm Problema. Si el agua tiene un módulo de elasticidad volumétrico de E 000 kg/cm. Determinar la resión requerida ara reducir su volumen un 0.5 % El módulo de elasticidad volumétrico or definición es E d d/ / E 000 kg / cm que al sustituir se obtiene entonces 000 x kg/cm si la resión inicial es cero, entonces 05 kg/cm 6

18 Problema. Realizar un gráfico que reresente la altura cailar, h en función del diámetro interno D, de un tubo circular ara agua destilada a 0 C. Cuál es la altura cailar si el diámetro interior del tubo es de 6 mm. Suoner que el ángulo de contacto entre el vidrio y el agua es de 0 En las tablas corresondientes a las roiedades físicas del agua se obtiene σ 0.7 x 0 kg/m y el eso esecífico kg/m La fuerza vertical que eleva la columna cailar debido a la tensión suerficial es F σ π D cos θ El eso de la columna de líquido que se encuentra en el tubo cailar es igual al eso esecífico del líquido multilicado or el volumen; es decir, W π D h La condición de equilibrio vertical es F W σ π D cos θ π D h 7

19 h σ cos θ D que al sustituir los valores numéricos resulta h x 0.78 x D cos 0 0 Simlificando resulta.056 x 0 h D 5 Diametro del tubo s. Altura cailar Diámetro del tubo (mm) 5 d 6 mm h 5. mm h (mm) Agua destilada 0 0 C Problema. Desarrollar una exresión ara calcular la altura de ascenso cailar entre dos lacas aralelas de longitud L y searación S. Desreciar los efectos extremos. Determinar h, si la searación entre las lacas es mm, la tensión suerficial σ es kg/m y el ángulo de contacto entre la laca y el agua es de 0 0 8

20 La fuerza vertical que eleva la columna cailar debido a la tensión suerficial es F σ L cos θ El eso de la columna de líquido que se encuentra entre las lacas searadas una distancia S es igual al eso esecífico del líquido multilicado or el volumen; es decir, W h L S La condición de equilibrio vertical es F W σ L cos θ h L S h σ cos θ S Al sustituir los valores numéricos se obtiene, h x x cos x000 0 h m h 0.56 cm Problema.5 Calcular la fuerza necesaria ara retirar un anillo de alambre de latino de 5 mm de diámetro de la suerficie del agua la cuál tiene una tensión suerficial σ de kg/m y un ángulo de contacto de 0 0, desreciar el eso del anillo. 9

21 La fuerza roducida or la tensión suerficial es igual a la tensión suerficial multilicada or veces el erímetro del anillo y or el coseno del ángulo; es decir, F σ π D cos θ F x x.59 x 0.05 F.7 x 0 kg Para oder levantar el anillo hay que alicar una fuerza hacia arriba e igual a la calculada anteriormente; es decir, F kg Problema.6 Cuál es la resión absoluta en el interior de una gota de agua de 0.05 mm de diámetro a 0º C, si en el exterior de la gota existe la resión atmosférica normal de.0 kg/cm 0

22 Con una temeratura de 0 0 C se obtiene en la tabla de roiedades físicas del agua σ kg/m La fuerza roducida or la tensión suerficial es F π r σ La fuerza roducida or la resión relativa en el interior de la gota es igual a la resión multilicada or la royección del área; es decir, F σ r Para que se mantenga el equilibrio F F π r σ σ r σ r y al sustituir se obtiene x kg/cm atmósfera.0 kg/cm interior atmósfera interior.0 kg/cm kg/cm interior.096 kg/cm

23 HIDROSTATICA Caítulo Problema. Determinar el eso W, que uede sostenerse con una fuerza de 50 kg alicados en el istón que se muestra en la figura. Si el desnivel entre el unto y el unto es cero o desreciable se uede considerar Por definición, la resión en el unto es F F F A πφ πφ y la resión en el unto es W W W A πφ πφ Al igualar y desejar se obtiene F πφ W πφ φ W F φ y al sustituir los valores numéricos, resulta cm W 50kg.8cm W kg

24 Problema. En el tanque de la figura tenemos tres líquidos no miscibles. Calcular las resiones absoluta y relativa en el fondo y determinar la cota de los líquidos en cada uno de los iezómetros colocados como se indica. Considerar que la resión atmosférica es 0.95 atm. Determinación de las resiones relativas en los untos,,, y. La resión relativa en el unto, suerficie libre, en contacto con la atmósfera es 0 0 kg/m. (z z ) Como S agua, al sustituir se obtiene x 000 ( ) 05 kg/m (Z Z ) 05 x 000 ( ) 505 kg/m (z z ) Como ρ x g, al sustituir se obtiene 505 (8.9 x 9.8) x ( ) 955 kg/m Como atm 00 kg/m Entonces 0.95 atm X X 98.5 kg/m

25 La resión absoluta en el fondo (unto ) es abs man atms local que al sustituir se obtiene abs kg/m Las alturas de los iezómetros son y las cotas de los iezometros son H H H m h m 750 H H m h m m h m 800 Problema. Calcular la resión en A, B, C y D en kg/cm. 0, (Por estar en contacto con la atmósfera) A h La resión en A es menor que la resión en ya que el unto A se encuentra or encima del unto.

26 A x kg/m A 600 x kg/cm B h La resión en B es mayor que la resión en ya que el unto B se encuentra or debajo del unto. B x kg/m B 600 x kg/cm C B (or ser aire, la resión se mantiene, aroximadamente constante en toda la cámara) C 0.06 kg/cm D C h D x 000 x kg/m D 00 x 0-0. kg/cm Problema. Calcular la resión absoluta y manométrica en el tanque, sobre la suerficie del agua. Considerar que la resión barométrica es de 70 mm de Hg. Moviéndose a lo largo del iezómetro, de derecha a izquierda y considerando resión relativa, se obtiene hasta llegar al unto A 0 0,7 x 600 0,6 x 000 0,76 x 600 0,76 x 000 0,9 x 000 A 5

27 A A 77 kg/m (relativa o manométrica) Como 760 mmhg 00 kg/m Entonces 70 mmhg X kg/m 70 x00 X 9650 kg/m. 760 Como la resión absoluta en un unto es abs relativa atmosférica, se tiene abs kg/m Problema.5 En la figura S 0.86, S, h cm, h cm,. a) Determinar la resión manométrica A en cm de Hg. b) Si la lectura del barómetro es 750 mm de Hg. Cuál es la resión absoluta en A en m de agua? a) Moviéndose a lo largo del iezómetro de izquierda a derecha y considerando resión relativa, se obtiene hasta llegar al unto B. A h S h S 0 Al desejar se obtiene A (h S h S ) que al sustituir resulta A 000 kg/m (0. x x 0.86) 9.0 kg/m 6

28 Como.0 kg/cm 76 cmhg Entonces 0.09 kg/cm X X.8 cmhg. b) Presión absoluta en m de agua abs bar man abs mm Hg Como 0. m 760 mm Hg Entonces X mm Hg X 0. m de agua Problema.6 En la figura que se muestra se tienen los siguientes datos: S S 0.8, S.6, h 0 cm, h 0 cm, h 0 cm. Determinar: a) A si B 0.7 kg/cm (manométrica) b) B en metros de agua si, A, kg/cm (Absoluta) y una lectura barométrica de 70 mm de Hg. a) Para una resión en B 0.7 kg/cm B 0.7 x 0 kg/m Se obtiene desde el unto A hasta el unto B, a través, del manómetro diferencial: A S h S h S h 0.7 x 0 7

29 Desejando se obtiene A 0.7 x 0 (S h S h S h ) que al sustituir, en el sistema métrico técnico, se obtiene A 0.7 x (.6 x x x 0.0) A 967 kg/m b) Para A.0 kg/cm (absoluta).0 x 0 kg/m Se obtiene desde el unto B hasta el unto A, a través, del manómetro diferencial B (S h S h S h ) A B A (S h S h S h ) que al sustituir, en el sistema métrico técnico, se obtiene: B.0 x (0.8 x x x 0.0) B.6 x 0 kg/m (absoluta).6 kg/cm Como 760 mm Hg equivalen a.0 kg/cm, se obtiene que la resión atmosférica es atm kg/cm 760 La resión absoluta es abs rel atm Desejando y sustituyendo se obtiene rel kg/cm Como kg/cm equivalen a 0 m de agua se obtiene que la resión relativa es B(rel) 0 x 0.. m de agua 8

30 Problema.7 Dos reciientes cuyas suerficies libres se encuentran a una diferencia de altura H, contienen el mismo líquido de eso esecífico según se indica en la figura. Encuentre una exresión ara calcular en función de a, A, B, B. A través del manómetro suerior, desde el unto hasta el unto se obtiene 0 H X A A A X 0 Simlificando se obtiene H A A A 0 A través del manómetro inferior, desde el unto hasta el unto, se obtiene 0 m B B B m H 0 Simlificando se obtiene B B B H Al desejar, se obtiene el valor del desnivel H B B B H Al sustituir el valor de H en la exresión obtenida del manómetro suerior, se obtiene B B B A A A 0 Al simlificar B B A A A B 9

31 Problema.8 Calcular el desnivel, A, que existe entre los tanques mostrados en la figura. La resión relativa, del aire confinado, en la arte suerior del tanque en kg/m, se uede determinar mediante la lectura del manómetro así Hg h 600 ( 0.5) 50 kg/m Moviéndose a lo largo del manómetro diferencial, del tanque hasta el tanque, se tiene: x x 000 x x 000 (6.60 A) 0 y al desejar se obtiene A. m Problema.9 Los comartimentos B y C están cerrados y llenos de aire. La lectura barométrica es.00 kg/cm, cuando los manómetros A y D marcan la lectura indicada. Qué valor tendrá X en el manómetro E el cual contiene mercurio (S.59). 0

32 Considerando resiones relativas y moviéndose desde el manómetro A hasta el manómetro D se obtiene. x X (0.5) (590) 0 X.80 m Problema.0 El manómetro que se muestra en la figura se encuentra en equilibrio. Si la resión en A aumenta en un 50%, resecto a la inicial, determinar la nueva lectura manométrica. Condición inicial Condición final Para la condición inicial, moviéndose de izquierda a derecha se obtiene: A ( x 000).00 (0 x 000) A 000 kg/m 50 Al aumentar la resión en un 50%, es decir, 0.50 se tiene ara esta nueva condición: 00 Nueva resión en A (000) 500 kg/m Ahora, el líquido manométrico en la rama de la izquierda baja una distancia M, y en consecuencia, sube en la rama de la derecha la misma distancia M, debido a que el diámetro del iezómetro es constante, obteniéndose 500 ( x 000) (.00 M) (0.50 M) (0 x 000) 0

33 simlificando se obtiene 000 M 0000 M M 500 M 0.08 m La nueva lectura es la lectura inicial más dos veces la altura M así Nueva Lectura 0.50 x m Problema. Cuando el embudo está vacío y la altura de agua alcanza el unto A el desnivel del manómetro es H 50 mm. Calcular el desnivel del manómetro cuando el embudo se encuentra comletamente lleno de agua. a) Para la condición inicial, moviéndose de izquierda a derecha se obtiene (.6 x 000) H 000 x h 0 S.6 Como H 50 mm 0.50m se tiene al sustituir y desejar h,0 m (desnivel inicial) b) Para la condición final el embudo se llena de agua, la resión en A no deende del tamaño del embudo, ni de la forma de este reciiente, solamente deende de la altura y del tio del líquido. Al llenar el embudo, el líquido manómetrico baja X en la rama de la derecha, y sube X en la rama de la izquierda, así moviéndose de izquierda a derecha a través del iezómetro se obtiene (.6 x 000) ( H X) 000 ( X h.00) 0

34 al sustituir los valores obtenemos (.6 x 000) (0.5 X) 000 ( X.0.00) 0 X 0,5 m. El nuevo desnivel es X H sustituyendo el valor de X calculado, se obtiene El nuevo desnivel (0.5) m. Problema. En el esquema que se muestra en la figura, A contiene agua y el fluido manométrico tiene una densidad relativa de.9. Cuando el menisco de la izquierda coincide con el cero de la escala, A 0 cm de agua. Determinar la lectura del menisco de la derecha ara A 0.07 kg/cm (man) cuando no se ajusta el tubo a la escala. a) Para la condición inicial, cuando la resión en A es 0 cm de agua, se obtiene moviéndose a través del manómetro, de izquierda a derecha A agua h agua ( S agua ) h 0 al sustituir los valores numéricos se obtiene.000 x x 0.60 (.9 x 000) h 0 de donde, h 0.8 m b) Para la condición final, cuando la resión en A es 0.07 kg/cm, se obtiene moviéndose a través del manómetro de izquierda a derecha ' A agua ( h agua H ) (.9 x 000 ) ( h H ) 0

35 al sustituir los valores numéricos se obtiene 0.07 x (0.8 H) (.9 x 000) (0.8 H) 0 de donde, H 0. m Como la escala y el tubo manométrico están fijos la nueva lectura será: Nueva lectura es m Problema. Cuando la llave esta cerrada, el manómetro de Bourdon o de aguja indica una resión A. Calcular la diferencia entre las ramas del manómetro un U cuando se abre la llave, suoniendo que los niveles del líquido ermanece constante.. cuando la llave está cerrada, la resión en A se uede calcular como

36 A (S agua ) ( h ) A (0.85 x 000) ( 0.90) kg/m Al abrir la llave, el líquido en las ramas del manómetro se mueve. Suongamos que en la rama de la derecha el líquido baja una distancia k y en la rama de la izquierda el líquido sube una distancia k; moviéndose a través del manómetro se tiene 0 (0.85 x 000) (. 0.9 k) (.6 x 000) (k) de donde, k 0.0 m El signo negativo, del resultado obtenido a través de los cálculos, indica que ocurre lo contrario de lo asumido, es decir, el líquido en la rama de la derecha sube una distancia k y en la rama de la izquierda baja distancia k. La diferencia entre ramas es k (0.0) 0.80 m Problema. Para el esquema que se muestra en la figura se ide: a) Peso del cilindro W si la diferencia entre las ramas de mercurio es de 7.00 cm. b) Cuánto será la diferencia entre las ramas de mercurio, considerando una densidad relativa de, si sobre el cilindro W se coloca un eso W igual a 0.55 kg. a) Para la condición inicial ( x 000) x 0.07 (0.9 x 000) ( ) 70 kg/m La resión roducida or el émbolo de eso W es 5

37 W π W Φ A Al sustituir los valores numéricos se tiene π W 70 x x kg b) Para la condición final, la nueva resión roducida or el émbolo es W W ' 796 kg / m A π Al colocarse el eso W sobre el embolo, éste baja una distancia Y, y en consecuencia, el líquido en la rama de la derecha del manómetro sube una distancia X. Como estos volúmenes son iguales se tiene π 0.0 Y π 0.0 X Y 0.06 X Moviéndose a través del manómetro de izquierda a derecha se obtiene 796 (0.90 x 000) (0.60 Y X) ( x 000) ( X 0.07) 0 de donde, X 0.0 m Como la diferencia de lecturas es igual a la lectura inicial más dos veces la distancia X, obtenemos Diferencia de lecturas 0.07 x m 6

38 Problema.5 Cuando el manómetro se encuentra en la osición inicial mostrada en la figura. Calcular la diferencia de resiones si el menisco de la izquierda (línea entre líquidos) sube 5 cm. Condición inicial Condición final a) Para la condición inicial y moviéndose de izquierda a derecha a través del manómetro se obtiene x 000 Para este caso como la exresión anterior se transforma en x de donde, kg/m 0.50 b) Para la condición final, al subir el menisco de la izquierda 5 cm la suerficie del líquido sube en la cámara izquierda una distancia Z y baja en la cámara de la derecha una distancia Z, entonces ( Z) 800 ( ) 000 ( Z) 000 (0.5 Z) x 800 (0.5 Z) x 000 Como el volumen del líquido en la rama de la izquierda entra en la cámara suerior, subiendo una distancia Z, entonces estos volúmenes son iguales, es decir π π 0.05 Z 0.05 x 0.05 Z 0.05 cm Sustituyendo el valor de Z, se tiene ( ) x 800 ( ) x kg/m 7

39 Problema.6 La sección transversal de una resa es un rectángulo de m. de ancho y 6 m. de alto. La rofundidad del agua situada tras la resa es de 6 m. y la longitud de 50 m. a) Cuál es el momento del ar que tiende a volcar la resa. b) Si el material de que está hecha la resa tiene un eso esecífico de 700 kg/m, determinar si el ar estabilizador debido al eso tiene un momento mayor o menor que el debido a la acción del agua. a) Determinación del momento al volcamiento La fuerza, según el diagrama es F H L El brazo resecto a eje AA es B H Luego el momento será M F x B 6 H L Al sustituir se obtiene que el momento al volcamiento es M 6 x 000 x 6 x 50 5 x 0 5 kg m 8

40 b) Determinación del momento estabilizador El eso de la resa es W x 6 x 50 x x 0 kg. El brazo resecto al eje AA es b a.50 m Luego el momento estabilizador es M W b 59 x 0 x x 0 5 kg m como M x 0 5 kg m > M 5 x 0 5 kg m, la resa es estable y no se roduce el volcamiento. Problema.7 Si se considera que la comuerta, cuya sección transversal se muestra en la figura, no tiene eso, cual será la altura de agua, h, ara la cual ella se abre? La fuerza horizontal sobre la suerficie vertical y su brazo son resectivamente, F h L 000 x h x L 500 h L y b h La fuerza vertical sobre la suerficie horizontal y su brazo son resectivamente, F x h x x L 000 h L y b 0.50 m La condición de equilibrio indica M A 0 F b F b 0 9

41 500 h L x h 000 h L x 0.50 Al desejar se obtiene h.7 m Problema.8 Calcular el eso W ara que la comuerta articulada en A, se mantenga en equilibrio. El ancho de la misma es de.00 m La fuerza sobre la suerficie vertical, según el diagrama de resiones es F 000 x x 000 kg y su brazo resecto al eje de rotación A es b.00 m La fuerza vertical, sobre la suerficie horizontal es F 000 x x 000 kg y su brazo de la fuerza vertical es: b m El eso de la resa, W, es desconocido W? y su línea de acción resecto al eje A es b w.00 m 0

42 La condición de equilibrio ( Σ M A 0) es 000 x 000 x.00 W x 0 Al desejar se obtiene W 50 kg Problema.9 a) Determinar la fuerza resultante F, debida a la acción del agua sobre la suerficie lana rectangular AB de m de altura y m de ancho que se muestra en la figura. b) Determinar su osición. Método A (utilizando las fórmulas) a) Determinación de la fuerza F x h x A F 000 x (. ) x ( x ) F 00 kg b) Determinación del unto de alicación I cg Y c YA Y

43 Y c x (, ) x ( x ) (. ) Y c,5 mts (a artir de la suerficie) Método B (utilizando el diagrama de resiones) El volumen del risma traezoidal de resiones es F x x F 00 kg Si se divide el traecio en un rectángulo y un triángulo se tiene Para el rectángulo F 00 x x 00 kg Y ara el triángulo: F 000 x x 000 kg El momento estático de la fuerza total F, resecto al unto A es igual al momento de las fuerzas arciales F y F ; es decir, F x b F b F b, de donde, b F b F b F Al sustituir resulta b 00 x 000 x x 00 b.5 m La osición desde la suerficie será Y c m

44 Problema.0 Una suerficie triangular, con un ángulo recto, tiene un vértice en la suerficie libre de un líquido como se muestra en la figura. Si la comuerta se encuentra sobre un lano vertical, hallar la fuerza sobre dicha suerficie. a) Mediante la utilización de la fórmula. b) Mediante integración. a) Mediante la utilización de la fórmula F P c g A La resión en el centro de gravedad de la suerficie es P c g h h El área total de la suerficie es b h A Al sustituir resulta h b h F x desués de simlificar se obtiene F h b b) Mediante integración df da da x dy

45 Según la relación de triángulos se tiene La fuerza total será igual a la integral Simlificando, de donde Luego de evaluar entre 0 y h, se obtiene Finalmente F h b La fuerza F, que actúa sobre la suerficie cuadrada es ( ) y h h b x h y h b x ( ) ( ) h 0 y h dy y h h b F x ( ) dy y h h b F h 0 h 0 y y h y h h b F x h h h h b F Problema. Calcular la magnitud y unto de alicación de la fuerza horizontal que actúa sobre la comuerta lana y vertical mostrada en la figura.

