Método de los Mínimos Cuadrados Recursivos

Transcripción

1 Método de los Mínimos Cuadrados Recursivos Teodoro Alamo a Ingeniería de Control Tercer Curso GITI Escuela Superior de Ingenieros Sevilla Formulación del problema Supongamos que los escalares y i, i = 0,, representan la salida muestreada de un sistema dinámico Asumamos asimismo que el valor de la salida y i puede ser aproximado por una expresión del tipo y i m i θ, i = 0,,, donde m i IR n m es un vector fila denominado regresor que está constituido por valores pasados de las entradas y salidas del sistema Por otro lado, θ es un vector columna donde se concentran los distintos parámetros que determinan la relación entre las entradas y salidas del sistema Dentro de las entrada podemos asumir las acciones de control y las perturbaciones medibles Como ejemplo, supóngase un sistema con salida y y una entrada u y una relación entre la salida y entrada dada por la siguiente ecuación en diferencias: y i = a y i + b u i + b 2 u i 2 + v i El escalar v i aglutina los errores en la medida, errores de modelado, etc En este caso, el regresor para un determinado instante de muestreo i es m i = [ y i u i u i 2 El término v i no se introduce en el regresor puesto que es un término de error que no es conocido a priori Por otro lado, el vector paramétrico θ sería θ = a b b 2 a Departamento de Ingeniería de Sistemas y Automática, Universidad de Sevilla, Escuela Superior de Ingenieros, Camino de los Descubrimientos s/n, 4092 Sevilla Spain talamo@uses

2 El problema de identificación paramétrica consiste en estimar el vector paramétrico θ de la observación de las salidas y i y sus respectivos regresores m i Nótese que no siempre es posible construir el regresor Por ejemplo, si se disponen sólo de datos a partir de i = 0 en adelante, no se podría construir el regresor m 0 puesto que éste depende de los valores pasados y, u y u 2 El primer regresor que podría ser construido es m 2, que vendría dado por [ y u u 0 Por este motivo, es usual que se asuma que el primer par salida regresor disponible es el y n, m n, donde n suele ser mayor cero El problema de identificación es especialmente interesante en el contexto de sistemas variantes con el tiempo En este caso los parámetros que definen la relación entrada-salida cambian de una forma más o menos suave con el tiempo En este contexto se denota como θ la estimación del vector paramétrico en el instante de muestreo En los mínimos cuadrados se obtiene θ de forma que se minimize de forma ponderada el error cuadrático Es decir, se minimiza el funcional J θ = i y i m i θ 2 El escalar 0, se denomina factor de olvido Si se hace igual a la unidad entonces todos los errores cometidos afectan de igual forma En caso de que sea estrictamente menor que uno, los errores recientes muestras próximas a tienen más relevancia que los lejanos en el tiempo De esta forma se permite que la estimación de los parámetros pueda capturar las variaciones temporales de los mismos La adecuada elección del valor de es crítica para la obtención de resultados satisfactorios Si definimos Y = y n y n+ y, M = m n m n+ m, W = n Se obtiene que el índice a minimizar viene dado por J θ = Y M θ W Y M θ n Denotemos θ el valor que minimiza el funcional J θ Para obtener el valor óptimo de θ analizamos el funcional para una perturbación θ + θ respecto del óptimo:, J θ + θ = Y M θ + θ W Y M θ + θ = Y M θ W Y M θ + θm W M θ Y M θ W M θ θ M W Y M θ = J θ + θ M W M θ 2 θ M W Y M θ

3 Supongamos ahora que elegimos θ tal que se eliminen los términos lineales respecto de θ esto es equivalente a hacer cero el gradiente respecto de θ : M W Y M θ = 0 De aquí inferimos que M W Y = M W M θ o equivalentemente: Con esta elección resulta que θ = M W M M W Y J θ + θ = J θ + θm W M θ J θ, θ Esta última ecuación garantiza que la elección θ = M W M M W Y es óptima en el sentido de los mínimos cuadrados ponderados 2 Formulación Recursiva En esta sección se mostrará cómo obtener el valor de θ en el instante de muestreo del valor del vector paramétrico θ obtenido en el periodo de muestreo anterior Definamos, dado, la matriz P = i m i m i 2 Esta matriz juega un papel muy relevante no sólo en la obtención de θ sino también en la caracterización probabilística de las estimaciones paramétricas obtenidas Nótese que P es una matriz simétrica puesto que está definida como la inversa de una matriz simétrica Como se muestra a continuación, es posible obtener P de forma recursiva utilizando para ello P La siguiente expresión proporciona el valor de P en la muestra : Por tanto, P = P = i m i m i i m i m i = m m + i m i m i i= = m m + i m i m i i= = m m + P

4 De esta forma hemos inferido la relación que relaciona P con P : P = m m + P 3 El siguiente lema permite obtener una relación algebraica entre P y P que evita realizar la inversa de una matriz El lema que se presenta aquí es un caso particular de un resultado más genérico denominado en la literatura especializada lema de inversión Lema Supongamos que la matriz simétrica P es invertible Entonces, dado el escalar > 0 y el vector fila m se tiene que: m m + P = P mp mp + mp m Demostración: De la definición de inversa de una matriz inferimos que para demostrar el lema basta con probar la siguiente igualdad: En efecto, m m + P P mp mp + mp m = I Γ = m m + P P mp mp + mp m = m mp + I m mp m mp + mp m m mp + mp m = I + mp m m mp + mp m + mp m = I + + mp m m mp + mp m = I De la aplicación directa del lema anterior a la ecuación 3 obtenemos que P = P m P m P + m P m 4 Esta igualdad tiene muchas implicaciones prácticas Entre ellas destacamos que la matriz P se obtiene del regresor m y del valor de P sin la necesidad de realizar la inversa de ninguna matriz Nótese que esto es algo significativo puesto que P se definió en la ecuación 2 como la inversa de una matriz

5 A continuación demostramos que P es igual a la matriz M W M, la cual juega un papel central en el cómputo de θ M W M = [ m n m m = [ m n m m n n m n m m m n m m = i m i m i = P Por lo tanto, de la ecuación obtenemos θ = M W M M W Y = P M W Y [ = P m n m m = P i m i y i n y ṇ y y De la misma manera, el valor de θ viene dado por: θ = P i m i y i 5 La formulación recursiva consiste en obtener una expresión que nos permita obtener θ del valor de θ Esto es lo que conseguimos con el siguiente desarrollo θ = P i m i y i = P m y + i m i y i

6 = P m y + i m i y i = P m P m P + m P m m y + i m i y i Teniendo en cuenta la ecuación 5 obtenemos θ = P m P m P + m P m m y +θ m P m θ = + m P m P m P m m P m + m P m +θ m P m θ = P m + m P m m P m + m P m y y +θ m P m θ + m P m P m = y + m P m + θ P m m θ + m P m = θ + P m y m θ + m P m Teniendo en cuenta que y m θ es el error cometido en la estimación de y con θ, resulta que el valor actualizado de θ es igual al valor anterior θ más un término correctivo consistente en el producto del error de estimación y m θ por una ganancia de estimación K que adopta la forma: Es decir, P m K = + m P m θ = θ + K y m θ Por otra parte, de la expresión de P dada por la ecuación 4 tenemos que P se puede expresar en términos de K y P : P = I K m P Como resumen de todo lo anterior tenemos que las expresiones que permiten obtener de forma recursiva el valor de θ son

7 K = P m + m P m θ = θ + K y m θ P = I K m P