SOLUCIONES TEMA 9, ÓPTICA GEOMÉTRICA

Transcripción

1 CUESTIONES SOLUCIONES TEMA 9, ÓPTICA GEOMÉTRICA C C C3 C4 C5 La aproximación paraxial e produce cuando lo rayo de luz inciden obre el elemento óptico con un ángulo muy pequeño repecto del eje óptico. Entonce e válida la aproximación: en tg para lo que el ángulo debe expreare en radiane. θ θ θ Un elemento óptico divide el epacio en do emiepacio, el objeto ituado a la izquierda del elemento óptico y el imagen a u derecha. Cuando lo rayo de luz depué de atravear el itema óptico no e cortan, entonce no hay imagen real y hay que obtenerla prolongando lo rayo hacia atrá dede el epacio imagen, de modo que eta prolongacione e cortan en el epacio objeto, e dice que la imagen e virtual. La razón e que el ojo puede verla, in embargo ituando una pantalla donde e ve la imagen virtual no recogeremo nada. El oco imagen e un punto del eje óptico ituado en el emiepacio imagen, donde e cortan todo lo rayo que vienen paralelo entre í y al eje óptico en el emiepacio objeto. En el cao de la lente divergente la poicione de lo oco etán invertida, de modo que el oco imagen etá en el emiepacio objeto y vicevera. Sabemo por la experiencia que lo epejo veriican la ley de la relexión. Al er la upericie plana y el ángulo de relexión igual al de incidencia lo rayo relejado en el epejo plano nunca e cortan y por lo tanto el ojo ve la imágene como i vinieran de la prolongación de lo rayo relejado. En conecuencia la imágene on iempre virtuale. La ditancia ocal vale la mitad del radio de curvatura. R C6 C7 C8 C9 Únicamente lo epejo cóncavo. Será convexo pue al ormar una imagen virtual de menor tamaño que el objeto, no acilitará la obervación de un gran campo de viión. El oco objeto e encuentra a la izquierda del vértice y el oco imagen a la derecha. La ditancia ocale objeto e imagen no on iguale. La marcha de lo rayo e la iguiente: y F F y - La imagen e real, invertida y de menor tamaño que el objeto. C0 Lo rayo de luz paan de un medio de índice n menor a otro de índice n mayor. Aplicando la ley de Snell. n en ε en ε n como n < n e en ε < en ε ε < ε Con lo que el rayo reractado e acerca má a la normal. En conecuencia la imagen e virtual y má alejada que el objeto. La igura la ituamo horizontal por razone de epacio.

2 Aire O (imagen) O(Objeto) Agua C Al er n < n en la cara (A) del prima el rayo reractado e acerca má a la normal que el rayo incidente. En la cara (B) ucede lo contrario y el rayo e aleja má de la normal. En conecuencia el prima óptico devía lo rayo hacia la bae. N 60º (B) N (A) C Se utiliza un prima recto de ángulo θ 90º de modo que e produzca la relexión total. Una relexión total Do relexione totale C3 Un rayo que apunta hacia el centro óptico de una lente no ure deviación alguna. C C C4 La lente delgada tienen u ditancia ocale objeto e imagen, iguale. Si la lente e convergente, el oco objeto etá en el epacio objeto y el oco imagen en el epacio imagen. F F