46 F x h x A 000 ( ).0 x kg y su unto de alicación, resecto a la suerficie del agua, Y c I cg YA Y. x..0 x (.0 x.0).0.6 m La fuerza F, que actúa sobre la suerficie triangular es F.0 x h x A x x kg y su unto de alicación, resecto a la suerficie del agua es Y c I cg YA Y.0 x x.0 x m La fuerza total sobre la suerficie comuesta es F t kg El momento estático de la fuerza F t, resecto a la suerficie del agua es igual al momento de las fuerzas arciales F y F resecto a la misma suerficie F t Y ct F Y c F Y c Desejando y sustituyendo se tiene Y ct x.05 8 x Y ct.9 m Problema. El risma rectangular hueco está en equilibrio cuando y 0 y Z 0 cm. a) Calcular el eso del risma b) Si Z 5 cm, calcular y ara que se encuentre en equilibrio. 5

47 a) Prisma vacío La fuerza sobre la suerficie vertical y su unto de alicación son resectivamente F x 000 x 0.0 x 5 kg y b m La fuerza sobre la suerficie horizontal y su unto de alicación son resectivamente F 00 x x 600 kg y b.00 m La condición de equilibrio se obtiene haciendo la sumatoria de momentos en la articulación, siendo W el eso del risma y b w, su unto de alicación; es decir F b F b W b w Desejando se obtiene W F b F b b w 6

48 como b w.00 m, al sustituir se obtiene W 5 x x kg b) Prisma con una altura y de mercurio La fuerza sobre la suerficie vertical y su unto de alicación son resectivamente F x 000 x 0.5 x 0.5 kg y b x m La fuerza sobre la suerficie horizontal y su unto de alicación son resectivamente F 50 x x kg y b.00 m El eso del risma, calculado anteriormente, y su unto de alicación son resectivamente W kg y b w.00 m El eso del mercurio y su unto de alicación son resectivamente W y x x x y y b w.00 m La condición de equilibrio se obtiene haciendo sumatoria de momento resecto a la articulación F x b F x b W x b w W b w W F b F b W b w b w Al sustituir se tiene W 0.5 x x x 0.69 kg ; lo que corresonde al eso del mercurio ara mantener el equilibrio. 7

49 Como 700 y 0.69 Entonces se obtiene y 0.0 m Problema. En la figura el risma triangular hueco está en equilibrio cuando Y 0 y Z 0 cm. La línea de acción del centro de gravedad del risma se encuentra según lo indicado. a) Determinar el eso del risma or metro de longitud. b) Hallar el valor de Y, si Z 5 cms. a) Prisma vacío La fuerza sobre la suerficie vertical y su unto de alicación son resectivamente F 000 x 0. x 5 kg y b m La fuerza sobre la suerficie horizontal y su unto de alicación son resectivamente F 0.0 x 000 x.0 x 60 kg y b m 8

50 La condición de equilibrio se obtiene haciendo sumatoria de momento resecto al unto a, siendo W el eso del risma. M a 0 5 x x W de donde W 5 kg b) Prisma con una altura de agua en el interior igual a Y La fuerza sobre la suerficie vertical y su línea de acción son resectivamente F 000 x 0.5 x 0.5 kg y b m La fuerza sobre la suerficie horizontal y su línea de acción son resectivamente F 50 x.0 x 50 kg y b m El eso total del agua, en el interior del risma, se uede calcular como W y W. Por relación de triángulos X Y X Y El eso W y su línea de acción son, resectivamente W Y Y x x 000 y b 8 Y Y 9 El eso W y su línea de acción son resectivamente W (.0 - Y) Y x x 000 y b.0 Y La condición de equilibrio se obtiene haciendo sumatoria de momentos resecto al unto a. M a 0 9

51 Y Y Y Y 000 Y.0 Y 5 x x x de donde se obtiene, Y 0.67 m Problema. a) Hallar el módulo y la línea de acción de la fuerza a cada lado de la comuerta que se muestra en la figura. b) Determinar F ara abrir la comuerta si ésta es homogénea y esa 000 kg. El ancho de la comuerta es de.80 m. La longitud L, de la comuerta es L m Determinación la fuerza roducida or el líquido de la izquierda 50

52 La altura desde el centro de gravedad de la comuerta hasta la suerficie del líquido, donde la resión es 0, es h m El área real de la comuerta es A L x ancho.00 x.80 Entonces la fuerza es F A 86 x.70 x (.80 x.00) h F 597 kg Determinación de la línea de acción de la fuerza roducida or el líquido de la izquierda Esta línea se encuentra a Y c desde el unto O I cg Y c Y Y A Por relación de triángulos Y o 6 m.00 Y o Y Y 0 L m I cg Y c Y Y A.80 x.50 x x m 5

53 Determinación la fuerza roducida or el líquido de la derecha. La altura desde el centro de gravedad de la comuerta hasta la suerficie del líquido, donde la resión es 0, es h m F h A 86 x.50 x.80 x.00 F 6998 kg Determinación de la línea de acción de la fuerza roducida or el liquido de la derecha Esta línea de acción se encuentra a Y c desde el unto O I cg Y c Y Y A Por relación de triángulos X.00 m X L.00 Y X m 5

54 Y c.80 x.00 (.50) x (.80 x.00) (.50).80 m Los brazos de cada una de las fuerzas se encuentran indicados en la figura siguiente Mediante la condición de equilibrio tenemos 597 x x x.80 F x.0 0 F F 507 kg Problema.5 Cuál será el valor del contraeso W ara que la comuerta de la figura se mantenga en la forma mostrada? Las hojas OA y OB, rectangulares de,00 m de ancho, forman en O un ángulo rígido de 90 o y esan 000 kg y 600 kg, resectivamente. 5

55 Determinación de las resiones en los untos A, O, B, con el fin de dibujar los diagramas de resiones A 0 0 A h (.50 cos 0 0 ) 00 kg/m B 0 h (.80 sen 0 0 ) 00 kg/m Determinación de la fuerza La fuerza sobre la cara AO, de m de ancho se uede calcular según el diagrama de resiones como 5

56 F x 00 x.50 x 897 kg La fuerza sobre la cara OB, de m de ancho se uede calcular, en dos artes, según el diagrama de resiones como F 00 x,80 x 95 kg F x x 0 kg El eso P de la hoja OA es P 600 kg El eso P de la hoja OB es P 000 kg Consideremos W el eso necesario ara mantener el equilibrio Determinación de los brazos de cada una de las fuerzas calculadas anteriormente b x m b x m b x.80.0 m b ( ) cos 0 0. m b cos 0 0 b cos m 0.8 m La condición de equilibrio indica que la sumatoria de momentos resecto al eje O es M o F b F b F b P b 5 P b 6 W b 0 Al sustituir M o 897 x x x x x 0.8 W x. 0 de donde W 8.96 kg. 55

57 Problema.6 Calcular la fuerza de comresión a que está sometida la barra AD, or la acción del agua sobre la comuerta triangular equilátera ABC. Determinación de las distancias H y L sen 60 o H o H sen 60 sen 60 o. L o L sen 60 L.67 m Determinación de las fuerzas roducidas or el agua sobre la comuerta F h A x. F 565 kg Determinación del unto de alicación, Y c de la fuerza La distancia M, imaginaria, indicada en la figura es M cos M 0 cos m H. m El momento de inercia del triángulo resecto al eje centroidal es I cg L H 6 56

58 La distancia Y es Y m La distancia Y c es I cg Y c YA Y Al sustituir se obtiene.67x. 6 Y c..6 m.67 x.. El brazo resecto al eje horizontal B C es b (. 0.58) m Según la condición de equilibrio F x b F c x. 0 Al desejar se obtiene 565 x 0. 6 F c 5 Kg. Problema.7 En el deósito mostrado en la figura se ide: a) Fuerza horizontal sobre la suerficie AB b) Punto de alicación de la resultante resecto al unto B. El ancho de la suerficie AB es de.00 m. 57

59 Determinación de las resiones en los untos A,,, B, ara dibujar los diagramas de resiones A 0.0 x kg/m 60 kg/m 60. x kg/m B x kg/m Determinación de las fuerzas La fuerza en la zona A, de la resión constante, en forma de risma rectangular es F 60 (.00 x.00) kg La fuerza en la zona, de la resión variable, en forma de risma traezoidal es F x.0 x kg La fuerza en la zona B, de la resión variable, en forma de risma traezoidal es F x 0.90 x kg 58

60 La fuerza total F H es F H F F F F H kg Determinación de los brazos resecto al unto B b m El centro de gravedad de un traecio resecto a la base mayor es X c g h a a b Entonces, al sustituir se obtienen los brazos b m y b m El momento roducido or la fuerza total F H, resecto al unto B es igual a la suma de los momentos arciales de las fuerzas F, F y F, es decir, F H x b F x b F x b F x b b 60 x x x 0. 9 b.6 m Problema.8 Calcular la altura, h necesaria ara mantener en equilibrio la comuerta circular,de.00 m de diámetro que se muestra en la figura. 59

61 Determinación de la fuerza F, roducida or el agua y su unto de alicación F h c g A F 000 x.5 x π x kg Como I c g πd 6. x m cg Y c I YA Y 60

62 Y c π x x m El brazo resecto a la articulación es b Y c m Determinación de la fuerza F roducida or el aire y su unto de alicación Como la resión en la cámara de aire es constante, la fuerza F se determina como π F (.6 x 000) (h).00 b m La condición de equilibrio indica F b F b 0 π (.6 x 000) (h).00 x x Al desejar resulta h 0.5 m Problema.9 Determinar el momento que hay que alicar en "O" ara mantener la comuerta cerrada. El ancho de la comuerta rectangular es de.80 m. 6

63 Determinación de las resiones en los untos A y O, con el fin de dibujar los diagramas de resiones A 0.0 x (5 x 000) ( ) x kg/m x kg/m La longitud de la comuerta es Sen L L.70 m El unto de corte o de resión cero ocurre, or simetría en L / 0.85 m Entonces la fuerza se uede determinar a través de la cuña o diagrama de resiones como F F 600 x 0,85 x,80 59 kg El momento estático de las fuerzas F y F resecto al unto O es 6

64 M F b F b Al sustituir resulta M 59 x ( 0,85 0,85) 59 ( x 0,85) 50 kg. m Problema.0 Calcular el volumen mínimo de un bloque de concreto ( 00 kg/m ) que ueda mantener la comuerta circular en la osición que se muestra en la figura. (El bloque está sumergido en agua) Determinación de la fuerza F y su unto de alicación F P cg A h A 000 x.0 x π x.80 F 05 kg Y c I Y cg XA Y Como el momento de inercia es 6

65 I c g πd 6. x (.80) m entonces 0,55 Y c. 0 π.0 x x m El brazo resecto al eje de rotación es b ( ).7 m. m Según la condición de equilibrio F b F b 0 F F b b Al sustituir se obtiene 05 x. F 0 kg.0 Si la tensión del cable es 0 kg, según la sumatoria de fuerzas verticales, E F W 0 Donde E es el emuje que exerimenta el cuero sumergido, E liq x sumergido liq x sumergido 0 W x sumergido 0 00 x sumergido 0 sumergido (00-000) 0 sumergido m 6

66 Problema. Calcular F h, F, y F R or metro de ancho debido a la acción del agua sobre el muro de retención arabólico que se muestra en la figura. El vértice de la arábola se encuentra en el unto A y es simétrica resecto al eje Y. La fuerza vertical es igual al eso del volumen de líquido sobre la suerficie curva el cual es igual al área entre la suerficie curva, la suerficie del agua y el eje Y multilicada or el ancho y or el eso esecífico del líquido. La ecuación de la arábola uede exresarse como y K x Esta se debe satisfacer ara el unto B, de coordenadas (.50;.00); es decir,.0 K x K 0.8 ( ).50 de donde, a ecuación de la arábola y 0.8 x El área descrita anteriormente se uede calcular mediante integración como da dy x da A Y 08. dy Y d y / / 0 y / dy 65

67 Al integrar se obtiene / / Y x A ( ) ( ) 0.8 / / 5.00 m Entonces la fuerza vertical es F 5.00 x.00 x kg. La fuerza horizontal es igual a la fuerza que actúa sobre la royección vertical de la suerficie; es decir, F H ha F H 000 x.5 x x 500 kg. La resultante de la fuerza horizontal y vertical es R R 677 kg. Problema. La comuerta ABC de la figura es de forma arabólica (A es el vértice de la arábola) y uede girar alrededor de A. Si su centro de gravedad está en B, Qué eso W debe tener la comuerta ara que esté en equilibrio en la forma que se muestra? Ancho.00 m La fuerza vertical es igual al eso del volumen de líquido desalojado or la comuerta el cual es igual al área entre la suerficie curva, la suerficie imaginaria del líquido y el eje y, multilicada or ancho de la comuerta y or el eso esecífico del líquido. La ecuación de la arábola uede exresarse como 66

68 x K y La cual se debe satisfacer ara el unto D, de coordenadas (0.60;.0) Es decir, 0.6 K x.0 K de donde, la ecuación de la arábola es x 0.67 y El área descrita anteriormente se uede calcular mediante integración como da x dy.0 A ( 0.67 y ) 0 dy 0.67 x.0 A 0. m Entonces la fuerza vertical es F 0. x.00 x 0.80 x kg La fuerza vertical actúa en el centro de gravedad del área determinada anteriormente el cual se determina como 67

69 X cg A. 0 0 x x dy Al sustituir y desejar el valor X cg, se obtiene X cg y 0.67 y 0. dy 0.8 m La fuerza horizontal y su brazo resecto al unto A son resectivamente F H x 800 x.0 x kg y b H x m Según la condición de equilibrio W x 0.5 X cg F F H b H 0 Al sustituir y desejar se obtiene x 576 W kg 0.5 x Problema. Para la comuerta radial que se muestra en la figura determinar: a) La fuerza horizontal y su línea de acción. b) La fuerza vertical y su línea de acción. c) La fuerza F, necesaria ara abrir la comuerta, desreciando su eso. d) El momento resecto a un eje normal al ael y que asa or el unto O 68

70 Determinación de la fuerza horizontal y su línea de acción F H x h x A 000 x x 6000 kg Yc Y I cg.00 Y A.00 x x (.00 x.00).08 m Determinación de la fuerza vertical y su línea de acción La fuerza vertical es igual al eso del volumen de líquido desalojado or la comuerta. Con la finalidad de simlificar los cálculos esta fuerza se divide en dos artes siendo las fuerzas y los brazos resectivamente F x x x kg y b.00 m F π x x kg y b 69 r x.00 π π Determinación de la fuerza F, necesaria ara abrir la comuerta La condición de equilibrio indica que el momento resecto al unto O es cero; así, M o x x x.08 x F m

71 Al desejar se obtiene F kg Es decir, no se necesita fuerza ara abrir la comuerta. Determinación del momento resecto al unto O M o 0 (Por el aso anterior) Problema. Calcular la magnitud, dirección y unto de alicación de la fuerza ejercida sobre el área AB debido a la acción del agua, sobre un cuarto de cilindro circular con una longitud, normal al lano del dibujo, de. m. Determinación de la fuerza horizontal roducida or el líquido sobre la royección vertical de la suerficie 70

72 .5 F H h cg A 000 x.05 x.5 x. 0 kg. Determinación del unto de alicación Y c Y I cg YA x. x.5. x.5 x (.05.5) Y c m F F (ACDO) F (AOB) 000 x.05 x. x x. x F kg Los unto de alicación de las fuerza verticales son.5 El de la fuerza F (ACDO) es 0.76 m El de la fuerza F (AOB) es r x.5 π π 0.65 m π x.5 El momento roducido or la fuerza vertical total es igual al la sumatoria de los momentos roducidos or cada una de las fuerzas verticales F X c E (ACDO) x 0.76 E (AOB) x x 0.76 x 0.65 X c 0.78 m 57 F T kg Determinación de la dirección y sentido de la fuerza tangφ F F H v m 57 φ o 56 con el eje vertical y sentido hacia la derecha. Problema.5 El deosito cilíndrico de la figura, de m. de diámetro, está lleno hasta la mitad de aceite de eso esecífico relativo 0,80 y el resto con aire a una resión de 0, kg/cm. Determinar: a) La fuerza contra la taa suerior y su unto de alicación b) La fuerza contra el fondo y su unto de alicación c) Hacer un diagrama de resiones contra la ared lateral d) La tensión horizontal máxima que debe resistir un anillo de cm de ared lateral. e) Si el deósito está asentado directamente sobre el terreno, calcular la fatiga de éste, siendo el eso roio del tanque de.5 Ton. 7

73 Determinación de la fuerza contra la taa suerior y su unto de alicación F aire A 0. x 0 π x.00 0 kg Debido a que la resión es constante en la taa, la fuerza actúa en el centro de gravedad de la misma. Determinación de la fuerza contra la taa inferior y su unto de alicación π F 0 aceite h A x 000 x.00 x kg. Esta fuerza está alicada el centro de gravedad del fondo, según lo exlicado anteriormente Diagrama de resiones contra la ared lateral A 0. x kg/m B 0. x kg/m C x 800 kg/m Determinación de la fuerza horizontal máxima absorbida or las aredes laterales 7

74 Al observar un corte del cilindro se tiene T máx D L Al desejar y sustituir se obtiene T kg Determinación de la fatiga del terreno σ terr. F A π kg/m σ terr kg/cm Problema.6 En el muro de retención de agua de mar mostrado en la figura cuál es el momento resecto al unto A or la acción exclusiva del agua de mar ( 05 kg/m )? 7

75 La fuerza vertical es igual al eso del volumen de líquido sobre la suerficie curva, el cual es igual al área entre la suerficie curva, la suerficie del líquido y el eje Y, multilicada or el ancho de la comuerta y or el eso esecífico del líquido. La ecuación de la arábola uede exresarse como y K x La cual debe satisfacerse ara el unto de coordenadas (.50;.00); es decir,.00 K x.50 K 0.8 de donde, la ecuación de la arábola es y 0.8 x El área descrita anteriormente se ude calcular mediante integración como da ( y) dx A.5 0 ( x ) dx x x m F 5.00 x kg La fuerza vertical actúa en el centro de gravedad del área determinada anteriormente. Este de acuerdo a la siguiente figura 7

76 como X cg A.5 0 ( x ) x dx X cg x 0.8 x m La fuerza vertical actúa a una distancia b según lo indicado en la siguiente figura b m Determinación de la fuerza horizontal F H H L 05 x.00 x kg La fuerza horizontal actúa a una distancia b según lo indicado en la figura anterior b.00 x m El momento resecto al unto A es Ma 6.50 x 55 x kg m Problema.7 Calcular, mediante integración, la fuerza F necesaria ara mantener la comuerta de la figura en la osición indicada. Considerar que el ancho de la comuerta es de.0 m. 75

77 Determinación de la resión en el unto O o 0.80 x 800 x x x.50 0 o 5000 kg/m La resión, a una altura h, medida verticalmente desde el unto O es 5000 h ( - cos α) El diferencial de fuerza que actúa sobre el diferencial de área es df [5000 x 0.50 x ( - cos α)] x 0.50 x dα x.0 El diferencial de momento, resecto al unto O es dm df x b Al sustituir se obtiene dm [ ( - cos α)] 0.50 x.0 dα (0.50 senα) El momento total se obtiene al integrar ente 0 y π 76

78 π/ M 0.0 [ ( - cosα) ] sen α dα 0 M 0. x π/ sen α dα 0.50 sen α dα senα cos α dα Como sen α cos α sen α entonces se tiene: π/ M [ cos α] [ cos α] Como 0 π/ π / 0 sen α dα d (cos α) - sen α d α entonces M [ cos α] M 0.0 M 0.0 M ( -) M 0.0 { 500 } 560 kg m x 800 x π/ 0 Para que la comuerta se encuentre cerrada, el momento roducido or la fuerza externa F, resecto al unto O debe ser igual al roducido or la acción del agua, determinado anteriormente; así, F x de donde, 560 F 0 kg

79 Problema.8 El cilindro de la figura, de.00 m de diámetro esa 500 kg. y tiene una longitud de.50 m. Determinar las reacciones en A y B desreciando el rozamiento. Esquemas de fuerzas Determinación de la fuerza horizontal roducida or la acción del aceite. F H h L 0.8 x 000 x.00 x kg La condición de equilibrio horizontal indica que F H R A 0 R A F H 00 kg Determinación de la fuerza vertical roducida or el aceite F F - F 78

80 La fuerza vertical en la zona BD es hacia arriba e igual al eso del volumen de agua deslazada, es decir, el área A BCDE multilicada or la longitud del cilindro y or el eso esecífico del líquido; así, F A BCDE L La fuerza vertical en la zona CD es hacia abajo e igual al eso del volumen de agua que se wncuentra sobre la suerficie, es decir, el área A DEC multilicada or la longitud del cilindro y or eso esecífico del líquido; así, F A DEC x L La fuerza vertical resultante es F L (A BCED - A DEC ) y hacia arriba simlificando se obtiene F L A BCD y al sustituir los valores numéricos resulta F 800 x.5 x π kg La condición de equilibrio vertical indica que F R B W R B W F R B kg Problema.9 El cilindro de la figura de.0 m de diámetro, esa 50 kg y reosa sobre el fondo de un deósito de.00 m de longitud; si se vierte agua y aceite en la arte izquierda y derecha resectivamente, hallar los módulos de las comonentes de las fuerza horizontal y vertical que mantienen el cilindro justamente en contacto en el deósito. 79

81 Esquemas de fuerzas Determinación de las fuerzas horizontales F H(BC) H L 000 x 0.60 x kg F H(BA) H L 750 x.0 x kg La condición de equilibrio horizontal indica que R H F H(CB) F H(BA) 0 de donde, R H F H(BA) F H(CB) kg Determinación de las fuerzas verticales La fuerza vertical roducida or el agua es igual al eso del volumen desalojado; es decir, el área CDB multilicada or la longitud y el eso esecífico 80

82 F (BC) (Area (COB) Area (COD) ) L Angulo (COB) arc cos 06.. π 60 º La distancia CD es igual a m F (CB) π x x.00 x 000 F (CB) kg La fuerza vertical roducida or el aceite es igual al eso del volumen desalojado; es decir, el área ABO multilicada or la longitud y el eso esecífico F (BA).0 π.00 x 0.75 x kg La condición de equilibrio vertical indica que Rv F (CB) F (BA) W Rv kg Problema.0 Hallar las fuerzas horizontales y verticales sobre la comuerta radial de.00 m. de ancho que se muestra en la figura y el momento que ellas roducen resecto al eje de giro A. 8

83 Determinación de la altura H H sen 5 H 5.00 x sen m Determinación de la fuerza vertical roducida or el agua sobre la comuerta. F Peso del volumen de agua desalojado or la comuerta Fv [Area (ABDC) Area (ABC) ] 000 H H r F π.00 Al sustituir resulta F 000 x x F 000 (9.6.5) 70 kg Determinación de la fuerza horizontal roducida or el agua sobre la comuerta F H H L F H x 000 x 7.07 x kg Determinación de los untos de alicación La fuerza vertical se encuentra alicada en el centro de gravedad del volumen desalojado, el cual se calcula mediante r ( Sen α) X cg α Sen α ( ) 0 x 5 X cg ( Sen 5 ) π x 0 Sen 5 8

84 X cg. m (desde el centro) La fuerza horizontal se encuentra alicada a H desde la suerficie; es decir, Y c x m Determinación del momento resecto al unto A H M A F H Y c F v X cg M A 99 x (.7.55) 70 x. M A 0 kg m Problema. Calcular el mínimo valor de ara que la válvula cónica mostrada en la figura, mantenga el agua en el tanque A con una altura H igual a 5 m. Determinación del eso W de la válvula cónica W π x.00 x.00 W π Esquema de las fuerzas verticales roducidas or el agua 8

85 Determinación de la fuerza vertical roducida or el agua F F F F 000 π.00 x π.00 x 5.00 La condición de equilibrio vertical indica que F F W π 000 π x x x x 000 kg/m 5 Problema. Calcular la fuerza vertical que actúa sobre la bóveda semiesfera mostrada en la figura, si la resión en A es de 0.60 kg/cm y la densidad relativa del liquido.60. 8

