UNIVERSIDAD DE CHILE FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS DEPARTAMENTO DE INGENIERIA DE MINAS

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1 UNIVERSIDAD DE CHILE FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS DEPARTAMENTO DE INGENIERIA DE MINAS PREDICCIÓN MULTIVARIABLE DE RECURSOS RECUPERABLES MEMORIA PARA OPTAR AL TÍTULO DE INGENIERO CIVIL DE MINAS ENRIQUE SEBASTIÁN CABALLERO AGUIRRE PROFESOR GUÍA: XAVIER EMERY MIEMBROS DE LA COMISIÓN JULIÁN ORTIZ CABRERA MARIO SOLARI MARTINI SANTIAGO DE CHILE ABRIL 2012

2 RESUMEN La evaluación de recursos minerales es esencial para el diseño y la planificación minera, dado que cuantifica la distribución de elementos de interés, subproductos y contaminantes dentro de un depósito minero. Tradicionalmente, los modelos de recursos se elaboran mediante ponderación del inverso de la distancia o kriging, considerando una variable a la vez e ignorando las correlaciones espaciales entre las especies minerales. Métodos de estimación multivariable, como el cokriging, siguen siendo poco utilizados en la práctica, debido principalmente a la dificultad de ajuste de un modelo variográfico. Este trabajo aborda el problema de la predicción multivariable de recursos recuperables en depósitos mineros. Con este objetivo, un modelo geoestadístico (el modelo Gaussiano discreto) es utilizado para cosimular las leyes de bloques y así determinar sus distribuciones locales conjuntas, considerando además el caso en que las leyes medias son desconocidas. De las distribuciones locales obtenidas, es posible calcular, para cada bloque (unidad de selectividad minera), el valor esperado de cualquier función de las leyes y evaluar los recursos que pueden ser recuperados por sobre leyes de corte dadas. La metodología es aplicada a un caso de estudio que consiste en datos de producción (pozos de tronadura) de un depósito de lateritas niquelíferas. Las variables de interés corresponden a leyes de níquel, fierro, cromo, alúmina y sílice. Se demuestra que el modelo Gaussiano discreto permite estimar el beneficio esperado de unidad de selectividad minera y su mejor destino (planta de procesamiento o botadero). Estas estimaciones dependen de la probabilidad de superar leyes de corte dadas y de la razón entre las leyes de sílice y magnesio, la cual juega un papel importante en el procesamiento metalúrgico para obtener ferroníquel. Los resultados de esta metodología son comparados con una estimación tradicional mediante cokriging ordinario, arrojando un 24.6% de bloques clasificados de forma diferente (entre estéril y mineral) y una discrepancia de un 22.5% en la relación estéril/mineral estimada y de 8.2 [MUS$] en el beneficio estimado para el caso de estudio. Estas discrepancias se explican por la propiedad de suavizamiento del cokriging, que no reproduce la variabilidad espacial de las leyes y produce sesgos en la estimación de variables no aditivas. En cambio, la metodología propuesta entrega resultados teóricamente insesgados y permite el análisis de escenarios y el cálculo de la respuesta más probable, en particular cuando hay involucradas variables no aditivas. i

3 ABSTRACT The evaluation of mineral resources is essential for mine design and mine planning, as it allows quantifying the distribution of elements of interest, by-products and contaminants within an ore deposit. Traditionally, the resources models are elaborated by inverse distance weighting or kriging, considering one variable at a time and ignoring the spatial correlations between elements. Multivariate estimation methods, such as cokriging, are still scarcely put in practice, mainly due to the difficulty in fitting a coregionalization model. This paper addresses the problem of the multivariate prediction of recoverable resources in an ore deposit. To this end, a geostatistical model (the discrete Gaussian model) is used in order to cosimulate the block grades and to determine their local joint distributions, considering the case of unknown mean grades. From the local grade distributions so obtained, it is possible to calculate, for each selective mining unit, the expected value of any function of the grades and to assess the resources that can be recovered above given cut-off grades. The methodology is applied to a case study consisting of a lateritic nickel deposit recognized by production data (drill holes). The variables of interest are the nickel, iron, chrome, alumina, magnesium and silica grades. It is shown that the multivariate discrete Gaussian model allows estimating the expected profit of each selective mining unit and its best destination (processing plant or dump). These estimations depend on the probabilities that the grades exceed given cut-offs and on the ratio between silica and magnesium grades, that plays an important role in the metallurgical processing of ferronickel. Results of this methodology are compared with ordinary cokriging estimation, yielding a 24.6% blocks classified differently (between ore and waste), a discrepancy of 22.5% in the estimated strip ratio and 8.2 [MUS$] in the estimated profit, for the case study. These discrepancies are explained by the smoothing property of cokriging, which does not reproduce the spatial variability of the variables and leads to biases in the estimation of non-additive variables. In contrast, the proposed methodology delivers theoretically unbiased results and allows the analysis of scenarios and the calculation of the most probable response, particularly when non-additive variables are involved. ii

4 AGRADECIMIENTOS En primer lugar quisiera agradecer a mi familia por el apoyo de todos estos años, los valores entregados y la educación que siempre han sido muy importantes para mí. En especial a mis padres, Teresa y Nelson, quienes admiro mucho por la fuerza y valentía con que se toman cada día. A mi hermana, Paloma, quien me ha aconsejado mucho durante mi vida. Y a mí polola Stephanie, quien ha sido un gran pilar durante estos últimos 16 meses. A los amigos de toda la vida, con los que nos hemos sabido mantener en contacto aun cuando hayamos tomado rumbos diferentes en la vida. En especial a Andrés y Sebastián, con los que se ha mantenido la amistad por muchos años. A los amigos de la universidad, los que han hecho que este periodo académico sea muy entretenido y fraterno, en especial a los mineros y los integrantes del centro de alumnos de ingeniería de minas de los años 2010 y 2011, con quienes compartí, trabajé y pase gratos momentos. Espero que sigamos siendo amigos por mucho tiempo más. A los profesores de la comisión, en especial al profesor Emery por tener siempre una buena disposición a responder dudas, tener mucha paciencia con el alumnado y ser muy pedagógico y preocupado en sus enseñanzas. A Innova Corfo Chile por el proyecto Innova-Corfo 09CN , con el que se financió este trabajo de memoria y al laboratorio ALGES. Finalmente se agradece a Codelco por patrocinar la Cátedra de Evaluación de Yacimientos. A todos ustedes muchas gracias. iii

5 ÍNDICE RESUMEN... i ABSTRACT... ii AGRADECIMIENTOS... iii ÍNDICE... iv ÍNDICE DE FIGURAS... vi ÍNDICE DE TABLAS... viii ÍNDICE DE ECUACIONES... ix 1. INTRODUCCIÓN Motivación del trabajo Objetivos Objetivo General Objetivos Específicos Alcances ANTECEDENTES Antecedentes generales Estudio Exploratorio de Datos Análisis Variográfico Variograma Modelado Multivariable Noción de Soporte Aditividad Métodos de Estimación Local Métodos de Estimación Multivariable Cokriging Simple Cokriging Ordinario Propiedades del Cokriging Simulaciones Modelos de incertidumbre en soporte puntual Modelo Multigaussiano Kriging Multigaussiano Algoritmos de Simulación Modelos con cambio de soporte Modelo Gaussiano discreto para estimación global Modelo Gaussiano discreto para la estimación local...24 iv

6 3. METODOLOGÍA Modelos intermedios Modelo 1: Modelo de estimación puntual con medias conocidas Modelo 2: Modelo de estimación puntual con medias desconocidas Modelo 3: Modelo de estimación de bloques con medias conocidas Modelo Objetivo: Modelo de estimación de bloques con medias desconocidas CASO DE ESTUDIO: DEPÓSITO DE LATERITAS NIQUELÍFERAS Estudio exploratorio Transformación Gaussiana de los datos Análisis variográfico de las variables Gaussianas Variograma Experimental Variograma Modelado RESULTADOS Validación de los modelos Validación de distribuciones Validación Cruzada Validación adicional del Modelo Objetivo Cálculo de recursos recuperables Comparación de resultados del modelo objetivo con una estimación tradicional CONCLUSIONES REFERENCIAS ANEXOS Anexo 1: Estudio Exploratorio Mapas de distribución de las leyes originales Análisis de la zona seleccionada Verificación de la bigaussianidad Búsqueda de las direcciones de anisotropía Anexo 2: Resultados de los modelos Histogramas de las realizaciones Estadísticas y boxplots de las realizaciones del modelo Anexo 3: Resultados de un modelo tradicional Anexo 4: Definición de bloques y función de beneficio Anexo 5: Determinación de coeficientes de cambio de soporte...98 v

7 ÍNDICE DE FIGURAS Figura 1: Algunas herramientas de análisis exploratorio (mapa de distribución espacial, histograma y nube de correlación)... 5 Figura 2: Ejemplo de variograma experimental... 7 Figura 3: Modelos elementales para construir variograma modelado... 8 Figura 4: Determinación de función de transformación (anamorfosis) Figura 5: Tipos de algoritmos de simulación Figura 6: Esquema explicativo de hipótesis de modelo Gaussiano discreto Figura 7: Determinación de coeficiente de cambio de soporte Figura 8: Esquema de etapas comunes a los cuatro modelos Figura 9: Esquema de la metodología aplicada (modelo 1) Figura 10: Esquema de la metodología aplicada (modelo 2) Figura 11: Esquema de la metodología aplicada (modelo 3) Figura 12: Esquema de la metodología aplicada (modelo objetivo) Figura 13: Ubicación y vista aérea de la mina Cerro Matoso Figura 14: Perfil generalizado de un depósito de lateritas niquelíferas Figura 15: Representación esquemática de perfiles presentes en Cerro Matoso Figura 16: Acumulación de elementos por litología (sectores mina Cerro Matoso) Figura 17: Configuración de bancos y bloques en mina Cerro Matoso Figura 18: Proyecciones en planta y perfiles de los puntos muestreados (ley de aluminio) Figura 19: Histogramas de leyes de alumino, hierro, magnesio, níquel, cromo y sílice Figura 20: Gráficos de dispersión entre leyes Figura 21: Histogramas y gráficos de dispersión mostrando la existencia de más de una UG Figura 22: Mapas de distribución de datos (perfil Y-Z, leyes de magnesio y sílice) Figura 23: Selección de una unidad geológica Figura 24: Histogramas y gráficos de dispersión de la unidad geológica seleccionada Figura 25: Histogramas de las variables Gaussianas Figura 26: Boxplot de las transformadas Gaussianas Figura 27: Mapas variográficos Gaussiana de magnesio (coordenadas rotadas) Figura 28: Dirección de cálculo de variogramas experimentales Figura 29: Variogramas experimentales de las 6 variables Gaussianas Figura 30: Modelo de corregionalización Figura 31: Realizaciones ley de níquel (modelo 1) Figura 32: Realizaciones ley de níquel (modelo 2) Figura 33: Realizaciones ley de níquel (modelo 3) Figura 34: Realizaciones ley de níquel (modelo 4) Figura 35: Ilustración del concepto de distribución de Probabilidad en cada bloque Figura 36: Mapas estadísticos ley de níquel (modelo 1) Figura 37: Mapa de varianza en cada bloque ley de níquel (modelo 1) Figura 38: Mapas estadísticos ley de níquel (modelo 2) Figura 39: Mapa de varianza en cada bloque ley de níquel (modelo 2) Figura 40: Mapa de varianza en cada bloque ley de níquel (modelo 3) Figura 41: Mapas estadísticos ley de níquel (modelo 3) vi

8 Figura 42: Mapas estadísticos ley de níquel (modelo 4) Figura 43: Mapa de varianza en cada bloque ley de níquel (modelo 4) Figura 44: Gráficos cuantil contra cuantil de los resultados de los modelos (abscisa) versus muestras (ordenada) Figura 45: Gráficos de dispersión de variable estimada y variable real (modelo 2) Figura 46: Histogramas errores estandarizados (Gaussianas de magnesio y sílice), modelo Figura 47: Gráfico de dispersión variable estimada versus error estandarizado (Gaussiana de magnesio), modelo Figura 48: Gráfico de dispersión variable estimada versus error estandarizado (Gaussiana de sílice), modelo Figura 49: Gráficos de dispersión entre variable real y estimada e histogramas de errores estandarizados (modelo 1) Figura 50: Gráficos de dispersión error estandarizado versus Gaussiana estimada (magnesio), modelo Figura 51: Gráficos de dispersión error estandarizado versus Gaussiana estimada (sílice), modelo Figura 52: Mapa de probabilidad de superar una ley de corte de níquel Figura 53: Esquema de definición de destino y evaluación de beneficio de cada bloque Figura 54: Mapas de destino de bloques para 3 realizaciones Figura 55: Comparación de destino de bloques (modelo objetivo versus estimación tradicional) 66 Figura 56: Comparación de beneficio estimado (modelo objetivo versus estimación tradicional)66 Figura 57: Curvas tonelaje-ley (realizaciones modelo objetivo y promedio de realizaciones versus estimación tradicional) Figura 58: Histograma y boxplot del beneficio (modelo objetivo) Figura 59: Proyecciones en el perfil YZ de las variables originales Figura 60: Histogramas de las variables (zona seleccionada) Figura 61: Gráficos de dispersión entre variables (zona seleccionada) Figura 62: Gráfico de dispersión entre variables Gaussianas Figura 63: Histogramas de las variables Gaussianas Figura 64: Nubes de dispersión diferida (arriba h=7 [m], abajo h=30 [m]) Figura 65: Raíz de variograma dividido por madograma - Gaussianas magnesio (izquierda) y sílice (derecha) Figura 66: Raíz de variograma dividido por madograma - análisis direccional (Gaussianas magnesio y sílice) Figura 67: Variogramas experimentales Gaussianas (varias direcciones) Figura 68: Variogramas experimentales directos variables Gaussianas Figura 69: Razón sílice-magnesio en Cerro Matoso Figura 70: Diagrama de flujos del proceso de cerro matoso Figura 71: Gráfico de recuperación de níquel en función de la ley de alimentación vii

