ELEMENTOS DEL MOVIMIENTO

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1 TEMA 8: ELEMENTOS DEL MOVIMIENTO Ha movimiento po todas pates a nuesto alededo, lo vemos en la actividad cotidiana de las pesonas, en los coches que pasan po la caetea, con un poco de paciencia, lo vemos en las estellas po la noche. A nivel micoscópico ha movimientos que no pecibimos diectamente: los átomos en movimiento poducen calo sonido, los electones que fluen poducen electicidad, los electones que viban dan oigen a la adio la televisión. Incluso la luz que nos pemite ve el movimiento tiene su oigen en el movimiento de los electones de los átomos. El movimiento está en todas pates, es fácil econocelo peo no lo es tanto descibilo Nosotos vamos a defini el movimiento es téminos de azones de cambio, las cuales nos indican cuánto cambia una cantidad en un cieto intevalo de tiempo. Descibiemos el movimiento en función de la apidez, velocidad aceleación. 1- EL MOVIMIENTO ES RELATIVO Todo se mueve. Hasta las cosas que paecen esta en eposo se mueven especto al sol las estellas, es deci, su movimiento es elativo a estos astos. Un libo que está en eposo especto a la mesa sobe la que se encuenta se mueve a unos 30 km po segundo especto al sol, aún más depisa especto del cento de nuesta galaia. Cuando viajamos en un avión, ceemos que estamos en eposo no dudaíamos en afima que la azafata que se pasea po el pasillo está en movimiento. Cuando estudiamos el movimiento de un objeto, lo descibimos especto de oto objeto. Entonces, cuándo podemos deci que un objeto se mueve? Un objeto se mueve cuando su posición vaía con especto a un punto o un sistema de efeencia elegido que se considea fijo En esta definición se intoducen dos conceptos claves paa la compensión de los movimientos: La posición de un móvil el sistema de efeencia con especto al que se detemina la posición A la hoa de analiza la maoía de los movimientos de muchos cuepos (como el de la Tiea, el de un avión, etc ), se considea que éstos se mueven como un único punto, siempe cuando las dimensiones del cuepo no intefiean en el estudio del movimiento. Ese punto dotado de la masa del cuepo, se denomina punto mateial

2 1.1- SISTEMA DE REFERENCIA Y MOVIMIENTO Es un punto del espacio especto al cual descibimos el movimiento. Un objeto se encuenta en movimiento si cambia su posición especto al sistema de efeencia Paa detemina con cieta eactitud la posición de un objeto es necesaio especifica tes coodenadas (tantas como dimensiones ha); a las dos k j i coespondientes a la epesentación en un plano ha z que añadi la altua. Po tanto, los sistemas de efeencia cuentan a su vez con uno (), dos (,) o tes ejes (,,z), pependiculaes ente sí, según tabajemos en una ecta, en un plano, o en el espacio VECTOR POSICIÓN ( ) La posición de un cuepo con especto a un punto de efeencia queda definida po el vecto que une dicho punto de efeencia con el luga ocupado po el cuepo. El oigen de dicho vecto de posición es el del sistema de efeencia elegido, su etemo, el luga ocupado po el cuepo. Utilizando la simbología matemática (,, z); su epesión seá: Obsevamos como el vecto posición ( ) i + j + z k se epesa en función de las coodenadas paa da caácte i, j, k de módulo uno vectoial a mismas, cada una de ellas se multiplica po los vectoes unitaios ( ) Cuando el movimiento tanscue en línea ecta, se puede pescindi de la notación vectoial. En este caso utilizaemos los signos + paa indica los dos posibles sentidos Repesentación de vectoes posición En dos dimensiones En tes dimensiones P j P j i 4 i + 3 j z k i 3 i + 2 j + 2 k 2

