UNIVERSIDAD DE CHILE FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA DE MINAS

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1 UNIVERSIDAD DE CHILE FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA DE MINAS SIMULACIÓN GEOESTADÍSTICA DE ATRIBUTOS GEOLÓGICOS Y AMBIENTALES Y SU APLICACIÓN A LA PLANIFICACIÓN MINERA TESIS PARA OPTAR AL GRADO DE MAGISTER EN MINERÍA MEMORIA PARA OPTAR AL TÍTULO DE INGENIERO CIVIL DE MINAS CARLOS JAVIER MONTOYA STUARDO PROFESOR GUÍA: DR. XAVIER EMERY MIEMBROS DE LA COMISIÓN: DR. ENRIQUE RUBIO ESQUIVEL DR. JACQUES WIERTZ DR. MARCELO CHEUICHE GODOY SANTIAGO DE CHILE DICIEMBRE 2008

2 RESUMEN Las etapas de evaluación de yacimientos, diseño y planificación resultan extremadamente importantes para un proyecto minero. Mientras mayor precisión tenga el modelo de recursos, más confiable será el diseño de la mina y su planificación de largo plazo, obteniendo así un mejor resultado final para el proyecto. Dentro de los aspectos involucrados en un proyecto minero se encuentra consideraciones económicas, pero también preocupaciones por los posibles impactos ambientales. De esta forma, resulta fundamental crear un modelo de recursos que considere atributos geológicos y ambientales. En este proyecto se considera el diseño de un modelo multivariable de leyes de elementos de interés económico (cobre, plata y molibdeno) y concentraciones de elementos contaminantes (arsénico y antimonio) mediante la aplicación de co-simulación geoestadística. Se compara los resultados de la co-simulación con aquellos obtenidos al aplicar otros métodos como la simulación de cada variable por separado y el promedio de varias simulaciones, encontrando que la co-simulación representa la realidad de manera más fidedigna al reproducir la variabilidad espacial de las leyes, además de las relaciones existentes entre los atributos, lo cual no es posible de lograr completamente por los otros métodos. Se analiza los efectos que tiene el modelo de co-simulación en el diseño y la planificación de la mina, con respecto a lo que ocurre al utilizar modelos obtenidos por los demás métodos. Al no considerar restricción de arsénico, se encuentra que el valor actualizado neto (VAN) esperado es similar en todos los modelos. Sin embargo, al observar las simulaciones en forma individual, las diferencias de VAN llegan a aproximadamente 400 MUS$ en la opción monovariable y a 500 MUS$ en la opción multivariable, lo cual indica un margen de error de 200 a 250 MUS$ en torno al valor esperado. Por otro lado, al aplicar una restricción de contenido máximo de arsénico en el mineral enviado a la planta de 500 ppm, los VAN asociados a los modelos obtenidos por simulación monovariable son negativos y para el caso multivariable son positivos, por lo que se aprecia que la rentabilidad proyectada varía dependiendo del tipo de estimación utilizado en el paso previo, y si ésta no se realiza correctamente puede generar una visión errónea acerca de la factibilidad real del proyecto. Por último, se escoge un caso base, correspondiente al promedio de las co-simulaciones, para definir una secuencia de extracción, la cual se aplica luego a distintos modelos de realizaciones multivariables, encontrando un rango de leyes posibles de extraer en el tiempo. Al calcular el VAN de cada opción se encuentra la probabilidad que tiene el plan base para cumplir con lo esperado. Esta probabilidad puede utilizarse favorablemente en los casos que se requiere cumplir con ciertas restricciones ambientales, por ejemplo, sobre las concentraciones de arsénico. Este estudio permite concluir que el método utilizado para la construcción de un modelo de bloques resulta crucial para la planificación minera. Por un lado, la co-simulación reproduce las dependencias que existen entre variables, mientras que la simulación por separado no lo hace, y permite entregar rangos de incertidumbre que pueden reflejarse en la planificación. Por otra parte, se aprecia que la inclusión de una restricción de arsénico tiene un impacto considerable en la planificación, reduciendo el VAN debido a que existe una alta correlación entre leyes de cobre y arsénico, por lo que al aplicar una condición máxima de arsénico, también se ve reducida la cantidad de cobre enviada a planta con tal de cumplir en lo posible con este límite. Todo esto corrobora la importancia de considerar modelos multivariables. ii

3 iii la felicidad simplemente existe

4 AGRADECIMIENTOS Muchas gracias a Codelco por patrocinar la cátedra de Evaluación de Yacimientos del Departamento de Ingeniería de Minas de la Universidad de Chile, en la cual tuve la oportunidad de realizar esta Tesis. A Conicyt por financiar este trabajo a través del proyecto Fondef D04I-1055 y a las empresas asociadas a él (Codelco, Gemcom), muchas gracias. Agradezco sinceramente la ayuda otorgada por los profesores del Departamento de Ingeniería de Minas de la Universidad, especialmente a Xavier Emery, quien con su inteligencia, paciencia y sentido del humor hizo que todo fuera más fácil. Doy gracias también a mis compañeros de Universidad por la amistad compartida durante todos estos años. Finalmente, doy gracias de todo corazón a mi familia entera por el inmenso apoyo entregado durante toda mi carrera, a mi papá por su experiencia, a mi mamá por su cariño, a mis hermanas por su preocupación y a mi sobrina por su alegría. Y en especial, te agradezco a ti mi pequeña por toda tu ayuda, comprensión, paciencia, felicidad y amor que siempre me das (TAMMACTEAYECYPS). iv

5 ÍNDICE DE CONTENIDOS 1. INTRODUCCIÓN MOTIVACIÓN OBJETIVOS OBJETIVO GENERAL OBJETIVOS ESPECÍFICOS ALCANCES ANTECEDENTES ANTECEDENTES DE GEOESTADÍSTICA HIPÓTESIS DE ESTACIONARIDAD ANÁLISIS VARIOGRÁFICO (MONO Y MULTIVARIABLE) CO-KRIGING VALIDACIÓN SIMULACIÓN MODELO MULTIGAUSSIANO ALGORITMOS DE SIMULACIÓN SIMULACIÓN MULTIVARIABLE DISEÑO Y PLANIFICACIÓN MINERA RESTRICCIONES Y COSTOS AMBIENTALES METODOLOGÍA CASO DE ESTUDIO ETAPA 1 (MODELAMIENTO GEOESTADÍSTICO) ANÁLISIS PRELIMINAR DESCRIPCIÓN DE BASE DE DATOS ANÁLISIS EXPLORATORIO DE DATOS GLOBALES SELECCIÓN DE DOMINIO A ESTUDIAR TIPO DE MINERALIZACIÓN TIPO DE ROCA O UNIDAD GEOLÓGICA (UGE) TAMAÑO DE COMPÓSITOS ANÁLISIS EXPLORATORIO DE LOS DATOS EN LA SELECCIÓN FINAL DESPLIEGUE DE DATOS ESTADÍSTICAS BÁSICAS DE SELECCIÓN DE DATOS HISTOGRAMAS DE FRECUENCIA NUBES DE CORRELACIÓN v

6 4.3. ESTUDIO VARIOGRÁFICO TRANSFORMACIÓN DE DATOS A GAUSSIANOS VALIDACIÓN DE HIPÓTESIS MULTIGAUSSIANA MAPAS VARIOGRÁFICOS VARIOGRAMAS EXPERIMENTALES VARIOGRAMAS MODELADOS CO-SIMULACIÓN CONDICIONAL SELECCIÓN DE DOMINIO DEFINITIVO VECINDAD PARA LA SIMULACIÓN RESULTADOS SIMULACIÓN CONDICIONAL MULTIVARIABLE RESULTADOS DE CO-KRIGING SIMPLE REBLOQUEO DE MODELO DE CO-SIMULACIÓN RESULTADOS SIMULACIÓN CONDICIONAL MONOVARIABLE RESUMEN DE LA ETAPA CASO DE ESTUDIO ETAPA 2 (DISEÑO Y PLANIFICACIÓN MINERA) PARÁMETROS UTILIZADOS CASO 1 PLANIFICACIÓN POR MODELO MODELO DE PROMEDIO DE CO-SIMULACIONES MODELO DE PROMEDIO DE SIMULACIONES MONOVARIABLES MODELOS DE REALIZACIONES DE LA CO-SIMULACIÓN MODELOS DE REALIZACIONES DE SIMULACIÓN MONOVARIABLE COMPARACIÓN DE RESULTADOS CASO 2 INCERTIDUMBRE ASOCIADA A UN PLAN CONCLUSIONES BIBLIOGRAFÍA vi

7 1. INTRODUCCIÓN Hoy en día existe una creciente preocupación por todo lo que tenga que ver con aspectos e impactos ambientales. Es así como la minería se transforma en un importante foco de atención cuando se trata de hablar de problemas medioambientales. En general, la visión que existe sobre los proyectos mineros por parte de la comunidad es muy negativa debido a que éstos se basan en operaciones de gran escala que, además de producir elementos de interés económico, producen gran cantidad de residuos. Sin embargo, los esfuerzos por parte de la industria minera por reducir los impactos ambientales han ido creciendo y mejorando, por lo que cualquier tipo de acción que se pueda tomar con tal de mejorar la relación que existe entre minería y medioambiente resulta de gran utilidad, y no sólo para el medioambiente sino que también elevan el prestigio de las empresas. Debido a lo anterior, resulta de gran importancia considerar lo antes posible las variables ambientales dentro de un proyecto minero, con tal de evitar tener que remediar algo que a lo mejor se podría haber prevenido. Estas consideraciones pueden incluso aumentar el valor de un proyecto al incluir situaciones problemáticas (como concentraciones máximas de elementos contaminantes) en etapas tempranas que permitan disminuir algunos costos en fases más avanzadas. De esta manera, dentro de un proyecto minero se pueden incluir variadas etapas, las cuales se encuentran relacionadas entre sí, por lo que la incorrecta ejecución de una puede perjudicar a otra, así como también una óptima realización puede beneficiar a las demás y al proyecto en general. Entre las etapas primarias de un proyecto se encuentran la evaluación del yacimiento, y el diseño y planificación minera. De la correcta ejecución de estas etapas dependerán los resultados del proyecto total. Gracias a la evaluación del yacimiento resulta posible generar un modelo que permite conocer los recursos con los cuales se cuenta para diseñar una mina. Por lo tanto, mientras más información tenga este modelo y mientras de mejor calidad sea, mejor será el análisis del diseño y la planificación minera. De acuerdo a esto, la evaluación de recursos puede llevarse a cabo mediante la estimación de una o varias variables distribuidas en el espacio a partir de la información obtenida de una toma de muestras, mediante métodos geoestadísticos de interpolación (kriging) o de simulación, los cuales permiten crear escenarios confiables y consistentes con la información disponible del yacimiento. El uso de simulaciones tiene la ventaja de poder cuantificar la incertidumbre, lo cual puede ayudar mucho al momento de decidir si extraer o no una unidad con determinados niveles de concentración de elementos contaminantes y con determinado valor económico. Es así como en este proyecto se pretende analizar los distintos impactos que se pueden apreciar sobre el diseño y planificación de una mina, al considerar un modelo construido con simulación, comparado con un modelo de estimación clásico, tanto para el caso multivariable como monovariable, incluyendo atributos de tipo geológico (leyes de elementos de interés) y de tipo ambientales (concentraciones de elementos contaminantes) que pueden ser útiles de considerar de manera conjunta. 1

8 1.1. MOTIVACIÓN Resulta muy importante construir un apropiado diseño en un proyecto minero con tal de llevar a cabo la producción de forma correcta durante la actividad de la mina. Existen distintos aspectos a considerar para evaluar la factibilidad del proyecto, como lo son las características propias del yacimiento (estabilidad física, química, geotécnica, etc.) y algunos aspectos externos (financieros, ambientales y socioeconómicos, entre otros). Algunos de los atributos propios del yacimiento necesitan ser controlados durante la producción y procesamiento del mineral, como por ejemplo las concentraciones de elementos contaminantes (As, Sb, etc.). Hoy en día resulta importante que Geólogos, Mineros y Metalurgistas trabajen bajo una visión integral del proceso minero, comunicándose con un lenguaje común y de manera conjunta. Aquello de que primero el Geólogo, luego el Minero y el Metalúrgico al final ya no resulta válido. Gracias a esto, el negocio minero se ha transformado en una actividad con un enfoque multidisciplinario donde se consideran, además de aspectos económicos, aspectos técnicos, sociales y ambientales, dentro de todas las etapas. De esta forma se ha planteado la tendencia de un enfoque Geo-Minero-Metalúrgico, sumándole componentes ambientales, en lo referente a cómo obtener el máximo provecho de los recursos mineros, adaptándose a su naturaleza, a las condiciones de mercado y a factores socioambientales a lo largo de la vida útil del yacimiento. Esto implica generar una estrategia de acceso a las reservas y de evolución de las capacidades de procesamiento de manera tal que se optimicen las ganancias efectivas. Para ello es necesario generar esfuerzos multidisciplinarios centrados en contribuir al aumento de las opciones de negocio a través de una planificación minera tecnológica basada en conceptos Geo-Minero- Metalúrgicos asociados a distintas variables ambientales. Por lo tanto, para un caso de rajo abierto, es necesario que la información proporcionada para crear el diseño del pit final sea lo más completa y confiable posible, con tal de encontrar la mejor opción para el proyecto. La información en la que se basa la construcción del diseño se encuentra almacenada en un modelo de bloques, el cual se obtiene en una etapa previa de evaluación del yacimiento. De acuerdo a esto, se plantea que la creación de un modelo mediante la aplicación de herramientas de simulación geoestadística, que considere distintas variables aparte de la ley del elemento principal (modelo multivariable), puede tener impactos positivos sobre la etapa de diseño y planificación, permitiendo así controlar una mayor cantidad de aspectos desde el principio del proyecto y no durante las fases de operación y procesamiento. Al considerar un modelo multivariable, que incluye tanto información de atributos geológicos como ambientales, se puede llegar a un diseño distinto que decida de mejor forma qué unidades realmente conviene o no extraer y en qué orden extraerlas. Para lograr esto, se necesita obtener un modelo con mayor confiabilidad, que reproduzca la variabilidad espacial y coincida con los valores reales medidos en los sitios con datos. Se recurre entonces a técnicas de simulación, las cuales se apoyan en la interpretación de las variables como realizaciones de funciones aleatorias y en el modelamiento de su distribución espacial. 2

9 Es así como el uso de simulaciones entrega una alternativa más confiable al poder considerar la incertidumbre mediante probabilidades de sobrepasar algún umbral prohibido. Se tendrá interés en realizar un estudio conjunto (multivariable) de todas las variables, de manera de poder tomar en cuenta los vínculos entre ellas y la información aportada por variables auxiliares sobre la variable de interés principal. En general, el medioambientalista busca cuantificar el riesgo de que la concentración de un elemento tóxico en el subsuelo supere un umbral crítico, de modo de poder tomar medidas de remediación. Por otro lado, el ingeniero de minas se preocupa de saber si las leyes de mineral son mayores que una ley de corte que asegura la rentabilidad de la explotación minera para luego evaluar los tonelajes y cantidades de metal que se pueden extraer sobre esta ley de corte. Al considerar la simulación de atributos geológicos y ambientales de manera conjunta, se estará tomando en cuenta los intereses de ambas personas dentro de un mismo modelo de bloques, con lo cual se pretende ayudar a mejorar y conectar la relación existente entre minería y medioambiente al momento de realizar el plan de producción, asociado al cumplimiento de determinadas restricciones y normas dirigidas a mejorar la calidad del producto y a respetar la ley. 3

10 1.2. OBJETIVOS OBJETIVO GENERAL El principal objetivo de este trabajo consiste en construir modelos multivariables de distribución de leyes de elementos de interés y analizar sus efectos en la etapa de diseño y planificación minera, comparando con el uso de modelos monovariables. Se desea construir el modelo multivariable mediante co-simulación geoestadística con tal de incluir y reproducir las relaciones existentes entre las distintas variables de interés. Además, se desea desarrollar una etapa de diseño y planificación minera que se adecúe al modelo multivariable OBJETIVOS ESPECÍFICOS Se pretende construir modelos de distribución de leyes asociados a una base de datos real, la cual contiene varias variables de interés, entre las que se encuentran tanto variables de tipo geológicos como ambientales. Se desea desarrollar los modelos considerando estas variables con tal de estudiar sus impactos y utilidades en el posterior proceso de planificación. Con esto, se pretende analizar en qué puede ayudar un modelo multivariable para definir el diseño y el plan minero, enfocado principalmente a rajo abierto y por lo tanto a obtener una mejor opción de pit final. También se desea analizar en qué puede ayudar el modelo multivariable a considerar en una etapa previa a la extracción, posibles problemas ambientales que se generan en etapas posteriores de proceso, introduciendo variables ambientales, como concentraciones de arsénico, en la evaluación de yacimientos. Es decir, se pretende definir pros y contras, para la evaluación de yacimientos y la planificación minera, de considerar muchas variables conjuntamente al momento de construir un modelo de distribución de leyes, tanto para la minería como para el medio ambiente. Se quiere realizar el proceso de co-simulación geoestadística aplicando el modelo multigaussiano, para lo cual se debe realizar un análisis exploratorio y variográfico de los datos que permita verificar la posibilidad de utilizar este modelo y qué variables incluir. Además, se desea obtener los modelos de leyes utilizando otras herramientas convencionales, como kriging, co-kriging o promedio de simulaciones, con tal de comparar las diferencias existentes entre los distintos tipos de modelos de bloques, mono y multivariables. 4