9 ÍNDICE DE TABLAS Tabla 1: Estadísticas básicas de las variables en estudio Tabla 2: Estadísticas de leyes y razón sílice/magnesio (unidad geológica seleccionada) Tabla 3: Matriz de coeficientes de correlación Tabla 4: Estadísticas de las transformadas Gaussianas Tabla 5: Parámetros de cálculo, variograma experimental (con respecto al sistema rotado) Tabla 6: Comparación histogramas de los 4 modelos con histograma de muestras (ley de níquel) Tabla 7: Resultados de la validación (modelo 2) Tabla 8: Resultados de la validación (modelo 1) Tabla 9: Nubes direccionales (muestras versus modelo 4) Tabla 10: Gráficos de dispersión (muestras versus modelo 4) Tabla 11: Estadísticas de Leyes y Razón Si/Mg (Unidad Geológica Seleccionada) Tabla 12: Matriz de coefcientes de correlación (zona seleccionada) Tabla 13: Estadísticas de las transformadas Gaussianas Tabla 14: Histograma realizaciones y muestras (ley de aluminio) Tabla 15: Histograma realizaciones y muestras (ley de cromo) Tabla 16: Histograma realizaciones y muestras (ley de hierro) Tabla 17: Histograma realizaciones y muestras (ley de magnesio) Tabla 18: Histograma realizaciones y muestras (ley de níquel) Tabla 19: Histograma realizaciones y muestras (ley de sílice) Tabla 20: Histograma realizaciones y muestras (razón sílice-magnesio) Tabla 21: Estadísticas de algunas de las realizaciones para Aluminio Tabla 22: Estadísticas de algunas de las realizaciones para Cromo Tabla 23: Estadísticas de algunas de las realizaciones para Fierro Tabla 24: Estadísticas de algunas de las realizaciones para Magnesio Tabla 25: Estidísticas de algunas de las realizaciones para níquel Tabla 26: Estadísticas de algunas de las realizaciones para sílice Tabla 27: Comparación estadísticas de algunas de las realizaciones para níquel Tabla 28: Comparación estadísticas de algunas de las realizaciones para magnesio Tabla 29: Boxplot realizaciones modelo 4 (1) Tabla 30: Boxplot realizaciones modelo 4 (2) Tabla 31: Estadísticas estimación tradicional Tabla 32: Comparación histogramas estimación tradicional (verde) muestras (amarillo) (1) Tabla 33: Comparación histogramas estimación tradicional (verde) muestras (amarillo) (2) Tabla 34: Parámetros técnico-económicos extraidos de publicaciones Tabla 35: Parámetros técnico-económicos estimados Tabla 36: Coeficientes de cambio de soporte viii

10 ÍNDICE DE ECUACIONES Ecuación 1: Función de distribución de una variable aleatoria... 4 Ecuación 2: Densidad de probabilidad de una variable aleatoria... 4 Ecuación 3: Variograma teórico univariable... 6 Ecuación 4: Variograma experimental univariable (estimador tradicional del variograma)... 6 Ecuación 5: Variograma cruzado teórico... 6 Ecuación 6: Estimador del variograma cruzado... 6 Ecuación 7: Modelo lineal de corregionalización (forma lineal)... 9 Ecuación 8: Modelo lineal de corregionalización (forma matricial)... 9 Ecuación 9: Cokriging simple Ecuación 10: Definición del vector a (cokriging simple) Ecuación 11: Matriz de varianza-covarianza de los errores de cokriging simple Ecuación 12: Sistema de ecuaciones para obtener Ponderadores (cokriging simple) Ecuación 13: Cokriging ordinario Ecuación 14: Matriz de varianza-covarianza de los errores de cokriging ordinario Ecuación 15: Sistema de ecuaciones para obtener ponderadores y multiplicadores de Lagrange (cokriging ordinario) Ecuación 16: Densidad de probabilidad multigaussiana Ecuación 17: Kriging simple de y(x) Ecuación 18: Valor regularizado sobre un bloque (Z(v)) Ecuación 19: Función de anamorfosis puntual Ecuación 20: Función de anamorfosis de bloques Ecuación 21: Función de anamorfosis puntual (desarrollado en polinomios de Hermite) Ecuación 22: Función de anamorfosis de bloques (desarrollado en polinomios de Hermite) Ecuación 23: Varianza de Z(v) en funcion del Coeficiente de cambio de soporte Ecuación 24: Varianza de Z(v) en función del variograma de la variable original Ecuación 25: Variograma en el soporte de bloques Ecuación 26: Variable Gaussiana regularizada (soporte de bloques) Ecuación 27: Relación entre la variable Gaussiana regularizada y variable Gaussiana de bloques Ecuación 28: Definición modelo de corregionalización caso de estudio Ecuación 29: Modelo de corregionalización caso de estudio (variables Gaussianas) Ecuación 30: Clasificación de bloques entre mineral y estéril Ecuación 31: Valorización de cada bloque ix

11 1. INTRODUCCIÓN La estimación de recursos de un yacimiento es clave en la evaluación económica, planificación, diseño y operación de un proyecto minero. Esta estimación de recursos inicia su proceso en las etapas de muestreo, cuyo fin es colectar información a partir del mineral in situ, resultando en una base de datos con diferentes elementos o propiedades del yacimiento. Generalmente la estimación de la variable de interés se realiza a partir de técnicas geoestadísticas que sólo consideran información de esta misma variable, sin incorporar información adicional. Adicionalmente, existen herramientas geoestadísticas que incorporan tanto la información de la variable de interés como la de alguna otra auxiliar con la que exista correlación. Dichas herramientas se enmarcan dentro del contexto de la geoestadística multivariable, que tienen como ventaja el aporte de información que se logra al usar datos auxiliares o secundarios. No obstante, estas estimaciones multivariables presentan en general algunos problemas (no reproducen la variabilidad espacial de las leyes, producen sesgos en la estimación de distribuciones y no abordan adecuadamente el cambio de soporte). El presente trabajo pretende entregar un modelo de estimación basado en la extensión de dos técnicas geoestadísticas al ámbito multivariable. Se abarcará el desafío del cambio de soporte y se generarán múltiples realizaciones independientes de las variables de interés, abordando así, los problemas que en general presentan las técnicas multivariables. Esto nos permitirá contar con estimaciones que cuantifiquen adecuadamente la incertidumbre, disminuyendo el riesgo en la toma de decisiones (determinar el destino de bloques, beneficio esperado, probabilidad de superar leyes de corte, entre otros). Para llegar a este modelo objetivo se validarán previamente tres modelos de estimación, basados en la extensión paulatina de las dos técnicas geoestadísticas involucradas (modelo Gaussiano discreto y modelo multigaussiano). Adicionalmente se pretende evaluar las diferencias entre el modelo propuesto y técnicas de estimación multivariable tradicionales. 1

12 1.1. Motivación del trabajo Actualmente la mayor parte de los yacimientos del mundo ha hecho su evaluación de recursos y reservas por medio del uso de técnicas de estimación univariables, como son por ejemplo el kriging simple u ordinario. Métodos como el cokriging, extensión multivariable del kriging, han sido poco aplicados hasta ahora por presentar un modelamiento más complejo y también por ser poco conocidos en la industria minera. Adicionalmente, estas estimaciones multivariables presentan problemas (en general) en la reproducción de la variabilidad espacial de las leyes y sesgos en la estimación de variables no aditivas. Es por esto que surge la motivación de generar modelos alternativos, que aborden estos problemas y que, en definitiva, puedan tener un mejor desempeño que los modelos convencionales Objetivos Objetivo General El objetivo general de este trabajo consiste en el diseño y aplicación de modelos multivariables de cambio de soporte. Por medio de estos modelos se pretende predecir la cantidad de recursos recuperables sobre determinadas leyes de corte (con consideraciones multivariables y restricciones técnicas), y estimar la distribución de variables no aditivas Objetivos Específicos Aplicar herramientas y métodos de análisis geoestadístico multivariable (modelos de corregionalización y cokriging). Extender la aplicación del modelo multigaussiano al ámbito multivariable y a soporte de bloques. Validar los modelos propuestos y la reproducción de incertidumbre del modelo final. Comparar los resultados con los obtenidos mediante técnicas de estimación tradicionales. 2

13 1.3. Alcances El trabajo se realizará sobre una base de datos de pozos de tronadura de la mina colombiana Cerro Matoso. En esta base de datos se encuentran muestreadas leyes de níquel, hierro, magnesio, sílice, aluminio y cromo, el tipo de roca y la razón sílice-magnesio. A través de este trabajo se busca definir un modelo de estimación multivariable que permita predecir los recursos recuperables del depósito, incorporando relaciones entre variables, abordando el desafío del cambio de soporte en el ámbito multivariable, estimando variables no aditivas y permitiendo el análisis de múltiples escenarios. La comparación de resultados se realizará sólo para el modelo final, y se contrastará contra la estimación mediante cokriging ordinario. Se realizarán estimaciones mediante cokriging, además de la aplicación del modelo multigaussiano y el modelo Gaussiano discreto. Dichas estimaciones y modelos, además de su respectivo post procesamiento, se realizarán principalmente con ayuda de los softwares MATLAB, ISATIS, la librería de archivos ejecutables GSLib, VULCAN y Microsoft Excel. Este trabajo se enmarca en el proyecto Innova-Corfo 09CN , titulado: "Modelamiento multivariable para evaluación de yacimientos". 3

14 2. ANTECEDENTES 2.1. Antecedentes generales La geoestadística es una rama de la estadística, aplicada en un contexto espacial. Busca estudiar variables regionalizadas, que corresponden a variables numéricas que se distribuyen en el espacio y presentan cierta continuidad espacial, aunque varían irregularmente a escala local. Ejemplo de una variable regionalizada es la ley de un elemento en un yacimiento minero. Una variable regionalizada queda caracterizada por: Su naturaleza: puede ser continua, discreta (ordinal) o categórica (nominal). El dominio en estudio, es decir, las dimensiones espaciales que abarca la variable. El volumen sobre el cual se mide (soporte), dado que no es lo mismo medirla en puntos del espacio o en soportes mayores (bloques). Si bien los fenómenos naturales son determinísticos, pueden ser muy complejos. Es por esto que en el estudio de una variable regionalizada se puede considerar la aplicación de probabilidades, como por ejemplo en la ley de un metal presente en la mineralización de un macizo rocoso. En un modelo probabilístico una variable regionalizada z(x) en un sitio x del dominio D en estudio, se interpreta como una realización de una variable aleatoria Z(x). El conjunto de estas variables en distintos puntos del espacio constituye una función aleatoria que se expresa como { ( ) } Una variable aleatoria Z se caracteriza por una distribución de probabilidad: Función de distribución: ( ) ( ) ECUACIÓN 1: FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN DE UNA VARIABLE ALEATORIA Densidad de probabilidad: (si la variable es continua) corresponde a la derivada de la función de distribución. Se trata de una función positiva f tal que: ( ) ( ) ECUACIÓN 2: DENSIDAD DE PROBABILIDAD DE UNA VARIABLE ALEATORIA Una función aleatoria se caracteriza por una distribución espacial, que consta de todas las distribuciones de probabilidad de sus componentes, en particular: Distribución univariable: ( ) ( ( ) ) 4

15 Distribución bivariable: ( ) ( ( ) ( ) ) Donde y representan distintos sitios en el espacio. En los estudios geoestadísticos se asumen generalmente algunas hipótesis simplificatorias, como la hipótesis de estacionaridad que establece que la distribución espacial es invariante por traslación en el espacio. En particular, independiente de la ubicación en el espacio, presenta las mismas medias y varianzas. Además, normalmente sólo se modela hasta segundo orden. En un estudio geoestadístico previamente se desarrollan las etapas de estudio exploratorio y variográfico, que se describen brevemente a continuación Estudio Exploratorio de Datos El objetivo es conocer de modo general la distribución de la variable regionalizada en estudio, definir zonas de estudio, detectar errores o anticipar dificultades asociadas a las bases de datos disponibles. Algunas herramientas de análisis exploratorio de datos, presentadas con sus respectivos objetivos son: Mapas para visualizar la ubicación espacial de los datos. Histogramas para conocer la distribución estadística de los datos. Estadísticas básicas como las medidas de posición y dispersión. Gráficos de probabilidad para comparar una distribución empírica con una teórica. Gráficos q-q plot para comparar dos distribuciones empíricas. Nubes de correlación para visualizar valores de una variable en función de otra. FIGURA 1: ALGUNAS HERRAMIENTAS DE ANÁLISIS EXPLORATORIO (MAPA DE DISTRIBUCIÓN ESPACIAL, HISTOGRAMA Y NUBE DE CORRELACIÓN) 5

