TABLA DE CONTENIDOS 1 INTRODUCCIÓN OBJETIVOS Generales Específicos ALCANCES ANTECEDENTES...

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1 TABLA DE CONTENIDOS 1 INTRODUCCIÓN OBJETIVOS Generales Específicos ALCANCES ANTECEDENTES CONCEPTOS PREVIOS Variable regionalizada Función aleatoria Transformación Gaussiana Fluctuaciones ergódicas Curvas de selectividad ANTECEDENTES TEÓRICOS Métodos de simulación geoestadística ASPECTOS DE IMPLEMENTACIÓN Método Secuencial Gaussiano Método de Bandas Rotantes CRITERIOS DE VALIDACIÓN Inspección visual Distribución univariable Distribución bivariable Fluctuaciones ergódicas Intervalos de probabilidad METODOLOGÍA DE TRABAJO Simulaciones no condicionales Simulaciones condicionales SIMULACIÓN NO CONDICIONAL CASO BASE Número de realizaciones Parámetros de implementación ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD Influencia del dominio Influencia del alcance Influencia del modelo variográfico Influencia del efecto pepita CAMBIO DE SOPORTE Soporte de 10x10 metros Soporte de 20x20 metros ANISOTROPÍAS IMPACTO LOCAL...48 i

2 4 SIMULACIÓN CONDICIONAL YACIMIENTO DE ÓXIDOS DE COBRE Estudio exploratorio Reproducción de variogramas Intervalos de probabilidad YACIMIENTO DE SULFUROS DE COBRE Estudio exploratorio Reproducción de variogramas Intervalos de probabilidad APLICACIÓN: PLANIFICACIÓN ESTRATÉGICA CON INCERTIDUMBRE EN LA LEY YACIMIENTO DE ÓXIDOS DE COBRE YACIMIENTO DE SULFUROS DE COBRE CONCLUSIONES BIBLIOGRAFÍA ANEXOS ANEXOS I: VARIOGRAMAS DE ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD Dominio Alcance Modelos variográficos Efecto pepa ANEXOS II: VARIOGRAMAS DE CAMBIO DE SOPORTE ANEXOS III: VARIOGRAMAS DE ANISOTROPÍAS ANEXOS IV: ESTUDIO EXPLORATORIO ZONA DE BAJA LEY EN YACIMIENTO DE SULFUROS DE COBRE ANEXOS V: INTERVALOS DE PROBABILIDAD PARA DIFERENTES COMPÓSITOS ESTIMADOS CON ZONA DE BAJA LEY ii

3 ÍNDICE DE ILUSTRACIONES Ilustración 2.1 Función de transformación Gaussiana...6 Ilustración 2.2 Curva tonelaje ley de corte....7 Ilustración 2.3 Curva metal ley de corte...8 Ilustración 2.4 Curva ley media ley de corte....8 Ilustración 3.1 Intervalo de probabilidad para el variograma experimental de una realización Ilustración 3.2 Fluctuaciones estadísticas esperadas para un dominio de 200x200 nodos Ilustración 3.3 Fluctuaciones estadísticas para variaciones del dominio Ilustración 3.4 Fluctuaciones estadísticas para variogramas exponencial, esférico, Gaussiano y esférico anidado Ilustración 3.5 Fluctuaciones estadísticas para variogramas esféricos con diferentes efectos pepas Ilustración 3.6 Variogramas generados para SG con 20 datos (nodos) Ilustración 3.7 Histograma de las medias de las realizaciones para SG con 20 datos (nodos) Ilustración 3.8 Estadísticos generados para SG con 100 datos (nodos) Ilustración 3.9 Histograma de las medias de las realizaciones para SG con 100 datos (nodos) Ilustración 3.10 Madograma, rodograma y variograma del indicador de la mediana para diferentes tamaños de la vecindad Ilustración 3.11 Estadísticos generados para BR con 100 líneas Ilustración 3.12 Histograma de las medias de las realizaciones para BR con 100 líneas Ilustración 3.13 Estadísticos generados para BR con 1000 líneas Ilustración 3.14 Histograma de las medias de las realizaciones para BR con 1000 líneas Ilustración 3.15 Madograma, rodograma y variograma del indicador de la mediana para diferentes implementaciones Ilustración 3.16 Variogramas de realizaciones con SG para diferentes dominios Ilustración 3.17 Histograma de las medias de las realizaciones con SG para diferentes dominios Ilustración 3.18 Variogramas de realizaciones con BR para diferentes dominios Ilustración 3.19 Histograma de las medias de las realizaciones con BR para diferentes dominios Ilustración 3.20 Variogramas de realizaciones con SG para diferentes alcances Ilustración 3.21 Histograma de las medias de las realizaciones con SG para diferentes alcances Ilustración 3.22 Variogramas de realizaciones con BR para diferentes alcances Ilustración 3.23 Histograma de las medias de las realizaciones con BR para diferentes alcances Ilustración 3.24 Variogramas de realizaciones con SG para diferentes modelos Ilustración 3.25 Histograma de las medias de las realizaciones con SG para diferentes modelos Ilustración 3.26 Variogramas de realizaciones con BR para diferentes modelos Ilustración 3.27 Histograma de las medias de las realizaciones con BR para diferentes modelos Ilustración 3.28 Variogramas de realizaciones con BR para diferentes efectos pepas Ilustración 3.29 Histograma de las medias de las realizaciones con SG para diferentes efectos pepas Ilustración 3.30 Variogramas de realizaciones con BR para diferentes efectos pepas Ilustración 3.31 Histograma de las medias de las realizaciones con BR para diferentes efectos pepas Ilustración 3.32 Variogramas regularizados Ilustración 3.33 Histograma de las medias de las realizaciones regularizadas Ilustración 3.34 Variogramas regularizados Ilustración 3.35 Histograma de las medias de las realizaciones regularizadas Ilustración 3.36 Mapas variográficos según anisotropía Ilustración 3.37 Variogramas con anisotropía geométrica Ilustración 3.38 Variogramas con anisotropía zonal Ilustración 3.39 Fluctuaciones en variogramas experimentales Ilustración 3.40 Histograma de los valores obtenidos mediante método LU Ilustración 3.41 Gráficos cuantil contra cuantil de los métodos SG (arriba) y BR (abajo) comparados con método LU Ilustración 4.1 Mapas de muestras de exploración Ilustración 4.2 Influencia del tamaño de celda sobre la media (Izq.) e Histograma desagrupado (Der.) Ilustración 4.3 Nubes direccionales de cobre soluble. Este (Izq.), Norte (Centro) y Cota (Der.) Ilustración 4.4 Variograma experimental y modelado Ilustración 4.5 Validación cruzada para el variograma modelado iii

4 Ilustración 4.6 Anamorfosis Gaussiana, que relaciona los valores originales (ordenada) con los valores Gaussianos (abscisa) Ilustración 4.7 Histograma de los datos Gaussianos Ilustración 4.8 Nubes de correlación diferida para distancias de 5 metros (Izq.) y 60 metros (Der.) Ilustración 4.9 Raíz cuadrada del variograma dividida por el madograma Ilustración 4.10 Variograma experimental y modelado de la variable Gaussiana Ilustración 4.11 Variogramas de realizaciones con BR de la variable original (CuS) Ilustración 4.12 Variogramas de realizaciones con BR de la variable transformada Ilustración 4.13 Mapa de poblaciones definidas para validar el modelo de incertidumbre Ilustración 4.14 Validación del modelo de incertidumbre para ambas vecindades a nivel puntual Ilustración 4.15 Validación del modelo de incertidumbre para ambas vecindades y diferentes tamaños de compósitos Ilustración 4.16 Mapas de muestras de exploración Ilustración 4.17 Influencia del tamaño de celda sobre la media (Izq.) e Histograma desagrupado (Der.). 65 Ilustración 4.18 Nubes direccionales de cobre total. Este (Izq.), Norte (Centro) y Cota (Der.) Ilustración 4.19 Variograma experimental y modelado Ilustración 4.20 Validación cruzada para el variograma modelado Ilustración 4.21 Anamorfosis Gaussiana, que relaciona los valores originales (ordenada) con los valores Gaussianos (abscisa) Ilustración 4.22 Histograma de los datos Gaussianos Ilustración 4.23 Nubes de correlación diferida para distancias de 5 metros (Izq.) y 50 metros (Der.) Ilustración 4.24 Raiz cuadrada del variograma dividido por el madograma Ilustración 4.25 Variograma de indicadores Ilustración 4.26 Variograma experimental y modelado de la variable Gaussiana Ilustración 4.27 Variogramas de realizaciones con BR de la variable original (CuT) Ilustración 4.28 Variogramas de realizaciones con BR de la variable transformada Ilustración 4.29 Mapa de poblaciones definidas para validar el modelo de incertidumbre Ilustración 4.30 Validación del modelo de incertidumbre para ambas vecindades a nivel puntual Ilustración 4.31 Validación del modelo de incertidumbre para ambas vecindades y diferentes tamaños de compósitos Ilustración 4.32 Mapa de poblaciones definidas para validar el modelo de incertidumbre Ilustración 4.33 Validación del modelo de incertidumbre para ambas vecindades a nivel puntual, utilizando características globales del yacimiento Ilustración 4.34 Validación del modelo de incertidumbre para ambas vecindades a nivel puntual, utilizando características locales de la zona de baja ley del yacimiento Ilustración 5.1 Proceso de obtención de valor presente neto y ritmos de producción para diferentes leyes de corte Ilustración 5.2 Gráfico cuantil contra cuantil de kriging y promedio de simulaciones Ilustración 5.3 Curva tonelaje ley para leyes de cobre soluble Ilustración 5.4 VAN (Izq.) y Ritmo de producción (Der.) versus Ley de Corte Ilustración 5.5 Ritmo de producción de kriging (Izq.) y de realización #60 (Der.) Ilustración 5.6 Gráfico cuantil contra cuantil de kriging y promedio de simulaciones Ilustración 5.7 Curva tonelaje ley para leyes de cobre total Ilustración 5.8 VAN (Izq.) y Ritmo de producción (Der.) versus Ley de Corte Ilustración 5.9 Ritmo de producción de kriging (Izq.) y de realización #80 (Der.) Ilustración 8.1 Madograma, rodograma y variograma del indicador de la mediana, obtenidos mediante el método Secuencial Gaussiano para diferentes dominios Ilustración 8.2 Madograma, rodograma y variograma del indicador de la mediana, obtenidos mediante el método de Bandas Rotantes para diferentes dominios Ilustración 8.3Madograma, rodograma y variograma del indicador de la mediana, obtenidos mediante el método Secuencial Gaussiano para diferentes alcances Ilustración 8.4 Madograma, rodograma y variograma del indicador de la mediana, obtenidos mediante el método de Bandas Rotantes para diferentes alcances Ilustración 8.5 Madograma, rodograma y variograma del indicador de la mediana, obtenidos mediante el método Secuencial Gaussiano para diferentes modelos variográficos Ilustración 8.6 Madograma, rodograma y variograma del indicador de la mediana, obtenidos mediante el método de Bandas Rotantes para diferentes modelos variográficos Ilustración 8.7 Madograma, rodograma y variograma del indicador de la mediana, obtenidos mediante el iv

5 método Secuencial Gaussiano para diferentes efectos pepas Ilustración 8.8 Madograma, rodograma y variograma del indicador de la mediana, obtenidos mediante el método de Bandas Rotantes para diferentes efectos pepas Ilustración 8.9 Madograma, rodograma y variograma del indicador de la mediana, obtenidos mediante ambos algoritmos para diferentes soportes Ilustración 8.10 Madograma, rodograma y variograma del indicador de la mediana, obtenidos mediante ambos algoritmos para diferentes anisotropías, geométrica (Izq.) y zonal (Der.) Ilustración 8.11 Madograma, rodograma y variograma del indicador de la mediana, obtenidos mediante ambos algoritmos para diferentes anisotropías, geométrica (Izq.) y zonal (Der.) Ilustración 8.12 Histograma de las medias de las realizaciones para diferentes anisotropías, geométrica (arriba), zonal (abajo) Ilustración 8.13 Histograma de cobre total Ilustración 8.14 Influencia del tamaño de celda sobre la media (Izq.) e Histograma desagrupado (Der.) Ilustración 8.15 Nubes direccionales de cobre total. Este (Izq.), Norte (Centro) y Cota (Der.) Ilustración 8.16 Variograma experimental y modelado Ilustración 8.17 Anamorfosis Gaussiana Ilustración 8.18 Nubes de correlación diferida para distancia pequeña (Izq.) y grande (Der.) Ilustración 8.19 Comparación de variograma con madograma Ilustración 8.20 Variograma experimental y modelado de la variable Gaussiana Ilustración 8.21 Validación del modelo de incertidumbre para ambas vecindades y diferentes tamaños de compósitos, utilizando características globales del yacimiento Ilustración 8.22 Validación del modelo de incertidumbre para ambas vecindades y diferentes tamaños de compósitos, utilizando características locales de la zona de baja ley del yacimiento ÍNDICE DE TABLAS Tabla 3.1 Resumen de estadísticas validadas para diferentes dominios Tabla 3.2 Resumen de estadísticas validadas para diferentes alcances Tabla 3.3 Resumen de estadísticas validadas para diferentes variogramas Tabla 3.4 Resumen de estadísticas validadas para diferentes efectos pepitas Tabla 3.5 Estadísticas básicas de simulaciones de un bloque con diferentes métodos Tabla 4.1 Estadísticas de muestras de exploración de cobre soluble Tabla 4.2 Estadísticas variable Gaussiana Tabla 4.3 Estadísticas básicas de poblaciones Tabla 4.4 Estadísticas de muestras de exploración de cobre total Tabla 4.5 Estadísticas variable Gaussiana Tabla 4.6 Estadísticas básicas de poblaciones Tabla 4.7 Estadísticas básicas de poblaciones Tabla 5.1 Estadísticas básicas de kriging y promedio de simulaciones Tabla 5.2 Parámetros económicos Tabla 5.3 Estadísticas básicas de kriging y promedio de simulaciones Tabla 5.4 Parámetros económicos v

6 1 INTRODUCCIÓN La evaluación de los recursos minerales de un yacimiento se realiza a partir de una toma de muestras, utilizando técnicas geoestadísticas de interpolación como el kriging. Sin embargo, el kriging suele dar una imagen suavizada de la realidad del yacimiento (Olea 1996, Journel 2000) y no permite apreciar la incertidumbre que existe en la cantidad de los recursos in situ. Para ello, se han desarrollado técnicas de simulación geoestadística basadas en la teoría de campos aleatorios que buscan crear escenarios verosímiles que reproducen la variabilidad espacial de los atributos de interés, los cuales conforman un conjunto de escenarios plausibles de la realidad del yacimiento (Journel, 1974). Para que estos escenarios sean realistas, se impone además que las realizaciones construidas coincidan con la información conocida en los sitios de muestreo; en este caso se habla de simulación condicional para señalar que existen ciertas restricciones sobre el modelo geoestadístico. La principal diferencia entre los métodos de estimación (kriging) y de simulación radica en que los primeros pretenden encontrar el valor más cercano al valor real en cada localización, mientras que los segundos intentan reproducir la variabilidad espacial de los valores desconocidos, de manera de cuantificar la incertidumbre asociada a estos valores (Goovaerts, 2000). La incertidumbre en la estimación puede obtenerse mediante el uso de la varianza de kriging escalada para considerar el efecto proporcional pero esta práctica ha sido constantemente criticada y la tendencia actual es a evitarla, o bien mediante el uso de simulaciones que permiten obtener la varianza condicional a través de la generación de múltiples escenarios (Chilès y Delfiner, 1999). Las simulaciones condicionales son una herramienta eficaz para cuantificar riesgos. Por ejemplo, se puede ver cuál es el escenario simulado más favorable o el peor para tener una idea de la incertidumbre existente en la cantidad total de recursos. También se puede usar los modelos simulados para definir la cantidad de reservas, para la planificación minera y el control de leyes (Deraisme, 1984). La contrapartida de esta mayor flexibilidad de uso son los mayores requerimientos para poder construir las realizaciones. Mientras que el kriging sólo requiere definir el variograma de 1

7 la variable a estimar, la simulación necesita determinar cómo se distribuyen en el espacio los valores del campo aleatorio que representa la variable en estudio, es decir, se debe modelar la distribución espacial del campo aleatorio a partir de la información disponible sobre la variable. El modelo más conocido y más ampliamente utilizado en minería para representar variables continuas es el llamado modelo multigaussiano. Entonces, se pretende estudiar y comparar la calidad de los principales algoritmos multigaussianos actualmente usados, de manera de evaluar el impacto de las aproximaciones cometidas por dichos algoritmos. Existen diferentes criterios para validar una simulación, en los cuales interviene el grado de exigencia que el especialista requiere para reproducir las estadísticas de las simulaciones. Hoy en día no existe una metodología aceptada por los investigadores del área, por ejemplo algunos autores proponen revisar distribuciones univariables, otros bivariables y algunos las fluctuaciones de las diferentes realizaciones. Por otra parte, quienes utilizan estas herramientas no poseen criterios claros y precisos de cuales deben ser los estadísticos a examinar ni el número de realizaciones que deben construir. En este trabajo, financiado por el proyecto FONDECYT Nº Cuantificación de la Incertidumbre en Atributos Geológicos, Mineros y Metalúrgicos: Nuevos Modelos Geoestadísticos y Aspectos de Implementación y que es presentado como trabajo de memoria para optar al titulo de Ingeniero Civil de Minas, se pretende validar las realizaciones generadas mediante un algoritmo de simulación geoestadística dado, examinando las propiedades estadísticas de las realizaciones. Previamente se presentan aspectos de implementación y criterios de validación de los algoritmos utilizados en las simulaciones geoestadísticas, a modo de tener una referencia sobre lo que es utilizado actualmente en esta materia. Para realizar el estudio se utilizarán simulaciones no condicionales generadas mediante los métodos Secuencial Gaussiano y Bandas Rotantes, para las cuales se cuenta con un modelo de covarianza y un dominio. Luego, se examinará el tema de las simulaciones condicionales mediante dos casos de estudio, en los cuales se dispone de muestras de exploración y de las realidades simuladas por algún método multigaussiano a modo de poder validar los resultados obtenidos. 2

