TEMA II.- ÁLGEBRA DE BOOLE

Transcripción

1 TEMA II.- ÁLGEBRA DE BOOLE UN SISTEMA DE ELEMENTOS B Y DOS OPERACIONES BINARIAS CERRA- DAS ( ) Y (+) SE DENOMINA ALGEBRA DE BOOLE SIEMPRE Y CUANDO SE CUMPLAN LAS SIGUIENTES PROPIEDADES: PROPIEDAD CONMUTATIVA: A + B = B + A A B = B A PROPIEDAD DISTRIBUTIVA: A + (B C) = (A + B) (A + C) A (B + C) = A B + A C ELEMENTOS NEUTROS DIFERENTES: A + 0 = A A 1 = A SIEMPRE EXISTE EL COMPLEMENTO DE A, DENOMINADO A O A A + A = 1 A A = 0

2 PRINCIPIO DE DUALIDAD: CUALQUIER TEOREMA O IDENTIDAD ALGEBRAICA DEDU- CIBLE DE LOS POSTULADOS ANTERIORES PUEDE TRANSFORMARSE EN UN SEGUNDO TEOREMA O IDENTIDAD VÁLIDA SUSTITU- YENDO 1 S POR 0 S Y (+) POR ( ) CONSTANTE: CUALQUIER ELEMENTO DEL CONJUNTO B VARIABLE: SÍMBOLO QUE REPRESENTA UN ELEMENTO ARBITRARIO DEL ÁLGEBRA, YA SEA CONSTANTE O UNA FÓRMULA TEOREMA 1: EL ELEMENTO COMPLEMENTO, A, ES ÚNICO TEOREMA DE LOS ELEMENTOS NULOS: PARA CADA ELEMENTO DE B, SE VERIFICA: A + 1 = 1 A 0 = 0 TEOREMA 3: CADA ELEMENTO IDENTIDAD ES EL COMPLEMENTO DEL OTRO TEOREMA DE IDEMPOTENCIA: PARA CADA ELEMETO DE B, SE VERIFICA: A + A = A A A = A

3 TEOREMA DE INVOLUCIÓN: PARA CADA ELEMENTO DE B, SE VERIFICA: (A ) = A TEOREMA DE ABSORCIÓN: PARA CADA PAREJA DE ELEMENTOS DE B, SE VERI- FICA: A + A B = A A (A + B) = A TEOREMA 7: PARA CADA PAREJA DE ELE- MENTOS DE B, SE VERIFICA: A + A B = A + B A (A + B) = A B LEYES DE DEMORGAN: PARA CADA PAREJA DE ELEMENTOS DE B, SE VERIFICA: (A + B) = A B (A B) = A + B LEYES DE DEMORGAN GENERALIZADAS: PARA CADA CONJUNTO DE B, SE VERIFICA (A+B+...+Q) = A B... Q (A B... Q) = A +B +...+Q TEOREMA DE ASOCIATIVIDAD: CADA UNO DE LOS OPERADORES BINARIOS (+) Y ( ) CUMPLEN LA PROPIEDAD ASOCIATIVA A+(B+C) = (A+B)+C A (B C) = (A B) C

4 ÁLGEBRA DE CONMUTACIÓN: UN SISTEMA DE ELEMENTOS B={0,1} Y LOS OPERADO- RES DEFINIDOS DE LA SIGUIENTE FORMA A B A+B A B A ES UN ÁLGEBRA DE BOOLE OPERADOR + --> OPERADOR OR OPERADOR --> OPERADOR AND OPERADOR --> OPERADOR NOT FUNCIÓN COMPLETA: UNA FUNCIÓN QUE SE ENCUENTRA DEFINIDA PARA TODAS LAS COMBINACIONES DE LAS VARIABLES DE ENTRADA TABLA DE COMBINACIONES: FORMA DE REPRESENTAR FUNCIONES X 1 X 0 F(X 1,X 0 ) 0 0 F(0,0) 0 1 F(0,1) 1 0 F(1,0) 1 1 F(1,1)