86 La altura H imaginaria donde la resión es cero es H A 0.6 x 0.75 m.6 x 0 El volumen desalojado or la semiesfera se muestra en la siguiente figura Este volumen es igual al volumen del cilindro menos el volumen de la semiesfera El volumen de una esfera es π r, or lo tanto el volumen desalojado es π x.0 x.75 π x m La fuerza vertical es el volumen desalojado multilicado or el eso esecífico del líquido, es decir, F.79 x (.60 x 000) 606 kg y actúa hacia arriba Problema. Calcular en el esquema de la figura a) Fuerza horizontal roducida or H O. b) Fuerza vertical roducida or H O. c) Fuerza horizontal roducida or C Cl. d) Fuerza vertical roducida or C Cl. e) El valor de F ara que la comuerta no se abra. 85

87 Esquemas de las fuerzas sobre la comuerta en contacto con el H O Determinación de las fuerzas horizontales y sus untos de alicación 00 x 0. F H x.00 5 kg y b x m desde A F H 600 x 0. x kg y b x m desde A La fuerza horizontal total es F H F H F H 5 kg 86

88 Determinación de las fuerzas verticales y sus untos de alicación F 0.60 x 0.0 x 000 x kg y b x desde A π F x.00 x kg y b 0.0 x 0. desde A ( - π ) La fuerza vertical total es F F F 99.0 kg Esquemas de las fuerzas sobre la comuerta en contacto con el C Cl Sustitución de la caa de H O or una altura de C Cl de tal manera que la resión en la interface de los dos líquidos sea la misma 0.9 x kg / m 900 y 0.56 m 600 Determinación de las fuerzas horizontales y sus untos de alicación 0.0 F H 900 x 0.0 x kg y b m desde A F H 80 x 0. x.00 7 kg y b 6 x m desde A La fuerza horizontal total es F H 70 7 kg Determinación de las fuerzas verticales y sus untos de alicación F 0.56 x 0.0 x 600 x kg y b 7 π x 0. F F 68 8 kg x 600 x.00 kg y b 8 x 0. π 0.5 m desde A 0. m desde A

89 La condición de equilibrio indica que la sumatoria de momentos resecto a la articulación debe ser cero, es decir, M A 0 F H b F H b F b F b F H b 5 F H b 6 F b 7 F b F 0 5 x x x x x x x 0.5 x F X 0 F 67 kg. Problema. Calcular la magnitud y dirección de la fuerza horizontal y de la fuerza vertical roducida or el agua sobre el taón cónico mostrado en la figura. La fuerza horizontal, que actúa en el anillo AB, es hacia la derecha e igual en magnitud a la fuerza horizontal que actúa sobre el anillo BC ero actúa hacia la izquierda or lo tanto se anulan. La fuerza que actúa en la zona central (AA) de la base del cono es F h A F H 000 x.70 x π x (0.90) F H 76 kg La fuerza vertical total es igual a la fuerza roducida en la zona inferior del cono menos la fuerza roducida en la zona suerior del cono; es decir, igual al eso del volumen del sumergido; así, F Peso volumen sumergido o deslazado F S F 000 x F 890 kg π.80 x.0 - π 0.90 x

90 Problema.5 Cuántos kilogramos de concreto, W c, de eso esecífico c 00 kg / m, deben unirse a una ieza de madera que tiene un volumen de 0. m y una densidad relativa de 0.65, ara que el conjunto se hunda en el agua. Por encontrarse el conjunto en equilibrio, la sumatoria de fuerzas verticales indica que W m W c E m E c Determinación del eso de la ieza de madera m W m m W m m m Determinación del volumen de concreto c W c c c W c Determinación del emuje de la ieza de madera E m m Determinación del emuje del concreto E c c Al sustituir en la ecuación de equilibrio se obtiene m m W c m W c c y al sustituir los valores numéricos W 0.65 x 000 x 0. W c 0.0 x 000 c Al desejar W c 60 kgs. c Problema.6 Una ieza de densidad relativa 0.6 tiene sección cuadrada de 8 cm. de lado y.50 m. de longitud. Determinar cuántos kilogramos de lomo de eso esecífico 000 kg/m deben unirse a uno de los extremos de la ieza ara que flote verticalmente con 0 cm. fuera del agua salada, de eso esecífico 00 kg/m. 89

91 Por encontrarse, el conjunto, en equilibrio, la sumatoria de fuerzas verticales indica que W m W E E m Al sustituir los valores numéricos obtenemos 600 x 0.08 x 0.08 x.50 x x.0 x 0.08 x 0.08 de donde, m Entonces el eso necesario es Peso de lomo (W ) x kg. Problema.7 Un cuero que tiene un volumen de 70 dm requiere una fuerza de 7 kg. ara mantenerlo sumergido en agua. Si ara mantenerlo sumergido en otro líquido se necesita una fuerza de 6 kg, determinar la densidad relativa de este último líquido El esquema de las fuerzas actuantes en ambos líquidos se muestra en la siguiente figura 90

92 Cuando el cuero está sumergido en agua, la sumatoria de fuerzas verticales indica que F W E 7 W 000 x70 x 0 de donde, W kg. Cuando el cuero se encuentra sumergido en el líquido de eso esecífico la sumatoria de fuerzas verticales indica que 6 x70 x 0 de donde, 95 kg/m La densidad relativa del líquido es S Problema.8 Qué longitud debe tener un tablón de madera de 7.5 cm x 0 cm de sección transversal y densidad relativa 0.50 ara que en agua salada soorte un eso de 5 kg. Suoner que el eso esecífico del agua salada es de 05 kg / m. 9

93 Por encontrarse, el conjunto, en equilibrio, la sumatoria de fuerzas verticales indica que E W W x 0.0 x L x x 0.0 x L x L 5.5 L.8 x L 5 de donde, L m. Problema.9 Un hidrómetro esa. gr y el extremo suerior es un vástago cilíndrico de 0.8 cm de diámetro. Cuál será la diferencia entre las longitudes de sumergencia del vástago cuando flota en aceite de densidad relativa y en alcohol de densidad relativa 0.8. Cuando el hidrómetro se encuentra sumergido en aceite la sumatoria de fuerzas verticales indica que W E. x x de donde, 9

94 . x x 0-6 m Cuando el hidrómetro se encuentra sumergido en alcohol la sumatoria de fuerzas verticales indica que W E. x x 000 ( ). x x 000 (.6797 x 0-6 π (0.8 x 0- ) h) de donde h. x π - (0.8 x 0 ) x m h.8 cm Problema.50 Un bloque cúbico de madera de 0 cm. de arista y de densidad relativa 0.5 flota en un reciiente con agua. Se vierte en el reciiente aceite de densidad relativa 0.8 hasta que la suerficie suerior de la caa de aceite se encuentre cm. or debajo de la cara suerior del bloque. Determinar: a) El esesor de la caa de aceite. b) La resión en la cara inferior. Determinación del esesor de la caa de aceite 9

95 La sumatoria de fuerzas verticales indica que el eso del bloque de madera es igual al emuje roducido or el agua más el roducido or el aceite; así, W E W ac ac ag ag 0.5 x 000 x 0.0 x 0.0 x x 000 x d x 0.0 x x (0.06 d) x 0.0 x 0.0 Al desejar se obtiene d 0.05 m d 5 cm Determinación del la resión en la cara inferior P ac h ac ag h ag 0.8 x 000 x x kg/m Problema.5 Sobre un araleleíedo de madera, hay un cuero de densidad relativa, y de un volumen igual al % del volumen del araleleíedo; el conjunto flota en agua de mar de densidad.0, de forma tal que el 85.0 % de su volumen está sumergido. Si quitamos el cuero que está sobre la madera, que tanto or ciento del volumen ermanece sumergido. Por encontrarse el conjunto en equilibrio, la sumatoria de fuerzas verticales indica que E W W 85.0 x 000 m x Al desejar se obtiene m 800 kg / m Al quitar el cuero que está sobre la madera se tiene la nueva condición de equilibrio, que es E W P P 77.6 % 9

96 Problema.5 Una esfera de 0 cm de diámetro flota en agua salada de eso esecífico 05 kg/m, con la mitad de ella sumergida. Determinar el mínimo eso de concreto, de eso esecífico 00 kg/m, utilizado como anclaje, ara sumergir comletamente la esfera. Esquema de las fuerzas que actúan sobre la esfera ara las dos condiciones Para el rimer caso, la esfera se encuentra sumergida hasta la mitad y la condición de equilibrio indica que W E W 05 x W 6 kg π x 0.60 Para el segundo caso, la esfera se encuentra comletamente sumergida or la acción del anclaje de concreto y las condiciones de equilibrio indica que W W E E 6 00 c 05 c π Al desejar se obtiene x 0.60 x 05 c 0.7 m 95

97 siendo el eso necesario igual a W 0.7 x kg. Problema.5 Un cilindro hueco de.00 m. de diámetro y.50 m. de altura esa 00 kg. Calcular el eso de lomo, de eso esecífico 00 kg/m, que debe unirse al fondo or su arte exterior ara que el cilindro flote verticalmente con.00 m del mismo sumergido en agua. Cuál sería el eso del lomo si este es encuentra colocado en la arte interior del cilindro. Esquema de las fuerzas que actúan cuando el lomo está unido al fondo or la arte exterior Cuando el lomo se encuentra en la arte exterior, la condición de equilibrio indica que. W c W E c E l x l x l 000 π.00 x.00 El volumen de lomo ara la condición es l m Por lo tanto el el eso necesario de lomo es W 00 x kg 96

98 Esquema de las fuerzas que actúan cuando el lomo está unido al fondo or la arte interior Cuando el lomo está en la arte exterior, la condición de equilibrio indica, que W c W E c 00 W 000 π.00 x.00 y al desejar se obtiene W 85 kg. Problema.5 En un reciiente cilíndrico se tiene agua a º C hasta cierto nivel. Se hace flotar libremente un cuero de eso esecífico desconocido c, con lo cual el nivel libre sube 7 cm sobre su osición inicial; si se sumerge comletamente el mismo cuero, el nivel del agua sube cm más. Determinar cuanto vale c Determinación los volúmenes El volumen EFGH es igual al volumen ABCD más el volumen sumergido, cuando el cuero flota libremente; es decir, 97

99 EFGH ABCD s π D (H 0.7) π H D s D π H π D 0.7 D π H s s π D 0.7 El volumen IJKL es igual al volumen ABCD más el volumen total del cuero, cuando el cuero flota libremente; es decir, IJKL ABCD t D π (H 0.0) H D π t t D π 0.0 Cuando el cuero flota libremente la condición de equilibrio indica que E W ag s c t 000 D π 0.7 c D π 0.0 de donde, c 850 kg/m Problema.55 Calcular el eso de concreto, Wc, necesario, ara mantener la viga mostrada en la figura en osición horizontal 98

100 Esquema de las fuerzas La condición de equilibrio indica que la sumatoria de momentos resecto a la articulación debe ser cero ara que la viga se encuentre en osición horizontal; es decir, M A 0 W x.00 W C x 6.00 E x.00 E C x como c Wc c c Wc c Al sustituir se obtiene (800 x 6.00 x 0.5 x 0.5) x.00 W C x 6.00 (000 x 6.00 x 0.5 x 0.5) x Wc x Al desejar se obtiene Wc. kg Problema.56 Un bloque cúbico de concreto de densidad relativa. y de 0.0 m de arista se une al vértice de un cono de.00 m de diámetro y.00 m de altura. Si el eso esecífico es de 600 kg/m. Cuál será la rofundidad sumergida del cono si el conjunto flota en agua. 99

101 Cuando el conjunto flota libremente en el agua, la condición de equilibrio vertical indica, que el eso del cono más el eso del bloque, es igual al emuje que soorta la arte sumergida del cono más el emuje que soorta el bloque; es decir, W W E E Determinación del eso del cono π W.00 x x 600 kg Determinación del eso del bloque W 0.0 x 0.0 x 0.0 x kg Determinación del emuje que soorta el bloque E 0.0 x 0.0 x 0.0 x kg Determinación del emuje que soorta la arte sumergida del cono E π H H x H x H H de donde, H.8 m 00

102 Problema.57 Un reciiente rectangular, con dimensiones de.00 m de largo,.00 m de alto y ancho B, se encuentra lleno de agua. Si se acelera, en la dirección de su longitud, determinar: a) La aceleración, a x, necesaria ara que se derrame /6 del volumen de agua. b) La fuerza necesaria ara acelerar la masa líquida. Determinación de la endiente de la suerficie del agua a artir de los volumenes El volumen inicial es ini.00 x.00 x B 8 B El volumen derramado según lo exigido or las condiciones del roblema es der 8 B 6 B or lo tanto el volumen final es final 8 B B or otra arte, el volumen final del traecio de agua, que queda en el reciiente es.00 h final x.00 x B igualando ambas exresiones se obtiene.00 h 8 B.00 B Al desejar resulta h. m La endiente de la suerficie del líquido es 0

103 -. tg ϕ 0.67 según la ecuación de aceleración lineal a tg ϕ x ax g 0.67 x 9.8 a x.6 m /s Problema.58 Un deósito rectangular de 8.00 m de longitud,.00 m de rofundidad y.00 m de ancho contiene.50 m. de agua. Si está sometido a una aceleración horizontal en la dirección de su longitud de ½ g. Determinar: a) Si el agua se derrama del deósito y calcular este volumen. b) Calcular la fuerza total sobre cada uno de los extremos del deósito debido a la acción del agua. c) Demostrar que la diferencia entre estas fuerzas es igual a la fuerza no equilibrada necesaria ara acelerar la masa líquida, es decir, F m a Consideramos y la diferencia entre extremos del líquido, cuando este se encuentra acelerado La endiente de la suerficie del agua, según la ecuación de aceleración es, g a tg ϕ x g g 0.50 or lo tanto, y y.00 m 0

104 como la altura del deósito es de.00 m y el desnivel de la suerficie del agua es y.00 m. el reciiente no es caaz de contener el agua y esta se derrama, quedando la suerficie del agua según lo indicado en la siguiente figura. donde, x 8 x 6.00 m or lo tanto, inicial.50 x 8.00 x m final x 6.00 x.00 x m derramado 6.00 m Determinación de las fuerzas en los extremos del deósito La fuerza en la ared anterior es cero ya que no existe líquido sobre ella La fuerza en la ared osterior es F h H L F h x 000 x.00 x kg Determinación de la fuerza no equilibrada F M a La masa final es igual al volumen or la densidad, entonces la fuerza se uede calcular como 0

105 F kg, igual al resultado obtenido anteriormente 9.8 Problema.59 El deósito de la figura tiene un equeño orificio en el unto A; si se llena de aceite de densidad relativa, S 0.90, determinar: a) La resión en los untos B y C, si a x.90 m/s b) La aceleración, a x, ara que la resión en B sea cero. a) Si la aceleración es.90 m/s, la endiente de la suerficie imaginaria del aceite es a.90 tg ϕ x 0.50 g 9.8 como la resión es h, al sustituir se tiene B.00 (0.90 x 000) 900 kg/m C ( x), C ( ) (0.90 x 000) C 0 kg/m el valor de x obtenido or relación del triángulo vale 0.0 m b) Si se quiere que la resión sea cero en el unto B, la suerficie imaginaria deberá asar or dicho unto y la endiente será tg ϕ 6 a x g a x 6 x m/s Problema.60 Un reciiente cilíndrico de 60 cm de diámetro y 80 cm de longitud, se encuentra en osición horizontal y lleno de un liquido de densidad 8.55 UTM/m, existiendo una resión de 0.7 kg/cm a lo largo del eje antes de iniciarse el movimiento. Si es sometido una aceleración uniforme, a x, de g/. determinar la fuerza ejercida en cada uno de los extremos y comrobar que la diferencia entre estas fuerzas es igual a la fuerza necesaria ara acelerar la masa líquida. 0

106 Determinación de la altura resecto al eje, de la suerficie imaginaria donde la resión es cero H ρ g 0.7 x x m Determinación de la endiente de la suerficie imaginaria g a tg ϕ x 0.50 g g el desnivel de esta suerficie entre la cara anterior y la osterior es y y 0.90 m y 0.5 m Determinación de la fuerza roducida en la cara osterior F A A A h A A ρ g h A A (8.55 x 9.8) ( ) π kg F B B A h B A ρ g h B A (8.55 x 9.8) ( ) π 0.60 La diferencia de las fuerzas entre ambas caras es F F A F B 877 kg F 0 kg Determinación de la fuerza no equilibrada F m a La masa es igual al volumen or la densidad, entonces la fuerza se uede calcular como F π 9.8 x 0.60 x.80 x 8.55 x 0 kg 05

107 Problema.6 Un deósito de sección recta circular de.80 m de alto y.0 m de diámetro se llena con agua y se acelera uniformemente en la dirección horizontal. Determinar la fuerza necesaria ara que se derrame un tercio del agua. amos a resolver el roblema de dos forma; la rimera es Determinación del volumen derramado, D D π.0 x m La altura H uede calcularse considerando que D π.0 H de donde, al desejar se obtiene H π x x m Por lo tanto la endiente de la suerficie es tg ϕ.0.0 a x g a x 9.8 m /s F m a F (0 x x 0.678) 9.8 F 58 kg 06

108 Segunda forma ara resolver el roblema es Determinación del volumen total T π x.0 x m Determinación del volumen derramado D x m Entonces el volumen final es F.57 m La altura media, H, en el eje del cilindro, es según la ecuación del volumen final.57 π x.0 x H H.57 x.0 x π.0 m siendo la endiente de la suerficie del líquido tg ϕ.0.0 como tg ϕ a x g a x 9.8 m /s Entonces la fuerza necesaria es F m a (.57 x 0) 9.8 F 58 kg 07

109 Problema.6 El tubo en U, mostrado en la figura, contiene agua hasta una altura de.50 m cuando está en reoso. Qué aceleración, a x, se debe alicar ara que la resión en A sea de 600 kg /m. En esta condición cuál es la resión en los untos B y C, en kg/cm. Suoner que las ramas son suficientemente largas como ara que el agua no se derrame. Determinación de la aceleración a x Como se quiere que la resión en el unto A sea de 600 kg/cm, la altura del agua en ese unto debe ser 0.60 m; en consecuencia, el agua en la otra rama debe subir 0.60 m, existiendo un desnivel de.0 m. Así, la endiente de la suerficie imaginaria se uede calcular como tg ϕ Para que ocurra esto, la aceleración corresondiente debe ser tg ϕ a x g a x g x m /s Determinación de la resión en el unto B. Esta es igual al eso esecífico del líquido multilicado or la altura, desde el unto B hasta la suerficie imaginaria del líquido; es decir, B h B h B 0.60 y x x 0.0 cos 5 0. m y y 0.8 m 0.09 h B m 08

110 B 0.99 x kg/m B 990 x kg/cm Determinación de la resión en el unto C. Esta es igual al eso esecífico del líquido multilicado or la altura, desde el unto C hasta la suerficie imaginaria del líquido; es decir, C h C Pc.50 x kg/m Pc 500 x kg/cm Problema.6 Una fuerza vertical no equilibrada y dirigida hacia arriba, de módulo 0 kg, acelera un volumen de 5 litros de agua. Si el agua ocua una rofundidad de 90 cm en un deósito cilíndrico, cuál es la fuerza que actúa sobre el fondo del deósito. La determinación del diámetro D, del cilindro se uede obtener a artir del volumen, el cual es igual al área de la base multilicada or la altura; así, A h Al sustituir los valores numéricos resulta 5 x 0 - π D x 0.90 D Determinación de la aceleración a y 0.05 x 0.90 x π 0.5 m F m a y ρ a y Al sustituir los valores numéricos resulta 0 5 x 0-0 x 0 a y a y 6.5 m/s 0.05 x 0 a y h g Al sustituir los valores numéricos resulta x kg/m 9. 8 or lo tanto la fuerza que actúa en el fondo del deósito es F A Al sustituir los valores numéricos resulta F 500 π 0.5 F 7.9 kg 09

111 Problema.6 A qué velocidad debe girar un deósito cilíndrico, de.0 m de diámetro y.80 m de altura, lleno de agua, ara que la rofundidad en el centro sea nula. La ecuación de la suerficie arabólica es ω r h g Esta se debe satisfacer ara el unto de coordenadas (0.60;.80); es decir,.80 ω ω 0.60 g x.80 ω 9.90 rad/s Problema.65 Un deósito abierto cilíndrico de 0 cm de diámetro y 80 cm de rofundidad, se llena de agua y se le hace girar a 60 rm. Determinar qué volumen de líquido se derrama y cuál es la rofundidad en el eje. La velocidad angular, n 60 rm, exresada en rad/s es 0

112 π n π 60 ω 6.8 rad/s La ecuación de la suerficie arabólica es h ω r g con la cual se uede calcular la altura y ; así, 6.8 y x x m La rofundidad en el eje del cilindro es L m El volumen del araboloide, equivalente al volumen derramado, es igual a la mitad del volumen del cilindro circunscrito; es decir, π 0.60 x m Problema.66 Un deósito cilíndrico de.00 m de altura y.00 m de diámetro contiene.50 m de agua. Si el cilindro gira alrededor de su eje geométrico, determinar: a) La velocidad angular que uede alcanzar sin que se derrame el agua. b) La resión en el fondo del deósito en los untos C y D cuando ω 6 rad/s. Si el líquido no se derrama, el volumen de aire del cilindro, EEFF, antes de iniciar la rotación, debe ser igual al volumen de aire del araboloide de revolución EEH cuando se encuentra en rotación; es decir, EEFF EEH El volumen de aire en el cilindro, antes de rotación es

113 EEFF π.00 x 0.50 El volumen de aire en el araboloide, durante la rotación es π EEH.00 (0.50 y) Igualando ambas exresiones se obtiene π.00 (0.50 y) π.00 de donde, y 0.50 m. x 0.50 Para generalizar, el unto de la suerficie libre en el eje de rotación desciende una altura igual a la elevación que exerimentan los untos del líquido en contacto con las aredes del reciiente La ecuación de la suerficie arabólica es ω r h g Esta se debe satisfacer ara el unto de coordenadas (0.50;.00); es decir, ω g 9.6 x.00 ω 0.50 ω 8.86 rad /s Si el cilindro gira a 6.00 rad /s, entonces la altura en la arte exterior del cilindro es 6.00 x 0.50 y 0.58 m x 9.8 La resión en el unto C es c h c Al sustituir los valores numéricos se obtiene 0.58 c kg/m La resión en el unto D es D h D