8 1.1 Objetivos Generales Estudiar y comparar la calidad de distintos algoritmos de simulación geoestadística Específicos Comparación de dos algoritmos utilizados en la actualidad para simular campos multigaussianos: método Secuencial Gaussiano y método de Bandas Rotantes. Diseñar y probar varios ensayos para validar los estadísticos simulados y estudiar las fluctuaciones estadísticas. Sugerir un número mínimo de realizaciones para poder validar un algoritmo. Establecer las ventajas comparativas de estos métodos. Estudiar el impacto de estos algoritmos en curvas tonelaje-ley y su valoración. 1.2 Alcances Las simulaciones geoestadísticas basadas en la construcción de realizaciones de campos aleatorios son capaces de reproducir la variabilidad de los atributos geológicos (leyes de elementos de interés), mineros (densidad de fracturamiento, dureza de la roca) y metalúrgicos (índice de dureza, razón de solubilidad, recuperación metalúrgica), y permiten evaluar la incertidumbre en las zonas geográficas no muestreadas de estos atributos. El estudio considera un análisis de sensibilidad para las simulaciones no condicionales y el uso de simulaciones condicionales sobre dos yacimientos para obtener representaciones realistas de sus variables continuas, pues aquellas categóricas deben ser simuladas por otros modelos. El número de realizaciones sugerido es aplicable a otros algoritmos pertenecientes al modelo multigaussiano. Por otra parte, los criterios de validación expuestos son generales y aplicables a cualquier otro algoritmo que se caracterice por sus dos primeros momentos. 3

9 2 ANTECEDENTES El principio de una simulación es construir una variable regionalizada ficticia que reproduzca la continuidad espacial de la variable real. Esta construcción está basada en la interpretación de la variable regionalizada como una realización de un campo aleatorio o función aleatoria y consiste en crear otras realizaciones de esta función aleatoria. Las realizaciones obtenidas conforman un conjunto de escenarios plausibles de la realidad del yacimiento. Mientras que, técnicas de estimación como el kriging conducen a entregar una imagen suavizada de la realidad, las simulaciones permiten apreciar la variabilidad existente. La mayoría de los algoritmos que generan las simulaciones geostadísticas deben sufrir aproximaciones para su implementación práctica. Por otra parte, el modelo no necesariamente se ajusta a las características de los datos reales haciéndose necesario revisar la validez de las simulaciones obtenidas. 2.1 Conceptos previos La evaluación de yacimientos se basa en la teoría de variables regionalizadas, por lo cual es preciso revisar algunos conceptos básicos Variable regionalizada Una variable regionalizada es una función capaz de representar la distribución en el espacio de una magnitud asociada a un fenómeno natural o fenómeno regionalizado (Emery, 2000). La variable regionalizada se denota como z(x) donde x representa la posición puntual en el espacio geográfico. Las variables regionalizadas deben estudiarse sólo en un dominio delimitado V llamado campo. Además, hay que destacar que las variables regionalizadas se pueden definir en relación a un punto o un soporte (trazo, superficie o volumen) Función aleatoria En geoestadística el valor z(x) de la variable regionalizada en un punto x del dominio V es considerado como la realización de una variable aleatoria Z(x). Cuando x recorre V, existe 4

10 una familia de variables aleatorias {Z(x), x V} que constituye una función aleatoria y cuenta con las siguientes características, a saber: Distribución espacial Se considera una función aleatoria Z(x), x V, y una serie de puntos {x 1, x k }. El grupo de valores aleatorios {Z(x 1 ), Z(x k )} está caracterizado por una función de distribución conjunta que depende de k argumentos: Fx,... (z1,...zk ) = Prob [Z( x1) < z1,...z( xk ) < 1 xk z k ] El conjunto de funciones de distribución, para todos los enteros k y todas las elecciones posibles de {x 1, x k } en V, constituye la distribución espacial de la función aleatoria Momento de primer orden En general, la esperanza de una función aleatoria Z depende del punto x considerado; se denota usualmente como m(x): E [Z( x )] = m( x) En un punto x dado, m(x) representa la media alrededor de la cual se distribuyen los valores tomados por múltiples realizaciones independientes de la función aleatoria Momentos de segundo orden 2 Varianza: var [Z( x)] = E {[Z( x) m( x)] } Covarianza: cov [Z( x 1),Z( x2 )] = E [Z( x1) Z( x 2 )] m( x1) m( x2 ) Variograma. Madograma: var [Z( x1) Z( x2 )] γ ( x1, x 2 ) = 2 γ ( x, x ) = E{ Z( x1) Z( x 2 2 ) } Rodograma: γ 0,5 ( x, x 1 2 E{ ) = Z( x 1 ) Z( x 2 2 ) } Si se cumple con la condición de estacionaridad de segundo orden, la esperanza y la varianza (independiente de x), son constantes mientras que la covarianza, variograma, 5

11 madograma y rodograma entre dos puntos (x 1 y x 2 ) sólo dependen de la separación (x 2 -x 1 ) existente entre éstos. Esto facilitaría enormemente la inferencia estadística de dichos momentos a partir de un conjunto de datos experimentales Transformación Gaussiana Las simulaciones intentan reproducir la distribución espacial de la función aleatoria Z(x) a partir de un número reducido de datos, lo cual es muy difícil de realizar salvo el caso en que la función aleatoria tiene una distribución multigaussiana. Por esta razón se trabaja sobre la transformada Gaussiana de Z(x), llamada también variable de anamorfosis. Ilustración 2.1 Función de transformación Gaussiana. Una vez realizada la transformación hay que corroborar la pertinencia del modelo multigaussiano mediante varias pruebas de distribución bigaussiana (Goovaerts, 1997). Si resulta aceptable esta hipótesis, se realizan simulaciones condicionales de la variable Gaussiana y luego se aplica la anamorfosis inversa para volver a la variable inicial Fluctuaciones ergódicas Una función aleatoria es ergódica si las estadísticas experimentales calculadas sobre una realización particular, convergen hacia las estadísticas del modelo cuando el dominio se vuelve muy grande. Ahora como el dominio evaluado siempre tendrá límites, inevitablemente, se espera observar discrepancias o fluctuaciones ergódicas entre las estadísticas experimentales y aquellas del modelo teórico. 6

12 2.1.5 Curvas de selectividad Curva tonelaje ley de corte El tonelaje es una función decreciente de la ley de corte. Es igual al cien por ciento para una ley de corte mínima (normalmente cero) y se anula en el infinito. Esta función coincide con la densidad acumulada complementaria, caracterizando de esta forma la distribución univariable de la función aleatoria. Ilustración 2.2 Curva tonelaje ley de corte. En ciertos casos la función puede representar discontinuidades cuando la variable estudiada toma uno o más valores fijos con una probabilidad no nula Curva metal ley de corte También es una función decreciente de la ley de corte. Representa el promedio global en el caso de la ley de corte mínima y se anula en el infinito. Al igual que en el caso anterior, conocer esta curva es equivalente a conocer la distribución univariable de la función aleatoria. La cantidad de metal y el tonelaje están relacionados por la siguiente expresión: Q(z) = z T(z) + + z T(u)du Donde T, Q, z representan el tonelaje, la cantidad de metal y la ley de corte respectivamente. 7

13 Curva ley media ley de corte Ilustración 2.3 Curva metal ley de corte. corte: Corresponde a la razón entre la cantidad de metal y el tonelaje para una misma ley de Q(z) m (z) = T(z) Esta curva m(z) también caracteriza la distribución univariable, es creciente y se indefine al anularse el tonelaje. Ilustración 2.4 Curva ley media ley de corte. 2.2 Antecedentes teóricos Las simulaciones geoestadísticas que se realizarán en el presente trabajo están basadas en la teoría de campos aleatorios, más precisamente en el modelo multigaussiano, que lejos es el más sencillo de todos. Este dice que una función aleatoria tendrá una distribución multigaussiana si toda combinación lineal ponderada de sus valores sigue una distribución Gaussiana. 8

14 Este modelo se caracteriza por sus dos primeros momentos (media, normalmente igual a cero, y covarianza o variograma). Además, dicho modelo goza de propiedades matemáticas que hacen fácil su simulación, haciendo uso por ejemplo del teorema del límite central. La covarianza y el variograma caracterizan el modelo multigaussiano espacialmente. En el marco estacionario, la función de covarianza no depende de la posición absoluta entre pares de datos pero sí de la posición relativa, midiendo el acoplamiento entre pares de datos. Indica cuán semejantes son los valores entre dos sitios del dominio. Existen numerosos modelos de funciones de covarianza, entre ellos los modelos pepíticos, esféricos y exponenciales. Cada covarianza posee sus propias características (en particular, su comportamiento en el origen y alcance) Métodos de simulación geoestadística Numerosos algoritmos de simulación han sido propuestos en la literatura, entre los cuales destacan los siguientes Método de descomposición matricial Se determina una matriz de varianza-covarianza de los puntos a simular y, mediante la descomposición de Choleski (Lower-Upper), se obtiene un sistema que permite calcular numerosas realizaciones muy rápidamente (Davis, 1987). Cuando el número de sitios a simular es importante, mayor a , la descomposición de Cholewski se torna impracticable Método espectral continuo Desarrollado por Shinozuka y Jan (1972) es un método absolutamente general y fácil de implementar. Recurre a una transformación de Fourier continua de la covarianza Método de dilución En contraste al anterior, esta técnica no es general y solamente puede ser aplicable cuando la covarianza se expresa como la auto-convolución de una función g: C(h) g( x )g( x + h) dx R = 3 9

15 Es conveniente simular este método con una función de covarianza esférica, pero no exponencial debido a que requiere que la función g tenga un soporte acotado (Chilès y Delfiner, 1999) Método de teselación En este método, el espacio es dividido en poblaciones estacionarias de celdas aleatorias, similar a un poliedro. El dominio se particiona por medio de algoritmos como poliedros de Poisson, de Voronoï, entre otros (Lantuéjoul, 2002). No es un procedimiento general, puesto que la covarianza debe coincidir con el covariograma geométrico de las celdas. El grado de generalidad aún es desconocido Método Secuencial Gaussiano Los nodos de una grilla son simulados secuencialmente de acuerdo a una secuencia aleatoria que visita todos los nodos. El valor atribuido a cada nodo de la grilla proviene de una distribución de probabilidad local, la cual es condicionada a los datos originales y a los valores previamente simulados (Gómez-Hernández y Cassiraga, 1994). Es un procedimiento general que puede ser aplicado a cualquier función de covarianza. Permite realizar directamente simulaciones condicionales a un conjunto de datos, además de ser un método sencillo y fácil de utilizar. Es por esto, que es el más ampliamente usado en la industria minera Método de Bandas Rotantes Creado por Matheron (1973), el método simplifica el problema de la simulación en espacios multidimensionales, usando simulaciones unidimensionales y propagándolas al espacio bidimensional o tridimensional. Es absolutamente general y ha sido implementado con numerosos modelos de covarianza. Las simulaciones en el espacio unidimensional están caracterizadas por las direcciones en que se proyectan las simulaciones, las cuales pueden tener una distribución uniforme o (casi) regular en el espacio. Cabe mencionar que es posible pasar de una simulación no condicional a una simulación condicional mediante una etapa de kriging (Journel, 1974). Por lo tanto, todos los algoritmos previamente mencionados pueden ser usados tanto para generar simulaciones no condicionales como condicionales. En este trabajo, se centrara en los métodos Secuencial Gaussiano y Bandas Rotantes. 10

16 2.3 Aspectos de implementación Las simulaciones se implementan en softwares que están básicamente restringidos por la capacidad de procesamiento de los computadores que hoy en día se dispone. Este tema cobra relevancia puesto que la mayoría de los algoritmos deberán sufrir aproximaciones o simplificaciones para su implementación práctica, las cuales conllevan a cometer algún grado de error en la reproducción de los estadísticos Método Secuencial Gaussiano Durante la implementación práctica del método aparecen los siguientes inconvenientes: Si el variograma de los datos simulados es muy regular en el origen, puede provocar problemas numéricos en las matrices de kriging, las cuales serán casi singulares. Por construcción el método debe condicionar la simulación de un nodo a los nodos ya simulados. Esto último genera que la matriz de kriging aumenta su tamaño a medida que se desarrolla la simulación y conjuntamente aumenta el uso de recursos computacionales. Con todo, la implementación práctica del algoritmo requiere de muchas simplificaciones, y sus efectos en la exactitud del algoritmo son inciertos en un alto grado. En la práctica, se define una vecindad móvil, especificando un número máximo de valores condicionales que son buscados en dicha vecindad. El uso de una vecindad móvil es susceptible de provocar aproximaciones en la reproducción del variograma (Emery, 2004). Ya en el año 1963, Gandin, expone que la varianza del error de kriging aumentará si la población utilizada para la estimación del valor es reducida. Para minimizar este inconveniente, Tran (1994) propone utilizar un acercamiento por múltiples grillas. En la primera etapa la grilla simulada es muy gruesa y en las subsiguientes etapas se va densificando, proceso que se repite hasta la última grilla. Con esto, Tran intuye que el variograma se reproduce mejor en las zonas cercanas al origen con las grillas densas, y en las zonas alejadas del origen con las grillas gruesas. Asimismo, en cada grilla, se recomienda visitar los nodos acorde a una secuencia aleatoria para evitar la aparición de artefactos en las realizaciones (Deutsch y Journel, 1998). 11

17 En este trabajo se utilizara el programa SGSIM, el código es expuesto por Deutch y Journel (1998) Método de Bandas Rotantes Se requiere simular una serie de funciones aleatorias unidimensionales, luego se deben simular líneas de direcciones uniformes o regulares en el espacio. El valor del nodo simulado se obtiene en función de la proyección del nodo en las líneas, el valor de las funciones unidimensionales y el número de líneas. Cuando el dominio es bidimensional se pueden tomar líneas con direcciones regulares, pero cuando es tridimensional sólo pueden existir 15 direcciones regulares. Por lo tanto, otras opciones existentes son determinar direcciones al azar o equi-distribuidas. En las direcciones al azar podrían existir sectores con una mayor densidad de muestreo en la esfera tri-dimensional. En cambio, las direcciones equi-distribuidas admiten una convergencia más rápida y se eliminan las zonas de mayor densidad (Lantuéjoul, 1994). Varios factores deben ser considerados cuando se escoge el número de líneas que se utilizará durante la simulación, a saber: La distribución de las líneas en la esfera, para simulaciones tridimensionales. El criterio utilizado para decidir si el modelo multigaussiano está bien reproducido o no. El tipo de covarianza y la técnica de simulación a lo largo de la línea. En base a lo anterior, varios autores aconsejan varios centenares o miles de líneas. Cabe mencionar que el número de líneas no es un factor importante en el tiempo de cálculo debido a que la simulación a lo largo de las líneas es muy rápido. En general, la mayor parte del tiempo se utiliza en procesos posteriores a las realizaciones, mayor aun cuando se condicionan (Emery y Lantuéjoul, 2006). En este trabajo se utilizara el programa TBSIM, el código es expuesto por Emery y Lantuéjoul (2006). 12

18 2.4 Criterios de validación En la literatura existen diferentes visiones que buscan definir mecanismos para validar un algoritmo de simulación geoestadística, examinando las propiedades estadísticas de las realizaciones. Para ser concluyente, el modelo teórico debe ser reproducido por las estadísticas simuladas después de examinar un gran conjunto de realizaciones independientes, debido a que cada realización puede presentar importantes fluctuaciones ergódicas. A continuación, se presentan los criterios que expresan algunos autores para validar una simulación geoestadística Inspección visual Se debe realizar una revisión visual de los datos, verificando que no existan valores de alta ley en muestras de baja ley. Para esto se puede utilizar jacknife o validación cruzada, en un gráfico donde se comparan los valores simulados con los reales provenientes de las campañas de exploraciones. Sin embargo, pueden existir pequeñas desviaciones en torno a la diagonal de 45º, aunque la gran mayoría de los datos simulados y verdaderos debieran poseer el mismo valor para este caso (Leuangthong et al, 2004) Distribución univariable El histograma de una realización debe poseer las mismas (o similares) características que el histograma original desagrupado de los datos (Leuangthong et al, 2004: La forma del histograma. El rango de los valores extremos. Las estadísticas principales tales como la media, mediana y varianza. Otra herramienta sería comparar el histograma de una o varias realizaciones con la distribución de los datos desagrupados (Leuangthong et al 2004, Emery 2004) Distribución bivariable Se puede también comparar los variogramas experimentales de un conjunto de realizaciones con el modelo teórico. Como las simulaciones se realizan sobre dominios que no 13

19 tienen una extensión infinita, se sabe que existirán siempre fluctuaciones entre las estadísticas simuladas y aquellas del modelo (Matheron 1989); por lo tanto, que el variograma de una realización no coincida con el modelo teórico no significa necesariamente que el algoritmo de simulación sea deficiente. Para ser concluyente, la comparación debe hacerse después de promediar los variogramas de un gran conjunto de realizaciones (Leuangthong et al 2004, Emery 2004). Para completar el análisis de las distribuciones bivariables, también se puede considerar variogramas de indicadores o variogramas de distintos ordenes (madograma y rodograma), debido a que existen funciones aleatorias que reproducen muy bien la distribución univariable y el variograma, pero que se diferencian en estas otras características (Emery, 2004) Fluctuaciones ergódicas Otra herramienta interesante para controlar la calidad de un algoritmo de simulación es el análisis de las fluctuaciones estadísticas. A modo de ejemplo, se espera que la media de cada realización se distribuya en torno al valor esperado del modelo, con una varianza igual a la varianza de dispersión del dominio simulado en el espacio completo. Por otra parte, la fluctuación del variograma de una simulación en torno al modelo teórico depende del dominio simulado y la distribución espacial de la función aleatoria. Esto constituye una herramienta fuerte para garantizar la validez de las simulaciones, observando si las fluctuaciones son compatibles con las esperadas (Emery, 2004). En particular, un método que reproduce un variograma experimental en un dominio limitado sin fluctuaciones estadísticas es necesariamente erróneo (Lantuéjoul, 1994) Intervalos de probabilidad Otra revisión básica es usar la técnica de validación cruzada o de jack-knife y verificar que los intervalos de probabilidad de las distribuciones locales (determinados a partir de una serie de realizaciones) sean consistentes con los datos de validación. Para un intervalo de probabilidad determinado se esperaría encontrar, una proporción similar de datos que se encuentran en este intervalo. Este procedimiento se repite para varias probabilidades y se compara gráficamente con las proporciones efectivas mediante una nube de correlación, quedando validado cuando los puntos experimentales están aproximadamente alineados a lo largo de la diagonal (Goovaerts, 1999; Leuangthong et al, 2004; Emery y Cabañas, 2004). 14