16 Análisis Variográfico Su objetivo es modelar la continuidad espacial de la(s) variable(s) en estudio, debido a que los valores observados en distintos puntos del espacio pueden estar correlacionados. De este modo es importante estudiar qué tan rápido o lento se pierde esta correlación al aumentar la distancia de separación entre dos puntos. Para desarrollar este estudio se utiliza una función llamada variograma que tiene por objetivo medir la variabilidad espacial. La versión simple corresponde al caso univariable, mientras que la cruzada corresponde a la multivariable e involucra un par de variables a la vez. Lo que considera dicha herramienta es principalmente la diferencia entre pares de datos que se encuentren separados por un vector h. El variograma en el caso univariable se presenta a continuación. ( ) {[ ( ) ( )] } ECUACIÓN 3: VARIOGRAMA TEÓRICO UNIVARIABLE ( ) ( ) [ ( ) ( )] ( ) ECUACIÓN 4: VARIOGRAMA EXPERIMENTAL UNIVARIABLE (ESTIMADOR TRADICIONAL DEL VARIOGRAMA) La variable regionalizada es z(x), mientras que Z(x) es la función aleatoria asociada, N(h) corresponde al número de pares de datos disponibles para una separación dada por un vector h, siendo {( ) ( )} las posiciones de estos pares de datos. Dicha herramienta también puede ser definida para el caso multivariable. De esta manera se mide la variabilidad que hay entre dos variables ( ) de una base de datos en el espacio. ( ) {[ ( ) ( )] [ ( ) ( )]} ECUACIÓN 5: VARIOGRAMA CRUZADO TEÓRICO ( ) ( ) [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] ( ) ECUACIÓN 6: ESTIMADOR DEL VARIOGRAMA CRUZADO Donde Nij(h) es el número de pares de datos que se consideren para calcular el estimador, los que se encuentran separados entre sí por un vector h. Notar que h corresponde a un vector con 6

17 una dirección cualquiera y que el uso del vector h para las mediciones usadas hace que ambas variables deban coexistir en los mismos puntos para poder calcular este estimador. FIGURA 2: EJEMPLO DE VARIOGRAMA EXPERIMENTAL En un variograma experimental se define como meseta al valor en el cual se estabiliza el variograma, y como alcance a la distancia que se alcanza la meseta. Formalmente la meseta debe ser igual a la varianza de la variable (o la covarianza en el caso de un variograma cruzado entre dos variables). Además se define como efecto pepita a la discontinuidad en el origen del variograma. Mientras más alto el efecto pepita, más erraticidad a pequeña escala presenta la variable en estudio. Un variograma experimental requiere ser modelado debido a que se calcula sólo para ciertas direcciones y distancias. Existen una serie de modelos elementales que, según la forma que presente el variograma experimental, principalmente en el origen, permiten modelarlo adecuadamente: Efecto pepita: discontinuidad en el origen. Modelo esférico y exponencial: lineales en el origen. Modelo Gaussiano: parabólico en el origen. 7

18 FIGURA 3: MODELOS ELEMENTALES PARA CONSTRUIR VARIOGRAMA MODELADO Variograma Modelado Multivariable Los métodos de estimación y simulación usan como base el variograma modelado. De esta manera es necesario tener una función que modele el variograma experimental de manera continua y en todas las direcciones del espacio. A diferencia del caso univariable, en el que se define un variograma para una variable solamente, en el caso multivariable se debe definir el conjunto de variogramas modelados que se ajusten a los variogramas experimentales simples y cruzados de las variables. Las combinaciones de los diferentes modelos elementales de variogramas es lo que se conoce como variograma modelado multivariable o modelo lineal de corregionalización. Éstos son construidos considerando los mismos modelos básicos que en el caso univariable (modelo esférico, modelo exponencial, modelo gausiano, etc). Lo que diferencia el variograma modelado según la variable corresponde a las mesetas de los variogramas básicos, las que quedan definidas de forma matricial. En la diagonal de dicha matriz se encuentran las mesetas de los variogramas simples, mientras que en el resto de la matriz se encuentran las mesetas de los variogramas cruzados. 8

19 La ecuación general del modelo para N variables es la siguiente. { } ( ) ( ) ECUACIÓN 7: MODELO LINEAL DE CORREGIONALIZACIÓN (FORMA LINEAL) En forma matricial se define de la siguiente manera. ( ) ( ) ECUACIÓN 8: MODELO LINEAL DE CORREGIONALIZACIÓN (FORMA MATRICIAL) Donde [ ] (con i,j=1,,n) se define como una matriz de corregionalización y gu(h) es un modelo básico de variograma elegido entre los usados en el caso univariable (exponencial, esférico, Gaussiano, etc). Los problemas que se encuentran al definir el modelo de variograma corresponden principalmente a elección de la forma de éste, la estimación de los parámetros del modelo y el hecho de que las matrices de corregionalización deben ser semidefinidas positivas (verificando que los valores propios de la matriz Bu sean mayores que cero). Para lidiar con estos problemas, se utilizan algoritmos de ajuste semiautomático basados en una técnica parecida a mínimos cuadrados [10,15]. Uno de estos algoritmos permite el ajuste de variogramas en el caso que las mesetas sean desconocidas y el otro en el caso que las mesetas sean conocidas Noción de Soporte Una variable regionalizada puede definirse, no sólo en cada punto del espacio, sino que también en una superficie (2D) o en un volumen (3D). La superficie o el volumen sobre el cual se considera la variable regionalizada se denomina soporte. En general, el soporte de las mediciones es muy pequeño (asimilado a un punto ), mientras que el que interesa en la práctica puede ser más voluminoso (por ejemplo, las unidades selectivas de explotación). Esta noción es esencial debido a la dependencia que existe entre el soporte y la distribución estadística de los valores, conocida como efecto de soporte: los soportes voluminosos presentan una menor cantidad de valores extremos y una mayor cantidad de valores intermedios que los soportes puntuales. Así, la distribución de los valores (en especial, su varianza) depende del soporte sobre el cual está definida la variable regionalizada. En general la varianza disminuye a medida que se aumenta el tamaño del soporte, mientras que el valor promedio permanece constante [11]. En los problemas que involucran un cambio de soporte, es deseable que la variable regionalizada sea aditiva, es decir, que su valor en la unión de varios dominios sea igual a la media de sus valores sobre cada uno de ellos. Esta restricción es necesaria para que el cálculo del 9

20 valor promedio sobre un soporte más grande que el soporte de las mediciones, tenga un sentido físico. El efecto soporte no sólo se refleja en la distribución estadística de los datos, sino también en la planificación y beneficio del negocio minero Aditividad Se dice que una variable regionalizada es aditiva cuando el valor de un soporte grande ( bloque ) es el promedio aritmético o la suma de los valores puntuales dentro del bloque. Esta propiedad permite que se realice un cambio de soporte. Algunos ejemplos de variables aditivas son potencia (acumulación de una veta) y ley de cabeza. Algunos contra-ejemplos (variables no aditivas) son razón de solubilidad, recuperación metalúrgica, razón Si-Mg, y código de tipo de roca. Las variables no aditivas pueden ser estimadas mediante kriging, pero esta estimación no permite cambio de soporte ya que se incurre en un sesgo [12]. Una correcta predicción de la distribución de variables no aditivas, que se definan por el cociente entre dos variables aditivas, se puede realizar mediante simulaciones condicionales conjuntas de las variables aditivas y, al realizar la división de las simulaciones, se logra predecir sin sesgo la variable no aditiva [2,12]. 10

21 Métodos de Estimación Local En minería y en otros ámbitos de aplicación de la geoestadística, se busca predecir la variable regionalizada en sitios del espacio donde no se conoce el valor real, a partir de los datos disponibles. Una de las metodologías más utilizadas es el kriging, que consiste en estimar valores de la variable regionalizada mediante un promedio lineal ponderado de los datos vecinos. Los dos principales tipos de kriging son el kriging simple (en el cual la media de la variable se asume conocida) y el kriging ordinario (media desconocida). Estas metodologías consideran los siguientes aspectos en las estimaciones: 1. La distancia de los datos al sitio a estimar. 2. La redundancia entre los datos (si es que hay datos muy cercanos unos con otros). 3. La continuidad espacial de la variable regionalizada, es decir, qué tan rápido o lento varían los valores que toma la variable en el espacio. Además el kriging presenta otras características importantes; es una estimación insesgada porque establece una esperanza nula para el error de estimación, y es óptimo porque busca minimizar la varianza del error de estimación. Pero presenta ciertas limitaciones importantes: Suavizamiento: los valores estimados presentan menos dispersión que los valores verdaderos. La varianza de kriging no refleja el efecto proporcional. Este efecto comúnmente se presenta en minería y consiste en observar mayor variabilidad en zonas de valores altos, es decir, se observa valores altos mezclados a corta distancia con valores bajos. Estas dos limitaciones hacen que el kriging no sea una buena herramienta en la estimación de funciones umbrales, como por ejemplo en la determinación de tonelajes de roca sobre una ley de corte, que es un problema crítico en la estimación de recursos y reservas recuperables en un negocio minero Métodos de Estimación Multivariable Cuando se dispone de mediciones acerca de varias variables, se puede mejorar la estimación de la variable de interés con ayuda de las observaciones de las otras variables. Este enfoque es muy interesante cuando las variables auxiliares están fuertemente correlacionadas con la variable de interés y más muestreadas (caso conocido como heterotopía). 11

22 Los métodos de estimación que usan más de una variable son los llamados multivariables. Dentro de éstos destaca el cokriging correspondiente a la extensión multivariable del kriging. Éste, al igual que en el caso univariable, considera dos variantes principales: simple y ordinario Cokriging Simple El estimador de todo el conjunto de variables en la posición se puede escribir (para el caso de un muestreo homotópico, es decir, donde todas las variables son conocidas en todos los puntos con datos) como: ( ) ( ) ECUACIÓN 9: COKRIGING SIMPLE ECUACIÓN 10: DEFINICIÓN DEL VECTOR A (COKRIGING SIMPLE) Donde es la cantidad de variables, es un vector de, { } son matrices de (ponderadores de cokriging), m es un vector de con las medias de las variables, Z es un vector de con los valores de las variables, { } son las posiciones con datos ( ( ) es el vector con las variables en los puntos con datos) y ( ) es el vector con las estimaciones de las variables en la posición. Asimismo, se puede expresar la matriz de varianza-covarianza de los errores de cokriging simple de todas las variables, como: ( ) ( ) ( ) ECUACIÓN 11: MATRIZ DE VARIANZA-COVARIANZA DE LOS ERRORES DE COKRIGING SIMPLE Donde ( ) es una matriz de que corresponde a las covarianzas de las variables entre los puntos y. Los ponderadores continuación. se determinan por medio del sistema de ecuaciones que se presenta a 12

23 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ( ) ) ECUACIÓN 12: SISTEMA DE ECUACIONES PARA OBTENER PONDERADORES (COKRIGING SIMPLE) El cokriging simple otorga una gran importancia a las medias de las variables, las cuales intervienen explícitamente en la expresión del estimador. Cuando no se conoce estas últimas con precisión o no se puede considerarlas como constantes en el espacio, se prefiere utilizar el cokriging ordinario, el cual no se basa en el conocimiento de las medias y permite que éstas varíen lentamente, quedando constantes a la escala de la vecindad de cokriging Cokriging Ordinario Este método considera desconocidas las medias de las variables. El estimador de todo el conjunto de variables en la posición se puede escribir (para el caso de un muestreo homotópico) como: ( ) ( ) ECUACIÓN 13: COKRIGING ORDINARIO Donde es la cantidad de variables, { } son matrices de (ponderadores de cokriging), Z es un vector con los valores de las variables, { } son las posiciones con datos ( ( ) es el vector con las variables en los puntos con datos) y ( ) es el vector con las estimaciones de las variables en la posición. Se puede expresar la matriz de varianza-covarianza de los errores de cokriging ordinario de todas las variables, como: ( ) ( ) [ ( ) ] ECUACIÓN 14: MATRIZ DE VARIANZA-COVARIANZA DE LOS ERRORES DE COKRIGING ORDINARIO Donde ( ) es una matriz de, cuyo término genérico es ( ) que corresponde al variograma cruzado de las variables i,j entre los puntos y, y es una matriz de (multiplicadores de Lagrange). 13

24 Los ponderadores y multiplicadores de Lagrange (M) se determinan por medio del sistema de ecuaciones que se presenta a continuación ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ( ) ) ECUACIÓN 15: SISTEMA DE ECUACIONES PARA OBTENER PONDERADORES Y MULTIPLICADORES DE LAGRANGE (COKRIGING ORDINARIO) Donde es una matriz de de ceros, e es la matriz identidad de tamaño. Del sistema de ecuaciones, se observa que los ponderadores de la variable primaria (variable a estimar) deben sumar 1, mientras que los de cada co-variable deben sumar cero Propiedades del Cokriging Los estimadores de kriging y cokriging poseen varias propiedades, en particular: Interpolación exacta (para las estimaciones puntuales): el valor estimado en un punto con dato restituye el valor medido. Aditividad: la estimación del valor promedio de un bloque se identifica con el promedio de las estimaciones puntuales dentro de este bloque (más generalmente, esta propiedad se extiende a toda operación lineal, y no solamente al cálculo de un valor promedio). Suavizamiento: el mapa de las estimaciones presenta menos variabilidad espacial que el mapa de los valores verdaderos desconocidos. En consecuencia, las estimaciones no poseen las mismas características espaciales que la variable estudiada. Una limitación del (co)kriging es que las varianzas y covarianzas de estimación no dependen de los valores de los datos, sino que solamente del modelo variográfico y de la configuración geométrica formada por los datos y el sitio a estimar. En teoría, el cokriging es preferible al kriging, pues siempre entrega una varianza de estimación menor. En la práctica el cokriging mejora significativamente la estimación cuando las variables auxiliares están más muestreadas que la variable de interés (situación de heterotopía). Si los sitios de medición son comunes a todas las variables (situación de homotopía), las variables auxiliares pueden traer poca información adicional, ya sea porque están poco correlacionadas con la variable de interés, o bien al contrario porque están fuertemente correlacionadas, caso en el cual sus valores se vuelven redundantes con las mediciones de la variable de interés. 14