11 Cabe destacar que no es objetivo de este trabajo lograr optimizar la estimación de las leyes de este yacimiento, por lo que no se consideran ciertos límites geográficos para delimitar la zona de estudio, como por ejemplo la topografía real. Se pretende encontrar modelos de los datos que sirvan como representativos de cada método de estimación para poder ser utilizados en la etapa de diseño y planificación. Tampoco es un objetivo encontrar el plan minero óptimo del yacimiento en cuestión, sino que lo que importa es encontrar las diferencias e impactos producidos al utilizar un modelo de leyes en vez de otro bajo los mismos criterios de planificación ALCANCES Para desarrollar este proyecto se cuenta con una base de datos real perteneciente al yacimiento de la Mina Ministro Hales (ex Mansa Mina). Debido a la gran cantidad de información que existe, se seleccionará una zona de interés y algunas de las variables contenidas en la base de datos, para las cuales se llevarán a cabo las etapas correspondientes del caso de estudio. La zona se elegirá de acuerdo a criterios de densidad de información y ocurrencia de altas leyes. Además se plantea analizar distintas opciones de tamaños de compósitos con tal de encontrar el que sea más adecuado. En cuanto a las variables, se debe decidir si resulta conveniente considerar una diferenciación según tipos de roca o según tipos de mineralización, de acuerdo a criterios adecuados. En cuanto al enfoque para crear los modelos de leyes se plantea realizar las co-simulaciones con el modelo multigaussiano aplicando el algoritmo de bandas rotantes. Se pretende validar estas simulaciones con tal de crear un modelo correcto y útil para la posterior etapa de diseño y planificación. Además, se llevará a cabo la construcción de un modelo de leyes estimadas, aunque se sabe que esconde la variabilidad real de los atributos. En cuanto a los enfoques para la etapa de diseño y planificación, se pretende definir los criterios y parámetros de planificación (costos, precios, recuperaciones, etc.) para un caso base, y aplicarlos a todos los modelos a analizar de forma similar. El concepto de diseño utilizado en este trabajo se refiere a encontrar el pit final para los determinados modelos, sin incluir el diseño de infraestructura como rampas y accesos. Se considera restringir el estudio a una planificación de largo plazo y definir distintos tipos de valoración para generar alternativas de planes (planificar solamente en base a ley de cobre, planificar de manera multivariable, incluyendo o no los atributos ambientales). Para la obtención del plan de producción se utilizará un software que permita crear un diseño de pit final y una secuencia de explotación de manera correcta. 5

12 2. ANTECEDENTES 2.1. ANTECEDENTES DE GEOESTADÍSTICA La geoestadística se define como el estudio de fenómenos regionalizados, es decir, fenómenos que se extienden en el espacio y presentan una cierta continuidad. El objeto sobre el cual se trabaja es una descripción matemática del fenómeno regionalizado, es decir, una o varias funciones numéricas llamadas variables regionalizadas, que miden ciertas propiedades o atributos relacionados con este fenómeno. Es posible encontrar variables continuas y categóricas. Por ejemplo, la ley de un mineral, la densidad de la roca o la recuperación metalúrgica, describen un fenómeno de mineralización y corresponden a variables continuas. Los tipos de roca o tipos de mineralización corresponden a variables categóricas o codificadas. Una variable regionalizada es una función determinística que, en general, presenta dos aspectos complementarios. Por una parte, tiene una cierta continuidad espacial (zonas de altos valores o zonas de bajos valores), pero por otro lado, varía irregularmente y escapa a toda representación simple. Dado que un fenómeno regionalizado nunca posee una extensión infinita, se estudia la variable regionalizada sólo dentro de un dominio limitado o campo de la variable. En cada posición x del espacio, el valor de la variable regionalizada, denotado como z(x), es considerado una realización de una variable aleatoria Z(x). Cuando se recorre el campo, se obtiene una familia de variables aleatorias que constituyen una función aleatoria, la cual se caracteriza por su distribución espacial, es decir, el conjunto de distribuciones de probabilidad multivariables que rigen las distintas variables aleatorias. La geoestadística interpreta entonces la variable regionalizada como una realización de una función aleatoria, permitiendo considerar su aspecto errático e incierto (modelado por el recurso a variables aleatorias), y su aspecto estructurado, pues las variables aleatorias definidas están correlacionadas entre sí. Resulta difícil inferir la distribución espacial entera de una función aleatoria, dado el número finito de observaciones disponibles sobre la variable regionalizada. Por esta razón, en general sólo se utiliza los dos primeros momentos de la función aleatoria, con lo que se obtiene una caracterización elemental de ésta. El momento de primer orden o esperanza matemática, representa la media alrededor de la que se distribuyen los valores en distintas realizaciones independientes de la función aleatoria. Los momentos de segundo orden que se consideran son: 6

13 - La varianza a priori, que corresponde a una medida de la dispersión en torno al valor medio. - La covarianza y el variograma, que miden la relación o dependencia entre dos variables aleatorias. Estos dos últimos parámetros son más importantes que la esperanza y la varianza, pues muestran la interacción que existe entre dos valores, dando una descripción sintética de la continuidad espacial de la variable regionalizada HIPÓTESIS DE ESTACIONARIDAD Para poner en marcha el formalismo probabilístico, se necesita determinar, por lo menos parcialmente, la distribución espacial de la función aleatoria a partir de los datos disponibles sobre la variable regionalizada. Dos razones impiden poder realizar la inferencia estadística en su forma más general: por una parte, la variable regionalizada sólo es una realización de la función aleatoria. Por otro lado, esta realización se conoce de manera fragmentaria, en algunos sitios de muestreo. Para salir de este problema algunas restricciones son necesarias. Se recurre a la noción de estacionaridad, cuya idea es permitir la inferencia estadística, reemplazando la repetición sobre las realizaciones de la función aleatoria (inaccesible) por una repetición en el espacio. Es decir, se supone que los valores que se encuentran en las diferentes regiones del campo presentan las mismas características estadísticas y, por ende, pueden considerarse como distintas realizaciones del mismo proceso aleatorio. Del punto de vista matemático, la hipótesis de estacionaridad consiste en postular que la distribución espacial de la función aleatoria es invariante por traslación, es decir, que las propiedades estadísticas de un conjunto de datos no dependen de su posición absoluta en el espacio, sino que solamente de sus posiciones relativas. Esto implica las siguientes simplificaciones: - La distribución univariable no depende del sitio considerado. En particular, la esperanza y la varianza son constantes en el espacio. - La distribución bivariable sólo depende de la separación entre los sitios considerados. Lo mismo ocurre para los momentos de esta distribución (covarianza y variograma). 7

14 2.3. ANÁLISIS VARIOGRÁFICO (MONO Y MULTIVARIABLE) Es frecuente que varias variables regionalizadas se refieran a un mismo fenómeno, como por ejemplo en el caso de la evaluación de los recursos minerales en yacimientos polimetálicos, en donde distintas leyes se encuentran asociadas a un mismo fenómeno de mineralización. Se tiene entonces un interés en realizar un estudio de todas las variables regionalizadas en conjunto, con tal de considerar los vínculos entre ellas. Se llama corregionalización al conjunto de variables regionalizadas, que denotaremos como z 1,, z N. Estas variables están definidas sobre un mismo dominio acotado, llamado campo de la corregionalización. Se habla de, homotopía cuando todas las variables son medidas en todos los sitios de muestreo, heterotopía total, cuando las variables son medidas sobre conjuntos de sitios disjuntos, y de heterotopía parcial, cuando sólo una parte de los sitios de medición son comunes a todas las variables (a menudo, ocurre que el conjunto de sitios de medición de una variable está incluido en el de otra). Finalmente, las funciones aleatorias asociadas a las variables regionalizadas se denotan como Z 1,, Z N. Tal como en el marco univariable, se definen herramientas variográficas destinadas a analizar la continuidad espacial de las variables. Se supone que las funciones aleatorias asociadas son conjuntamente estacionarias, de modo que dichas herramientas variográficas serán funciones del vector de separación entre datos y no de su posición absoluta. El variograma cruzado entre las funciones aleatorias Z i y Z j para un vector de separación h se define como: 1 γ ij ( h) = cov{ Z i ( x + h) Z i ( x), Z j ( x + h) Z j ( x)} 2 El variograma simple o directo corresponde al caso i = j. Se puede definir la matriz de variogramas de la siguiente manera: Γ γ ( h ) = [ ij ( h)] i, j = 1... N Los variogramas simples y cruzados de un conjunto de variables no pueden modelarse independientemente, pues entre ellos existen restricciones matemáticas. En particular, la matriz Г(h) debe ser simétrica y de tipo positivo para todo vector h. En la práctica, para satisfacer estas restricciones, se recurre al llamado modelo lineal de corregionalización (MLC). Se supone que los variogramas simples y cruzados son combinaciones de un mismo conjunto de modelos de base: Γ( h) = donde g u (h) es un modelo básico de variograma, y B u es una matriz de corregionalización. S u= 1 8 B u g u ( h)

15 Una condición suficiente para que el modelo definido sea matemáticamente válido es que cada una de las matrices de corregionalización B u sea simétrica de tipo positivo. Esto se puede controlar al observar que todos los valores propios de B u sean positivos o nulos CO-KRIGING Se trata de la versión multivariable del kriging, donde se busca estimar el valor de una variable tomando en cuenta los datos de esta variable y de otras variables correlacionadas. La estimación será una combinación lineal ponderada de los datos, sin sesgo y con una varianza del error mínima. Para llevar a cabo el co-kriging se requiere tener los modelos variográficos de cada variable, pero además se necesitan los variogramas cruzados entre las distintas variables, para medir la correlación existente entre estas variables. El co-kriging comparte las mismas propiedades que el kriging, en particular: - Interpolación exacta, en un sitio con dato, el valor estimado vuelve a dar el valor del dato, mientras que la varianza del error es nula. - Insesgo, el error de estimación tiene esperanza nula. - Precisión, el error de estimación tiene una varianza mínima. - Suavizamiento, las estimaciones presentan menos variabilidad que los valores reales desconocidos. En consecuencia, el co-kriging tiende a sobrestimar las zonas de valores bajos y subestimar las zonas de valores altos, aunque en promedio los errores tienden a compensarse debido a la restricción de insesgo. Existen distintas variantes de co-kriging, entre las cuales se encuentran el co-kriging simple (medias conocidas) y el co-kriging ordinario (medias desconocidas) VALIDACIÓN Para validar los parámetros del co-kriging (modelo de variograma, vecindad elegida), se pueden usar los siguientes métodos: - Validación cruzada, que consiste en estimar sucesivamente cada dato considerando solamente los datos restantes, o 9

16 - Jack-knife, en donde se divide la muestra inicial en dos partes y se estima una parte a partir de la otra. Luego, se hace un estudio estadístico de los errores cometidos para saber si el co-kriging fue satisfactorio. Algunos de los criterios de validación pueden ser: - Las medias de los errores y de los errores estandarizados deben ser cercanas a cero, lo cual implica tener un estimador sin sesgo. - La varianza de los errores debe ser la más baja posible con tal de obtener un estimador preciso. - La varianza de los errores estandarizados debe ser cercana a 1, lo cual implica que los variogramas cuantifican adecuadamente la incertidumbre. - La nube de dispersión entre valores reales y estimados considera que la regresión debe acercarse a la diagonal con tal de verificar la llamada propiedad de insesgo condicional SIMULACIÓN El principio de una simulación consiste en construir una variable ficticia que reproduce la continuidad espacial de la variable regionalizada z. Esta construcción se basa en la interpretación de z como una realización particular de una función aleatoria Z. La idea es generar otras realizaciones de esta función aleatoria. Mientras que el kriging y otros métodos de interpolación conducen a una imagen suavizada de la realidad, las realizaciones de Z presentan la misma variabilidad espacial que la variable regionalizada real, en particular, el mismo histograma y el mismo variograma. En consecuencia, la respuesta de una simulación a una operación es similar a la respuesta que daría la variable real. Para que una simulación sea realista, se desea que restituya los valores medidos en los sitios con datos. Se habla entonces de simulación condicional. Esta restricción adicional se formaliza por la noción de distribución condicionada: se busca construir una función aleatoria con la misma distribución espacial que Z y conociendo los valores que debe tomar en los sitios con datos. En el transcurso de un estudio práctico, la evaluación de un resultado se efectúa vía simulaciones condicionales. A menudo, las simulaciones no condicionales constituyen una etapa preliminar en la construcción de las simulaciones condicionales. También, cuando los datos disponibles son muy pocos y no permiten especificar convenientemente el modelo variográfico, se utiliza simulaciones no condicionales para estudiar la influencia de los parámetros de este modelo (alcance, comportamiento en el origen, meseta...) en el resultado buscado. La simulación tendrá las siguientes propiedades: 10

17 - Interpolación exacta, cuando es condicional. - Insesgo: la variable regionalizada o, más generalmente, una función de esta variable puede ser estimada sin sesgo (es decir, con un error de esperanza nula) por la misma función aplicada a los valores simulados. - No suaviza: la dispersión de los valores simulados es la misma que la dispersión de los valores verdaderos. - No es precisa: el error entre valor real y valor simulado no tiene una varianza mínima. Para remediar a esta última limitación, la idea es no utilizar una simulación única, sino que un conjunto grande de simulaciones, cada una de las cuales representa un escenario posible. Así, para evaluar una magnitud cualquiera, basta con efectuar los cálculos sobre un gran número de simulaciones, como si se tratara de los valores reales, y posteriormente tomar la media como estimación de la magnitud buscada. Mejor aun: la distribución de los resultados obtenidos sobre el conjunto de simulaciones da una imagen de la incertidumbre asociada a la magnitud estudiada, lo que permite medir la precisión de la estimación (por ejemplo, por una varianza o por intervalos de probabilidad) MODELO MULTIGAUSSIANO Se dice que una función aleatoria tiene una distribución espacial multigaussiana, si toda combinación lineal ponderada de sus valores sigue una distribución Gaussiana. Afortunadamente, para este caso, la distribución espacial se caracteriza completamente por sus dos primeros momentos (media y covarianza o variograma). Este modelo es particularmente sencillo, además el teorema del límite central facilita la búsqueda de algoritmos de simulación. Sin embargo, en la práctica, la variable a simular no necesariamente presenta este tipo de distribución y, por lo tanto, no se trabaja directamente sobre ella, sino que sobre su transformada Gaussiana, la cual se obtiene de una etapa previa donde se aplica una función de anamorfosis que transforma los datos originales en valores Gaussianos. Una etapa posterior donde se comprueba el carácter multigaussiano de los datos transformados es necesaria. Esto se logra aplicando diversos tests al examinar nubes de correlación diferida, variogramas de indicadores y madograma. Luego, si la hipótesis multigaussiana resulta aceptable, es posible realizar simulaciones condicionales aplicando uno de los diversos algoritmos disponibles. En caso de que el condicionamiento no sea realizado directamente por dicho algoritmo, éste se deberá realizar posteriormente mediante una etapa de kriging (co-kriging en el caso multivariable). Finalmente, una transformación inversa es necesaria para volver de la variable Gaussiana a la variable original. 11

18 ALGORITMOS DE SIMULACIÓN Para realizar las simulaciones, es necesario definir un algoritmo que permita construir realizaciones del modelo definido y condicionarlas a los datos disponibles. De acuerdo a esto, existe una amplia gama de algoritmos que permiten incorporar los distintos tipos de información condicionante en las realizaciones. En el caso del modelo multigaussiano, existen numerosos algoritmos para responder al problema, dentro de los cuales se encuentran: - Algoritmo secuencial - Método de descomposición matricial - Método espectral continuo y espectral discreto - Método de bandas rotantes. Entre estos, los dos primeros permiten realizar simulaciones condicionales directamente, es decir, no requieren de una etapa posterior para restituir los valores de los datos en los sitios de muestreo. En tanto que los algoritmos restantes generan simulaciones no condicionales, y por lo tanto, el condicionamiento se realiza en una etapa adicional, basada en un co-kriging simple. Una ventaja de estos últimos por sobre el algoritmo secuencial, tiene que ver con el tiempo de cálculo, dado que el sistema de co-kriging utilizado sólo involucra los datos originales y, a partir de éste, se puede condicionar varias realizaciones con un solo co-kriging. Los ponderadores de co-kriging son los mismos para todas las realizaciones, luego pueden ser calculados de una vez por todas. Particularmente, el método de bandas rotantes resulta muy eficiente, pues simplifica el problema de la simulación en el espacio tridimensional usando simulaciones unidimensionales, para luego esparcirlas al espacio de tres dimensiones SIMULACIÓN MULTIVARIABLE Se puede extender los métodos de simulación condicional al ámbito multivariable (cosimulación). En el algoritmo de bandas rotantes, es preciso utilizar un co-kriging para condicionar las realizaciones a los datos disponibles. Aquí el enfoque multivariable (co-kriging, en lugar de kriging) es indispensable para poder reproducir las correlaciones entre las variables. En este trabajo, se utilizará un programa escrito en Matlab (TBCOSIM) para realizar cosimulación de un conjunto de funciones aleatorias Gaussianas, cuyas funciones de covarianza (o variogramas) simples y cruzadas están ajustadas por un modelo de corregionalización. Está basado en el método de bandas rotantes, el cual realiza una simulación tri-dimensional por medio de una serie de simulaciones uni-dimensionales a lo largo de líneas que cruzan R 3. Además, la realización puede ser hecha condicional a los datos, transformada de vuelta y directamente promediada sobre soporte de bloques (Emery, 2008). 12

