CURSO INTRODUCTORIO DE PROBABILIDAD. Universidad Carlos III de Madrid

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1 CURSO INTRODUCTORIO DE PROBABILIDAD Raúl Jiménez y Haydée Lugo Universidad Carlos III de Madrid Septiembre 2009

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3 Índice general Prefacio 5 1. Conceptos básicos Espacios de probabilidad Probabilidad condicional Independencia Espacios equiprobables Problemario I Variables aleatorias discretas Definición y ejemplos Vectores aleatorios discretos Independencia de variables aleatorias discretas Funciones de vectores aleatorios Esperanza Esperanza Condicional Problemario II Variables aleatorias continuas Variables aleatorias continuas Esperanza y funciones de variables aleatorias Densidad conjunta y densidades marginales Independencia de v.a. continuas Cambio de variable y aplicaciones Propiedades de la esperanza Densidad y esperanza condicional Extremos y sumas de variables independientes Problemario III

4 4 ÍNDICE GENERAL 4. Convergencia y funciones generatrices Desigualdad de Chebyshev y Ley de Grandes Números Función generatriz de momentos Función característica Convergencia en distribución y Teorema Central del Límite Problemario IV

5 Prefacio Estas notas no pretenden sustituir los excelentes libros de introducción a la probabilidad que he usado para enseñar a estudiantes de ingeniería y matemáticas de la Universidad Simón Bolívar y a estudiantes de estadística e ingeniería de la Universidad Carlos III de Madrid. Ha sido un verdadero placer basar mis lecciones en los libros de Grimmett y Welsh 1 y Durrett 2. Estos libros son totalmente autocontenidos y un buen estudiante podría prescindir de un profesor para aprender lo que necesite. La intención de estas notas es distinta. Por un lado, proponen un esquema eficiente para un curso de un trimestre o un cuatrimestre para estudiantes que ya manejen el cálculo en varias variables. Por otro, ofrecen al estudiante y al profesor una tabla de contenido ampliada que sirve de guía para un curso sin que sustituya el material que se va a discutir en el pizarrón de clase o el que se debe leer en los libros de referencia. Las notas están organizadas en cuatro capítulos, cada uno puede cubrirse aproximadamente en tres semanas de clases, con dos sesiones por semana (incluyendo sesiones de prácticas). Si el curso es de un trimestre (12 semanas) las secciones 4.2 y 4.3 deberían omitirse y emplear el tiempo que se les hubiera dedicado para evaluaciones y pequeños repasos. Si el curso es de un cuatrimestre (14 semanas) se puede cubrir todo el contenido. Mi recomendación es hacer una evaluación rápida (quiz) al finalizar el Captulo 1 y dos exámenes, uno sobre los dos primeros capítulos y otro sobre los dos últimos. La experiencia me ha demostrado que separar el tema discreto del continuo ayuda al desarrollo y evaluación del curso. Los conceptos y resultados más importantes están resaltados en negro en el texto, en forma de fórmulas numeradas o incluídos en definiciones y teoremas (generalmente con nombres) o en proposiciones numeradas. Las demostraciones no están necesariamente incluídas, aunque muchas se incluyen por o bien considerar que ayudan al discurso de las notas o bien por que la versión que aquí se enseña es mejor que la estándar en este tipo de cursos. La idea es que las notas sean un 5

6 6 ÍNDICE GENERAL material ligero y manipulable, así que se requiere que el profesor demuestre y que el estudiante complete lo que hagan falta. Me comprometo con los lectores en ir llenando poco a poco las notas con la intención de hacerlas aún más autocontenidas, sin que esto modifique la inteción original que tienen. En particular, espero pronto ofrecer soluciones y actualizaciones de algunos ejercicios propuestos así cómo ampliar la gama de ejemplos. Mi premura en ofrecer esta vesión beta es para remplazar unas notas excesivamente rudimentarias e incompletas que yo usaba para mis clases y que se han ido reproduciendo espontáneamente por algunos estudiantes. Estas notas tienen los típicos errores de cut and paste que siempre corregía al pizarrón y me avergüenza que sigan circulando por ahí con mi nombre. Las actualizaciones de las notas pueden obtenerse en forma libre en mi página web Raúl Jiménez Madrid, 2009 Referencias 1. Grimmett, G. y D. J. A. Welsh. Probability: An introduction. Oxford University Press, Oxford (la primera impresión es de 1986 y existen diversan reimpresiones con correcciones desde entonces hasta la del 2003). 2. Durrett R. Essentials of Probability. Duxbury Press, Belmont CA (1993, ahora fuera de prensa para ser reemplazado por Elementary Probability for Applications, versiones PDF se pueden encontrar en la página del autor durrett)

7 Capítulo 1 Conceptos básicos Muchos de los eventos que estamos acostumbrados a observar no pueden ser predeterminados. Por ejemplo, cuánto variará el euro respecto al dólar de hoy a una semana?, cuánto lloverá durante el próximo mes?. El escenario dispuesto para observar lo que está por ocurrir se denomina experimento aleatorio. Los juegos de azar nos brindan ejemplos clásicos de experimentos aleatorios. Aunque los objetos que estudiemos con la teoría de probabilidades estén siempre asociados a un determinado experimento aleatorio, los presentamos en un contexto matemático muy general y útil para la modelación de cualquier escenario Espacios de probabilidad El conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio es llamado espacio muestral y comúnmente denotado por la letra Ω. Otros conjuntos de interés de posibles resultados son llamados eventos y denotados por letras mayúsculas, generalmente las primeras del abecedario. A lo largo de estas notas se hace uso intensivo de operaciones con conjuntos, es por ello que conviene recordar algunos conceptos básicos, tales como: Conjunto vacío. Conjunto numerable, infinito numerable y no numerable. Unión, intersección y diferencia de conjuntos. Complemento y partición de un conjunto. 7

8 8 CAPÍTULO 1. CONCEPTOS BÁSICOS Diagramas de Venn. Leyes distributivas y leyes de Morgan. Dado un experimento aleatorio, la clase F de todos los eventos o conjuntos de interés debe tener ciertas propiedades (razonables): (I) El espacio muestral es un conjunto de interés, Ω F. (II) Si un conjunto es de interés su complemento también lo es, si A F entonces A c F. (III) La unión de una colección contable de eventos es un evento de interés, si A 1,A 2,... son eventos de F entonces n 1 A n F. Una clase de eventos que satisface las tres propiedades anteriores se denomina σ-álgebra. Es fácil comprobar que si F es una σ-álgebra entonces cumple propiedades tales como: (I ) /0 F. (II ) Si A,B F entonces A B F. (III ) Si A 1,A 2,... son eventos de F entonces n 1 A n F. Aún más general, se puede demostrar que F es cerrada bajo operaciones numerables de conjuntos. Uno de nuestros objetivos es medir el chance de que eventos asociados a un experimento aleatorio ocurran: cuál es el chance de que llueva más este otoño que el pasado?, cuál es el chance de que el euro retroceda ante el dólar?, cuál es el chance de ganar un juego de póker?. Una medida de probabilidad es una función que asigna a cada evento el chance o probabilidad que tiene de ocurrir al observar un experimento aleatorio. Si asignamos a los eventos que no tienen chance de ocurrir probabilidad 0 y a los eventos que tienen chance seguro de ocurrir probabilidad 1, entonces una medida