3 C5 La lente divergente tienen el oco objeto F en el epacio imagen y el oco imagen F en el epacio objeto. Ojo y y F F Lo rayo que van hacia el oco imagen F (ahora a la derecha) alen de la lente paralelo al eje óptico. Lo rayo que van paralelo al eje óptico alen de la lente en una dirección tal que paa por el oco imagen F. La imagen ormada e virtual pue lo rayo y no e cortan íicamente. Si el ojo etá ituado a la derecha de la lente ve la imagen en la prolongación hacia atrá de lo rayo y, por lo que la imagen e virtual. Ademá e derecha repecto del objeto y de menor tamaño. C6 Si e menor de la unidad el tamaño de la imagen e menor que el del objeto. Si e la unidad el tamaño de la imagen e igual que el del objeto. Si e mayor que la unidad el tamaño de la imagen e mayor que el del objeto. C7 La potencia de una lente e la invera de u ditancia ocal medida en metro. Si L tiene má potencia que L e veriica: P > P > ; De donde e deduce que < y la lente con mayor potencia, e la que tiene la ditancia ocal má pequeña de la do. C8 C9 C0 C El deecto viual e la miopía y lo que hace e alejar el libro hata ituarlo en u punto remoto. El deecto e la hipermetropía. Será necearia una lente que hace de lupa, por lo tanto una lente convergente. El objeto deberá ituare entre la lente y la ditancia ocal de la mima. microcopio combina do lente convergente. Una e llama el objetivo y la otra el ocular. C C3 C4 Signiica que e de 30 aumento. Mediante la razón de la ditancia ocale del objetivo y del ocular. El reractor utiliza como objetivo una lente, mientra que el relector utiliza un epejo cóncavo (parabólico) para recoger la luz.

4 EJERCICIOS E Se traza la imagen que proporciona el epejo plano, que reulta imétrica repecto del mimo. La marcha de lo rayo etá en la igura. B A A B Como lo triángulo ormado on iguale la ditancia de la imagen al epejo, on la mima que la del objeto, ademá, lo tamaño de la imagen y del objeto on exactamente iguale. C C E Se trazan la imágene de la icha, que conideraremo puntual por encillez, repecto de cada epejo y depué la imagen que cada epejo produce en el otro. Deignaremo a lo epejo con y. F F deigna la imagen que da el epejo () de F ; que e la imagen que da () de la icha F. F () F deigna la imagen que da el epejo () de F ; que e la imagen que de () de la icha F. 30º F () F F E3 En lo epejo eérico el oco objeto e imagen coinciden, ademá e encuentra a la R 0, m mitad del radio: 0, m Aplicando la ecuación de lo epejo: + ; + 0,3 0, ; 0,5 m 5 cm El aumento lateral ( 0,5 ) y β ; y y 7,5 cm y 0,3 En el preente cao al er < 0; lo rayo relejado e cortan y la imagen relejada e real. Ademá e invertida repecto del epejo y de menor tamaño. C F

5 R 4 m E4 La ditancia ocal e m. La ecuación del epejo: + ; 8,6,6 m. La Imagen e virtual. El aumento lateral β 0, ; 8 y β y 0,,40 m 0,8 m 8 cm La imagen e virtual, derecha repecto del objeto y de menor tamaño. F C E5 a) Al er el dioptrio convexo, el centro de curvatura etá a la derecha del vértice y el radio e poitivo + 3 cm. La poición de lo oco e: R,5 3 cm 9 cm; n,5 n R 3 cm n,5 6 cm b) Aplicando el invariante de Abbe y teniendo en cuenta que el objeto etá a la izquierda del dioptrio y que egún el criterio de igno eta ditancia e toma negativa reulta: n n ; R El aumento lateral vale:,5 0 cm,5 ; 3 cm,5 cm y n,5 cm β,5 ; y β y -,5 mm -3 mm y 0 cm,5 La imagen e real, invertida repecto del objeto (igno meno) y de mayor tamaño. y F F y E6 a) La poición de lo oco: R n,5 0 cm 60 cm;,5 n R 0 cm n,5 40 cm b) La ecuación del dioptrio eérico en unción de lo oco: + ; 60 cm 40 cm + ; 50 cm 300 cm