114 Al sustituir los valores numéricos se obtiene D kg /m Problema.67 Un reciiente abierto de 6 cm de diámetro y lleno de agua está girando alrededor de su eje vertical a tal velocidad que la suerficie del agua a 0 cm del eje forma un ángulo de 0º con la horizontal. Calcular la velocidad de rotación, ω. La ecuación de la suerficie arabólica es ω r y g La endiente de la suerficie arabólica se uede determinar, en cualquier unto como la derivada de la función; es decir, dy ω r dr g como se conoce que la endiente de la tangente a la curva, en un unto situado a 0.0 m del eje, forma un ángulo de 0 0 con la horizontal, odemos decir que ω tg θ r g Al sustituir los valores numéricos y desejar resulta ω 9.8 tg 0º 0.0 ω 9.07 rad/s

115 Problema.68 Un líquido de eso esecífico relativo.0 gira a 00 rm alrededor de un eje vertical. En un unto A del fluido a.00 m del eje, la resión es 0 kg/cm. Determinar la resión en un unto B,.00 m más alto que A y a 5.00 m del eje. Haga un gráfico exlicativo. elocidad angular, n 00 rm, exresada en rad/s π n π 00 ω 9.9 rad/s La ecuación de la suerficie del líquido es h ω r g Altura y a, situada a.00 m del eje, or encima del vértice de la arábola es y a x m Altura y b, situada a 5.00 m del eje, or encima del vértice de la arábola es

116 y b x m La altura de resión h a, desde el unto A hasta la suerficie libre del líquido es 0 x0 h a 8. m.0 x 000 La distancia h indicada en el gráfico es h y a h a m La distancia h indicada en el gráfico es h h m La distancia h B indicada en el gráfico es h B y b h m entonces la resión en el unto B es B h B 58.7 x kg/m ; es decir, equivalente a B x kg/cm Problema.69 El tubo que se muestra en la figura contiene mercurio que asciende cm en cada rama cuando está en reoso. Determinar a que velocidad debe girar alrededor del eje vertical, mostrado, ara que en la rama más róxima el eje quede con un centímetro de mercurio. Suoner que las ramas son suficientemente altas ara que el líquido no se derrame. 5

117 La ecuación de la suerficie imaginaria es ω r y g Esta se debe satisfacer ara el unto de coordenadas (0. ; 0.7 Z); es decir, ω z 9.6 y también ara el unto de coordenadas ( 0.08 ; 0.0 Z); o sea, ( ) ω z 9.6 restando las dos exresiones anteriores tendremos 0.6 ω ( 0.08) 9.6 ω de donde, al desejar ω.7 rad/s Problema.70 Un tubo de 7.5 cm de diámetro y.0 m de longitud se llena con un aceite de densidad relativa 0.8 y a continuación se cierran sus dos extremos. Puesto en osición horizontal, se le hace girar a 7.5 rad/s alrededor de un eje vertical que dista 0 cm de uno de sus extremos. Determinar la resión que se desarrollará en el extremo del tubo más alejado del eje, medida en kg/cm, si en el extremo se encuentra un equeño orificio. 6

118 Por estar en contacto con la atmósfera, la resión en el unto es cero; or lo tanto, la suerficie libre imaginaria del líquido asa or dicho unto, según se indica en la figura anterior. La ecuación de la suerficie imaginaria es ω r y g La altura y, se uede determinar mediante la ecuación de la suerficie imaginaria como 7.5 x.50 y m g La altura y, se uede determinar mediante la ecuación de la suerficie imaginaria como y x m g Siendo la resión igual al eso esecífico multilicado or la diferencia de alturas; es decir, h 0.8 x 000 ( ) 6897 kg/m lo que equivale a 6897 x kg/cm Problema.7 El tubo en U mostrado en la figura contiene agua hasta una altura de.50 m en reoso. Si se hace rotar a 00 rm alrededor de un eje vertical que ase or C, determinar cuál es la resión en los untos A, B, y C. 7

119 La velocidad angular n 00 rm, se uede exresar en rad/s como πn ω 60 Al sustituir los valores resulta π 00 ω 0.9 rad/s 60 La distancia H, desde el vértice,, de la suerficie imaginaria, hasta el unto D es H ω r g 0.9 x m Determinación de la resión en el unto C C h C La distancia desde el vértice, hasta el unto C es h C m entonces la resión en C es C h C 0.5 x kg/m Determinación de la resión en el unto A A h A ( ) kg/m. Determinación de la resión en el unto B La distancia H, desde el vértice,, hasta la suerficie imaginaria que asa or B, es H ω r g 0.9 x m x 0.0 cos 5º 0. m h B 0.98 (0.8 0.) 0.8 m entonces la resión en B es P B h B 0.8 x kg/m 8

120 MOIMIENTO DE LOS FLUIDOS Caítulo Problema. El fluido en un conducto de sección circular de radio R tiene la distribución de velocidades lineal, según se indicada en la figura. Determinar el caudal y la velocidad media. Determinación de la ecuación de la velocidad La ecuación general de la recta es y y 0 m (x x 0 ), ara el resente caso, con los ejes v, r se tiene r r o m (v v o ) r R R ( v 0) o Al desejar se obtiene la ecuación de la velocidad instantánea v R 0 (R r) 9

121 La exresión general del caudal es Q A v d a Como el diferencial de área es da π r dr y la velocidad instantánea es v 0 (R r) R se obtiene al sustituir en la exresión anterior R Q ( R r) π r d r 0 0 R 0 π R Q ( R r) r d r R 0 Q 0 R r r π R R 0 Q π 0 R R R R Q 0 π R Determinación de la velocidad media Q A 0 π R π R 0 Problema. Un líquido está fluyendo a través de una tubería de radio, R 0 cm. La distribución de velocidades está dada or la exresión v 0 ( r /R ). Determinar: a) Una exresión ara calcular el caudal en función de π, R, 0. b) La velocidad media en el tubo desués que el radio R se reduce a la mitad del radio inicial, considerando una velocidad 0.00 m/s. 0

122 La exresión general del caudal es Q A v d a r Como el diferencial de área es d a π r dr y la velocidad instantánea es v 0 R se obtiene al sustituir en la exresión anterior Q R 0 r 0 π R r d r π 0 R R Q ( R r ) r d r 0 Q 0 R r r π R R 0 Q 0 π R R R R Q 0 π R Determinación de la velocidad en la sección reducida Q A 0 π R π R Al sustituir los valores numéricos se obtiene

123 .00 π 0.0 π m/s Problema. La distribución de velocidades ara un flujo en una tubería uede exresarse or la fórmula v máx ( r/r) /7 Determinar el caudal y la velocidad media ara max.00 m/s y D 0 cm. La exresión general del caudal es Q A v d a Como el diferencial de área es da π r dr y la velocidad instantánea es v r R se obtiene al sustituir en la exresión anterior / 7 Q 0 R r R / 7 π r d r Para realizar la integral se hace el cambio de variable R r u r R ( u) dr R du cambio de los límites de integración; ara r 0, u y ara r R, u Q π u / R( u)( R du) ( u / u 8/ ) du Q π R 8/ 7 5/ u 8 7u 5 πr Q π R 0 Para R 0.0 m, se tiene,

124 9 Q π m /s 0 Determinación de la velocidad media Q A m/s π 0.0 Problema. Para la distribución de velocidades que se muestra en el esquema. Determinar: a) El caudal y la velocidad media en función de m y R b) Si D 0.0 m y m.00 m/s, cuál es el caudal y la velocidad media Determinación de la ecuación de la velocidad instantánea en la zona La ecuación general de la recta es y y 0 m (x x 0 ), ara el resente caso, con los ejes v, r se tiene r r o m (v v o ) r D D ( v 0) m

125 Al desejar se obtiene la ecuación de la velocidad instantánea en la zona v m (R r) R La ecuación de la velocidad en la zona, es constante y es v m La exresión general del caudal es Q A v d a Como el diferencial de área es da π r dr y las velocidades instantáneas son, en la zona v m y en la zona, v m (R r), se obtiene al sustituir en la exresión anterior R R / R R Q π r d r ( R r) π r d r m 0 R / R / m Q m π r d r ( R r) 0 R π m R R / r d r r Q m π R / 0 R m π R r r R R / R / m π R R R / R / Q m π ( ) ( ) ( ) R Al simlificar se obtiene R R Q 7 m π R Determinación de la velocidad media Q A 7 m π R π R

126 7 m Al sustituir los valores numéricos obtenemos el caudal y la velocidad media Q 7 x.00 π m /s m/s Problema.5 Para la distribución de velocidades, en el canal de gran anchura que se indica en el esquema, calcular el caudal unitario, q y la velocidad media,. Determinación de la ecuación de la velocidad instantánea en la zona es La ecuación general de la recta es y y 0 m (x x 0 ), ara el resente caso, con los ejes v, r se tiene y y o m (v v o ) y 0 H ( v 0) m 5

127 Al desejar se obtiene la ecuación de la velocidad instantánea en la zona v m y H La ecuación de la velocidad en la zona, es constante y es v m La exresión general del caudal es Q A v d a Como el diferencial de área es da.00 dy y las velocidades instantáneas son, en la zona v m y en la zona, v m y, se obtiene al sustituir en la exresión anterior q H / m y d y 0 H H H / m d y q H m H / y d y 0 m H H / d y H m y H / q [ ] H m y H / 0 q H m ( H / ) m H H Al simlificar se obtiene q 5 m 6 H Determinación de la velocidad media 6

128 q A 5 m 6.00 H H 5 m 6 Problema.6 Para la distribución de velocidades indicadas en la figura, determinar el caudal y la velocidad media ara flujo entre dos lacas aralelas de ancho B, si estas se encuentran searadas una distancia a. Determinación de la ecuación de la velocidad instantánea en la zona La ecuación general de la recta es y y 0 m (x x 0 ), ara el resente caso, con los ejes v, r se tiene y y o m (v v o ) 7

129 y 0 a ( v 0) m Al desejar se obtiene la ecuación de la velocidad instantánea en la zona v m y a Determinación del caudal en la zona La exresión general del caudal es Q A v d a Como el diferencial de área es da B dy y las velocidad instantánea en la zona es v se obtiene al sustituir en la exresión anterior m a y Q a / 0 a m y Bd y Q Q a m a m B a / 0 y y B d y a / 0 Q a a B Ba 8 m m Determinación de la ecuación de la velocidad instantánea en la zona 8

130 La ecuación general de la recta es y y 0 m (x x 0 ), ara el resente caso, con los ejes v, r se tiene y y o m (v v o ) y 0 a m (v 0) Al desejar se obtiene la ecuación de la velocidad instantánea en la zona v m y a Determinación del caudal en la zona La exresión general del caudal es Q A v d a Como el diferencial de área es da B dy y la velocidad instantánea en la zona es v se obtiene al sustituir en la exresión anterior m a y Q a / 0 a m y Bd y Q a / m B y d y a 0 9

131 Q a m y B a / 0 Q a a B m m B a 8 El caudal total en las zonas y es Q T Q Q Q T m B a m B a Ba m 8 8 Determinación de la velocidad media Q A T m B a B a m Problema.7 Calcular el caudal y la velocidad media ara un flujo entre dos lacas aralelas fijas, searadas a una distancia H, de.00 m de ancho, según la distribución de velocidades mostradas en la figura. 0

132 Determinación de la ecuación de la velocidades La ecuación general de la arábola es x k y, ara el resente caso, se tiene H c k k 6 H C x 6 H C y El cambio de variables es x v C x C v y h H y H h c v 6 H C H h v c 6 H C H h Determinación del caudal en la zona La exresión general del caudal es Q A v d a Como el diferencial de área es, da.00 dy, y la velocidad instantánea en la zona 6 C H es v c h H

133 se obtiene al sustituir en la exresión anterior H / 6 C H Q C h d h x H Q H / 0 C 6 H C H 6 H C H 6 h H C h d h Q H / 0 8 H C 6 h H C h d h Q 8 H C h 6 H C h H / 0 Q 8 H C H 6 H C H Simlificando se obtiene Q 6 C H Determinación del caudal en la zona La exresión general del caudal es Q A v d a Como el diferencial de área es da B dy y la velocidad instantánea en la zona es v C H / H / Q d h [ h] C H / C H /

134 Q H H C C H El caudal en las zonas y es Q - Q Q Q - 5 C H c H 6 c H El caudal total entre las dos lacas es Q T 5 5 C H C H 6 Determinación de la velocidad media Q A T 5 C C H H Problema.8 Si la velocidad uede exresarse como v/ m (y/r) /n, encuentre una exresión ara, v/ m, en función de n, ara los siguientes casos: a) Flujo bidimensional entre dos lacas. b) Flujo axial simétrico en una tubería.

135 Flujo bidimensional entre dos lacas lanas La exresión general del caudal es Q A v d a Como el diferencial de área es da B dy y las velocidad instantánea es v m (y/r) /n Q 0 R m y R / n B d y Q ( R B) Igualando las exresiones anteriores se tiene R 0 ( R B) ( y) m R / n / n B d y R R m / n / n y / n R 0 R m n / n R / n R n n m n n n m Flujo axial simétrico en una tubería La exresión general del caudal es Q v d a A

136 5 Como el diferencial de área es da π r d r, r R y, la velocidad instantánea es v m (y/r) /n Q ( ) π R 0 n / m y d R y y R Q (π R ) Igualando las exresiones anteriores se tiene (π R ) π m n / R ( ) ( ) 0 R n / y y y R R m n / R ( ) R 0 R 0 n / n / d y y d y y R R m n / R R 0 n / R 0 n / n / y n / y R R m n / R n / R n / R R n / n / m n n n n n n n n m

137 Problema.9 La boquilla que se muestra en la figura, de 8 cm de diámetro en la base, cm en el otro extremo y longitud L, descarga 00 lts/min. Determinar la exresión ara la variación de velocidad del fluido a lo largo del eje de la boquilla. Medir la distancia x a lo largo del eje, a artir del lano de mayor diámetro. La velocidad se uede determinar a artir de la ecuación de continuidad Q x A x x Q A x x Q π r Determinación del radio a una distancia x Por relación de triángulos se obtiene, en cm L y L x y.50 x L r.50 y x r L r L x, donde r es el radio a una distancia x en cm La velocidad exresada en m/s es 00 x 0 60 π x L x 0 6

138 Al simlificar se obtiene 00 π x L Problema.0 Desreciando las érdidas, determinar el caudal en el sistema mostrado en la figura, suoniendo que las alturas ermanecen constantes (tanque de grandes dimensiones). Alicando la ecuación de Bernoulli entre los untos y se obtiene g z g z En el unto ; la resión relativa es la roducida or la caa de aceite que se encuentra sobre el agua y actúa como un émbolo; la velocidad se uede considerar cero or ser un tanque de grandes dimensiones y la altura resecto al lano de referencia es.0 m; así, 0.75 x 000 x g 0.00 g x m/s Q A π (0.0) 0.08 m /s Q 8 lts/s 7

139 Problema. El centro de un orificio está situado a 5 cm or encima del fondo de un reciiente que contiene agua hasta una rofundidad de 75 cm. Desreciando las érdidas determinar la deresión, Y, del chorro a una distancia horizontal de 50 cm desde el deósito. Alicando la ecuación de Bernoulli entre los untos y se obtiene g z g z g 0 x 9.8 x La trayectoria que describe el chorro de agua en su caída es arabólico, con ecuación Y g x g x Y Al igualar las exresiones de la velocidad y sustituir los valores numéricos se obtiene x 9.8 x x 0.50 Y Y 0.0 m 8

140 Problema. En la figura las érdidas hasta la sección A son /g y las érdidas en la reducción 0.05 /g.si la resión en A es de 0.0 kg/cm. Determinar el caudal y la altura H. Determinación del caudal Alicando la ecuación de Bernoulli entre los untos A y se obtiene A A g z A g z 0.05 g 0. x g g g Mediante de la ecuación de continuidad se obtiene Q Q A A D D y al sustituir los diámetros sustituyendo la exresión de en la ecuación de Bernoulli se obtiene 0. x g ( 9 ) ( 9 ) g g al simlificar y desejar 9

141 x x m/s y 9 9 x m/s El caudal es Q A Q π D Sustituyendo los valores numéricos se obtiene Q 0.8 π m /s Determinación de la altura H Alicando la ecuación de Bernoulli entre los untos y se obtiene g z g z g 0.05 g H 0.00 g 0.00 g 0.05 g sustituyendo los valores de y se obtiene H 0.00 ( 7.56) ( 0.8) ( 7.56) g 0.00 g 0.05 g al desejar y simlificar se obtiene H.0 m 0

142 Problema. Desreciando las érdidas or fricción, calcular el gasto y la otencia del fluido en la instalación que se muestra en la figura. Determinación del caudal Alicando la ecuación de Bernoulli entre los untos y se obtiene g z g z z g z g g z x 9.8 x m/s Q A 76.6 π 0.08 Q 0.85 m /s Determinación de la otencia P E t m t ρ m m ρ P ( ρ ) t ρ t

143 P ρ Q ρ g P Q g P Q g P Q z P 000 x 0.85 x P 5500 kg m s P C C 75 Problema. Calcular el gasto que circula or el venturímetro que se muestra en la figura. Determinación del caudal Alicando la ecuación de Bernoulli entre los untos y se obtiene g z g z

144 Las cotas de los untos y son iguales y la diferencia de altura de resiones es h Mediante de la ecuación de continuidad se obtiene Q Q A A D D Al sustituir en la ecuación de Bernoulli se obtiene g D D 0.00 g 0.00 g D D g h g D D h D D h g El caudal es Q A Q D D h g π D D D h g D D Q π

145 Problema.5 Un venturímetro horizontal tiene diámetros de 60 y 0 cm en la entrada y en la garganta resectivamente. La lectura de un manómetro diferencial de agua, es de 0 cm y fluye aire a través del aarato. Considerando constante e igual a.8 kg/m el eso esecífico del aire y desreciando las érdidas or fricción, determinar el caudal y hacer un esquema de la instalación. Determinación de la diferencia de resiones a través del manómetro diferencial x aire 0.0 aire 0.0 x aire aire aire aire 0.0 aire aire aire Alicando la ecuación de Bernoulli entre los untos y, considerando z z se tiene aire g aire g g g aire aire Mediante la ecuación de continuidad y sustituyendo el valor de la diferencia de resiones se tiene Q Q A A D D

146 g D g D 78.0 g x x m/s El caudal es Q A Q.68 π m /s Problema.6 Hallar el caudal que circula a través del venturímetro que se muestra en la figura. Determinación de la diferencia de resiones a través del manómetro diferencial x 0.5 x z z 0.5 5

147 ( z 0.5) Alicando la ecuación de Bernoulli entre los untos y, y considerando z 0, se tiene g z g 0.00 g g z Mediante la ecuación de continuidad se obtiene Q Q A A D D 5 0 Sustituyendo se obtiene g g ( z 0.5) z al simlificar y desejar resulta 0 x.5 x m/s El caudal es Q A Q.7 π m /s Q 8 lts/s 6

148 Problema.7 Calcular la resión manométrica en A, si la resión absoluta en el estrechamiento de la tubería es de 0.5 kg/cm. Suoner una resión atmosférica de.0 kg/cm Alicando la ecuación de Bernoulli entre los untos B y C y considerando resiones absolutas, se tiene B B g z B C C g z C 0.5 x B g.0 x C g 6.00 Mediante la ecuación de continuidad se obtiene Q B Q C B A B C A C B C D D C B B C 0.5 B 6 C ( 6 ) C g C g ( 6 ) C g C.8 g C x 9.8 x.8 5. m/s 7

149 Alicando la ecuación de Bernoulli entre los untos A y C y considerando resiones absolutas, se tiene P A.0 x P A P A.0 PA 00 kg/m P A (absoluta).0 kg/cm 000 P A (manométrica) kg/cm Problema.8 Para la instalación que se muestra. Determinar a) El caudal. b) La resión en los untos A, B, C, D y E. c) A que cota debe encontrarse el unto E ara que el caudal aumente en un 50%, ara este caso cuál es la resión en el unto C?. Alicando la ecuación de Bernoulli entre los untos y E, se tiene g z E E g z E g E.0 8

150 E ( ) x 9. 8 Determinación del caudal 8.0 m/s Q E A E 8.0 π m /s A Q π 0.5 A A 0.9 m/s Determinación de las resiones Alicando la ecuación de Bernoulli entre los untos y A, se tiene g z A A g z A A P A PA 5956 kg/m. Alicando la ecuación de Bernoulli entre los untos y B se tiene g z B B g z B B B 0. B 0. kg/m. Alicando la ecuación de Bernoulli entre los untos y C, se tiene g z C C g z C C C C 5 kg/m. Alicando la ecuación de Bernoulli entre los untos y D, se tiene 9

151 g z D D g z D D D C 556 kg/m. E 0.00 kg/m, or estar en contacto con la atmósfera. Determinación del caudal ara el caso c Q x En este caso las velocidades en los untos E y C son E Q 0.08 π 0.05 A E.6 m/s C 0.08 π m/s Alicando la ecuación de Bernoulli entre los untos y E, se tiene g z E E g z E Z E Z E Z E. m Determinación de la resión en el unto C Alicando la ecuación de Bernoulli entre los untos y C, se tiene 50

152 g z C C g z C C C C 600 kg/m Problema.9 Para el esquema que se muestra en la figura, determinar el caudal y la resión en el unto A. Hasta cuanto uede aumentar el caudal bajando el unto de salida B, en una distancia X, si la resión en el unto A es cero absoluto. Para esta condición calcular el valor de X. Alicando la ecuación de Bernoulli entre los untos y B se tiene g z B B g z B B g 0.00 B 9.6 x m/s Determinación del caudal Q B A B.7 π m /s Q 9.00 lts/s 5

153 Determinación de la resión en el unto A g z A A g z A A A A 8000 kg/m Determinación de la distancia x Alicando la ecuación de Bernoulli entre los untos A y B se tiene A A g z A B B g z B.0 x A B g g ( x) x x. m Determinación del nuevo caudal Alicando la ecuación de Bernoulli entre los untos y B se tiene g z B B g z B B g (.) B g 9. B 9.6 x 9..5 m/s Q.5 π m /s Q lts/s 5