25 Simulaciones Debido a las limitaciones del kriging, se propone la simulación como metodología para cuantificar la incertidumbre asociada al desconocimiento de los valores reales de una variable regionalizada. Una simulación es un modelo numérico que busca reproducir la variabilidad real de la variable en estudio mediante la construcción de varias realizaciones que representan escenarios posibles. Se puede diferenciar dos tipos de simulaciones: las no condicionales y las condicionales. Las simulaciones no condicionales buscan reproducir la distribución de la variable regionalizada, sin reproducir los valores de los datos en sitios ya conocidos. En cambio las simulaciones condicionales buscan reproducir las distribuciones locales, que dependen de los datos conocidos. De esta forma, en un sitio con dato no hay incertidumbre, y estas simulaciones condicionales pueden considerarse más realistas que las no condicionales. Así como el kriging tradicional sólo permite resolver el problema de estimación, es decir, de predecir valores en sitios no conocidos, las simulaciones además entregan mediciones de la incertidumbre y permiten desarrollar análisis de riesgo, debido a la disposición de varios escenarios posibles. Adicionalmente se puede incorporar información de otras variables, dando origen a las denominadas co-simulaciones. Para aplicar simulaciones es necesario definir un modelo adecuado de función aleatoria. Además, estas simulaciones pueden realizarse a distintos soportes, es decir, a soporte de puntos o a soporte de bloques, dado que en minería resulta de interés desarrollar un modelo de leyes a soporte de bloques (unidades selectivas de explotación). 15

26 2.2. Modelos de incertidumbre en soporte puntual La incertidumbre en un modelo está asociada a la falta de conocimiento por no disponer de un muestreo exhaustivo de la variable en estudio. Es por esto que ningún modelo numérico reproduce la realidad sin error. Los modelos de incertidumbre buscan caracterizar los valores desconocidos de una variable regionalizada no por estimaciones, sino que por distribuciones de probabilidad. Un modelo de incertidumbre global busca describir la distribución global de la variable regionalizada, distribución que no depende de la ubicación considerada en el espacio. Esta función de distribución puede ser obtenida a partir del histograma acumulado de los datos disponibles. Por su parte, un modelo de incertidumbre local busca describir la distribución local de la variable regionalizada, es decir, condicional a los datos disponibles. De esta forma la distribución depende de la ubicación en el espacio, al considerar los valores y las posiciones de los datos cercanos Modelo Multigaussiano Es uno de los modelos de incertidumbre a soporte puntual típicamente utilizados debido a su simpleza y conveniencia [3]. Este modelo requiere trabajar con variables Gaussianas, lo que hace necesario transformar los datos disponibles mediante una función de transformación llamada anamorfosis. Gráficamente, la anamorfosis consiste en deformar el histograma de los datos en un histograma Gaussiano, de modo que la variable transformada, denotada Y(x), tenga una distribución Gaussiana estándar (de media 0 y varianza 1). Lo anterior se observa en el siguiente esquema: FIGURA 4: DETERMINACIÓN DE FUNCIÓN DE TRANSFORMACIÓN (ANAMORFOSIS) 16

27 La hipótesis fundamental del modelo es que los valores transformados tienen una distribución multigaussiana, la cual se define por las siguientes propiedades: 1. Toda combinación lineal de los valores sigue una distribución Gaussiana. 2. La densidad de probabilidad de un conjunto de valores ubicados en los sitios { } es: ( ) { } ( ) ( ) ECUACIÓN 16: DENSIDAD DE PROBABILIDAD MULTIGAUSSIANA Donde ( ) { ( ) ( )} Se destaca que la densidad de probabilidad queda definida sólo con la matriz de varianzacovarianza C. De este modo, la función aleatoria multigaussiana está caracterizada por su función de covarianza o, equivalentemente, por su variograma. Una propiedad fundamental del modelo es que la distribución global de un valor transformado Y(x) es una Gaussiana estándar N(0,1). Por su parte la distribución local de Y(x) también es una Gaussiana pero no estándar, sino de media igual al kriging simple de Y(x) y de varianza igual a la varianza de kriging simple (cokriging en el caso multivariable). Un resultado directo de esto es que la distribución local tiende a la distribución global en posiciones del espacio lejanas a los datos. Por otra parte, debido a que en ciertos casos transformar los datos originales en datos Gaussianos puede resultar complicado, es necesario verificar la hipótesis básica del modelo que establece multigaussianidad. Para esto se puede desarrollar los siguientes tests que corroboran la bigaussianidad 1 : 1. Nubes de correlación diferida: en las cuales se grafican pares de datos Gaussianos separados a una cierta distancia. Estas nubes deben presentar una forma elíptica para distancias de separación menores, y una forma circular para distancias mayores. 2. Variogramas de indicadores: Existe una relación teórica entre el variograma de un indicador y el variograma de los datos Gaussianos. Entonces se puede estimar el variograma de indicador teóricamente, y luego comparar con el variograma experimental de indicador. 1 Probar la hipótesis multigaussiana más allá de la bigaussiana se vuelve demasiado complejo para fines prácticos. 17

28 3. Comparación de madograma con variograma: siendo el madograma el variograma de orden 1, se tiene una relación con el variograma clásico que puede ser verificada. Una vez verificada la hipótesis del modelo, se puede ejecutar simulaciones multigaussianas o desarrollar una versión del kriging llamado kriging multigaussiano Kriging Multigaussiano Este método tiene como supuesto que la función aleatoria de la variable aleatoria sigue, después de la anamorfosis, una distribución espacial multigaussiana. Utilizando la propiedad de ortogonalidad del kriging simple, se establece que la distribución de ( ) condicionalmente a los datos { ( ) } sigue siendo gaussiana: De media igual al kriging simple de ( ) ( ) ( ) ( ) ECUACIÓN 17: KRIGING SIMPLE DE Y(X) De varianza igual a la varianza ( ) del kriging simple de Y(x). De este modo, la función de distribución de la variable original ( ) condicional a los datos está enteramente caracterizada por la función de anamorfosis y por el kriging de la transformada Gaussiana, lo que hace del kriging multigaussiano un método particularmente sencillo y rápido de poner en marcha (el kriging simple sólo requiere conocer la función de covarianza de ( ) pues su media es nula por construcción). El kriging multigaussiano ha sido ampliamente utilizado en el cálculo de recursos recuperables [21], dando buenos resultados, no obstante, este método sufre de algunas limitaciones que impiden su aplicación a ciertos casos de estudio [19], como por ejemplo, asumir que la media es perfectamente conocida (dado que la estimación que interviene en la función de distribución condicional es un kriging simple). En el caso donde la media de la transformada Gaussiana no podría ser considerada como constante y nula en todo el campo, se reemplazar el kriging simple por uno ordinario, más flexible (la media, supuesta desconocida, puede variar de una vecindad de kriging a otra) [8]. Utilizando este último enfoque, en este trabajo se pretende extender la aplicación del modelo multigaussiano al ámbito multivariable, basándose en cokriging simple y ordinario. 18

29 Algoritmos de Simulación Existen una serie de algoritmos que permiten simular funciones aleatorias multigaussianas. Estos algoritmos se pueden clasificar en dos tipos, según si desarrollan directamente simulaciones condicionales o si las simulaciones deben ser condicionadas posteriormente: FIGURA 5: TIPOS DE ALGORITMOS DE SIMULACIÓN Un método interesante es el método de bandas rotantes, dado que permite reducir a una dimensión las simulaciones a desarrollar en dos o más dimensiones. En breves palabras el método consiste en construir simulaciones unidimensionales para luego esparcirlas a más dimensiones mediante una serie de rectas que discretizan el espacio. Para esto existen expresiones que permiten relacionar la covarianza de la simulación en una dimensión con las covarianzas de la simulación en dos o tres dimensiones. Por otra parte, para condicionar las simulaciones de los métodos que no lo hacen directamente, se puede desarrollar un kriging asociado al conjunto de datos condicionantes (cokriging en el ámbito multivariable). Así se utiliza una expresión de condicionamiento que cumple dos condiciones básicas: En un sitio con dato, la simulación debe ser igual al valor del dato. En un sitio muy lejano a los datos, la simulación condicional y no condicional deben ser iguales. Lo interesante de esta metodología es que basta con desarrollar un solo kriging para condicionar todas las realizaciones construidas con las simulaciones. Es decir, si bien se podría 19

30 pensar que un método que condiciona directamente tiene la ventaja de reducir los tiempos de cálculo, esto en la práctica no necesariamente ocurre así. 20

31 2.3. Modelos con cambio de soporte Cuando se trabaja con variables regionalizadas, la distribución estadística que siguen los valores que toma la variable depende del volumen o soporte sobre el cual se miden. Los efectos que tiene el cambio de soporte son los siguientes: La media no depende del soporte. La varianza disminuye al aumentar el soporte. El histograma cambia de forma (se simetriza). De este modo la forma de la distribución cambia al pasar de valores puntuales a valores de bloques. Así, para determinar ya sea la distribución global o local a soporte de bloques (que es de interés en la industria minera debido a temas operacionales en una mina) se debe recurrir a un modelo de cambio de soporte. Uno de los modelos para cambio de soporte más utilizados es el modelo Gaussiano discreto tanto para estimación global y local [13,16], y que será el utilizado en este trabajo Modelo Gaussiano discreto para estimación global La variable regionalizada regularizada no es más que el promedio de los valores puntuales que entran en el soporte regularizado (por ejemplo un bloque). O sea, visto de forma continua, el valor regularizado sobre un bloque v se define como: ( ) ( ) ECUACIÓN 18: VALOR REGULARIZADO SOBRE UN BLOQUE (Z(V)) Donde Z(v) es el valor regularizado, Z(x) el valor puntual y v el volumen de v. Las hipótesis generales que considera el modelo son las siguientes: El espacio se considera como una reunión de bloques que no traslapan y que son idénticos. La posición de cada dato puntual se considera como aleatoria y uniforme dentro del bloque al cual pertenece, para evitar inconsistencias matemáticas asociadas a la teoría. Esto limita el uso de bloques muy grandes. El detalle del modelo se puede describir a partir de sus hipótesis específicas: 21

32 1. La variable puntual Z(x) se puede transformar en una variable Gaussiana estándar Y(x) mediante la función de transformación definida para el modelo multigaussiano, y que se denomina. ( ) [ ( )] ECUACIÓN 19: FUNCIÓN DE ANAMORFOSIS PUNTUAL 2. La variable regularizada Z(v) se puede transformar en una variable Gaussiana estándar mediante una función de transformación a soporte de bloque que se denomina. ( ) ( ) ECUACIÓN 20: FUNCIÓN DE ANAMORFOSIS DE BLOQUES 3. Si el punto x pertenece al bloque v, el par {Y(x), } es bigaussiano, con coeficiente de correlación r (coeficiente de cambio de soporte). FIGURA 6: ESQUEMA EXPLICATIVO DE HIPÓTESIS DE MODELO GAUSSIANO DISCRETO En el esquema anterior se resumen todas las relaciones establecidas entre los tipos de variables. Es importante destacar que la variable gaussiana no es la regularizada de Y(x). La función de transformación puntual se determina a partir de la distribución de los datos puntuales. Por lo tanto, para definir completamente este modelo falta determinar la función de transformación a soporte de bloques y el coeficiente de cambio de soporte r. 22

33 Para resolver el problema anterior se utiliza la llamada relación de Cartier [3] que dice que el valor esperado de un dato tomado al azar dentro de un bloque cuyo valor es conocido, es igual al valor del bloque. A partir de esto se puede obtener una expresión que relacione ambas funciones de transformación, puntual y de bloques. Sin embargo esta expresión es bastante compleja (involucra integrales), por lo tanto se acude a una familia de polinomios llamados polinomios de Hermite. Las expresiones son las siguientes: ( ) ( ) ECUACIÓN 21: FUNCIÓN DE ANAMORFOSIS PUNTUAL (DESARROLLADO EN POLINOMIOS DE HERMITE) ( ) ( ) ECUACIÓN 22: FUNCIÓN DE ANAMORFOSIS DE BLOQUES (DESARROLLADO EN POLINOMIOS DE HERMITE) Donde Hp(y) corresponde al polinomio de Hermite de grado p, y coeficiente del desarrollo en polinomios de la anamorfosis puntual. corresponde al Para determinar el coeficiente r se aprovecha la posibilidad de expresar la varianza a soporte de bloques mediante dos expresiones distintas, donde en una de ellas aparece el coeficiente r: A partir del desarrollo de la función de transformación en polinomios de Hermite. [ ( )] ECUACIÓN 23: VARIANZA DE Z(V) EN FUNCION DEL COEFICIENTE DE CAMBIO DE SOPORTE A partir del modelo variográfico de la variable original. [ ( )] ( ) ( ) ECUACIÓN 24: VARIANZA DE Z(V) EN FUNCIÓN DEL VARIOGRAMA DE LA VARIABLE ORIGINAL Donde ( ) corresponde a: ( ) ( ) ECUACIÓN 25: VARIOGRAMA EN EL SOPORTE DE BLOQUES 23