3 2- ECUACIÓN DEL MOVIMIENTO (ECUACIÓN DE LA POSICIÓN) Imagina que un cuepo se desplaza 5 m cada segundo en una diección deteminada (po ejemplo en el eje). Al cabo de un segundo, estaá a 5m del punto de patida; en dos segundos, se encontaá a 10 metos, despues de tes a 15m, así sucesivamente. Su posición cambia con el tiempo, es deci, el vecto de posición es una función del tiempo lo epesaíamos así: 5 t ( m) Paa se más iguosos, también se puede escibi su posición vectoialmente: 5 t i ( m) La ecuación que popociona la posición de un objeto con especto al tiempo se llama ecuación del movimiento : (t) (t) i + (t) j +z(t) k El hecho de que el facto tiempo apaezca en la epesión de la posición indica que el cuepo está en movimiento Al da divesos valoes al tiempo, se pueden epesenta las distintas posiciones que va ocupando el cuepo. Si se unen dichas posiciones mediante una línea, habemos dibujado la taectoia que sigue un cuepo en su movimiento Ejecicio: Sea el movimiento definido po la siguiente ecuación vectoes posición en los instantes 0, 2, 4 6 segundos. 2t i + 8 j en unidades del S.I. Dibuja los t (s) (m) Coodenadas 0 8 j (0,8) i + 8 j (4,8) 4 8 i + 8 j (8,8) 6 12 i + 8 j (12,8) 5 10 En este caso la taectoia seia una línea ecta 3

4 Ecuaciones paaméticas. Son las ecuaciones que elacionan cada componente catesiana con el tiempo. f(t) ; f(t) ; z f(t) Son ecuaciones escalaes (no vectoes). Ejemplo: En el vecto: (t) [2t i + (1 t) j + (3t 2 +4) k ] m, las ecuaciones paaméticas seían: 2t ; 1 t ; z 3t DESPLAZAMIENTO, TRAYECTORIA Y ESPACIO RECORRIDO Cuando se habla del movimiento de los cuepos, con fecuencia se emplean indistintamente con escaso igo cietos téminos que es peciso distingui: TRAYECTORIA La taectoia es la línea geomética que el cuepo descibe en su movimiento. Los difeentes puntos de dicha línea se obtienen dando valoes a t en la ecuación del movimiento (paaméticas). taectoia Ecuaciones de la taectoia. Se obtienen despejando el paámeto (tiempo) en una ecuación sustituendo el valo en la ota. Son ecuaciones j i escalaes (no vectoes). Ejecicio: Detemina las ecuaciones paaméticas de la taectoia del siguiente movimiento epesado po la ecuación: (t) [(t 2) i + (2t 2 + 4t 3 ) j ] m 4

5 Ecuaciones paaméticas: t 2 ; 2t 2 + 4t 3 Despejando t de la 1ª ecuación: t + 2, sustituendo en la segunda: 2 ( + 2) ( + 2) 3 2 ( ) + 4 ( + 2) Ecuación de la taectoia: VECTOR DESPLAZAMIENTO (( )) Desplazamiento significa lo mismo que vaiación de la posición, es deci, es la difeencia ente la posición inicial la final. Dado que la posición se epesenta mediante vectoes, el desplazamiento seá un vecto cuo oigen es la posición inicial cuo etemo es la posición final del cuepo. Po lo tanto el vecto desplazamiento es el esultante de la difeencia de dos vectoes de posición en dos momentos distintos. final inicial 1 0 ( 1 0 ) i + ( 1 0 ) j + (z 1 z 0 ) k i + j + z k Ejecicio: Cuál seá el vecto desplazamiento su módulo en la ecuación: (t) 3t i + (2t 2 unidades del S.I ente los instantes t 2 s t 4 s. 6) j en 1 (t 2 s) (6 i + 2 j ) m ; 2 (t 4 s) (12 i + 26 j ) m 2 1 i + j + z k [(12 6) i + (26 2) j ] m (6 i + 24 j ) m ( ) 1/2 m ( ) 1/2 m 24,74 m 3.3- ESPACIO RECORRIDO ( S) Es una magnitud escala que mide la longitud de taectoia ecoida. NO ha que confundi con el vecto desplazamiento; nomalmente s >, aunque en taectoias ectilíneas que no cambien de sentido el movimiento: s j i 1 s 2 5