9 1.1. ESPACIOS DE PROBABILIDAD 9 de probabilidad es una función P : F [0, 1] que debe satisfacer las siguientes propiedades: P(Ω) = 1, (1.1) Si A 1,A 2,... son eventos disjuntos de F, es decir si A i A j = /0 para todo i j, entonces P( n 1 A n ) = P(A n ) (1.2) n 1 Esta última propiedad es conocida como σ-aditividad y es natural exigírsela a casi cualquier medida: área, volúmen, etc. La idea subyacente es que toda medida debe permitir medir por partes. A partir de (1.1) y (1.2) las siguientes propiedades de las medidas de probabilidad pueden (y deben) ser demostradas todas de manera directa: P1. P(/0) = 0 P2. Aditividad: Si A 1,A 2,...,A n son eventos disjuntos, entonces P( n i=1 A i) = n i=1 P(A i ) P3. P(A c ) = 1 P(A) P4. P(B A) = P(B) P(B A) P5. Si A B entonces P(B A) = P(B) P(A) P6. Monotonía: Si A B entonces P(A) P(B) P7. P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) P8. Subaditividad: P( n 1 A n ) n i=1 P(A i) Otras propiedades que se demuestran con un poco más de trabajo (el profesor puede escoger un par de ellas, recomendamos P10 y P11) son:

10 10 CAPÍTULO 1. CONCEPTOS BÁSICOS P9. Fórmula de inclusión exclusión: P( n i=1 A i) = n i=1 n + i< j<k P(A i ) n i< j P(A i A j ) P(A i A j A k ) + ( 1) n+1 P( n i=1 A i) Note que el caso n = 2 corresponde a P7. El caso n = 3 se requiere para resolver varios ejercicios. P10. σ-subaditividad: Para cualquier sucesión de eventos, no necesariamente disjuntos, P( n 1 A n ) P(A n ) n 1 P11. Continuidad por la izquierda: Si A 1,A 2,... es una sucesión creciente de eventos, es decir, para cualquier n se verifica que A n A n+1, entonces P( n 1 A n ) = lím n P(A n ) P12. Continuidad por la derecha: Si A 1,A 2,... es una sucesión decreciente de eventos, es decir, para cualquier n se verifica que A n+1 A n, entonces P( n 1 A n ) = lím n P(A n ) Dado un espacio muestral Ω, una σ-álgebra F de subconjuntos de Ω y una medida de probabilidad P : F [0,1], la terna (Ω,F,P) es llamada espacio de probabilidad Probabilidad condicional Información adicional, no contemplada, de un experimento puede modificar el escenario de tal forma que la probabilidad que le hayamos dado a un evento puede variar. Por ejemplo, la probabilidad que le hayamos dado a que el euro se revalorizará frente al dólar durante la próxima semana cambiará si sabemos que acaba de ocurrir una caída importante en Wall Street. En general, consideremos

11 1.2. PROBABILIDAD CONDICIONAL 11 que A y B son eventos que ocurren con probabilidad P(A) y P(B). Si sabemos que B ha ocurrido la probabilidad de que A ocurra no tiene por que seguir siendo P(A), ya que A ocurrirá sí y sólo sí A B ocurre. Lo anterior sugiere que, dado que B ocurre, la probabilidad de A es proporcional a P(A B). Ya que, dado que B ocurre, B en un evento seguro, la constante de proporcionalidad a la que hacemos referencia debe ser 1/P(B). La siguiente definición pone orden al trabalenguas anterior. Definición (Probabilidad Condicional). Sean A, B eventos con P(B) > 0, entonces la probabilidad condicional de A dado B se denota por P(A B) y se define por P(A B) P(A B) =. P(B) Para cada evento A, P(A B) es un número positivo, es decir, la probabilidad condicional establece un correspondencia entre los eventos y los números reales positivos. Más específicamente, la probabilidad condicional es una medida de probabilidad. Proposición 1. Sea B un evento con P(B) > 0, entonces (i) Para todo evento A, 0 P(A B) 1 (ii) P(Ω B) = 1 (iii) Si A 1,A 2,... son eventos disjuntos entonces P( n 1 A n B) = P(A n B) n 1 Por la proposición anterior, todas las propiedades que satisfacen las medidas probabilidad también las satisface la probabilidad condicional. Por ejemplo, la probabilidad condicional es monótona, subaditiva, continua por la derecha y por la izquierda. La probabilidad condicional brinda una importante fórmula para el cálculo de probabilidades, cuando se tiene una partición apropiada del espacio muestral. Una partición de un conjunto A es una sucesión de eventos disjuntos B 1,B 2,... cuya unión sea A.

12 12 CAPÍTULO 1. CONCEPTOS BÁSICOS Fórmula de probabilidad total. Sea B 1,B 2,... una partición del espacio muestral, Supongamos que P(B i ) > 0 para i 1. Entonces, para cualquier evento A, P(A) = P(A B i )P(B i ). (1.3) i 1 La aplicación de esta fórmula se basa en la apropiada escogencia de la partición, de manera que P(A B i ) sea sencillo de calcular. Comúnmente esta fórmula simplifica engorrosos cálculos. Ejemplo. Se tienen dos cajas. La primera tiene b 1 bolas blancas y r 1 rojas. La segunda caja tiene b 2 bolas blancas y r 2 rojas. Si se pasa una bola al azar de la primera caja a la segunda y luego se extrae un bola al azar de la segunda caja, use la fórmula de probabilidad total para calcular la probabilidad de extraer una bola blanca de la segunda caja. Son comunes las situaciones en las que se tiene conocimiento preciso, o al menos información estadística, acerca de P(A B) cuando en realidad se requiere conocer P(B A). La siguiente es una sencilla y poderosa fórmula, que relaciona ambas probabilidades. Fórmula de Bayes. Sean A y B eventos con probabilidad no nula, entonces P(B A) = P(A B)P(B) P(A) (1.4) Ejemplo. Continuando con el ejemplo anterior, use la fórmula de Bayes para calcular la probabilidad de haber pasado una bola roja de la primera caja a la segunda caja cuando la que se extrajo de la segunda caja fue blanca. Otra fórmula de mucha utilidad para cálculo de probabilidades, cuando se consideran experimentos secuenciales que son modelados a través de árboles de decisión, es la llamada fórmula de multiplicación: Fórmula de multiplicación. Sean A 1,A 2,...,A n eventos con probabilidad no nula. Entonces, para n 2, P( n i=1 A i) = P(A 1 )P(A 2 A 1 ) P(A n n 1 i=1 A i) (1.5)