6 y n 300 cm β 4 ; y cm -0 cm y 50 cm,5 La imagen e real, invertida repecto del objeto y de mayor tamaño. E7 La perona ve el pez a una proundidad aparente que e debe encontrar mediante la contrucción de la marcha de lo rayo. Como n >n el rayo,5 m reractado e aleja má de la normal que el incidente. aire n n m,5 m n,33 agua n O La ditancia de u ojo a la que e orma la Imagen O e. D,5 +,5 3,0 m O El pez ve a la perona a una altura cuya poición O e determina mediante la marcha de lo rayo. * * Como ahora e n < n el rayo reractado e acerca má a la normal que el incidente. * * n *,33 *,5,0 m * n La altura medida dede la poición del pez. agua,0 m aire O * * * D +,0 m 4,0 m E8 El rayo entra perpendicular a la cara () y no ure deviación, de modo que llega a la cara () ormando con la normal un ángulo de 45º. De acuerdo con el enunciado, ete ángulo debe er mayor que el ángulo () () límite del material para la luz utilizada. N Determinemo primero el ángulo límite. Como en la relexión total éte ángulo veriica. 45º en Φ Siendo n el índice del aire y n el del vidrio. En el cao límite e Φ 45º n en Φ en 45 n,4 n n

7 E9 Cuando la deviación e mínima y el medio que limita al prima e el mimo, el rayo va por dentro del prima óptico paralelo a la bae, por lo que en ete cao ormará con la normal a la cara 30º. Aplicando la ley de Snell. 60º N en ε,47 en 30º ; en ε 0, 735 ; ε 30º δ min N ε ε 47,3º 60º 60º La deviación mínima e: δ mín ε α 47,3º 60º 34,6º E0 El Sol e puede coniderar a una ditancia ininita de la lente, de modo que lo rayo vienen paralelo y e concentran e u oco. La ecuación de la lente: F ; 0,m E La ditancia ocal de la lente e la invera de u potencia expreada en dioptría. 0,5 m 4 D La ecuación de la lente: ; De donde: 0,5 0,5 ( ) a) - m; 0, m ; ( <0 imagen virtual) 0,5 ( ) y 0, β 0, ; y 0, y 0, 0, 0,0 m cm y La imagen e virtual, derecha y de menor tamaño que el objeto. 0,5 0,5 F F 0,5 ( 0,5) b) -0,5 m; 0,7 m 0,5 ( 0,5) y 0,7 β 0,33 ; y 0,33 y 0,33 0, 0,033 m 3,3 cm y 0,5 La imagen e virtual, derecha y de menor tamaño que el objeto. 0,5 ( 0,5) c) -0,5 m ; 0,5 m 0,5 ( 05)

8 y 0,5 β 0,5 ; y 0,5 y 0,5 0, 0,05 m 5 cm y 05 La imagen e virtual, derecha y de menor tamaño que el objeto. 0,5 ( 0,5) d) -0,5 m ; 0,094 m 0,5 ( 05) y 0,049 β 0,65 ; y 0,65 y 0,65 0, 0,065 m 6,5 cm y 05 La imagen e virtual, derecha y de menor tamaño que el objeto. E La ocal imagen e la invera de la potencia expreada en dioptría. 0,0 m P 5 D a) Para que ea la imagen ea real, tiene que er, >0; ademá como <0; el aumento lateral β < 0 ; en conecuencia β -. Sutituyendo en la ecuación del aumento lateral: y β ; de donde - y De la ecuación de la lente delgada ; ; -0,3 m 0,0 0,0 b) Para que la imagen ea virtual debe er < 0; y como < 0; reulta que el aumento lateral β >0 β ; ; ; ; 0, m 0,0 0,0 E3 R 0,0 m; R 0,0 m (,47 ),35; 0,43m 0, 0 0, La lente e divergente ; 0,8m 0,30 0,43 El aumento lateral: 0,8m β 0,59 ; y 0,50 5cm,9cm 0,30 m La imagen e virtual, derecha repecto del objeto y de menor tamaño. E4 Hay que colocarle una gaa, de tal modo que lo rayo procedente de de punto lejano, ormen una imagen virtual en u punto remoto. Eta lente on divergente. P.R Depreciando la ditancia entre el ojo y la lente. La ecuación de la lente permite ecribir:

9 C ; C ; C -,7 D; Neceita lente divergente 0,6 E5 Situando el libro a 5 cm del ojo, la lente deben ormar una imagen virtual en el punto próximo, a 00 cm. 0,5 C ; C +3 D Neceita lente convergente de +3 D. E6,5 C ; C -0,8 D Neceita lente divergente de 0,8 D. E7 La lente deben ormar de un objeto ituado a 5 cm, la imagen en el punto próximo. + ; 0,5 m El punto próximo etá a 50 cm del ojo. 0,5 E8 La ditancia ocal e 0, m P 0 La imagen e orma a 0,5 m del ojo, y como la ocal e de 0,0 m, reulta -(0,5 m 0,0 m) -0,5 m y y F F a) La ecuación de la lente: 0,5 0, 0,5 m 0, m ; -0,06 m - 6 cm b) 0,5 y β,5 ; i lo lado on a y b 0,06 y a,5,8 cm 7 cm; b,5 5 cm,5 cm 0,5 c) γ + 3, 5 ; e de 3,5 aumento. Se exprea 3,5X 0,

10 E9 a) El aumento que proporciona e: γ 0,5 0,5 P 0, b) Se coloca el ojo pegado a la lente, y e mueve el objeto hata que la imagen e orme en el punto má cercano de viión, (el punto próximo). Sea la ditancia del objeto a la lente. 0,5 00 ; 0,0096 m cm E0 a) La ditancia ocal del ocular coniderado como una lupa e: 0,5 oc 0,05 m,5 mm 0 b) ob oc 8 5,7 ; 5 ;,5 ob oc 5 mm ;, mm oc mm c) Objetivo Aumento lateral Aumento angular y ob 5 50 mm βob 9,4 γob 50 y 5,7 5 mm Ocular ob Aumento lateral Aumento angular oc, 50 mm βoc,775 γoc 0 8,5 mm oc Aumento del microcopio propiamente dicho M βob γoc 9,

11 E El aumento del microcopio e egún (9.4) M β γ L M γ ; y aplicando eta ecuación a cada una de la combinacione reulta: M 5 50 ; M M 5 00 ; M M ; M 0,6, E γ P P aumento E3 Mirando directamente y para ángulo pequeño: α(rad) y/d Mirando a travé del objetivo, el aumento lateral e: β D y α y ; y π rad y α 0,5 00 cm 0,87 cm 80 PROBLEMAS P Por la ley de la relexión, lo ángulo de incidencia y de relexión on iguale. Ademá, la imágene del epejo plano etán ituada imétricamente repecto del epejo, en relación al objeto. C C F O O G A P B P El punto A, e la poición de la parte inerior del epejo, que permite todavía vere lo pie. La ditancia AB, e deduce de lo triángulo iguale OAG y PAG. De la igura OP H y AB OP/ H/. Por otra parte lo triángulo OC P y OFA on emejante y veriican: C P OO L d L ; ; reultando para la altura del epejo FA FA OF FA d El epejo debe tener de altura la mitad de la longitud del cuerpo, y debe etar del uelo, a una ditancia igual a la mitad de la ditancia de lo ojo al propio uelo.

12 P La imagen del ilamento erá la zona iluminada por el oco, cuyo tamaño dependerá de la ditancia al mimo. El ilamento como debe etar ituado uera de la ditancia ocal del epejo cóncavo, tendrá una imagen invertida, de altura y - m. y 3 β y ; 30 β ; ; de donde 0,05 m 5 cm Aplicando la ecuación de lo epejo: 30 + ; 0,0499 m 4,99 cm 0,05 El radio de curvatura del epejo R 4,99 cm 9,98 cm. La poición del ilamento ( 5 cm) etá ituada ligeramente delante del oco del epejo, 4,99 cm. F R 0,5 m P3 La ditancia ocal e 0,5 m. La ecuación del epejo: + ; m 0, 0,5 La imagen etá a la derecha del epejo y e virtual. Si e itúa allí una pantalla, no e recogerá nada. El aumento lateral β 5 ; y 5 y 5 5 cm 5 cm de diámetro. 0, R 0,5 m La ditancia ocal e 0,5 m. La ecuación del epejo: + ; 0, 0,5 m La imagen etá a la derecha del epejo y e virtual. Si e itúa allí una pantalla, no e recogerá nada. El aumento lateral β 5 ; y 5 y 5 5 cm 5 cm de diámetro. 0, C F P4 El itema e compone de do dioptrio uno convexo y otro cóncavo. En primer lugar e calcularán lo oco de cada dioptrio. R,5 0 cm n R 0 cm 30 cm; 0 cm n,5 n 0,5