19 2.6. DISEÑO Y PLANIFICACIÓN MINERA La elección y el posterior diseño del método de explotación de un yacimiento mineral se encuentran basados en distintos factores económicos, tales como costos, beneficios e inversiones. La decisión final de dichos factores está relacionada con características propias del yacimiento tales como ubicación, geometría, tipo de mineral, mineralización, características del macizo rocoso, etc. Esta información se obtiene de una campaña de exploración debidamente desarrollada en una etapa previa. Además, la elección final depende también de las políticas, necesidades y recursos que disponga la empresa interesada en realizar dicha explotación. Es por ello que cada yacimiento es potencialmente sensible a ser explotado por cualquier método minero, de los cuales serán descartados los que no representen un buen negocio para la empresa interesada. Para los propósitos de este trabajo se asume que definitivamente se explotará el yacimiento en estudio mediante el método de Rajo Abierto. La explotación de un yacimiento por este método, requiere de un modelo de bloques previamente creado al procesar los datos iniciales provenientes de las campañas de sondajes por medio de alguna técnica de estimación (kriging, simulación, etc.). Una vez disponible el modelo de bloques se comienza con la etapa de diseño, la cual entrega como resultado los límites económicos de la explotación (pit final). A estos límites se pueden agregar también los límites de las distintas etapas de extracción o fases, las cuales definen la secuencia de explotación del yacimiento. Como todo proyecto, la explotación de un yacimiento deberá ser evaluada técnica y económicamente, dentro de un período o vida de la mina. Esta vida del yacimiento dependerá principalmente de las cantidades de reservas mineables, ritmo de explotación o producción requerido y de las necesidades, políticas e intereses de la empresa. Para la correcta evaluación del proyecto, se debe contar con los parámetros necesarios para el desarrollo de los estudios, los cuales provendrán de fuentes de información técnica fidedignas, tales como la operación de otros yacimientos de similares características, tecnología y procesos productivos involucrados. Cada una de las actividades ligadas significa un costo dentro del desarrollo de la explotación. Estos costos y los beneficios asociados a la venta de los productos serán los que definirán si un bloque con ley mayor que cero será considerado como mineral o estéril. El diseño de los límites económicos del rajo se puede realizar aplicando el método de Lerchs y Grossmann. La aplicación de este método garantiza encontrar la delineación óptima para el pit final de un modelo de yacimiento que maximice el beneficio, generando una envolvente económica óptima dado un determinado conjunto de condiciones económicas y geotécnicas (Lerchs y Grossmann, 1965). 13

20 El software Whittle de Gemcom permite obtener un conjunto de envolventes económicas aplicando el algoritmo de Lerchs y Grossmann, las cuales deben ser analizadas para encontrar cuál de ellas será considerada como el pit final del yacimiento en estudio. Este programa permite analizar los diseños del rajo, tomando en cuenta todos los factores condicionantes de carácter físico, económico y de explotación. Para un determinado pit final, Whittle permite analizar distintos tipos de planes de producción, definiendo las fases y los límites de explotación, con lo cual se puede encontrar la secuencia óptima de extracción. Además, es posible seleccionar las funciones que son más importantes de considerar de acuerdo a los requerimientos de la empresa, como por ejemplo, planificar expansiones destinadas a maximizar el VAN o a equilibrar la tasa de explotación, respondiendo a todos los factores condicionantes de la producción, a modelos de costos y de precios y proporcionando ciertos controles adicionales para la planificación. Por otro lado, es importante considerar la capacidad de tomar en cuenta la variabilidad como una oportunidad de negocio que se puede controlar en el corto plazo. Esta capacidad debe ser respaldada con una planificación de largo plazo, la cual no maximiza un VAN, sino que maximiza la probabilidad de cumplir con el mejor VAN posible. Para llevar a cabo esta tarea es necesario generar esfuerzos multidisciplinarios centrados en contribuir al aumento de las oportunidades de negocios a través de una planificación minera basada en conceptos Geo- Minero-Metalúrgicos. De esta forma, aparece un enfoque de planificación geometalúrgica como base para evaluar el desarrollo de proyectos mineros, la explotación de nuevos depósitos de minerales y el diseño de plantas metalúrgicas, en donde se incluyen diversos tipos de variables y costos que no necesariamente se encuentran relacionados con la etapa de diseño y planificación estándar, sino que pueden ser parte de etapas posteriores y que es preferible incluirlos lo antes posible al análisis de factibilidad de los proyectos, manteniendo una relación integrada entre los distintos procesos del ciclo minero y disminuyendo el riesgo de no cumplir con lo esperado RESTRICCIONES Y COSTOS AMBIENTALES En el ciclo de vida minero existen diversas etapas necesarias para alcanzar el producto final, dentro de las cuales se encuentran la explotación, el procesamiento de minerales y la metalurgia extractiva. La primera etapa importante en el procesamiento de minerales consiste en una reducción del tamaño del mineral en los procesos de chancado y molienda. Luego, en el proceso de flotación se separa la fase mineralizada (sulfuros metálicos) de la ganga mediante una separación de fases basada en las propiedades superficiales de los minerales. De este proceso se obtiene un concentrado de cobre sulfurado que se alimenta a la fundición y un relave que se elimina en el tranque de relaves. El proceso de fundición de concentrados de cobre consiste en transformar el concentrado sulfurado en cobre prácticamente puro (99.95%). El cobre que está presente en el concentrado, en una concentración que puede variar entre 25% y 45%, está asociado principalmente a azufre y hierro, y en algunos casos a una presencia importante de arsénico. Cada una de estas etapas involucra diversas operaciones unitarias, las que generan distintos tipos de residuos con características que dependen del tipo de recurso explotado. De esta forma se pueden identificar distintos tipos de variables ambientales, las cuales deben ser consideradas en los procesos ya que se encuentran sujetas a restricciones y costos, impuestos tanto por las empresas como por normativas y regulaciones estatales, que afectan el valor final del proyecto. 14

21 Los costos asociados a las variables ambientales no siempre se consideran como costos convencionales. Existen actividades ambientales relevantes que al ser consideradas en el proceso de diseño minero pueden crear diferencias entre los resultados finales del diseño. Los costos ambientales considerados en el diseño minero están asociados al desarrollo de acciones de mitigación, realizadas para minimizar los impactos ambientales, además de los costos generados por actividades como estudios de impacto ambiental o auditorías especiales. Estos impactos se relacionan con todas las operaciones unitarias involucradas en las distintas etapas de un proyecto minero. Dentro de las principales variables asociadas a estos procesos mineros y metalúrgicos se pueden señalar, todas las emisiones de material particulado, producto de las operaciones de extracción, procesamiento y transporte de los minerales, la presencia de elementos contaminantes en los minerales a ser extraídos, el carácter de potencial generación de ácido y las emisiones de polvos, dióxido de azufre y compuestos metálicos volátiles como el trióxido de arsénico asociadas a las fundiciones. Para el caso específico del arsénico, con el fin de proteger la salud de las poblaciones potencialmente expuestas, se estableció en Chile una norma de emisión que determina las cantidades anuales máximas de este elemento que pueden ser emitidas al aire por las fuentes emisoras ubicadas en distintas zonas del país. Las fuentes emisoras consideradas en la norma son principalmente las fundiciones y plantas de tostación de concentrados de cobre y oro, donde los productos de alimentación contienen cantidades importantes de arsénico (concentraciones superiores a 0.005% en peso). Las emisiones anuales consideradas para efecto de la norma corresponden a la suma de las emisiones mensuales, calculadas por diferencia entre la cantidad neta de arsénico ingresada a la fuente emisora y la cantidad neta de arsénico recuperada en todos los flujos de salida o acumulada en la planta que no sean emisiones de gases o partículas emitidas directamente a la atmósfera. El nivel establecido por la norma varía según la localidad en que se ubique la fuente emisora y su capacidad de producción. Por ejemplo, aquellas fuentes existentes, ubicadas en la Provincia de Copiapó, III Región de Atacama, cuya capacidad actual de producción sea igual o superior a 200,000 ton/año de concentrado de cobre, podrán emitir como máximo las siguientes cantidades, en los plazos que se establecen a continuación: a) Desde el año 2000, 42 ton/año. b) Desde el año 2003, 34 ton/año. Por otro lado, las fuentes nuevas que se instalen en cualquier punto del territorio de la República, deberán emitir una cantidad inferior o igual al 5% en peso del arsénico ingresado a la fuente emisora. Las fuentes emisoras de arsénico nuevas que procesan compuestos de cobre, además, deberán emitir una cantidad inferior o igual al 0,024% en peso a la alimentación ingresada a la fuente emisora. Debido a que estas emisiones de arsénico dependen del total de arsénico contenido en el concentrado ingresado a la fundición, resulta importante poder controlar en la etapa de procesamiento de minerales la cantidad de arsénico con la cual se va a operar, por lo cual se puede imponer en las distintas plantas de flotación una restricción a la entrada en la cantidad de arsénico que acompaña al mineral extraído de la mina, lo cual influye positivamente en la calidad del concentrado y en las emisiones de la fundición. 15

22 3. METODOLOGÍA Para desarrollar este proyecto se cuenta con una base de datos de sondajes de exploración, con información sobre cinco variables: leyes de cobre total (CuT), plata (Ag), molibdeno (Mo), arsénico (As) y antimonio (Sb), además de tipos de unidades geológicas y tipos de mineralización. El desarrollo del caso de estudio se puede separar en dos etapas principales: Geoestadística para construir modelos de bloques, y Diseño y Planificación minera. De acuerdo a esto, la metodología utilizada en el estudio de estos datos se puede resumir en los siguientes puntos: Etapa 1 Modelamiento Geoestadístico - En la primera etapa de este proyecto, lo primero que se hace es ingresar los datos en un programa geoestadístico para poder manejarlos de forma adecuada. En este caso se utiliza el software Isatis. Debido a que los datos corresponden a un yacimiento real, se opta por modificarlos para mantener la privacidad. La modificación consta de un desplazamiento de los ejes Este y Norte hacia el origen, y una ponderación de los valores de leyes por algún factor entre 0.9 y 1. - Debido a la gran cantidad de información que existe, se selecciona una zona de interés de acuerdo a criterios de densidad de información y sectores de altas leyes. Para esta zona se analizan distintas características de los datos con tal de definir correctamente la selección final de datos a ocupar. Dentro de los aspectos considerados se encuentran: - Determinación de zona geográfica en la cual se trabajará, aplicando criterios de nivel de información y valor económico (leyes más altas). - Separación según tipo de mineralización, en óxidos, sulfuros y mixtos, con tal de definir si es necesario considerar estos tipos como variables distintas de estudio. - Separación por tipos de rocas, de acuerdo al mismo motivo anterior. Se debe analizar la continuidad que tienen los distintos tipos de roca presentes y considerar o descartar separar por tipo de roca. - Determinación de tamaño de compósitos adecuado para realizar el trabajo, analizando distintas opciones. - Luego de revisar los aspectos anteriores se puede definir finalmente cuales serán los datos y variables a utilizar y de esta forma se puede llevar a cabo la etapa de análisis exploratorio para los datos finales por medio de la búsqueda de valores duplicados y aberrantes, el desagrupamiento debido a la malla de muestreo irregular, el cálculo de las estadísticas básicas y las distribuciones de leyes mediante histogramas, la construcción de curvas de tonelaje vs ley media y ley de corte, y nubes de correlación. 16

23 - Debido a que se desea realizar simulaciones multigaussianas, es necesario hacer un proceso previo de transformación Gaussiana a las variables escogidas. Se realiza entonces la anamorfosis de las variables correspondientes, la cual debe ser validada. El proceso de transformación se realiza mediante la aplicación nscore.exe de GSLIB, debido a que con Isatis la transformación de vuelta resulta ser menos eficiente para aplicar la co-simulación. - Se continúa con el análisis variográfico multivariable mediante el cálculo de la variografía experimental (mapas y variogramas), búsqueda de anisotropías y modelamiento de variogramas experimentales para ajustar la matriz de variogramas simples y cruzados (modelo lineal de corregionalización - MLC). - Con este modelo se pueden realizar las co-simulaciones utilizando un programa desarrollado en Matlab, para el cual se debe definir, además del MLC, la grilla, el tamaño de bloques, la discretización de los bloques, el tipo y el tamaño de la vecindad y el número de realizaciones deseado. - Luego es posible procesar los resultados de las simulaciones, analizando su validez en comparación a las distribuciones y variabilidad de las leyes de los datos reales mediante el cálculo de estadísticas, la construcción de histogramas y variogramas, mapas de leyes, correlación, etc. - Una vez obtenida la simulación multivariable, es posible desarrollar otras alternativas de estimación más convencionales con tal de comparar distintos modelos, así como modelos de simulación de cada variable por separado. - Finalmente, se analizan y comparan los modelos obtenidos por distintos métodos con tal de definir las principales diferencias existentes entre ellos. Etapa 2 Diseño y planificación minera - Luego de obtener y validar los distintos modelos se comienza con la etapa de diseño y planificación, para la cual primero se definen los distintos parámetros a ser utilizados en todos los casos por igual (costo mina, costo planta, recuperación metalúrgica, precios de metales, costo de fundición y refinación, ángulos de talud, etc.). Además es necesario definir el tamaño de bloques con el cual se trabajará para rebloquear los modelos obtenidos de la simulación. - Se deben escoger cuales serán los modelos de bloques a los cuales se hará el diseño del pit final y la planificación, que sean representativos para este estudio. - Para los modelos de bloques correspondientes, se utilizará el software Whittle con tal de encontrar los límites del pit final y los planes de producción asociados a cada opción utilizando los mismos parámetros de planificación. Es posible realizar distintos tipos de planificación, dependiendo de las variables que se desean considerar, como por ejemplo, planificar sólo valorizando por ley de cobre, o con tres metales principales, o considerando o no una determinada restricción de concentración de elementos contaminantes. 17

24 - Se comparan los resultados obtenidos de los distintos casos, en cuanto a tonelajes de mineral y estéril durante los años de producción, leyes en el tiempo, VAN asociado, etc., con tal de analizar las diferencias obtenidas y relacionarlas con las diferencias encontradas anteriormente entre los modelos. - De la misma forma, se analiza el caso particular del modelo obtenido al promediar las cosimulaciones, para el cual se calcula el pit final y el plan más adecuado considerando tres leyes al momento de encontrar los límites económicos y al momento de valorizar el escenario operacional. De este proceso se obtiene una secuencia de extracción asociada al plan de producción encontrado, que se considerará como un caso base, el cual representará el mecanismo de operación que se seguirá en la realidad de la mina. - Esta secuencia encontrada, se exporta como una secuencia de bloques extraídos por año y se aplica a los distintos modelos de las realizaciones obtenidas en la etapa de co-simulación para así analizar las diferencias obtenidas en cuanto a tonelaje acumulado, ley en el tiempo y valor final que se obtendrían si la realidad del yacimiento estuviera reflejada en alguna de estas realizaciones. Con esto se espera encontrar algún rango de variabilidad o probabilidad que tienen los resultados predichos en el plan de largo plazo fijado para la operación de la mina. - Finalmente, se espera observar diferencias marcadas entre los distintos enfoques, y con esto observar si el criterio de ocupar modelos simulados multivariables logra aportar y mejorar la utilización de un modelo convencional de estimación, en cuanto a nivel de cercanía a la realidad con que se está planificando o calidad de información aportada. - Con los resultados esperados, sería posible analizar cómo puede ayudar un modelo geoestadístico multivariable a definir el diseño y el plan minero con tal de obtener un mejor proyecto final. Además, al poder crear un rango de leyes y concentraciones esperadas en el tiempo, las simulaciones multivariables, pueden ayudar a considerar en una etapa previa al inicio de la extracción, posibles problemas ambientales que se generarán en etapas posteriores de proceso. En este trabajo, se estudia como ejemplo el caso de aplicar límites de concentraciones de arsénico en el material enviado a la planta de concentración. 18

25 4. CASO DE ESTUDIO ETAPA 1 (MODELAMIENTO GEOESTADÍSTICO) 4.1. ANÁLISIS PRELIMINAR DESCRIPCIÓN DE BASE DE DATOS Para la realización de este proyecto se cuenta con una base de datos perteneciente a Mina Ministro Hales (ex Mansa Mina), la cual posee distintas variables posibles de ser analizadas y modeladas. Se encuentran variables asociadas a atributos geológicos con valor económico, como leyes de Cobre total (CuT), Molibdeno (Mo) y Plata (Ag), y otras asociadas a atributos ambientales, como Arsénico (As) y Antimonio (Sb). En primera instancia, se pretende analizar todas estas variables, con tal de obtener modelos multivariables del yacimiento. La base de datos disponible contiene un total de 53,499 muestras, las cuales se encuentran compositadas a 1.5 metros para un total de 534 sondajes distintos. Además se cuenta con las coordenadas de ubicación en el espacio de las muestras y su correspondiente información acerca de valores de leyes de CuT, Mo, Ag, As y Sb. Existe también una clasificación por unidades geológicas para cada muestra dependiendo de la zona o tipo de mineralización y del tipo de unidad geológica al que pertenece cada dato (tabla 1). Tipo de Mineralización AAS Alto Arsénico (sulfuro) BAS Bajo Arsénico (sulfuro) OXI Oxido MIX Mixto Tipo de unidad geológica BXC Brecha Central BXCS Brecha Central Sur BXCW Brecha Central Oeste C < CuT < 0.49 C < CuT < 2.50 MY Brecha Myriam PMM Pórfido MM Tabla 1. Descripción de códigos para unidades geológicas. 19