13 1.3. INDEPENDENCIA Independencia La noción de independencia en teoría de probabilidades está tomada de su significado cotidiano. En general, decimos que un par es independiente cuando el resultado de las acciones de uno no afecta en el resultado las acciones del otro. En términos probabilísticos, diremos que dos eventos son independientes si la ocurrencia de uno de ellos no afecta la probabilidad de ocurrecia del otro. Es decir, A es independiente de B si P(A B) = P(A) Para que la ecuación anterior esté bien definida, es necesario que P(B) > 0, en cuyo caso, podemos reescribir la ecuación como P(A B) = P(A)P(B) De esta última ecuación podemos observar que: La independencia es recíproca, esto es, si A es independiente de B entonces B es independiente de A. La condición P(B) o P(A) > 0 no es requerida. Ahora estamos en capacidad de definir formalmente la independencia e interpretarla. Independencia de dos eventos. Decimos que el par de eventos A, B son independientes respecto a P si P(A B) = P(A)P(B) (1.6) Cómo generalizar la noción de independencia de una par de eventos a una familia?. Pues igual que en el sentido cotidiano: Para que una familia sea independiente cualquier subgrupo debe serlo, no basta que sean independientes por pares o que lo sea un subgrupo en particular. Independencia de una Familia de Eventos. Decimos que la familia de eventos {A i,i I} es independiente si para cualquier J I P( i J A i ) = Π i J P(A i ) (1.7) Ejemplo. Considere Ω = {1, 2, 3, 4} y P({ω}) = 1/4 para todo ω Ω. Sean A = {1,2}, B = {1,3} y C = {1,4}. Note que la probabilidad de cada uno de estos

14 14 CAPÍTULO 1. CONCEPTOS BÁSICOS eventos es 1/2 y por tanto cada par de eventos son independientes. Por ejemplo, A y B son independientes ya que P(A B) = 1/4 = P(A)P(B). Sin embargo, P(A B C) = 1/4 P(A)P(B)P(C), y por tanto A,B y C no son independientes. Para determinar la no independencia (dependencia) de una familia de eventos basta verificar que la ecuación (1.7) no se cumple para un subgrupo particular (para algún J). Sin embargo, la independencia de una colección de eventos puede ser una propiedad dura de comprobar. Por ejemplo, para verificar por definición la independencia de apenas 10 eventos habría que verificar más de 1000 ecuaciones!. Afortunadamente, consideraremos muchos casos en que la independencia de una familia de eventos es una consecuencia directa de la manera en que son observados. El caso que queremos destacar trata de eventos asociados a repeticiones independientes de experimentos aleatorios, tales como lanzamientos sucesivos de un dado o una moneda. Si se tienen n experimentos independientes, en el sentido de que los resultados de unos no afectan los resultados de los otros, y A 1,A 2,... son eventos asociados al primer experimento, al segundo, etc., entonces A 1,A 2,... son independientes. Los siguientes dos resultados conciernen con sucesiones de eventos asociados a experimentos independientes. Proposición 2. Si A es un evento con probabilidad no nula de que ocurra asociado a un experimento. Si repetimos el experimento infinitas veces, entonces A ocurre alguna vez con probabilidad 1. Para demostrar este resultado aplicamos varias propiedades que hemos aprendido. Llamando A n el evento A ocurre en el nésimo experimento y p = P(A n ), usando P2, las leyes de Morgan, P12 y la independencia de A 1,A 2...,A m, obtenemos P(A ocurre alguna vez) = P( n 1 A n ) = 1 P([ n 1 A n ] c ) = 1 P( n 1 A c n) = 1 lím m P( m n 1 Ac n) = 1 lím m (1 p)m = 1

15 1.4. ESPACIOS EQUIPROBABLES 15 Proposición 3. Sean A y B son eventos mutuamente excluyentes, asociados a un experimento con probabilidad no nula de que ocurran. Entonces, si repetimos el experimento infinitas veces, A ocurre antes que B con probabilidad P(A ocurra antes que B) = Para probar esta proposición observemos que P(A) P(A) + P(B). P(A ocurra antes que B) = P(A ocurre antes que B en el experimento k) k 1 = [P(ni A ni B ocurren)] k P(A) k 0 = P(A) 1 P(ni A ni B ocurren) = 1 P(A) P(A B) = P(A) P(A) + P(B). Una elegante aplicación de la conjunción de este resultado con la fórmula de probabilidad total, que sugerimos que o bien el profesor o bien el estudiante demuestre, determina que la probabilidad de ganar en el juego de dados es ( ) = = 0,493. En el juego tiras los dados en una primera ronda. Si sale 7 o 11 ganas. Si sale 2, 3 o 12 pierdes. Si tiras 4, 5, 6, 8, 9 o 10 hay que seguir lanzando hasta que o bien repitas el número que lanzaste en la primera ronda o bien salga un 7. En el primer caso ganas, en el segundo pierdes Espacios equiprobables En muchos experimentos aleatorios; por ejemplo, en la mayoría de los juegos de azar; el cálculo de probabilidades puede reducirse a contar el número de elementos de un conjunto. Denotemos por A el número de elementos o cardinal del conjunto A. Si Ω es finito y todos los resultados del experimento tienen igual probabilidad de

16 16 CAPÍTULO 1. CONCEPTOS BÁSICOS ocurrencia decimos que el espacio es equiprobable. En ese caso, la probabilidad de un resultado cualquiera del experimento debe ser 1/ Ω, ya que P(Ω) = 1. Así, la probabilidad de un evento A de un espacio equiprobable es P(A) = A / Ω. A continuación, vamos a presentar dos esquemas elementales de conteo. Variaciones y Permutaciones. Sean E y F dos conjuntos finitos. Supongamos sin pérdida de generalidad que E = {1,2,..., p} y F = {1,2,...,n}. Denotemos por I p n el número de funciones inyectivas que van de E a F. Claramente, si p > n entonces I p n = 0. Si p n, podemos construir una función inyectiva f : E F usando el siguiente esquema recursivo: Empezamos seleccionando f (1) entre los n elementos pertenecientes a F. Una vez escogido f (1), existe n 1 posibles escogencias para f (2), ya que f (2) debe diferir de f (1) para que f sea inyectiva. Siguiendo este procedimiento, f (i) puede ser escogido entre los n (i 1) elementos F { f (1),..., f (i 1)}. En total, tenemos n(n 1)...(n p + 1) posibilidades para construir f. En resumen, si p n, el número de inyecciones de E a F es siendo n! el factorial de n, definido por para n 1 y 0! = 1. I p n = n(n 1)...(n p + 1) = n! (n p)!, n! = n (1.8) Varios problemas de conteo se reducen a calcular el número de funciones inyectivas entre dos conjuntos. Por ejemplo, de cuántas maneras podemos colocar p bolas enumeradas en n cajas?. Otro problema típico es: cuántos arreglos, o conjuntos ordenados, pueden construirse extrayendo sin reposición p elementos de un conjuntos con n elementos. La respuesta a ambas preguntas es I p n. El caso especial I n n = P n = n! es comunmente interpretado como el total de permutaciones de n elementos, lo cual no es más que el número de funciones biyectivas sobre un conjunto de n elementos.