6 4- LA VELOCIDAD DE LOS CUERPOS Un objeto en movimiento ecoe una cieta distancia en un tiempo deteminado. Un coche, po ejemplo, ecoe un cieto númeo de kilómetos en una hoa. La apidez es una medida de qué tan apisa se mueve un objeto. Se define como la distancia ecoida po unidad de tiempo. Cualquie combinación de unidades de distancia tiempo que sean útiles convenientes son válidas paa descibi una apidez, su unidad en el sistema intenacional son los m/s. 4.1 RAPIDEZ MEDIA O CELERIDAD (V M ) Cuando alguien planea ealiza un viaje en coche, a menudo le inteesa sabe cuánto tiempo invetiá en ecoe cieta distancia. Desde luego, el coche no viajaá con la misma apidez duante todo el ecoido. Al conducto le inteesaá sólo la apidez pomedio a lo lago del taecto: apidez media dis tan cia total ecoida int evalo de tiempo La apidez media o celeidad no nos indica las vaiaciones de apidez que pueden ocui duante el taecto. En la páctica, duante el viaje, epeimentaemos vaias, de manea que la apidez pomedio suele se mu difeente de la apidez instantánea v m s En el lenguaje cotidiano empleamos las palabas apidez velocidad de manea indistinta. En física hacemos una distinción ente ellas; la difeencia es que la velocidad es la apidez en una diección deteminada. Cuando decimos que un coche viaja a 60 km/h estamos indicando su apidez. Peo si decimos que se desplaza a 60 km/h hacia el note estamos especificando su velocidad La apidez descibe cómo de ápido se desplaza un objeto (es una magnitud escala) ( v m ) La velocidad nos dice cómo de ápido en qué diección (es una magnitud vectoial) ( v m ) 4.2 VELOCIDAD MEDIA ( ) v m En téminos físicos, la velocidad media de un cuepo es la elación ente el desplazamiento efectuado el tiempo invetido en ealizalo. Es po lo tanto una magnitud vectoial. v m v m z i + j + k vm vm i + vm j + vmz k t 6

7 La diección el sentido del vecto velocidad media es igual a que es un escala. desplazamiento ( ) que la del vecto NO ha que confundi ( v m ) con el escala v m s/ que, en Física, llamaemos apidez o celeidad media. Ni siquiea el módulo del vecto velocidad media v m tiene poqué coincidi con la apidez o celeidad media. Po ejemplo, un coedo que da una vuelta completa a un cicuito tendá v m 0 a que 0. Sin embago tiene una apidez que viene deteminada po la longitud de la pista ( s) dividido po el tiempo empleado en cubi la vuelta (). En el S.I. la unidad seá el m/s. La paadoja de la velocidad media Si se intentaa evalua la velocidad media coespondiente al tiempo que tada en hace un taecto de ida vuelta a la misma posición inicial, se obtendía un esultado paadójico: un movimiento con velocidad media ceo, a que las posiciones inicial final coinciden. Esta cicunstancia estinge el concepto de velocidad media pácticamente a movimientos ectilíneos unifomes, aunque lo que ealmente es útil es utiliza la velocidad instantánea, po ello, nos efeiemos a ella como velocidad a secas 4.3 VELOCIDAD INSTANTÁNEA ( v ) En téminos físicos, la velocidad instantánea se define como la velocidad media en el límite en que el tiempo se hace casi ceo. v lim v 0 t m lim o Ahoa bien, cómo se calcula la velocidad instantánea de un deteminado movimiento? Vamos a velo con un ejemplo: Ejemplo 1: Imagina un cuepo que se mueve en la diección del eje según la ecuación: 3t 2 4t (m). Se desea calcula se velocidad instantánea cuando t2 segundos. Evidentemente paa medi la velocidad se necesita un intevalo de tiempo, po pequeño que sea este. Fíjate que se escibe 0 (que se lee incemento de tiempo tiende a ceo) no 0, a que en este caso no podía habe desplazamiento. El pocedimiento seía: Selecciona un intevalo de tiempo lo más pequeño posible. Así, po ejemplo, se toma un intevalo de 0,0001 segundos Calcula la velocidad media en ese intevalo de tiempo X iniccial (t2) 4m final (t 2+0,0001) 4, m final inicial vm 8,0003 m / s El valo hallado es pácticamente la velocidad instantánea en el tiempo t 2 s. Decimos pácticamente no eactamente poque el valo eacto seía el valo límite al que tendeía la seie de valoes que se obtendían al considea intevalos de tiempo cada vez más pequeños 7