20 2.5 Metodología de trabajo Se pretende diseñar metodologías para hacer un chequeo de las realizaciones obtenidas por un algoritmo de simulación, mediante el estudio de las estadísticas simuladas (univariables, bivariables, multivariables), de sus fluctuaciones con respecto al modelo teórico, y de validaciones de las distribuciones locales. El estudio se centrará en el modelo multigaussiano, puesto que este caso es uno de los pocos para los cuales se puede tener una expresión analítica de las distribuciones y de las fluctuaciones estadísticas, además de ser la base de varios otros modelos de campos aleatorios. Se pone a prueba y compara dos algoritmos actualmente usados para simular campos multigaussianos: el método Secuencial Gaussiano y de Bandas Rotantes. Ambos requieren de simplificaciones al momento de realizar las simulaciones (tamaño y restricciones sobre la vecindad usada en el algoritmo secuencial, número de líneas en el caso de las Bandas Rotantes). Los ejercicios que se realizarán son los siguientes: Simulaciones no condicionales Se realizará un estudio de sensibilidad para observar cómo influyen el número de líneas y tamaño de la vecindad en la calidad de las simulaciones. También se procurará proponer cuántas simulaciones son necesarias para que las validaciones sean concluyentes. Se estudiará la reproducción de los siguientes estadísticos: Histograma del promedio espacial de las realizaciones. Variograma puntual. Madograma puntual. Rodograma puntual. Variograma puntual del indicador de la mediana. Para lo anterior se propone utilizar un dominio de 200x200 nodos, un variograma esférico de alcance 50 y meseta uno, sin efecto pepa. Experimentando los siguientes casos: 15

21 Bandas Rotantes con 100 y 1000 líneas. Secuencial Gaussiano con 20 y 100 datos (nodos) (nodos). Luego se ejecutará un estudio de sensibilidad observando la influencia del alcance, del modelo variográfico y del dominio, testeando los siguientes casos: Influencia del dominio: dominios de 50x50, 200x200 y 400x400 nodos. Influencia del alcance: alcances de 10, 50 y 200 nodos. Influencia del modelo variográfico: exponencial, esférico, Gaussiano y esférico anidado. Influencia del efecto pepa en el modelo variográfico. Influencia de un cambio de soporte. Influencia de anisotropía geométrica o zonal. Finalmente, esto permitirá analizar cambios en la reproducción de las estadísticas y obtener recomendaciones sobre el uso de los distintos métodos Simulaciones condicionales Se dispone de una base de datos reales de un yacimiento de óxidos de cobre que contiene varios miles de muestras de sondajes con mediciones de leyes (cobre soluble), y otra de un yacimiento de sulfuros de cobre con mediciones de cobre total. Mediante un estudio exploratorio y variográfico para ambos yacimientos, se obtendrán las estadísticas básicas, observaciones sobre la estacionaridad de la variable en el campo de estudio, función modelada de variograma y análisis de las leyes y su transformada Gaussiana. Las simulaciones buscarán estudiar la reproducción de las siguientes estadísticas: Variograma puntual de la variable real y de la transformada Gaussiana. Intervalos de probabilidad, para diferentes soportes y vecindades. Esto permitirá chequear la validez del algoritmo para generar realizaciones y al mismo tiempo, la adecuación del modelo multigaussiano a los datos disponibles. 16

22 Por otra parte, se determinarán las curvas de tonelaje ley para varias realizaciones y se valorizarán económicamente mediante un modelo conceptual de explotación. Esto permitirá planificar estratégicamente un proyecto considerando la incertidumbre de la ley en las zonas no muestreadas. 17

23 3 SIMULACIÓN NO CONDICIONAL En esta sección se examinará la calidad de las realizaciones obtenidas por los métodos Secuencial Gaussiano -SG- y Bandas Rotantes -BR- mediante los programas SGSIM y TBSIM respectivamente, mostrando las propiedades y limitaciones de cada uno de los algoritmos frente a diversas experiencias. Se examinará la calidad en la reproducción en promedio del variograma, madograma, rodograma y variograma del indicador de la mediana. El examen de estos tres últimos permite verificar la hipótesis multigaussiana (o, al menos, bigaussiana) del modelo. Además, se estudiarán las fluctuaciones en el histograma de la media de cada realización y en el variograma. En general, para un campo aleatorio Gaussiano estacionario de varianza unitaria con un correlograma ρ(h), se tienen las siguientes relaciones (Lantuéjoul, 2002, p. 208) Variograma: γ ( h) = 1 ρ( h) (3.1) Madograma: 1 ρ( h) γ1( h ) = (3.2) π Rodograma: γ 0,5( h) = Γ 1 ρ( h) (3.3) 2π 4 Variograma del indicador de la mediana: 1 1 ρ( h) γ I;0 ( h) = arcsin (3.4) π 2 Estas pruebas son fáciles de verificar y de gran ayuda para validar las simulaciones geoestadísticas, pues se espera que en promedio las estadísticas calculadas en las realizaciones se parezcan al modelo teórico. Se busca cuantificar las desviaciones o fluctuaciones que son susceptibles observar entre la estadística experimental y la estadística teórica correspondiente. En lo que concierne al variograma, se utiliza un resultado de Lantuéjoul (1994), quien expone que al determinar el variograma experimental en un dominio V, Γ V (h), de una función aleatoria estacionaria cuyo variograma es γ(h), éste es insesgado y su varianza en el espacio multigaussiano está dada por la siguiente expresión: 18

24 1 2 Var{ ΓV ( h )} = [ γ(x y + h) + γ(x y h) 2γ(x y)] dx dy 2 (3.5) 2 V I V h VI V h Donde V h es el dominio V trasladado en h. Esta varianza permite definir un intervalo de probabilidad para el promedio de los variogramas experimentales de las realizaciones, suponiendo que este último tiene una distribución Gaussiana. En la siguiente ilustración, se aprecia el intervalo de probabilidad para una sola realización generada en un dominio de 200x200 nodos para un variograma esférico de alcance 50 nodos y meseta uno, sin efecto pepa. Ilustración 3.1 Intervalo de probabilidad para el variograma experimental de una realización. Variograma teórico, 95% probabilidad. Por otra parte, la media de cada realización se distribuye en torno al valor esperado del modelo (cero) y con una varianza igual a la varianza de dispersión del dominio simulado (V) en el espacio ( C VV ). Particularmente, la varianza toma un valor de 0,0342 para un modelo variográfico y dominio igual al anterior. 3.1 Caso base En esta etapa se propondrá un número de realizaciones necesarias para que las validaciones sean concluyentes, en base al error relativo estándar esperado para el variograma regional de un conjunto de realizaciones. Así como también, se definirá un número de líneas (método BR) y un tamaño de la vecindad (método SG) requeridos para reproducir satisfactoriamente las estadísticas mencionadas anteriormente con respecto a los valores teóricamente esperados. 19

25 3.1.1 Número de realizaciones A partir de la expresión 3.5 se puede deducir el error relativo esperado por un conjunto de n realizaciones independientes, estandarizado por el valor del variograma. Error relativo estándar para vector h = Var { Γ n γ( h) V ( h) } 100 Para el estudio del caso base se utilizará un dominio de 200x200 nodos, un variograma esférico de alcance 50 nodos y meseta uno, sin efecto pepa. La varianza para una realización es de 0,0471 a un paso de 50 nodos y su error relativo estándar es de 43,4%. Dominio 200x200 25% Error relativo estándar 20% 15% 10% 5% 0% Numero de realizaciones Paso 25 Paso 50 Paso 75 Ilustración 3.2 Fluctuaciones estadísticas esperadas para un dominio de 200x200 nodos. En la ilustración anterior, se presenta el máximo error relativo estándar que se esperaría al promediar los variogramas generados por n realizaciones independientes. Se deduce del gráfico que para obtener un variograma promedio con un error menor al 5% para los tres pasos considerados, se requiere de al menos 100 realizaciones. Particularmente, para 100 realizaciones a un paso de 50 nodos, la meseta del variograma promedio debería estar entre 1,043 y 0,957. En la siguiente imagen se observa que para 100 realizaciones, el error cometido es superior al 10% cuando el dominio disminuye al tamaño del alcance. En cambio, cuando el dominio aumenta al doble del caso base, se podrían realizar 50 realizaciones y el error cometido será menor al 5%. 20

26 Dominio 50x50 Dominio 400x400 25% 25% Error relativo estándar 20% 15% 10% 5% Error relativo estándar 20% 15% 10% 5% 0% Numero de realizaciones Paso 25 Paso 50 0% Numero de realizaciones Paso 25 Paso 50 Paso 100 Paso 200 Ilustración 3.3 Fluctuaciones estadísticas para variaciones del dominio. La varianza no solamente es función del dominio, sino que también del variograma teórico. Por lo tanto, se examina la consecuencia de utilizar diferentes modelos de variogramas. γ(h) = 1exp(50) γ(h) = 1esf (50) 25% 25% Error relativo estándar 20% 15% 10% 5% Error relativo estándar 20% 15% 10% 5% 0% Numero de realizaciones Paso 25 Paso 50 Paso 75 0% Numero de realizaciones Paso 25 Paso 50 Paso 75 γ(h) = 0,01 + 0,99gauss(50) γ(h) = 0,6esf(10) + 0,4esf(75) 25% 25% Error relativo estándar 20% 15% 10% 5% Error relativo estándar 20% 15% 10% 5% 0% Numero de realizaciones Paso 25 Paso 50 Paso 75 0% Numero de realizaciones Paso 25 Paso 50 Paso 75 Ilustración 3.4 Fluctuaciones estadísticas para variogramas exponencial, esférico, Gaussiano y esférico anidado. Solamente el modelo Gaussiano comete un error mayor al 5% para 100 realizaciones; el esférico anidado es el más bondadoso porque con sólo 30 realizaciones cometería un error menor al 5%. Lo sigue el modelo exponencial y el esférico. 21

27 γ(h) = 1esf (50) γ(h) = 0,2 + 0,8esf(50) 25% 25% Error relativo estándar 20% 15% 10% 5% Error relativo estándar 20% 15% 10% 5% 0% Numero de realizaciones Paso 25 Paso 50 Paso 75 0% Numero de realizaciones Paso 25 Paso 50 Paso 75 γ(h) = 0,5 + 0,5esf(50) γ(h) = 0,8 + 0,2esf(50) 25% 25% Error relativo estándar 20% 15% 10% 5% Error relativo estándar 20% 15% 10% 5% 0% Numero de realizaciones Paso 25 Paso 50 Paso 75 0% Numero de realizaciones Paso 25 Paso 50 Paso 75 Ilustración 3.5 Fluctuaciones estadísticas para variogramas esféricos con diferentes efectos pepas. Al examinar, la figura anterior, se nota que al aumentar el efecto pepa en el modelo variográfico se requieren menos realizaciones para cometer un error menor al 5%. Particularmente, cuando el modelo variográfico tiene un efecto pepa igual a la mitad de la varianza unitaria el número de realizaciones se reduce a un cuarto de las requeridas para un variograma sin efecto pepa. Transversalmente a todas las pruebas, es posible vislumbrar que a mayor paso aumentan las fluctuaciones y éstas se reducen rápidamente cuando aumenta el número de realizaciones (notar escala logarítmica en eje de las abcisas), cuando disminuye la continuidad espacial (efecto pepita, crecimiento del variograma a pequeñas distancias) o cuando aumenta el tamaño del dominio. Con todo, se podría proponer que se realizarán al menos unas mil realizaciones para cometer un error menor al uno por ciento, pero se debe balancear con el costo del tiempo asociado a ejecutar cada realización y su posterior manipulación. Por lo tanto, se propone utilizar 100 realizaciones para este estudio. 22

28 3.1.2 Parámetros de implementación La implementación computacional de los métodos de simulación requiere de ciertas simplificaciones que ya han sido mencionadas en el capítulo anterior. Entonces, cabe preguntarse cuál es la implicancia en los estadísticos de utilizar una vecindad más grande (caso SG) o más líneas (caso BR) para simular un dominio dado. Para esto se utilizará en primera instancia un dominio de 200x200 nodos con un variograma esférico de alcance 50 nodos y meseta uno, sin efecto pepa. La varianza de dispersión del dominio en el espacio es equivalente a 0,0342; la cual permite establecer el siguiente intervalo de probabilidad de 95% para el promedio de las medias de cien realizaciones (-0,037 ; 0,037), suponiendo una distribución normal. En adelante, todas las pruebas coinciden en que se generan 100 realizaciones cuya media teórica es conocida e igual a cero en el espacio Gaussiano. Del mismo modo, en cada una de las siguientes ilustraciones se muestra el variograma teórico, el variograma experimental de cada realización, el promedio de éstos, y el intervalo de probabilidad asociado. Además, se presentan los variogramas experimentales de orden menor a dos y el variograma del indicador de la mediana (Ecuaciones 3.2, 3.3 y 3.4) Método Secuencial Gaussiano El primer ejercicio es implementar este algoritmo definiendo una vecindad móvil de búsqueda, utilizando un máximo de 20 datos condicionantes o nodos ya simulados. En la siguiente ilustración es posible observar que el alcance está sobre evaluado en un 36% con respecto al teórico. Por otra parte, el variograma promedio se encuentra fuera del intervalo de probabilidad entre 20 y 50 nodos de distancia. 23

29 Ilustración 3.6 Variogramas generados para SG con 20 datos (nodos). Variograma teórico, Variogramas simulados, Promedio de variogramas simulados, Intervalo de 95% probabilidad para el variograma promedio. La media del histograma de las medias es un tanto mayor a la esperada (0,033 en lugar de 0), pero está dentro del intervalo de probabilidad definido anteriormente. Nº datos 100 Máximo Media Mínimo Std. Dev Varianza C VV Intervalo de Probabilidad ± Ilustración 3.7 Histograma de las medias de las realizaciones para SG con 20 datos (nodos). Distribución esperada de estas medias. El segundo ejercicio también se caracteriza por una vecindad móvil de búsqueda, usando esta vez un máximo de 100 datos (nodos) condicionantes. En la siguiente lámina es posible observar que el alcance del variograma está sobrevaluado en un 22% con respecto al valor teórico. La meseta del variograma promedio está levemente sobredimensionada, pero está al interior del intervalo de probabilidad para cualquier distancia. Los sesgos observados son menores que en el ejercicio anterior. 24

30 Ilustración 3.8 Estadísticos generados para SG con 100 datos (nodos). Variograma teórico, Variogramas simulados, Promedio de variogramas simulados, Intervalo de 95% probabilidad para el variograma promedio. La media del histograma de las medias (-0,0114) es más cercana a cero que el ejercicio anterior y también se encuentra dentro del intervalo de probabilidad. Nº datos 100 Máximo Media Mínimo Std. Dev Varianza C VV Intervalo de Probabilidad ± Ilustración 3.9 Histograma de las medias de las realizaciones para SG con 100 datos (nodos). Distribución esperada de estas medias. En la siguiente lámina se exponen los madogramas, rodogramas y variograma del indicador de la mediana de las realizaciones obtenidas para ambas implementaciones. Se logra una reproducción con mayor exactitud al aumentar el tamaño de la vecindad. 25

31 Ilustración 3.10 Madograma, rodograma y variograma del indicador de la mediana para diferentes tamaños de la vecindad. Variograma teórico, Promedio de variogramas simulados, Variogramas simulados. Al contrastar las estadísticas obtenidas se establece que al implementar el método Secuencial Gaussiano con una vecindad de 100 datos (nodos) se reproducen los modelos en mayor grado. En base a lo anterior se establece continuar el estudio con esta vecindad. 26

32 Método de Bandas Rotantes La primera experiencia consiste en implementar este método considerando 100 líneas para simular el valor de un nodo. En la siguiente ilustración se observa que en promedio las simulaciones reproducen el modelo, debido a que el alcance es exactamente el mismo y la meseta adquiere un valor de 1,01, la cual está dentro del intervalo de probabilidad. Ilustración 3.11 Estadísticos generados para BR con 100 líneas. Variograma teórico, Variogramas simulados, Promedio de variogramas simulados, Intervalo de 95% probabilidad para el variograma promedio. Nº datos 100 Máximo Media Mínimo Std. Dev Varianza C VV Intervalo de Probabilidad ± Ilustración 3.12 Histograma de las medias de las realizaciones para BR con 100 líneas. Distribución esperada de estas medias. Asimismo, la media del histograma de medias se encuentra en el intervalo de probabilidad y bastante cercana a cero. 27

33 La segunda prueba se diseñó considerando mil líneas para simular el valor de un nodo. En la siguiente imagen se observa que en promedio las simulaciones reproducen el modelo: el alcance es exactamente el mismo y la meseta está evaluada en 0,998. Además, el variograma promedio está al interior del intervalo de probabilidad para todos los pasos. Ilustración 3.13 Estadísticos generados para BR con 1000 líneas. Variograma teórico, Variogramas simulados, Promedio de variogramas simulados, Intervalo de 95% probabilidad para el variograma promedio. La media del histograma de medias se encuentra en el intervalo de probabilidad y presenta forma de distribución aproximadamente normal. Nº datos 100 Máximo Media Mínimo Std. Dev Varianza CVV Intervalo de Probabilidad ± Ilustración 3.14 Histograma de las medias de las realizaciones para BR con 1000 líneas. Distribución esperada de estas medias. 28

34 Ilustración 3.15 Madograma, rodograma y variograma del indicador de la mediana para diferentes implementaciones. Variograma teórico, Promedio de variogramas simulados, Variogramas simulados. El promedio de los madogramas, rodogramas y variogramas de indicador de la mediana experimentales, se asemejan al modelo teórico, con fluctuaciones menores al uno por ciento en todos los casos. 29

