LENTES DELGADAS 2.1. INTRODUCCIÓN

Transcripción

1 LENTE DELGADA.. INTRODUCCIÓN En la práctica anterior se realizó un estudio de las leyes de relexión y reracción de la luz, utilizando espejos y sólidos transparentes con dierentes geometrías. Uno de los casos considerados, en particular, ue el de medios reringentes con doble supericie esérica, o lentes (sección.7), realizándose la parte experimental correspondiente con una lente de cierto espesor o gruesa. Las características de las lentes dependen no sólo de la naturaleza del material, sino también de su geometría. La idelidad de las imágenes obtenidas por los sistemas ópticos en instrumentos, constituidos undamentalmente por lentes, depende de la minimización de dierentes tipos de distorsiones conocidas como aberraciones. Las aberraciones constituyen uno de los grandes problemas de la óptica geométrica. Entre los sistemas ópticos mas conocidos, además del ojo humano, están la cámara otográica, los proyectores, los telescopios, los largavistas, las lupas y los microscopios... LENTE DELGADA Considérese una lente cuyas supericies tienen radios de curvatura R y R respectivamente y un espesor t en la zona central: 3

2 e dice que esta lente es delgada si la separación t entre sus supericies limitantes es muy pequeña comparada con la distancia ocal : (t << ): Ya se demostró que en este caso se obtiene la expresión: ' (n ) R R siendo n el índice de reracción de la lente respecto al aire. También se obtuvo que toda lente posee dos puntos ocales dispuestos simétricamente dados por: ' (n ) R R relación esta que recibe el nombre de ecuación del constructor de lentes De las dos expresiones anteriores se obtiene la relación entre las posiciones del objeto, su imagen y la distancia ocal: ' expresión denominada orma gaussiana de la ecuación de las lentes...a. IMÁGENE PRODUCIDA POR LENTE DELGADA En la sección.5. se analizó la ormación de imágenes de objetos puntuales o de una cierta extensión por relexión en espejos planos, eséricos cóncavos o convexos, dándose un conjunto de reglas para la construcción geométrica correspondiente. e obtuvo así, de acuerdo a la posición del objeto y las características de los espejos, imágenes reales o virtuales, derechas o invertidas, más grandes, iguales o mas pequeñas. 33

3 Para la construcción geométrica se usó la aproximación de rayos paraxiales, es decir, rayos que orman ángulos pequeños con el eje. También se estableció una convención de signos para su uso con las ecuaciones respectivas. Un razonamiento análogo se puede usar para construir las imágenes producidas por reracción en lentes delgadas, teniendo en cuenta que el proceso no es ahora por relexión, sino por reracción (transmisión). La convención de signos para este caso, ya mencionada en la subsección.6.c, supone que la distancia objeto-lente,, sigue siendo siempre positiva, La distancia imagenlente,, será positiva si la imagen está del lado opuesto al objeto (detrás de la lente), y negativa si está del mismo lado del objeto (delante de la lente). Un radio de curvatura, R, será positivo si el centro de curvatura está del lado opuesto al objeto (detrás de la lente), y negativo si está del mismo lado del objeto (delante de la lente) Para la construcción geométrica se pueden usar dos de las tres reglas siguientes:. Todo rayo que incide sobre la lente, paralelo al eje, se reracta y pasa por el segundo oco (caso convergente), o su prolongación pasa por el primer oco (caso divergente).. Todo rayo que incide sobre la lente, pasando inicialmente por el primer oco (caso convergente) o dirigiéndose hacia el segundo oco (caso divergente), se reracta y sale paralelo al eje. 3. Todo rayo que incide sobre la lente, pasando por su centro no se desvía, ya que éste se comporta como una supericie plana paralela muy delgada. La intersección de los rayos reractados (imagen real) o de sus prolongaciones (imagen virtual) da entonces la posición de la imagen según: ' A continuación se muestra la construcción correspondiente a un objeto ubicado a una distancia mayor que la distancia ocal tanto para una lente convergente como para una 34