17 1.4. ESPACIOS EQUIPROBABLES 17 Números Combinatorios. Sea F un conjunto con n elementos, a continuación vamos a responder la pregunta de cuántos subconjuntos de F con p elementos hay. Ya que un arreglo de p elementos de F (x 1,x 2,...,x p ) puede identificarse como una función inyectiva f : {1,..., p} F definida por f (i) = x i, el número de arreglos o subconjuntos ordenados de F con p elementos es In p. Ahora, las p! permutaciones del arreglo (x 1,...,x p ) representan el mismo subconjunto de F. En consecuencia, el número de subconjuntos diferentes de F con p elementos es In p dividido por el número p! de permutaciones de un conjunto con p elementos. Así, si p n, el número de subconjuntos de F con p elementos es ( ) n n! = (1.9) p (n p)!p! De la fórmula del binomio de Newton y de los cálculos anteriores podemos deducir que el número de subconjuntos de un conjunto de n elementos es 2 n, ya que n p=0 (número de subconjuntos con n elementos) = n p=0 ( ) n = 2 n. (1.10) p Una propiedad útil de los números combinatorios es ( ) ( ) n n =. (1.11) p n p Otra, conocida como fórmula de Pascal, es ( ) ( ) n n 1 = + p p 1 ( n 1 p ). (1.12) Varios problemas clásicos del cálculo de probabilidades, que se reducen a contar el número de elementos de un conjunto son versiones del siguiente problema de muestreo sin reposición: De una caja que contiene N 1 bolas negras y N 2 bolas rojas y escogemos aleatoriamente n bolas (n N 1 +N 2 ) sin reposición. Cuál es la probabilidad de escoger exactamente k bolas negras? Si k es mayor que N 1 o n, la probabilidad de escoger k bolas negras es cero, así que supondremos que 0 k mín(n 1,n). El conjunto

18 18 CAPÍTULO 1. CONCEPTOS BÁSICOS Ω de todos los posibles resultados del experimento aleatorio es la familia de todos los subconjuntos ω de n bolas de las N 1 + N 2 bolas de la caja. De manera que ( ) N1 + N 2 Ω = n Debemos contar los subconjuntos ω con k bolas negras y n k bolas rojas. Para formar tal conjunto debemos formar ( ) un conjunto de k bolas negras entre las N 1 bolas negras. Sabemos que hay N1 k posibilidades de hacer lo anterior. Para cada subconjunto de k bolas negras, debemos asociar un subconjunto( de n) k bolas rojas. Este conjunto lo formamos de entre las N 2 bolas rojas y hay N2 n k maneras de hacerlo. Así que, si A es el evento que consiste en escoger k bolas negras y n k bolas rojas, de las N 1 + N 2 bolas que hay en la caja, entonces ( )( ) N1 N2 A = k n k Por lo tanto, la probabilidad de A es 1.5. Problemario I P(A) = ( N1 ) )( N2 k n k ) (1.13) ( N1 +N 2 n 1. Supongamos que Ω = A B y P(A B) = 0,2. Hallar: a) El máximo valor posible para P(B), de tal manera que se cumpla P(A) P(B). b) P(A c ), sabiendo que P(B) = 0,7 c) P(A c B c ) 2. Dado que: Ω = A B C, P(A) = P(B) = P(C) = p, P(A B) = P(A C) = P(B C) = q y P(A B C) = z. Hallar: a) P(A c B c C) b) P((A B C) c ) c) P(A (B c C c ))

19 1.5. PROBLEMARIO I 19 d) P((A B) c C c ) 3. Se sientan 4 personas, al azar, en 4 sillas que llevan sus nombres (una silla con cada nombre). Qué probabilidad hay de que alguna de las personas quede en la silla con su nombre? 4. La siguiente tabla contiene las probabilidades correspondientes a las intersecciones de los eventos indicados: a) Hallar P(A B) b) Hallar P(B A) c) Hallar P(A c B) d) Hallar P(B c A) B A A c Si n personas se sientan al azar en una fila de 2n asientos, halle la probabilidad de que no queden 2 personas en sillas contiguas. 6. En el lanzamiento de un par de dados, encuentre la probabilidad de que: a) La suma de los dados sea 7 b) La diferencia entre las caras sea mayor que tres. 7. Se lanza una moneda 8 veces, hallar la probabilidad de que: a) se obtengan exactamente 5 caras, b) se obtengan a lo sumo 4 sellos. 8. Las barajas de poker constan de 52 cartas (no incluimos los comodines), distribuidas como sigue: se tienen 4 pintas: corazón ( ), diamante ( ), trébol ( ) y pica ( ). De cada pinta hay 13 cartas denominadas 1,2,...,10, J, Q y K. Se reparten al azar 5 cartas (una mano) a cada jugador. Hallar la probabilidad de que en una mano el jugador I reciba: a) ninguna pica, b) al menos 2 picas, B c

20 20 CAPÍTULO 1. CONCEPTOS BÁSICOS c) 3 cartas del mismo número (un trío) y otras dos cartas con números distintos al del trío y distintos entre sí. Por ejemplo, {3,3,3,5,Q } es una mano incluída en el evento que nos interesa. 9. La urna I contiene r bolas rojas y b blancas. La urna II contiene, inicialmente, una bola roja y una blanca. Se toma una bola al azar de la urna I y se pasa a la II, luego se extrae una bola al azar de la urna II y resulta ser blanca. Cúal es la probabilidad de que la bola pasada de la urna I a la II haya sido blanca? 10. Las llamadas telefónicas a una empresa son recibidas por tres recepcionistas A, B y C, de tal manera que de las 200 llamadas recibidas en un día, 60 son atendidas por la recepcionista A, 80 por B y las restantes por C. La recepcionista A se equivoca al pasar la llamada en un 2 % de las veces, la recepcionista B en un 5 % y la C en un 3 %. Hallar la probabilidad de que al pasar una llamada recibida en la empresa, ésta sea pasada al lugar equivocado 11. Una urna contiene inicialmente r bolas rojas y b blancas. Se extraen 5 bolas, una por una, al azar, sin remplazo. a) Hallar la probabilidad de que la secuencia sea RBRBR (Primera Roja, Segunda Blanca,...). b) Hallar la probabilidad de que la secuencia sea RRRBB. Compare con (a). Generalize. c) Ahora se extraen al azar, una por una y sin remplazo, todas las bolas de la urna. Diga porque todas las secuencias de extracción tienen la misma probabilidad. d) Cuál es la probabilidad de que la última bola extraída sea roja? 12. Un virus peligroso está presente en el 0.01 % de la población nacional. Se tiene una prueba clínica para detectar la presencia del virus, y esta prueba es correcta en el 99 % de los casos (es decir, entre los portadores del virus, la prueba dá positivo el 99 % de las veces y entre los no portadores dá negativo el 99 % de las veces). Un individuo tomado al azar en la población es sometido a la prueba y el resultado de ésta es positivo. Al conocer el resultado de la prueba, cuál es la probabilidad de que este individuo sea realmente un portador del virus?. Comente sobre el valor de esta probabilidad.