8 Ejemplo 2 : Calcula la velocidad instantánea apoimada en el instante t 2s, en el movimiento: (t) [3t i + (2t 2 6) j ] m 03 Si queemos calcula v (t 2 s) de foma más apoimada debeemos toma un aún meno, po ejemplo ,01 s, conoce la posición en 1 (t 2 s) en 3 (t 2,01 s). (t 2 s) (6 i + 2 j ) m 1 3 (t 2,01 s) (6,03 i + 2,0802 j ) m 3 1 (0,03 i + 0,0802 j ) m v apo (t2 s) 0 0,01 (,03 i + 0,0802 j ) ( 3 i + 8,02 j ) m / s Po lo tanto, el vecto velocidad instantánea es el vecto valo límite que toma la velocidad media cuando los intevalos de tiempo van apoimándose a tiene un módulo más cecano al espacio ecoido s 03 que 02 a s a s 01 A medida que se hace más pequeño también es meno s apoimando cada vez más, po lo que en el límite cuando 0, seá tangente a la taectoia su módulo coincidiá con s. además ambos valoes se van Matemáticamente la epesión que hemos empleado paa calcula la velocidad instantánea como límite cuando 0 de intevalos de cada vez más pequeños equivale a la deivada de una función; en este caso; deivada con especto al tiempo del vecto de posición ( t + ) ( t) v lim t 0 t d v d t Componentes catesianas de la velocidad instantánea v lim 0 lim 0 i + j + z k V 1 V 2 1 V 2 v d dt d dt i + d dt j + dz k dt 2 V 2 8 v v + v v i + v j

9 v v i + v j + v z k La diección de v es tangente a la taectoia en el instante en el que calculemos la velocidad. El sentido es el del movimiento. Método páctico de deivación de polinomios Po ahoa sólo se necesitaá deiva polinomios, lo cual en la páctica es bastante sencillo: basta multiplica el eponente de la vaiable dependiente po el coeficiente ebaja en un gado el eponente de la vaiable dependiente; eso con cada uno de los téminos del polinomio. En geneal, sea a n + b n f + g d/d n a n 1 + (n 1) b n f Ejemplo: Obtene d/dt sabiendo que: 5 t t 2 3 t + 2 d/dt 15 t 2 + 8t La aceleación de los cuepos La aceleación de un cuepo mide la apidez con que vaía su velocidad. Matemáticamente la podemos epesa de la siguiente foma: v v a t final final v t inicial inicial La aceleación así definida se denomina aceleación media su unidad en el SI es m/s 2 La apaente sencillez de esta definición, sin embago enciea dos aspectos mu impotantes que ha que tene en cuenta: Dado que la velocidad es un vecto, vaía cuando lo hace cualquiea de sus atibutos. Po tanto, la aceleación no sólo se poduce cuando cambia el valo V 1 (módulo) de la velocidad, sino que basta con que se modifique la diección de la velocidad paa que eista 1 V 2 V aceleación aunque el módulo de la velocidad no cambie. Vaiación de la velocidad no siempe significa 2 V 2 aumento de velocidad, también puede se disminución. En ambos casos, se tata de un movimiento con aceleación v v 2 v 1 9