26 Las unidades geológicas (UGE) del proyecto Mina Ministro Hales (ex Mansa Mina) han sido definidas a partir de criterios geológicos como litología, mineralización, alteración y leyes. Estas unidades describen los distintos eventos de mineralización. La descripción correspondiente a las unidades geológicas presentadas en la tabla 1 es la siguiente: - Brechas (BXC): Esta unidad corresponde a rocas que contienen clastos, matriz y cemento. Representan el evento tardío del yacimiento, el cual aporta las altas leyes de cobre, de arsénico y la plata, con leyes de cobre que varían entre 3% y 5%. Las brechas tienen una mineralización masiva de sulfuros y en general tienen una ley de cobre total mayor a 2.5% y una ley de arsénico superior a 2000 ppm. Según su ubicación espacial y los contenidos de cobre y arsénico la unidad Brechas se puede subdividir en Brecha Central (BXC), Brecha Myriam (MY), Brecha Sur (BXCS) y Brecha Oeste (BXCW). - C5 o stockwork: Representa la unidad de mineralización diseminada y está compuesta por dos tipos de mineralización. La primera, se asocia a los eventos tempranos del pórfido cuprífero, sin presencia de arsénico. La mineralización en esta etapa está representada por un núcleo de bornita-calcopirita, bordeada por una zona de calcopirita mayor que pirita y un halo más externo en que la pirita es mayor que la calcopirita e insertas en una alteración potásica con biotita y feldespato potásico. El segundo tipo de mineralización se asocia al evento tardío de las brechas, con presencia de arsénico. La litología que aloja a este tipo de mineralización corresponde a la granodiorita, y presenta contenidos altos de arsénico (mayores a 500 ppm) debido a la presencia de enargita. El C5 tiene un ley de cobre total superior a 0.5% en general. - Pórfido MM (PMM): Esta unidad representa el núcleo del pórfido cuprífero asociado principalmente a los sectores de bornita-calcopirita, calcopirita mayor a pirita y con sectores homogéneos con leyes superiores a 1% de cobre. - C1: el C1 representa el límite de la mineralización de cobre superior a 0.1%. Es una unidad de mineralización diseminada pero de intensidad más débil que con respecto al C5. - Estéril: el estéril son todas las rocas que no tienen mineralización cobre o tienen una ley inferior a 0.1%. En cuanto a la mineralización descrita en la tabla 1, se pueden resumir las características de cada subdivisión de la siguiente forma: - Subunidades de alto y bajo arsénico (AAS y BAS): Ambas subunidades, están restringidas principalmente a la mineralogía sulfurada y a la alteración magmática e hidrotermal, de tal forma que la subunidad de bajo arsénico contiene una mineralización temprana tardimagmática de baja sulfidización (bornita, calcopirita, digenita), asociada a una alteración potásica en sus partes más profundas y a un ambiente de pórfido en sus partes superiores y adosada a la Falla MM y alteración fílica. Por el contrario, la subunidad de alto arsénico, está relacionada con procesos de alta sulfidización y contenida en una alteración hidrotermal del tipo argílica avanzada, y envuelve a las brechas localizadas en las partes altas del yacimiento. El arsénico proviene de las sulfosales (enargita, tenantita y luzonita). 20

27 - Subunidad de Óxidos (OXI): Corresponde a un proceso supérgeno que se ubica en la parte alta del depósito y está limitada por el piso de lixiviación y el piso de óxidos o techo de mixtos. Contiene una mineralogía de minerales oxidados de cobre, los que a menudo coexisten con limonitas. - Subunidad de Minerales Mixtos (MIX): Esta unidad es de origen supérgeno y está limitada por el piso de óxidos y por el techo de sulfuros. En esta zona coexisten los minerales oxidados y sulfurados de cobre con algo de limonitas. Finalmente, cada una de las UGE se subdivide de acuerdo a los pisos en unidades de mixto (MIX), óxido (OXI), alto (AAS) y bajo contenido en arsénico (BAS). El arsénico está asociado a las brechas de alta ley de cobre y a la diseminación y stockwork que éstas producen, por lo que estos elementos presentarán una alta correlación. Los sectores de alto arsénico envuelven a las brechas en los sectores superiores. La mineralogía asociada a las brechas que da lugar al alto contenido de arsénico, corresponde a enargita, luzonita y tenantita, siendo la enargita la especie principal que aporta el arsénico. Por otro lado, el bajo arsénico corresponde a sectores donde la mineralización predominante corresponde a bornita-digenita y calcopirita. Además, se puede señalar que la plata se encuentra asociada principalmente a la digenita (calcosina primaria) y se ubica en los sectores superiores del yacimiento. De esta forma, resulta importante tener en cuenta la presencia de enargita en el yacimiento, ya que la extracción de cobre se relacionará directamente con las concentraciones de arsénico, y puede verse afectada al momento de aplicar restricciones de este elemento contaminante en los distintos procesos. En cuanto a los valores pertenecientes a la base de datos, cabe destacar que para efectos de confidencialidad se desplazaron los ejes Este y Norte hacia el origen y se ponderaron las leyes por un determinado factor. Además se descartaron 77 muestras que no contenían información. De esta forma se obtiene la base de datos original a analizar. Las estadísticas básicas para las variables de leyes asociadas a la base de datos original se pueden resumir en la siguiente tabla. Variable N Muestras Mínimo Máximo Media Varianza CuT (%) 53, Ag (ppm) 49, , , Mo (ppm) 48, , , As (ppm) 51, , , ,092, Sb (ppm) 19, , , Tabla 2. Estadísticas básicas para cada variable (base de datos original). 21

28 Nº Pares Correlación Ag / As 47, Ag / CuT 49, Ag / Mo 45, Ag / Sb 18, As / CuT 51, As / Mo 46, As / Sb 18, CuT / Mo 48, CuT / Sb 19, Mo / Sb 16, Tabla 3. Correlaciones bivariables. De la tabla 2 es posible apreciar que existen valores de leyes máximos muy altos para las variables, al igual que las varianzas, lo cual podría indicar la existencia de datos extremos. Sin embargo, estos extremos no se encuentran aislados, ya que al analizar la base de datos se observó que existen más datos con magnitud de leyes y ubicación similares, y a medida que disminuye el valor de la ley, la frecuencia de datos aumenta gradualmente. Por lo tanto, estas muestras no se considerarán aberrantes, debido también a que en Mina Ministro Hales (ex Mansa Mina) las distribuciones de leyes son muy asimétricas y pueden presentar estos valores extremos, lo cual se relaciona con los niveles de varianza encontrados. Además, se puede observar que las medias de las leyes no son tan bajas, por lo que estos valores grandes son relevantes en cierta medida y están de acuerdo con la geología descrita anteriormente. Se puede apreciar también de la tabla 3 que existe una buena correlación entre las variables CuT y As, y entre CuT y Ag, tal como se mencionó previamente, al igual que entre As y Sb, lo cual puede ser importante para una etapa posterior del proyecto, principalmente debido a que al momento de realizar la planificación de extracción de mineral, no es posible separar cada ley individualmente, por lo que una gran cantidad de cobre estará asociada también a una alta cantidad de arsénico y plata. Esto implica que la reproducción de estas correlaciones al momento de estimar un modelo de bloques también resulta de gran importancia. Con los datos validados, se puede entonces proseguir con el análisis exploratorio de ellos ANÁLISIS EXPLORATORIO DE DATOS GLOBALES El análisis exploratorio y estadístico de los datos se realizó con la ayuda del software geoestadístico Isatis y se dividió en distintas partes. La primera parte consistió en desplegar las secciones y planta correspondientes al dominio global de los datos con tal de visualizar la ubicación y orientación de los sondajes (figura 1). 22

29 Figura 1. Planta, sección S-N y sección W-E (dominio global de datos). Al observar el despliegue de sondajes en las secciones de la figura anterior, se puede apreciar que existen sondajes entrecruzados, lo cual implica que se podrían tener dos mediciones del mismo punto. Es por esto que se buscaron datos duplicados para esta zona. Por último, se realizó un desagrupamiento con tal de no atribuir el mismo peso estadístico a todos los datos que se encuentren irregularmente distribuidos en el espacio. Las estadísticas para los datos globales finales, sin duplicados y desagrupados, se pueden apreciar en la siguiente tabla: Variable Nº Muestras Mín. Máx. Media (s/dupl.) Varianza (s/dupl.) Media (desagrup.) Varianza (desagrup.) CuT (%) 53, Ag (ppm) 49, , , , Mo (ppm) 48, , , , As (ppm) 51, , , ,090, , ,863, Sb (ppm) 19, , , , Tabla 4. Estadísticas básicas para cada variable de datos sin duplicados y desagrupados. Nº Pares Correlación (s/dupl.) Correlación (desagrup.) Ag / As 47, Ag / CuT 48, Ag / Mo 45, Ag / Sb 18, As / CuT 51, As / Mo 46, As / Sb 18, CuT / Mo 48, CuT / Sb 19, Mo / Sb 16, Tabla 5. Estadísticas bivariables sin duplicados y desagrupados (dominio global). En definitiva, se encontraron 34 valores duplicados de muestras que se ubicaban a una distancia menor a 0.20 metros. Se puede apreciar en la tabla 4 que el número de muestras disminuyó levemente, pero los valores de las medias se mantienen casi iguales al eliminar los duplicados y disminuyen levemente al desagrupar los datos, al igual que las varianzas. 23

30 Los histogramas desagrupados correspondientes para cada ley se pueden ver en la siguiente figura. Figura 2. Histogramas de leyes (datos globales desagrupados). 24

31 Es posible apreciar que todas las variables presentan una distribución de leyes asimétrica, con una gran frecuencia de valores bajos y una cola larga de valores más altos de baja frecuencia. Destacan las altas leyes de cobre, arsénico y plata. Antes de continuar con el estudio exploratorio para este proyecto, resulta necesario analizar cuatro asuntos importantes con tal de determinar cuáles son las variables y la zona relevantes a estudiar. Según esto se define un sector particular para analizar de acuerdo a criterios económicos y de información. Para esta selección de datos se analiza si resulta importante separar y considerar como nuevas variables a los tipos de roca o unidad geológica y los tipos de mineralización, aparte de las variables de leyes. Además se debe estudiar cómo influye el tamaño de compósitos en la distribución de leyes SELECCIÓN DE DOMINIO A ESTUDIAR Para observar la distribución espacial de las leyes, con tal de apreciar de mejor forma cual debe ser la zona adecuada a analizar, se despliegan los mapas y secciones en 2D correspondientes a la variable CuT. Figura 3. Planta, sección S-N y sección W-E de leyes de CuT en dominio global. En la figura anterior se puede apreciar que existe una gran variedad de valores para las leyes de cobre dentro de todo el dominio, con una gran cantidad de valores bajos, pero de igual forma con algunos sectores marcados de altas leyes. En general las leyes altas se pueden encontrar dispersas en casi todo el dominio, pero se aprecia una mayor concentración de valores altos en la zona central y hacia el Norte (figura 3-(a)), repartidos desde el Oeste hacia el Este (figura 3-(c)) y sobre la cota 2000 m (figura 3-(b)). Estas características pueden ser apreciadas de mejor forma al realizar los gráficos de tendencia de leyes en distintas direcciones (figura 4). 25

32 Figura 4. Tendencia de leyes de CuT en direcciones W-E, S-N y Elevación, respectivamente. La línea negra representa la curva de media condicional. Se aprecia entonces que existe una zona de mayor interés económico de acuerdo a las leyes más altas de cobre y a la densidad de información que corresponde al sector descrito anteriormente. Además, es posible analizar la distribución en el espacio de las demás variables que también podrían entregar beneficios económicos. De esta forma se despliegan algunos mapas de tendencia de leyes de cobre, pero con leyendas asociadas a otras variables (figura 5). Figura 5. Leyes de Ag, Mo y As respectivamente, asociadas a la tendencia de leyes de CuT en eje Y. Se aprecia que las leyes más altas de Ag coinciden con la ubicación de las leyes mayores de CuT, por lo que la elección de la zona a estudiar de acuerdo a los criterios mencionados anteriormente parece ser adecuada. Eso sí, en esta misma zona es donde se encuentran también las mayores concentraciones de As, por lo que resulta importante crear un modelo geoestadístico que considere correctamente estos factores. Por lo tanto, a continuación se puede apreciar una planta que representa a la zona total contemplada por la base de datos y una selección del dominio final que se va a estudiar. 26

33 Figura 6. Planta de zona de muestreo total. A la izquierda, en color verde se aprecia la selección de datos escogida para trabajar. A la derecha se aprecia el dominio final de leyes de CuT correspondiente. La selección final del dominio presentado en la figura 6 se hace por limitaciones de coordenadas en los ejes Norte y Este de acuerdo al análisis realizado y a una potencial zona de explotación por rajo abierto informada por los propietarios de los datos. Se elige entonces este bloque central del yacimiento debido a la relevancia económica dada por las altas leyes de cobre y plata y al gran nivel de información que se tiene. Cabe destacar que por el momento no se realiza ningún tipo de acotación en el eje correspondiente a la elevación (eje Z). La zona seleccionada cuenta con un total de 26,004 muestras y abarca un área aproximada de 700 m (N) x 250 m (E). Se extiende en la dirección N-S desde la coordenada 900N hasta la 1,600N y en la dirección E-W desde 350E hasta 600E. Los datos se reparten mayormente en una profundidad aproximada de 300 m. desde los 2,300 m. y el cuerpo mineralizado en esta zona tiene una potencia que varía entre los 150 y los 250 m. Luego de realizar esta selección, es posible desplegar las secciones correspondientes a ella, con tal de visualizar los sondajes junto con las estadísticas básicas de las variables: 27

34 Figura 7. Planta, sección S-N y sección W-E dominio de datos seleccionados con leyes de CuT. Variable Nº Muestras Mínimo Máximo Media Varianza CuT (%) 26, Ag (ppm) 25, , , Mo (ppm) 23, , , As (ppm) 25, , , ,119, Sb (ppm) 10, , , Tabla 6. Estadísticas básicas datos originales en dominio seleccionado. Nº Pares Correlación Ag / As 24, Ag / CuT 25, Ag / Mo 22, Ag / Sb 10, As / CuT 25, As / Mo 22, As / Sb 10, CuT / Mo 23, CuT / Sb 10, Mo / Sb 9, Tabla 7. Correlación bivariable datos originales en dominio seleccionado. Antes de continuar con el análisis de esta zona, es necesario definir también cuales serán las variables a considerar y si resulta relevante para este estudio realizar una separación según tipo de mineralización o según tipo de unidad geológica. 28

35 TIPO DE MINERALIZACIÓN En este caso se analizaron los datos separados por tipo de mineralización, esto es, se consideraron zonas de óxidos, sulfuros y mixtos. El primer análisis consiste en una inspección visual de las fronteras de estas zonas para saber si es posible o no considerarlas como variables separadas (figura 8). Figura 8. Visualización de zonas de óxidos (OXI), mixtos (MIX) y sulfuros (AAS y BAS). De la figura anterior se aprecia que existe una frontera más o menos continua de separación entre las tres zonas. Esto indica de manera preliminar que se podría analizar estas zonas en forma separada. Sin embargo, para efectos de este trabajo, los óxidos no tienen relevancia económica (tienen recuperación metalúrgica 0%) y además son una fracción muy pequeña de los datos (tabla 8). Por lo tanto no se considera relevante diferenciar entre óxidos y sulfuros. Tipo de Mineralización Nº Muestras Fracción del total [%] Ley media CUT [%] Óxidos Sulfuros 24, AAS 9, BAS 15, Mixtos Total 26, Tabla 8. Estadísticas de datos (selección final) separados según tipo de mineralización. 29

36 TIPO DE ROCA O UNIDAD GEOLÓGICA (UGE) Otro aspecto a considerar antes de continuar con el proyecto consiste en la posibilidad de estudiar el comportamiento de los tipos de rocas de acuerdo a la base de datos que se tiene. Se debe analizar si existe una distribución y una continuidad en relación a las leyes que sea relevante para decidir considerar las unidades geológicas (tipos de roca) como nuevas variables, o bien para descartar este tipo de separación. Como ya se mencionó en un principio, existen distintos tipos de unidades geológicas asociadas principalmente a las Brechas (BXC), a unidades de mineralización diseminada C5 y C1, Brecha Myriam (MY), Pórfido Mansa Mina (PMM) y Estéril. Para saber si las distintas unidades presentan algún grado de continuidad se pueden visualizar las secciones y planta de la selección final de los datos asociados a sus correspondientes tipos de unidades (figuras 9 y 10). Figura 9. Distribución de tipos de unidades geológicas para selección de datos final en secciones XY, YZ y XZ respectivamente. Figura 10-a. Distribución de tipo de unidades geológicas a lo largo de un sondaje individual (sección XZ). Figura 10-b. Covarianza cruzada (parte par) entre leyes de CuT de dos tipos de roca (BXC y C5). 30

37 Al analizar visualmente la figura 9 se ve que no existe una continuidad clara para las distintas UGE que permita considerarlas como variables separadas, es decir, no hay una frontera marcada entre dos o más tipos de UGE. Esto se puede apreciar en más detalle al observar sondajes individuales como en la figura 10-a, donde las distintas UGE, principalmente BXC, C1 y C5, aparecen intercaladas a lo largo del sondaje. Además, se puede observar que los tipos de roca que predominan, como BXC y C5 (tabla 9), coinciden con las ubicaciones de las altas leyes de CuT (figura 7). Sin embargo, debido a que no existe una clara continuidad no resulta conveniente analizar las variables de leyes por tipo de roca. Por lo tanto, para este proyecto se decide no considerar como nuevas variables las distintas UGE, debido además a que las transiciones de leyes entre tipos de roca son suaves. Esta característica puede demostrarse al calcular una covarianza cruzada de leyes de CuT en un tipo de roca contra las leyes de CuT en otro tipo de roca (figura 10-b). De esta forma, se observa que esta covarianza no es puramente pepítica, lo cual indicaría la existencia de una frontera dura, y tiene un alcance no nulo, que es una señal de frontera blanda, o sea, transiciones graduales de leyes al pasar de un tipo de roca a otra. Tipo de UGE Nº Muestras CuT Ley media CuT [%] Ley media Ag [%] Ley media Mo [%] Ley media As [%] Ley media Sb [%] BXC 2, , BXCS BXCW , C1 9, C5 10, MY , PMM 2, Total 26, , Tabla 9. Estadísticas de datos (selección final) separados según tipo de UGE TAMAÑO DE COMPÓSITOS Para definir el tamaño de compósitos que se va a utilizar, es necesario examinar distintas opciones. Aparte del tamaño original (1.5 m.), se estudian los casos de datos compositados a 3 m., 4.5 m. y 6 m, con tal de encontrar qué tamaño es más conveniente para el trabajo. Se realiza este análisis para el dominio global de los datos. Los resultados de la compositación para la variable CuT se pueden apreciar en la siguiente tabla. Nº Muestras Mínimo Máximo Media Varianza CuT_1,5m [%] 53, CuT_3m [%] 26, CuT_4,5m [%] 17, CuT_6m [%] 13, Tabla 10. Estadísticas básicas variable CuT a distintos tamaños de compósitos. 31