21 1.5. PROBLEMARIO I Existen 2 caminos para ir de A hasta B, y 2 caminos para ir desde B a C. Cada uno de los caminos tiene probabilidad p de estar bloqueado, independientemente de los otros. Hallar la probabilidad de que haya un camino abierto de A a B, dado que no hay camino de A a C. 14. Se recibe un lote de 1000 artefactos, de los cuales 60 están dañados. Para decidir si aceptamos o no el lote se seleccionan 200 artefactos al azar, sin remplazo, rechazando el lote si más de 2 están dañados. Hallar la probabilidad de aceptar el lote. 15. Consideremos una sucesión de experimentos independientes consistentes en el lanzamiento de dos dados. En este juego se gana si la suma de los dados es 7. Hallar: a) la probabilidad de ganar por vez primera, en un intento posterior al 12do. b) La probabilidad de haber ganado 2 veces en 20 intentos. c) en 10 intentos, la probabilidad de haber ganado 3 ó más veces. 16. Una unidad de mantenimiento sabe que cada falla reportada tiene probabilidad 0.15 de ser falsa alarma. Si la unidad acepta 25 solicitudes de mantenimiento por día y sólo dispone del tiempo para atender 20 fallas reales, determine: Cuál es la probabilidad de que todas las fallas reales sean atendidas? 17. Un estanque contiene 500 peces de los cuales 300 están marcados. Un pescador logra sacar 50 peces. Hallar la probabilidad de que: a) 20 de los peces estén marcados, b) ninguno de los peces esté marcado. 18. Un lector óptico falla en la lectura del código de barras, con una probabilidad de a) Cuál es la probabilidad de que el lector falle solo una vez en las primeras 10 lecturas? b) Cuál es la probabilidad de que el lector no falle en las primeras 20 lecturas dado que en las primeras 10 lecturas, el lector no falló.

22 22 CAPÍTULO 1. CONCEPTOS BÁSICOS 19. Un depósito guarda 1000 artículos, 100 de los cuales son defectuosos. Un inspector toma uno de los artículos al azar, y si no es defectuoso lo devuelve al lote. Sea N el número de inspecciones de objetos no defectuosos, que se realizan antes de encontrar el primer objeto defectuoso. Calcular la probabilidad de tener 25 N En un colegio de Artes están matriculados 300 hombres y 700 mujeres. Se eligen 25 estudiantes al azar, hallar la probabilidad de que 15 ó más de los elegidos sean mujeres si el muestreo se hace (a) con reemplazo y (b) sin reemplazo.

23 Capítulo 2 Variables aleatorias discretas Consideremos el lanzamiento de un dado, Ω = {1,2,3,4,5,6}, y supongamos que apostamos al resultado de tal manera que nuestra ganancia es 1 si el resultado es impar, 0 si el resultado es 2 o 4, 2,75 si el resultado es 6. Se entiende que ganancias negativas son pérdidas positivas. Si el resultado es ω, la ganancia puede expresarse como X(ω), donde X : Ω R es la función definida por X(1) = X(3) = X(5) = 1 X(2) = X(4) = 0 X(6) = 2,75 X es un ejemplo de una variable aleatoria discreta, las cuales son nuestro actual objeto de estudio Definición y ejemplos Dado un espacio de probabilidad (Ω, F, P), una variable aleatoria discreta es una función X : Ω R tal que 1. Su conjunto de imágenes X(Ω) = {x R : X(ω) = x, para algún ω Ω} es un conjunto numerable. Es decir, X(Ω) = {x i : i I}, para algún conjunto (finito o infinito) de índices I N. 23

24 24 CAPÍTULO 2. VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS 2. Para todo x R se verifica {ω Ω : X(ω) = x} F. (2.1) La primera condición se refiere al hecho de que X toma solamente valores en un conjunto numerable de R. La segunda condición puede parecer oscura al primer vistazo. La idea es que podamos dar probabilidades de que la variable tome cualquiera de sus posibles valores, pero esta probabilidad puede no estar definida si no se satisface (2.1) para algún x (la probabilidad sólo tiene que estar definida para los eventos pertenecientes a F ). Consideremos Ω = N y σ-álgebra F formada por el vacío, los números pares positivos (Pares), los impares positivos (Impares) y N. Sea P : F [0,1] la medida de probabilidad definida por P(Pares) = P(Impares) = 1/2 y X : Ω R la función identidad X(ω) = ω. Note que {ω Ω : X(ω) = x} = {x} si x N = /0 en caso contrario Así que no podemos decir con que probabilidad la variable toma el valor 2 o 4, sólo sabemos que es par con probabilidad 1/2 y un número natural con probabilidad 1. Como mencionamos, nos interesa la probabilidad de que la variable tome cualquiera de sus posible valores. A eso apunta la siguiente definición. Función de masa de probabilidad. La función de masa de probabilidad (fmp) de la variable aleatoria discreta X es la función p X : R [0,1] definida por p X (x) = P(X = x) = P({ω Ω : X(ω) = x}) Ya que P(X = x) es la probabilidad de que X tome el valor x, se tiene que P(X = x) 0 para todo x R P(X = x) = 0 para todo x / X(Ω). Además, y esta es otra importante propiedad de las funciones de masa de probabilidad, P(X = x) = P(X = x) = P(Ω) = 1. (2.2) x x X(Ω) Esta propiedad caracteriza las funciones de masa de probabilidad de las variables aleatorias discretas en el sentido siguiente:

25 2.1. DEFINICIÓN Y EJEMPLOS 25 Si A es un conjunto numerable de R y π : A R satisface π 0 y π(x) = 1, (2.3) x A entonces π es la fmp de una variable aleatoria X asociada a un espacio de probabilidades (Ω, F, P) tal que X(Ω) = A. Otro concepto muy importante en teoría de probabilidades es el de función de distribución de una variable aleatoria: La función de distribución de una variable aleatoria X es la función F X : R [0,1] definida por F X (x) = P(X x). (2.4) A partir de la función de distribución de una variable aleatoria discreta podemos calcular su fmp y viceversa. Específicamente, F X (x) = P(X = x i ) y P(X = x) = F(x) lím F(x ε) x i x ε 0 + En general, basta determinar una de estas dos funciones para calcular probabilidades de los eventos asociados a una variable aleatoria, que en general son del tipo P(X A) = P({ω Ω : X(w) A}) = P(X = x i ) x i A Si F es la función de distribución de una variable aleatoria escribimos X F y si X y Y son variables aleatorias con la misma función de distribución decimos que son igualmente distribuídas y escribimos X Y. Veamos algunos ejemplos clásicos: Distribución Bernoulli. Decimos que X es una variable aleatoria con distribución Bernoulli de parámetro p, y escribimos X Bernoulli(p), si P(X = 1) = p, P(X = 0) = 1 p, para algún p [0,1]. En el argot, p se entiende como la probabilidad de éxito de un determinado suceso en un experimento y q = 1 p la del fracaso o éxito del complemento. Distribución Binomial. Decimos que X tiene distribución Binomial con parámetros n y p, X Bin(n, p), si ( n ) P(X = k) = p k q n k, para k = 0,1,...,n. (2.5) k