35 En general, en promedio las estadísticas son reproducidas con leves fluctuaciones. Al comparar ambos ejercicios se establece continuar este estudio con 1000 líneas, debido a que en promedio reproduce el variograma con menores discrepancias. 3.2 Análisis de sensibilidad Con las características de implementación definidas en la etapa anterior, se desea examinar la capacidad de reproducción de las estadísticas frente a diferentes variaciones en el dominio, el alcance, la forma del modelo variográfico y el efecto pepita. En adelante, todas las pruebas coinciden en que se generan cien realizaciones cuya media teórica es conocida e igual a cero en el espacio Gaussiano. Del mismo modo, en cada una de las siguientes ilustraciones se muestra, el variograma teórico, los variogramas experimentales de las realizaciones, el promedio de éstos, y el intervalo de probabilidad asociado Influencia del dominio Si el dominio se vuelve muy grande, las fluctuaciones ergódicas disminuyes y las estadísticas simuladas convergen hacia aquellas del modelo aumentando el valor de la información utilizada para la toma de decisiones, pero esto tiene asociado un costo de tiempo en simular aquellas zonas que no tienen interés desde un punto de vista geo-minerometalúrgico. A continuación, se probará con tres dominios, uno pequeño de 50x50 nodos, uno mediano de 200x200 nodos y uno más grande de 400x400 nodos. Se utiliza un variograma esférico de alcance 50 nodos y meseta uno, sin efecto pepa Método Secuencial Gaussiano En la siguiente ilustración se observa que el variograma promedio para el dominio de mayor tamaño se encuentra fuera del intervalo de probabilidad entre la distancia 55 y 65 nodos. En cambio para los otros dominios el variograma promedio reproduce, en mayor grado, el teórico pues está en el intervalo de probabilidad. El alcance del variograma promedio, en el dominio de 200x200 nodos, llega a un valor de 60 nodos y para el de mayor tamaño solamente se reduce en una unidad. Además, es posible corroborar de los gráficos que a medida que aumenta el tamaño del dominio las fluctuaciones disminuyen. 30

36 Ilustración 3.16 Variogramas de realizaciones con SG para diferentes dominios. Variograma teórico, Variogramas simulados, Promedio de variogramas simulados, Intervalo de 95% probabilidad para el variograma promedio. Consecuentemente, las medias experimentales se acercan a cero a medida que el dominio aumenta. Además, se corrobora que las fluctuaciones disminuyen ya que la varianza de los histogramas de medias también disminuye al aumentar el dominio. Nº datos 100 Máximo Media Mínimo Std. Dev Varianza C VV Intervalo de Probabilidad ± Nº datos 100 Máximo Media Mínimo Std. Dev Varianza CVV Intervalo de Probabilidad ± Nº datos 100 Máximo Media Mínimo Std. Dev Varianza C VV Intervalo de Probabilidad ± Ilustración 3.17 Histograma de las medias de las realizaciones con SG para diferentes dominios. Distribución esperada de estas medias Método de Bandas Rotantes A continuación se muestra que, con el método de Bandas Rotantes, el variograma promedio se asemeja bastante al modelo teórico pues está en el intervalo de probabilidad. El alcance es 50 nodos para los dominios mayores, y para el menor dominio, es difícil de caracterizar. El error cometido en la meseta es menor al uno por ciento para los tres dominios. Al igual que el método Secuencial Gaussiano, las fluctuaciones de los variogramas experimentales se reducen a medida que el dominio aumenta de tamaño. 31

37 Ilustración 3.18 Variogramas de realizaciones con BR para diferentes dominios. Variograma teórico, Variogramas simulados, Promedio de variogramas simulados, Intervalo de 95% probabilidad para el variograma promedio. Las medias de las realizaciones se acercan a cero a medida que el dominio aumenta, y su media se encuentra en el intervalo de probabilidad. La varianza de los histogramas de medias disminuye para dominios de tamaños superiores, mostrando que las fluctuaciones tienen una dispersión menor. Nº datos 100 Máximo Media Mínimo Std. Dev Varianza C VV Intervalo de Probabilidad ± Nº datos 100 Máximo Media Mínimo Std. Dev Varianza C VV Intervalo de Probabilidad ± Nº datos 100 Máximo Media Mínimo Std. Dev Varianza C VV Intervalo de Probabilidad ± Ilustración 3.19 Histograma de las medias de las realizaciones con BR para diferentes dominios. Distribución esperada de estas medias. El método de Bandas Rotantes tiene mejor calidad al reproducir el variograma teórico (el variograma promedio de las realizaciones siempre está dentro del intervalo de probabilidad), a diferencia del método Secuencial Gaussiano que, para el dominio de mayor tamaño, está fuera del intervalo de probabilidad. El examen de los madogramas, rodogramas y variogramas del indicador de la mediana de las realizaciones obtenidas, es presentado en Anexos parte I. 32

38 3.2.2 Influencia del alcance El variograma permite medir el acoplamiento entre pares de datos separados a una cierta distancia. Está caracterizado por su alcance y su meseta, la cual en el espacio Gaussiano toma un valor de uno. El alcance es aquella distancia a la cual se alcanza la meseta y tiene directa relación con la continuidad espacial de la variable estudiada. Las fluctuaciones aumentarán a medida que el alcance tiende a las dimensiones del dominio, debido a que éste no será lo suficientemente grande para que las estadísticas converjan. Se estudiarán tres alcances, uno pequeño equivalente a diez nodos, otro mediano igual a cincuenta nodos y uno del tamaño del dominio. El dominio utilizado tendrá una extensión de 200x200 nodos y el modelo variográfico será un esférico de meseta uno, sin efecto pepa Método Secuencial Gaussiano Se presentan los variogramas experimentales de cada realización, el promedio de ellos y el modelo teórico para diferentes alcances. Para un alcance de 10 nodos, a una distancia de 12 nodos, el error cometido por el variograma promedio es superior al esperado. Cuando el alcance es de 200 nodos la reproducción comienza a presentar discrepancias para una distancia de 30 nodos, mostrando que el método no es capaz de reproducir correctamente el variograma teórico. En cambio, el alcance aparente es de 20 nodos para el modelo variográfico de alcance menor y de 60 nodos para el intermedio. Ilustración 3.20 Variogramas de realizaciones con SG para diferentes alcances. Variograma teórico, Variogramas simulados, Promedio de variogramas simulados, Intervalo de 95% probabilidad para el variograma promedio. La media de los histogramas de medias está dentro del intervalo de confianza definido y converge a cero a medida que el alcance se reduce. A medida que el alcance aumenta, la varianza de las medias también lo hace, siendo consecuente con lo observado en los ejercicios anteriores. 33

39 Nº datos 100 Máximo Media Mínimo Std. Dev Varianza C VV Intervalo de Probabilidad ± Nº datos 100 Máximo Media Mínimo Std. Dev Varianza C VV Intervalo de Probabilidad ± Nº datos 100 Máximo Media Mínimo Std. Dev Varianza C VV Intervalo de Probabilidad ± Ilustración 3.21 Histograma de las medias de las realizaciones con SG para diferentes alcances. Distribución esperada de estas medias Método de Bandas Rotantes En la siguiente ilustración se observa que el variograma promedio se ajusta casi perfectamente al modelo para los alcances menores. Además, se encuentra en el intervalo de confianza para los tres alcances. Ilustración 3.22 Variogramas de realizaciones con BR para diferentes alcances. Variograma teórico, Variogramas simulados, Promedio de variogramas simulados, Intervalo de 95% probabilidad para el variograma promedio. La media de los histogramas de las medias diverge de cero a medida que el alcance aumenta aunque está dentro del intervalo de probabilidad. A diferencia del método Secuencial Gaussiano la media es más cercana a cero cuando el alcance es de 10 nodos. 34

40 Nº datos 100 Máximo Media Mínimo Std. Dev Varianza C VV Intervalo de Probabilidad ± Nº datos 100 Máximo Media Mínimo Std. Dev Varianza C VV Intervalo de Probabilidad ± Nº datos 100 Máximo Media Mínimo Std. Dev Varianza C VV Intervalo de Probabilidad ± Ilustración 3.23 Histograma de las medias de las realizaciones con BR para diferentes alcances. Distribución esperada de estas medias. El promedio de los variogramas experimentales obtenidos por el método de Bandas Rotantes se ajusta, en todos los casos, al intervalo de probabilidad. En cambio, el método Secuencial Gaussiano presenta ciertas diferencias para los alcances extremos (mínimo y máximo). En Anexos parte I, se muestra las estadísticas obtenidas para madograma, rodograma y variograma del indicador de la mediana de cada realización Influencia del modelo variográfico En este apartado, se desea estudiar la capacidad de respuesta de los algoritmos frente a cambios en el modelo variográfico, para lo cual, se utilizará el modelo exponencial, esférico, Gaussiano y un modelo anidado de esféricos. El dominio utilizado tendrá una extensión de 200x200 nodos y el modelo variográfico tendrá meseta uno y alcance 50 nodos, excepto el esférico anidado cuyo alcance será 75 nodos. En una primera instancia, el modelo Gaussiano se simuló sin efecto pepa, pero la suavidad en el origen provoca matrices casi singulares, lo cual hace imposible realizar la simulación con el método Secuencial Gaussiano, a diferencia del método de Bandas Rotantes que no presenta inconvenientes. Es por esta razón que este modelo tendrá un centésimo de efecto pepa y 0,99 de meseta. 35

41 Método Secuencial Gaussiano En la siguiente ilustración se observa que los modelos exponencial y esférico se reproducen con un alcance mayor al teórico, el modelo Gaussiano es reproducido con un alcance y meseta menor en comparación al modelo teórico, y finalmente el modelo esférico anidado se reproduce bastante bien en el origen, pero presenta diferencias para distancias mayores. El variograma promedio se encuentra fuera del intervalo de probabilidad solamente para el modelo esférico anidado. Las fluctuaciones observadas son menores para los modelos exponencial y esférico anidado. Ilustración 3.24 Variogramas de realizaciones con SG para diferentes modelos. Variograma teórico, Variogramas simulados, Promedio de variogramas simulados, Intervalo de 95% probabilidad para el variograma promedio. La media de los histogramas de las medias está dentro del intervalo de probabilidad y es muy cercana a cero en todos los casos, diferenciándose el modelo exponencial de los otros. Las varianzas de estos histogramas son del mismo orden para el modelo exponencial, esférico y esférico anidado. 36

42 Nº datos 100 Máximo Media Mínimo Std. Dev Varianza C VV Intervalo de Probabilidad ± Nº datos 100 Máximo Media Mínimo Std. Dev Varianza C VV Intervalo de Probabilidad ± Nº datos 100 Máximo Media Mínimo Std. Dev Varianza C VV Intervalo de Probabilidad ± Nº datos 100 Máximo Media Mínimo Std. Dev Varianza C VV Intervalo de Probabilidad ± Ilustración 3.25 Histograma de las medias de las realizaciones con SG para diferentes modelos. Distribución esperada de estas medias Método de Bandas Rotantes En la siguiente ilustración se visualiza que el promedio de los variogramas experimentales alcanza la meseta justo en el alcance del modelo. Se observan algunas discrepancias entre el modelo y el promedio, pero éstas son aceptables debido a que están en el intervalo de probabilidad definido para cada modelo. Al igual que con el método Secuencial Gaussiano se observan fluctuaciones menores en los modelos exponencial y esférico anidado. 37

43 Ilustración 3.26 Variogramas de realizaciones con BR para diferentes modelos. Variograma teórico, Variogramas simulados, Promedio de variogramas simulados, Intervalo de 95% probabilidad para el variograma promedio. Nº datos 100 Máximo Media Mínimo Std. Dev Varianza C VV Intervalo de Probabilidad ± Nº datos 100 Máximo Media Mínimo Std. Dev Varianza C VV Intervalo de Probabilidad ± Nº datos 100 Máximo Media Mínimo Std. Dev Varianza C VV Intervalo de Probabilidad ± Nº datos 100 Máximo Media Mínimo Std. Dev Varianza CVV Intervalo de Probabilidad ± Ilustración 3.27 Histograma de las medias de las realizaciones con BR para diferentes modelos. Distribución esperada de estas medias. 38

44 Las medias de los histogramas de las medias no son tan cercanas a cero como en el método anterior, pero son aceptables debido a que se encuentran dentro del intervalo de probabilidad. Las varianzas de los histogramas son menores para el modelo exponencial y esférico anidado. En Anexos parte I, se muestra las estadísticas obtenidas para madograma, rodograma y variograma del indicador de la mediana de cada realización Influencia del efecto pepita Las leyes en yacimientos auríferos pueden cambiar repentinamente cuando hay pepitas de oro, aumentando la desemejanza entre dos puntos muy cercanos. Por otra parte, este efecto podría provenir de errores de medición, ausencia natural de correlación espacial, o la variabilidad a escala microscópica que no puede ser detectada. En base a lo anterior, se desea estudiar la reproducción de las estadísticas para un dominio de 200x200 nodos con un variograma esférico de alcance 50 nodos y meseta uno, con efecto pepa variable Método Secuencial Gaussiano En la siguiente imagen se presentan los variogramas experimentales de cada realización, el promedio de ellos y el modelo teórico para diferentes efectos pepas. Se observa que el variograma promedio se encuentra fuera del intervalo de probabilidad a medida que el efecto pepa aumenta. Las fluctuaciones se reducen en la medida que el efecto pepa aumenta. 39

45 Ilustración 3.28 Variogramas de realizaciones con BR para diferentes efectos pepas. Variograma teórico, Variogramas simulados, Promedio de variogramas simulados, Intervalo de 95% probabilidad para el variograma promedio. Nº datos 100 Máximo Media Mínimo Std. Dev Varianza C VV Intervalo de Probabilidad ± Nº datos 100 Máximo Media Mínimo Std. Dev Varianza C VV Intervalo de Probabilidad ± Nº datos 100 Máximo Media Mínimo Std. Dev Varianza C VV Intervalo de Probabilidad ± Nº datos 100 Máximo Media Mínimo Std. Dev Varianza C VV Intervalo de Probabilidad ± Ilustración 3.29 Histograma de las medias de las realizaciones con SG para diferentes efectos pepas. Distribución esperada de estas medias. 40

46 La única media de los histogramas de las medias de las realizaciones que no se encuentra en el intervalo de probabilidad es cuando el efecto pepa es 0,5. Por otra parte, la varianza de las medias disminuye cuando el efecto pepa aumenta, demostrando consecuencia con lo observado en los ejercicios anteriores Método de Bandas Rotantes A continuación se expone que el variograma promedio se asemeja bastante al modelo teórico para todos los casos. En algunos casos existe un sobre dimensionamiento en la meseta pero el alcance es 50 nodos para todos los casos. Además todos los variogramas promedios se encuentran al interior del intervalo de probabilidad. Al igual que en el método Secuencial Gaussiano las fluctuaciones se reducen a medida que el efecto pepa aumenta. Ilustración 3.30 Variogramas de realizaciones con BR para diferentes efectos pepas. Variograma teórico, Variogramas simulados, Promedio de variogramas simulados, Intervalo de 95% probabilidad para el variograma promedio. La única media de los histogramas de medias que no se encuentra en el intervalo de probabilidad es para el modelo que posee un efecto pepa de 0,2. 41

47 Nº datos 100 Máximo Media Mínimo Std. Dev Varianza C VV Intervalo de Probabilidad ± Nº datos 100 Máximo Media Mínimo Std. Dev Varianza C VV Intervalo de Probabilidad ± Nº datos 100 Máximo Media Mínimo Std. Dev Varianza C VV Intervalo de Probabilidad ± Nº datos 100 Máximo Media Mínimo Std. Dev Varianza C VV Intervalo de Probabilidad ± Ilustración 3.31 Histograma de las medias de las realizaciones con BR para diferentes efectos pepas. Distribución esperada de estas medias. En todos los casos el variograma promedio obtenido por el método de Bandas Rotantes, se encuentra al interior del intervalo de probabilidad. Lo anterior no se cumple con el método Secuencial Gaussiano. El examen de los madogramas, rodogramas y variogramas del indicador de la mediana de las realizaciones obtenidas, es presentado en Anexos parte I. En las siguientes tablas se expone un resumen que muestra la estadística que permitió validar el ejercicio. 42

48 Tabla 3.1 Resumen de estadísticas validadas para diferentes dominios. Secuencial Bandas Gaussiano Rotantes 50x50 200x x400 Histograma Variograma Histograma Variograma Histograma Variograma Histograma Variograma Histograma Variograma Histograma Variograma Tabla 3.2 Resumen de estadísticas validadas para diferentes alcances. Secuencial Bandas Gaussiano Rotantes Histograma Histograma Variograma Histograma Histograma Variograma Histograma Variograma Histograma Variograma Tabla 3.3 Resumen de estadísticas validadas para diferentes variogramas. Secuencial Bandas Gaussiano Rotantes 1esf(50) 1exp(50) 0,01+0,99gauss(50) 0,6esf(10)+0,4esf(75) Histograma Variograma Histograma Variograma Histograma Variograma Histograma Variograma Histograma Variograma Histograma Variograma Histograma Variograma Histograma Variograma Tabla 3.4 Resumen de estadísticas validadas para diferentes efectos pepitas. Secuencial Bandas Gaussiano Rotantes 1esf(50) 0,2+0,8esf(50) 0,5+0,5esf(50) 0,8+0,2esf(50) Histograma Variograma Histograma Histograma Histograma Histograma Variograma Histograma Variograma Histograma Variograma Histograma Variograma 3.3 Cambio de soporte Los ejercicios anteriores han permitido estudiar las distribuciones univariables y bivariables de las realizaciones. Las distribuciones multivariables pueden ser inspeccionadas a través de un cambio de soporte, es decir, un rebloqueo de las realizaciones a un mayor soporte volumétrico. Por otra parte, el diseño y la planificación minera se basan en un modelo de bloques y no puntual. En base a lo anterior, se ha definido regularizar las realizaciones a un soporte de 10x10 y 20x20 metros, en un dominio de 200x200 bloques, discretizando en 5x5 y 10x10 nodos separados cada 2 metros. Sin pérdida de generalidad, se considera la unidad nodo como metro lineal. La media teórica es conocida e igual a cero en el espacio Gaussiano. Se utiliza un variograma puntual esférico de alcance 50 metros y meseta uno, sin efecto pepa. Se generan cien realizaciones en el espacio Gaussiano con cada método (SG y BR). Las realizaciones rebloqueadas se deben distribuir con media cero y variograma γ v (h) dado por: 43

