1 Operaciones con matrices

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1 Grado Finanzas y Contabilidad Curso 04/05 Operaciones con matrices y vectores. Operaciones con matrices Podemos entrar matrices desde el menú de Maxima: Algebra introducir una matriz Luego aparece una ventana donde hay que precisar el numero de filas y colmnas y se puede dar un nombre a la matriz. Aqui vamos a introducir dos matrices A y B de tamaño 4x, así que la matriz C de tamaño x. (%i) (%o) (%i) (%o) (%i4) (%o4) A: matrix( [,,], [,0,-], [-,5,], [,,] 0 5 B: matrix( [,4,0], [7,8,-], [,,5], [,0,] C: matrix( [-,,4], [,0,5], [-7,5,] Hagamos la suma de las dos matrices anteriores. Para ello, escribe:

2 (%i) (%o) A+B; La siguiente operación no se puede efectuar, al no ser las matrices del mismo orden. Observa el mensaje de error que muestra el programa Maxima, y que en la salida aparece la operación sin hacer. (%i5) A+C; fullmap foundargumentswithincompatiblestructure. anerror.t odebugthistry : debugmode(true El producto de un escalar por una matriz se escribe de manera natural, usando el asterisco (*), como se muestra a continuación: (%i6) (%o6) /*A; 0 5 Para realizar el producto de dos matrices hay que utilizar un punto (.) entre ambas. Por ejemplo: (%i7) (%o7) (%i8) (%o8) A.C; B.C; Nunca debe usar ni asterisco (*) ni espacio en blanco para indicar un producto de matrices. Veamos qué ocurre en el anterior ejemplo: (%i) A*C; fullmap foundargumentswithincompatiblestructure. anerror.t odebugthistry : debugmode(true

3 Ejercicio. Dadas las siguientes matrices 6 5 M = y M = 0, 7 4 calcula, si es posible, las siguientes operaciones: (a) (M - I4). M, donde I4 es la matriz identidad de orden 4 (b) 5*M (c) M - M Inversa, traspuesta y determinante de una matriz La inversa, traspuesta y determinante de una matriz se pueden calcular, o bien desde el menu pestaña Algebra, o directamente : transpose(matriz) halla la matriz traspuesta. (%i) transpose(a (%o) 0 5 determinant(matriz) calcula el determinante. invert(matriz) calcula la inversa de la matriz (%i) determinant(c (%o) (%i4) invert(c (%o4) Ejercicio. Dadas las matrices M y M del ejercicio, calcula, si es posible, las siguientes matrices:

4 (a) Traspuesta de M. (b) Determinante de M y determinante de la traspuesta de M, qué relación hay entre ambos determinantes? (c) Inversa de M. Reducción por filas. Rango de una matriz Con frecuencia, al tratar problemas en los que intervienen matrices, es útil hacer transformaciones elementales por filas. Esto se consigue con la orden echelon(matriz). Veamos cómo funciona: (%i5) echelon(a 0 (%o5) Ahora, podemos aprovechar este cálculo para determinar el rango de una matriz. En nuestro ejemplo, apreciamos que se obtiene una matriz equivalente a la original con dos filas no nulas, lo que indica que el rango es. Tambien se puede averguar el rango de una matriz con la orden rank(matriz) (%i6) rank(a (%o6) Ejercicio. Reduce por filas las matrices M y M del ejercicio. A partir de este cálculo, halla el rango de M y M. 4 Resolución de Sistemas Podemos resolver un sistema de ecuaciones desde el menú de Maxima: Ecuaciones resolver un sistema lineal Por ejemplo Ejemplos: Vamos a discutir y resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales: (a) x+y+z= x-y-z=5 x+y-z=4 4

5 (b) x+y+z= x-z=0 x+y=4 (c) x+y+z= x-y-z=5 x-z=8 Empezamos con el primero: (%i9) linsolve([x+y+z=0, x-y-*z=5, x+*y-z=4], [x,y,z] (%o9) [x = 7, y = 7, z = 7 ] Observe que el sistema tiene solución única, por tanto es compatible determinado. Veamos qué ocurre con el segundo sistema: (%i8) linsolve([x+y+z=, x-z=0, *x+y=4], [x,y,z] (%o8) [] La anterior salida nos indica que el sistema no tiene solución, es decir, se trata de un sistema incompatible. Estudiemos por último el tercer sistema: (%i0) linsolve([x+y+z=, x-y-*z=5, *x-z=8], [x,y,z] solve : dependentequationseliminated : () (%o0) [x = %r + 8, y = %r +, z = %r] Observamos en este caso que las soluciones del sistema aparecen en función de la variable r, esto es, z actúa como un parámetro y el sistema es por tanto compatible indeterminado. Ejercicio 4. Discute y resuelve, si es posible, los siguientes sistemas de ecuaciones : (a) x+y+z= x-y+z=0 x+z=4 (b) x+y+z= x-y+z=0 x+z= 5