26 26 CAPÍTULO 2. VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS Para demostrar que la función definida en (2.5) satisface (2.3) es necesario usar la fórmula del binomio de Newton. Así, n n ) p k=0( k q n k = (p + q) n = 1 k P(X = k) en (2.5) es la probabilidad de observar un total de k éxitos en n experimentos independientes, cada uno con probabilidad p de que sea éxito. Figura 2.1: Funciones de masa de probabilidad de Binomiales de parámetros n = 10 y p = 1/4 (gris), p = 1/2 (negro), p = 3/4 (blanco). Distribución Geométrica. Decimos que la distribución de X es Geométrica con parámetro p, X Geo(p), si Note que P(X = n) = q k 1 p, para n = 1,2,3,... (2.6) k=1 pq k 1 = p k=0 q k = p 1 1 q = 1 La probabilidad (2.6) es la de requerir exactamente n repeticiones independientes de un mismo experimento hasta observar el primer éxito. Igual que antes, p es la probabilidad de éxito en un experimento y q = 1 p.

27 2.2. VECTORES ALEATORIOS DISCRETOS 27 Distribución Hipergeométrica. X es una variable Hipergeométrica de parámetros N,N A y n, con N > máx(n A,n), si P(X = k) = ( )( NA N NA k n k ) ( N n ), para k = 0,1,...,mín(N A,n) (2.7) Para demostrar que esta es una función de masa de probabilidad, es necesario hacer uso de (1.13). La probabilidad (2.7) es la de extraer k elementos de un conjunto A Ω, cuando se extraen aleatoriamente y sin reposicin n elementos de Ω. Aquí A = N A y Ω = N. Distribución de Poisson. X es Poisson de parámetro λ > 0, X Poisson(λ), si P(X = k) = 1 k! λk e λ, para k = 0,1,2,... (2.8) Haciendo uso del desarrollo en serie de Taylor de la función exponencial, es sencillo comprobar que la función definida en (2.8) satisface (2.3). Cuando n es grande y p pequeño, haciendo λ = np, la aproximación ( n k ) p k q n k 1 k! λk e λ es buena. De manera que el modelo Poisson puede entenderse como un caso límite del Binomial, cuando el número de experimentos es grande y la probabilidad de éxito de cada experimento es pequeña. Al final del curso formalizamos esta idea Vectores aleatorios discretos Sean X e Y variables aleatorias discretas definidas sobre un mismo espacio muestral. El vector aleatorio (X,Y ) toma valores en un subconjunto numerable de R 2 y estamos interesados en la probabilidad de que el vector tome esos valores. La función de masa de probabilidad conjunta de las variables X e Y es la función p X,Y : R 2 [0,1] definida por: p X,Y (x,y) = P(X = x,y = y) = P({ω Ω : X(ω) = x} {ω Ω : Y (ω) = y}) (2.9)

28 28 CAPÍTULO 2. VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS Figura 2.2: Funciones de masa de probabilidad de variables Poisson de parámetros λ = 2 (blanco) y λ = 5 (negro). Similar al caso univariante, si x / X(Ω) o y / Y (Ω) entonces P(X = x,y = y) = 0, y P(X = x,y = y) = 1. x y Las funciones de masa de probabilidad P(X = x) y P(Y = y) las podemos obtener a partir de la función de masa de probabilidad conjunta marginalizando de manera adecuada. Para ello, note que Ω = x {ω : X(ω) = x} = y {ω : Y (ω) = y}. Usando la aditividad de la medida de probabilidad P(X = x) = P({ω : X(ω) = x}) = P({ω : X(ω) = x} ( y {ω : Y (ω) = y})) = P({ω : X(ω) = x} {ω : Y (ω) = y}) y = P(X = x,y = y) y Cambiando X por Y en los cáculos anteriores obtenemos la fmp de Y a partir de la conjunta, P(Y = y) = P(X = x,y = y) x En este contexto las funciones P(X = x) y P(Y = y) son llamadas marginales de X y Y respectivamente.

29 2.3. INDEPENDENCIA DE VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS 29 Ejemplo. Sea X una variable que toman valores 1,2,3 y Y una que toma valores 1,2,3,4. Suponga que la probabilidad de que el par (X,Y ) tome el valor (x,y) viene dada por la entrada x,y de la siguiente tabla ,10 0,05 0,05 0,00 2 0,15 0,10 0,05 0,00 3 0,20 0,15 0,10 0,05 Entonces la marginal de X se obtiene sumando las columnas y la de Y las filas. Cuando X,Y son discretas, la función de probabilidad condicional de X dado Y = y se define por la probabilidad condicional P(X = x Y = y) = P(X = x,y = y). P(Y = y) De esta forma, las probabilidades condicionales del tipo P(X A Y = y) se calculan usando la siguiente identidad: P(X A Y = y) = P(X = x Y = y) x A Ejemplo. Siguiendo con el ejemplo anterior, P(X > 1 Y = 1) = 0,35 y P(X > 1 Y = 2) = 0, Independencia de variables aleatorias discretas Recordemos que dos eventos A y B son independientes si P(A B) = P(A)P(B) Hablaremos de independencia de variables si una toma valores independiente de los valores que tome la otra. En otras palabras, las variables discretas X e Y son independientes si los eventos {ω Ω : X(ω) = x} y {ω Ω : Y (ω) = y} son independientes para todo x,y R. Es decir, X y Y son independientes si la función de masa de probabilidad conjunta es el producto de las marginales, P(X = x,y = y) = P(X = x)p(y = y) para todo x,y R

30 30 CAPÍTULO 2. VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS Observación: X,Y son independientes sí y sólamente sí existen funciones f, g : R R tal que P X,Y (x,y) = P(X = x,y = y) = f (x)g(y) para todo x,y R aún cuando f,g no sean las marginales de las variables en cuestión. Ejemplo. Sean X,Y variables aleatorias con función de masa conjunta definida por P(X = x,y = y) = 1 x!y! λx µ y e (λ+µ) x,y = 0,1,... Factorizando tenemos que P(X = x,y = y) = ( λ x )( µ y x! = f (x)g(y), y! e (λ+µ) ) con f (x) = λ x /x! y g(y) = µ y e (λ+µ) /y!, de manera que X e Y son independientes. Sin embargo, las funciones f y g no son funciones de masa de probabilidad. De hecho, las marginales de X,Y son P(X = k) = 1 k! λk e λ y P(Y = k) = 1 k! µk e µ para k = 0,1,... Es conveniente extender el concepto al caso multivariado, pero primero introduciremos una práctica notación que es un estándard en teoría de probabilidades: Para X 1,...,X n : Ω R y A 1,...,A n R escribimos {X 1 A 1,...,X n A n } = n i=1 {ω Ω : X i(ω) A i } Definición (independencia de variables aleatorias). Las variables aleatorias X 1,...,X n son independientes si para cualquier sucesión de intervalos A 1,...,A n R se cumple P(X 1 A 1,...,X n A n ) = P(X 1 A 1 ) P(X n A n )