49 γ h ) = γ(v,v ) γ(v,v) v ( h donde γ v,v ) es el variograma promedio dado por ( h γ( v,v h ) = 1 v 2 vvh γ(x y) dx dy donde v representa el soporte del bloque y v h representa el mismo volumen trasladado por el vector h. La expresión γ ( h) es evaluada numéricamente a partir del variograma γ(h). v Soporte de 10x10 metros En la siguiente imagen se exponen los variogramas experimentales de cada realización, variograma promedio y modelo teórico regularizado. La meseta del variograma promedio se estabiliza a 70 metros aproximadamente para el método Secuencial Gaussiano y a 60 metros aproximadamente para el método de Bandas Rotantes, mientras que el alcance teórico es de 60 metros. Además, la meseta del método Secuencial Gaussiano está sobreestimada en 1,6% con respecto a la meseta teórica. En cambio, la meseta obtenida para Bandas Rotantes está subestimada en 0,7%. Pese a las diferencias anteriores, el variograma promedio obtenido para ambos métodos está dentro del intervalo de probabilidad. Ilustración 3.32 Variogramas regularizados. Secuencial Gaussiano (Izq.), Bandas Rotantes (Der.). Variograma teórico, Variogramas simulados, Promedio de variogramas simulados, Intervalo de 95% probabilidad para el variograma promedio. La media del histograma de las medias es muy cercana a cero y está dentro del intervalo de probabilidad definido por la varianza de dispersión de una muestra en el dominio. 44

50 Nº datos 100 Máximo Media Mínimo Std. Dev Varianza C VV Intervalo de Probabilidad ± Nº datos 100 Máximo Media Mínimo Std. Dev Varianza C VV Intervalo de Probabilidad ± Ilustración 3.33 Histograma de las medias de las realizaciones regularizadas. Secuencial Gaussiano (Izq.), Bandas Rotantes (Der.). Distribución esperada de estas medias Soporte de 20x20 metros La siguiente ilustración muestra el variograma teórico regularizado, variogramas experimentales y variograma promedio de las realizaciones. El valor del variograma promedio a una distancia de 60 metros está sobrevaluado en un 2,3% para el método Secuencial Gaussiano. En cambio para el método de Bandas Rotantes la discrepancia es menor al 0,1%. Los variogramas promedios están en el intervalo de probabilidad definido para el modelo. Ilustración 3.34 Variogramas regularizados. Secuencial Gaussiano (Izq.), Bandas Rotantes (Der.). Variograma teórico, Variogramas simulados, Promedio de variogramas simulados, Intervalo de 95% probabilidad para el variograma promedio. La media del histograma de las medias es prácticamente cero y está dentro del intervalo de probabilidad definido por la varianza de dispersión de una muestra en el dominio. 45

51 Nº datos 100 Máximo Media Mínimo Std. Dev Varianza C VV Intervalo de Probabilidad ± Nº datos 100 Máximo Media Mínimo Std. Dev Varianza C VV Intervalo de Probabilidad ± Ilustración 3.35 Histograma de las medias de las realizaciones regularizadas. Secuencial Gaussiano (Izq.), Bandas Rotantes (Der.). Distribución esperada de estas medias. Las fluctuaciones observadas son reducidas en comparación a las pruebas expuestas en las secciones anteriores, debido a que el dominio es 40 veces el alcance puntual para el soporte de 10x10 metros y 80 veces para 20x20 metros. En Anexos parte II, se muestra las estadísticas obtenidas para madograma, rodograma y variograma del indicador de la mediana de cada realización. 3.4 Anisotropías La variable regionalizada podría presentar alguna dirección en la cual esté más intensamente estructurada, lo que se conoce como anisotropía. Se dice que ésta será geométrica cuando el mapa variográfico dibuja elipses concéntricas, y zonal cuando dibuja bandas siendo un caso extremo de la primera. Ilustración 3.36 Mapas variográficos según anisotropía. Se estudian las anisotropías en un dominio de 200x200 metros mediante 100 realizaciones generadas en el espacio Gaussiano, con una media teórica conocida e igual a cero. 46

52 Las anisotropías se generan a partir del siguiente modelo variográfico, a saber: Anisotropía geométrica γ( h ) = 1esf(50m,100m) Anisotropía zonal γ( h ) = 1esf(50m,2000m) En la siguiente imagen se presenta el variograma promedio de cien realizaciones y el modelo teórico obtenido para ambos algoritmos con anisotropía geométrica. Se aprecia que el método de Bandas Rotantes reproduce mejor el variograma teórico que el método Secuencial Gaussiano. Aunque, ambos están dentro del intervalo de probabilidad. Ilustración 3.37 Variogramas con anisotropía geométrica. Secuencial Gaussiano (Izq.), Bandas Rotantes (Der.). Variograma teórico, Promedio de variogramas simulados, Intervalo de 95% probabilidad para el variograma promedio. Los resultados obtenidos para la anisotropía zonal se presentan en la siguiente ilustración. Ambos algoritmos reproducen bastante bien el variograma teórico, pues, los variogramas promedio simulados están dentro del intervalo de probabilidad. Ilustración 3.38 Variogramas con anisotropía zonal. Secuencial Gaussiano (Izq.), Bandas Rotantes (Der.). Variograma teórico, Promedio de variogramas simulados, Intervalo de 95% probabilidad para el variograma promedio. En la siguiente lámina se aprecian las fluctuaciones provocadas por las anisotropías. A medida que la razón entre el semi eje mayor y el semi eje menor del elipsoide variográfico 47

53 aumenta las fluctuaciones lo hacen en igual intensidad. Esto se produce debido a la pérdida progresiva de la razón entre el tamaño del dominio y el alcance en la dirección norte. Ilustración 3.39 Fluctuaciones en variogramas experimentales. Secuencial Gaussiano (Arriba.), Bandas Rotantes (Abajo.). Variograma teórico, Variogramas simulados, +++++Promedio de variogramas simulados dirección Norte. 3.5 Impacto local Los análisis anteriores han puesto en evidencia que pueden existir algunos sesgos en la reproducción de las estadísticas del modelo, cuando los parámetros de implementación del algoritmo de simulación no son elegidos de manera juiciosa. Se desea saber si estos sesgos pueden tener una influencia en la distribución local de leyes de un determinado bloque del yacimiento, o si solamente afectan las características globales (alcance). Para ellos, se estudiará las distribuciones locales a nivel de un bloque de 15x15 metros discretizado en 15x15 nodos, suponiendo una distribución lognormal de la variable real (%Cu) de soporte puntual. La función de anamorfosis viene dada por la siguiente expresión. Y( x) Z( x ) = exp 3 48

54 Donde Z(x) corresponde a la variable original e Y(x) a la variable transformada. Esta última tiene distribución Gaussiana estándar (normal cero y varianza uno). Se utiliza además el siguiente variograma para la variable transformada (Y), a saber: γ( h ) = 0,1 + 0,9esf(50m,50m) Se generan realizaciones con el método de descomposición matricial LU en el espacio Gaussiano (Davis, 1987), debido a que es perfecto, obteniéndose el siguiente histograma para la variable original (Z) regularizada. Además, se simula mediante los métodos Secuencial Gaussiano y de Bandas Rotantes con diferentes tamaños de vecindad y número de líneas respectivamente. N datos Máximo Media Mínimo Std. Dev Varianza Ilustración 3.40 Histograma de los valores obtenidos mediante método LU. Tabla 3.5 Estadísticas básicas de simulaciones de un bloque con diferentes métodos. LU SG 20 datos SG 100 datos BR 100 líneas BR 1000 líneas (nodos) (nodos) N datos Máximo 3,645 3,470 3,110 2,703 4,070 Media 1,059 1,054 1,059 1,053 1,055 Mínimo 0,314 0,320 0,310 0,331 0,360 Desviación Estándar 0,329 0,323 0,319 0,296 0,299 Varianza 0,108 0,104 0,102 0,088 0,089 En la siguiente lámina se compara las distribuciones obtenidas con los métodos SG y BR con la realidad dada por el método LU. No se aprecia impacto en los recursos a nivel de un bloque, debido a que las distribuciones son muy similares, sólo se observan diferencias marginales en las colas superiores de las distribuciones. 49

55 La implementación puede producir sesgos en las estadísticas globales (ejemplo: alcance sobre dimensionado) y, por lo tanto, en la caracterización de la incertidumbre cuando se consideran muchos bloques simultáneamente, pero tiene muy poco impacto en la caracterización de la incertidumbre local (a escala de un bloque). Ilustración 3.41 Gráficos cuantil contra cuantil de los métodos SG (arriba) y BR (abajo) comparados con método LU. 50

56 4 SIMULACIÓN CONDICIONAL En el capítulo anterior se ha utilizado una metodología para validar las simulaciones en el espacio Gaussiano sin datos condicionantes. Se ha establecido que el algoritmo de Bandas Rotantes, reproduce en mayor grado las estadísticas estudiadas que el método Secuencial Gaussiano. En base a lo anterior, en esta sección se estudiará cómo validar las simulaciones condicionales a datos, mediante casos de estudio de yacimientos de cobre, utilizando el algoritmo BR con mil líneas. Las simulaciones se realizarán bajo el siguiente esquema, a saber: Análisis exploratorio de los datos, revisión de las estadísticas básicas y tendencias espaciales. Determinación de las estadísticas representativas, desagrupamiento de datos. Determinación de la variabilidad espacial de la variable original, mediante variogramas. Transformación de la variable original a Gaussiana, utilizando la distribución representativa. Determinación del variograma de la variable transformada. Generación de cien realizaciones de media conocida e igual a cero en el espacio Gaussiano. Transformación de vuelta de la variable Gaussiana a la variable original, inyectando el carácter heteroscedástico o efecto proporcional de la variable original. La validación de las simulaciones se llevará a cabo mediante la revisión del variograma puntual e intervalos de probabilidad. En la primera prueba, se espera que el promedio de los variogramas simulados reproduzca el modelo variográfico de los datos Gaussianos, mientras que para la segunda prueba, dado un intervalo de probabilidad determinado, se esperaría encontrar, una proporción similar de realizaciones que se encuentran en este intervalo. 51

57 4.1 Yacimiento de óxidos de cobre Estudio exploratorio Esta base de datos corresponde a una campaña de sondajes de exploración que contiene cobre soluble, la cual se proyecta en un volumen de 1500 x 2000 x 400 metros en las coordenadas Este, Norte y Cota, respectivamente. Por otra parte, los collares de los sondajes están dispuestos en una grilla casi regular, aunque existen zonas con mayor densidad de muestreo. Los sondajes están compositados cada 1,5 metros. No se cuenta con información geológica, por lo que se supone solamente una unidad geológica. Ilustración 4.1 Mapas de muestras de exploración. (Escala: ley de cobre soluble). Es posible vislumbrar de las imágenes anteriores que las ubicaciones de las muestras tienen algún grado de irregularidad en el espacio y no se enmarcan en una malla regular. Por lo tanto, es necesario considerar que los datos espacialmente agrupados deben tener un peso estadístico más pequeño a los datos aislados. Esta ponderación se determina mediante el método de las celdas, el cual consiste en dividir la zona muestreada en paralelepípedos idénticos, y en atribuir a cada muestra un peso inversamente proporcional al número de datos presentes en la celda a la cual pertenece (Isaaks y Srivastava, 1989). 52

58 Se considera una anisotropía de celda cuyos lados son proporcionales al muestreo (50x100x1,5 metros), compensando la mayor densidad de muestreo en las diferentes direcciones. En la siguiente lámina es posible observar que el tamaño de la celda no ejerce influencia en la media global hasta un tamaño de 60 metros en la primera dirección. Se estableció un tamaño de celda de 50x100x1,5 metros para obtener las estadísticas desagrupadas. Ilustración 4.2 Influencia del tamaño de celda sobre la media (Izq.) e Histograma desagrupado (Der.). En la siguiente tabla es posible observar que las zonas con mayor densidad de muestreo no alteran las estadísticas básicas del yacimiento en estudio, pues las estadísticas de las muestras desagrupadas son similares a las que no reciben esta ponderación. Tabla 4.1 Estadísticas de muestras de exploración de cobre soluble. Muestras Muestras desagrupadas N de datos Media [%] 0,224 0,224 Desv. Est. [%] 0,141 0,143 Varianza [%] 2 0,020 0,020 C.V. [%] 0,629 0,635 Máximo [%] 3,400 3,400 3er Cuartil [%] 0,275 0,275 Mediana [%] 0,200 0,200 1er Cuartil [%] 0,138 0,138 Mínimo [%] 0,006 0,006 El algoritmo que se aplicará para obtener las estimaciones requiere que la variable en estudio sea estacionaria, para lo cual es útil revisar la distribución espacial mediante las nubes direccionales principales. En la siguiente ilustración se observa que la variabilidad es homogénea para las direcciones Este y Norte, en la Cota se aprecia una tendencia que se ve suavizada por la escala. Entonces, podría ser discutible la estacionaridad global, aunque localmente no existen inconvenientes para utilizar un modelo estacionario. 53

59 Ilustración 4.3 Nubes direccionales de cobre soluble. Este (Izq.), Norte (Centro) y Cota (Der.). Regresiones experimentales. Se realizó un estudio para modelar la correlación espacial del cobre soluble mediante mapas variográficos y variogramas en varias direcciones regulares. En este estudio, no se observó direcciones principales de anisotropía en la horizontal. El variograma experimental se modeló por la siguiente expresión: γ( hx,hy,hz ) = 0, ,003esf(20m,20m,10m) + 0,005esf(60m,60m,50m) + 0,0011esf(100m,100m, ) + 0,0096esf(1900m,1900m, ) Ilustración 4.4 Variograma experimental y modelado. Horizontal, Vertical. En la siguiente figura se presentan las pruebas gráficas de la validación cruzada. La estimación mediante kriging de cada dato utiliza las 24 muestras más cercanas, a razón de tres muestras por octante del espacio. Entre los datos, sólo 209 (o sea, el 1,5% del total, en rojo) han sido mal estimados (con un error estándar absoluto superior a 2,5), lo que es muy satisfactorio. Por otra parte, es posible apreciar que la estimación no sufre sesgo condicional, debido a que la nube de errores estándar versus ley estimada está centrada en la ordenada cero. 54

60 Ilustración 4.5 Validación cruzada para el variograma modelado. Ilustración 4.6 Anamorfosis Gaussiana, que relaciona los valores originales (ordenada) con los valores Gaussianos (abscisa). El modelo multigaussiano requiere que la variable en estudio tenga una distribución Gaussiana, para lo cual se debe transformar los datos originales a Gaussianos mediante una 55

61 función de transformación o anamorfosis. Luego de esto se debe examinar la variable Gaussiana para su uso en este estudio. Ilustración 4.7 Histograma de los datos Gaussianos Tabla 4.2 Estadísticas variable Gaussiana Muestras N de datos Media [%] 0,000 Desv. Est. [%] 0,993 Varianza [%] 2 0,986 Máximo [%] 3,939 3er Cuartil [%] 0,675 Mediana [%] -0,010 1er Cuartil [%] -0,670 Mínimo [%] -3,810 El modelo multigaussiano requiere que no solamente la distribución univariable sea consistente con el modelo (Ver figura anterior), sino que se debe verificar al menos las distribuciones bivariables. Para ello, se analizan las nubes de correlación diferida y se compara el variograma con el madograma. Ilustración 4.8 Nubes de correlación diferida para distancias de 5 metros (Izq.) y 60 metros (Der.) Se deduce de la ilustración anterior que los puntos conforman una figura similar a la forma de un diamante, la cual representa las curvas de isodensidad de la nube. A medida que la distancia aumenta, se torna circular ya que se pierde correlación entre los valores. 56

62 Ilustración 4.9 Raíz cuadrada del variograma dividida por el madograma. Bajo la hipótesis bigaussiana, el madograma (variograma de orden 1) es proporcional a la raíz cuadrada del variograma y, la razón de estos es equivalente a raíz de pi (ver formulas 3.1 y 3.2), o sea 1,77. El gráfico anterior muestra que los valores transformados convergen a este valor para distancias grandes (mayor a 200 metros), en cambio para distancias pequeñas existen algunas diferencias que cuestionan el carácter bigaussiano. Aunque ambas pruebas, nubes de correlación y variogramas, no son perfectamente consistentes con un modelo bigaussiano (a distancias pequeñas). Se acepta el carácter bigaussiano de la variable transformada de modo de proseguir con la simulación. En caso contrario, se debería buscar otro modelo al igual que si no se cumpliera la condición de estacionaridad. Finalmente, se modeló el variograma experimental de los datos Gaussianos, quedando plasmado en la siguiente expresión: γ h,h,h ) = 0,35 + 0,16esf(60m,60m,15m) + 0,24esf(130m,130m,120m) ( x y z + 0,25esf(1100m,1100m,10000m) 57

63 Ilustración 4.10 Variograma experimental y modelado de la variable Gaussiana. Horizontal, Vertical Reproducción de variogramas La simulación de Bandas Rotantes se implementa con mil líneas. Se generan cien realizaciones condicionales en el espacio Gaussiano en un dominio de 1500x2000x350 metros, con nodos cada 15 metros en cada dirección. La vecindad de búsqueda corresponde a un elipsoide cuyos semi ejes son de 350x350x75 metros y debe contener como máximo 4 muestras por octante. El variograma corresponde al modelado en la etapa anterior. Se considera que la media teórica es conocida y vale cero en el espacio Gaussiano Variable original En la siguiente lámina se aprecian los variogramas experimentales de cada realización, el promedio de ellos y el modelo para la variable original. Se desprende de la ilustración que el promedio de los variogramas simulados no reproduce exactamente el modelo en ninguna de las direcciones. 58

64 Ilustración 4.11 Variogramas de realizaciones con BR de la variable original (CuS). Variograma modelado, Variogramas simulados, Promedio de variogramas simulados Variable Gaussiana Con respecto a la variable transformada (Gaussiana), se deduce de la siguiente ilustración que el variograma promedio reproduce el modelo en la dirección horizontal con ciertas fluctuaciones, pero en la vertical se aprecian claras diferencias. Ilustración 4.12 Variogramas de realizaciones con BR de la variable transformada. Variograma modelado, Variogramas simulados, Promedio de variogramas simulados. A primera vista, puede sorprender que el algoritmo de simulación no logre reproducir el variograma modelado, tal como había sido el caso en el capitulo anterior dedicado a simulaciones no condicionales. Entonces cabe preguntarse cuál es el variograma esperado sobre un conjunto de realizaciones condicionales. El valor adquirido por un nodo x, proveniente de una simulación condicional, es función del valor fijo obtenido por kriging simple (y KS ), más el error aleatorio de kriging simple (ε). Y SC ( x) = y KS ( x) + ε( x) 59

