2.1. ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS BASADO EN LA SENSIBILIDAD.

Transcripción

1 ACTUALIZACIÓN DE UN MODELO NUMÉRICO DE LA PASARELA DE LA CARTUJA A PARTIR DE DATOS EXPERIMENTALES. MODAL UPDATING. RESEÑA TEÓRICA El objetivo del modal updating es ajustar los valores de los parámetros seleccionados de tal manera que los coeficientes de correlación se minimicen. A continuación se describe cómo se estiman los cambios de los parámetros requeridos y cómo pueden ser tenidos en cuenta la confianza y los límites del parámetro..1. ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS BASADO EN LA SENSIBILIDAD. La relación funcional entre las características modales y los parámetros estructurales puede ser expresada en términos de un desarrollo en serie de Taylor limitada a los términos lineales. Esta relación puede ser escrita como: {R e }={R a }+[S] ({P u }-{P o }) Ec. ó { R}=[S] { P} Ec. 3 Donde {R e } Vector que contiene las respuestas del sistema de referencia. {R a } Vector que contiene las respuestas del sistema previsto para un estado dado {P o } de los valores de los parámetros. {P u } Vector que contiene los valores actualizados del parámetro. [S] Matriz de sensibilidad. Destacar que la Ec. implica que las respuestas se producen en parejas, es decir, si la respuesta experimental se utiliza como referencia, entonces debe existir la respuesta analítica correspondiente. Cuando se seleccionan las frecuencias de resonancia como respuesta de referencia, este emparejamiento puede ser obtenido utilizando un criterio de comparación de modos. La Ec. 3 es normalmente indeterminada y puede ser resuelta usando una pseudo-inversa (mínimos cuadrados), mínimos cuadrados ponderados o la técnica Bayesiana, dependiendo de si se añaden los 8

2 ACTUALIZACIÓN DE UN MODELO NUMÉRICO DE LA PASARELA DE LA CARTUJA A PARTIR DE DATOS EXPERIMENTALES coeficientes ponderados o no. En la serie de Taylor se desprecian los términos que no son lineales, los términos despreciados de mayor orden exigen varias iteraciones, especialmente cuando { R} contiene numerosos valores... ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS PSEUDO-INVERSA Si, en la Ec., el número de ecuaciones es igual al número de parámetros, la variación de parámetros deseada puede ser obtenida directamente invirtiendo la matriz de sensibilidad: { P}=[S] -1 { R} Normalmente este no es el caso. Si el número de parámetros es menor que el número de ecuaciones, este vector se puede obtener calculando la pseudo-inversa de la matriz de sensibilidad. La pseudoinversa es una generalización de la inversa de una matriz: Ec. 4 { P}=[S] + { R}= [S] t [S] -1 [S] t { R} La solución de mínimos cuadrados obtenida de la Ec. 5 minimizará el siguiente residuo: Ec. 5 {residuo}=[s] { P}-{ R} Si el número de parámetros es mayor que el número de ecuaciones, entonces la pseudo-inversa es calculada como sigue: Ec. 6 [S] + =[S] t [S] t [S] -1 Usando esta pseudo-inversa se obtendrá la norma mínima de la estimación del parámetro. Esta técnica produce buenas soluciones cuando es buena la estimación inicial del parámetro. Ec. 7 9

3 ACTUALIZACIÓN DE UN MODELO NUMÉRICO DE LA PASARELA DE LA CARTUJA A PARTIR DE DATOS EXPERIMENTALES.3. ESTIMACIÓN BAYESIANA DEL PARÁMETRO La expresión de la estimación Bayesiana del parámetro incluye el uso de coeficientes ponderados en los parámetros y sobre las respuestas. La discrepancia entre el modelo inicial y los datos experimentales se resuelve minimizando un error ponderado E, dado por: E={ R} t [C R ] { R}+{ P} t [C P ] { P} Ec. 8 Este error puede ser minimizado utilizando el siguiente algoritmo: {P u }={P o }+[G] {- R} Ec. 9 Con la matriz de ganancia G calculada como: [G]= [C P ]+[S] t [C R ] [S] -1 [S] t [C R ] Esta ecuación es válida si hay más respuestas que parámetros. En caso haber más parámetros que ecuaciones, que normalmente es el caso, se utiliza la siguiente formulación: Ec. 10 [G]=( [C P ]) -1 [S] t [C R ] -1 +[S] ( C P ) -1 [S] t -1 El número de respuestas es normalmente menor comparado con el número de parámetros. Sin embargo, esto pone un límite al número de respuestas que pueden ser utilizadas ya que la matriz que debe ser invertida es una matriz no simétrica completamente llena. El número de operaciones requeridas para invertir una matriz va en relación con el cubo de la dimensión de la matriz. La inversión de las matrices de ponderación es trivial porque son diagonales. Ec VALORES DE CONFIANZA En la Ec. 8, [C P ] representa una matriz de ponderación diagonal que expresa la confianza en los parámetros del modelo, mientras [C R ] es una matriz diagonal de ponderación que expresa la confianza en los datos experimentales. Sus valores dependen de las características de la estructura, métodos del ensayo y del modelado. Es importante definir la incertidumbre en los datos experimentales ya que estos 10