34 Así, del siguiente gráfico que relaciona la varianza a soporte de bloques con el coeficiente r, se puede despejar el valor de r: FIGURA 7: DETERMINACIÓN DE COEFICIENTE DE CAMBIO DE SOPORTE Del gráfico además se deduce que para r = 1 se tiene la varianza de los datos puntuales, es decir, a menor r se tiene mayor tamaño de bloques, y por lo tanto menor varianza de las leyes Modelo Gaussiano discreto para la estimación local Este modelo es posible extenderlo también para resolver problemas de estimación local [19]. Para esto, se hace más fuerte la hipótesis general del modelo y ahora todo conjunto de valores de Y(x) e tiene una distribución multigaussiana, independiente si el punto x pertenece o no al bloque v. Esto constituye una aproximación, pues en teoría se establece que las variables gaussianas puntual Y(x) y de bloque serán multigaussianas sólo si la función de transformación es lineal. En la práctica, además de disponer de las funciones de transformación y del coeficiente de cambio de soporte r (para el caso global), es necesario conocer la función de covarianza (o equivalentemente de variograma) de la variable Gaussiana de bloques. 24

35 Así este modelo queda caracterizado por: La función de transformación puntual. El coeficiente de cambio de soporte r. Las covarianzas directas (punto-punto y bloque-bloque) y cruzadas (punto-bloque) de las variables Gaussianas Y(x) e. La notación es la siguiente: 1. ( ) = covarianza punto-punto. 2. ( ) = covarianza punto-bloque. 3. ( ) = covarianza bloque-bloque. Para resolver el último punto, se tienen expresiones que relacionan las covarianzas puntopunto y punto-bloque con la covarianza bloque-bloque [19]. Es decir, determinando la última covarianza (o equivalentemente el variograma bloque-bloque) el modelo queda definido. Para esto se pueden utilizar dos métodos; uno que parte del variograma de los datos originales puntuales, y el otro que parte del variograma de los datos Gaussianos puntuales: Método 1: 1. Se desarrolla el estudio variográfico de la variable original Z(x). 2. Mediante regularización se obtiene el variograma de la variable regularizada Z(v). 3. Finalmente se determina el variograma de la variable Gaussiana a soporte de bloques Y v, mediante una expresión que lo relaciona con el variograma de Z(v) [19]. Método 2: 1. Se desarrolla el estudio variográfico de la variable Gaussiana puntual Y(x). 2. Mediante regularización se obtiene el variograma de la variable Gaussiana regularizada Y(v), definida como: ( ) ( ) ECUACIÓN 26: VARIABLE GAUSSIANA REGULARIZADA (SOPORTE DE BLOQUES) 3. Finalmente se determina el variograma de la variable Gaussiana a soporte de bloques, estandarizando el variograma de Y(v) con el factor 1/r 2. El factor 1/ r 2 se obtiene a partir de una relación entre las variables Gaussianas Y(v) e [7]. 25

36 ( ) ECUACIÓN 27: RELACIÓN ENTRE LA VARIABLE GAUSSIANA REGULARIZADA Y VARIABLE GAUSSIANA DE BLOQUES Se puede aplicar el resultado del kriging multigaussiano (remplazando el kriging de la variable Gaussiana puntual ( ) por el kriging de la Gaussiana de bloques ) en conjunto con la función de anamorfosis de bloques (en lugar de puntual), para deducir la distribución condicional de la variable original, esta vez al soporte de bloques. En el caso multivariable, el kriging se remplaza por cokriging. El segundo método se utilizará en el presente trabajo. 26

37 3. METODOLOGÍA El principal objetivo de este trabajo consiste en entregar un modelo que permita evaluar recursos recuperables de un depósito mineral y que cuantifique correctamente la incertidumbre. Para obtener este modelo, se extiende la aplicación del modelo Gaussiano discreto y del modelo multigaussiano de manera paulatina, dando paso a tres modelos intermedios antes de obtener el modelo final. Los modelos intermedios se describen a continuación: Modelo 1: Modelo de estimación puntual considerando conocidas las medias de las variables. Modelo 2: Modelo de estimación puntual sin considerar conocidas las medias de las variables. Modelo 3: Modelo de estimación de bloques considerando conocidas las medias de las variables. El modelo final (Modelo 4) consiste en un modelo de estimación de bloques sin considerar conocidas las medias de las variables. En el siguiente punto se esquematiza y describe paso a paso la metodología aplicada para obtener el modelo objetivo Modelos intermedios Los tres modelos intermedios presentan en común las etapas iniciales de estudio exploratorio, selección de una unidad geológica, transformación de datos a valores Gaussianos y ajuste de modelo variográfico. A continuación se describen las etapas recién mencionadas. Estudio exploratorio: a partir de los datos originales, se estudia la existencia de datos aberrantes y duplicados, así como también la eventual existencia de más de una unidad geológica. Transformación de datos a valores Gaussianos: una vez filtrada la base de datos se procede a transformar las variables de interés, desde sus valores originales, a valores Gaussianos (a través de funciones de anamorfosis puntual), verificando el comportamiento multigaussiano de las variables transformadas. Ajuste de un modelo de corregionalización a los variogramas experimentales simples y cruzados de las variables Gaussianas. 27

38 Selección de vecindad de búsqueda: en base a la extensión de la zona estudiada y las direcciones de anisotropía, se selecciona una vecindad móvil de estimación, la cual entregue una cantidad suficiente de datos. FIGURA 8: ESQUEMA DE ETAPAS COMUNES A LOS CUATRO MODELOS 28

39 Modelo 1: Modelo de estimación puntual con medias conocidas Para aplicar este modelo, primero se evalúa la robustez de la combinación del modelo de corregionalización, los datos y la vecindad de búsqueda mediante validación cruzada. Posteriormente se procede a realizar una estimación puntual mediante cokriging simple (considerando conocidas las medias). Luego, utilizando las estimaciones y varianzas y covarianzas de los errores de cokriging simple, se procede a generar 100 simulaciones independientes de cada punto, para luego des-transformar los valores simulados a la escala original. Finalmente se procede a analizar las distribuciones locales obtenidas. FIGURA 9: ESQUEMA DE LA METODOLOGÍA APLICADA (MODELO 1) 29

40 Modelo 2: Modelo de estimación puntual con medias desconocidas Este modelo es idéntico al modelo 1, salvo que se utiliza cokriging ordinario (de medias desconocidas) en lugar de cokriging simple. FIGURA 10: ESQUEMA DE LA METODOLOGÍA APLICADA (MODELO 2) 30

41 Modelo 3: Modelo de estimación de bloques con medias conocidas La aplicación de este modelo, basado en el modelo Gaussiano discreto, considera primero realizar una estimación de bloques mediante cokriging simple (considerando conocidas las medias de las variables Gaussianas). Luego (utilizando las estimaciones y varianzas y covarianzas de los errores de cokriging simple) se procede a generar 100 simulaciones independientes de cada bloque. Posteriormente se obtiene el coeficiente de cambio de soporte (para todas las variables), con el cual se des-transforma los valores simulados a la escala original. Finalmente se procede a analizar las distribuciones locales obtenidas. FIGURA 11: ESQUEMA DE LA METODOLOGÍA APLICADA (MODELO 3) 31

42 3.2. Modelo Objetivo: Modelo de estimación de bloques con medias desconocidas Este último modelo es idéntico al modelo anterior, salvo que se utiliza cokriging ordinario (de medias desconocidas) en lugar de cokriging simple. FIGURA 12: ESQUEMA DE LA METODOLOGÍA APLICADA (MODELO OBJETIVO) 32

43 Finalmente se evalúan los recursos recuperables (mapas de probabilidad de superar una ley de corte, destino de bloques más probable, beneficio esperado, análisis de riesgo, intervalos de confianza para las variables promedio, entre otros) y se contrastan los resultados obtenidos por esta metodología con estimaciones tradicionales obtenidas por cokriging ordinario (comparando el beneficio obtenido y la clasificación de bloques entre mineral y estéril). 33

44 4. CASO DE ESTUDIO: DEPÓSITO DE LATERITAS NIQUELÍFERAS El caso de estudio corresponde a una base de datos de pozos de tronadura pertenecientes a la mina Cerro Matoso. Este es un depósito de lateritas niquelíferas ubicado en el norte de Colombia, aproximadamente a 800 kilómetros al norte de la ciudad de Bogotá. Es uno de los depósitos con mayores leyes de níquel del mundo (ley media de 2,4% de níquel) y presenta el menor costo de fundición dentro de los productores de ferroníquel. FIGURA 13: UBICACIÓN Y VISTA AÉREA DE LA MINA CERRO MATOSO Los depósitos de lateritas niquelíferas se generan por meteorización química (excesiva) de rocas ultra básicas en regiones tropicales. Básicamente son concentraciones residuales (enriquecimiento supérgeno) de óxidos y silicatos de níquel, con acumulaciones promedio entre 0,8 y 2,5% de níquel. Estos procesos cuentan con la presencia de una roca madre llamada peridotita, roca ígnea ultramáfica, la cual sufre cambios físico-químicos y mecánicos. Las litologías presentes en este tipo de depósito se señalan en la siguiente figura. FIGURA 14: PERFIL GENERALIZADO DE UN DEPÓSITO DE LATERITAS NIQUELÍFERAS 34

45 En particular, el depósito de Cerro Matoso posee dos tipos de perfiles litológicos diferentes, provenientes de distintos sectores de la mina. El primero de ellos, con mayores leyes, presenta un perfil con peridotita, peridotita saprolizada, saprolito verde, taquilita, saprolito negro, laterita amarilla y laterita roja. El segundo perfil, de menor interés económico, presenta peridotita serpentizada, peridotita saprolizada, saprolito café, laterita amarilla y laterita roja, con muy poca presencia de saprolito verde [14]. Estos perfiles se presentan en la siguiente figura. FIGURA 15: REPRESENTACIÓN ESQUEMÁTICA DE PERFILES PRESENTES EN CERRO MATOSO Las diferentes unidades litologías presentes en el depósito se detallan a continuación: Peridotita y peridotita saprolizada: son las unidades con mayor contenido de magnesio (>30% MgO), presentan además un alto contenido de SiO2 (35-45%) y una baja concentración de hierro (6-7%). Saprolito verde: es tipo de roca es de color verde, de grano fino y suave, y contiene cuarzo y stockworks a nivel local. Es el tipo de roca con mayor contenido de níquel (mayor a 9%) y por lo tanto el de mayor valor económico para la mina. Tacilita (denominación interna de Cerro Matoso): es tipo de roca corresponde a asociaciones de óxidos de hierro y fases amorfas, generalmente de colores marón oscuro a negro. Saprolito negro: Este tipo de roca ocurre a nivel local, generalmente asociada a la tacilita y a zonas de falla. Es de color verde oscura a negra, y posee inclusiones de magnetita en forma de nódulos y vetillas. Canga: Corteza de hierro superficial, de color rojiza, dura y fuertemente magnética (en ciertas zonas de la mina presenta menor magnetismo). Saprolito café: Este tipo de roca es de color café, de grano fino y muy suave. Generalmente presenta una gran cantidad de vetillas (menores a 1 milímetro de diámetro) de magnesio y no posee una cantidad significativa de cuarzo. 35

46 Laterita amarilla: Este tipo de roca es de color amarillo, de grano muy fino y presenta un alto grado de meteorización. Tienen un alto contenido de sílice, presente en manchas y vetillas de 1 a 2 milímetros de espesor. Laterita roja: Este tipo de roca es de color rojo, de grano muy fino y mucho más suave que el resto de las litologías. Presenta un alto contenido de sílice y a veces inclusiones de magnesio. A continuación se muestra la concentración de elementos por litología (indicando los contenidos para los dos sectores antes mencionados). FIGURA 16: ACUMULACIÓN DE ELEMENTOS POR LITOLOGÍA (SECTORES MINA CERRO MATOSO) Para contar con datos confiables, sobre los cuales aplicar la metodología propuesta en el capítulo anterior, se procede a realizar un estudio exploratorio para detectar la existencia de eventuales datos atípicos y duplicados, y además investigar la existencia de diversas unidades geológicas. Como información adicional e importante a la hora de aplicar la metodología propuesta, la explotación en esta faena es a cielo abierto con bancos de 7 metros de alto, y el tamaño de bloque utilizado en la estimación de recursos, es de 7[m] x 7[m] x 7[m]. 36

47 FIGURA 17: CONFIGURACIÓN DE BANCOS Y BLOQUES EN MINA CERRO MATOSO 37

48 4.1. Estudio exploratorio La base de datos consiste en 9990 puntos provenientes de pozos de tronadura, en un muestreo homotópico (todos los puntos tienen información de todas las variables estudiadas), en los cuales se encuentra información de seis leyes de elementos (leyes de níquel, hierro, magnesio, sílice, aluminio y cromo), el tipo de roca y la razón sílice-magnesio (fundamental en el proceso pirometalúrgico para obtener ferroníquel). La malla de muestreo corresponde a la malla utilizada en el proceso de tronadura (7 [m] x 7 [m]), y se cuenta con un dato por pozo en cada banco (bancos de 7 metros de altura). La zona cubierta en el muestreo es de aproximadamente 200 metros en la dirección este, 210 metros en la dirección norte y 80 metros en la vertical, tal como se ilustra en la siguiente figura. FIGURA 18: PROYECCIONES EN PLANTA Y PERFILES DE LOS PUNTOS MUESTREADOS (LEY DE ALUMINIO) Luego, se comienza el estudio exploratorio analizando las estadísticas, distribuciones y relaciones entre las variables presentes en la base de datos. FIGURA 19: HISTOGRAMAS DE LEYES DE ALUMINO, HIERRO, MAGNESIO, NÍQUEL, CROMO Y SÍLICE 38