38 Se aprecia el efecto de compositar a mayor tamaño al observar una menor cantidad de valores extremos (los máximos disminuyen) y una menor varianza aunque la media se mantiene. Debido a que en una etapa posterior del proyecto se realizan simulaciones con el modelo multigaussiano, se hace una anamorfosis Gaussiana para la variable principal CuT, y se calculan los variogramas y madogramas (variogramas de orden 1) correspondientes para cada caso de tamaño de compósito, lo cual puede ayudar a definir el mejor tamaño a utilizar. La idea es tener un variograma experimental lo menos errático y con menor efecto pepa posible, y un madograma proporcional a la raíz cuadrada del variograma (relación esperada en el modelo multigaussiano). A continuación se presentan los variogramas experimentales para la transformada Gaussiana de CuT de acuerdo a los distintos tamaños de compósitos elegidos. Figura 11. Variogramas horizontales y vertical para variable principal Gaussiana CuT y compósitos de 1.5 m, 3 m, 4.5 m y 6 m. 32

39 Se realizó el cálculo del variograma para dos direcciones horizontales y en la vertical, debido a la existencia de anisotropía que se detallará en un capítulo posterior de análisis variográfico. En la figura 11 se aprecia que los variogramas para los distintos casos son muy similares, lo cual no permite definir qué tamaño de compósitos es más conveniente. Sin embargo, al observar el efecto pepa se puede apreciar que a medida que se aumenta el tamaño de los compósitos, este valor disminuye levemente. De acuerdo a esto, el variograma menos pepítico corresponde a la opción de compósitos de 6 metros. Antes de tomar la decisión definitiva se analiza la proporcionalidad del madograma con respecto a la raíz cuadrada del variograma mediante la construcción de los siguientes gráficos. Figura 12. Raíz cuadrada del variograma dividido por madograma (Gaussiana CuT) para los distintos tamaños de compósitos. De acuerdo al test presentado en los gráficos de la figura 12 no es posible apreciar claramente que una opción cumpla de mejor forma la condición de proporcionalidad. Podría decirse que a medida que aumenta el tamaño de compósitos la proporción indicada se hace más constante para distancias pequeñas, pero es algo que se aprecia muy levemente. Por lo tanto, debido principalmente al menor efecto pepa encontrado en los variogramas, se decide que es más conveniente trabajar con compósitos de 6 m. 33

40 Una vez analizado el tamaño de compósitos, y tomada la decisión de no separar las variables según tipo de mineralización o según tipo de roca, es posible continuar con el análisis exploratorio de los datos de la selección final ANÁLISIS EXPLORATORIO DE LOS DATOS EN LA SELECCIÓN FINAL DESPLIEGUE DE DATOS La selección final de datos con las respectivas variables a modelar puede visualizarse en las siguientes figuras. Figura 13. Planta, sección S-N y sección W-E dominio de datos (selección final) con leyes de CuT. Figura 14. Planta, sección S-N y sección W-E dominio de datos (selección final) con leyes de Ag. 34

41 Figura 15. Planta, sección S-N y sección W-E dominio de datos (selección final) con leyes de Mo. Figura 16. Planta, sección S-N y sección W-E dominio de datos (selección final) con leyes de As. Figura 17. Planta, sección S-N y sección W-E dominio de datos (selección final) con leyes de Sb. 35

42 En las figuras anteriores se puede visualizar el nivel de información que existe para cada variable y los sectores de mayores leyes asociados a cada una de ellas dentro del dominio final seleccionado. Se aprecia que las zonas de altas leyes de CuT, coinciden con las zonas de altas leyes de As y Sb, y en menor medida con Ag ESTADÍSTICAS BÁSICAS DE SELECCIÓN DE DATOS Las estadísticas básicas de las variables consideradas para la selección final, desagrupadas y sin duplicados, luego de haber elegido la zona correspondiente, descartado separar por tipo de mineralización o tipo de roca y compositado las muestras a 6 metros, se presentan en las siguientes tablas. Variable Nº Muestras Mínimo Máximo Media Varianza Media (desagrup.) Varianza (deasgrup.) CuT (%) 6, Ag (ppm) 6, , , Mo (ppm) 5, , , , As (ppm) 6, , , ,038, , ,342, Sb (ppm) 2, , , , Tabla 11. Estadísticas básicas para variables de selección final de datos. Nº Pares Correlación Correlación (desagrup.) Ag / As 6, Ag / CuT 6, Ag / Mo 5, Ag / Sb 2, As / CuT 6, As / Mo 5, As / Sb 2, CuT / Mo 5, CuT / Sb 2, Mo / Sb 1, Tabla 12. Correlaciones bivariables selección final de datos. Se observa de la tabla 11 que en esta selección, luego de compositar los datos a 6 metros, el total de muestras disminuye con respecto a los datos originales presentados en la tabla 6. Se aprecia una leve disminución en las leyes medias de Ag, As y CuT, al igual que en los valores de las varianzas, y un aumento en los coeficientes de correlación indicados en la tabla 12 con respecto a lo mostrado en la tabla 7. 36

43 HISTOGRAMAS DE FRECUENCIA La distribución que toman los datos estudiados según rangos de leyes puede apreciarse más claramente al hacer los histogramas de frecuencias para cada variable, los cuales se presentan a continuación. Figura 18. Histogramas de frecuencia de las variables de estudio. 37

44 Se puede ver en la figura 18 que los histogramas de todas las variables presentan una distribución asimétrica, similar a la distribución global presentada en la figura 2, pero un poco más simetrizada debido al mayor tamaño de compósito. Es posible verificar la relación existente entre ambas distribuciones por medio de la construcción de un gráfico cuantil contra cuantil para ley de CuT. Figura 19. Q-Q plot entre distribuciones de leyes de CuT en selección final vs dominio global. Se aprecia de la figura anterior que el gráfico resultante da aproximadamente una recta, pero con pendiente menor a 1. Esto significa que las distribuciones de los dos grupos de datos tienen aproximadamente la misma forma pero posiblemente no tienen la misma dispersión ni la misma media, tal como se pudo apreciar en la tabla 11. Es decir, se refleja que para los datos de CuT en la selección escogida, el valor promedio es mayor y la dispersión es menor que lo representado por el dominio global. De los histogramas y las correspondientes distribuciones se observa que existe una gran cantidad de valores bajos, así como algunos valores altos que son considerables, especialmente para las concentraciones de As, lo cual es muy importante de considerar hoy en día para efectos ambientales. Esto mismo puede verse al construir los histogramas acumulados para las variables. 38

45 Figura 20. Histogramas de frecuencias acumuladas para variables en el dominio final seleccionado. Se aprecia en estos gráficos que prácticamente el 50 % de los datos para CuT se encuentra bajo una ley de 1%. Para As, se observa que existen valores bastante altos de concentración, encontrando más de la mitad de los datos sobre 200 ppm. Para Ag, la mayoría de los datos se encuentra bajo 100 ppm. 39

46 NUBES DE CORRELACIÓN Otra herramienta para la realización del estudio exploratorio es la construcción de una nube de correlación, donde se grafica el valor de una variable vs el valor de otra con tal de apreciar el comportamiento conjunto que tienen las dos. A continuación se presentan las nubes para algunos pares de variables. Figura 21. Nubes de correlación entre algunos pares de variables. 40

47 En la figura 21 se visualizan los valores de una variable en función de la otra, y se aprecia la correlación que existe entre los pares de variables. Se ve lo mencionado anteriormente en la tabla 12 en cuanto a que existe una buena y similar correlación entre CuT-Ag, CuT-As, CuT-Sb y As-Sb. En general se puede apreciar que para valores más altos de leyes de CuT se tienen rangos más amplios de posibilidades de valores de Ag, As y Sb, es decir, existe una mayor dispersión de los valores de estas variables a medida que se tienen mayores leyes de cobre. Además, la forma de las nubes indica que la media de la segunda variable va aumentando cuando se condiciona por la primera variable. El caso contrario se puede observar entre las variables CuT-Mo cuya correlación es nula, sugiriendo que no hay dependencias entre estas dos variables ESTUDIO VARIOGRÁFICO Como ya se mencionó anteriormente, se pretende realizar simulación multigaussiana a las distintas variables, por lo que el estudio variográfico se realiza luego de desagrupar y transformar las variables a Gaussianas. El desagrupamiento de los datos se realizó en un punto anterior con ayuda de GSLIB y su aplicación declus.exe, y los resultados de este proceso se presentaron en las tablas 11 y 12 y los histogramas de la figura 18. Se supondrá que las funciones aleatorias asociadas son conjuntamente estacionarias, de modo que las herramientas variográficas serán funciones del vector de separación entre datos y no de su posición absoluta en el espacio TRANSFORMACIÓN DE DATOS A GAUSSIANOS Para transformar los datos a Gaussianos se utiliza la aplicación nscore.exe de GSLIB, tomando en cuenta los ponderadores de desagrupamiento. De acuerdo a esto, en la figura 22 se presentan los histogramas de las variables luego de desagrupar y transformar los datos. Se puede ver que los histogramas de los datos transformados tienen una clara forma de campana de Gauss, por lo que se puede suponer con certeza que los datos sí tienen una distribución univariable Gaussiana, con media 0 y varianza 1. 41

48 Figura 22. Histogramas de datos Gaussianos. 42

49 VALIDACIÓN DE HIPÓTESIS MULTIGAUSSIANA Resulta necesario verificar si los datos Gaussianos obtenidos son compatibles con una distribución multigaussiana. Para esto se realizan algunos tests que permiten comprobar parcialmente este carácter. Un primer método consiste en dibujar algunas nubes de correlación diferida y comprobar visualmente que tienen una forma de elipse. Figura 23. Nubes de correlación diferida para las variables Gaussianas y dos distancias de separación (h=10 m y h=30 m). Se aprecia en la figura 23 que para todas las variables (salvo Sb) este test resulta satisfactorio ya que se tiene una forma elíptica para la nube de correlación diferida. Además, se ve que cuando el vector de separación es más grande (h=30m), la nube se vuelve circular, y cuando es más pequeño (h=10m), la nube se restringe en torno a la primera bisectriz. 43

50 Un segundo test consiste en verificar que la raíz cuadrada del variograma dividida por el madograma para las variables Gaussianas es constante e igual a π, o sea, Figura 24. Raíz cuadrada del variograma dividida por el madograma en función de la distancia. El test fue realizado para 15 pasos de 20 m. con una tolerancia de 0.5 veces el paso y para todas las direcciones (omnidireccional). Los resultados mostrados en la figura 24 indican que se cumple relativamente bien con el valor esperado, salvo para las distancias más pequeñas (< 40 m.). De acuerdo a estos tests se decide que los datos transformados cumplen razonablemente con el carácter multigaussiano, por lo que se puede continuar con el análisis variográfico y la simulación MAPAS VARIOGRÁFICOS Si bien los tests previos se realizaron en forma omnidireccional, es decir, sin tomar en cuenta la orientación del vector de separación en el espacio, el variograma de los datos Gaussianos puede no ser isótropo (como se apreció al momento de definir el tamaño de compósitos, figura 11). Para identificar algún tipo de anisotropía se realiza primero un análisis de los mapas variográficos (figura 25). 44

51 Figura 25. Mapas variográficos para Gaussiana CuT en planos XY, XZ e YZ. Se construyen los mapas variográficos para la variable principal CuT. La figura 25, plano XY, indica levemente que este variograma puede presentar una anisotropía en las direcciones N0º y N90ºW, ya que para distancias pequeñas (centro del mapa) se aprecia que los valores de variograma son distintos en estas direcciones. Lo mismo ocurre al observar los mapas entre las direcciones horizontales con la vertical (planos XZ e YZ). Es necesario entonces calcular los variogramas experimentales de manera más específica con tal de definir claramente esta anisotropía VARIOGRAMAS EXPERIMENTALES Primero se calcularon los variogramas experimentales en 4 direcciones horizontales y en la vertical para cada variable con tal de corroborar la existencia de anisotropías (figura 26). Figura 26. Variogramas experimentales CuT, para 4 direcciones horizontales, vertical, y 2 direcciones horizontales con vertical, respectivamente. Se aprecia que los variogramas en las 4 direcciones horizontales se entrecruzan, excepto para la dirección N0º, lo cual indica más claramente la existencia de anisotropía entre esta dirección y las demás. Es posible apreciar que existe anisotropía entre la dirección vertical y el plano horizontal, debido a que los variogramas son distintos para cada dirección a una misma distancia. Finalmente, se decide considerar una anisotropía entre las direcciones horizontales N0º y N90ºW, y entre éstas y la dirección vertical, obteniendo los variogramas representados en el tercer gráfico de la figura

52 Los parámetros finales elegidos para el cálculo de estos variogramas son: - Variogramas horizontales 2 direcciones: 12 pasos de 10 m., tolerancia angular de 45º y tolerancia al paso igual a la mitad de este - Dirección vertical: 20 pasos de 6 m., tolerancia angular de 20º y tolerancia al paso igual a la mitad de este. De este gráfico final también se puede observar que existe gran variabilidad para distancias pequeñas debido al rápido crecimiento inicial de los variogramas. Además, se podría decir que la anisotropía es de tipo zonal, ya que los variogramas en distintas direcciones presentan mesetas distintas. Utilizando los parámetros mencionados anteriormente se calculan los variogramas experimentales simples y cruzados de las variables Gaussianas a lo largo de las direcciones principales de anisotropía (figura 27), con tal de obtener después el modelo de corregionalización necesario para realizar la simulación multivariable. 46

53 Figura 27. Variogramas experimentales simples y cruzados para las variables Gaussianas a lo largo de las direcciones de anisotropía. 47

54 VARIOGRAMAS MODELADOS Luego de calcular los variogramas experimentales resulta posible modelarlos y obtener una expresión representativa para todos ellos. Para este ajuste, se propone un modelo compuesto de un efecto pepa y tres estructuras exponenciales anidadas, en donde los alcances corresponden a las direcciones N0º, N90ºW y vertical, respectivamente (figura 28). El modelo completo se resume en la siguiente expresión: γ Ag ( h) γ Ag As ( h) Γ( h) = γ Ag CuT ( h) γ Ag Mo ( h) γ Ag Sb ( h) γ γ γ γ Ag As As As CuT As Mo As Sb ( h) γ ( h) ( h) ( h) ( h) γ γ γ γ Ag CuT As CuT γ CuT CuT Mo CuT Sb ( h) ( h) ( h) ( h) ( h) γ γ γ Ag Mo As Mo CuT Mo γ γ Mo Mo Sb ( h) ( h) ( h) ( h) ( h) γ γ γ γ Ag Sb As Sb CuT Sb Mo Sb γ Sb ( ( h) ( h) ( h) ( h) h) Γ( h) = pepa exp(30m,25m,35m) exp(40m,85m,90m) exp(72m,285m,320m) Se puede verificar que todas las matrices de mesetas (matrices de corregionalización) son de tipo positivo, es decir, sus valores propios son positivos o nulos. 48

55 Figura 28. Modelos ajustados de variogramas (líneas continuas), simples y cruzados, obtenidos para las variables Gaussianas. 49

56 4.4. CO-SIMULACIÓN CONDICIONAL Luego de obtener el modelo variográfico multivariable, se procede a simular conjuntamente las leyes correspondientes a las distintas variables de estudio (CuT, Ag, Mo, As y Sb). En esta etapa se realizó la simulación bajo distintas condiciones, evaluando diferentes tipos de vecindad móvil, dimensiones adecuadas del dominio y parámetros indicados para el condicionamiento, y escogiendo la alternativa que reproduce los mejores resultados de acuerdo a estos criterios. Particularmente, se seleccionó la opción que mejoró el hecho de generar mapas sin información en algunos sectores, y logró reproducir correctamente los valores de medias y desviaciones estándar de las diferentes realizaciones en relación a los datos originales, además de la ubicación de las altas leyes, la distribución de leyes en el dominio y la validación de los modelos. Se presentan a continuación los parámetros y resultados finales considerados SELECCIÓN DE DOMINIO DEFINITIVO Luego de realizar las primeras simulaciones se observó en los datos resultantes que existían zonas demasiado grandes que no tenían información, por lo que con los parámetros de vecindad definidos no era posible obtener una buena reproducción de ellas (principalmente en la zona Oeste a mayor profundidad). Debido a esto se decidió seleccionar un dominio más pequeño en donde se tuviera mayor concentración de información. Se selecciona entonces una zona menor acotando los límites de profundidad (eje Z) entre los 1,800 y los 2,300 metros aproximadamente y en el Este entre los 340 y los 570 metros. Finalmente, el dominio final a simular cambia, por lo que es necesario obtener las nuevas estadísticas de la zona a simular, con tal de comparar de mejor forma los resultados que se obtengan luego de su simulación (tablas 13 y 14). Se puede apreciar de las tablas 13 y 14 que los valores de las medias y las desviaciones estándares son similares a los que se tenían para el dominio seleccionado en un principio (tabla 11), al igual que los de las correlaciones entre variables (tabla 12). Se puede apreciar de mejor forma el efecto del cambio de dominio en el número de muestras que éste posee. Además en la figura 29 se presenta como ejemplo el nuevo histograma de leyes de CuT, en el cual se aprecia que la distribución de los datos mantiene la misma forma. Lo mismo ocurre para las demás variables de estudio, por lo que se observa que se sigue teniendo la misma distribución de leyes. De acuerdo a esto, se decide utilizar los mismos variogramas simples y cruzados (o sea, el mismo modelo lineal de corregionalización) para la nueva etapa de simulación. Por lo tanto, la zona definitiva a simular está dada por estos nuevos límites. 50