6 (c) x+y+z= x-y+z=0 x+y-z= 5 Cálculo de los valores propios. Si queremos calcular os valores propios de una matriz, o bien desde el menu : Algebra Calcular valores propios o bien con la orden eigenvalues(matriz). Por ejemplo, si la matriz es (%i) A: matrix( [,,0], [,0,0], [,0,] (%o) (%i) eigenvalues(a (%o) [[4,, ], [,, ]] La celdilla de salida me muestra que la matriz A tiene tres valores propios reales y distintos que son l= 4, l= y l=- con la multiplicidad. Consideremos ahora otro ejemplo. (%i5) B: matrix( [,], [-,] ( ) (%o5) (%i6) eigenvalues(b (%o6) [[ i, i + ], [, ]] Estos valores propios son los números complejos (-i) y (+i). No son números reales. Por tanto, B no es una matriz diagonalizable. Ejercicio 5 Dada la matriz A = ( ), 4 6

7 se pide a)calcula los valores propios de A y de la traspuesta de A. relación existe entre estos valores propios? Qué b) Calcula los valores propios de A y de la inversa de A. Qué relación hay con los valores propios de A? 6 Cálculo de vectores propios. Si queremos calcular os valores propios de una matriz, o bien desde el menu: Algebra rightarrow Calcular vectores propios o bien con la orden eigenvectors(matriz). Por ejemplo (%i7) eigenvectors(a (%o7) [[[4,, ], [,, ]], [[[,, ]], [[,, ]], [[0, 0, ]]]] La anterior celdilla de salida nos da por filas los vectores propios de A colocados en el mismo orden en el que nos ha dado los valores propios. Es decir, el vector (, /, /) es un vector propio asociado a l=4,, (,-,-/) es un vector propio asociado al l= - y, por último el vector (0, 0, ) es un vector propio asociado a l=. Vemos otro ejemplo : (%i8) B: matrix( [,,0], [0,,], [0,0,] (%o8) (%i9) eigenvectors(b (%o9) [[[], []], [[[, 0, 0]]]] En esta lista aparece el número repetido tres veces, por tanto el valor propio es l= con multiplicidad algebraica tres pero solo hay un único vector propio (,0,0). Por lo cual la matriz B no es diagonalizable. Consideremos, ahora, otro ejemplo 7

8 (%i0) C: matrix( [,-,0], [-,,0], [0,0,] 0 (%o0) (%i) eigenvectors(c (%o) [[[, ], [, ]], [[[,, 0]], [[,, 0], [0, 0, ]]]] De las celdillas de salida anteriores deducimos que la matriz F tiene un valor propio l= con multiplicidad algebraica uno y con vector propio asociado (,,0). El segundo valor propio es l= con multiplicidad algebraica dos y dos vectores propios asociados:(-,,0) y (0,0,). En este caso, la multiplicidad algebraica coincide con la geométrica y, aplicando el teorema fundamental de diagonalización, concluimos que la matriz F si es diagonalizable. Ejercicio 6. Calcula los valores propios y los vectores propios de la matriz G = A partir de los resultados obtenidos, es diagonalizable la matriz G? Razona la respuesta. 7 Diagonalización. Recordemos que dada una matriz cuadrada A se dice que es un matriz diagonalizable si es posible expresarla como el producto A = P D P^- donde D es una matriz diagonal y P es una matriz regular. En este caso, los elementos de la diagonal de la matriz D son los valores propios de A y cada columna de la matriz P es un vector propio de A. Por ejemplo, para la matriz inicial A, (%i) A; 0 (%o) Construimos la matriz diagonal, escribiendo en la diagonal los valores propios 8

9 (%i) D: matrix( [4,0,0], [0,-,0], [0,0,] (%o) Después formamos la matriz de paso, escribiendo como columnas los vectores propios que obtuvimos con la sentencia Eigenvectors en el mismo orden que los valores propios : (%i4) P: matrix( [,,0], [/,-,0], [/,-/,] 0 (%o4) 0 Por último, comprobamos que A = P DP. Para ello, calculamos P.D.P (%i5) P.D.invert(P 0 (%o5) y observamos que esta matriz coincide con la matriz A. Una de las ventajas de las matrices diagonalizables es que si A = P DP entonces A n = P D n P. Asi para calcular por ejemplo A 0 podemos utilizar la sentencia A^^0, y si la matriz es diagonalizable entonces también puede calcularse como P D 0 P. Vamos a comprobarlo: (%i6) A^^0; (%o6) (%i7) invert(p (%o7)

10 (%i40) P.(D^^0).invert(P (%o40) Ejercicio 7. Diagonaliza, si es posible, la matriz B = 5 Comprueba que B 50 = P D 50 P para las correspondientes matrices P y D. 0