49 Variable Cantidad Mínimo Máximo Promedio Varianza Ley Alúmina [%] Ley Cromo [%] Ley Fierro [%] Ley Magnesio [%] Ley Níquel [%] Ley Sílice [%] Razón Si/Mg Tipo de Roca TABLA 1: ESTADÍSTICAS BÁSICAS DE LAS VARIABLES EN ESTUDIO FIGURA 20: GRÁFICOS DE DISPERSIÓN ENTRE LEYES 39

50 De los gráficos de dispersión se puede observar comportamientos lineales por tramos entre algunas variables, y de los histogramas se puede observar más de un tipo de distribución, lo que nos puede dar indicios de diferentes unidades geológicas [18]. FIGURA 21: HISTOGRAMAS Y GRÁFICOS DE DISPERSIÓN MOSTRANDO LA EXISTENCIA DE MÁS DE UNA UG Además al observar los mapas de distribución de datos, podemos detectar contactos claros de tres unidades geológicas (contactos inclinados en la horizontal). FIGURA 22: MAPAS DE DISTRIBUCIÓN DE DATOS (PERFIL Y-Z, LEYES DE MAGNESIO Y SÍLICE) Una vez detectado estos contactos, se procede a seleccionar una porción de datos pertenecientes a una de las unidades geológicas encontradas. Estos datos corresponderán a la base de datos con la cual se realizarán los estudios posteriores. FIGURA 23: SELECCIÓN DE UNA UNIDAD GEOLÓGICA 40

51 A continuación se entregan gráficos de dispersión e histogramas de algunas de las variables de la unidad geológica seleccionada: FIGURA 24: HISTOGRAMAS Y GRÁFICOS DE DISPERSIÓN DE LA UNIDAD GEOLÓGICA SELECCIONADA Las estadísticas de todas las variables y las relaciones entre ellas, en la zona seleccionada, se muestran en las siguientes tablas (tabla de estadísticas y matriz de correlación). Variable Cantidad Mínima Máxima Promedio Desviación Estándar Ley de Alúmina [%] Ley de Cromo [%] Ley de Fierro [%] Ley de Magnesio [%] Ley de Níquel [%] Ley de Sílice [%] Razón Sílice-Magnesio TABLA 2: ESTADÍSTICAS DE LEYES Y RAZÓN SÍLICE/MAGNESIO (UNIDAD GEOLÓGICA SELECCIONADA) VARIABLE Ley de Alúmina Ley de Cromo Ley de Fierro Ley de Magnesio Ley de Níquel Ley de Sílice Razón Sil-Mg Ley de Alúmina Ley de Cromo Ley de Fierro Ley de Magnesio Ley de Níquel Ley de Sílice Razón Si-Mg TABLA 3: MATRIZ DE COEFICIENTES DE CORRELACIÓN 41

52 4.2. Transformación Gaussiana de los datos Una vez que se tiene filtrada la base de datos, se procede a transformar las variables a variables Gaussianas, verificando el comportamiento bigaussiano de estas a través de los pasos mencionados en el punto (el detalle de la validación se encuentra disponible en Anexos). A continuación se entregan las estadísticas básicas de las transformadas Gaussianas de las seis leyes, mostrando además el boxplot de las variables. FIGURA 25: HISTOGRAMAS DE LAS VARIABLES GAUSSIANAS Variables Gaussianas Cantidad Mínima Máxima Promedio Varianza Ley de Alumina (NS) Ley de Cromo (NS) Ley de Fierro (NS) Ley de Magnesio (NS) Ley de Niquel (NS) Ley de Silice (NS) TABLA 4: ESTADÍSTICAS DE LAS TRANSFORMADAS GAUSSIANAS FIGURA 26: BOXPLOT DE LAS TRANSFORMADAS GAUSSIANAS 42

53 4.3. Análisis variográfico de las variables Gaussianas Una vez comprobado el comportamiento multigaussiano de las variables transformadas, se procede a realizar el análisis variográfico, construyendo primero el variograma experimental en las direcciones principales de anisotropía y luego ajustando un modelo de corregionalización. Este análisis se realiza con la finalidad de modelar la continuidad espacial de las variables, lo que se transformará en un input clave dentro de los modelos estudiados Variograma Experimental Las direcciones principales de anisotropía de la zona en estudio corresponden a los ejes ortogonales definidos en un plano rotado con respecto al eje X (dirección este) en 15º en el mismo sentido del reloj. FIGURA 27: MAPAS VARIOGRÁFICOS GAUSSIANA DE MAGNESIO (COORDENADAS ROTADAS) FIGURA 28: DIRECCIÓN DE CÁLCULO DE VARIOGRAMAS EXPERIMENTALES Los parámetros de cálculo utilizados en la construcción de los variogramas experimentales (simples y cruzados) en el nuevo sistema de coordenadas (U,V,W, rotado en 15 con respecto al eje X) se muestran en la siguiente tabla. 43

54 Parámetro Dirección U Dirección V Dirección W Azimut Dip Tolerancia azimut Ancho banda (m) Tolerancia dip Alto banda (m) Numero pasos Tamaño paso (m) Tolerancia paso (m) TABLA 5: PARÁMETROS DE CÁLCULO, VARIOGRAMA EXPERIMENTAL (CON RESPECTO AL SISTEMA ROTADO) A continuación se entregan los variogramas experimentales resultantes: FIGURA 29: VARIOGRAMAS EXPERIMENTALES DE LAS 6 VARIABLES GAUSSIANAS 44

55 Variograma Modelado Debido a que el variograma experimental es incompleto, debemos ajustar un modelo de corregionalización para poder modelar la continuidad espacial de las variables en estudio. A continuación se entrega el modelo de corregionalización propuesto y su ajuste a los variogramas experimentales, usando un efecto pepita y modelos esféricos anidados. FIGURA 30: MODELO DE CORREGIONALIZACIÓN ( ) ( ) [ ] ( ) ECUACIÓN 28: DEFINICIÓN MODELO DE CORREGIONALIZACIÓN CASO DE ESTUDIO 45

56 Donde: ( ) ( ) ( ) Así el modelo de corregionalización propuesto es el siguiente: ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ECUACIÓN 29: MODELO DE CORREGIONALIZACIÓN CASO DE ESTUDIO (VARIABLES GAUSSIANAS) 46

57 5. RESULTADOS En esta sección se procede a mostrar los resultados obtenidos al aplicar la metodología descrita en el capítulo 3, además de validar y analizar el impacto de estos resultados. A continuación se entregan los resultados del modelo puntual vía cokriging simple (modelo que asume una media conocida), mostrando proyecciones en el plano XY de siete de las realizaciones ejecutadas para la variable ley de níquel (variable que se escogió arbitrariamente para el despliegue de resultados). FIGURA 31: REALIZACIONES LEY DE NÍQUEL (MODELO 1) 47

58 De estos mapas se puede observar que las altas leyes se concentran en la misma zona para todas las realizaciones, mostrando un perfil común de leyes descendientes hacia la esquina derecha inferior. Estos resultados son semejantes a los obtenidos por el segundo modelo (modelo puntual sin asumir una media conocida). Estos resultados se resumen en los siguientes mapas de proyecciones XY para la variable ley de níquel. FIGURA 32: REALIZACIONES LEY DE NÍQUEL (MODELO 2) 48

59 De estos mapas se puede comprobar el comportamiento similar de la variación de leyes entre los primeros dos modelos. A continuación se entregan los resultados del modelo 3 (modelo de bloques vía cokriging simple), para bloques de metros y discretización de, mostrando proyecciones en el plano XY de siete de las realizaciones ejecutadas. FIGURA 33: REALIZACIONES LEY DE NÍQUEL (MODELO 3) 49

60 De estos mapas también se puede observar un perfil de variación de leyes semejante a los modelos puntuales. De manera similar se entregan los resultados del modelo 4 (modelo de bloques vía cokriging ordinario), para bloques de metros y discretización de, mostrando proyecciones en el plano XY de siete de las realizaciones ejecutadas, para la variable ley de níquel. FIGURA 34: REALIZACIONES LEY DE NÍQUEL (MODELO 4) 50

61 Finalmente, dado que en todas las realizaciones cada bloque es estimado de manera independiente al resto (basados en la media y varianza-covarianza de cokriging), se entregan mapas estadísticos para cada modelo (en una proyección del plano XY), con la finalidad de ilustrar la función de distribución de cada bloque, tal como se esquematiza en la siguiente figura. FIGURA 35: ILUSTRACIÓN DEL CONCEPTO DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD EN CADA BLOQUE FIGURA 36: MAPAS ESTADÍSTICOS LEY DE NÍQUEL (MODELO 1) FIGURA 37: MAPA DE VARIANZA EN CADA BLOQUE LEY DE NÍQUEL (MODELO 1) 51

62 FIGURA 38: MAPAS ESTADÍSTICOS LEY DE NÍQUEL (MODELO 2) FIGURA 39: MAPA DE VARIANZA EN CADA BLOQUE LEY DE NÍQUEL (MODELO 2) FIGURA 40: MAPA DE VARIANZA EN CADA BLOQUE LEY DE NÍQUEL (MODELO 3) 52

63 FIGURA 41: MAPAS ESTADÍSTICOS LEY DE NÍQUEL (MODELO 3) FIGURA 42: MAPAS ESTADÍSTICOS LEY DE NÍQUEL (MODELO 4) 53

64 FIGURA 43: MAPA DE VARIANZA EN CADA BLOQUE LEY DE NÍQUEL (MODELO 4) 54

65 5.1. Validación de los modelos Validación de distribuciones La primera validación consiste en comparar la distribución de diversas realizaciones de los cuatro métodos con la distribución de las muestras. Para ello se compara en un gráfico cuantil contra cuantil las 100 realizaciones de cada método con la distribución de las muestras. El resultado obtenido se muestra a continuación (para la variable ley de níquel). FIGURA 44: GRÁFICOS CUANTIL CONTRA CUANTIL DE LOS RESULTADOS DE LOS MODELOS (ABSCISA) VERSUS MUESTRAS (ORDENADA) De estos gráficos se desprende que la distribución de los datos tiene la misma forma en los cuatro modelos y en las muestras, pero en los modelos con soporte de bloques la variabilidad es menor que en las muestras (en los modelos puntuales la variabilidad es la misma que en las 55

66 muestras). Esto responde de forma coherente con los resultados esperados y nos entrega una primera validación de los modelos estudiados. Adicionalmente se muestra la distribución de los histogramas para la ley de níquel, para tres de las simulaciones. Modelo 1 Modelo 2 Modelo 3 Modelo 4 Original (Muestras) TABLA 6: COMPARACIÓN HISTOGRAMAS DE LOS 4 MODELOS CON HISTOGRAMA DE MUESTRAS (LEY DE NÍQUEL) 56

67 Valor Real Valor Real De estos gráficos se observa la semejanza en forma (realización a realización) de los modelos estudiados Validación Cruzada Adicionalmente, para los modelos puntuales, se verifica la efectividad de los modelos mediante validación cruzada. Para ello se realiza la estimación de cada punto presente en la muestra (muestra de datos Gaussianos) a partir del resto de los datos, utilizando para ello el cokriging respectivo y considerando como estimadas la media de las realizaciones. Los resultados de esta validación se entregan en la siguiente tabla y en los siguientes gráficos. Estadística Gaussiana Magnesio Gaussiana Sílice Datos totales Pendiente nube correlación Media error estandarizado Media error Varianza error estandarizado Varianza error TABLA 7: RESULTADOS DE LA VALIDACIÓN (MODELO 2) Mg Estimado vs Real y = x R² = Valor Estimado Si Estimado vs Real Valor Estimado y = x R² = FIGURA 45: GRÁFICOS DE DISPERSIÓN DE VARIABLE ESTIMADA Y VARIABLE REAL (MODELO 2) 57

68 Error Estandarizado Sílice Error Estandarizado Magnesio Frecuencia Frecuencia Error Estandarizado - Mg Error Estandarizado - Si FIGURA 46: HISTOGRAMAS ERRORES ESTANDARIZADOS (GAUSSIANAS DE MAGNESIO Y SÍLICE), MODELO 2 Error Estandarizado Magnesio Gaussiana Magnesio Estimada FIGURA 47: GRÁFICO DE DISPERSIÓN VARIABLE ESTIMADA VERSUS ERROR ESTANDARIZADO (GAUSSIANA DE MAGNESIO), MODELO Error Estandarizado Silice Gaussiana Sílice Estimada FIGURA 48: GRÁFICO DE DISPERSIÓN VARIABLE ESTIMADA VERSUS ERROR ESTANDARIZADO (GAUSSIANA DE SÍLICE), MODELO

69 Frecuencia Frecuencia Valor Real Valor Real Estadística Gaussiana Magnesio Gaussiana Sílice Datos totales Pendiente nube correlación Media error estandarizado Media error Varianza error estandarizado Varianza error TABLA 8: RESULTADOS DE LA VALIDACIÓN (MODELO 1) Mg Estimado vs Real Si Estimado vs Real y = 0.916x R² = Valor Estimado y = x R² = Valor Estimado Error Estandarizado Mg Error Estandarizado Si Clase Clase FIGURA 49: GRÁFICOS DE DISPERSIÓN ENTRE VARIABLE REAL Y ESTIMADA E HISTOGRAMAS DE ERRORES ESTANDARIZADOS (MODELO 1) 59