57 Variable Nº Mínimo Máximo Media Varianza Media Varianza Muestras (desagrup.) (deasgrup.) CuT (%) 6, Ag (ppm) 5, , , Mo (ppm) 5, , , , As (ppm) 5, , , ,274, , ,694, Sb (ppm) 2, , , , Tabla 13. Estadísticas básicas para variables de selección final de datos. Nº Pares Correlación Correlación (desagrup.) Ag / As 5, Ag / CuT 5, Ag / Mo 4, Ag / Sb 2, As / CuT 5, As / Mo 4, As/ Sb 2, CuT / Mo 5, CuT / Sb 2, Mo / Sb 1, Tabla 14. Correlaciones bivariables de selección final de datos. Figura 29. Histograma de leyes de cobre para datos de selección final. 51

58 VECINDAD PARA LA SIMULACIÓN Para realizar la simulación definitiva se decidió utilizar una vecindad móvil de grandes dimensiones para tener una mejor estimación de los valores de leyes. De acuerdo a esto se definió el tamaño del elipsoide dando un mayor radio para las direcciones con mayor alcance de variogramas. Finalmente, para la simulación se decidió utilizar una grilla densa, de malla 2m x 6m x 6m, que cubre la zona definitiva de estudio. En este caso no se aplica una discretización de bloques (co-simulación puntual). Se sitúa el origen de la grilla en las coordenadas x 0 = 340m, y 0 = 900m, z 0 = 1800m, con un total de 114 x 118 x 86 nodos. La simulación se realiza mediante el algoritmo de bandas rotantes con mil líneas, utilizando el programa TBCOSIM. Para el condicionamiento se utiliza una vecindad móvil que contiene hasta 48 datos de cada variable (6 datos de cada variable en cada octante del espacio). Se utiliza un elipsoide dividido en octantes con radios máximos de búsqueda de 200m x 400m x 400m RESULTADOS SIMULACIÓN CONDICIONAL MULTIVARIABLE Bajo los parámetros anteriormente mencionados se construyen 40 realizaciones conjuntas de las 5 variables, las cuales podrían ser rebloqueadas a soportes de unidades mayores. Los primeros resultados del proceso de simulación (sin rebloqueo) se pueden presentar mediante los siguientes histogramas, tablas estadísticas y mapas de leyes, representados por 4 realizaciones escogidas del total. En este caso, se define como peor o mejor realización de acuerdo a los valores de la ley media de la variable principal CuT. CuT [%] Nº datos Mínimo Máximo Media Varianza Desv. Est. Realización #39 (peor) 1,156, Realización #9 1,156, Realización #33 1,156, Realización #31 (mejor) 1,156, Datos originales 6, Tabla 15. Estadísticas básicas de algunas realizaciones de CuT. Ag [ppm] Nº datos Mínimo Máximo Media Varianza Desv. Est. Realización #39 1,156, Realización #9 1,156, , Realización #33 1,156, , Realización #31 1,156, , Datos originales 5, , Tabla 16. Estadísticas básicas de algunas realizaciones de Ag. Mo [%] Nº datos Mínimo Máximo Media Varianza Desv. Est. Realización #39 1,156, , , Realización #9 1,156, , , Realización #33 1,156, , , Realización #31 1,156, , , Datos originales 5, , , Tabla 17. Estadísticas básicas de algunas realizaciones de Mo. 52

59 As [ppm] Nº datos Mínimo Máximo Media Varianza Desv. Est. Realización #39 1,156, , ,499, , Realización #9 1,156, , ,983, , Realización #33 1,156, , ,994, , Realización #31 1,156, , ,245, , Datos originales 5, , , ,694, , Tabla 18. Estadísticas básicas de algunas realizaciones de As. Sb [%] Nº datos Mínimo Máximo Media Varianza Desv. Est. Realización #39 1,156, , , Realización #9 1,156, , , Realización #33 1,156, , , Realización #31 1,156, , , Datos originales 2, , , Tabla 19. Estadísticas básicas de algunas realizaciones de Sb. En cuanto a los mapas de leyes, se muestra como ejemplo el caso de la variable principal CuT, comparando distintas realizaciones en una sección XY (figura 30), con el promedio de las realizaciones (figura 32). Además, también se muestran los resultados de la simulación a través de secciones verticales de una realización de CuT (figura 31). Figura 30. Sección XY de tres realizaciones condicionales de las leyes de CuT para la cota 2,250m. 53

60 Figura 31. Secciones XZ e YZ para una realización de leyes de CuT. Figura 32. Promedio y desviación estándar de 40 realizaciones de las leyes de CuT. Figura 33-a. Gráfico de leyes medias de CuT por cada realización. 54

61 100% Probabilidad de Medias de realizaciones CuT Probabilidad [%] 10% 1% 0,90 0,95 1,00 1,05 1,10 1,15 1,20 Ley media CuT [%] Medias CuT de realizaciones Figura 33-b. Gráfico de probabilidad de leyes medias de CuT por cada realización. Figura 34-a. Gráfico de varianzas de realizaciones de CuT. 100% Probabilidad de Varianzas de realizaciones CuT Probabilidad [%] 10% 1% 1,10 1,20 1,30 1,40 1,50 1,60 1,70 1,80 1,90 Varianza CuT [σ 2 ] Varianzas CuT de realizaciones Figura 34-b. Gráfico de probabilidad de varianzas de CuT por cada realización. 55

62 Al observar las tablas de estadísticas, se aprecia que los valores de leyes de las simulaciones de CuT y Ag se acercan a los valores de los datos originales, con medias y varianzas similares. Para los casos de As y Sb dichos valores son levemente menores a aquellos de los datos originales, y para Mo son mayores. En el gráfico de la figura 33-a se pueden apreciar los valores de las medias de CuT obtenidas de las distintas realizaciones. Se observa que en general las medias de las realizaciones se encuentran distribuidas cercanas a la media de los datos originales, con una tendencia de valores levemente menor. Esta característica puede reflejarse también en el gráfico de probabilidad de la figura 33-b, el cual ilustra la forma de la distribución general que toman estos valores y el comportamiento de las medias extremas. Aún así, esta diferencia es muy pequeña, por lo que no implica que el resultado sea erróneo. De igual forma, en las figuras 34-a y 34-b se grafica las varianzas de las realizaciones y se comprueba que éstas logran acercarse a la variabilidad de los datos originales, con valores menores pero muy cercanos. Con esto se puede ver entonces la característica de no suavizamiento que se asocia a la simulación, en comparación con lo arrojado por el promedio de las simulaciones (figura 32 y tabla 20). Estas características, (medias y varianzas) indican que la co-simulación realizada puede ser considerada como una representación fidedigna de la realidad. Se puede ver que los valores de leyes de CuT de las realizaciones coinciden con las ubicaciones correspondientes al comparar los mapas de las figuras 30 y 31 con los de los datos originales. Esto se puede extender también a las otras variables, tal como se muestra en la figura 35. Figura 35. Sección XY de una realización para variables Ag, Mo, As y Sb. 56

63 Figura 36. Histogramas de leyes para tres realizaciones de las variables de estudio. 57

64 Por otro lado, en la figura 36 se puede apreciar que la forma de los histogramas de las distintas realizaciones, coincide con la que se presentó en la figura 18, para todas las variables. Es decir, el resultado arrojado por las distintas realizaciones reproduce la distribución de leyes mostradas por los datos originales. Si se calcula el promedio de las realizaciones (figura 32, izquierda) se puede obtener un modelo de estimación de leyes, el cual resulta ser mucho más suave que las características reales de los datos. Este estimador entrega el valor esperado de las leyes de CuT, el cual se asemeja al estimador de co-kriging. Esto se puede ver también al revisar las estadísticas y el histograma del promedio de las realizaciones. Figura 37. Histograma de promedio de simulaciones CuT. CuT [%] Nº datos Mínimo Máximo Media Varianza Desv. Est. Promedio co-sim 1,156, Datos originales 6, Tabla 20. Estadísticas básicas de promedio de simulaciones CuT. Se aprecia que el histograma del promedio de realizaciones presentado en la figura 37 se encuentra más centrado que los mostrados en la figura 36 para el caso de las realizaciones de CuT. Esto indica la mayor existencia de valores medios y la correspondiente suavización que se provoca en los valores de las leyes al promediar las realizaciones. Se ve más claramente este efecto al observar en la tabla 20 el valor máximo de leyes muy inferior al encontrado en las realizaciones, al igual que el valor de la varianza que se encuentra muy por debajo de la varianza de cada realización. Estos resultados son similares a los encontrados mediante co-kriging simple bajo los mismos parámetros (ver sección ), los cuales no reflejan la variabilidad de los datos originales. También se puede caracterizar la incertidumbre en la distribución de las leyes de CuT al calcular la desviación estándar de las realizaciones (figura 32, derecha). Se aprecia que existen zonas de mayor incertidumbre, que coinciden con las zonas de altas leyes encontradas. Esta desviación no depende solamente de la configuración geométrica de los datos, sino que también de sus valores, por lo cual constituye una medida de incertidumbre más completa que la desviación estándar del co-kriging. 58

65 Figura 38. Nubes de correlación para pares de variables de promedio de co-simulación. En la figura 38 se puede apreciar que el modelo obtenido por co-simulación, logra reproducir las correlaciones que existen entre las variables, ya que los valores de los coeficientes de correlación son similares a los encontrados para los datos reales (figura 21), excepto para los pares CuT-As y CuT-Sb, en donde se obtiene un valor menor. Este menor valor puede ser un efecto del dominio, que es distinto al dominio de los datos, es decir, puede ser causa de que existen zonas de extrapolación, o simplemente puede deberse a que el modelo multigaussiano no es perfectamente adecuado para estos datos. 59

66 Con esto se puede decir que la simulación multivariable, además de entregar una información más cercana a la realidad para cada variable, también consigue representar las relaciones o dependencias existentes entre ellas. Finalmente, se puede señalar que el resultado de la simulación multivariable es válido debido a que se logran reproducir las ubicaciones de los valores de las leyes, la distribución representada por los histogramas, los valores de las medias y la variabilidad espacial de los datos reales. Además, gracias a esto se puede decir también que el modelo de corregionalización y todos los parámetros utilizados en el proceso se estiman convenientes RESULTADOS DE CO-KRIGING SIMPLE A modo de comparación, se creó el modelo de co-kriging simple, considerando un nuevo modelo de corregionalización, que contiene los variogramas simples y cruzados de las variables originales Cut, Ag, Mo, As y Sb (sin transformar), y los mismos parámetros de grilla y vecindad utilizados en la simulación multivariable. Se presenta como ejemplo el caso de la variable CuT obtenida por este método. Figura 39. Resultados de co-kriging para variable CuT. Sección XY (Z=2,250) e histograma. CuT [%] Nº datos Mínimo Máximo Media Varianza Desv. Est. Co-kriging 1,155, Promedio co-sim 1,156, Tabla 21. Estadísticas básicas de co-kriging simple de CuT comparadas con promedio de co-simulaciones. Los resultados encontrados son similares a los del promedio de las co-simulaciones. Los mapas de leyes coinciden prácticamente con el del promedio de simulaciones, al igual que la distribución mostrada por el histograma de leyes y el valor de la media de CuT. El valor de la desviación estándar es mucho menor que el de los datos originales, similar al caso del promedio de simulaciones, lo cual indica que el modelo obtenido por co-kriging no refleja la variabilidad real de las variables. 60

67 REBLOQUEO DE MODELO DE CO-SIMULACIÓN Una vez obtenidos los modelos multivariables, es posible rebloquearlos a unidades mayores, de modo que la etapa de planificación pueda desarrollarse de forma más adecuada. Como la grilla utilizada era de 2m x 6m x 6m, el tamaño de los bloques generados resulta ser muy pequeño y por lo tanto se necesita un mayor número de ellos para abarcar la zona de estudio. Este mayor número hace más compleja la ejecución de la optimización en el diseño y planificación minera debido a que los tiempos de cálculo aumentan demasiado. Es por esto que se decidió rebloquear los modelos a unidades mayores, duplicando el tamaño de cada dimensión. Los resultados obtenidos del rebloqueo, mediante la aplicación de una rutina programada en MATLAB, se muestran a continuación tomando como ejemplo el caso de la variable principal CuT. Figura 40. Sección XY (Z=2,250) e histograma de leyes de CuT para modelo multivariable rebloqueado a 4m x 12m x 12m. CuT [%] Nº datos Mínimo Máximo Media Varianza Desv. Est. Prom. (rebloqueado) de co-simulaciones 144, Realización #31 144, Tabla 22. Estadísticas básicas de promedio de co-simulaciones y una realización de CuT rebloqueado a unidades de 4m x 12m x 12m. 61

68 Se aprecia de la figura 40 que se mantiene el mismo mapa de leyes y la misma forma del histograma que para el caso de modelos sin rebloquear, pero con mayor presencia de valores medios y menor cantidad de valores extremos. Esto se puede ver reflejado en las estadísticas presentadas en la tabla 22, donde se observa que el valor de la media no varía al rebloquear, sin embargo el valor máximo disminuye y los valores se juntan en el histograma. Por otro lado, la varianza disminuye muy levemente indicando una menor dispersión. Finalmente, para la segunda etapa de este trabajo se decide utilizar modelos de bloques de dimensiones 4m x 12m x 12m, con un total de 144,609 bloques que contienen información de leyes de cobre, plata, molibdeno, arsénico y antimonio RESULTADOS SIMULACIÓN CONDICIONAL MONOVARIABLE Se creó también un modelo de simulación monovariable, considerando los mismos variogramas simples para cada variable y los mismos parámetros de grilla y vecindad utilizados en la simulación multivariable. En este caso se hacen 40 simulaciones de cada variable por separado, directamente en bloques de 4m x 12m x 12m, considerándolas como si fuesen independientes. Debido a esto, se espera encontrar diferencias para los modelos simulados monovariablemente en cuanto a que no se toman plenamente en cuenta las relaciones existentes entre las variables. Los valores promedios no deberían variar con respecto a la simulación multivariable, pero sí los valores de los coeficientes de correlación. Se presentan a continuación los resultados obtenidos mediante este método, ejemplificados por el caso de la variable CuT. Figura 41-a. Gráfico de leyes medias de CuT por cada realización monovariable. 62

69 100,00% Probabilidad de Medias de realizaciones de CuT Probabilidad [%] 10,00% 1,00% 0,90 0,95 1,00 1,05 1,10 1,15 1,20 Ley Media CuT [%] Medias CuT realizaciones Figura 41-b. Gráfico de probabilidad de leyes medias de CuT por cada realización monovariable. Figura 42-a. Gráfico de varianzas de CuT por cada realización monovariable. 100,00% Probabilidad de Varianzas realizaciones CuT Probabilidad [%] 10,00% 1,00% 1,10 1,20 1,30 1,40 1,50 1,60 1,70 1,80 1,90 Varianza CuT [σ 2 ] Varianzas realizaciones CuT Figura 42-b. Gráfico de probabilidad de varianzas de CuT por cada realización monovariable. 63

70 Figura 43. Sección XY (Z=2,250) e histograma de leyes de CuT para modelo monovariable en bloques de 4m x 12m x 12m. CuT [%] Nº datos Mínimo Máximo Media Varianza Desv. Est. Prom. de simulaciones 144, Realización #19 144, Tabla 23. Estadísticas básicas de promedio de simulaciones y una realización de CuT para bloques de 4m x 12m x 12m. En las figuras 41 y 42 (a y b) se muestran las medias y las varianzas de todas las realizaciones de CuT obtenidas por este método, de las cuales no se observan grandes diferencias con respecto a lo entregado por el método multivariable (figuras 33 y 34). En la figura 43 se observan las mismas características encontradas para los resultados de la simulación multivariable, en cuanto a mapas de leyes e histogramas. Lo mismo se puede decir para las estadísticas presentadas en la tabla 23. Las pequeñas diferencias que se aprecian en los valores con respecto a los de la tabla 22 se deben a que en este caso la simulación se hizo directamente para una grilla de dimensiones 4m x 12m x 12m. Se analiza entonces la reproducción de las relaciones existentes entre las variables por medio de la construcción de las nubes de correlación (figura 44). 64

71 Figura 44. Nubes de correlación para pares de variables de una realización monovariable. Se aprecia que los coeficientes de correlación no coinciden con los entregados por los datos originales (figura 21). Esto quiere decir que la simulación monovariable logra reproducir las distribuciones y valores de las variables reales, pero no reproduce la dependencia natural que puede existir entre ellas. 65

72 4.5. RESUMEN DE LA ETAPA 1 Al finalizar esta etapa del trabajo, se dispone de modelos multivariables de leyes (CuT, Ag, Mo, As, Sb) en bloques de 4m x 12m x 12m que cubren la zona de interés, y que presentan las siguientes características: (1) Múltiples modelos de co-simulación: reproducen la variabilidad espacial de cada variable y las dependencias entre ellas (correlaciones entre variables) (2) Múltiples modelos de simulación por separado: si bien reproducen la variabilidad de cada variable, no logran reflejar las dependencias entre variables, y (3) Promedios de la co-simulación y de la simulación de cada variable: corresponden a modelos alisados que no reproducen la variabilidad espacial. A diferencia de las cosimulaciones o simulaciones, son modelos únicos. Estos modelos y sus propiedades, se traspasan a la siguiente etapa de diseño y planificación minera con tal de analizar cómo se reflejan las diferencias presentes entre ellos. 66