65 Por lo tanto el variograma esperado de una simulación condicional estará dado por la siguiente expresión: γ Y SC 1 ( x, x + h) = var{ysc( x) YSC( x + h)} 2 1 KS KS = var{y ( x) y ( x + h) + ε( x) ε( x + h)} = E{[ ε( x) ε( x + h)] } 2 Las esperanzas cruzadas entre y KS y ε se anulan debido a que la esperanza del error de kriging es cero. Si se introduce el sistema de kriging simple en la ecuación anterior se logra deducir la siguiente expresión: n 1 KS KS γ Y ( x, x + h) = γ( h) + { λ α ( x) λ α ( x + h)}{ γ( x α x h) γ( x α h)} SC 2 α= 1 Donde γ(h) es el variograma modelado de los datos transformados, n el número de datos, {x α, α=1...n} sus posiciones y { λ KS α, α=1...n} son los ponderadores de kriging simple. Este variograma condicional no es estacionario, pues depende de la posición de x y del vector de separación h. Sin embargo, cuando x y x+h están lejos de los datos condicionantes (en la práctica, más allá del alcance del variograma), los términos γ(x α -x-h) y γ(x α -x) tienden a uno. Por lo tanto, lejos de los datos el variograma simulado es similar al variograma modelado. Por otra parte si x ó x+h son cercanos a datos condicionantes (menor al alcance del variograma) el variograma condicionado difiere del modelo a priori γ(h). Para cualquier vector de separación h, el variograma experimental calculado sobre un dominio V está dado por la siguiente expresión: Γ V ( h ) = 1 2Κ V ( h) VIV [Y h SC ( x) Y SC 2 ( x + h)] dx Donde V -h es el dominio V trasladado en h, y K V es el covariograma geométrico de V y representa el volumen de V V -h. Por lo tanto, el valor esperado del variograma anterior es 60

66 E [ Γ ( h) ] V 1 = 2Κ V 1 = 2Κ V ( h) ( h) VIV h VIV h 1 = γ( h) + 2Κ V {[y KS {[y ( x) y KS KS KS 2 ( ) {[y ( x) y ( x + h)] + h α= 1 VIV h KS ( x) y ( x + h)] KS 2 ( x + h)] + 2γ 2 YSC ( h)} dx + 2γ( h) + α= 1 n n { λ { λ KS α KS α ( x) λ ( x) λ KS α KS α ( x + h)}{ γ( x ( x + h)}{ γ( x α α x h) γ( x x h) γ( x α α x)}} dx x)}} dx Entonces el promedio de los variogramas simulados se compone de tres elementos: el variograma modelado, el variograma del estimador de kriging simple (γ KS ) y un factor correctivo que depende de los ponderadores de kriging. Si bien los dos primeros son positivos, el tercer elemento podría tomar cualquier signo haciendo impracticable el uso de esta prueba como medio para validar las simulaciones condicionales, a menos que se evalue la expresión anterior y ésta sea comparada con el promedio de los variogramas simulados. En resumen, los datos condicionantes hacen que el variograma simulado puede diferir del modelo a priori de variograma, especialmente si el dominio simulado no es muy extenso y no existen grandes zonas sin datos. En base a lo anterior, se prefiere validar las simulaciones mediante intervalos de probabilidad Intervalos de probabilidad Para las simulaciones, se construyen intervalos de probabilidad con un cierto margen de error (α), esperándose que una fracción α de la serie verdadera de leyes esté fuera del intervalo de confianza. Por ejemplo, si α = 0,5, el intervalo de confianza es el rango intercuartil de las realizaciones (intervalo cuyos límites son el primer y tercer cuartil); la mitad de las leyes reales deberían ubicarse en este intervalo y la otra mitad fuera. El procedimiento se puede repetir al hacer variar el valor de α entre 0 y 1. La realización de esta prueba requiere de la definición de dos poblaciones. Por lo tanto se define una población de datos (en verde) que permitirá simular los sondajes pertenecientes a la población en azul (Ver siguiente lámina). 61

67 Tabla 4.3 Estadísticas básicas de poblaciones. Verde Azul N de datos Media [%] 0,226 0,220 Desv. Est. [%] 0,136 0,146 Varianza [%] 2 0,018 0,021 C.V. [%] 0,596 0,664 Máximo [%] 1,819 3,400 3er Cuartil [%] 0,280 0,268 Mediana [%] 0,203 0,196 1er Cuartil [%] 0,139 0,138 Mínimo [%] 0,011 0,006 Ilustración 4.13 Mapa de poblaciones definidas para validar el modelo de incertidumbre. La simulación por Bandas Rotantes se implementa con mil líneas. Se generan mil realizaciones en el espacio Gaussiano para la población en azul. La vecindad de búsqueda corresponde a un elipsoide cuyos semi ejes son de 350x350x75 metros. El variograma corresponde al modelado en la etapa anterior. Se considera que la media teórica es conocida y vale cero en el espacio Gaussiano. Por otra parte, se pretende observar cuales son las diferencias en la simulación al tomar una vecindad que contiene a lo más 32 datos y una que contiene solamente 8 datos. En la siguiente ilustración se muestra la validación realizada mediante intervalos de probabilidad. Se desprende de ésta que el modelo de incertidumbre se ajusta bastante bien a los datos, siendo algo optimista en la determinación de las leyes, pero se encuentra absolutamente validado. No se aprecian diferencias significativas al relajar el número de datos en la vecindad. Esto se explica por la existencia de una micro estructura en el variograma (ver figura 4.4), la cual provoca que las muestras más alejadas reciban un peso menor en el sistema de kriging, mientras que la media global recibe una ponderación importante. 62

68 Ilustración 4.14 Validación del modelo de incertidumbre para ambas vecindades a nivel puntual. Por otra parte, al compositar las muestras y las simulaciones de la población en azul, se observa que el modelo queda validado. Igualmente no se provocan mayores diferencias al disminuir el número de muestras necesarias para simular el valor. Ilustración 4.15 Validación del modelo de incertidumbre para ambas vecindades y diferentes tamaños de compósitos. En definitiva el modelo multigaussiano, y el algoritmo de Bandas Rotantes, logran una correcta descripción de la incertidumbre local en las leyes del yacimiento de óxidos de cobre. El uso de intervalos de probabilidad, para distintas implementaciones (vecindades de búsqueda) y 63

69 distintos tamaños de compósitos, es una prueba bastante poderosa debido a que permite validar tanto el algoritmo utilizado como la adecuación del modelo multigaussiano a los datos. 4.2 Yacimiento de sulfuros de cobre Estudio exploratorio Esta base de datos corresponde a una campaña de exploración en un yacimiento de sulfuros de cobre y contiene como elemento la ley de cobre total, la cual se proyecta en un volumen de 700 x 700 x 750 metros en las coordenadas Este, Norte y Cota respectivamente. Por otra parte, los collares de los sondajes están dispuestos en el contorno de diferentes galerías, existiendo zonas con mayor densidad de muestreo. Los sondajes están compositados cada 10 metros. No se cuenta con información geológica por lo que se supone solamente una unidad geológica. Ilustración 4.16 Mapas de muestras de exploración. (Escala: ley de cobre total). Se desprende de la figura anterior, que las muestras están dispuestas en una malla irregular. Por lo tanto, es necesario considerar que los datos espacialmente agrupados deben tener un peso menor a los datos aislados. 64

70 Al igual que en el yacimiento de óxidos de cobre, se considera un tamaño de celda cuyos lados son proporcionales a la malla de muestreo (30x30x10 metros), compensando la mayor densidad de muestreo en las diferentes direcciones. En la siguiente lámina es posible observar que el tamaño de la celda no ejerce influencia en la media global hasta un tamaño de 20 metros en la primera dirección. Pese a lo anterior, se estableció un tamaño de celda de 30x30x10 metros para obtener las estadísticas desagrupadas. Ilustración 4.17 Influencia del tamaño de celda sobre la media (Izq.) e Histograma desagrupado (Der.). Las estadísticas básicas del yacimiento en estudio cambian levemente al utilizar los pesos de desagrupamiento. Tabla 4.4 Estadísticas de muestras de exploración de cobre total. Muestras Muestras desagrupadas N de datos Media [%] 0,706 0,698 Desv. Est. [%] 0,352 0,352 Varianza [%] 2 0,123 0,123 C.V. [%] 0,499 0,505 Máximo [%] 2,707 2,707 3er Cuartil [%] 0,899 0,889 Mediana [%] 0,643 0,636 1er Cuartil [%] 0,457 0,450 Mínimo [%] 0,280 0,280 El algoritmo requiere que la variable en estudio sea estacionaria, pues la media debe ser constante en todo el dominio. En la siguiente ilustración se presentan nubes direccionales que muestran que la hipótesis de estacionaridad no se cumple a nivel global, lo cual permitirá poner a prueba el algoritmo. 65

71 Ilustración 4.18 Nubes direccionales de cobre total. Este (Izq.), Norte (Centro) y Cota (Der.). Regresiones experimentales. Se realizó un estudio para modelar la correlación espacial del cobre total, mediante mapas variográficos y variogramas en varias direcciones regulares. En ello, se observó direcciones principales de anisotropía en el plano horizontal. Es por esto que el variograma experimental se modeló por la siguiente expresión: γ ( h,h,h ) x y z = 0,02 + 0,088 exp(170m,170m,420m) + 0,0063 exp(200m,,450m) + 0,02 exp(,,500m) Ilustración 4.19 Variograma experimental y modelado. Este, Norte, Vertical. En la siguiente figura se presentan las pruebas gráficas de la validación cruzada. La estimación mediante kriging de cada dato utiliza las 24 muestras más cercanas, a razón de tres muestras por octante del espacio. Entre los 4900 datos, sólo 133 (o sea, el 2,7% del total, en rojo) han sido mal estimados (con un error estándar absoluto superior a 2,5), lo que es muy satisfactorio. Por otra parte, es posible apreciar que la estimación no sufre sesgo condicional 66

72 debido a que la nube de errores estándar versus leyes estimadas está centrada en la ordenada cero. Ilustración 4.20 Validación cruzada para el variograma modelado. El modelo multigaussiano requiere que la variable en estudio tenga una distribución Gaussiana, para lo cual se deben transformar los datos reales a Gaussianos mediante una función anamorfosis. 67

73 Ilustración 4.21 Anamorfosis Gaussiana, que relaciona los valores originales (ordenada) con los valores Gaussianos (abscisa). Ilustración 4.22 Histograma de los datos Gaussianos. Tabla 4.5 Estadísticas variable Gaussiana. Muestras N de datos 4900 Media [%] 0,026 Desv. Est. [%] 0,991 Varianza [%] 2 0,982 Máximo [%] 3,767 3er Cuartil [%] 0,701 Mediana [%] 0,021 1er Cuartil [%] -0,643 Mínimo [%] -3,664 Ilustración 4.23 Nubes de correlación diferida para distancias de 5 metros (Izq.) y 50 metros (Der.) 68

74 Se deduce de la ilustración anterior que los puntos conforman una figura similar a una lágrima, la cual representa las curvas de isodensidad de la nube. A medida que la distancia aumenta se torna casi circular ya que se pierde correlación entre los valores. Ilustración 4.24 Raiz cuadrada del variograma dividido por el madograma. Al igual que en el caso del yacimiento de óxidos de cobre, ambas pruebas aceptan el carácter bigaussiano de la variable transformada sólo para distancias grandes (mayores a 100 metros), en cambio para aquellas menores se observan discrepancias con respecto a la forma (nube de correlación) y valores esperados (variograma versus madograma). Por otra parte, al comparar los el variogramas de indicadores del primer y tercer cuartil, se deduce que los datos no poseen un carácter completamente bigaussiano para todas las distancias, debido a que existen discrepancias entre los variogramas. Por lo tanto, podría buscar otro modelo que se ajustara a los datos de mejor forma pero se aplicara el mismo algoritmo para ponerlo a prueba frente a diversos escenarios adversos (estacionaridad y multigaussianidad). 69

75 0.25 Indicador primer y tercer cuartil 0.20 γ Norte75 Este75 Cota75 Norte25 Este25 Cota25 Distancia Ilustración 4.25 Variograma de indicadores. El variograma experimental de la variable Gaussiana se modeló mediante la siguiente expresión, a saber: γ ( h,h,h ) x y z = 0,15 + 0,4 exp(140m,180m,400m) + 0,25 exp(500m,420m,500m) + 0,2 exp(600m,10000m,900m) Ilustración 4.26 Variograma experimental y modelado de la variable Gaussiana. Este, Norte, Vertical Reproducción de variogramas La simulación por Bandas Rotantes se implementa con mil líneas. Se generan cien realizaciones en el espacio Gaussiano en un dominio de 700x700x750 metros, con nodos cada 10 metros en cada dirección. La vecindad de búsqueda corresponde a un elipsoide cuyos semi ejes son de 200x250x300 metros y debe contener como máximo 4 muestras por octante. El 70

76 variograma corresponde al modelado en la etapa anterior. Se considera que la media teórica es conocida y vale cero en el espacio Gaussiano Variable original En la siguiente lámina se aprecian los variogramas experimentales de cada realización, el promedio de ellos y el modelo. Se desprende de la ilustración que el variograma promedio no reproduce el modelo en ninguna de las direcciones. Ilustración 4.27 Variogramas de realizaciones con BR de la variable original (CuT). Variograma modelado, Variogramas simulados, Promedio de variogramas simulados Variable Gaussiana Se deduce de la siguiente ilustración que el variograma promedio reproduce el modelo a priori en las direcciones Norte y Cota, pero en la dirección Este se aprecia claras diferencias. En esta última dirección, el variograma simulado no presenta meseta, sugiriendo la existencia de una tendencia similar a aquella observada en las nubes direccionales (Ver Ilustración 4.18). Ilustración 4.28 Variogramas de realizaciones con BR de la variable transformada. Variograma modelado, Variogramas simulados, Promedio de variogramas simulados. 71

77 Si bien los variogramas de la variable Gaussiana reproducen en cierto grado el modelo teórico al observar la variable original se muestran diferencias notarias. Estas pequeñas variaciones en la variable Gaussiana provocan fuertes discrepancias en la variable original, por lo tanto la varianza es muy sensible a la transformación. En la validación del modelo para el yacimiento de óxidos de cobre se demostró que el variograma promedio de las realizaciones condicionales no necesariamente reproduce el modelo a priori del variograma Intervalos de probabilidad Al igual que en el caso de estudio anterior, se requiere de dos poblaciones. La primera (en verde) permitirá simular los sondajes pertenecientes a la población en azul. Ilustración 4.29 Mapa de poblaciones definidas para validar el modelo de incertidumbre. Tabla 4.6 Estadísticas básicas de poblaciones. Verde Azul N de datos Media [%] 0,737 0,676 Desv. Est. [%] 0,364 0,355 Varianza [%] 2 0,132 0,126 C.V. [%] 0,649 0,525 Máximo [%] 2,466 2,707 3er Cuartil [%] 0,933 0,866 Mediana [%] 0,673 0,621 1er Cuartil [%] 0,487 0,427 Mínimo [%] 0,043 0,026 La simulación por Bandas Rotantes se implementa con mil líneas. Se generan mil realizaciones en el espacio Gaussiano para la población en azul. La vecindad de búsqueda corresponde a un elipsoide cuyos semi ejes son de 200x250x300 metros. El variograma corresponde al modelo de la etapa anterior. Se considera que la media teórica es conocida y vale cero en el espacio Gaussiano. Al igual que en el caso de estudio anterior, se desea revisar cuáles son las diferencias al considerar vecindades distintas (32 y 8 datos) y al compositar los sondajes a un soporte mayor. 72

78 En la siguiente lámina se muestra la validación realizada para distintas probabilidades entre 0 y 1. Se desprende de ésta que el modelo se acomoda bien a los datos, siendo algo pesimista en la determinación de las leyes, pero se encuentra absolutamente validado pues se ubica prácticamente en la diagonal. Igualmente que en el caso de estudio anterior, no se aprecian diferencias significativas al relajar el número de datos en la vecindad. Ilustración 4.30 Validación del modelo de incertidumbre para ambas vecindades a nivel puntual. Ilustración 4.31 Validación del modelo de incertidumbre para ambas vecindades y diferentes tamaños de compósitos. Al compositar las muestras y las simulaciones a soportes mayores, se observa que el modelo queda validado debido a que no hay mayores discrepancias entre los puntos y la 73

79 diagonal. Igualmente no se provocan mayores diferencias al disminuir el número de muestras necesarias para simular el valor (Ver ilustración anterior). En definitiva el modelo multigaussiano se ajusta bien, al menos localmente, al yacimiento de sulfuros de cobre. Si bien ha quedado demostrado la adecuación del modelo al yacimiento, se hace necesario demostrar cual es la robustez de esta prueba. Para esto se ha redefinido la población que permite estimar las otras muestras de la campaña de exploraciones. Esta población está compuesta por muestras de leyes bajas de cobre total y se encuentra ubicada entre las coordenadas cero y doscientos metros al este del origen, ver siguiente ilustración. Ilustración 4.32 Mapa de poblaciones definidas para validar el modelo de incertidumbre. Tabla 4.7 Estadísticas básicas de poblaciones. Verde Azul N de datos Media [%] 0,288 0,737 Desv. Est. [%] 0,156 0,343 Varianza [%] 2 0,024 0,117 C.V. [%] 0,549 0,465 Máximo [%] 0,999 2,707 3er Cuartil [%] 0,373 0,920 Mediana [%] 0,271 0,671 1er Cuartil [%] 0,169 0,493 Mínimo [%] 0,038 0,028 Al simular los datos en azul bajo las mismas características de implementación del algoritmo y del yacimiento, es decir, histograma y variograma de la población global, se observa en la siguiente ilustración que el modelo, todavía se ajusta bastante bien al yacimiento. 74