154 Problema.0 El agua fluye radialmente entre dos lacas circulares situadas en el extremo de una tubería de 5 cm de diámetro, como se muestra en la figura. Desreciando las érdidas de energía, si la resión en A es de 0.5 kg/cm. Determinar el caudal en lts/s y la resión en el unto B. Alicando la ecuación de Bernoulli entre los untos A y C se tiene A A g z A C C g z C 0.5 x A g C 0.00 g Mediante la ecuación de continuidad se obtiene Q A Q C A A A C A C Si A A es área transversal del tubo y A C el área erimetral or donde sale el agua, se tiene A π 0.5 C x π x.0 x 0.05 A C A 0.67 C π π 0.5 x 5.00 ( 0.67 x ) C g.50 C g 5

155 ( 0.67 x ) g C C 5.50 g C (0.67 ).50 g C x Q C A C.78 x π x.0 x 0.05 Q 0.5 m /s Q 50 lts/s.78 m/s y A 0.67 C 0.67 x m/s Determinación de la resión en el unto B Alicando la ecuación de Bernoulli entre los untos A y B se tiene A A g z A B B g z B 0.5 x g.50 B B g Mediante la ecuación de continuidad se obtiene Q A Q B A A A B A B Si A A es el área transversal del tubo y A B el área erimetral en la sección erimetral que asa or B, se tiene 8. π 0.5 B x π x 0.60 x 0.05 B.56 m/s Sustituyendo en la ecuación de Bernoulli se tiene 0.5 x g.50 B g B 90 kg/m 5

156 Problema. El deósito que se muestra en la figura tiene forma de cilindro. Cuál deberá ser el diámetro del orificio ara vaciar el deósito en seis minutos si la altura inicial es de m. Alicando la ecuación de Bernoulli entre la suerficie instantánea del agua y el orificio de salida, y considerando la velocidad de descenso del agua desreciable, se tiene z g g h 0.00 g z 0.00 g h El caudal es Q A Q π d g h El caudal en una sección instantánea a-a, es Q a-a d d t π.00 d t d h 55

157 Igualando las exresiones del caudal se obtiene π d g h π d h d t d g T 0 d t 0 / h d h d g 60 [] t [ ] / 0 h 0 d g 60 () / ( d ) / / () x 60 g / d 0.09 m Problema. Media esfera de m de diámetro se encuentra llena de agua. Si en el fondo se encuentra un orificio de 5 cm de diámetro. Determinar que tiemo tarda en vaciarse el deósito. Desreciar el coeficiente de descarga Cd del orificio. Alicando la ecuación de Bernoulli entre la suerficie instantánea del agua y el orificio de salida, y considerando la velocidad de descenso del agua como desreciable, se tiene g z g z 56

158 h 0.00 g 0.00 g h Como h y, se tiene g ( y) El caudal es Q A Q π d ( y) g El caudal en una sección instantánea a-a, es Q a-a Como d d t π x d y d t x y x y d π Q a-a ( y ) d t d t d y Igualando las exresiones del caudal; es obtiene, π d π g ( y) ( y ) d y d t ( y ) d y d g ( y) / d t 57

159 y d y y d g d t d T g d t 0 0 ( y) ( y) d y y ara la realización de la integral se hace el cambio de variable y u y u dy u du siendo los nuevos límites de integración ara y 0 u y ara y u 0, entonces d d T 0 g t T 0 g t 0 ( ( u ) ( u ) d 0 d ( u u ) d u ( )( ) u u d u d g [] t T 0 u u ( ) d g T d g Τ 0.9 Τ x x 9.8 Τ 5.9 s 58

160 Problema. Suoniendo que no hay érdidas de energía, calcular el gasto que fluye or un canal de.00 m de ancho, si la sección en el fondo se eleva 5 cm y la suerficie del agua desciende hasta 0 cm, según se indica en el esquema. Alicando al ecuación de Bernoulli entre los untos y, en la suerficie del agua, se tiene P g z P g z 0.00 z 0.00 z g g mediante la ecuación de continuidad; se tiene, Q Q A A B y B y y y Al sustituir g 0.75 (.875 ) g ( ) al simlificar y desejar se obtiene x ( 0.0).5 m/s 59

161 El caudal es Q A.5 x 0.75 x m /s Problema. En el canal rectangular, de.80 m de ancho que se muestra en la figura, el agua tiene una velocidad de aroximación de 0.00 m/s. Determinar, desreciando las érdidas de energía: a) Las osibles alturas, h. b) El número de Froude en las secciones y. Alicando la ecuación de Bernoulli entre las secciones y se tiene z P P z g g (.0 h ) g Según la ecuación de continuidad A A A A 0.00 (.80 x 0.0) (.80 h ) h Sustituyendo en la ecuación de Bernoulli; se tiene, h x h Desués de simlificar se obtiene.05 h h la ecuación cúbica, anteriror tiene como raices reales, 60

162 h 0. m, h.9 m y h 0. m, ésta última no tiene sentido físico el valor de la altura h deende de si las condiciones del flujo aguas abajo ermiten que se roduzcan flujo subcrítico o suercrítico. Determinación del número de Froude F g y x (Flujo suercrítico) F g y x x (Flujo suercrítico) F g y x x (Flujo subcrítico) Problema.5 El agua de una iscina descarga a través de una abertura que tiene 0.0 m de ancho y 0.50 m de altura. La arte suerior de la abertura es de.80 m or debajo de la suerficie del agua. determinar: a) La descarga teórica, mediante integración. b) La descarga si se considera la abertura como un equeño orificio c) El orcentaje de error Nota: Desreciar la velocidad de descenso del nivel suerficial. 6

163 Determinación del caudal mediante integración Alicando al ecuación de Bernoulli entre la suerficie del agua y un unto de altura h de la abertura de salida, y considerando la velocidad de descenso del agua desreciable, se tiene g z g z h 0.00 g 0.00 g h Como la velocidad es variable ya que deende de la altura h, el caudal se uede obtener mediante integración así, dq da 0.0 d h g h Q g h dh.80 / Q 0.0 g / / (.0.80 ) Q.5 m /s Determinación del caudal considerando la abertura como un equeño orificio Q a 0.0 x 0.50 x 9.8 x. 0 Q.55 m /s.55.5 Error % x 00.5 Error 0.65 % Problema.6 Desarrollar una fórmula ara calcular el gasto que circula or el vertedero que se muestra en la figura. 6

164 Alicando al ecuación de Bernoulli entre la suerficie del agua y un elemento de diferencial de área; se tiene, g z g z y 0.00 g 0.00 g y y da b dy Por relación de triángulos se tiene h y b H B h y b B H El caudal es Q h da 0 0 h g y h y B dy H Q g B H 0 h y h dy 0 h y y dy B θ t g H Resolviendo; se tiene, Q 8 5 / g t g θ h 5 6

165 Problema.7 En la bomba de rueba de la figura, circula un el caudal es de 00 lts/s. Determinar la otencia teórica de la bomba. Alicando la ecuación de Bernoulli entre las secciones y se tiene g z H B g z Z 0 0 (or ser un unto de estancamiento) H B z g Por continuidad se tiene Q A Q m/s A π ( 0. 0) A través del manómetro diferencial se tiene x.60 x x 000 x z.60 x x 000 z z 0.6 6

166 Sustituyendo en la ecuación de Bernoulli se tiene H B 0.6 (.8) m Determinación de la otencia Q H P 75 B P 6.9 C 0.00 x 000 x Problema.8 La bomba que se muestra en la figura tiene una otencia de 50 C. Determinar la cota del unto de salida S, si la lectura manométrica es H.50 cm. El caudal se determina a través de la reducción que se encuentra en la arte suerior de la instalación Determinación de la diferencia de resiones entre los untos B y A A z x H x B B A z H B A z H Alicando la ecuación de Bernoulli entre las secciones A y B se tiene A A g z A B B g z B 65

167 A g B g B A z sustituyendo se obtiene A g B g H mediante la ecuación de continuidad; se tiene, π Q A Q B A A A B A B A D de donde, A B π D B B D A A D B A g D D A B H A g H D D A B Al sustituir los valores numéricos se obtiene A x 9.8 x m/s la velocidad B, es igual a la velocidad S, ya que el diámetro ermanece constante B D A A B D B m/s 0.5 El caudal es Q A A A π Q m /s La altura de bombeo H B, se determina a artir de la otencia de la bomba; así, P Q H 75 B H 75 P 75 x 50 Q 0.08 x 000 B m 66

168 La determinación de la cota de salida se obtiene alicando la ecuación de Bernoulli entre los untos y S g z H B S S g z S z S 00. m z x 9.8 S Problema.9 La otencia comunicada al fluido or una bomba, es de 0 C. Si las érdidas or fricción se ueden suoner como 8 /g y el coeficiente de érdida en la entrada K es 0.50 y en la salida K es. Determinar el caudal. La altura de bombeo H B, se determina a artir de la otencia de la bomba; así, Q H B 75 P P H B 75 Q Alicando la ecuación de Bernoulli entre los untos y se tiene, g z H B g z h f P 000 Q g 0.5 g g como Q A Q π 0.5, se obtiene al sustituir 75 x Q Q x g 67

169 lo anterior se uede exresar como 55 Q 0 Q resolviendo se obtiene Q 0.05 m /s Problema.0 Mediante una bomba se envía agua desde un deósito A, a una elevación de 5 m, hasta otro deósito E, a una elevación de 0 m, a través de una tubería de 0 cm de diámetro. La resión en la tubería de un unto D, a una elevación de 95 m, es de 5.60 kg/cm. Las erdidas de carga son: De A hasta la entrada de la bomba, unto B, 0.60 m, de la salida de la bomba, unto C, hasta el unto D, 8 /g y desde el unto D hasta el deósito E 0 /g. Determinar el caudal en lts/min y la otencia de la bomba en Kw. Haga un esquema de la instalación. Alicando la ecuación de Bernoulli entre los untos D y E se tiene, D D z E E D D z E 0 g g g 5.60 x 0 0 D g D g 9.00 D g D.5 m/s 68

170 Determinación del caudal π Q D A D m /s Q 0.66 x 000 x lts/min Determinación de la otencia de la bomba Alicando la ecuación de Bernoulli entre los untos A y E se tiene, A A g z H A B E E g z E D g 0 D g H B g D 0 D g H B D g 0 D g H B D g m P Q H 0.00 B 0.66 x 000 x Kw Problema. Determinar el caudal que está fluyendo a través de la turbina que se muestra en la figura si se extrae de la corriente de agua una otencia de 60 C y las resiones en los untos y son.50 kg/cm y 0.5 kg/cm, resectivamente. D 0 cm y D 60 cm. La otencia que el agua le suministra a la turbina es 69

171 P Q H 75 T H T 75P 000 Q Alicando la ecuación de Bernoulli entre los untos y se tiene, g z z H T g Al sustituir los valores numéricos.5 x Q x x Q x x Q simlificando se obtiene 9.57 Q 9.50 Q.50 0 Q 0.0 m /s Problema. Calcular la altura H que roduce un caudal de 00 ls y una otencia de 0 C, desreciar todas la érdidas de energía, salvo las roducidas en la turbina. Dibujar la línea de energía y la de resión dinámica. Determinación de la velocidad en la salida y en el tubo Q 0.00 Q m / s y.8 m / s A π A π La otencia que el agua le suministra a la turbina es Q H T 75P 75x 0 P H T H T 7.50 m Q 000 x

172 Alicando la ecuación de Bernoulli entre los untos y se tiene, P g P Z Z H T g H H H 5.77 mts g 0.00 H T Problema. Calcular la diferencia de altura entre las columnas del mercurio de densidad, ρ 86 UTM/m bajo las condiciones de un flujo ermanente de agua de 550 lts/s y establecer si el lado derecho o el izquierdo de la columna de mercurio es el más alto. La otencia desarrollada or la turbina es de 75 C. Determinación de la velocidad en los untos y 7

173 Q A m/s y ( 0.0) Q A m/s ( 0.5) La otencia que el agua le suministra a la turbina es P Q H 75 T H T 75P 000 Q 75 x H T 0. m 000 x Alicando la ecuación de Bernoulli entre los untos y se tiene, g z z H T g al desejar se obtiene g g z H T Determinación de la diferencia de resiones a través del manómetro diferencial z x H H x z H H z H H sustituyendo en la ecuación de Bernoulli se tiene z H H z H T g g H H H H 0.6 m La rama de la derecha es la más alta ya que el resultado del cálculo es ositivo 7

174 Problema. Para el siguiente gráfico y desreciando las érdidas de energía, determinar la fuerza horizontal y la vertical necesarias ara mantener en reoso el codo reductor, si D 0 cm, D 5cm, Q 00 l/s, ρ 0 UTM/m y 95 lts. Determinación de las velocidades en las secciones y Q x 0.0 A Q x 0.5 A. m/s 5.66 m/s Alicando la ecuación de Bernoulli se obtiene la resión en la sección ; así, g z g z P P m P 00 kg/m 000 Determinación de la fuerza horizontal, mediante la alicación de la ecuación de cantidad de movimiento F x Q ρ ( x x ) A A cos α F x Q ρ ( cos α ) 7

175 00 π F x 0.00 x0 (5.66 cos 0 0.) F x 78 kg Determinación de la fuerza vertical, mediante la alicación de la ecuación de cantidad de movimiento F z Q ρ ( z z ) A sen 0 0 A sen α W F z Q ρ ( sen α sen α) x 0 - x 000 F z 0.00 x 0 (5.66 sen 0 0 0) F z kg Problema.5 Por el codo reductor, horizontal, mostrado en la figura circula gasolina de densidad relativa El diámetro aguas arriba es de 60 cm y aguas abajo de 0 cm. Si el caudal es de 50 ls, la resión aguas arriba de.50 kg/cm y las érdidas en el codo son 8( ) / g. Determinar la fuerza F x necesaria ara mantenerlo en equilibrio. Determinación de la velocidad en la sección y Q A m/s y ( 0.0) Q A m/s ( 0.60) Alicando la ecuación de Bernoulli se obtiene la resión en la sección ; así, g z 9.6 z 8 ( ) g al desejar se obtiene 7

176 ( ) g g g sustituyendo los valores numéricos se obtiene.50 x x 000 (.59) ( 6.7) 8 ( ) x kg/m Determinación de la fuerza horizontal, mediante la alicación de la ecuación de cantidad de movimiento F x Q ρ ( x x ) A A F x Q ρ ( ).50 x 0 π 0.60 π F x 0.5 x 0.75 x.0 (6. (.59) ) F x F x 978 kg. Problema.6 Un codo reductor de 90 0, se encuentra ubicado en la salida de una tubería, que descarga a la atmósfera, según se indica en la figura. Si D 0 cm y D 0 cm. Determinar la fuerza que trata de desrender el codo y el ángulo de ésta resecto al eje x. Nota: Desreciar el eso del agua, la diferencia de cotas y las érdidas. Determinación de la resión en el unto 000 x x 000 x kg/m 75

177 Alicando la ecuación de continuidad se obtiene Q Q A A π π D D D D Alicando la ecuación de Bernoulli entre el unto y se obtiene g z g z g g g x m/s y m/s El caudal es π Q A m /s Determinación de la fuerza horizontal, mediante la alicación de la ecuación de cantidad de movimiento F x Q ρ ( x x ) A F x Q ρ (0.00 ) 70 π 0.0 F x 0.07 x 0 (0.00.5) F x 6.88 kg 76

178 Determinación de la fuerza vertical, mediante la alicación de la ecuación de cantidad de movimiento F z Q ρ ( z z ) F z Q ρ (( ) 0.00) F z 0.07 x 0 (( 6.0) 0.00) F z 8.9 kg El signo menos indica que F z tiene sentido contrario al suuesto F kg 8.9 θ arctg θ Diagrama de las fuerzas externas que es necesario alicar al codo reductor ara que se mantenga en equilibrio Problema.7 Desreciando las érdidas, determinar las comonentes según x e y de la fuerza necesaria ara mantener en su osición la bifurcación mostrada en la figura la cual se encuentra en el lano horizontal. 77

179 Determinación de las velocidades A Q 0.60 x x 0 π m/s 0.6 x x 0 π x x 0 π m/s.60 m/s Determinación de las resiones Alicando la ecuación de Bernoulli entre y se tiene g z g z x g g kg/m Alicando la ecuación de Bernoulli entre y g z g z x g g kg/m Determinación de la fuerza según el eje x, mediante la alicación de la ecuación de cantidad de movimiento F x (Q ρ salida ) (Q ρ entrada ) A cos β A cos α F x (ρ Q cos β ρ Q ( cos α)) (0.00) Al sustituir los valores numéricos se obtiene 78

180 990 π 0.0 F x.00 kg cos π 0.5 cos 60 0 F x (0 x cos x 0.0 (.60 cos 60 0 )) Determinación de la fuerza según el eje y, mediante la alicación de la ecuación de cantidad de movimiento F y (Q ρ salida ) (Q ρ entrada ) A sen β A sen α F y (ρ Q sen β ρ Q sen α)) (ρ Q ) Al sustituir los valores numéricos se obtiene x 0 π π 0.0 sen π 0.5 sen 60 0 F y F y 908 kg (0 x sen x 0.0 (.60 sen 60 0 )) (0 x 0.600x.77) Problema.8 Dos chorros de agua de.5 cm de diámetro fluyen or la sección terminal de la tubería mostrada en la figura. La velocidad del agua en la tubería de 0 cm de diámetro es de.50 m/s. Si el manómetro marca una resión M. Determinar la fuerza que debe resistir la brida ara que la taa con los orificios ermanezca en su osición. Desreciar el eso del líquido, la diferencia de cotas y las érdidas. 79

181 Determinación de los caudales Alicando la ecuación de Bernoulli entre y g z g z Alicando la ecuación de Bernoulli entre y g z g z igualando las exresiones anteriores g z g z g g Mediante la ecuación de continuidad se obtiene Q Q Q A A A π D π d π d Al sustituir.50 π 0.0 π 0.05 π m/s Los caudales son π Q π Q 0.05 π Q m /s 0.00 m /s 0.00 m /s 80

182 Determinación de la resión en mediante la alicando la ecuación de Bernoulli entre y g z g z sustituyendo los valores numéricos kg/m Determinación de la fuerza según el eje x, mediante la alicación de la ecuación de cantidad de movimiento F x (Q ρ) salida (Q ρ) entrada A F x (ρ Q ( ) cos α ρ Q ) (ρ Q ) Al sustituir los valores numéricos se obtiene 0070 π 0.0 F x (0 x 0.00 ( 0.00) cos x 0.00 x 0.00) (0 x 0.00 x.50) F x 5.5 kg Determinación de la fuerza según el eje z, mediante la alicación de la ecuación de cantidad de movimiento F z (Q ρ) salida (Q ρ) entrada F y (ρ Q ( ) sen α 0.00) (0.00) Al sustituir los valores numéricos se obtiene F z (0 x 0.00 ( 0.00) sen ) (0.00) F z 7.67 kg F kg 8

183 Problema.9 Dos chorros de velocidad y diámetros de d y d chocan según se muestra en la figura. Calcular el ángulo de desviación θ en función de d y d. Nota: Desreciar las diferencias de cotas, las érdidas y el eso del fluido. Determinación de los caudales Q π d Q π d Q entrada Q Q π d Q Q Q entrada π d π ( ) d d π ( d d ) Alicación de la ecuación de cantidad de movimiento F x (Q ρ) salida (Q ρ) entrada F x (Q ρ cos θ) (Q ρ Q ρ ( )) π π π d ρ d ρ ( ) 0 ( d d ) ρ cos θ ( d d ) cos θ d d d d cos θ d d 8

184 Problema.0 Suoniendo que no existen érdidas a través de la comuerta que se muestra en la figura, determinar: a) La altura Y. b) La érdida de energía en el resalto. c) La fuerza sobre la comuerta or metro de ancho. d) El caudal or metro de ancho. mediante la ecuación de continuidad se tiene 0 Y 0 Y 0 Y Y Alicando la ecuación de Bernoulli entre 0 y se tiene g g ( 0 ) g g g m/s y 0. m/s Determinación del caudal q A 0. x 0.60 x m /s/m Determinación de la fuerza mediante la alicación de la ecuación de cantidad de movimiento F Q ρ ( 0 ) F F F Q ρ ( 0 ) 8

185 000 x 6.00 x x 6.00 x.00 F 6. x 0 (0..0) F 9 kg Determinación de la altura y mediante la alicación general de la ecuación del resalto hidráulico y y.00 8 F y x 0.60 y. m Determinación de la velocidad en la sección de aguas abajo del resalto y y 0. x m/s. Determinación de la érdida de energía en el resalto Mediante la alicación de Bernoulli se tiene E E E E E.5 m Otra forma uede ser E ( y ) y y y.5 m 8

186 Problema. El flujo en un canal horizontal de.00 m de ancho se roduce con una rofundidad de 0.75 m. Se resenta una sobre elevación del fondo de 0.5 m y en la sección sobre elevada la rofundidad es de 0.0 m. Determinar la fuerza horizontal que el fluido roduce sobre el escalón. Mediante la alicación de la ecuación de continuidad se tiene y Q Q y B y B y Alicación de la ecuación de Bernoulli entre unto y g 0.75 g ( ) (.88 ) g g (.5 ) g x m/s y.5 m/s Determinación del caudal Q A.5 x 0.75 x m /s Determinación de la fuerza mediante la alicación de la ecuación de cantidad de movimiento F Q ρ ( ) F F F x Q ρ ( x x ) 85

187 000 x 0.75 x x 0.0 x.00 Fx 0.9 x 0 (.5.5) F x kg Problema. Calcular la magnitud y dirección de Fx y Fz que ejerce el agua sobre la rama ABC, de.00 m de ancho, mostrada en la figura. Suonga que el agua entre A y B esa 600 kg y el fluido en B es un chorro libre. Mediante la alicación de la ecuación de continuidad se tiene y Q Q y B A y A B A y A.0 A 0.60 A.50 Alicación de la ecuación de Bernoulli entre unto y A 0.00 g A 0.60 g g.0 (.50 ) g 0.60 (.50 ) g ( ) m/s A.50 x m/s Determinación del caudal 86