10 5.1- ACELERACIÓN MEDIA ( a m ) La definición es simila a la de la velocidad, si bien tiene un significado totalmente distinto, pues indica la vaiación de velocidad con el tiempo. a m v v i + v j + v k z a m a m i + a m j + a mz k 5.2- ACELERACIÓN INSTANTÁNEA ( a ) Todo lo que hemos dicho paa la velocidad es igualmente aplicable a la aceleación. En téminos físicos, la aceleación instantánea se define como la aceleación media en el límite en que el intevalo de tiempo es pácticamente ceo v d v a lim am lim 0 0 t d t vi + v j + vzk dv dv dv z a lim a i + j + k a ai + a j + azk t 0 dt dt dt La diección el sentido de a son los mismos que los del vecto incemento de velocidad v 5.3- COMPONENTES INTRÍNSECAS DE LA ACELERACIÓN ( an at ) Puesto que la velocidad es un vecto (con sus tes atibutos), podemos distingui dos tipos de aceleación: una asociada a la vaiación del módulo de la velocidad ota asociada a los cambios en la diección de la velocidad (es deci, a los cambios en la diección del movimiento). Estos dos tipos de aceleación se suelen llama componentes intínsecas son: ACELERACIÓN TANGENCIAL: El témino aceleación implica cambios en la velocidad, mientas que tangencial indica que la diección en la que actúa es la tangente a la taectoia, po tanto, la misma diección que el vecto velocidad. Po consiguiente sólo afectaá al módulo de la velocidad. La podemos defini como un vecto con los siguientes atibutos: MÓDULO: Su valo equivale a la apidez con que vaía el módulo de la velocidad DIRECCIÓN: Es tangente a la taectoia en todos los puntos dv a t dt SENTIDO: Igual que el del movimiento si el módulo de la velocidad aumenta contaio si disminue. VECTORIALMENTE : dv a t u donde t t dt u es un vecto unitaio en la diección tangencial 10

11 ACELERACIÓN NORMAL, RADIAL O CENTRÍPETA: El témino centípeta indica que su diección de actuación es hacia el cento de la cuva. Po tanto, este tipo de aceleación apaece cuando los movimientos son cuvilíneos. Poduce cambios en la diección de la velocidad sin afecta a su módulo. Como vecto tiene las siguientes caacteísticas: MÓDULO: Su valo equivale a dividi el cuadado del valo de la velocidad ente el adio de la cuva descita 2 v a c DIRECCIÓN: Es adial, es deci, la diección del adio de la cuva descita SENTIDO: Es siempe hacia el cento de la cuva Empleando NOTACIÓN VECTORIAL a c v 2 u donde u, es el vecto unitaio en la diección adial. El signo negativo indica que está diigida hacia el cento de la cuvatua. 11

12 EJERCICIOS 1. Escibe el vecto de posición calcula sus módulos coespondientes paa los siguientes puntos: P 1 (4,2, 1), P 2 ( 3,1,0) P 3 (1,0, 5); Las unidades de las coodenadas están en el Sistema Intenacional. 2. Sea (t) (3t 4) i + 3 j 2 k, en unidades del SI, el vecto de posición de un móvil Calcula (t) paa t 2 t 5 s así como el vecto desplazamiento ente ambos instantes. 3. Detemina las ecuaciones paaméticas de la taectoia del siguiente movimiento epesado po la ecuación: ( t) [(t 2 5 t 2) i + (3 t +1) j ] m. 4. Las ecuaciones paaméticas de un móvil son: 2 t 1, 2 t 2 + t 4, en unidades SI. Obtén la ecuación de la taectoia decide qué tipo de cuva es. 5. El vecto de posición de una patícula es: ( t) (2 t 2 + t 1) i + (t +2) j, en unidades Sl. Detemina: a) El vecto de posición en los instantes t 1 t 3 s. b) El vecto desplazamiento ente los instantes anteioes su módulo. c) La ecuación de la taectoia en unidades SI. Dibuja apoimadamente esta taectoia. 6. Razona si las siguientes afimaciones son vedadeas o falsas: a) el espacio ecoido es siempe igual al módulo del vecto desplazamiento; b) el espacio ecoido es siempe igual al módulo del vecto desplazamiento sólo en los movimientos lineales; c) la velocidad la apidez instantáneas son magnitudes idénticas; d) el módulo de la velocidad instantánea es siempe igual a la apidez instantánea; e) el módulo de la velocidad media es siempe igual a la apidez media; f) un móvil cua apidez es distinta de ceo puede tene el módulo de su vecto velocidad media igual a ceo ente dos puntos de su taectoia. 7. Calcula la velocidad media ente los instantes t 2,5 s t 3,5 s, así como su módulo en el movimiento: (t) [(t t 2) i + (3t 1) j ] m. 8. Un móvil se desplaza en línea ecta a lo lago del eje ocupando las siguientes posiciones a cada instante de tiempo: t (s) (m) Contesta: a) A pati de los datos, cuántos movimientos distintos obsevas? b) Cuál seá la ecuación de la posición en función del tiempo en cada tamo? c) Cual es el vecto posición en los instantes t 1 s t 9 s? d) Cual es el vecto desplazamiento el vecto velocidad media ente los puntos del apatado anteio? 9. Un movimiento viene deteminado po las siguientes ecuaciones paaméticas: (t) 5 t; (t) 3 t 2 2 t + 7; en unidades del S.I. Epesa en foma catesiana a) los vectoes de posición paa t 3 s t 5 s. b) el vecto desplazamiento ente ambos puntos. c) Calcula, bien usando deivadas, o bien de foma apoimada utilizando 0,01 s las componentes del vecto velocidad paa t 3 s su módulo. d) Escibe la ecuación de la taectoia. 12