5 FÓRMULAS DE CONMUTACIÓN: EXPRESIÓN DE UNA FUNCIÓN DE CONMU- TACIÓN. 1 Y 0 SON FÓRMULAS DE CONMUTACIÓN X I ES UNA FÓRMULA SI PERTENECE A {0,1} SI A ES UNA FÓRMULA, A TAMBIÉN LO ES SI A Y B SON FÓRMULAS, A+B Y A B LO SON NADA MÁS ES UNA FÓRMULA A MENOS QUE SIGAN LOS PUNTOS ANTERIORES EN UN NÚMERO FINITO DE PASOS. TEOREMA 11: CADA FÓRMULA DESCRIBE UNA ÚNICA FUNCIÓN DOS FÓRMULAS, A Y B, SON EQUIVALENTES (A=B) SI DESCRIBEN LA MISMA FUNCIÓN DE CONMUTACIÓN TÉRMINO PRODUCTO: OPERACIÓN AND DE UN NÚMERO DE LITERALES FÓRMULA NORMAL DISYUNTIVA: SUMA DE TÉRMINOS PRODUCTOS

6 TÉRMINO SUMA: OPERACIÓN OR DE UN NÚMERO DE LITERALES FÓRMULA NORMAL CONJUNTIVA: PRODUCTO DE TÉRMINOS SUMA MINTÉRMINO (m i ): TÉRMINO PRODUCTO EN EL QUE APARECEN TODAS LAS VARIABLES, YA SEAN COMPLEMENTADAS O SIN COMPLEMENTAR FÓRMULA CANÓNICA DISYUNTIVA O DE MINTÉRMINOS: SUMA DE MIN- TÉRMINOS TEOREMA 12: DADA LA LISTA COMPLETA DE MINTÉRMINOS Y ASIG- NANDO 1 S Y 0 S ARBITRARIAMENTE A LAS VARIABLES, SIEMPRE HAY UN Y SÓLO UN MINTÉRMINO QUE TOMA EL VALOR 1. TEOREMA 13: LA FÓRMULA COMPUESTA POR TODOS LOS MINTÉRMINOS SERÁ IDÉNTICAMENTE 1.

7 TEOREMA 14: CADA FUNCIÓN PUEDE EXPREASRSE COMO SUMA DE MIN- TÉRMINOS TEOREMA 15: LA FÓRMULA DE MINTÉRMINOS ES ÚNICA PRIMER TEOREMA DE EXPANSIÓN: SIEMPRE SE VERIFICA: F(X 1,...,X N ) = X 1 F(1,...,X N ) + X 1 F(0,...,X N ) TEOREMA 17: CADA FUNCIÓN COMPLETA PUEDE EXPRESARSE COMO: F(X 1,...,X N ) = Σ i F(i) m i (X 1,...,X N ) F(X,Y,Z) = X Y Z+X Y Z +X Y Z = m 7 + m 2 + m 0 MAXTÉRMINO (M I ): TÉRMINO SUMA EN EL QUE APARECEN TODAS LAS VARIABLES, YA SEAN COMPLEMENTADAS O SIN COMPLEMENTAR FÓRMULA CANÓNICA CONJUNTIVA O DE MAXTÉRMINOS: PRODUCTO DE MAXTÉRMINOS

8 TEOREMA 18: DADA LA LISTA COMPLETA DE MAXTÉRMINOS Y ASIG- NANDO 0 S Y 1 S ARBITRARIAMENTE A LAS VARIABLES, SIEMPRE HAY UN Y SÓLO UN MAXTÉRMINO QUE TOMA EL VALOR 0. TEOREMA 19: LA FÓRMULA COMPUESTA POR TODOS LOS MAXTÉRMINOS SERÁ IDÉNTICAMENTE 0. TEOREMA 20: CADA FUNCIÓN PUEDE EXPRESARSE COMO PRODUCTO DE MAXTÉRMINOS TEOREMA 21: LA FÓRMULA DE MAXTÉRMINOS ES ÚNICA SEGUNDO TEOREMA DE EXPANSIÓN: SIEMPRE SE VERFICA: F(X 1,...,X N )=[X 1 +F(0,...,X N )] [X 1 +F(1,...,X N )] TEOREMA 23: CADA FUNCIÓN COMPLETA PUEDE ESCRIBIRSE COMO: F(X 1,...,X N ) = Π i [F(i)+M(X 1,...,X N )] F(X,Y,Z) = (X +Y +Z ) (X+Y +Z) (X+Y+Z) = M 7 M 2 M 0