13 Aplicando la ecuación del dioptrio e calcula la poición de la imagen y del primer dioptrio. 30 cm 0 cm + ; 50 cm ; 50 cm y n 50 cm β ; y cm 0,67 cm y 50 cm,5,5,5 La imagen e real, invertida repecto del objeto y de menor tamaño. Para el egundo dioptrio cóncavo la imagen obtenida e convierte en objeto. Lo oco e determinan:,5 ( cm) 36 cm ; 0,5 ( cm) 0,5 4 cm Lo oco etán invertido, el oco imagen etá a la izquierda del egundo dioptrio y el oco objeto a la derecha. La ditancia de la primera imagen y al egundo dioptrio e: 90 cm 90 cm 50 cm 40 cm a la izquierda de u vértice. 36 cm + 4 cm 40 cm ;,5 cm; y,5 cm,5 β 0,84 cm. y 40 cm Pero e y y -0,67 cm; 0,84 ( 0,67 cm) 0,56 y cm La imagen deinitiva e virtual, invertida repecto del primer objeto y cm y de menor tamaño. y F F F F y y P5 En primer lugar e determina la imagen de la primera lente, que a u vez, hace de objeto para la egunda lente. a) La primera lente e convergente de ocal imagen poitiva: ; reulta 08 0, 5 0,85 m y 0, 85 β 0,3 ; obteniéndoe y -,5 cm. La imagen de eta lente e y 0,8 real, invertida y de menor tamaño que el objeto. b) La egunda lente de ocal imagen negativa, e divergente -0,6 m. Como la ditancia entre la lente e de 0,05 m, ahora, la nueva ditancia de la imagen y (que hace de objeto para eta egunda lente) e: 0,85 m 0,05 m 0,35 m ; poición que etá ituada a la derecha de la lente divergente. ; de donde e obtiene 0,74 m. El aumento lateral 0, 35 0,6 0,74 β,93 0,35 El tamaño de la imagen deinitiva e: y β y,93 (, 5 cm),49 cm. La imagen e real >0, invertida repecto del objeto y de menor tamaño.

14 P6 Se determina la convergencia equivalente a la do lente en contacto, D D + D 4 D + (-0) D -6 D 0,67 m 6 D El conjunto equivale a una lente divergente de ocal imagen 0,67 m P7 Para dar una imagen real obre la pantalla la lente tiene que er convergente y el objeto debe etar ituado uera de la ditancia ocal. De ete modo la imagen y e invertida repecto del objeto y. En la igura e muetan la ditancia y u igno: y -y y 6 3 y -m ; 3 m ; 0,75 m; 3 P,33 D 0,75m + Se trata de una lente convergente de potencia +,33 D. P8 P9 Para calcular el punto próximo, la imagen debe ormare a 5 cm 0,5 m, del ojo. C + ; -0,7 0,5 Para calcular el punto remoto, la imagen debe ormare en el ininito. C + ; -0,5 m Solo pueden ver con claridad, objeto ituado entre 7 y 50 cm. El punto próximo etá a 60 cm. C ; C +,3 D; Neceita lente poitiva o convergente 0,6 0,5 El punto próximo etá a 60 cm. C ; 0,6 0,5 C +,3 D; Neceita lente poitiva o convergente P0 El aumento aungular e: γ Siendo la ditancia ocal del epejo y la del ocular.

15 γ 00 m m 75 R Por otro lado, al tratare de un epejo eérico y el radio 00 R m,67 m 75 El epejo debe er cóncavo y de radio,67 m (bata con un caquete de la eera, de poca altura). P a) La potencia de la lupa e puede obtener de la ecuación de lo contructore de lente. P ( n ) (,5 ) + 5 D R R 0, 0,05 b) c) d) 5 ; 0,50 5; 0,0 m 0,4 m 0,5 0,5 γ + +,5 0,0