13 10. Un móvil sigue el ecoido A B C indicado en el gáfico (las distancias se miden en metos). a) Calcula el vecto desplazamiento en cada uno de los dos tamos. b) Si el tiempo que tada en completa el tamo A B es de 5 s el B C de 10 s, calcula el vecto velocidad media de cada tamo así como la velocidad media total; c) Calcula los módulos de todas las velocidades obtenidas en el apatado anteio. 11. Calcula la velocidad instantánea, usando deivadas de manea apoimada utilizando intevalos 0,01 s, en el instante t 3s, así como su módulo paa un móvil cua ecuación del vecto posición es: (t) [(t 2 + t 2) i + (4t 1) j ] m 12. Razona si un motoista que lleve una velocidad constante a lo lago de un cicuito ceado sufiá aceleación. 13. Calcula la epesión del vecto aceleación, usando deivadas o de manea apoimada utilizando intevalos 0,01 s, del movimiento cuo vecto velocidad ea v (t) [(2 t 2 1) i + (3 t + 2) j ] m/s en el instantes t 5 s, así como su módulo. 14. Un móvil va po un cicuito cicula de 50 m de adio. El módulo de la velocidad aumenta según la ecuación: v (t) (4 t 2) m/s. Calcula: a) la aceleación tangencial; b) la aceleación nomal; c) el módulo del vecto a a los 3 s. 15. Un móvil se desplaza po el plano XY según las ecuaciones paaméticas: t 3 + 4; 2 t 2 t +5, en unidades del SI. Calcula: a) la epesión de la velocidad de la aceleación del móvil; b) Calcula el módulo de la velocidad de la aceleación paa t 12 s. 16. La ecuación de posición de un móvil es: (t) (2 t 2 + 2) i + [(8/3) t 3 1] j + (t + 2) k (se epesa la posición en metos al epesa el tiempo en segundos). Calcula: a) el vecto velocidad su módulo en función de t ; b) el vecto aceleación su módulo en función de t ; c) la aceleación tangencial la nomal en función de t ; d) el adio de cuvatua paa t 2s. 17. La posición de una patícula móvil viene en función del tiempo: 4 t 2 t Detemina paa t1s: a) Los vectoes velocidad aceleación, así como sus módulos; b) Las componentes intínsecas de la aceleación c) el adio de cuvatua de la taectoia; d) La ecuación de la taectoia La ecuación de la posición de un móvil viene dada po: t i + 2 t j + k Calcula: a) La velocidad media en el intevalo 2 5 segundos; b) La velocidad paa t0; c) La aceleación en cualquie instante; d) La aceleación centípeta la tangencial 19. La componente de la velocidad de un objeto viene dada po v 3 2 t 10t + 25 la componente v es constante e igual a 2m/s está diigida hacia abajo. Epesa en función de los vectoes unitaios la velocidad inicial v o del objeto la velocidad a los tes segundos. Cuál ha sido la vaiación de velocidad ente esos dos instantes su vecto aceleación media? 2 13