188 Q A A A 5.67 x 0.60 x m /s Alicación de la ecuación de Bernoulli entre unto A y B 0.00 A 0.60 g B 0.90 g B B B 5. m/s g Determinación de la fuerza horizontal mediante la alicación de la ecuación de cantidad de movimiento F x Q ρ ( Bx Ax ) F F x Q ρ ( Bx Ax ) 000 x 0.60 x.00 Fx 6.8 x 0 (5. cos ) F x 78 kg Determinación de la fuerza vertical mediante la alicación de la ecuación de cantidad de movimiento F z Q ρ ( Bz Az ) F z W Q ρ ( Az Az ) F z x 0 (5. sen ) F z kg Problema. En la estructura de la figura de.00 m de ancho, determinar las fuerza horizontal y vertical que actúa sobre ella. Desreciar las érdidas de energía y el eso roio. 87

189 Mediante la alicación de la ecuación de continuidad se tiene Q Q y B π D y B π D.00 x.00 π Alicación de la ecuación de Bernoulli entre unto y 0.00 g g 0.00 g.50 ( 7 ) g ( 7 ) g x m/s 7 7 x m/s Determinación del caudal Q A 0.07 x.00 x m /s Determinación de la fuerza horizontal mediante la alicación de la ecuación de cantidad de movimiento F x Q ρ ( x x ) F F x Q ρ ( x x ) 88

190 000 x.00 x.00 Fx 0.96 x 0 ( ) F x 800 kg Determinación de la fuerza vertical mediante la alicación de la ecuación de cantidad de movimiento F z Q ρ ( z z ) F z Q ρ ( z 0.00) F z 0.96 x 0 (( 9.0) 0.00) F z 8 kg Problema. La estructura hidráulica bi-dimensional, mostrada en la figura se usa ara desviar arte del flujo de una canal abierto. Determinar la magnitud y dirección de la comonente horizontal ejercida or el agua sobre la estructura, la cual tiene un ancho de.50 m. Determinación de la velocidad de aroximación A q 080 x 0 A A m/s Determinación del caudal unitario en la sección B mediante la alicando la ecuación de Bernoulli entre A y B A A g z A B B g z B 89

191 B g A A g z A B z B B g ( ) B g.65 B.65 x m/s El caudal unitario en la sección B es q B 7. x 0.06 x m /s/m El caudal unitario en en la sección C es q C q A q B q C m /s/m La velocidad en la sección C es C q C m/s A 0.5 C Determinación de la fuerza según el eje x, mediante la alicación de la ecuación de cantidad de movimiento F x (Q ρ) salida (Q ρ) entrada F A F C F x (q C ρ C q B ρ ( B )) (q A ρ A ) x 000 x x 0.5 F x (.66 x 0 x x 0 x 7.) (.08 x 0 x.7) F x 99 kg/m de ancho Como la estructura tiene.50 m de ancho; resulta, F t 99 x kg 90

192 Problema.5 Cuál es la fuerza Fx, requerida ara mantener en su osición la laca mostrada en la figura, si existe un chorro es de aceite de densidad relativa 0.8, con una velocidad de aroximación.00 m/s. Desreciar la diferencia de cotas. Determinación de la fuerza según el eje x, mediante la alicación de la ecuación de cantidad de movimiento F x (Q ρ) salida (Q ρ) entrada F x (ρ Q (0.00) ρ Q (0.00)) (ρ Q ) F x ρ Q F x g π D 000 F x F x.00 kg π kg Problema.6 Calcular el valor de H, si la fuerza necesaria ara mantener el cono en la osición indicada es F 0 π kg, α 60 0, D 0.0 m, S

193 Alicando la ecuación de Bernoulli entre y, y entre y se obtiene Determinación de el caudal, Q, mediante la alicando la ecuación de Bernoulli entre A y A A g z A H g z g π H g H Q 0.0 g H g El caudal en las secciones y son iguales y su valor es Q Q π 0.0 g H Determinación de la altura H, mediante la alicación de la ecuación de cantidad de movimiento, según el eje x F x (Q ρ) salida (Q ρ) entrada 0 π (ρ Q cos α ρ Q cos α) (ρ Q ) π π π 0.0 g H g H cos g H g H g g x g H 0.0 x g H g g 0 H H H 5.00 m 9

194 Problema.7 Si la lámina AB cubre el orificio de 5 mm de diámetro. Determinar el máximo valor de H que uede mantenerse sin que el agua se escae del deósito B. La determinación de la velocidad de salida, del deósito A, se obtiene alicando la ecuación de Bernoulli entre y ; así, g z g z g x 9.8 x m/s El caudal es π Q A m /s Alicando la ecuación de Bernoulli entre y A, y entre y B se obtiene A B Q 0. y el caudal Q A Q B m /s 9

195 Determinación de la altura H mediante la alicación de cantidad de movimiento Determinación de la fuerza F x, roducida or el agua del deósito B, según el eje x, mediante la alicación de la ecuación de cantidad de movimiento F x (Q ρ) salida (Q ρ) entrada F x (Q A ρ ( ) cos 60 0 Q B ρ ( ) cos 60 0 ) (Q ρ ) F x ( 0.07 x 0 ( 7.67) cos 60 0 ) (0. x 0 x 7.67) F x 6.9 kg Determinación de la altura de agua, en el deósito B, necesaria ara roducir la fuerza determinada anteriormente F h A H H.9 m π 0.5 Problema.8 Una laca vertical tiene un orifico de borde afilado en su centro. Un chorro de agua de velocidad golea la laca concéntricamente. Obtener una exresión ara la fuerza externa necesaria ara mantener fija la laca si el chorro que sale del orifico también tiene una velocidad. Evalúe la fuerza ara 5 m/s, D 00 mm y d 5 mm. 9

196 Alicación de la ecuación de cantidad de movimiento según el eje x F x (Q ρ) salida x (Q ρ) entrada x F x π d ρ π D ρ F x π ρ ( D d ) Para los datos indicados se tiene F x 5.00 π 0 ( ) F x 8.77 kg Problema.9 Con referencia a la figura, un chorro de agua de 5 cm de diámetro choca con una comuerta de.0 m de largo que forma un ángulo de 0 0 con la horizontal. La velocidad del chorro es de 0 m/s e incide en el centro de gravedad de la comuerta. Desreciando el rozamiento determinar: a) La distribución de caudales en función de Q 0 b) La fuerza horizontal sobre el laca. c) La fuerza vertical sobre la laca. d) La fuerza, F alicada en el extremo ouesto a la articulación necesaria ar mantener el equilibrio. 95

197 Alicación de la ecuación de cantidad de movimiento según el eje de la laca, suoniendo que esta es lisa. F S (Q ρ) salida S (Q ρ) entrada S 0 (Q ρ 0 Q ρ ( 0 )) (Q 0 ρ 0 cos α) Q Q Q 0 cos α Mediante la ecuación de continuidad se tiene Q Q Q 0 Q Q 0 Q Al sustituir en la exresión obtenida mediante la ecuación de cantidad de movimiento Q ( Q 0 Q ) Q 0 cos α Q Q 0 ( cos α) Q Q 0 ( cos α) y Q Q 0 ( cos α) Los valores numéricos de los caudales son π Q 0 0 A m /s Q Q ( cos α) ( cos 0 0 ) 0.06 m /s Q Q ( cos α) ( cos 0 0 ) 0.00 m /s 96

198 Determinación de la fuerza F x, según el eje x, mediante la alicación de la ecuación de cantidad de movimiento F x (Q ρ) salida x (Q ρ) entrada x F x (Q ρ 0 cos α Q ρ ( ) cos α) (Q 0 ρ 0 ) F x (0.06 x 0 x 0.00 cos x 0 ( 0.00) cos 0) (0.09 x 0 x 0.00) F x.6 kg Determinación de la fuerza F z, según el eje z, mediante la alicación de la ecuación de cantidad de movimiento F z (Q ρ) salida z (Q ρ) entrada z F z (Q ρ 0 sen α Q ρ ( ) sen α) (Q 0 ρ (0.00)) F z (0.06 x 0 x 0.00 sen x 0 ( 0.00) sen 0) (0.09 x 0 x (0.00)) F z.66 kg Problema.50 Una turbina de imulso que mide.89 m de diámetro se mueve or medio de un surtidor de agua de 5.08 cm de diámetro que tiene una velocidad de 6.00 m/s. Determinar la fuerza horizontal sobre las asas y el caballaje desarrollado a 50 rm. El ángulo de desviación de las asas es de 50 0, según lo indicado en la figura. Utilizando velocidades relativas se tiene, Determinación de la velocidad tangencial, u 97

199 u π r n 60 π D n 60 π x m/s La velocidad relativa es, r u m/s Determinación de la fuerza F x, según el eje x, mediante la alicación de la ecuación de cantidad de movimiento; en este caso or ser una serie de alabes se utiliza el caudal total Q. F x Q ρ( r x r x ) π 0 F x ( 7.00 Cos 0 7) 870 kg La otencia es P C Fx u x C 75 Utilizando velocidades absolutas se tiene, velocidades en la sección sección de entrada y de salida Diagrama de velocidades en la sección de salida 98

200 elocidad absoluta de entrada, en la sección, según el eje x abs x 6.00 m/s elocidad absoluta de salida, en la sección, según el eje x abs x ( u) cos 0 0 u ( ) cos m/s Determinación de la fuerza F x, según el eje x, mediante la alicación de la ecuación de cantidad de movimiento; en este caso or ser una serie de alabes se utiliza el caudal total Q. F x Q ρ( r x r x ) π F x ( ) 870 kg La otencia es P C Fx u x C 75 Problema.5 Un chorro de 7.50 cm de diámetro con una velocidad 5.00 m/s acciona contra un alabe que se mueve en la misma dirección con una velocidad u. El alabe deflecta el agua Determinar la velocidad del alabe, u y la fuerza horizontal ejercida sobre éste si la velocidad absoluta es desviada Diagrama de velocidades en la sección de salida 99

201 cos 0 0 u 5.00 u cos 0 0 (5.00 u) u u 6. m/s La velocidad relativa es, r u m/s Determinación de la fuerza F x, según el eje x, mediante la alicación de la ecuación de cantidad de movimiento, en este caso or ser un alabe se utiliza el caudal relativo Q r. F x Q r ρ( r x r x ) π 0 F x ( 8.76 Cos ) kg Problema.5 Un chorro de agua de 5.00 cm de diámetro y m/s, transfiere a una serie de alabes, una otencia de 80 C. Los alabes se mueven a 5.00 m/s en la misma dirección del chorro. Determinar el ángulo de desviación de los alabes. Determinación de la fuerza que reciben los alabes a través de la otencia P C F x u Fx P 75 x kg u 5 00

202 La velocidad relativa es, r u m/s F x Q ρ( r x r x ) π ( 5.00 cos α 5.00) π x 5.00( cos α ) cos α α.07 0 π 0.05 x x 0 x 5.00 Problema.5 Los ángulos α y β de un alabe a la entrada y salida son 0 0 y 60 0, resectivamente. El chorro de 0 cm de diámetro, acciona tangencialmente. Determinar: a) Fuerza horizontal y vertical transmitida al alabe único. b) La otencia que él desarrolla. c) La velocidad absoluta de salida y su ángulo, dibujar el diagrama vectorial de salida. La velocidad relativa es, r u m/s Determinación de la fuerza F x, según el eje x, mediante la alicación de la ecuación de cantidad de movimiento F x Q ρ( r x r x ) 0

203 π 0 F x ( 5.00 cos ) F x kg Determinación de la fuerza F z, según el eje z, mediante la alicación de la ecuación de cantidad de movimiento F z Q ρ( salida z entrada z ) π 0 F z ( 5.00 sen ) F z 98 kg, el signo menos indica que F z tiene sentido contrario al suuesto. Determinación de la otencia P C Fx u x C 75 Diagrama de velocidades en la sección de salida Determinación de la velocidad absoluta de salida y su ángulo de desviación x cos 60 0 y 5.00 sen m/s 0. m/s abs m/s arc tg

204 Problema.5 Una serie de alabes se mueven en la misma dirección que un chorro de agua de " de diámetro y velocidad, 5.00m/s. Si la velocidad absoluta es desviada 75 0 encuentre la relación que debe existir entre la velocidad del alabe u y el ángulo α de éste, ara que se satisfaga esta condición. Dibujar el diagrama de velocidades. Diagrama de velocidades en la sección de salida abs y abs sen 75 0 (5.00 u) sen(80 0 α) abs x abs cos 75 0 u (5.00 u) cos(80 0 α) Dividiendo miembro a miembro las ecuaciones anteriores se tiene 0 Sen 75 0 tg 75 0 Cos 75 u ( 5.00 u) Sen ( 80 α) ( 5.00 u) Cos ( 80 α) 0

205 ANALISIS DIMENSIONAL Y SEMEJANZA DINAMICA Caítulo Problema. Hacer una lista de las magnitudes más usuales en el flujo de los fluidos, indicando los símbolos y las dimensiones en M L T Magnitud Símbolo Dimensiones Longitud L L Tiemo T T Masa M M olumen L Fuerza F M L T elocidad L T Aceleración a L T Area A L Caudal Q L T Presión M L T Gravedad g L T Densidad ρ M L Peso esecífico M L T iscosidad dinámica µ M L T iscosidad cinemática ν L T Tensión suerficial σ M T Modulo de elasticidad volumétrico K M L T Problema. La ariación de la resión en un líquido en reoso deende del eso esecífico y de la diferencia de altura z. Determinar or razonamiento dimensional la forma de la ley hidrostática de la variación de resión. 0

206 f (, z) Magnitud Símbolo Dimensiones ariación de resión M L T Peso esecífico M L T Diferencia de altura z L En este caso hay un número adimensional π π ( z) x () y Dimensión de π (M L T ) (L) x (M L T ) y M 0 L 0 T 0 Los exonentes de cada dimensión deben ser los mismos en los dos miembros de esta ecuación; asi, Para M y 0 Para L x y 0 Para T y 0 al resolver el sistema de ecuaciones se obtiene x, y, or tanto, π z Problema. La fuerza de emuje E, sobre un cuero en un líquido, deende del volumen sumergido, de la aceleración de la gravedad g y de la densidad del fluido ρ. Determinar la fuerza de la ecuación del emuje. E f (, ρ, g) 05

207 Magnitud Símbolo Dimensiones Emuje E M L T olumen L Densidad ρ M L Gravedad g L T n m Las dimensiones fundamentales que intervienen son tres, or lo que con las cuatro magnitudes del roblema odría formarse un arámetro adimensional π π E () x (ρ) y (g) z Dimensión de π (M L T ) (L ) x (M L ) y (L T ) z M 0 L 0 T 0 Los exonentes de cada dimensión deben ser los mismos en los dos miembros de esta ecuación; asi, Para M y 0 Para L x y z 0 Para T z 0 al resolver el sistema de ecuaciones se obtiene x, y, z, or tanto, π E ρ g Problema. Una laca lisa de diámetro D, se encuentra a una distancia S de una suerficie lisa fija, el esacio entre ambas suerficies está lleno con un aceite de viscosidad µ. Si el momento torsor, T, ara hacer girar la laca a una velocidad angular ω, es función de µ, ω, S, y D, mediante análisis dimensional. Determinar la forma de la ecuación. Nota: Tome como variables a reetir S, µ, ω T f (T, µ, ω, S, D) f (T, µ, ω, S, D) 0 06

208 Magnitud Símbolo Dimensiones Momento torsor T M L T iscosidad µ M L T elocidad angular ω T Searación S L Diámetro D L n 5 m Las dimensiones fundamentales que intervienen son tres, or lo que con las cinco magnitudes del roblema odría formarse dos arámetro adimensional π. f (π ; π ) 0 π T (S) x (µ) y (ω) z Dimensión de π ( M L T ) (L) x (M L T ) y (T ) z M 0 L 0 T 0 Los exonentes de cada dimensión deben ser los mismos en los dos miembros de esta ecuación; asi, Para M y 0 Para L x y 0 Para T y z 0 al resolver el sistema de ecuaciones se obtiene x y z, or tanto, π S T µ ω. π D (S) x (µ) y (ω) z Dimensión de π ( L ) (L) x (M L T ) y (T ) z M 0 L 0 T 0 Los exonentes de cada dimensión deben ser los mismos en los dos miembros de esta ecuación; asi, Para M y 0 Para L x y 0 Para T y z 0 al resolver el sistema de ecuaciones se obtiene 07

209 x y 0 z 0, or tanto, π S D. f T D ; S µ ω S 0 T S µ ω f D S Problema.5 Suoniendo que en un roblema de flujo en una tubería lisa intervienen la magnitudes Q, D, h/l, ρ, µ, g, agruarlas en arámetros adimensionales siendo Q, ρ, µ las variables que se reiten. f ( Q, D, h/l, ρ, µ, g ) 0 Magnitud Símbolo Dimensiones Caudal Q L T Diámetro D L Caída de resión/longitud h/l Adimensional Densidad ρ M L iscosidad µ M L T Gravedad g L T n 6 m Las dimensiones fundamentales que intervienen son tres, or lo que con las seis magnitudes del roblema odría formarse tres arámetro adimensional π f (π ; π ; π ) 0 π D (Q) x (ρ) y (µ) z Dimensiones de π ( L ) (L T ) x (M L ) y (M L T ) z M 0 L 0 T 0 Los exonentes de cada dimensión deben ser los mismos en los dos miembros de esta ecuación; así, 08

210 Para M y z 0 Para L x y z 0 Para T x z 0 al resolver el sistema de ecuaciones se obtiene x y z, or tanto, π µ D. Q ρ π g (Q) x (ρ) y (µ) z Dimensiones de π ( L T ) (L T ) x (M L ) y (M L T ) z M 0 L 0 T 0 Los exonentes de cada dimensión deben ser los mismos en los dos miembros de esta ecuación; así, Para M y z 0 Para L x y z 0 Para T x z 0 al resolver el sistema de ecuaciones se obtiene x y 5 z, or tanto, π Q µ ρ 5 5 g. π h L. f µ D Q ρ, ρ Q µ 5 5 g h, L 0 Problema.6 El ar, T, desarrollado or una turbina deende del caudal Q, de la altura H, del eso esecífico, de la velocidad angular ω y del rendimiento e. Determinar la forma de la ecuación del ar mediante análisis dimensional. Nota: Tome como variables a reetir Q, H,. 09

211 T f (Q, H,, ω, e) f (T, Q, H,, ω, e) 0 Magnitud Símbolo Dimensiones Par T M L T Caudal Q L T Altura H L Peso esecífico M L T elocidad angular ω T Rendimiento e Adimensional n 6 m Las dimensiones fundamentales que intervienen son tres, or lo que con las seis magnitudes del roblema odría formarse tres arámetro adimensional π f (π ; π ; π ) 0 π e. rendimiento π ω (Q) x (H) y () z Dimensiones de π (T ) (L T ) x (L) y (ML T ) z Los exonentes de cada dimensión deben ser los mismos en los dos miembros de esta ecuación; así, Para L x y z 0 Para M z 0 Para T x z 0 al resolver el sistema de ecuaciones se obtiene x y ; z 0, or tanto, π ω H Q. π T (Q) x (H) y () z Dimensiones de π (M L T ) (L T ) x (L) y (M L T ) z M 0 L 0 T 0 Los exonentes de cada dimensión deben ser los mismos en los dos miembros de esta ecuación; así, 0

212 Para M z 0 Para L x y z 0 Para T x z 0 al resolver el sistema de ecuaciones se obtiene x 0 y z, or tanto, π T H. f ω H T e ; ; 0 Q H T H f ω H e ; Q T H f e ; ω H Q Problema.7 Un barco que tiene una longitud L, se mueve a una velocidad, a través de un líquido de viscosidad µ, densidad ρ y tensión suerficial σ. Encontrar or medio del análisis dimensional una exresión ara la fuerza de arrastre F del barco, la cual se comara fácilmente con la ecuación estándar ara el arrastre. Nota: Tome como variables a reetir, L, ρ. Magnitud Símbolo Dimensiones Fuerza de arrastre F M L T Longitud L L elocidad L T iscosidad µ M L T Densidad ρ M L Tensión suerficial σ M T N 6 m

213 F f (L,, µ, ρ, σ ) f (F, L,, µ, ρ, σ) 0 Las dimensiones fundamentales que intervienen son tres, or lo que con las seis magnitudes del roblema odría formarse tres arámetros adimensionales π f (π ; π ; π ) 0 π µ () x (L) y (ρ) z Dimensiones de π (M L T ) (L T ) x (L) y (M L ) z M 0 L 0 T 0 Los exonentes de cada dimensión deben ser los mismos en los dos miembros de esta ecuación; asi, Para M z 0 Para L x y z 0 Para T x 0 al resolver el sistema de ecuaciones se obtiene x y z, or tanto, π µ L ρ. el inverso de π, también es un número adimensional; así, π L ρ, denominado número de Reynolds, R. µ π σ () x (L) y (ρ) z Dimensiones de π (M T ) (L T ) x (L) y (M L ) z M 0 L 0 T 0 Los exonentes de cada dimensión deben ser los mismos en los dos miembros de esta ecuación; así, Para M z 0 Para L x y z 0 Para T x 0 al resolver el sistema de ecuaciones se obtiene x y z, or tanto,

214 π σ L ρ el inverso de π, también es un número adimensional; así, π L ρ, denominado número de Weber, W. σ π F () x (L) y (ρ) z π (M L T ) (L T ) x (L) y (M L ) z M 0 L 0 T 0 Los exonentes de cada dimensión deben ser los mismos en los dos miembros de esta ecuación; así, Para M z 0 Para L x y z 0 Para T x 0 al resolver el sistema de ecuaciones se obtiene x y z, or tanto, π F L ρ. f F W ; R; 0 L ρ F L f ρ ( W; R) F ρ L f (W; R)