4 ACTUALIZACIÓN DE UN MODELO NUMÉRICO DE LA PASARELA DE LA CARTUJA A PARTIR DE DATOS EXPERIMENTALES datos pueden contener errores importantes. La inversa de [C P ] y [C R ] son las matrices de co-varianza de parámetros y respuestas respectivamente. Para las matrices de confianza se utilizan las siguientes expresiones: C Rii = 1 C R ri i Ec. 1 C Pjj = 1 P i C pj 100 Ec. 13 Donde R i P j C ri C pj Es el valor de la respuesta i Es el valor inicial del parámetro j Es la confianza en el valor de la respuesta Es la confianza en el valor del parámetro inicial Pj. Los valores de confianza C ri y C pj están relacionados con los errores relativos esperados en las respuestas (C ri ) y en los parámetros C pj como sigue: C ri = 1 C ri Ec. 14 C pj = 100 C pj Ec ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS DE MÍNIMOS CUADRADOS PONDERADOS. Si C p =0, la Ec. 10 se convierte en la ecuación de estimación de parámetros de mínimos cuadrados ponderados: [G]= [S] t [C R ] [S] -1 [S] t [C R ] Ec

5 ACTUALIZACIÓN DE UN MODELO NUMÉRICO DE LA PASARELA DE LA CARTUJA A PARTIR DE DATOS EXPERIMENTALES Se puede presentar esta situación si no se dispone de la estimación del error de los valores de los parámetros. Si [C R ]=0 significa que no se tiene confianza en los parámetros experimentales, por lo que los datos experimentales no se utilizan y los parámetros no son actualizados..6. DESCOMPOSICIÓN DE VALORES SINGULARES La pseudo-inversa de una matriz puede también ser calculada usando una Descomposición de valores singulares (SVD). Cualquier matriz MxN [A] cuyo número de columnas M sea mayor o igual que el número de columnas N, puede ser descompuesta como el producto de una matriz ortogonal MxN [ ], una matriz NxN diagonal [W] con N valores singulares que son positivos o cero, y la transpuesta de una matriz NxN ortogonal [V], es decir, [A] t MxN =[U] MxN [W] NxN [V] NxN [U] t MxN [U] MxN =[I] Ec. 17 Ec. 18 [V] t NxN t [V] NxN =[N] NxN [N] NxN =[I] Ec. 19 Supuesta una matriz [A], se constituye la ecuación lineal {y}=[a] {x} Ec. 0 La solución de mínimos cuadrados viene dada por {x}=[a] + {y} Ec. 1 [A] + =[V] t+ [W] + [U] t+ =[V] t [W] + [U] t En su obtención, se ha utilizado la ortogonalidad de las matrices [U] y [V]. Si [A] es de rango deficiente o casi singular, algunos de los valores singulares w i serán cero o próximos a cero, sin pérdida de generalidad, se puede escribir: Ec. 1