70 Error Estandarizado Si Error Estandarizado Mg Error estandarizado vs Magnesio Estimado Gaussiana Magnesio Estimada FIGURA 50: GRÁFICOS DE DISPERSIÓN ERROR ESTANDARIZADO VERSUS GAUSSIANA ESTIMADA (MAGNESIO), MODELO 1 Error estandarizado vs Sílice Estimado Gaussiana Sílice Estimada FIGURA 51: GRÁFICOS DE DISPERSIÓN ERROR ESTANDARIZADO VERSUS GAUSSIANA ESTIMADA (SÍLICE), MODELO De los gráficos y tablas anteriores, se desprende que las pendientes de las nubes de correlación entre valores estimados y reales tienden a uno (mostrando insesgo condicional), la media de los errores y errores estandarizados tiende a cero (mostrando insesgo), la varianza del error estandarizado es cercana a uno (mostrando que el variograma se ajusta bien a la continuidad espacial de las variables estudiadas), y la varianza del error es baja (mostrando precisión). Por lo tanto se valida la robustez de los modelos puntuales, los cuales son la base de los modelos de bloques. 60

71 Validación adicional del Modelo Objetivo Para el modelo objetivo (modelo de bloques sin asumir medias conocidas) se estudia además la variación de las relaciones entre variables y la variabilidad espacial de estas. Para ello se comparan gráficos de dispersión entre variables y nubes direccionales de las muestras contra los obtenidos mediante diferentes realizaciones. Ni - Muestras Simulación #100 (Modelo 4) vs Muestras Simulación #24 (Modelo 4) vs Muestras TABLA 9: NUBES DIRECCIONALES (MUESTRAS VERSUS MODELO 4) 61

72 Gráficos de Dispersión Muestras Gráficos de Dispersión Simulación #1 (Modelo 4) vs Muestras Gráficos de Dispersión Simulación #10 (Modelo 4) vs Muestras TABLA 10: GRÁFICOS DE DISPERSIÓN (MUESTRAS VERSUS MODELO 4) El resultado gráfico de estas validaciones nos muestra que el modelo estudiado reproduce las relaciones entre variables, reproduce las zonas de altas y bajas leyes, pero con menor variabilidad que los datos provenientes de los pozos de tronadura, debido al cambio de soporte (a un tamaño de estimación mayor). 62

73 5.2. Cálculo de recursos recuperables Para los modelos de estimación de bloques se puede construir, para cada realización, el mapa de destino de los bloques, el mapa de beneficio y la curva tonelaje ley. Además, a partir de todas las realizaciones se puede obtener la probabilidad de superar leyes de corte críticas, el mapa de destino más probable y el beneficio esperado de la zona estudiada. A continuación se entrega el mapa de probabilidad de superar una ley de un 1% de níquel (ley mayor a la ley de corte crítica del yacimiento), para el modelo de estimación vía cokriging ordinario de bloques (modelo 4), que es el modelo de mayor interés debido a que no considera medias conocidas. FIGURA 52: MAPA DE PROBABILIDAD DE SUPERAR UNA LEY DE CORTE DE NÍQUEL Adicionalmente se puede establecer el destino de los bloques, identificando criterios económicos y técnicos (restricciones piro-metalúrgicas) que nos permiten evaluar el destino y beneficio de cada bloque (en cada una de las realizaciones). Esto se realiza mediante las siguientes etapas: 1. Para cada una de las realizaciones, se clasifica cada bloque como mineral o estéril (según ecuación 30 a continuación). 2. Se genera el mapa de destinos para cada una de las realizaciones (basados en la clasificación anterior). 3. Se obtiene el mapa de destino más probable al considerar que el destino para cada bloque dentro del modelo, corresponde al destino más frecuente de este bloque en todas las realizaciones. 4. Para cada una de las realizaciones, se valoriza cada bloque (según ecuación 31). 5. Se obtiene el mapa de beneficio esperado al tomar para cada bloque, el promedio de su beneficio dentro de las realizaciones. 63

74 El esquema de destino y beneficio en cada bloque se muestra en la siguiente figura. FIGURA 53: ESQUEMA DE DEFINICIÓN DE DESTINO Y EVALUACIÓN DE BENEFICIO DE CADA BLOQUE El beneficio de cada bloque y la discriminación entre mineral y estéril están dados por las siguientes ecuaciones: { { } { } { [ ]} ECUACIÓN 30: CLASIFICACIÓN DE BLOQUES ENTRE MINERAL Y ESTÉRIL [ ] { [ ] ( [ ] ) [ ] [ ] ECUACIÓN 31: VALORIZACIÓN DE CADA BLOQUE Así se construye los siguientes mapas de destino de bloques, en los cuales se destaca la gran variabilidad del destino de algunos bloques (resultados obtenidos para el modelo 4). 64

75 FIGURA 54: MAPAS DE DESTINO DE BLOQUES PARA 3 REALIZACIONES 65

76 5.3. Comparación de resultados del modelo objetivo con una estimación tradicional Se procede a contrastar estos resultados con los obtenidos a través de una estimación directa de las variables mediante una estimación de cokriging ordinario (estimación multivariable que no asume una media conocida, sin recurrir a transformadas Gaussianas ni al modelo Gaussiano discreto), la que corresponde a un enfoque más tradicional. Así se puede analizar la diferencia de clasificación de bloques (entre estéril y mineral) y la variación de la relación estéril mineral entre los métodos. En la siguiente figura se muestra el destino más probable obtenido mediante el modelo vía cokriging ordinario de bloques y el mapa de destinos mediante el enfoque tradicional antes mencionado. FIGURA 55: COMPARACIÓN DE DESTINO DE BLOQUES (MODELO OBJETIVO VERSUS ESTIMACIÓN TRADICIONAL) Adicionalmente se contrasta el beneficio esperado para cada bloque (obtenido mediante la nueva metodología), con el beneficio obtenido mediante el enfoque tradicional. FIGURA 56: COMPARACIÓN DE BENEFICIO ESTIMADO (MODELO OBJETIVO VERSUS ESTIMACIÓN TRADICIONAL) 66

77 Tonelaje [ton] Ley Media [%] Los resultados de estas comparaciones arrojan una diferencia de 24.6% de bloques clasificados de forma diferente (entre estéril y mineral), una discrepancia de un 22.5% en la relación estéril/mineral estimada (0.8 para la estimación tradicional y 0.65 para el modelo objetivo) y una diferencia porcentual de 18.3% en el beneficio estimado (lo que significa una diferencia de 8.2 [MUS$]) para el caso de estudio. Estas discrepancias se explican por la propiedad de suavizamiento del cokriging, que no reproduce la variabilidad espacial de las leyes y produce sesgos en la estimación, debido a que el destino de los bloques está basado en una relación que utiliza variables no aditivas (ecuación 30). Finalmente se compara la curva tonelaje-ley de níquel de todas las realizaciones, con las obtenidas mediante el enfoque tradicional. Curva Tonelaje Ley - Níquel Ley de Corte [%] FIGURA 57: CURVAS TONELAJE-LEY (REALIZACIONES MODELO OBJETIVO Y PROMEDIO DE REALIZACIONES VERSUS ESTIMACIÓN TRADICIONAL) En este gráfico se puede apreciar que las curvas de tonelaje y ley media versus ley de corte del enfoque tradicional presentan discrepancias con respecto al promedio de las realizaciones. Nuevamente estas discrepancias están asociadas al suavizamiento del cokriging. Finalmente se entrega el histograma del beneficio de las realizaciones, del cual se puede obtener el análisis del mejor caso, el peor caso y el caso promedio (además de analizar intervalos de confianza del beneficio promedio). 67

78 FIGURA 58: HISTOGRAMA Y BOXPLOT DEL BENEFICIO (MODELO OBJETIVO) De este gráfico se puede observar que todos los escenarios estudiados tienen beneficio positivo (y mayor a 40 [MUS$]), que el caso promedio está en torno a 52.9 [MUS$] y que con un 90% de confianza se obtienen beneficios mayores a 46 [MUS$]. Además el beneficio estimado por medio del método tradicional (indicado en rojo) coincide con uno de los peores escenarios obtenidos por medio del modelo objetivo. El que todos los escenarios tengan beneficio positivo se debe a que la zona estudiada presenta una gran cantidad de bloques con ley de níquel por sobre la ley de corte. 68

79 6. CONCLUSIONES La determinación de leyes y otras variables en depósitos mineros es extremadamente importante en el negocio minero, por lo que la búsqueda de modelos que reproduzcan la variabilidad, continuidad y relaciones de las variables, es vital para cuantificar los recursos recuperables y beneficio de un proyecto minero. Como resultado de la aplicación de las metodologías, se valida la reproducción de la variabilidad de las estimaciones puntuales (modelos 1 y 2), y se ratifica la pérdida de variabilidad en los estimaciones de bloques (modelos 3 y 4) debido al cambio de soporte. Además se verifica que los modelos son coherentes y que presentan las mismas zonas geográficas con altas y bajas leyes. Con respecto a los modelos puntuales, adicionalmente, se valida la robustez de estos modelos al realizar una validación cruzada. Con respecto al modelo objetivo (modelo 4) se verifica que este modelo reproduce las relaciones entre variables, reproduce las zonas de altas y bajas leyes, pero tiene menor variabilidad que los datos provenientes de los pozos de tronadura debido al cambio de soporte. Adicionalmente este modelo permite realizar análisis de escenarios, definir el destino más probable para los bloques, evaluar la probabilidad de superar una ley de corte dada y definir el beneficio esperado. Al comparar los resultados del modelo objetivo con una estimación mediante cokriging ordinario (técnica tradicional), si bien es cierto se obtienen las mismas zonas con altas y bajas leyes, se obtiene una diferencia de 24.6% de bloques clasificados de forma diferente (entre estéril y mineral), una discrepancia de un 22.5% en la relación estéril/mineral estimada y una diferencia de 8.2 [MUS$] en el beneficio estimado para el caso de estudio. Estas discrepancias se explican por la propiedad de suavizamiento del cokriging, que no reproduce la variabilidad espacial de las leyes y produce sesgos en la estimación de variables no aditivas. En cambio, la metodología propuesta entrega resultados más confiables (teóricamente insesgadas). Estas diferencias cobran gran relevancia cuando se considere cualquier función no lineal que dependa de las estimaciones realizadas (como por ejemplo beneficio, recuperación metalúrgica, consumo de insumos, entre otros). Adicionalmente el modelo 4 permite realizar el análisis de múltiples escenarios, por lo que se convierte en una técnica más poderosa al analizar el riesgo de decisiones. Con respecto a las curvas tonelaje-ley analizadas para el modelo 4 y la estimación tradicional, se concluye que el promedio de las curvas del modelo 4 presenta leves discrepancias con respecto a las curvas obtenidas mediante el enfoque tradicional. No obstante, de las 100 simulaciones realizadas, se genera una región de curvas tonelaje-ley que aumenta en espesor en la medida que la ley de corte considerada aumenta. Esto puede traer consideraciones importantes a la hora de evaluar un proyecto minero. Con respecto al objetivo general, se logra abordar el desafío del cambio de soporte en el ámbito multivariable, extendiendo la aplicación del modelo Gaussiano discreto, entregando estimaciones a nivel de bloques de selección minera. 69

80 Con respecto a la base de datos utilizada para aplicar los cuatro modelos, se tiene que es una muestra de una de las unidades geológicas encontradas. Esto permite cumplir las hipótesis de los modelos utilizados, las cuales pueden ser difíciles de cumplir para la mayoría de las bases de datos mineras (mezclas de poblaciones geológicamente y estadísticamente distintas), dificultando la aplicación de la metodología desarrollada en este trabajo o disminuyendo la calidad de las estimaciones realizadas. En cuanto a tiempos de cálculo, el modelo 4 presenta bajos tiempos de cálculo. Esto se debe a que el modelo genera simulaciones, solamente definidas a partir de la estimación y varianza de cokriging. Otra componente del tiempo de cálculo, consiste en ajustar un modelo de corregionalización, encontrar los coeficientes de cambio de soporte y obtener la función anamorfosis de bloques. Se recomienda la aplicación del modelo objetivo (debido a que cuantifica el cambio de soporte, genera múltiples escenarios, reproduce las zonas de altas y bajas leyes, y genera estimaciones insesgadas) a zonas que cumplan a cabalidad las hipótesis del modelo Gaussiano discreto. En caso de no cumplir estas hipótesis, se recomienda dividir la zona de estudio en subzonas que sí las cumplan, y sobre estas sub-zonas aplicar el modelo objetivo. Como reflexión adicional se quiere añadir que el modelo objetivo no es solamente aplicable a leyes de elemento con interés económico, sino que también a muchas variables de interés en el contexto minero metalúrgico que sean medibles numéricamente. Finalmente se recomienda la aplicación del modelo objetivo en casos en que el tiempo disponible sea considerable. Esto se debe a que la determinación de zonas que cumplan con las hipótesis del modelo, el análisis y transformación de datos, el ajuste de corregionalización, la determinación de los coeficientes de cambio de soporte, la obtención de la función anamorfosis de bloques y la aplicación del modelo propiamente tal a todas las zonas definidas, puede tomar un mayor tiempo que los métodos tradicionales. 70