215 Problema.8 En una canal abierto se coloca un vertedero triangular con ángulo φ or el que fluye el líquido reresado or el vertedero. El caudal Q es una función de la elevación H de la suerficie libre del líquido aguas arriba or encima del vértice del ángulo φ, deende de la gravedad y de la velocidad de aroximación, 0 del líquido al vertedero. Determinar la forma de la ecuación ara exresar el caudal. Q f (H, g, 0, φ) f (Q, H, g, 0, φ) 0 Magnitud Símbolo Dimensiones Caudal Q L T Altura H L Gravedad g L T elocidad de aroximación 0 L T Angulo φ Adimensional n 5 m Las dimensiones fundamentales que intervienen son dos, or lo que con las cinco magnitudes del roblema odría formarse tres arámetros adimensionales π f (π ; π ; π ) 0 Suongamos que tomamos como variables a reetir g y H; entonces π φ. π Q (H) x (g) y Dimensiones de π (L T ) (L) x (L T ) y L 0 T 0 Los exonentes de cada dimensión deben ser los mismos en los dos miembros de esta ecuación; así, Para L x y 0 Para T y 0 al resolver el sistema de ecuaciones se obtiene x 5/ y /, or tanto,

216 π g / Q H 5/. π 0 (H) x (g) y Dimensiones de π (L T ) (L) x (L T ) y L 0 T 0 Los exonentes de cada dimensión deben ser los mismos en los dos miembros de esta ecuación; así, Para L x y 0 Para T y 0 al resolver el sistema de ecuaciones es obtiene x / y /, or tanto, π g / 0 / H. f g / Q H 5/ ; g / 0 / H ; φ 0 Q H 5/ g f 0 ; φ g H Suongamos que tomamos como variables a reetir H y 0 ; entonces π φ. π Q (H) x ( 0 ) y Dimensiones de π (L T ) (L) x (L T ) y L 0 T 0 Los exonentes de cada dimensión deben ser los mismos en los dos miembros de esta ecuación; asi, Para L x y 0 Para T y 0 al resolver el sistema de ecuaciones se obtiene x y, or tanto, 5

217 π Q 0 H. π g (H) x ( 0 ) y Dimensiones de π (L T ) (L) x (L T ) y L 0 T 0 Los exonentes de cada dimensión deben ser los mismos en los dos miembros de esta ecuación; asi, Para L x y 0 Para T y 0 al resolver el sistema de ecuaciones se obtiene x y, or tanto, π g H 0 la raíz cuadrada del inverso de π, también es un número adimensional; así, π 0. g H f Q 0 ; 0 H ; φ g H 0 Q 0 H g f 0 ; φ g H La última forma, en general, no es muy útil orque 0 se uede desreciar con frecuencia en vertederos. Esto demuestra que un término de oca imortancia no se debe tomar como variable de reetición. Problema.9 La fuerza F sobre un royectil a alta velocidad deende de la velocidad del royectil de la densidad ρ, de la velocidad del sonido C, del diámetro del royectil D y de la viscosidad µ. Desarrollar una exresión ara la resistencia. Nota: Tome como variables a reetir, D, ρ. 6

218 F f (, ρ, C, D, µ) f (F,, ρ, C, D, µ) 0 Magnitud Símbolo Dimensiones Fuerza F M L T elocidad L T Densidad ρ M L elocidad del sonido C L T Diámetro D L iscosidad dinámica µ M L T n m f (π, π, π ) 0 π (F) () x (D) y (ρ) z Dimensiones de π (M L T ) (L T ) x (L) y (ML ) z Para L x y z 0 Para M z 0 Para T x 0 al resolver el sistema de ecuaciones es obtiene x ; y ; z, or tanto, π F D ρ. π (C) () x (D) y (ρ) z Dimensiones de π (LT ) (L T ) x (L) y (ML ) z Los exonentes de cada dimensión deben ser los mismos en los dos miembros de esta ecuación; así, Para M z 0 Para L x y z 0 Para T x 0 al resolver el sistema de ecuaciones se obtiene 7

219 x ; y 0 ; z 0, or tanto, π D 0 ρ 0 C C M, denominado número de Mach. π µ () x (D) y (ρ) z Dimensiones de π (M L T ) (L T ) x (L) y (M L ) z Los exonentes de cada dimensión deben ser los mismos en los dos miembros de esta ecuación; así, Para M z 0 Para L x y z 0 Para T x 0 al resolver el sistema de ecuaciones se obtiene x ; y ; z, or tanto, π µ D ρ R el inverso de π, también es un número adimensional; así, π R, denominado número de Reynolds. f F D ρ ; C ; µ D ρ 0 f F D ; ρ M; R 0 F D ρ f (M; R) F D ρ f (M; R) 8

220 Problema.0 Por una tubería que mide 5 cm de diámetro, fluye agua a 0 0 C y a una velocidad de 0.90 m/s. Que velocidad será necesaria ara que una tubería de 5 cm de diámetro or la que fluye glicerina a 0 0 C sea dinámicamente semejante a la anterior. Para que exista semejanza dinámica, los números de Reynolds en ambas tuberías deben ser iguales; es decir, R R m D ρ m D ρ m m m D D m ρ ρ m En los gráficos corresondientes a las roiedades de los fluidos se encuentra ρ m (glicerina a 0 C).00 x 0 m /s ρ (agua a 0 C) 9.50 x 0 7 m /s Sustituyendo se obtiene, x 0 m x 0 m 6.6 m/s Problema. Las érdidas en una bifurcación de una tubería de.0 m de diámetro, que transorta gas de densidad, ρ.0 UTM/m, viscosidad, µ 0.00 oise y velocidad, v m/s se quieren determinar mediante ensayo sobre modelo con agua a. 0 C. En el laboratorio se disone de un caudal de 500 l/min. A qué escala se deberá construir el modelo y como se convertirán los resultados de la érdidas or fricción en el modelo con las del rototio. Para que exista semejanza dinámica, los números de Reynolds en ambas tuberías deben ser iguales; es decir, R R m 9

221 D µ ρ ( Q m ) Dm ( A m ) µ m ρ m En las tablas corresondientes a las roiedades físicas del agua se obtiene, ara. C ρ 0.8 UTM/m y µ x 0 kg s/m Al sustituir los valores numéricos se obtiene.00 x.0 x Dm 000 x 60 π D x 9.96 m x x Al desejar resulta D m 0.07 m así el factor de escala, λ es λ ara el rototio se tiene, hf f L D P P g y ara el modelo hf m f m L D m m m g Al simlificar, se obtiene hf hf m f f m L D L D m m g m g 0

222 dividiendo miembro a miembro ambas ecuaciones, considerando que la rugosidad relativa entre el rototio y el modelo es la misma y el número de Reynolds entre ambos es igual, se obtiene en el diagrama de Moody que el coeficiente de fricción es el mismo en el modelo que en el rototio, or lo tanto al simlificar se obtiene, hf hf m m Problema. Un cuero anclado está sumergido en agua dulce, que fluye a una velocidad de.50 m/s, la resistencia medida sobre un modelo a escala :5, en un túnel aerodinámico en condiciones normales es de.00 kg. Si el exerimento se realiza a 5.5 C y el eso esecífico del aire es de. kg/m. Qué fuerza actúa sobre el rototio si se dan las condiciones de semejanza dinámica? Para que exista semejanza dinámica, los números de Reynolds en ambas tuberías deben ser iguales; es decir, R R m md υ m m m D υ D D m υ υ m λ ρ ρ m En las tablas corresondientes a las roiedades físicas del agua y el aire se obtiene, ara 5.5 C ρ 0.9 agua υ. x 0 UTM / m 6 m / seg 5 ; aire υ.50 x 0 m / s Al sustituir los valores numéricos se obtiene m.50 x 5 x.50. x x m/s F C D ρ A y F m C D m ρ m A m m

223 dividiendo miembro a miembro ambas ecuaciones y considerando que el número de Reynolds entre ambos es igual, se obtiene en el diagrama corresondiente del coeficiente de arrastre C D que éste es el mismo en el modelo que en el rototio, or lo tanto al simlificar se obtiene, F F m λ ρ ρ m m Al sustituir los valores numéricos se obtiene F F m 0.9 x F x kg Problema. Un objeto con forma de toredo de 900 mm de diámetro debe moverse en el aire a una velocidad de 60 m/s y la resistencia debe estimarse mediante exerimentos a realizarse con un modelo a la mitad de la escala, en agua. Si la resistencia del modelo es de 6 kg y las roiedades de los fluidos son: Para el agua µ.00 x 0 kg s/m ρ 0 UTM/m Para el aire µ.90 x 0 6 kg s/m ρ 0. UTM/m Determinar: a) La velocidad del modelo. b) La resistencia del rototio. Para que exista semejanza dinámica, los números de Reynolds en ambos casos deben ser iguales; es decir, R m R D ρ µ m D ρ µ Determinación de la velocidad del modelo m D D m ρ ρ m µ µ m

224 m 60 x x x x m/s Determinación de la resistencia del rototio F C D ρ A y F m C D m ρ m A m m dividiendo miembro a miembro ambas ecuaciones y considerando que el número de Reynolds entre ambos es igual, se obtiene en el diagrama corresondiente del coeficiente de arrastre C D que éste es el mismo en el modelo que en el rototio, or lo tanto al simlificar se obtiene, F F m λ ρ ρ m m Al sustituir los valores numéricos se obtiene F Fm F 6 x kg Problema. El modelo de un aliviadero se construye a una escala de :6. Si en el modelo la velocidad y caudal desaguado son, resectivamente 0.0 m/s y 6 lts/s. Cuáles son los valores corresondientes en el rototio?. Para que exista semejanza dinámica, en un flujo con suerficie libre, el número de Froude en el modelo y en el rototio deben ser iguales F m F m g y m g y Al simlificar se obtiene λ / m

225 Sustituyendo los valores numéricos se obtiene m λ / 0.0 (6) /.0 m/s Relación de caudales entre el rototio y el modelo son Q A λ / λ λ 5/ Q m m A m Al desejar y sustituir los valores numéricos se tiene Q Q m λ 5/ 6 (6) 5/ lts/s 8 m /s Q 8.00 m /s Problema.5 Se desea diseñar el aliviadero de una resa ara que soorte un caudal máximo de 0 m /s, mediante mediciones en el modelo con un caudal de 8 lts/s. Determinar: a) Cuál es la escala de longitudes o relación entre rototio y modelo? b) Si la resión medida en cierto unto del modelo es de kg/cm, cuál será la resión que se generará en el rototio. Para que exista semejanza dinámica, en un flujo con suerficie libre, el número de Froud en el modelo y en el rototio deben ser iguales F m F g y m g y m m / y y λ / m La relación entre los caudales del rototio y del modelo indican Q A λ / λ λ 5/ Q m m A m Q λ 5/ Q m

226 λ Q Q m / 5 Al sustituir los valores numéricos se tiene λ λ 0 0 x / 5 La relación entre las resiones del rototio y del modelo indican P P m h λ h m P P m λ Al sustituir los valores numéricos se obtiene P.00 x kg/cm Problema.6 Qué fuerza or metro de longitud se ejercerá sobre un muro de contención de agua de mar, de eso esecífico 050 kg/m, si un modelo a escala :6 de un metro de longitud ensayado con agua dulce de eso esecífico 000 kg/m exerimenta una fuerza de kg? La relación de fuerzas, entre el modelo y el rototio, ara flujo con suerficie libre es F F m h A F F m h A m m m m λ 050 F kg, corresondiente a 6 m de muro 000 La fuerza or metro de longitud de muro es F F 60 kg or metro lineal de muro 5

227 Problema.7 El modelo de un barco, de 0.90 m de longitud, se rueba en un tanque a una velocidad de 0.60 m/s. Determinar: a) La velocidad en el rototio de m de longitud, corresonde a la del modelo. b) Si se requiere una fuerza de 0.50 kg. ara remolcar el modelo, qué fuerza corresondiente se requerirá en el rototio. c) La otencia que deberán desarrollar las máquinas del rototio. Nota: Considere únicamente fuerzas gravitacionales. Para que exista semejanza dinámica, en un flujo con suerficie libre, el número de Froud en el modelo y en el rototio deben ser iguales F m F g P Y g m m Y m λ Al sustituir los valores numéricos se obtiene m/s La relación de fuerzas, entre el modelo y el rototio, ara flujo con suerficie libre es F F m h A λ h A m m m F F m λ Al sustituir los valores numéricos se obtiene F 0.50 (66.66) 8 kg La otencia es igual a la fuerza or la velocidad y exresada en caballos de vaor, C, es P C 75 F.89 x 8 75 P 9658 C 6

228 Problema.8 A través de una acequia de 60 cm de ancho se va a construir un modelo de aliviadero a escala :5. El rototio tiene.5 m de altura y se esera una altura de cara máxima de.50 m. Determinar: a) La altura y la carga debe utilizarse en el modelo. b) Si el caudal vertido sobre el modelo es de 0 ls con una carga de 6 cm. Cuál es el caudal or metro de rototio. c) Si en el modelo aarece un resalto hidráulico de.50 cm. Cuál es la altura que tendría el resalto en el rototio. d) Si la energía disiada en el resalto hidráulico de modelo es de 0.5 C. Cuál sería la energía disiada en el rototio. Determinación de la altura del modelo y la carga hidráulica Como el factor de escala es, or definición, λ entonces la altura se uede determinar como λ L L m L L m L m λ y la carga C m L, L m m 0.06 m Debido a que existe semejanza dinámica, el número de Froude en el modelo y en el rototio deben ser iguales es decir F m F g m m y m g y m λ Las velocidades del modelo y del rototio son m L t m m y L t y la relación de velocidades, también uede exresarse como m L L m / t / t m L L m t t m λ t t m entonces 7

229 t λ λ t m or lo tanto, t t m λ La relación de caudales es Q Q m L L m / t / t m L L m t t m λ t t m al sustituir las exresiones anteriores se tiene Q Q m 5/ λ λ λ Q Q m λ 5/ siendo del caudal Q (0 x 0 ) (5) 5/ 6.50 m /s, este caudal es ara un ancho de modelo de 0.60 m lo que equivale en el rototio, a una distancia de L L m λ 0.60 x m Por lo tanto el caudal unitario eserado en el rototio es q Q B m / s m Determinación de la altura del resalto λ y, y λ y m 5 x m y m Las otencias del rototio y del modelo son P L y P m m L m m y la relación de estas es P P m m L L m m λ / λ λ 7 / Al sustituir los valores numéricos se tiene P P m λ 7/ 0.5 (5) 7/ 700 C 8

230 EFECTO DE LA ISCOSIDAD RESISTENCIA FLUIDA Caítulo 5 Problema 5. Calcular la relación entre la velocidad máxima y la velocidad media ara flujo laminar entre lacas fijas. La ecuación general ara la velocidad instantánea, u, en flujo laminar entre lacas es, u U y a µ d d l ( h)( a y y ) Como la velocidad en la laca suerior es cero, es decir, U 0 y la velocidad máxima ocurre or simetría, en un unto equidistante entre ambas lacas, o sea en y a ; entonces, u máx d µ ( h) dl a a a Al simlificar se obtiene d h a 8µ d l u máx ( ) La ecuación general ara el caudal, entre dos lacas, de un metro de ancho, en flujo laminar es, Q U a µ d d l ( h) a como la laca suerior es fija, U 0, entonces el caudal es, Q µ d dl ( h) a la velocidad media se obtiene al dividir el caudal entre el área; así, 9

231 media Q A µ d dl ( h) a a µ d dl ( h) a La relación entre la velocidad máxima y la media es, u max media d 8µ d l d µ dl ( h) a ( h) a u max media Problema 5. Para las lacas aralelas y fijas que se muestran en la figura, determinar el ángulo de inclinación θ de manera que se roduzca flujo laminar a resión constante. La ecuación general ara el caudal, entre dos lacas, de un metro de ancho, en flujo laminar es, Q U a µ d d l ( h) a como la laca suerior es fija, U 0, entonces el caudal es, Q µ d dl ( h) a Q µ d d l d h a d l en el resente caso el flujo es a resión constante, d dh 0 y sen θ dl dl, 0

232 or tanto a Q sen θ µ de donde, µ Q arc sen a θ Problema 5. Una laca se mueve en relación con la otra como se ilustra en la figura. Si la viscosidad µ es 0.80 oise y la densidad ρ es 9.5 UTM/m. Determinar: a) La ecuación de la distribución de velocidades y su gráfico b) La velocidad máxima c) El caudal d) La tensión de cortadura sobre la laca suerior. La ecuación general ara la velocidad instantánea, u, en flujo laminar entre lacas es, u U y a µ d d l ( h)( a y y ) Determinación de la variación de la resión resecto a la longitud En el unto suerior h.5 x x 9.8 x Kg/m

233 En el unto inferior h x x 9.8 x Kg/m entonces la variación unitaria de resión es d d l ( h) 85Kg / m / m como la laca suerior se mueve hacia la izquierda entonces U.00 m/seg y la searación entre la lacas es a 5 x 0 - m, al sustituir se obtiene u.00 y (0.80 / 98) ( 85)(0.005 y y ) Desués de simlificar u 59 y 800 y la gráfica es La velocidad máxima se resenta donde du dy 59 x 800 y 0 d u 0 d y y x m 800.6mm

234 or lo tanto la velocidad máxima ocurre a m desde la laca fija, siendo la velocidad u máx 59 (0.006) 800 (0.006) 0.89 m/s. u máx 0.89 m/seg Determinación del caudal Q Q 0 a u d y u d y 0 ( y 800 y ) 0 d y 59 Q y 800 y Q 0.7 x0 m / seg, or metro de ancho de laca (el signo menos indica que el caudal neto es hacia la izquierda). La exresión general de la tensión de cortadura es, d u τ µ d y τ µ d u d y µ ( 59 x800 y) La tensión de cortadura en la laca suerior ocurre ara y m τ ( 59 x800 x 0.005) τ 6.9Kg / m Problema 5. Determinar y graficar una exresión ara calcular la tensión de cortadura, τ, entre dos lacas inclinadas según se muestra en la figura, cuando existe un gradiente de resiones tal que el caudal sea nulo.

235 La exresión general de la tensión de cortadura es, du τ µ dy Determinación de la exresión de la velocidad, u, ara las condiciones indicadas La ecuación general ara el caudal, entre dos lacas, de un metro de ancho, en flujo laminar es, Q U a µ d d l ( h) a 0 como en el resente caso el caudal es nulo se obtiene d U a µ 6 Uµ ( h) d l a a d d τ y d d l ( h) sustituyendo d τ 6 Uµ d y a Al integrar se obtiene 6 Uµ τ y A a sustituyendo en la ecuación general del esfuerzo cortante se obtiene 6 Uµ du y A µ a dy y al desejar

236 d u 6 U A y d y a µ Al integrar se obtiene U A u y y B a µ Condiciones de borde ar el resente caso son u 0 u U entonces ara ara y 0 y a Uµ A ; B 0 a sustituyendo los valores de A y B en la exresión anterior se obtiene U u y a U a y Al sustituir resulta una variación lineal del esfuerzo cortante resecto a la altura 6 U U τ µ y a a ara ara y 0 y a τ τ y 0 y a µ U a µ U a El gráfico corresondiente es 5

237 Problema 5.5 Entre dos lacas lanas fijas y verticales, searadas entre sí una distancia de 0 mm, fluye aceite de eso esecífico relativo 0.80 y viscosidad dinámica 9.6 x0 - Kg seg/m. Si el caudal or metro de ancho es 0.0 m /s. Determinar: a) El gradiente de resiones d/dl. b) La velocidad máxima. Las condiciones del roblema indican que U 0 y d h d l La ecuación general ara el caudal, entre dos lacas, de un metro de ancho, en flujo laminar es, Q U a µ d d l ( h) a la cual se uede escribir ara el resente caso como Q µ d a d l d d l µ Q a Al sustituir los valores numéricos se obtiene d d l x 9.6 x0 0.0 x x 000 6

238 d d l 70 Kg / m m La ecuación general ara la velocidad instantánea, u, en flujo laminar entre lacas es, u U y a µ d d l ara el resente caso ( h)( a y y ) ( a y y ) d u d l µ a la velocidad máxima ocurre en el unto equidistante entre ambas lacas, o sea en y d µ d l a a u máx a d a u máx µ d l Al sustituir los valores numéricos se obtiene 0.0 u máx ( ) x 9.6 x0 u máx.50 m/seg Problema 5.6 Deducir una exresión ara el flujo que asa una sección recta fija ara flujo laminar entre las lacas que se muestran en el esquema. Determinar la exresión del esfuerzo cortante. 7

239 d τ d y d d l ( h) ara el resente caso las lacas son horizontales y la ecuación se uede escribir como d τ d d y d l Al integrar se obtiene d τ y A d l La exresión general de la tensión de cortadura es, d u τ µ d y Al igualar las dos exresiones anteriores se obtiene µ d u d y d y A d l La exresión ara la velocidad es u d µ d l y A d y µ Al integrar se obtiene u d µ d l y A y B µ Condiciones de borde ara el resente caso u u U de donde ara ara y 0 y a B ( U ) d a A µ a d l sustituyendo los valores de A y B en la exresión anterior se obtiene 8

240 u µ d d l y ( y a y) ( U ) a Determinación del caudal Q 0 a u d y Q 0 a µ d d l y ( y a y) ( U ) a dy Q µ d d l a a ( U ) Determinación de la tensión de cortadura d τ y A d l τ d d l U y µ a d d l d a µ τ y ( U ) d l a a Problema 5.7 Hallar la exresión de d ( h)/dl tal que τ sea cero en la laca fija. Cuál es el caudal en este caso?. 9

241 d τ d y d d l ( h) τ d d l ( h) y A La condición de borde es τ 0 ; y 0 A 0 Al sustituir se obtiene τ d d l ( h)y La exresión general de la tensión de cortadura es, d u τ µ d y igualando la exresiones anteriores e integrando se obtiene d u µ d l ( h) y La condición de borde indica que ara y a, u U ; entonces, d U µ d l de donde d d l ( h) a µ U. a ( h) Determinación del caudal Q Q 0 0 a u d y a d µ d l ( h) y dy 0

242 Q 6µ d d l ( h) a sustituyendo el valor de d( h)/dl en la exresión del caudal se obtiene Q 6µ µ U a a U a Q Problema 5.8 Calcular los factores de corrección de la energía cinética y de la cantidad de movimiento ara flujo laminar entre lacas fijas y aralelas. La ecuación general ara la velocidad instantánea, u, en flujo laminar entre lacas es, u U y a µ d d l ( h)( a y y ) Como la velocidad en la laca suerior es cero, de decir, U 0, la velocidad se uede exresar como u µ d d l ( h)( a y y ) Determinación del caudal Q 0 a u d y Q 0 a d l µ ( h)( a y y ) dy Q µ d d l ( h) a La velocidad media es