73 5. CASO DE ESTUDIO ETAPA 2 (DISEÑO Y PLANIFICACIÓN MINERA) En esta parte del estudio se pretende tomar los modelos de bloques multivariables encontrados en la etapa anterior y, tal como se analizaron las diferencias en la estimación geoestadística, analizar los efectos de dichas diferencias al aplicar determinados criterios de diseño y planificación minera sobre todos ellos. Para esto, se utilizan los modelos de bloques, de dimensiones 4m x 12m x 12m, correspondientes a: - Promedio de co-simulaciones - Realizaciones de la co-simulación - Promedio de simulaciones monovariables - Realizaciones de la simulación monovariable. Se utiliza el software Whittle, con tal de obtener los planes de producción adecuados de acuerdo al criterio de optimizar el VAN en cada caso, considerando las mismas condiciones económicas y geotécnicas para todos los modelos. Para la obtención del pit óptimo, Whittle utiliza un precio base fijo, el cual es multiplicado por un Revenue Factor linealmente variable (RF). El RF corresponde al factor representado por la expresión (P C FR )*Rec, donde P es el precio del metal, C FR es su costo de fundición y refinación y Rec es su recuperación metalúrgica. Mediante distintos valores de RF se evalúan los límites económicamente posibles del rajo. Cada uno de los pits anidados obtenidos representa una posible envolvente económica óptima para las condiciones dadas, que puede ser escogida como el diseño del pit final. Se realiza la optimización del diseño del pit final considerando los tres metales con beneficio económico (CuT, Ag y Mo) para generar los pits anidados. Al momento de encontrar el plan de producción se valoriza el escenario operacional de dos formas: considerando los tres elementos de beneficio económico y sin condicionar por un límite de concentración de As, y considerando los mismos tres elementos pero agregando una restricción a la concentración de As enviada a planta. Se define un horizonte de evaluación de largo plazo, que permita al menos cinco años de producción. Los pasos a seguir para encontrar la envolvente económica más adecuada y el correspondiente plan de producción en cada caso se pueden resumir de la siguiente forma: - Optimizar corriendo los pits anidados con los correspondientes valores económicos de tres elementos de interés económico 67

74 - Valorizar el escenario operacional por los tres metales para los casos sin y con restricción de As - Encontrar el pit que entregue una envolvente adecuada para generar el plan de producción - Encontrar fases adecuadas para generar el plan de producción - Encontrar y valorizar el plan de producción. Cabe destacar que los distintos modelos de bloques fueron arreglados para poder importarlos y procesarlos en Whittle, agregando bloques del mismo tamaño con valor 0 para todas las variables alrededor del modelo original, pero con la misma densidad de los bloques con leyes, y obteniendo así modelos de 317 x 147 x 43 bloques. Se presentan dos secciones de resultados correspondientes a distintos tipos de análisis realizados a los modelos de bloques: - Caso 1 - Planificación por modelo: diferencias en los diseños y planes de producción obtenidos por Whittle para cada modelo, y - Caso 2 - Incertidumbre asociada a un plan: aplicación de una secuencia de producción base a las distintas realizaciones multivariables PARÁMETROS UTILIZADOS Los valores de los parámetros que se presentan en la tabla 24 fueron definidos de modo que estén adecuados a la realidad y de acuerdo a información encontrada en distintas fuentes reales. Los principales parámetros utilizados en esta etapa se pueden resumir en la siguiente tabla. Parámetro Valor Unidad Parámetro Valor Unidad Densidad 2.6 [ton/m 3 ] Costo Mina 1.1 [US$/ton] Ángulo de talud 50.0 [grados] Costo Planta 6.0 [US$/ton] Precio CuT 1.3 [US$/lb] Costo F&R CuT 0.4 [US$/lb] Precio Ag 7.0 [US$/oz] Costo F&R Ag 0.4 [US$/oz] Precio Mo 15.0 [US$/lb] Costo F&R Mo 2.0 [US$/lb] Rec. Met. CuT 85.0 [%] Inversión mina 1,500 [US$/tpd.extraída] Rec. Met. Ag 70.0 [%] Inversión planta 4,500 [US$/tpd.procesada] Rec. Met. Mo 50.0 [%] Tasa de descto [%] Tabla 24. Parámetros utilizados en el proceso de planificación. 68

75 La necesidad de aplicar una restricción de arsénico está relacionada con aspectos económicos y ambientales. Esta restricción es parte de una condición de la planta de concentración para mantener una cierta calidad en el producto, relacionada con los niveles de recuperación y eficiencia de la flotación. Además, la cantidad de arsénico que se encuentre presente en el concentrado impacta directamente en el proceso posterior de fundición, en donde un porcentaje del total de arsénico ingresado es emitido a la atmósfera y no debe sobrepasar determinados límites según las normas que existan en la zona. En este caso, al momento de calcular los planes de producción bajo una restricción de arsénico, se tomó como ejemplo un límite de 500 ppm como concentración máxima enviada a planta. Para el caso del antimonio, en este trabajo se decidió no aplicar ninguna restricción. El cálculo de los pits anidados se realiza mediante el algoritmo de Lerchs y Grossmann. Para encontrar la envolvente económica o el pit final óptimo se calcula el ritmo de producción asociado a una determinada ley de corte que logre maximizar el VAN para los parámetros económicos entregados. De acuerdo a esto se puede encontrar la vida de la mina y los tonelajes totales con sus leyes medias asociadas que definirán el pit final. El cálculo del VAN arrojado por los planes de producción está dado por: n Fi VAN = Inv( Mina) Inv( Planta) + (1 + r) F = I C, i = 1,... n i i i i= 1 i I i = P CuT + P + P * Ton( Planta) * L Ag Mo CuT * Ton( Planta) * L * Ton( Planta) * L Ag Mo * REC * REC * REC CuT Ag Mo donde: C i = CM * Ton( Mina) + CP * Ton( Planta) + CFR + CFR + CFR Ag Mo * Ton( Planta) * L * Ton( Planta) * L Ag Mo * REC * REC Ag Mo CuT * Ton( Planta) * L CuT * REC CuT Inv( ) = Inversión en Mina o Planta F i = Flujo de caja correspondiente al período i I i = Ingresos totales del período i C i = Costos totales del período i Ton(Mina) = Tonelaje de material extraído de la mina (mineral + estéril) Ton(Planta) = Tonelaje de mineral procesado en la planta CM = Costo mina CP = Costo planta P x = Precio de los metales, para x igual a CuT, Ag o Mo REC x = Recuperación metalúrgica de los metales, para x igual a CuT, Ag o Mo L x = Ley media de los metales en cada período, para x igual a CuT, Ag o Mo CFR x = Costo de fundición y refinación, o costo de venta, para x igual a CuT, Ag o Mo 69

76 5.2. CASO 1 PLANIFICACIÓN POR MODELO Se presentan los resultados de pit final y planificación encontrados para los distintos modelos, ocupando los mismos criterios para todos MODELO DE PROMEDIO DE CO-SIMULACIONES Figura 45. Curvas ton-ley para modelo de bloques de promedio de co-simulaciones (sin agregar bloques). Figura 46. Gráfico de VAN y ritmos de producción asociados a distintas leyes de corte. Para este modelo, se definió que el ritmo de producción que logra maximizar el VAN corresponde a ktpd de mineral a planta, asociado a una ley de corte óptima de CuT de 0.6% (figura 46). Para esta ley de corte, se obtiene una envolvente económica asociada a este modelo de Mton de mineral con una ley media de 1.13% de CuT (figura 45) y Mton de estéril, que dan una vida a la mina correspondiente a 10 años. Sin embargo, este análisis se utiliza sólo como una referencia preliminar para la optimización del pit final, debido a que fue realizado para el modelo de bloques obtenido de la etapa anterior sin agregar los bloques de estéril a su alrededor, y solamente se consideró la ley de la variable principal CuT. 70

77 Se siguieron los pasos resumidos al comienzo del capítulo 5. De acuerdo al análisis hecho previamente, se decidió escoger una producción de 55 ktpd como mejor opción, por lo que al momento de valorizar el escenario operacional, se fija el límite de procesamiento anual de la planta en Mtpa. Además, se escoge una relación Estéril/Mineral (E/M) igual a 2, derivada de la estimación de la ley de corte óptima encontrada. Según esto, se fija el límite máximo de extracción de la mina (Estéril + Mineral) en Mtpa, excepto para el primer año, que por ser el inicio de la producción se deja en 0.75 veces el nivel de los demás años (= Mtpa). Se valorizan los escenarios considerando CuT, Ag y Mo como elementos de interés económico. Se realizan dos tipos de evaluación: sin restricción de As y con restricción de As (500 ppm). (1) Sin restricción de As De acuerdo a lo anterior, para esta primera opción, al observar los distintos pits entregados por Whittle se aprecia que, a partir de un determinado pit, el tonelaje de mineral aumenta muy poco en relación a lo que crece el tonelaje de estéril, y las leyes medias asociadas no varían notablemente. Además, el valor asociado a cada pit (sin considerar inversión) bajo las condiciones de valorización impuestas, se nivela a partir de un punto (figura 47). Figura 47. Valor y tonelaje asociado a cada pit generado para distintos valores de RF (sin restricción de As). Por lo tanto, se decidió escoger como envolvente económica adecuada, que representa el pit final para este caso, al pit asociado al valor de RF igual a Las características de esta envolvente económica se resumen en la siguiente tabla: 71

78 (sin restricción de As) Tonelaje de Roca Tonelaje de Mineral Ley de CuT Ley de Ag Ley de Mo Ley de As Ley de Sb [Mton] [Mton] [%] [ppm] [ppm] [ppm] [ppm] Modelo de promedio de co-simulación Tabla 25. Envolvente económica escogida como diseño de pit final. Siguiendo con el procedimiento mencionado, se escogen fases adecuadas para generar un plan de producción. Para esto, se decide dividir el pit final en cuatro fases, que sean aproximadamente del mismo tamaño. Luego, el plan de producción definido para este caso, reporta un VAN de 1, MUS$, considerando inversiones. El programa de producción, para un total de 10 años, se puede visualizar en los siguientes gráficos. Figura 48. Tonelajes y ley de CuT asociados al plan de producción. Figura 49. Leyes de Ag, Mo, As y Sb asociadas al plan de producción. 72

79 (2) Con restricción de As (500 ppm) En el caso de aplicar una limitante en la concentración de As se realiza el mismo procedimiento y análisis anterior, bajo los mismos criterios. Para esta opción se encuentra la siguiente envolvente económica asociada a un RF de 0.68 (figura 50): Figura 50. Valor y tonelaje asociado a cada pit generado para distintos valores de RF (con restricción de As). (con restricción de As) Tonelaje de Roca Tonelaje de Mineral Ley de CuT Ley de Ag Ley de Mo Ley de As Ley de Sb [Mton] [Mton] [%] [ppm] [ppm] [ppm] [ppm] Modelo de promedio de co-simulación , Tabla 26. Envolvente económica escogida como diseño de pit final. Escogiendo fases bajo el mismo criterio que antes, el plan de producción definido para este caso reporta un VAN de 7.88 MUS$, considerando inversiones. Se aprecia la gran diferencia que existe en este valor con respecto al caso anterior. El programa de producción, para un total de 6 años, se puede visualizar en los siguientes gráficos. 73

80 Figura 51. Tonelajes y ley de CuT asociados al plan de producción. Figura 52. Leyes de Ag, Mo, As y Sb asociadas al plan de producción MODELO DE PROMEDIO DE SIMULACIONES MONOVARIABLES Figura 53. Curvas ton-ley para modelo de bloques de promedio de simulaciones monovariables (sin agregar bloques). 74

81 Figura 54. Gráfico de VAN y ritmos de producción asociados a distintas leyes de corte. Para este modelo de bloques se definió que el ritmo de producción que logra maximizar el VAN corresponde a ktpd de mineral a planta, asociado a una ley de corte óptima de CuT de 0.6% (figura 54). La envolvente económica asociada a este modelo contiene Mton de mineral con una ley media de 1.15% de CuT (figura 53) y Mton de estéril, que dan una vida a la mina correspondiente a 9 años. Sin embargo, al igual que para el caso de la cosimulación, este análisis se utiliza sólo como una referencia para la optimización del pit final. Siguiendo los mismos pasos definidos anteriormente, se decidió escoger una producción de 60 ktpd, por lo que al momento de valorizar el escenario operacional, se fija el límite de procesamiento anual de la planta en Mtpa. Además, se escoge una relación Estéril/Mineral (E/M) igual a 2, derivada de la estimación de la ley de corte óptima encontrada. Según esto, se fija el límite máximo de extracción de la mina (Estéril + Mineral) en Mtpa, excepto para el primer año, que por ser el inicio de la producción se deja en 0.75 veces el nivel de los demás años (= Mtpa). Se valorizan los escenarios de la misma forma anterior, considerando CuT, Ag y Mo como elementos de interés económico y se realizan dos tipos de evaluación de acuerdo a agregar o no una restricción de As. (1) Sin restricción de As Utilizando los mismos criterios de decisión que para el modelo de bloques anterior, se encontró la envolvente económica correspondiente a este caso. Las características de este pit final se encuentran en la tabla 27 y figura 55. (sin restricción de As) Tonelaje de Roca Tonelaje de Mineral Ley de CuT Ley de Ag Ley de Mo Ley de As Ley de Sb [Mton] [Mton] [%] [ppm] [ppm] [ppm] [ppm] Modelo de promedio de simulación (mono.) Tabla 27. Envolvente económica escogida como diseño de pit final. 75

82 Figura 55. Valor y tonelaje asociado a cada pit generado para distintos valores de RF (sin restricción de As). Luego de escoger las fases para este pit, se obtiene un plan de producción para 9 años que logra generar un VAN de 1, MUS$, el cual se detalla en las siguientes figuras. Figura 56. Tonelajes y ley de CuT asociados al plan de producción. 76

83 Figura 57. Leyes de Ag, Mo, As y Sb asociadas al plan de producción. (2) Con restricción de As (500 ppm) Se aplica una restricción de As de 500 ppm como concentración máxima de envío a planta. La envolvente económica encontrada para este caso está dada en la siguiente figura y tabla. Figura 58. Valor y tonelaje asociado a cada pit generado para distintos valores de RF (con restricción de As). (con restricción de As) Tonelaje de Roca Tonelaje de Mineral Ley de CuT Ley de Ag Ley de Mo Ley de As Ley de Sb [Mton] [Mton] [%] [ppm] [ppm] [ppm] [ppm] Modelo de promedio de simulación (mono) , Tabla 28. Envolvente económica escogida como diseño de pit final. 77

84 El plan de producción de 6 años generado para esta envolvente entrega un VAN de MUS$ y se puede ver reflejado en los gráficos de las figuras 59 y 60. Figura 59. Tonelajes y ley de CuT asociados al plan de producción. Figura 60. Leyes de Ag, Mo, As y Sb asociadas al plan de producción. 78

85 MODELOS DE REALIZACIONES DE LA CO-SIMULACIÓN Se escogen 2 realizaciones de las 40 obtenidas en la etapa de co-simulación, con tal de aplicarles el mismo procedimiento de evaluación de la planificación utilizado en los puntos anteriores. Para estos casos se decide considerar los mismos criterios de valorización que se ocuparon para el modelo del promedio de las co-simulaciones, es decir, el mismo ritmo de producción y la misma relación E/M, sin realizar un nuevo análisis de optimización de ley de corte. I) Realización 31 (mejor caso) (1) Sin restricción de As Bajo las condiciones ya mencionadas, la envolvente económica encontrada en esta opción para desarrollar la producción se resume en la siguiente tabla y está asociada a un valor de RF igual a 0.74 (figura 61). Figura 61. Valor y tonelaje asociado a cada pit generado para distintos valores de RF (sin restricción de As). (sin restricción de As) Tonelaje de Roca Tonelaje de Mineral Ley de CuT Ley de Ag Ley de Mo Ley de As Ley de Sb [Mton] [Mton] [%] [ppm] [ppm] [ppm] [ppm] Modelo de realiz #31 de co-simulación , Tabla 29. Envolvente económica escogida como diseño de pit final. 79

86 Luego de escoger las fases para este pit, se obtiene un plan de producción de 10 años que logra generar un VAN de 1, MUS$, el cual se detalla en las siguientes figuras. Figura 62. Tonelajes y ley de CuT asociados al plan de producción. Figura 63. Leyes de Ag, Mo, As y Sb asociadas al plan de producción. (2) Con restricción de As (500 ppm) En este caso, el pit final correspondiente a la envolvente económica para la realización #31 de la co-simulación, considerando una restricción de 500 ppm de As, se presenta en la siguiente tabla y se asocia a un valor de RF de 0.63 (figura 64). (con restricción de As) Tonelaje de Roca Tonelaje de Mineral Ley de CuT Ley de Ag Ley de Mo Ley de As Ley de Sb [Mton] [Mton] [%] [ppm] [ppm] [ppm] [ppm] Modelo de realiz #31 de co-simulación , Tabla 30. Envolvente económica escogida como diseño de pit final. 80

87 Figura 64. Valor y tonelaje asociado a cada pit generado para distintos valores de RF (con restricción de As). El plan de producción de 9 años generado para esta envolvente entrega un VAN de MUS$ y se puede ver reflejado en los gráficos de las siguientes figuras. Figura 65. Tonelajes y ley de CuT asociados al plan de producción. 81

88 Figura 66. Leyes de Ag, Mo, As y Sb asociadas al plan de producción. II) Realización 39 (peor caso) (1) Sin restricción de As El pit final encontrado bajo los mismos criterios anteriores se encuentra asociado a un RF de 0.74 (figura 67) y se expresa en la tabla 31. Figura 67. Valor y tonelaje asociado a cada pit generado para distintos valores de RF (sin restricción de As). 82

89 (sin restricción de As) Tonelaje de Roca Tonelaje de Mineral Ley de CuT Ley de Ag Ley de Mo Ley de As Ley de Sb [Mton] [Mton] [%] [ppm] [ppm] [ppm] [ppm] Modelo de realiz #39 de co-simulación , Tabla 31. Envolvente económica escogida como diseño de pit final. Luego de escoger las fases para este pit, se obtiene un plan de producción de 7 años que logra generar un VAN de 1, MUS$, el cual se detalla en las siguientes figuras. Figura 68. Tonelajes y ley de CuT asociados al plan de producción. Figura 69. Leyes de Ag, Mo, As y Sb asociadas al plan de producción. (2) Con restricción de As (500 ppm) La envolvente encontrada al aplicar la condición de no sobrepasar las 500 ppm de concentración de As se describe a continuación (figura 70 y tabla 32). 83