81 7. REFERENCIAS [1] Bergman, R.A., Nickel production from low-iron laterite ores: Process descriptions. CIM Bulletin, Vol. 96, Nº 1072, p [2] Carrasco, P., Chilès, J.P. and Séguret, S., Additivity, metallurgical recovery, and copper grade. In: Proceedings of the 8th International Geostatistics Congress GEOSTATS 2008, Gecamin Ltda, Santiago, Chile, p [3] Chilès, J.P., Delfiner, P., Geostatistics: Modeling Spatial Uncertainty, Wiley, New York, 695 p. [4] Crundwell, F., Moats, M., Ramachandran, V., Robinson, T. and Davenport, W.G., Extractive Metallurgy of Nickel, Cobalt and Platinum Group Metals, 622 p. [5] Dalvi, A., Gordon W. and Osborne, R., The past and the future of Nickel Laterites. PDAC 2004 International Convention, 27 p. [6] Degel, R., Kempken, J., Kunze, J. and König, R., Design of a modern large capacity FeNi Smelting Plant. Infacon XI, p [7] Emery, X., On Some Consistency Conditions for Geostatistical Change of- Support Models. Mathematical Geology, Vol 39, no. 2, p [8] Emery X., Simulación estocástica y geoestadística no lineal. Departamento de Ingeniería de Minas, Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas, Universidad de Chile, 189 p. [9] Emery, X., Change-of-support models and computer programs for direct block-support simulation. Computer & Geosciences, Vol. 35, p [10] Emery, X., Iterative algorithms for fitting a linear model of coregionalization. Computer & Geosciences, Vol. 36, p [11] Emery X., Geoestadística. Departamento de Ingeniería de Minas, Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas, Universidad de Chile, 149 p. [12] Emery, X., Carrasco, P. and Ortiz, J.M., Geostatistical modelling of solubility ratio in an oxide copper deposit. In: 1st International Conference on Mining Innovation MININ 2004, E. Magri et al. (eds.), Gecamin Ltda, Santiago, Chile, p [13] Emery, X. and Soto Torres, J. F., Models for support and information effects: A case study. Mathematical Geology, Vol. 37, no. 1, p [14] Gleeson, S. et al, The Mineralogy and Geochemistry of the Cerro Matoso S.A. Ni Laterite Deposit, Montelíbano, Colombia. Economic Geology, Vol. 99, no. 6, p

82 [15] Goulard, M., Voltz, M., Linear corregionalization model: Tools for estimation and choice of cross variogram matrix. Mathematical Geology, Vol. 30, no 6, p [16] Lantuéjoul, C., On the importance of choosing a change of support model for global reserves estimation. Mathematical Geology, Vol. 20, no. 8, p [17] Matheron, G., Forecasting block grade distributions: The transfer functions. In: Guarascio, M., David, M., and Huijbregts, C.J., eds., Advanced Geostatistics in the Mining Industry. Reidel, Dordrecht, p [18] Rivera P., Comparación de Métodos para Co-Simulación de Leyes Minerales. Memoria para optar al título de ingeniero civil de minas. Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas, Universidad de Chile, p [19] Rivoirard, J., Introduction to Disjunctive Kriging and Nonlinear Geostatistics. Oxford University Press, Oxford, 181 p. [20] Rose, W., Sim R., Davis, B. y Barcza, N., Preliminary economic assessment Mayaniquel project. Canadian National Instrument Technical Report, 171 p. [21] Verly, G., The multigaussian approach and its application to the estimation of local reserves. Mathematical Geology, vol. 15, no. 2, p

83 8. ANEXOS 8.1. Anexo 1: Estudio Exploratorio Mapas de distribución de las leyes originales A continuación se entregan los perfiles YZ de las leyes presentes en la base de datos original (con todas las unidades geológicas). FIGURA 59: PROYECCIONES EN EL PERFIL YZ DE LAS VARIABLES ORIGINALES 73

84 Análisis de la zona seleccionada A continuación se entregan las estadísticas, histogramas y gráficos de dispersión entre las distintas variables, detallando también el coeficiente de correlación entre ellas: Variables Cantidad Mínimo Máximo Promedio Varianza Ley de Alumina [%] Ley de Cromo [%] Ley de Fierro [%] Ley de Magnesio [%] Ley de Niquel [%] Ley de Silice [%] Razón Si/Mg TABLA 11: ESTADÍSTICAS DE LEYES Y RAZÓN SI/MG (UNIDAD GEOLÓGICA SELECCIONADA) FIGURA 60: HISTOGRAMAS DE LAS VARIABLES (ZONA SELECCIONADA) VARIABLE Ley de Ley de Ley de Ley de Ley de Ley de Razón Alúmina Cromo Fierro Magnesio Níquel Sílice Sil-Mg Ley de Alúmina Ley de Cromo Ley de Fierro Ley de Magnesio Ley de Níquel Ley de Sílice Razón Si-Mg TABLA 12: MATRIZ DE COEFCIENTES DE CORRELACIÓN (ZONA SELECCIONADA) 74

85 FIGURA 61: GRÁFICOS DE DISPERSIÓN ENTRE VARIABLES (ZONA SELECCIONADA) 75

86 Verificación de la bigaussianidad A continuación se procede a verificar la bi-gaussianidad de los datos Gaussianos de la zona seleccionada. Para ello se entrega la verificación para el par de variables Gaussiana de magnesio y Gaussiana de sílice. 0.- Gráfico de dispersión entre variables Gaussianas: Se verifica el comportamiento elíptico de esta nube FIGURA 62: GRÁFICO DE DISPERSIÓN ENTRE VARIABLES GAUSSIANAS 1.- Verificar comportamiento Gaussiano de las variables: se verifica que los histogramas se asemejen a campanas simétricas, centradas en cero. FIGURA 63: HISTOGRAMAS DE LAS VARIABLES GAUSSIANAS Variables Gaussianas Cantidad Mínima Máxima Promedio Varianza Ley de Magnesio (NS) Ley de Sílice (NS) TABLA 13: ESTADÍSTICAS DE LAS TRANSFORMADAS GAUSSIANAS 76

87 2.- Nubes de dispersión diferidas de las Gaussianas de magnesio y sílice: se verifica que las nubes de correlación a pequeña distancia se asemejan a elipses y a larga distancia se asemejan a círculos. FIGURA 64: NUBES DE DISPERSIÓN DIFERIDA (ARRIBA H=7 [M], ABAJO H=30 [M]) 3.- Raíz de variograma sobre madograma: verificar que este gráfico sea cercano a raíz de ( ). FIGURA 65: RAÍZ DE VARIOGRAMA DIVIDIDO POR MADOGRAMA - GAUSSIANAS MAGNESIO (IZQUIERDA) Y SÍLICE (DERECHA) 77

88 FIGURA 66: RAÍZ DE VARIOGRAMA DIVIDIDO POR MADOGRAMA - ANÁLISIS DIRECCIONAL (GAUSSIANAS MAGNESIO Y SÍLICE) 78

89 Búsqueda de las direcciones de anisotropía Analizando previamente el variograma experimental de las variables Gaussianas en distintas direcciones, se determina que las direcciones ortogonales al plano principal de la zona en estudio son las principales direcciones de anisotropía. FIGURA 67: VARIOGRAMAS EXPERIMENTALES GAUSSIANAS (VARIAS DIRECCIONES) 79

90 Esto se ratifica al construir los variogramas experimentales directos Gaussianas, encontrando que estas direcciones son las principales de anisotropía. de las FIGURA 68: VARIOGRAMAS EXPERIMENTALES DIRECTOS VARIABLES GAUSSIANAS Finalmente, se prefiere construir los variogramas experimentales en 3 direcciones en vez de uno omnidireccional (u horizontal más vertical) debido a leves diferencias en estas direcciones (las cuales se aprecian mejor en los variogramas cruzados). 80

91 8.2. Anexo 2: Resultados de los modelos Histogramas de las realizaciones Mod 1 Mod 2 Mod 3 Mod 4 Original TABLA 14: HISTOGRAMA REALIZACIONES Y MUESTRAS (LEY DE ALUMINIO) 81

92 Mod1 Mod2 Mod3 Mod4 Original TABLA 15: HISTOGRAMA REALIZACIONES Y MUESTRAS (LEY DE CROMO) 82

93 Mod1 Mod2 Mod3 Mod4 Original TABLA 16: HISTOGRAMA REALIZACIONES Y MUESTRAS (LEY DE HIERRO) 83

94 Mod1 Mod2 Mod3 Mod4 Original TABLA 17: HISTOGRAMA REALIZACIONES Y MUESTRAS (LEY DE MAGNESIO) 84

95 Mod1 Mod2 Mod3 Mod4 Original TABLA 18: HISTOGRAMA REALIZACIONES Y MUESTRAS (LEY DE NÍQUEL) 85

96 Mod1 Mod2 Mod3 Mod4 Original TABLA 19: HISTOGRAMA REALIZACIONES Y MUESTRAS (LEY DE SÍLICE) 86

97 Mod1 Mod2 Mod3 Mod4 Original TABLA 20: HISTOGRAMA REALIZACIONES Y MUESTRAS (RAZÓN SÍLICE-MAGNESIO) 87

98 Estadísticas y boxplots de las realizaciones del modelo 4 A continuación se entregan estadísticas y boxplots de algunas realizaciones de las leyes en estudio. Realización Cantidad Mínimo [%] Máximo [%] Promedio [%] Varianza TABLA 21: ESTADÍSTICAS DE ALGUNAS DE LAS REALIZACIONES PARA ALUMINIO Realización Cantidad Mínimo [%] Máximo [%] Promedio [%] Varianza TABLA 22: ESTADÍSTICAS DE ALGUNAS DE LAS REALIZACIONES PARA CROMO Realización Cantidad Mínimo [%] Máximo [%] Promedio [%] Varianza TABLA 23: ESTADÍSTICAS DE ALGUNAS DE LAS REALIZACIONES PARA FIERRO Realización Cantidad Mínimo [%] Máximo [%] Promedio [%] Varianza TABLA 24: ESTADÍSTICAS DE ALGUNAS DE LAS REALIZACIONES PARA MAGNESIO Realización Cantidad Mínimo [%] Máximo [%] Promedio [%] Varianza TABLA 25: ESTIDÍSTICAS DE ALGUNAS DE LAS REALIZACIONES PARA NÍQUEL 88

99 Realización Cantidad Mínimo [%] Máximo [%] Promedio [%] Varianza TABLA 26: ESTADÍSTICAS DE ALGUNAS DE LAS REALIZACIONES PARA SÍLICE Para el caso del Níquel se destaca la comparación de estadísticas entre algunas realizaciones y las estadísticas de las muestras: Ley de Níquel Cantidad Mínima [%] Máxima [%] Promedio [%] Varianza Realización Realización Realización Realización Realización Muestras TABLA 27: COMPARACIÓN ESTADÍSTICAS DE ALGUNAS DE LAS REALIZACIONES PARA NÍQUEL Ley de Magnesio Cantidad Mínima [%] Máxima [%] Promedio [%] Varianza Realización Realización Realización Realización Realización Muestras TABLA 28: COMPARACIÓN ESTADÍSTICAS DE ALGUNAS DE LAS REALIZACIONES PARA MAGNESIO Aluminio Cromo Fierro TABLA 29: BOXPLOT REALIZACIONES MODELO 4 (1) 89

100 Magnesio Níquel Sílice TABLA 30: BOXPLOT REALIZACIONES MODELO 4 (2) 90

101 8.3. Anexo 3: Resultados de un modelo tradicional A continuación se entregan los resultados de la estimación tradicional realizada, mediante cokriging ordinario. Estadísticas Cantidad Mínimo [%] Máximo [%] Promedio [%] Varianza Al Cr Fe Mg Ni Si Si/Mg TABLA 31: ESTADÍSTICAS ESTIMACIÓN TRADICIONAL TABLA 32: COMPARACIÓN HISTOGRAMAS ESTIMACIÓN TRADICIONAL (VERDE) MUESTRAS (AMARILLO) (1) 91

102 TABLA 33: COMPARACIÓN HISTOGRAMAS ESTIMACIÓN TRADICIONAL (VERDE) MUESTRAS (AMARILLO) (2) 92

103 8.4. Anexo 4: Definición de bloques y función de beneficio La función de decisión de bloques fue construida utilizando información relevante de la mina Cerro Matoso S.A., más información técnica sobre la operación de las fundiciones de lateritas niquelíferas para producir ferroníquel. En particular el depósito de Cerro Matoso es uno de los que posee mayor ley media, y uno de los mayores productores de ferroníquel (siendo el segundo productor mundial con toneladas anuales de este producto). El depósito posee además otros elementos (como magnesio y sílice) que dificultan y en algunos casos imposibilitan la producción de ferroníquel, debido a restricciones pirometalúrgicas que se detallan a continuación: 1.- La fundición de Cerro Matoso trabaja con una razón promedio de sílice-magnesio de 2,8 (realizando mezclas de mineral para alcanzar dicha condición de operación). Esto se muestra en la siguiente figura [6,5]: FIGURA 69: RAZÓN SÍLICE-MAGNESIO EN CERRO MATOSO Se obtiene que esta razón no debe superar valores de 10 para que mediante blending se logre alcanzar la razón de operación. 2.- La razón fierro-níquel promedio debe estar entre 6 y 12 (realizando mezclas de mineral para alcanzar dicha condición de operación). Esta condición es de gran importancia en el proceso pirometalúrgico, aunque no se le dé la misma prioridad que a la razón sílicemagnesio. Se obtiene que esta razón no debe superar valores de 68 para que mediante blending se logre alcanzar la razón de operación. 93