31 2.4. FUNCIONES DE VECTORES ALEATORIOS Funciones de vectores aleatorios Muchas veces estamos interesados en una función de un vector aleatorio. Es común observar n variables y que nos interesen los valores extremos (el más pequeño y el más grande entre todos los valores observados). También es común estar interesados en el promedio. En general, dado un conjunto de n variables aleatorias X 1,X 2,...,X n y una función g : R n R, nos puede interesar calcular la función de masa de probabilidad de la variable aleatoria definida por U = g(x 1,X 2,...,X n ). Distribución del mínimo. Sean X 1,X 2,...,X n variables aleatorias y denotemos por U n el mńimo de ellas, es decir Es fácil comprobar que U n = mín{x 1,X 2,...,X n }. {U n > k} = {X 1 > k,x 2 > k,...,x n > k} y en consecuencia, si X 1,X 2,...,X n son independientes se tiene P(U n > k) = P(X 1 > k)p(x 2 > k)...p(x n > k) (2.10) Si X 1,X 2,...,X n son variables independientes e idénticamente distribuídas (i.i.d.), entonces (2.10) tiene la forma Por lo tanto, la fmp de U n la podemos escribir como P(U n > k) = [P(X 1 > k)] n (2.11) P(U n = k) = P(U n > k 1) P(U n > k) = [P(X 1 > k 1)] n [P(X 1 > k)] n (2.12) Ejemplo. Sean X 1,X 2,...,X n variables i.i.d geométricas de parámetro p = 1 q (X i Geo(p) para 1 i n). En este caso P(X i > k) = Sustituyendo en (2.12) se tiene que pq j 1 = q k, para k = 1,2,3,... j=k+1 P(mín{X 1,X 2,...,X n } = k) = [q k 1 ] n [q k ] n = [q n ] k 1 (1 q n ).

32 32 CAPÍTULO 2. VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS En decir, el mínimo de variables i.i.d, con distribución geométrica de parametro p es también una variable geométrica, pero de parámetro 1 q n = 1 (1 p) n. Distribución del máximo. Consideremos ahora el máximo de n variables aleatorias. Note que V n = máx{x 1,X 2,...,X n } {V n k} = {X 1 k,x 2 k,...,x n k} Si las variables son independientes se tiene entonces que F Vn (k) = P(V n k) = P(X 1 k)p(x 2 k)...p(x n k) y si son i.i.d. F Vn (k) = [P(X 1 k)] n. (2.13) Ejemplo. Continuando con el ejemplo en el que X 1,X 2,...,X n son i.i.d, geométricas de parámetro p, la función de distribución del máximo V n = máx{x 1,X 2,...,X n } es F Vn (k) = [1 P(X 1 > k)] n = (1 q k ) n para k = 1,2,... Suma de variables aleatorias. Consideremos X,Y variables aleatorias discretas y Z = X +Y. Claramente Z es discreta y toma el valor z sí y solamente sí cuando X toma el valor x, Y toma el valor z x. Así que P(Z = z) = P( x {X = x,y = z x}) = P(X = x,y = z x) x Fórmula de convolución. Si X,Y son variables aleatorias discretas e independientes entonces Z = X +Y tiene fmp P(Z = z) = P(X = x)p(y = z x) x En el caso particular en que X,Y son no negativas, P(X = x) = 0 si x < 0 y P(Y = z x) = 0 si x > z. En ese caso, P(X +Y = z) = z P(X = x)p(y = z x) x=0

33 2.5. ESPERANZA 33 y decimos que la fmp de X +Y es la convolución de las funciones de probabilidad de X y Y. Ejemplo. Sean X,Y v.a. independientes con distribución de Poisson de parámetros λ y µ respectivamente, Usando la fórmula de convolución P(X +Y = z) = z ( )( ) 1 1 x=0 x! λx e λ (z x)! µz x e µ = 1 z! (λ + µ)z e (λ+µ) Es decir, si X Poisson(λ) y Y Poisson(µ) son independientes entonces la suma X +Y Poisson(λ + µ) 2.5. Esperanza Consideremos un dado justo. Si este es lanzado un número grande de veces, cada posible resultado aparecerá alrededor de un sexto de las veces y el promedio del número observado será aproximadamente 1(1/6) + 2(1/6) (1/6) = 3,5 El concepto en su forma más general lleva a la siguiente definición Definición Sea X es una variable aleatoria discreta. La esperanza de X, denotada por E(X) y también llamada valor esperado de X, es el número definido por E[X] = x x P(X = x) siempre y cuando la serie converja. Teorema de transferencia. Si X es una variable discreta y g : R R entonces la esperanza de Y = g(x) es E[Y ] = E[g(X)] = g(x)p(x = x) x

34 34 CAPÍTULO 2. VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS Prueba E[Y ] = y = y = y y P(Y = y) [ ] y {x:g(x)=y} P(X = x) {x:g(x)=y} = g(x)p(x = x) x y P(X = x) Otra importante valor asociado a una variable X es su varianza Var(X), la cual es una medida de dispersión de la variable en torno a su esperanza. Formalmente, la varianza de una variable aleatoria X se define como el valor esperado de la variable (X µ) 2, siendo µ la esperanza de X. Es decir, Var(X) = E([X µ] 2 ) = (x µ) 2 P(X = x) x (2.14) Proposición 4. Var(X) = E[X 2 ] (E[X]) 2 Prueba Var(X) = E([X µ] 2 ) = (x µ) 2 P(X = x) x = (x 2 2xµ + µ 2 )P(X = x) x = x 2 P(X = x) 2µ x x = E[X 2 ] 2µ 2 + µ 2 = E[X 2 ] µ 2 = E[X 2 ] (E[X]) 2 xp(x = x) + µ 2 P(X = x) x El Teorema de transferencia anterior puede extenderse al caso multivariado de la siguiente manera:

35 2.6. ESPERANZA CONDICIONAL 35 Sean X,Y variables discretas y g : R 2 R entonces E[g(X,Y )] = x g(x,y)p(x = x,y = y) (2.15) y Usando (2.15) podemos introducir un importante indicador del grado de dependencia lineal entre dos variables aleatorias: La covarianza entre las variables X,Y es Cov(X,Y ) = E[(X µ X )(Y µ Y )] siendo µ X = E(X) y µ Y = E(Y ). Otros resultados importantes que podemos demostrar de forma sencilla con la fórmula de tranferencia (2.15) son: 1. Linealidad del valor esperado: Si Z = g(x,y ) = ax + by, con a,b R, entonces E(Z) = E(aX + by ) = ae(x) + be(y ) 2. Fórmula para la covarianza: Cov(X,Y ) = E(XY ) E(X)E(Y ) 3. Varianza de combinaciones lineales: Para todo a,b R, Var(aX + by ) = a 2 Var(X) + b 2 Var(Y ) + 2abCov(X,Y ). En particular, Var(aX + b) = a 2 Var(X). 4. Esperanza del producto y varianza de la suma de independientes: Si X,Y son independientes entonces E(XY ) = E(X)E(Y ) Var(X +Y ) = Var(X) +Var(Y ) 2.6. Esperanza Condicional Sea X una variable aleatoria discreta y B un evento asociados al mismo espacio de probabilidad. Supongamos que P(B) > 0. La Esperanza Condicional de X dado el evento B, la cual denotaremos por E(X B), es el valor esperado asociado a la función de masa de probabilidad condicional P(X = x B) = P({ω : X(ω) = x} B). P(B)

36 36 CAPÍTULO 2. VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS Esto es, E[X B] = x x P(X = x B) El siguiente resultado es un versión de la fórmula de probabilidad total (1.3) para valores esperados y de similar utilidad. Fórmula de particionamiento. Si X es una v.a. discreta y B 1,B 2,... son una partición del espacio muestral, con P(B i ) > 0 para cada i, entonces E[X] = i E[X B i ]P(B i ) Prueba de la fórmula E[X] = E[X B i ]P(B i ) i 1 = i 1 = i 1 = x = x [ ] x P(X = x B) P(B i ) x x x P({X = x} B i ) x P({X = x} ( i 1 B i )) x P(X = x) Ejemplo. Una moneda es lanzada repetidamente. Sea p la probabilidad de obtener cara en cada lanzamiento, con 0 < p = 1 q < 1. Vamos a calcular la longitud esperada de la racha inicial (i.e. el número de resultados iguales y consecutivos al primero). Sea H el evento el primer lanzamiento es cara y H c el evento el primer lanzamiento es sello. El par H,H c forma una partición del espacio muestral. Si X es la longitud de la racha inicial, es fácil verificar que P(X = k H) = p k 1 q para k = 1,2,... ya que si H ocurre entonces X = k ocurre sí y sólo sí el primer lanzamiento es seguido por exactamente k 1 caras y después un sello. Similarmente, P(X = k H c ) = q k 1 p para k = 1,2,...

37 2.7. PROBLEMARIO II 37 Es decir, las distribuciones condicionales son geométricas, así que E[X H] = 1 q y E[X Hc ] = 1 p Usando la fórmula de particionamiento obtenemos E[X] = E[X H]P(H) + E[X H c ]P(H c ) = 1 q p + 1 p q = 1 pq Problemario II 1. Calcule e interprete el valor esperado de X cuando tiene distribución: binomial de parámetros n y p geométrica de parámetro p hipergeométrica Poisson de parámetro λ 2. Calcular la varianza de X cuando tiene distribución: binomial de parámetros n y p geométrica de parámetro p Poisson de parámetro λ 3. Si X se distribuye Poisson de parámetro λ, pruebe que E[X(X 1)(X 2)...(X k)] = λ k+1 4. Si X tiene distribución geométrica, pruebe la propiedad de pérdida de memoria P(X > m + n X > m) = P(X > n) 5. Sea N una v.a. a valores enteros no negativos. Verifique que E[N] = P(N > k) (2.16) k 0

38 38 CAPÍTULO 2. VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS 6. Un dado tiene dos cara azules, dos rojas y dos verdes. Se lanza repetidamente. Encuentre la probabilidad de que no todos los colores aparezcan en los primeros k lanzamientos. Deduzca que si N es la v.a. que toma el valor n si el tercer color aparece en el n-ésimo lanzamiento por primera vez, entonces E[N] = 11/2. Sugerencia, use la fórmula (2.16) y la fórmula de inclusión exclusión para la unión de tres eventos. 7. Suponga que P(X = i,y = j) = λ 1+i+ j, para i, j = 0,1,2. Pruebe que E[XY ] = λ 3 + 4λ 4 + 4λ 5 8. Sean X,Y v.a. i.i.d. con P(X = k) = pq k, k 0. Demuestre que para k = 0,...n P(X = k X +Y = n) = 1 n + 1 Sugerencia: Use la fórmula de Bayes y la fórmula de convolución. 9. Existen c diferentes tipos de cromos y cada uno tiene el mismo chance de ser adquirido en una compra (los cromos se venden por separado en un sobre). Sea Y i el número adicional de cromos coleccionados después de obtener i tipos de cromos antes de obtener un nuevo tipo. Demuestre que Y i tiene distribución geométrica con parámetro (c i)/c. Calcule el número esperado de cromos que necesitas adquirir hasta completar la colección. 10. Sean X Geo(p) y, Y Geo(r) variables independientes. Pruebe que mín{x,y } tiene distribución geométrica con parámetro p + r pr. 11. Sean X,Y variables aleatorias independientes con distribución de Poisson de parámetro λ y µ respectivamente. Use el hecho de que X +Y es Poisson para calcular P(X = k X +Y = n) para k = 0,...,n. Demuestre que E[X X +Y = n] = nλ/(λ + µ) Sugerencia: Use la fórmula de Bayes para la primera parte. 12. Sea N el número de lanzamientos de una moneda hasta que se repita el resultado del primer lanzamiento. Condicionando en el primer lanzamiento, calcule E[N].

39 2.7. PROBLEMARIO II La función generatriz de probabilidades de una variable aleatoria discreta X está definida por la serie de potencias g(s) = E [ s X] = s k P(X = k), s < 1. k=0 Calcule la funciones generatrices de probabilidades de las siguientes distribuciones Bernoulli, Binomial y Poisson. 14. A cada fmp le corresponde una única función generatriz de probabilidades. Use la identificación de las funciones generatrices para probar los siguientes resultados: Sumas de Bernoulli i.i.d es Binomial. La suma de Binomiales independientes con el mismo parámetros p es también binomial. Sumas de Poisson independientes es Poisson. 15. Considere que el número de veces que una moneda es lanzada es una v.a. Poisson. Sea X el número de caras y Y el número de sellos. Verifique que X,Y son independientes. Sugerencia: Use la fórmula de particionamiento para calcular la masa de probabilidad de X. 16. Se lanza un dado n veces. Sea U n el mínimo valor observado y V n el máximo valor observado. Calcular P(U n = 1), P(V n = 6). 17. Una línea aérea cubre la ruta CCS-MAD, con un avión que tiene 280 plazas. La política de la aerolínea es aceptar 300 reservaciones para este vuelo. Se supone que todos los pasajeros actúan en forma independiente y que la probabilidad de que un pasajero se presente es p. El precio del pasaje es G, pero si un pasajero se presenta y no puede ser embarcado, se le reintegra su dinero más una compensación de H. Calcule la esperanza del número de pasajeros que se presentan a abordar. De una expresión para la esperanza del número de pasajeros que acuden y no pueden ser embarcados. De una expresión para la ganancia esperada por la aereolínea.