4 divergente. e observa que en esta condición la lente convergente orma una imagen real e invertida, mientras que la divergente orma una imagen virtual y derecha. Un caso de interés particular es el de la lupa, que no es mas que una lente convergente en la que el objeto está colocado a una distancia de la lente menor que su distancia ocal, obteniéndose una imagen virtual, derecha y mayor que el objeto. Al igual que en el caso de los espejos, en el caso de lentes se deine como aumento m la relación entre el tamaño z de la imagen y z del objeto, que por una relación geométrica evidente resulta: m z' z ' donde un valor negativo indica que la imagen está invertida. Demuestre que la relación entre m, y esta dada por ' m Nótese inalmente que si para un objeto colocado en un punto P del eje óptico de una lente convergente se orma una imagen real en un punto P, al colocar el objeto en el punto P se ormará una imagen real en el punto P, por el principio de reversibilidad de los rayos luminosos. Al par de puntos (P, P ) se le llama puntos conjugados. 35

5 .3. ITEMA DE DO LENTE DELGADA Los principios para la ormación de imágenes en lentes delgadas individuales pueden ser aplicados a los sistemas de lentes usando un principio de superposición tal como ha sido el caso en prácticas anteriores de electricidad: se debe encontrar la imagen ormada por la primera lente y considerarla como objeto para la segunda lente. La imagen producida por la segunda lente será entonces la imagen ormada por el sistema, tal como se muestra a continuación. En este caso el punto O es el conjugado del punto Ι para la primera lente, el punto Ι es el conjugado del punto Ι para la segunda lente. Los puntos O e Ι resultan puntos conjugados del sistema de dos lentes El siguiente esquema permite obtener una relación analítica para el sistema de dos lentes: i y son las distancias objeto e imagen para la primera lente L, y son las distancias objeto e imagen para la segunda lente L, y X es la separación entre las lentes, se tendrá entonces: 36

6 37 ' ' ' X Recordando el concepto de oco de una lente como el punto de donde todos los rayos que salen de él, emergen paralelos al eje después de reractarse (imagen en el ininito), o donde convergen todos los rayos que inciden paralelos al eje, después de reractarse (objeto en el ininito), resulta inmediato que para un objeto colocado en el primer oco de la combinación de las dos lentes: c X - lo que conduce a: c X de donde: c X Análogamente, si el objeto está en el ininito: c X - lo que conduce a: ' X c de donde: c X ' En el caso particular de que las lentes estén adosadas, X 0, por lo que las dos distancias ocales coinciden: c c ' i ambas lentes son convergentes, el sistema es convergente. i una lente es convergente, de distancia ocal conocida, y la otra es divergente, pero ambas producen una combinación convergente, es posible determinar la distancia ocal de la divergente midiendo la distancia ocal del sistema. Nótese que para que un sistema ormado por una lente convergente y una divergente adosadas produzca una combinación convergente, se debe cumplir: div conv div conv c 0 0 < > >

7 .4. MÉTODO PARA LA DETERMINACIÓN DE DITANCIA FOCALE.4.a. MÉTODO DE LO RAYO PARALELO Cuando se dispone de una lente convergente de distancia ocal conocida, es posible utilizar dicha lente para enocar en el ininito la imagen de un objeto colocado en su primer oco. Como los rayos que salen de esta primera lente son paralelos, al hacerlos incidir sobre una segunda lente de distancia ocal desconocida, se ormará una imagen en el segundo oco, por lo que la distancia medida entre la segunda lente y la imagen será la distancia ocal..4.b. MÉTODO DEL EPEJO Este método se basa en hacer coincidir, mediante el uso de un espejo, los puntos conjugados de un sistema óptico. Al colocar un objeto en el primer oco de una lente convergente los rayos emergentes salen paralelos al eje óptico. i estos rayos se relejan en un espejo perpendicular a dicho eje, pasarán nuevamente por la lente y ormarán la imagen en el mismo punto donde está el objeto ( ). i el espejo está ligeramente inclinado, la imagen se ormará en el mismo plano ocal (plano que pasa por el oco, perpendicular al eje óptico) pero estará ligeramente desplazada, lo que permitirá visualizarla. 38

8 .4.c. MÉTODO GRÁFICO Un primer método gráico consiste en determinar un conjunto de pares de puntos conjugados y representarlos en un gráico cuyos ejes son / y /. Esta representación debería producir una línea recta por corresponder a una ecuación lineal de la orma: ' donde la pendiente resulta ( ) y la ordenada en el origen es igual a /. La gráica muestra la representación de un par de puntos conjugados C (/ C, / C ) y D (/ D, / D ). La ordenada en el origen se obtiene por extrapolación. Por ser la pendiente ( ) la extrapolación resulta idéntica al hacerla al eje de abscisas. Un segundo método se basa en una construcción geométrica, la cual se acilita usando los ejes de un sistema de coordenadas cartesianas -. i se representa la posición del objeto en el eje de abscisas y la posición de la imagen en el eje de ordenadas, se puede construir un triángulo rectángulo OAB tal como muestra la igura. Para el punto conjugado correspondiente (,) se puede construir un triángulo rectángulo similar OA B. La intersección de las dos hipotenusas ocurre en un punto C que permite deinir un cuadrado de lado a, interior a ambos triángulos rectángulos. Para el primer triángulo construido, OAB, resulta evidente por semejanza de triángulos que: ' a a ' ' a ' expresión que también se puede deducir con el segundo triángulo, OA B. 39