80 Ilustración 4.33 Validación del modelo de incertidumbre para ambas vecindades a nivel puntual, utilizando características globales del yacimiento. Al contrario, si se simulan tomando en cuenta las características propias de la población de bajas leyes, es decir, histograma y variograma (ver estudio exploratorio en Anexo IV), los resultados obtenidos muestran que el modelo no se ajusta a la realidad, quedando plasmado en la siguiente ilustración, debido a que los intervalos de probabilidad están sesgados y subdimensionados. En Anexo V se presentan los intervalos de probabilidad para las muestras y simulaciones compositadas a un soporte mayor, mostrando características similares a estas pruebas hechas a soportes puntuales. Ilustración 4.34 Validación del modelo de incertidumbre para ambas vecindades a nivel puntual, utilizando características locales de la zona de baja ley del yacimiento. El yacimiento de sulfuros de cobre ha permitido estudiar cuán robusto es el modelo de incertidumbre obtenido mediante simulaciones multigaussianas. En efecto, es posible observar la presencia de tendencias espaciales en las nubes direccionales y que la distribución de la 75

81 variable Gaussiana no posee el carácter bigaussiano para distancias menores a los cien metros. Pese a lo anterior, mediante el uso de intervalos de probabilidad, se ha validado el modelo de incertidumbre basado en el uso del modelo multigaussiano estacionario para este caso de estudio. Por otra parte, se utilizó una zona de bajas leyes para simular una zona de leyes altas y los resultados fueron satisfactorios, al usar el histograma y el variograma global, determinados con todas las muestras pertenecientes al dominio. En cambio, si se utiliza las características propias de la zona de bajas leyes (variograma e histograma) los valores simulados presentan un sesgo con respecto a los muestreados, de modo que el modelo de incertidumbre falla. En definitiva, el modelo de incertidumbre será robusto principalmente cuando el histograma sea bien modelado. El variograma también es una característica importante, porque cumplirá un rol fundamental en el sistema de kriging que condicionará los resultados. Finalmente, deben existir datos cercanos a las muestras simuladas para obtener buenos resultados. De cierto modo, estos imponen localmente sus propias características por sobre el modelo a priori. Bajo estas circunstancias, las otras características del modelo (estacionaridad y multigaussianidad) tienen un menor impacto en la calidad del modelo de incertidumbre local. 76

82 5 APLICACIÓN: PLANIFICACIÓN ESTRATÉGICA CON INCERTIDUMBRE EN LA LEY Las simulaciones condicionales son una herramienta eficaz para cuantificar riesgos. Por ejemplo, se puede ver cuál es el escenario simulado más favorable o el peor para tener una idea de la incertidumbre que se puede tener en la cantidad total de recursos. Por otro lado, la planificación minera es el proceso mediante el cual una porción del recurso mineral se valoriza en el mejor negocio productivo para el dueño que se alinea con los objetivos estratégicos de la compañía. Este negocio no sólo está sujeto a restricciones derivadas de los recursos minerales sino que también del mercado, recursos humanos, capital, tecnológicos, entorno social y medio ambiente. En el presente capítulo se realizará una planificación estratégica, basada en técnicas clásicas de estimación geoestadística (kriging) y de simulaciones. El objetivo es maximizar los beneficios de los accionistas a través de la maximización del valor presente neto. El inventario de recursos vendrá dado por algún método de estimación o simulación geoestadística y estará dado por las curvas de tonelaje ley del yacimiento. Por lo tanto, en la primera etapa se deberán valorizar los recursos (tonelaje y ley media), que se encuentran sobre una ley de corte, mediante una función de beneficio que plasma el método de explotación. El valor actual neto -VAN- del proyecto para una ley de corte (Lz) y un horizonte de tiempo de n años, se evaluará mediante la siguiente expresión: tpa n Lz VAN Ton = n n Lz = I Lz n Lz (tpa n Lz ) + n B n Lz 1 j ( 1 r) j= 1 + n = Donde Ton Lz corresponde a las toneladas de recursos para la ley de corte Lz, la inversión I será función del método de explotación y del ritmo de producción anual, r es la tasa de descuento (10%), B Lz es el beneficio asociado a los recursos que están por sobre la ley de corte z; el cual se repartirá en flujos equivalentes dependiendo del horizonte de tiempo evaluado. Con esto se obtiene el VAN en función del tiempo (Ver siguiente figura interior (2)). 77

83 Entonces, es posible determinar el VAN máximo para cada ley de corte y paralelamente el ritmo de producción asociado a dicho VAN, repitiéndose este análisis para varias leyes de corte (Ver siguiente figura, denotado por (2)). El procedimiento anterior permite obtener el VAN máximo para cada ley de corte y el ritmo de producción de mineral correspondiente, denotado por (3) y (4) en la siguiente figura respectivamente. (1) Ley de Corte 0,2 % Ley de Corte 0,4 % (2) Ley de Corte 0,6 % (3) (4) Ilustración 5.1 Proceso de obtención de valor presente neto y ritmos de producción para diferentes leyes de corte. Finalmente, si consideramos una serie de escenarios posibles se podría elegir una ley de corte que maximice el valor presente neto del proyecto y evaluar el riesgo asociado a la variabilidad de las leyes. Se aplicará esta metodología a cien simulaciones condicionales y a una estimación mediante kriging simple, para los yacimientos estudiados en el capítulo anterior. Las primeras se generarán utilizando el algoritmo de Bandas Rotantes implementado con mil líneas. El tamaño de la vecindad y el número de muestras máximas por octante será el mismo para las simulaciones y el kriging. 78

84 Para las simulaciones, los datos se transforman mediante la función de anamorfosis definida en el capítulo anterior para cada yacimiento, de tal forma que su distribución sea normal de media cero y varianza uno. Además, se utilizan los variogramas modelados en el capítulo anterior. Se utilizan las mismas características que permitieron validar el uso del algoritmo y la adecuación del modelo multigaussiano a los datos. Se supone una densidad homogénea, para ambos yacimientos, de 2,7 ton/m 3 supone una sola unidad geológica. y se 5.1 Yacimiento de óxidos de cobre El modelo de bloques evaluado contiene un volumen de 1500x2010x360 metros, equivalente a 2930 millones de toneladas. Los bloques tienen un tamaño de 30x30x30 metros discretizado en 5x5x3 nodos. La vecindad de búsqueda corresponde a un elipsoide cuyos semi ejes son de 350x350x75 metros y debe contener como máximo 4 muestras por octante. La generación de los cien escenarios toma cerca de cuatro días en un computador cuyo procesador es un Pentium 4 de 3.06 GHz. y una memoria RAM de 1GB. Si se desea refinar el análisis con un tamaño de bloque de 15x15x15 se requeriría de 16 días para la obtención de las cien realizaciones y esto es impracticable desde el punto de vista de este trabajo de título. En cambio, una compañía minera podría adquirir un computador de mejores características y obtener los resultados con rapidez y mayor detalle. El promedio de las simulaciones permite determinar el estimador óptimo, al minimizar la varianza del error cometido. Este resultado es comparable con una estimación mediante kriging simple. En la siguiente tabla se aprecian las estadísticas básicas de ambas estimaciones, donde el promedio de las simulaciones tiene valores más extremos, pero una varianza menor al kriging. Al comparar las distribuciones de ambas estimaciones se aprecian algunas diferencias menores, ver siguiente figura. 79

85 Ilustración 5.2 Gráfico cuantil contra cuantil de kriging y promedio de simulaciones. Tabla 5.1 Estadísticas básicas de kriging y promedio de simulaciones. Kriging Promedio Simulaciones N de datos Media [%] 0,204 0,211 Desv. Est. [%] 0,058 0,052 Varianza [%] 2 0,003 0,002 Máximo [%] 0,749 0,798 3er Cuartil [%] 0,233 0,231 Mediana [%] 0,195 0,210 1er Cuartil [%] 0,163 0,178 Mínimo [%] 0,065 0,049 En la siguiente ilustración se aprecian las curvas de tonelaje-ley obtenidas para cada una de las simulaciones y el promedio de dichas curvas (recursos esperados). Asimismo, se muestran la curva de tonelaje-ley del kriging simple y del promedio de las simulaciones. Se observa que la estimación mediante kriging simple y el promedio de las simulaciones suavizan las leyes del yacimiento. Los recursos estimados corresponden al promedio de los tonelajes y leyes medias por sobre una ley de corte. Ilustración 5.3 Curva tonelaje ley para leyes de cobre soluble. Kriging, Promedio de simulaciones, Simulaciones, Recursos esperados de simulaciones. La extracción de este yacimiento será evaluada como una mina a cielo abierto y considera una operación de lixiviación en pilas y una planta de extracción por solventes y electro-obtención. Este análisis se realiza conceptualmente y no pretende ser una estimación acertada de la realidad sino más bien mostrar el potencial de las simulaciones. Se supone que para extraer un bloque de mineral se debe extraer dos de estéril, lo cual podría ser mayor o 80

86 menor al optimizar esta operación con algún algoritmo; este estudio está fuera de los alcances de este trabajo. Además, la dilución de mineral será nula. La valorización de los bloques se lleva a cabo mediante la siguiente función de beneficio: B Lz { Lm RM ( P CS) ( 1+ em) CM CP} = Ton Lz Lz Lz Donde Ton Lz y Lm Lz son el tonelaje y ley media asociado a una ley de corte, RM es la recuperación metalúrgica, P es el precio, CS es el costo de ventas, em es la razón estéril mineral, CM es costo mina y CP es costo planta. Los valores para estos parámetros son: Tabla 5.2 Parámetros económicos. Item Valor Precio [US$/lb] 2,00 Costo ventas [US$/lb] 0,09 Recuperación metalúrgica [%] 83,00 Costo mina [US$/ton] 0,80 Costo planta [US$/ton] 3,50 Razón estéril mineral 2,00 El precio es bastante alto debido a que las leyes de este yacimiento han sido ponderadas por ciertos factores para resguardar los intereses de los dueños. La inversión de este proyecto estará dada por la siguiente expresión, considerando la inversión en planta y en mina. I US$ = tpd n Lz n tpalz 365 En la siguiente ilustración se muestran los resultados obtenidos al aplicar la metodología antes mencionada, a las cien realizaciones y a la estimación por kriging. Se desprende de la ilustración que la ley de corte que maximiza el valor del proyecto, en todos los escenarios, es 0,28%. Por otra parte, es posible observar que la curva de valoración mediante kriging es bastante conservadora con respecto a los posibles escenarios generados mediante simulaciones condicionales, no representando el real valor del proyecto debido a que existe una diferencia de 100 MMUS$ entre el peor caso de las simulaciones y el kriging. El valor esperado por las simulaciones es de 540 MMUS$ y varía entre 850 y 320 MMUS$ con una desviación estándar de 110 MUS$, para una ley de corte de 0,28%. Para la misma ley de corte el valor esperado mediante kriging es de apenas 200 MMUS$. 81

87 Ilustración 5.4 VAN (Izq.) y Ritmo de producción (Der.) versus Ley de Corte. Kriging, Promedio de simulaciones, Simulaciones, Recursos esperados de simulaciones, Simulación #60. En cuanto al ritmo de producción es posible observar que si el proyecto se llevara a operación basado en kriging, lo más probable es que se requerirán de expansiones en la mina y planta para poder capturar un valor más alto del proyecto. Para una ley de corte de 0,28%, el ritmo de producción de kriging es de 40 ktpd, mientras que los recursos esperados de simulaciones dan 75 ktpd y las simulaciones varían entre 110 y 50 ktpd con una desviación estándar de 13 ktpd. La siguiente ilustración muestra la disminución del valor potencial del negocio provocada por tomar una decisión basada en kriging y otra basada en cualquier realización, en particular la número 60. La construcción de esta lámina se realiza aplicando el ritmo de producción de kriging y de la realización #60 a todos los escenarios, mostrando que se pierden cerca de 400 MMUS$ con respecto al mejor caso cuando se aplica el plan de producción de kriging. En cambio cuando el ritmo de producción ha sido definido por una simulación condicional, la pérdida de valor del negocio es cercana a los 100 MMUS$. Esto se debe a que el mejor escenario se extrae en un horizonte de tiempo mayor al óptimo. 82

88 Ilustración 5.5 Ritmo de producción de kriging (Izq.) y de realización #60 (Der.). Kriging, Promedio de simulaciones, Simulaciones, Recursos esperados de simulaciones, Simulación # Yacimiento de sulfuros de cobre El modelo de bloques evaluado contiene un volumen de 705x705x720 metros, equivalente a 966 millones de toneladas. Los bloques tienen un tamaño de 15x15x15 metros discretizado en 3x3x3 nodos. La vecindad de búsqueda corresponde a un elipsoide cuyos semi ejes son de 200x250x300 metros y debe contener como máximo 4 muestras por octante. En la siguiente tabla se muestran las estadísticas básicas de la estimación por kriging y el promedio de las simulaciones; el primero tiene valores más extremos y mayor varianza que el promedio de las simulaciones. Pese a lo anterior, al comparar las distribuciones de los valores estimados mediante kriging y el promedio de las simulaciones se aprecian diferencias menores en las colas, ver siguiente ilustración. Ilustración 5.6 Gráfico cuantil contra cuantil de kriging y promedio de simulaciones. Tabla 5.3 Estadísticas básicas de kriging y promedio de simulaciones. Kriging Promedio Simulaciones N de datos Media [%] 0,558 0,572 Desv. Est. [%] 0,264 0,242 Varianza [%] 2 0,070 0,059 Máximo [%] 1,885 1,811 3er Cuartil [%] 0,711 0,704 Mediana [%] 0,538 0,550 1er Cuartil [%] 0,363 0,387 Mínimo [%] 0,067 0,071 83

89 En la siguiente figura se aprecian las curvas de tonelaje ley obtenidas para cada una de las simulaciones y el promedio de dichas curvas (recursos esperados). Asimismo, se muestra la curva de tonelaje ley del kriging y del promedio de las simulaciones. Se observa que la estimación mediante kriging y el promedio de las simulaciones suavizan las leyes del yacimiento, este último más fuertemente. Las curvas tonelaje ley de las simulaciones muestran la variabilidad de las leyes. Ilustración 5.7 Curva tonelaje ley para leyes de cobre total. Kriging, Promedio de simulaciones, Simulaciones, Recursos esperados de simulaciones. La explotación de este yacimiento será evaluada como una mina subterránea extraída por hundimiento por paneles produciendo a lo más 60 [ktpd] y considera una operación mediante una planta concentradora por flotación y venta de cátodos. Se supone que el método podrá seleccionar cada bloque del modelo sin dilución; los puntos de extracción tendrán un área de 250 m 2 (área) y una columna de 400 metros (HOD). La valorización de los bloques se lleva a cabo mediante la siguiente función de beneficio: B Lz { Lm RM ( P CRyF) CM CP} = Ton Lz Lz Lz Donde Ton Lz y Lm Lz son el tonelaje y ley media asociado a una ley de corte Lz, RM es la recuperación metalúrgica, P es el precio, CRyF es costo de refinación y fundición, CM es costo mina y CP es costo planta. Los valores para estos parámetros son: 84

90 Tabla 5.4 Parámetros económicos. Item Valor Precio [US$/lb] 1,0 Costo ventas [US$/lb] 0,3 Recuperación metalúrgica [%] 88,0 Costo mina [US$/ton] 3,5 Costo planta [US$/ton] 4,5 Costo por punto de extracción [US$/un] Si bien el precio está dentro de los presupuestados por muchas compañías mineras para los próximos años, las leyes del yacimiento han sido ponderadas por un factor para resguardo de los dueños. La infraestructura estimada de este proyecto estará determinada por las siguientes expresiones: Ndpt Bdpt Tdev Lz n Lz n Lz TonLz = ρ * HOD * área tpa = Ndpt = Bdpt Lz n Lz n Lz + 5,29 Lz,n Donde Ndpt es el número de puntos de extracción para un tonelaje dada una cierta ley de corte, ρ es la densidad, Bdpt es el número de puntos que se pueden construir en un año (Rubio y Diering, 2004) y Tdev es el tiempo que tomará el desarrollo de la mina completa. La inversión del proyecto estará dada por la siguiente expresión: Inversión _ min a n Lz Inversión _ planta n Lz Tdev = j= 1 n Lz Cdpt Bdpt j ( 1+ r) n Lz n US$ tpalz = tpd 365 Lz,n Donde Cdpt es el costo de construir un punto de extracción. En la siguiente ilustración se muestran los resultados obtenidos al aplicar la metodología antes mencionada a las cien realizaciones y a la estimación por kriging. Se desprende de los resultados que la ley de corte escogida para llevar a cabo este proyecto debería ser de 0,8%, 85

91 debido a que para este valor todos los escenarios maximizan el valor del proyecto. Al igual que el caso estudio anterior la estimación de kriging es una medida conservadora presentando una diferencia de 50 MMUS$ con el peor caso de las simulaciones. El valor esperado por las simulaciones es de 365 MMUS$ y varía entre 485 y 288 MMUS$ con una desviación estándar de 35 MUS$, para una ley de corte de 0,8%. Para la misma ley de corte el valor esperado mediante kriging es de 258 MMUS$. Con respecto a la producción de mineral se observa que la capacidad de la mina debe estar entre 55 y 60 mil toneladas por día hasta una ley de corte de 0,8%, debido a que todas las simulaciones fluctúan entre estos valores. La capacidad de producción estimada por kriging debería ser de 46 ktpd, en cambio la esperada por los recursos de las simulaciones es de 55 ktpd y las simulaciones varían entre 59 y 46 ktpd con una desviación estándar de 3 ktpd, para una ley de corte de 0,8%. Ilustración 5.8 VAN (Izq.) y Ritmo de producción (Der.) versus Ley de Corte. Kriging, Promedio de simulaciones, Simulaciones, Recursos esperados de simulaciones, Simulación #80. Al igual que en el caso de estudio anterior, la siguiente figura muestra la disminución del valor potencial del negocio provocada por producir al ritmo de producción de kriging o de una realización cualquiera, en particular la número 80. Al aplicar el primero sobre todas las realizaciones, se obtiene que el mejor caso reduce su valor en 30 MMUS$, en cambio cuando se emplea el ritmo de producción de la simulación #80 la pérdida de valor es de 5 MMUS$. 86