6 ACTUALIZACIÓN DE UN MODELO NUMÉRICO DE LA PASARELA DE LA CARTUJA A PARTIR DE DATOS EXPERIMENTALES -1 w 1 [W] + = w r -1-1 w r+1-1 w N Ec. 3 Donde r valores singulares w 1, w,, w r son valores grandes y los otros (n-r) valores singulares son cero o muy pequeños. La solución correcta de la ecuación lineal se obtiene haciendo w -1 r+1, w -1-1 r+,, w N cero. Cuando la relación del primer valor singular sobre el valor singular K-ésimo es mayor que 1E+15, o el valor singular (k-1)-ésimo sobre el K-ésimo es mayor que 1E+9, entonces los valores singulares desde el (K+1)-ésimo al n-ésimo se hacen cero..7. ESCALADO DE LA MATRIZ DE SENSIBILIDAD DE RESPUESTA-MÚLTIPLE Si los desplazamientos modales, el MAC y las masas son añadidos a la función objetivo, la matriz de sensibilidad resultante podría ser mal condicionada. Los resultados mal condicionados son debidos al diferente nivel de sensibilidad de la respuesta a los parámetros dados, el ruido de las respuestas y/o la no linealidad inherente entre las respuestas y parámetros. En FEMtools, el principio de escalado de una matriz de sensibilidad de respuesta múltiple se describe como sigue: - Cálculo de la norma de matriz de submatriz de sensibilidad, que sólo selecciona una tipo de respuesta. Es decir, puede haber 4 posibles submatrices de sensibilidad. [S f ], [S mac ], S dip, [S mass ]. - Cálculo de factores de escalado k f, k mac, K disp, k mass basados en la relación de las normas de las matrices de sensibilidad: S f =k mac S mac =k mdis S dis =k mass S mass Ec. 4 - El escalado de esta manera equivale a modificar la parte de la respuesta del error como 13

7 ACTUALIZACIÓN DE UN MODELO NUMÉRICO DE LA PASARELA DE LA CARTUJA A PARTIR DE DATOS EXPERIMENTALES y T T T W y { y}= y Wf f y f + y Wy MAC k MAC y MAC + T + y Wf MDIS k MDIS T y MDIS + y Wf MASS k MASS y MASS Ec. 5 El total es {e}= y T W y { y}+ p T W p { p} Ec FACTORES DE REDUCCIÓN Y AMPLIFICACIÓN Los factores de reducción y amplificación pueden ser utilizados para modificar la magnitud de los coeficientes de sensibilidad. Son aplicados en la matriz completa [S]: S =a t [S] Donde a t es un valor real positivo. Se pueden usar valores por debajo de 1 para forzar a los pasos de iteración a ser pequeños. Por otro lado, valores mayores que 1 aceleran el procedimiento. El factor a t no tiene porque ser un valor constante pero puede ser calculado como una función de la diferencia entre los coeficientes de correlación de iteraciones consecutivas o utilizando una función definida por el usuario. Ec LIMITACIONES DE LOS PARÁMETROS Para evitar valores de parámetros físicamente imposibles se aplican límites, máximo y mínimo, para el valor de los parámetros. Si, durante la iteración, un valor del parámetro alcanza su límite permitido, entonces estos parámetros no se tienen en cuenta durante el resto del proceso. Cuando se definen limitaciones para los parámetros, posiblemente, la convergencia no pueda ser obtenida con total libertad, por lo que se necesita entonces una solución de compromiso entre los valores de los parámetros físicos, para que sean aceptables, y el nivel de convergencia. 14

8 ACTUALIZACIÓN DE UN MODELO NUMÉRICO DE LA PASARELA DE LA CARTUJA A PARTIR DE DATOS EXPERIMENTALES.10. CRITERIO DE CONVERGENCIA En la actualización del modelo, los coeficientes de correlación son interpretados como una función objetivo que tiene que ser minimizada. Con cada iteración el valor de los coeficientes de correlación se verifican para comprobar si se ha satisfecho el criterio de convergencia. Se utilizan los siguientes criterios: - Que el valor del coeficiente de correlación de referencia sea menor que un margen impuesto: CC t <ε 1 Ec. 8 Donde CC t ε Coeficiente de correlación de referencia en la iteración t Margen de convergencia. - Que la diferencia de dos valores consecutivos de los coeficientes de correlación de referencia no supere un margen dado. CC t+1 -CC t <ε - Que el número de iteraciones sobrepase el máximo número que es permitido. Supone un límite práctico en el número de iteraciones en caso de que se utilicen márgenes de convergencia muy pequeños. La iteración en modal updating será detenida tan pronto como una de estos criterios se cumpla. Cada uno de los coeficientes de correlación que son calculados en FEMtoos pueden ser seleccionadas como coeficiente de correlación de referencia para probar la convergencia. Ec DESCRIPCIÓN DE LA ESTRUCTURA La Pasarela de la Cartuja se sitúa sobre la dársena del Guadalquivir, uniendo el Monasterio de la Cartuja con la calle Torneo. Se construyó en 1991 para la Expo 9, para permitir el acceso peatonal al recinto de la Exposición. Desde el 004 también se permite el tráfico rodado. 15