9 Por lo tanto, el cuadrado ormado por el punto C y el origen tiene como lado la distancia ocal. Debe destacarse que este procedimiento no es una representación gráica de en unción de, sino una construcción geométrica..5. ITEMA ÓPTICO DE ALGUNO INTRUMENTO DE UO COMÚN.5.a. OJO HUMANO El sistema óptico está ormado por la cornea, el humor acuoso, el cristalino (lente), el humor vítreo y la retina, resultando esta última la pantalla donde se orman las imágenes reales e invertidas de los objetos que se ven.5.b. CÁMARA FOTOGRÁFICA Este sistema está constituido por el diaragma de apertura, objetivos (lentes), el diaragma de campo y la película otográica donde se orman las imágenes reales e invertidas de los objetos que se otograían. 40

10 .5.c. MICROCOPIO De una orma muy simpliicada, este sistema puede considerarse ormado por dos lentes: un objetivo de distancia ocal muy pequeña y un ocular que orma una imagen virtual, invertida y aumentada.6. ABERRACIONE Los deectos producidos sobre las imágenes de objetos al ser relejados o reractados, reciben el nombre de aberraciones. Existen varios tipos de aberraciones: esérica, de campo, coma, astigmatismo, cromática. En este laboratorio solamente se considerará y se tratará de minimizar los dos primeros tipos: la aberración esérica, consecuencia de la presencia de rayos no-paraxiales, y la aberración de campo que se origina por la extensión del objeto..6.a. ABERRACIÓN EFÉRICA (UPERFICIE REFLECTORA) Un espejo cóncavo ormará una imagen puntual de un objeto puntual si la dimensión del espejo es pequeña comparada con su radio de curvatura, y el objeto se encuentra colocado en el eje óptico, que es la línea que une el centro del espejo con el centro de curvatura. i la dimensión del espejo, comparada con su radio de curvatura, no es pequeña, no se observará una imagen puntual, sino mas bien una mancha diusa con un punto brillante en el centro. Este eecto, que depende de la apertura del haz incidente, se denomina aberración esérica, y se puede minimizar colimando el haz incidente de manera que 4

11 sobre el espejo sólo incidan rayos paraxiales (rayos que orman ángulos pequeños con el eje óptico) Por otra parte, si se hace incidir rayos paralelos sobre una zona extensa del espejo cóncavo, se observará también una imagen brillante con una zona diusa a su alrededor, debido a los dierentes puntos de intersección de los dierentes rayos relejados. La envolvente de estos rayos determina la llamada supericie cáustica..6.b. ABERRACIÓN EFÉRICA (MEDIO REFRINGENTE) Un eecto similar al caso anterior ocurre cuando los rayos originados de una uente puntual inciden con ángulos grandes sobre una supericie convexa que separa dos medios de índices de reracción n y n : la posición de la imagen para cada rayo dependerá de la altura h del punto donde el rayo se reracta, o lo que es lo mismo, del ángulo de apertura α. En consecuencia, para un objeto puntual se observará una imagen constituida por un punto brillante, correspondiente a los rayos paraxiales, y una zona diusa alrededor originada por los otros rayos. Nuevamente, el eecto se minimiza colimando el haz incidente. 4

12 .6.c. ABERRACIÓN DE CAMPO Considérese un objeto extenso OQ colocado en rente de una supericie convexa que separa dos medios de índices de reracción n y n. i el punto O se encuentra en el eje óptico a una distancia O de la supericie, su imagen determinada mediante rayos paraxiales se ormará en el mismo eje a una distancia O, relacionadas por la expresión: / O / O /. Para el otro extremo del objeto, punto Q, se observa que la distancia a la supericie es: Q > O, por lo tanto su imagen estará a una distancia Q < O, y en consecuencia la imagen O Q no resulta paralela al objeto, sino que tiene una cierta inclinación, por lo que no se puede recoger nítidamente en una pantalla perpendicular al eje óptico, ubicada en el punto O : sólo la parte inerior del objeto se vería nítida, mientras que el resto se vería algo diuso. Al desplazar la pantalla hacia el centro de curvatura C empieza a notarse más nitidez en las otras partes del objeto, pero se pierde en la parte inerior. Esta distorsión se conoce como aberración de campo. 43