92 Ilustración 5.9 Ritmo de producción de kriging (Izq.) y de realización #80 (Der.). Kriging, Promedio de simulaciones, Simulaciones, Recursos esperados de simulaciones, Simulación #80. Por muchos años, la industria minera ha estado por debajo de los niveles de renta que otros sectores muestran. Existe un sinnúmero de razones para explicar la baja rentabilidad de proyectos mineros, pero cómo se logra considerar la incertidumbre proveniente de los precios, leyes y de la infraestructura minera. La metodología expuesta en este capítulo muestra que el valor se maximiza al determinar una ley de corte óptima y no al maximizar la capacidad de producción. En los casos presentados, la ley de corte óptima es invariante frente al método de estimación utilizado para cuantificar los recursos existentes en el yacimiento. Sin embargo, es necesario extender este estudio a la volatibilidad de los precios y costos, para definir una política de ley de corte tal que se minimicen las pérdidas y se maximicen las ganancias cuando se producen cambios en las variables anteriores. Muchas compañías mineras han vendido sus depósitos geológicos basados en un estudio conceptual de explotación, cuyo inventario de recursos ha sido estimado mediante kriging; y en ocasiones el comprador ha obtenido rentas de este yacimiento sin existir cambios en el mercado (precio). En cambio, si se aplicara esta misma metodología de evaluación, pero esta vez incorporando un modelo de incertidumbre en las leyes, se observaría que hay una proporción de escenarios cuya explotación generará un VAN mayor que cero, y si dicha probabilidad es mayor a un umbral, predefinido por la compañía, la opción de venta no se debería haber concretado. Cuál es la razón para que diversos proyectos mineros expandan sus capacidades de producción a los pocos años de iniciarse el proyecto? Por ejemplo, Escondida ha realizado siete expansiones durante catorce años de operación, y dos nuevas en curso; esta tendencia se observa en menor grado en proyectos como Collahuasi, Candelaria, Andina y Los Bronces. 87

93 Indudablemente la industria minera es una de las más conservadoras y en efecto muchas veces la inversión inicial de un proyecto está restringida por los accionistas. Por otra parte, el uso de modelos regresivos (estimadores en general), en la etapa de planificación, entrega una visión limitada del potencial económico que posee el yacimiento. La conjugación de ambos elementos dan respuesta a la pregunta inicial, pero Cómo considerar escenarios verosímiles que reproducen la variabilidad espacial en la etapa de planificación?. Los resultados obtenidos en ambos casos de estudio, muestran que sería posible predecir futuras expansiones utilizando simulaciones condicionales, considerando la misma cantidad de información utilizada al evaluar un proyecto estimado mediante kriging. Entonces, la elección del ritmo de producción para la ley de corte óptima (maximiza VAN) debería basarse en las simulaciones y no mediante kriging, de esta forma se ahorraría una expansión por falta de conocimiento del yacimiento. Una vez en operación este proyecto, se debe rehacer este análisis y observar cuál es el porcentaje de captura del VAN del mejor escenario, obtenido por simulaciones condicionales, bajo el actual esquema de explotación del yacimiento; la información recopilada durante los primeros años de explotación y otras campañas de exploraciones, permitirán construir modelos con valores actualizados. Si el indicador anterior está por debajo del umbral esperado la capacidad de la mina debe ser expandida; de esta forma el proyecto aumenta su valor y consecuentemente las rentas para los inversionistas. En definitiva, la estimación mediante kriging permite valorar el negocio desde un punto de vista conservador, debido a que éste suaviza las leyes y no muestra la variabilidad real de las leyes del yacimiento (Olea 1996, Journel 2000). Por otra parte, la planificación y diseño minero son procesos que requiere de un cierto grado de detalle, dependiendo de la etapa de evaluación del proyecto. Es difícil concebir la determinación de un plan de producción para los cien escenarios generados mediante simulaciones condicionales, porque requeriría de gran cantidad de recursos y tiempo que no siempre están disponibles. Se podrían evaluar y diseñar cuatro escenarios, tres simulados (optimista, medio y pesimista) y uno estimado por kriging, logrando identificar cuál es la infraestructura y accesos comunes para explotar este yacimiento. Esto permitiría aumentar la flexibilidad operacional del plan minero, y consecuentemente aumentar el valor económico del proyecto al capturar una mayor porción del VAN del mejor escenario, obtenido por simulaciones condicionales. La elección de los tres escenarios se podría hacer a partir de la cantidad de finos, variabilidad de leyes y VAN por sobre una ley de corte; la primera métrica no tiene relación con un proyecto 88

94 sustentable en el tiempo y la segunda permitiría obtener una envolvente económica más suave al minimizar la varianza. En cambio, la última soporta un plan de producción conceptual que permite elegir con una visión de negocio los escenarios a evaluar. La evolución del conocimiento, ha incorporado nuevas técnicas que permiten complementar la evaluación de yacimientos y por ende de proyectos mineros. Tradicionalmente las decisiones estratégicas han sido tomadas en base a modelos de estimación regresivos, debido a la inexistencia de un modelo de incertidumbre. Dichas decisiones no son cuestionables, pues fueron tomadas en base a las herramientas existentes en esos periodos; pero hoy es necesario incorporar estos modelos de incertidumbre ya que no sólo agregan información del yacimiento sino que también valor. 89

95 6 CONCLUSIONES La evaluación de proyectos mineros requiere incorporar la incertidumbre de mercados, de leyes y de la infraestructura utilizada. Es así como se han elaborado técnicas de simulación geoestadística que permiten generar escenarios plausibles que reproducen la variabilidad de las leyes en un yacimiento. La pertinencia de éstas debe ser validada mediante el uso de pruebas estadísticas. El número de realizaciones puede ser elegido según el grado de similitud entre el modelo teórico del variograma y el promedio de los variogramas simulados. La reproducción será de mejor calidad cuando las dimensiones del dominio son mayores que el alcance del variograma (al menos cuatro veces). Si el modelo variográfico es muy suave en el origen será necesario generar más realizaciones; por el contrario cuando existe una micro-estructura o cuando el variograma es muy pepítico el número de realizaciones requerido disminuye. En definitiva dado un variograma modelado y un dominio a simular, es posible determinar el número de realizaciones necesarias para que el promedio de los variogramas simulados tengan fluctuaciones menores que un nivel pre-establecido en torno al variograma modelado. La implementación de los algoritmos para simular campos multigaussianos requiere de ciertas simplificaciones o aproximaciones. Al utilizar una vecindad móvil pequeña (20 datos (nodos)) en el método Secuencial Gaussiano, el alcance del promedio de los variogramas simulados es mayor al modelo teórico. En cambio, el algoritmo de Bandas Rotantes logra una excelente reproducción del modelo sin importar el número de líneas (100 ó 1000). Con una implementación exigente (100 datos (nodos) en la vecindad móvil para el algoritmo secuencial y 1000 líneas para el algoritmo de Bandas Rotantes) ambos algoritmos reproducen las estadísticas estudiadas (variograma, madograma, rodograma y variograma del indicador de la mediana). Es difícil establecer ventajas comparativas en el estudio de sensibilidad pues no se observan mayores diferencias que las expuestas en el párrafo anterior. Si bien es posible validar las simulaciones no condicionales mediante variogramas, pues se espera que reproduzcan la correlación espacial de la variable real, al utilizar la misma técnica con simulaciones condicionales se aprecian algunas diferencias con respecto al modelo teórico. La razón se debe a que el variograma condicional esperado no sólo se compone del modelo a 90

96 priori sino que también de factores provenientes de los datos condicionantes, pudiendo alterar el variograma simulado (a posteriori) con respecto al modelo a priori. El uso de intervalos de probabilidad, en ejercicios de jack-knife, permite chequear la validez del algoritmo para generar realizaciones y la adecuación del modelo a un conjunto de datos (considerando la estructuración espacial); debido a que para un intervalo de probabilidad dado se espera encontrar una proporción similar de datos en ese intervalo. En los casos de estudio analizados, no se aprecian grandes diferencias al aumentar el número de datos a validar condicionantes en la vecindad de búsqueda ni al cambiar el soporte de los datos (largo de los compósitos). En cambio, si el histograma estuviese mal modelado, las pruebas dan cuenta de forma inmediata de la deficiencia del modelo, por lo cual se torna muy relevante la modelación de la distribución univariable de los datos. Los inventarios de recursos obtenidos con simulaciones geoestadísticas en ambos casos de estudio, indicarían que la evaluación de un proyecto minero mediante kriging entrega un valor económico conservador, no mostrando el real valor potencial del yacimiento. Esto debido a que el kriging no reproduce la variabilidad de las leyes y no se adecua a la realidad del yacimiento. Las decisiones de largo plazo basadas en técnicas de estimación (kriging) no sólo inducen a subestimar el valor potencial del yacimiento, sino que también rigidizan el plan de producción. El uso de algunos escenarios, obtenidos mediante simulaciones condicionales, en la etapa de diseño permitiría identificar infraestructura común, aumentando la flexibilidad del plan minero y consecuentemente la capacidad para incrementar el valor del negocio cuando se presentan escenarios más favorables. 91

97 7 BIBLIOGRAFÍA [1] Chilès JP., Delfiner P., Geostatistics: modeling spatial uncertainty. Wiley,New York, 695 p. [2] Davis MW., 1987, Product ion of condit ional simulat ions via the LU triangular decomposit ion of the covariance mat rix: Math. Geology (2), p [3] Deraisme J., 1984, Recent and future developments of Downstream geostatistics, In: Geostatistics for Natural Resources Characterization, Reidel, vol. 2, p [4] De Laco S., Palma M., 2002, Convergence of realization-based statistics to model-based statistics for the LU unconditional simulation algorithm: some numerical tests, Stoch Envir Res and Risk 16, p [5] Deutch C., Journel A., 1998, Geostatistical Software library and User s Guide, 2 nd edn. Oxford University Press, New York, p [6] Emery X., 2000, Geoestadística lineal, Departamento Ing. Civil de Minas, Universidad de Chile, Santiago, 2000, 411p. [7] Emery X., 2004, Testing the correctness of the sequential algorithm for simulating Gaussian random fields, Stoch Envir Res and Risk 18, p [8] Emery X., Cabañas A., 2004, Forecasting copper prices in the short and medium terms using geostatistics, CIM Bulletin 97 (1082), 8p. [9] Emery X., 2005, Variograms of order w: a tool to validate a bivariate distribution model: Math. Geology (2), p [10] Emery X., Lantuéjoul C., 2006, TBSIM: A computer program for conditional simulation of three-dimensional Gaussian random fields via the turning bands method, Computer & Geosciences, 32 (10), p [11] Gandin L., 1963, Objective analysis of meteorological fields, Gidrometeorologicheskoe Izdatukstvo, Leningrad, p [12] Gómez-Hernández J., Cassiraga E., 1994, Theory and practice of sequential simulations, In: M. Armstrong and P.A. Dowd (eds.), Geostatistical Simulation, Kluwer, p [13] Goovaerts P., 1997, Geostatistics for natural resources evaluation, Oxford University press, New York, 480p. 92

98 [14] Goovaerts P., 1999, Impact of the simulation algorithm, magnitude of ergodic fluctuations and number of realizations on the spaces of uncertainty of flow properties, Stoch Envir Res and Risk 13, p [15] Goovaerts P., 2000, Estimation or simulation of soil properties? An optimization problem with, Geoderma 97 (3-4), p [16] Hall B., 2003, How mining companies improve share price by destroying shareholder value, CIM mining conference and exhibition, Montreal 2003, paper [17] Hu L., Le Ravalec-Dupin M., 2005, On some controversial issues of geostatistical simulation, Geostatistics Banff 2004, Springer, p [18] Isaaks EH., Srivastava RM., 1989, An introduction to applied geostatistics. Oxford University Press, New York, 561 pp. [19] Journel AG., 1974, Geostatistics for conditional simulation of orebodies: Economic Geology, p [20] Journel AG, Kyriakidis PC., Mao S., 2000, Correcting the smoothing effect of estimators: A spectral postprocessor, Mathematical Geology 32, p [21] Lantuéjoul C., 1994, Non conditional simulation of stationary isotropic multigaussian random functions, In: M. Armstrong and P.A. Dowd (eds.), Geostatistical Simulation, Kluwer, p [22] Lantuéjoul C., 2002, Geostatistical simulation, models and algoritms, Springer, Berlin, 256 pp. [23] Leuangthong O., McLennan J., Deutsch C., 2004, Minimum acceptance criteria for geostatistical realizations, Natural Resources Research 13 (3), p [24] Matheron G., 1973, The intrinsic random functions and their applications: Advances in Applied Probability, p [25] Matheron G., 1989, Estimating and chosing: an essay on probability in practice. Springer, Berlin, p.78. [26] Olea Ra., Pawlowsky V., 1996, Compensating for estimation smoothing in kriging, Mathematical Geology 28, p [27] Shinozuka M, Jan CM (1972) Digital simulation of random processes and its applications: Journal of Sounds and Vibrat ions (1), p

99 [28] Rubio E., Diering T., Block cave production planning using operation research tools, Massmin 2004, p [29] Tran T., 1994, Improving variogram reproduction on dense simulations grid, Computers & Geosciences 20 ( 7/8), p

100 8 ANEXOS 8.1 Anexos I: Variogramas de análisis de sensibilidad Dominio Ilustración 8.1 Madograma, rodograma y variograma del indicador de la mediana, obtenidos mediante el método Secuencial Gaussiano para diferentes dominios. Variograma teórico, Variogramas simulados, Promedio de variogramas simulados. 95

101 Ilustración 8.2 Madograma, rodograma y variograma del indicador de la mediana, obtenidos mediante el método de Bandas Rotantes para diferentes dominios. Variograma teórico, Variogramas simulados, Promedio de variogramas simulados. 96

102 8.1.2 Alcance Ilustración 8.3Madograma, rodograma y variograma del indicador de la mediana, obtenidos mediante el método Secuencial Gaussiano para diferentes alcances. Variograma teórico, Variogramas simulados, Promedio de variogramas simulados. 97

103 Ilustración 8.4 Madograma, rodograma y variograma del indicador de la mediana, obtenidos mediante el método de Bandas Rotantes para diferentes alcances. Variograma teórico, Variogramas simulados, Promedio de variogramas simulados. 98

104 8.1.3 Modelos variográficos Ilustración 8.5 Madograma, rodograma y variograma del indicador de la mediana, obtenidos mediante el método Secuencial Gaussiano para diferentes modelos variográficos. Variograma teórico, Variogramas simulados, Promedio de variogramas simulados. 99

105 Ilustración 8.6 Madograma, rodograma y variograma del indicador de la mediana, obtenidos mediante el método de Bandas Rotantes para diferentes modelos variográficos. Variograma teórico, Variogramas simulados, Promedio de variogramas simulados. 100

106 8.1.4 Efecto pepa Ilustración 8.7 Madograma, rodograma y variograma del indicador de la mediana, obtenidos mediante el método Secuencial Gaussiano para diferentes efectos pepas. Variograma teórico, Variogramas simulados, Promedio de variogramas simulados. 101

107 Ilustración 8.8 Madograma, rodograma y variograma del indicador de la mediana, obtenidos mediante el método de Bandas Rotantes para diferentes efectos pepas. Variograma teórico, Variogramas simulados, Promedio de variogramas simulados. 102

108 8.2 Anexos II: Variogramas de cambio de soporte Ilustración 8.9 Madograma, rodograma y variograma del indicador de la mediana, obtenidos mediante ambos algoritmos para diferentes soportes. Variograma teórico, Variogramas simulados, Promedio de variogramas simulados. 103

109 8.3 Anexos III: Variogramas de anisotropías Ilustración 8.10 Madograma, rodograma y variograma del indicador de la mediana, obtenidos mediante ambos algoritmos para diferentes anisotropías, geométrica (Izq.) y zonal (Der.). Variograma teórico, Variogramas simulados dirección Este, Promedio de variogramas simulados dirección Este. 104

110 Ilustración 8.11 Madograma, rodograma y variograma del indicador de la mediana, obtenidos mediante ambos algoritmos para diferentes anisotropías, geométrica (Izq.) y zonal (Der.). Variograma teórico, Variogramas simulados dirección Norte, Promedio de variogramas simulados dirección Norte. 105

111 Nº datos 100 Máximo Media Mínimo Std. Dev Varianza C VV Intervalo de Probabilidad ± Nº datos 100 Máximo Media Mínimo Std. Dev Varianza C VV Intervalo de Probabilidad ± Nº datos 100 Máximo Media Mínimo Std. Dev Varianza C VV Intervalo de Probabilidad ± Nº datos 100 Máximo Media Mínimo Std. Dev Varianza C VV Intervalo de Probabilidad ± Ilustración 8.12 Histograma de las medias de las realizaciones para diferentes anisotropías, geométrica (arriba), zonal (abajo). 106

112 8.4 Anexos IV: Estudio exploratorio zona de baja ley en yacimiento de sulfuros de cobre Se determinó el histograma de la población de baja ley en la zona comprendida entre 0 y 200 metros al Este. Ilustración 8.13 Histograma de cobre total. El histograma anterior se desagrupó mediante el método de las celdas, escogiéndose una celda de 30x30x30 metros para obtener los pesos de las muestras. La ley media disminuyó de 0,288 % a 0,279 % de CuT. Ilustración 8.14 Influencia del tamaño de celda sobre la media (Izq.) e Histograma desagrupado (Der.). 107

113 Ilustración 8.15 Nubes direccionales de cobre total. Este (Izq.), Norte (Centro) y Cota (Der.). Regresiones experimentales. Se modeló el variograma de la variable real para las tres direcciones, quedando plasmado en la siguiente expresión: γ ( h,h,h ) x y z = 0, ,007esf(70m,60m,40m) + 0,010esf(150m,300m,600m) + 0,005esf(300m,600m, ) Ilustración 8.16 Variograma experimental y modelado. Este, Norte, Vertical. El uso de simulaciones requiere de una transformación de los datos reales a Gaussianos. Esto se realizó utilizando la siguiente función de anamorfosis. 108

114 Ilustración 8.17 Anamorfosis Gaussiana. Se debe comprobar el carácter bigaussiano de los datos transformados. Para ello se muestra las nubes de correlación diferida para una distancia pequeña y grande, comprobando que tienen forma de seudo elipses concéntricas. Otra prueba para verificar la hipótesis de bigaussianidad es determinar la razón entre la raíz del variograma y el madograma, la cual debería fluctuar en torno a raíz de pi, equivalente a 1,77. Ilustración 8.18 Nubes de correlación diferida para distancia pequeña (Izq.) y grande (Der.) 109

115 Ilustración 8.19 Comparación de variograma con madograma. En la siguiente ilustración se muestra el variograma de los valores Gaussianos, requerido para realizar las simulaciones. γ ( h,h,h ) = 0,1 0,9 exp(130m,200m,400m) x y z + Ilustración 8.20 Variograma experimental y modelado de la variable Gaussiana. Este, Norte, Vertical. 110