243 ( ) a h d l d a Q A Q µ La relación u/ será entonces ( )( ) ( ) µ µ a y a y 6 a h d l d y a y h d l d u Determinación del factor de corrección de la energía cinética α α A a 0 dy a y a y 6 a da u A d y a y a y a y a y a 6 a α 5 5 α Determinación del factor de corrección de la cantidad de movimiento β A da u A β a 0 d y a y a y 6 a β a 0 d y a y a y a y a β

244 Problema 5.9 En el tubo reresentado en la figura circula un fluido de eso esecífico,, de 800 kg/m, y viscosidad, µ, de 0.0 oise. Determinar: a) La dirección del flujo b) El caudal en lts/min c) El número de Reynolds Una forma de resolver este roblema es: Suoniendo que existe un lano de referencia que asa or el unto se tiene En el unto h.5 x x kg/m En el unto h.0 x x kg/m El flujo se roduce de mayor a menor gradiente, es decir del unto hacia el unto d d l ( h) kg / m 00 0 m La exresión del caudal en tuberías, ara flujo laminar es πa Q 8µ d d l ( h) Al sustituir los valores numéricos se obtiene

245 π 0.0 Q m /s 8 ( ) ( 00 ) 0. / lo que exresado en lts/min es Q x 000 x lts/min Determinación de la velocidad media Q m/s A π 0.0 Determinación del número de Reynolds R Dρ 0.06 µ x 0.0 x 0.0 / / 9.8. El flujo es laminar or lo tanto son válidas las fórmulas utilizadas Otra forma de resolver este roblema es, sabiendo que el flujo se roduce del unto hacia el unto ; así, Si se suone que el flujo es laminar, entonces f R 6 Al alicar la ecuación de Bernoulli entre el unto y el unto se obtiene g Z g Z 6 R L D g Al sustituir los valores numéricos se obtiene x0 800 g x0 800 g x 0.0 x 800 / / x 9.6 Al desejar resulta 0.06 m/s y el caudal es π 7 Q A 0.06 ( 0.0) 96x0 m /s

246 lo que exresado en lts/min es Q x 000 x lts/min Determinación del número de Reynolds R Dρ 0.06 µ x 0.0 x 0.0 / / 9.8. or lo tanto es válida la hiótesis de suoner f R 6 ya que el flujo es laminar. Problema 5.0 A que distancia r, del centro del tubo de radio r o aarece la velocidad media en flujo laminar. La exresión de la velocidad instantánea ara flujo laminar, en tuberías es u µ d d l ( h)( r o r ) La exresión de la velocidad media ara flujo laminar, en tuberías es med ro 8µ d d l ( h) con el fin de determinar la distancia r, donde la velocidad instantánea es igual a la velocidad media se igualan las exresiones anteriores y se obtiene d µ ( h ) ( r r ) d l o ro d 8µ ( h) d l r o r r o 8 r o r r o 5

247 Problema 5. En flujo laminar el caudal en una tubería de 7 cm de diámetro es 6.75 lts/s y el esfuerzo cortante en la ared es.8 kg/m. Determinar: a) La viscosidad del fluido. b) El esfuerzo cortante ara r cm. La exresión del esfuerzo cortante es τ d u µ d r ara el caso de flujo laminar en tuberías d µ d l τ µ ( )( ) h r en la ared, el esfuerzo cortante es τ o r o d d l ( h) de donde d d l τ x.8 kg/m /m r 0.05 o ( h) o La exresión del caudal en tuberías, ara flujo laminar es Q π r 8µ d d l ( h) de donde µ πr 8Q d d l ( h) Al sustituir los valores numéricos se obtiene π x 6.75 x0 µ kg s m 6

248 a una distancia, r cm del centro de la tubería, el esfuerzo cortante es τ r d d l ( h) τ kg.7 m Problema 5. Calcular el diámetro de una tubería vertical ara que fluya un líquido, de viscosidad cinemática.50 x 0 6 m /s, con un número de Reynolds de 800, si la resión ermanece constante. La exresión de la velocidad media ara flujo laminar, en tuberías es med ro 8µ d d l ( h) d d h ara el resente caso 0, y, entonces d l d l med r 0 8 µ D med D 8 µ µ La exresión del número de Reynolds ara el resente caso es R D υ siendo el diámetro D D µ υ / D ρ g µ υ υ R D g Al sustituir los valores numéricos resulta D 6 (.5 x 0 ) x D.6 x 0 - m / D g D g µ υ υ ρ 7

249 Problema 5. A través de la tubería horizontal de cm de diámetro circula glicerina a 7 C, con una caída de resión de. kg/cm or metro lineal de tubería. Calcular el caudal y el número de Reynolds. En los gráficos de viscosidad cinemática y dinámica se obtiene ara la glicerina a 7 C. µ. x 0 - kg s m m ν. x 0 - s La exresión del caudal es πd Q 8 µ L ( 0 ). x0 π 8 x. x x0 Determinación del número de Reynolds Dρ µ Q D πd µ ρ Q x x 0 π D π 0 x. x 0 R 5.65 Problema 5. Determinar el coeficiente de corrección de la cantidad de movimiento y de la energía cinética, ara un flujo laminar en un tubo circular. El coeficiente de corrección de la cantidad de movimiento es β u da A A El coeficiente de corrección de la energía cinética es α u da A A La exresión de la velocidad instantánea, ara flujo laminar, en tuberías es u d µ ( h ) ( r o r ) d l 8

250 La exresión de la velocidad media ara flujo laminar, en tuberías es med ro d 8µ ( h) d l Al sustituir las exresiones de la velocidad instantánea y la velocidad media se tiene el coeficiente de corrección de la cantidad de movimiento β π r o r 0 0 µ d d l ro 8µ ( h)( r r ) d d l o ( h) π r d r β π ro 0 r 0 r r o π r dr Al sustituir las exresiones de la velocidad instantánea y la velocidad media se tiene el coeficiente de corrección de la energía cinética α πr o r 0 r π r dr ro 0 Problema 5.5 Un aceite de densidad relativa, S 0.87 y viscosidad, µ 0.5 oise, fluye a través del esacio comrendido entre dos tubos concéntricos, horizontales, si el radio exterior es a.00 cm, el radio interior es b 0.50 cm y la tensión de cortadura en la ared exterior es de kg/m. Determinar: a) La caída de resión or unidad de longitud. b) El caudal en lts/h c) La fuerza axial or metro de longitud sobre el tubo interior. La exresión de la velocidad instantánea, ara flujo laminar, en anillos es u µ d ( h) d l a r a b b l n a a l n r ara el resente caso como el conducto es horizontal 9

251 d h d l 0, entonces la exresión anterior se uede escribir como u µ d d l a r a b b l n a l n a r La exresión del esfuerzo cortante es τ d u µ d r d u d r µ d d l a b r b l n a r τ µ d a b r µ d l b l n a ara r a r τ r a µ d a b a µ d l b a ln a de donde d d l τ a b a b a l n a Al sustituir los valores numéricos resulta d d l x x ln kg / m m La exresión del caudal, ara flujo laminar, en anillos es

252 Q π 8 µ d l d ( a b ) a b l n a b Al sustituir los valores numéricos se obtiene Q ( ) x 98 8 x l n Q.0607 x 0-5 Q.0607 x 0-5 m s x 000 x lts/h d u d r µ d d l a b r b l n a r ara r b τ r b d a b d l b b b l n a la fuerza en el tubo interior es F τ ( π b L) F d d l a b b b b l n a π b x.00 F x l n x. x x F 0.0 kg 5

253 Problema 5.6 Una tubería lisa de 0.90 m de diámetro conduce.70 m /s de etróleo cuya densidad relativa es 0.70 y su viscosidad cinemática.00 x 0 m /s. Determinar: a) La velocidad en el centro de la tubería. b) El esfuerzo τ o en la ared. c) Calcular el esesor δ de la sub-caa limite laminar. d) La otencia necesaria ara bombear el etróleo a una distancia de 0 km, si la tubería es horizontal. Determinación de la velocidad media Q.70 A π m/s Determinación del número de Reynolds R D ν.68 x x 0 Con el valor del número de Reynolds, R. x 0 y tubería lisa se encuentra en el diagrama de Moody un valor del coeficiente de fricción f 0.0 La exresión de la velocidad ara flujo turbulento de tuberías es u v 5.75 log y.75 r o en el centro de la tubería y r o, entonces u.75 v como f v 8 se obtiene al desejar u centro.75 f 8 5

254 Al sustituir los valores numéricos se obtiene u centro x m/s Determinación del esfuerzo cortante en la ared La velocidad de corte es v * τ o τo ρ ν * ρ τ o f 8 ρ τ o x 0.5 kg/m Determinación del esesor de la sub-caa límite laminar δ ' δ '.6 ν v *.6.68 x / x 0 m 7.9 mm Determinación de la otencia P Q hf 75 Q 75 f D L g P.70 x x P 67 C 5

255 Problema 5.7 En una tubería de concreto, con rugosidad, ε 0.0 mm, de 0 cm de diámetro, fluye un caudal de 000 lts/min de agua de viscosidad cinemática 0 6 m /s. Determinar la érdida de energía or kilometro de tubería. Determinación del coeficiente de fricción Si el flujo es comletamente turbulento, sobre contorno rugoso, se tiene que D log.7 f ε Al sustituir los valores numéricos se obtiene 00 log.7 f 0.07 f 0. Determinación de la velocidad media 000 Q 000 x 60 A π x m/s Determinación del número de Reynods D.59 x 0.0 R 6 υ 0.8 x 0 5 Determinación de la velocidad de corte v * f m/s 8 erificación si el contorno es rugoso o no v * ε ν 0 x.088 x <.80 < 70 lo que indica que el flujo se encuentra en la zona intermedia, or lo tanto el valor del coeficiente de fricción calculado anteriormente no es el verdadero, éste se uede encontrar mediante la ecuación 5

256 f.5 log R f ε D Al sustituir los valores numéricos se obtiene f.5 log.8 x 0 la cual se cumle ara f f Determinación de las érdidas or fricción h f f D L 0.0 g h f.7 m Problema 5.8 En el esquema de la figura, la tubería es de hierro galvanizado de diámetro 5 cm, longitud 5.00 mts y rugosidad absoluta ε 0.05 cm. El agua en el tanque suerior tiene una rofundidad de 5.50 m y una viscosidad cinemática de 0 6 m /s. Considerando solamente érdidas or fricción. Determinar: a) El caudal b) En base a sus cálculos determine si desde el unto de vista hidráulico las aredes de las tuberías se ueden considerar rugosas o no. 55

257 Alicación de la ecuación de Bernoulli entre los untos y, suoniendo que el lano de referencia arbitrario o datum asa or el unto. g Z g Z f L D g ara el resente caso y son cero or ser la suerficie de tanques de grandes dimensiones, y son cero or estar en contacto con la atmósfera, la cota del unto es cero ya que or ese unto asa el lano de referencia y Z es igual a 9.00 m; así, 9.00 f L D g Determinación del coeficiente de fricción Si suonemos que el flujo es comletamente turbulento y en un contorno rugoso, se tiene r log o.7 f ε f ro log.7 ε Al sustituir los valores numéricos se obtiene f 7.50 log como la longitud de la tubería es de 5.00 m se obtiene al sustituir Al desejar resulta.76 m/s Siendo el caudal g 56

258 Q A.76 π m /s erificación del tio de flujo v * f m/s 8 v * ε ν 0 x < 70 < 0. lo que indica que la turbulencia está comletamente desarrollada, el contorno es rugoso y la hiótesis es correcta. Problema 5.9 En una tubería de hierro fundido ε cm y de 0 cm de diámetro, fluye agua con una viscosidad cinemática de x 0-6, si la velocidad en el centro de la tubería es de 8.00 m/s. Determinar: a) El caudal b) El esesor de la subcaa límite laminar δ r log o.7 f ε f ro log.7 ε Al sustituir los valores numéricos se obtiene f 5 log Determinación de la velocidad de corte u y 5.75 log 8.5 v * ε 57

259 en el centro de la tubería donde y r o, existe la velocidad máxima, entonces u max v * r log ε 8.5 Al desejar y sustituir los valores numéricos se obtiene 8.00 v 0. m/s log Determinación de la velocidad media v * 8 f 8 v* f m/s Determinación del caudal Q A 6.56 π m /s erificación del tio de flujo v * ε ν 0 x < 70 < 8.88 lo que indica que la turbulencia está comletamente desarrollada, el contorno es rugoso y la hiótesis es correcta. Determinación de la sub-caa límite laminar δ.6 ν.6 x x 0 v * x 0 5 m 58

260 Problema 5.0 Si la distribución de velocidades en la caa límite está dada or u/u η η, donde η y/δ. Demostrar que el esesor deslazado de la caa límite es δ δ/6 El esesor deslazado δ es la distancia que habría que deslazar la ared hacia dentro del fluido ara que el caudal fuese el mismo que se tendría si no existiera el efecto de frenado de las artículas róximas a la ared, lo cual se reresenta en la siguiente figura este esesor deslazado δ está exresado analíticamente or δ ( U u ) 0 U δ d y δ δ U u d y U U 0 δ u δ d U y 0 ara la distribución de velocidades del resente caso se tiene, al reemlazar u or η η y hacer el cambio de variable y η δ, los nuevos índices de integración U resultan: ara y 0, η 0, ara y δ, η ( η η ) 0 δ δ d η Al integrar 59

261 δ δ η η η 0 δ δ δ δ 6 Problema 5. Hallar el esesor δ de la caa límite laminar en función de la distancia x, y el número de Reynolds, si el erfil de velocidades está dado or la relación u/u (y/δ) / y el esfuerzo cortante, obtenido exerimentalmente, es τ o.66 Uµ/δ La exresión del esfuerzo cortante es τ o ρ U d δ d x 0 u U u U d η Para la distribución de velocidades del resente caso se obtiene τ o ρ U d δ d x / ( η ) 0 η / d η Al integrar τ o ρ U d δ d x η / η 0 τ o ρ U d δ d x τ o ρ U 6 d δ d x igualando la exresión anterior, del esfuerzo cortante con el obtenido exerimentalmente se obtiene ρ U 6 d δ d x.66 U µ δ 60

262 δ 6 U µ δ.66 δ U d d x Al integrar se obtiene δ 9.66 µ ρ U x C Las condiciones de borde son, ara x 0, δ 0 C 0 la cual se uede escribir como δ x ( 9.96) U ρ x µ δ x.66 / ( R x ) Problema 5. Se roduce un flujo de aceite, de viscosidad cinemática 0 m /s y densidad relativa 0.8 sobre una lámina delgada de.00 m de ancho como se indica en la figura. Si la velocidad uniforme del flujo es de 6.00 m/s, hacia la derecha, y la de la laca de.00 m/s, hacia la izquierda. Determinar la velocidad a.00 m aguas abajo del inicio de la laca, a 5 mm y a 0 mm or encima de ella, según la suosición de Prandtl, y la resistencia si la longitud L es de.00 m Determinación de la velocidad relativa U ( ) 6.00 (.00) 8.00 m/s 6

263 Determinación del número de Reynolds a una distancia de.00 m del inicio de la laca R x U x υ 8.00 x x Como el número de Reynolds es menor que 5 x 0 5, entonces la caa límite, aún es laminar ara x.00 m.65 x.65 x.00 δ / / ( R ) x 5.60 x m δ.5 mm Determinación de la velocidad a.00 m del inicio de la laca y a 5 mm or encima de ésta La exresión de la velocidad es, según Prandtl, u y δ y δ U entonces ara y 5 cm y δ.5 cm 5 5 u m/s ara y 0 mm el unto se encuentra or encima de la caa límite (zona no erturbada) or lo tanto la velocidad u U 8.00 m/s Determinación de la resistencia R 0.6 ( µ ρ U L ) B 0.6 ( υ ρ U L )B Al sustituir los valores numéricos se obtiene 800 R x kg 9.8 6

264 Problema 5. Un tren aerodinámico que mide 0.00 m de longitud viaja a través de aire en reoso, de eso esecífico.07 kg/m y viscosidad 8.88 x 0 7 kg s/m, a una velocidad de Km/h. Considerando los lados y la arte suerior como una laca lana ulida de 9.00 m de ancho. Determinar: c) La fuerza de arrastre sobre esta suerficie y la otencia necesaria ara vencer esta resistencia. d) La longitud de la caa límite laminar y su máximo esesor. e) El esesor de la caa límite en el extremo osterior del tren. Determinación del número de Reynolds de la laca U L ρ R L µ Al sustituir los valores numéricos se obtiene x R L x 0. x 0 8 Lo que indica que la caa límite es turbulenta El coeficiente de arrastre ara este caso es 0.07 C D ( ) / 5 R x Al sustituir los valores numéricos se obtiene 0.07 C D / 5 8. x 0.7 x 0 - Determinación de la fuerza de arrastre F C D ρ (L x B) U Al sustituir los valores numéricos se obtiene 6

265 F.7 x (0.00 x 9.00) x kg Determinación de la otencia P C F U 75 Al sustituir los valores numéricos se obtiene P C x C Determinación de la distancia X, hasta donde la caa límite es laminar, esto ocurre donde el número de Reynolds es 5 x 0 5 x X U X ρ R x 7 µ 8.88 x 0 x X 5 x x 0 Al desejar se obtiene X 0.9 m En este lugar el esesor de la caa límite laminar es.65 X.65 x 0.9 δ m δ.9 mm / / ( R ) x 5 5 x 0 En la arte osterior de tren la caa límite es turbulenta, el esesor es δ L 0.7 L ( R ) / 5 L Al sustituir los valores numéricos se obtiene 6

266 0.7 x 0.00 δ 0.88 m L 8 (. x 0 ) / 5 Problema 5. Por una tubería de hierro galvanizado de 5.00 m de diámetro, fluyen. m /s de agua a. 0. Determinar: a) El esesor de la subcaa límite laminar. b) Suoniendo que la caa límite es toda turbulenta, calcular la longitud necesaria ara que la caa límite llegue al centro de la tubería. Con una temeratura de. 0 C se obtiene, en la tabla de las roiedades físicas del agua υ x 0-6 m /s y 999 kg/m Determinación de la velocidad media Q..58 m/s A π 5.00 Determinación del número de Reynolds y de la rugosidad relativa.58 x 5.00 R 8. x 0 6 y x 0 ε 0.05 D 500 x 0 5 con R 8. x 0 6 y D ε se encuentra en el diagrama de Moody f 0.0 Determinación de la velocidad de corte v * 8 f Al sustituir los valores numéricos se obtiene v m/s 65

267 Determinación del esesor de la sub-caa límite laminar יδ.6 x x x 0 5 m Determinación de la distancia donde la caa límite alcanza el centro de la tubería δ x ( R ) / / / x U x U / 5 υ υ x x /5 U / 5 δ υ 0.7 Al sustituir los valores numéricos se obtiene x / x / m x (8.0) 5/ m 66

268 Problema 5.5 Un automóvil que se deslaza a una velocidad de 08 Km/h tiene un coeficiente de arrastre C D 0,8 y un área transversal de.60 m. Determinar la otencia necesaria ara vencer la resistencia del aire cuya densidad es ρ 0.5 UTM/m. Determinación de la fuerza de arrastre F C D ρ U A Al sustituir los valores numéricos se obtiene 08 x F 0.8 x F 5.0 kg La otencia, exresada en caballos de vaor, C; es P C F U 75 Al sustituir los valores numéricos se obtiene P x P 0 C. Problema 5.6 Un aagayo rectangular de.00 m x 0.75 m, esa.0 kg. La fuerza de tracción en el hilo de sujeción del aagayo es de kg cuando éste forma un ángulo de 5 0 con la horizontal. Para una velocidad del viento de Km/h, que sola horizontalmente. Determinar: El coeficiente de sustentación y el coeficiente de arrastre si el eso esecífico del aire es.05 kg/m. Nota: Considerar el aagayo como una laca lana que forma un equeño ángulo con resecto a la dirección del viento. 67

269 Esquema de fuerzas como el aagayo se encuentra en equilibrio, la sumatoria de fuerzas verticales y horizontales debe ser nula; es decir, fuerzas verticales W T cos 5 o S Al sustituir los valores numéricos se obtiene.0.00 cos 5 o S S. kg fuerzas horizontales T sen 5 o F Al sustituir los valores numéricos se obtiene.00 sen 5 o F F. kg La determinación del coeficiente de arrastre, se obtiene a artir de la fuerza de arrastre F; así, F C D ρ U A Al desejar y sustituir los valores numéricos se obtiene C D F ρ U A x..05 x (.00 x 0.75) C D

270 La determinación del coeficiente de sustentación C L, se obtiene a artir de la fuerza de sustentación S; así, S C L ρ U A Al desejar y sustituir los valores numéricos se obtiene C L S ρ U A x..05 x (.00 x 0.75) C D 0.88 Problema 5.7 Suongamos que una avioneta esa 800 kg y la suerficie de sus alas es de 8.00 m. Determinar el ángulo que forman las alas con la horizontal a una velocidad de 60 Km/h. Suoner que el coeficiente de sustentación varía linealmente de 0.5 a 0º hasta 0.80 a 6º y que el eso esecífico del aire es de.0 kg/m. Para que la avioneta se mantenga en el aire el eso de ésta debe ser igual a la fuerza de sustentación; es decir, S W U C L ρ A W C L x C L

271 En la siguiente figura se resenta un esquema de la variación lineal entre el coeficiente de sustentación, C L y el ángulo de ataque α, donde se uede encontrar que ara el coeficiente de sustentación calculado de 0.5 corresonde un ángulo de ataque de. o Angulo de ataque.º Problema 5.8 Los vagones del metro de Caracas tienen forma aerodinámica ara reducir la resistencia or fricción. La sección transversal de un vagón tiene un erímetro 0.00 m; ara un conjunto de vagones, que en total tienen una longitud de m. Determinar la resistencia or fricción a una velocidad de Km/h y la otencia requerida ara vencer tal resistencia. La densidad relativa del aire es de.5 x 0 y la viscosidad cinemática de. x 0 5 m /s. Determinación del número de Reynolds en la arte osterior de los vagones 70