90 Figura 70. Valor y tonelaje asociado a cada pit generado para distintos valores de RF (con restricción de As). (con restricción de As) Tonelaje de Roca Tonelaje de Mineral Ley de CuT Ley de Ag Ley de Mo Ley de As Ley de Sb [Mton] [Mton] [%] [ppm] [ppm] [ppm] [ppm] Modelo de realiz #39 de co-simulación , Tabla 32. Envolvente económica escogida como diseño de pit final. El plan de producción de 7 años generado para esta envolvente entrega un VAN de 2.31 MUS$ y se puede ver reflejado en los gráficos de las figuras 71 y 72. Figura 71. Tonelajes y ley de CuT asociados al plan de producción. 84

91 Figura 72. Leyes de Ag, Mo, As y Sb asociadas al plan de producción MODELOS DE REALIZACIONES DE SIMULACIÓN MONOVARIABLE Se escogen 2 realizaciones de las 40 obtenidas en la etapa de simulación monovariable, con tal de aplicarles el mismo procedimiento de evaluación de la planificación utilizado en los puntos anteriores. Para estos casos se decide considerar los mismos criterios de valorización que se ocuparon para los modelos de las realizaciones anteriores, es decir, el mismo ritmo de producción y la misma relación E/M, sin realizar un nuevo análisis de optimización de ley de corte. I) Realización 19 (mejor caso) (1) Sin restricción de As Bajo las condiciones ya mencionadas, la envolvente económica encontrada en esta opción para desarrollar la producción se resume en la siguiente tabla y se socia a un RF igual a 0.66 (figura 73). (sin restricción de As) Tonelaje de Roca Tonelaje de Mineral Ley de CuT Ley de Ag Ley de Mo Ley de As Ley de Sb [Mton] [Mton] [%] [ppm] [ppm] [ppm] [ppm] Modelo de realiz #19 de simulación (mono) , Tabla 33. Envolvente económica escogida como diseño de pit final. 85

92 Figura 73. Valor y tonelaje asociado a cada pit generado para distintos valores de RF (sin restricción de As). Luego de escoger las fases para este pit, se obtiene un plan de producción de 11 años que logra generar un VAN de 1, MUS$, el cual se detalla en las siguientes figuras. Figura 74. Tonelajes y ley de CuT asociados al plan de producción. 86

93 Figura 75. Leyes de Ag, Mo, As y Sb asociadas al plan de producción. (2) Con restricción de As (500 ppm) En este caso, el pit final correspondiente a la envolvente económica para la realización #19 de la simulación, considerando una restricción de 500 ppm de As, se presenta en la siguiente figura y tabla. Figura 76. Valor y tonelaje asociado a cada pit generado para distintos valores de RF (con restricción de As). 87

94 (con restricción de As) Tonelaje de Roca Tonelaje de Mineral Ley de CuT Ley de Ag Ley de Mo Ley de As Ley de Sb [Mton] [Mton] [%] [ppm] [ppm] [ppm] [ppm] Modelo de realiz #19 de simulación (mono.) , Tabla 34. Envolvente económica escogida como diseño de pit final. El plan de producción de 5 años generado para esta envolvente entrega un VAN de MUS$ y se puede ver reflejado en los gráficos de las figuras 77 y 78. Figura 77. Tonelajes y ley de CuT asociados al plan de producción. Figura 78. Leyes de Ag, Mo, As y Sb asociadas al plan de producción. II) Realización 17 (peor caso) (1) Sin restricción de As El pit final encontrado bajo los mismos criterios anteriores, asociado a un RF de 0.74 (figura 79) se expresa en la tabla

95 Figura 79. Valor y tonelaje asociado a cada pit generado para distintos valores de RF (sin restricción de As). (sin restricción de As) Tonelaje de Roca Tonelaje de Mineral Ley de CuT Ley de Ag Ley de Mo Ley de As Ley de Sb [Mton] [Mton] [%] [ppm] [ppm] [ppm] [ppm] Modelo de realiz #17 de simulación (mono.) , Tabla 35. Envolvente económica escogida como diseño de pit final. Luego de escoger las fases para este pit, se obtiene un plan de producción de 10 años que logra generar un VAN de 1, MUS$, el cual se detalla en las siguientes figuras. Figura 80. Tonelajes y ley de CuT asociados al plan de producción. 89

96 Figura 81. Leyes de Ag, Mo, As y Sb asociadas al plan de producción. (2) Con restricción de As (500 ppm) La envolvente encontrada al aplicar la condición de no sobrepasar las 500 ppm de concentración de As se describe a continuación (figura 82 y tabla 36). Figura 82. Valor y tonelaje asociado a cada pit generado para distintos valores de RF (con restricción de As). Tonelaje Tonelaje de Ley de Ley de Ley de Ley de Ley de (con restricción de As) de Roca Mineral CuT Ag Mo As Sb [Mton] [Mton] [%] [ppm] [ppm] [ppm] [ppm] Modelo de realiz #17 de simulación (mono.) , Tabla 36. Envolvente económica escogida como diseño de pit final. 90

97 El plan de producción de 7 años generado para esta envolvente entrega un VAN de MUS$ y se puede ver reflejado en los gráficos de las figuras 83 y 84. Figura 83. Tonelajes y ley de CuT asociados al plan de producción. Figura 84. Leyes de Ag, Mo, As y Sb asociadas al plan de producción COMPARACIÓN DE RESULTADOS Diseños de pit final - Sin restricción de As Modelo Ton. Roca Ton. Mineral CuT [%] Ag [ppm] Mo [ppm] As [ppm] Sb [ppm] Prom. Co-sim Prom. Sim. (mono) Realiz. 31 (co-sim.) , Realiz. 39 (co-sim.) , Realiz. 19 (sim. mono) , Realiz. 17 (sim. mono) , Tabla 37. Comparación de envolventes económicas encontradas para los distintos modelos sin considerar restricción de As. 91

98 En cuanto a los distintos diseños que se obtuvieron, se puede decir que en general se encuentran todos alrededor de un mismo valor para el tonelaje total de la envolvente (Ton. Roca), excepto para el caso de la realización 39 (peor caso co-simulación), que indica una envolvente mucho más pequeña que las demás. Estos resultados se consideran razonables, debido a que de cierta forma se está considerando todo el conjunto de los bloques que componen los modelos para estimar un valor, es decir, se utiliza el valor esperado del modelo que representa las leyes reales, el cual puede ser reproducido correctamente por cualquiera de los modelos analizados, como ya se comprobó en la etapa anterior de este proyecto. Debido a esto, las características de la envolvente para los casos de modelos promediados son bastante similares, por lo que no se espera que se reflejen grandes diferencias al momento de planificar. Esto no ocurre de la misma forma para los modelos de realizaciones. Se puede apreciar de la tabla 37, que los valores de las leyes comprendidas dentro del diseño final, son mayores para los casos de las realizaciones, especialmente para las monovariables, pero las cantidades de mineral son menores. Estas diferencias se verán reflejadas al momento de calcular el VAN de cada caso y por lo tanto afectarán en la rentabilidad estimada para cada proyecto. Los más altos valores encontrados para las realizaciones 17 y 19 pueden ser menos confiables que para los modelos de realizaciones por co-simulación, ya que como se estudió en la etapa anterior, en el caso monovariable no se reproducen las relaciones entre variables. Por lo tanto, debido a que el proceso de búsqueda de la envolvente final incluye de manera conjunta la información aportada por las variables de interés económico, las cuales presentan cierta dependencia, se puede decir que se consideran más representativos los límites asociados a los modelos obtenidos por co-simulación. Cabe señalar que el mecanismo de diseño de pit final a través de Whittle se realiza a través de técnicas de prueba y error, por lo que la calidad óptima de los resultados varía dependiendo de la experiencia del operador. En esta ocasión se intentó buscar un plan adecuado para cada modelo aplicando parámetros, condiciones y criterios que no necesariamente estaban orientados a optimizar el proceso. La idea principal era estudiar las diferencias producidas en el diseño y plan minero al aplicar un mismo tipo de planificación (no necesariamente el óptimo) a distintos modelos que intentan representar a un solo yacimiento. Diseños de pit final - Con restricción de As (500 ppm) Modelo Ton. Ton. CuT Ag Mo As Sb Roca Mineral [%] [ppm] [ppm] [ppm] [ppm] Prom. Co-sim , Prom. Sim. (mono) , Realiz. 31 (co-sim.) , Realiz. 39 (co-sim.) , Realiz. 19 (sim. mono) , Realiz. 17 (sim. mono) , Tabla 38. Comparación de envolventes económicas encontradas para los distintos modelos considerando restricción de As. 92

99 Para los resultados de pit final encontrados valorizando por tres metales y aplicando una restricción de As, se puede observar que los valores de tonelajes totales disminuyen en todos los casos, ya que las concentraciones de As presentes en este yacimiento en particular son bastante elevadas, lo cual se traduce en una limitación más fuerte a la hora de decidir qué extraer o no. En la tabla 38 se observan las mismas características que para el caso anterior, pero esta vez se incluye una variable más al momento de evaluar el pit final, por lo que se está utilizando una mayor cantidad de información contenida en el modelo de bloques. En cuanto al cálculo de los planes de producción para cada modelo, en el caso sin restricción (tabla 39) se observa que para el promedio de co-simulaciones y para el promedio de simulaciones monovariables no se encuentran grandes diferencias. Ambos planes asociados reportan un VAN similar, pero con un año de diferencia, el cual se debe al distinto ritmo de producción considerado. Este resultado se consideraba esperado debido a los resultados encontrados para sus diseños de pit final. Para los planes obtenidos desde las realizaciones se aprecian mayores diferencias. En el caso de las realizaciones obtenidas por simulación multivariable, se observa que existe una diferencia de aproximadamente 500 MUS$ entre los modelos del peor y mejor caso. Debido a que estos modelos son equiprobables, significa que la planificación de este yacimiento puede variar dentro de este rango. Es decir, la realidad del yacimiento puede estar representada por cualquiera de estos escenarios, por lo que al considerar un plan para un modelo esperado o promedio, se tendrá un margen de error durante la operación de la mina que podría llegar a ser de alrededor de 200 MUS$. Esta diferencia puede caracterizar el nivel de riesgo o incertidumbre que se debe contemplar en el plan de largo plazo asociado a un determinado yacimiento, bajo ciertos criterios y parámetros utilizados. Si se pudiera realizar el mismo procedimiento para todas las realizaciones, se podría tener una información más completa de las probabilidades que tiene la planificación de generar un cierto nivel de VAN, y así traspasar la variabilidad presente en el yacimiento al plan de producción. En esta oportunidad sólo se consideraron dos modelos de realizaciones más el promedio debido a que el procedimiento de evaluación y análisis aplicado requiere de la ejecución de variadas etapas para cada uno de los modelos, por lo que el tiempo empleado puede tomar bastantes horas, principalmente en la optimización de los pit anidados. Para las realizaciones monovariables se encontró una diferencia en el VAN de aproximadamente 400 MUS$, con valores mayores que para las realizaciones obtenidas por cosimulación. Debido a la menor confiabilidad de la información aportada por estos modelos, se puede decir que al considerarlos para la planificación, se podría estar sobreestimando el real valor que entrega el yacimiento a explotar. 93

100 Plan de producción - Sin restricción de As Modelo Duración VAN Ritmo Prod. [años] [MUS$] [ktpd] Prom. Co-sim , Prom. Sim. (mono) , Realiz. 31 (co-sim.) , Realiz. 39 (co-sim.) , Realiz. 19 (sim. mono) , Realiz. 17 (sim. mono) , Tabla 39. Comparación de los valores de los planes de producción obtenidos para los distintos modelos, sin considerar restricción de As. Plan de producción - Con restricción de As (500 ppm) Modelo Duración VAN Ritmo Prod. [años] [MUS$] [ktpd] Prom. Co-sim Prom. Sim. (mono) Realiz. 31 (co-sim.) Realiz. 39 (co-sim.) Realiz. 19 (sim. mono) Realiz. 17 (sim. mono) Tabla 40. Comparación de los valores de los planes de producción obtenidos para los distintos modelos, considerando restricción de As. Al considerar la restricción de As (tabla 40), las diferencias encontradas en las envolventes también se ven reflejadas en los planes de producción. De esta forma, se encuentra que al considerar modelos monovariables que simulan las variables de forma independiente, los planes encontrados resultan no ser rentables (VAN < 0). Sin embargo, para los casos de simulación conjunta de variables, la planificación arroja un valor bajo pero rentable, es decir, un VAN mayor a cero. Se aprecia entonces que utilizar uno u otro tipo de modelo puede influir enormemente al momento de decidir la factibilidad de un proyecto. Al igual que en el caso sin restricción, mediante la planificación de las realizaciones obtenidas por co-simulación se puede obtener un rango de variabilidad en el valor del VAN, que en este caso va aproximadamente desde los 2 a los 122 MUS$. Idealmente, sería más confiable aplicar este proceso a una gran cantidad de realizaciones multivariables, con tal de generar una mayor información disponible para aplicar el plan de producción estimado. Debido al tiempo que lleva optimizar cada plan, se decide analizar este aporte de otra forma. Para observar la variabilidad que se puede llegar a encontrar durante la operación de la mina, siguiendo un plan de largo plazo determinado, se pueden estudiar las variaciones en los valores de las leyes extraídas aplicando la secuencia real que se pretende seguir a las distintas realizaciones que representan el yacimiento en estudio. 94

101 5.3. CASO 2 INCERTIDUMBRE ASOCIADA A UN PLAN Se presentan en esta sección los resultados encontrados al considerar el modelo de promedio de co-simulaciones como caso base, para el cual se crea el diseño del pit final y se calcula el plan de producción de largo plazo considerado como el óptimo a seguir durante la explotación de la mina (punto ). De esta forma se obtiene la secuencia de extracción de los bloques que se va a seguir, pensando en que la realidad del yacimiento se encuentra representada por este modelo. Esta secuencia se exporta desde Whittle con tal de aplicarla a los modelos de las distintas realizaciones multivariables, para así analizar las diferencias que se pueden llegar a tener en la extracción, si la realidad del yacimiento fuera en verdad alguno de estos modelos equiprobables. Este proceso se realiza para el caso de la obtención de pits anidados y valoración del plan de producción considerando tres metales y sin aplicar restricción de As. Se escoge este modelo y este tipo de planificación como base debido a las diferencias favorables encontradas en la etapa 1 en comparación con el modelo de simulación monovariable y debido a la representatividad que posee este plan, en cuanto a constancia de tonelajes de mineral por período, en relación al encontrado al aplicar la restricción de As. Se escogen 10 realizaciones de la co-simulación, intentando abarcar de la mejor forma las características obtenidas desde el peor hasta el mejor caso (tabla 41). Nº realiz CuT [%] Ag [ppm] Mo [ppm] As [ppm] Sb [ppm] Tabla 41. Realizaciones escogidas para aplicar la secuencia encontrada para promedio de co-simulación. Para encontrar la secuencia de extracción de bloques se utilizó el plan de producción generado para el promedio de las co-simulaciones (figuras 48 y 49). El proceso a seguir se puede resumir en los siguientes pasos y en el esquema de la figura 85: - Exportar archivo de secuencia minera desde Whittle 95

102 - Importar la secuencia en software Gems - Generar las envolventes asociadas a cada período del plan de producción base - Exportar las envolventes desde Gems e importarlas en software Datamine - Cargar los diferentes modelos de bloques en Datamine y cortarlos mediante las envolventes representativas de cada período. De esta forma, se tendrá para cada modelo la selección de bloques que se extraen en cada período, la cual coincide físicamente para todos. - Dentro de cada período se identifican los bloques que se consideran mineral y los que se consideran estéril basándose en la información generada por Whittle, es decir, los mismos bloques que se determinó procesar según el plan de producción base son los que se procesarán en cada modelo, independiente de si cumplen o no con el valor necesario para ser considerados mineral. De esta forma se tiene el mismo tonelaje de extracción y de envío a planta para todos los modelos, pero con distintas leyes. - Se calcula la tendencia de leyes en el tiempo para cada caso y se comparan con el caso base. Figura 85. Esquema de procedimiento utilizado para evaluar incertidumbre en un plan de producción. 96

103 Mediante este proceso se pretende encontrar distintos planes de producción para un mismo yacimiento, los cuales consideran los mismos niveles de tonelajes tratados pero con distintos valores de leyes, por lo que el VAN reportado en cada caso será distinto. Debido a que este proceso involucra la utilización de distintos software, el valor final del VAN arrojado por Whittle para el caso del promedio de co-simulaciones varía levemente al aplicar estos pasos sobre él. Por lo tanto, el caso base final utilizado se representa en las siguientes figuras. Figura 86. Tonelajes y ley de CuT asociados al plan de producción base. Figura 87. Leyes de Ag, Mo, Sb y As asociadas al plan de producción base. De esta forma, luego de aplicar el procedimiento descrito, se obtienen los resultados correspondientes a las leyes asociadas a cada caso de plan de producción, los cuales se presentan mediante los siguientes gráficos. 97

104 Figura 88. Comportamiento de leyes de CuT para cada realización al aplicarles la secuencia base. Figura 89. Comportamiento de leyes de Ag para cada realización al aplicarles la secuencia base. 98

105 Figura 90. Comportamiento de leyes de Mo para cada realización al aplicarles la secuencia base. Figura 91. Comportamiento de leyes de As para cada realización al aplicarles la secuencia base. Figura 92. Comportamiento de leyes de Sb para cada realización al aplicarles la secuencia base. 99