13 PARTE EXPERIMENTAL El montaje experimental consistirá en un banco óptico sobre el que se coloca una uente de luz blanca, una diapositiva que sirve como objeto y que contiene una igura con orma determinada como una L o, las lentes y una pantalla con un papel milimetrado superpuesto, en cuya parte posterior hay un espejo plano. e le entregará una cajita con todos los lentes y diapositivas que necesite, NUNCA DEBE INTERCAMBIARLO CON LO DE OTRO ALUMNO, ya que ueron previamente escogidos para que no pierda tiempo buscando las parejas de lentes. DITANCIA FOCAL DE UNA LENTE CONVERGENTE.a. Haga una estimación de la distancia ocal de una lente convergente tratando, de enocar en el piso la imagen de una uente lejana como las lámparas del techo y midiendo la distancia de la lente al piso. Esto es sólo una estimación, ya que para que la medida sea correcta, el objeto debería estar en el ininito..b. Coloque la lente sobre el banco óptico. Como objeto utilizará diapositivas que poseen iguras en orma de L o de lecha cuya altura z debe medir cuidadosamente..c. Para una posición determinada de la pantalla busque, variando la posición de la lente, las dos imágenes ormadas y mida las correspondientes distancias objeto e imagen de los pares conjugados (, ), así como la altura z de las imágenes respectivas. Note que los valores de los pares correspondientes a la primera y a la 44

14 segunda imagen deberían estar permutados. Repita el proceso para tres posiciones dierentes adicionales de la pantalla..d. Determine el valor promedio de la distancia ocal de la lente a partir del conjunto de valores anteriores {, } utilizando tanto el método analítico (orma gaussiana de la ecuación de las lentes) como los dos métodos gráicos..e. Para cada imagen obtenga el aumento m respectivo como el cociente entre la altura z de la imagen y la altura z del objeto. Recuerde que si la imagen está invertida, su altura es negativa. Compare cada resultado con el valor correspondiente /... ustituya la pantalla por un espejo y la diapositiva por un aliler. Utilice el método del espejo para obtener directamente la distancia ocal de la lente. Determine el error experimental desplazando la lente y midiendo el intervalo en el cual es posible observar la imagen con nitidez..g. Discuta las ventajas y desventajas de los cuatro métodos utilizados para determinar la distancia ocal de la lente..h. Obtenga un valor inal promedio de la distancia ocal de la lente. Mida los radios de curvatura con el eserómetro y halle el índice de reracción del vidrio usado en la lente.. DITANCIA FOCAL DE UNA LENTE DIVERGENTE.a. Adose la lente divergente a una lente convergente de distancia ocal conocida. Determine, tratando de enocar en el piso la imagen de la lámpara en el techo, si el sistema es convergente, y estime la distancia ocal del sistema. En caso de no resultar convergente, pruebe con otra lente convergente. 45

15 .b. Determine la distancia ocal del sistema convergente-divergente por cualquiera de los métodos usados en el primer experimento..c. Calcule la distancia ocal de la lente divergente. 3. ABERRACIONE 3.a. Coloque nuevamente la igura en orma de L o como objeto. Para alguna posición de la pantalla, busque la imagen con la máxima nitidez posible. Desplazando ahora la pantalla, determine el rango en la posición imagen en la cual la imagen se observa nítida. 3.b. Repita el punto anterior tapando primero la zona central de la lente, y luego, la zona lateral. 3.c. Discuta los resultados obtenidos en los dos puntos anteriores. CONOCIMIENTO PRELIMINARE Antes de realizar la práctica el estudiante debe tener claro los siguientes conceptos: 0 Todo lo relacionado en la práctica de Óptica Geométrica con relexión y reracción de la luz, lentes y espejos. 0 Formación gráica de imágenes creadas por lentes convergentes y divergentes. Reglas para construcción geométrica. Aumento. 03 istemas de lentes. Focos de un sistema. istemas adosados. 04 Métodos estimados, analíticos y gráicos para la determinación de distancias ocales. 46