9 TEOREMA 24: EL COMPLEMENTO DE UNA FÓRMULA DE MINTÉRMINOS ESTÁ FORMADO POR LA SUMA DE LOS MINTÉRMINOS QUE NO APARECEN TEOREMA 25: EL COMPLEMENTO DE UNA FÓRMULA DE MÁXTERMINOS ESTÁ FORMADO POR EL PRODUCTO DE LOS MAXTÉRMINOS QUE NO APA- RECEN TEOREMA 26: m i = M i Y M i = m i LA TRANSFORMACIÓN DE UNA FÓRMULA DE MINTÉRMINOS (EN GENERAL DISYUNTIVA) EN OTRA DE MAXTÉRMINOS (EN GENERAL CONJUNTVA) SE BASA EN LA DOBLE COMPLEMENTACIÓN, (F ) = F CRITERIOS DE MINIMALIDAD: MENOR NÚMERO DE VARIABLES MENOR NÚMERO DE TÉRMINOS MENOR VALOR ASOCIADO: Nº TÉRMINOS + Nº VARIABLES - Nº TÉRMINOS CON UN SOLO LITERAL -1

10 FUNCIONES INCOMPLETAS: FUNCIONES QUE NO ESTÁN DEFINIDAS PARA TODAS LAS COMBINACIONES DE LAS VARIABLES DE ENTRADA FUNCIÓN COMPLETA CON TODAS LAS INESPECIFICACIONES A 0 FUNCIÓN INESPECIFICACIÓN COMPLEMENTO DE UNA FUNCIÓN INCOMPLETA: OTRA FUNCIÓN INCOM- PLETA CON LA MISMA FUNCIÓN INESPECIFIFCACIÓN Y EL COMPLE- MENTO DE LA FUNCIÓN COMPLETA LAS FÓRMULAS DE MINTÉRMINOS Y MAXTÉRMINOS DE LAS FUNCIONES INCOMPLETAS NO SON ÚNICAS

11 ARITMÉTICA BINARIA SUMA BINARIA: A B SUMA ACARREO <-- ACARREO > > > RESTA BINARIA: A B RESTA DESBORDAMIENTO > <-- DESBORDAMIENTO >

12 COMPLEMENTO A DOS: NÚMERO BINARIO NEGA- TIVO INVERSIÓN DEL NÚMERO Y SUMAR 1 2 (1011) --> = 0101 DESDE LA DERECHA, BUSCAR EL PRIMER 1, Y A PARTIR DEL SIGUIENTE INVERTIR EL RESTO DE BITS. 2 (1011) --> 0101 OPERACIONES DE DESPLAZAMIENTO DESPLAZAMIENTO DE N DÍGITOS A LA IZQUIERDA (AÑADIENDO CEROS EN CASO NECESARIO) ES IGUAL QUE MULTIPLICAR POR 2 N DESPLAZAMIENTO DE N DÍGITOS A LA DERE- CHA (AÑADIENDO CEROS EN CASO NECESA- RIO) ES IGUAL QUE MULTIPLICAR POR 2 -N O DIVIDIR POR 2 N MULTIPLICACIÓN BINARIA: A B A B SE MULTIPLICA DÍGITO A DÍGITO Y SE REALI- ZAN LAS SUMAS SUCESIVAS:

13 DIVISIÓN BINARIA: MEDIANTE ALGORITMO ALINEAR EL DIVISOR CON LA PARTE MÁS IZQUIERDA DEL DIVIDENDO (QUE SEA MAYOR QUE EL DIVISOR) AL COCIENTE SE LE AÑADE UN 1. BAJA EL SIGUIENTE DÍGITO DEL DIVIDENDO AL RESULTADO DE LA RESTA 0 < RESTA < : AL COCIENTE SE LE AÑADE UN 0. BAJA EL SIGUIENTE DÍGITO DEL DIVIDENDO AL RESULTADO DE LA RESTA ANTERIOR