GEOESTADÍSTICA APLICADA

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Felisa Cano Peralta
hace 8 años
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1 UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO GEOESTADÍSTICA APLICADA Tema: Funciones Aleatorias Instructores: Dr. Martín A. Díaz Viera Dr. Ricardo Casar González 2009

2 Contenido Función Aleatoria (FA) Variable regionalizada Función de distribución de una FA Momentos de una FA Estacionaridad de una FA Clasificación de las FA según su grado de estacionaridad FA estacionarias de segundo orden Funciones aleatorias intrínsecas Funciones aleatorias no estacionarias 20/08/2010 CG3-Funciones Aleatorias 2

3 Función Aleatoria Si a cada punto x que pertenece a un dominio en el espacio le hacemos corresponder una variable aleatoria Z, entonces el conjunto de variables aleatorias espacialmente distribuidas será una función aleatoria Z(x). Ejemplo: La distribución espacial de las facies o la porosidad en un yacimiento. 20/08/2010 CG3-Funciones Aleatorias 3

4 Variable regionalizada Al tomar una muestra de una función aleatoria, a la que llamaremos realización, se obtendrá una función espacial discreta la cual constituye una variable regionalizada. Es decir una realización de una función aleatoria es una variable regionalizada. 20/08/2010 CG3-Funciones Aleatorias 4

5 Función de distribución de una FA Sea una función aleatoria Z(x) definida en una región, entonces el vector aleatorio Z x1, Z x2,..., Z xn se caracteriza por su función de distribución de probabilidad n-variada: F z, z,..., z,,..., Z x1 Z x2 Z x n 1 2 n Pr Z x 1 z1, Z x2 z2,..., Z xn z 20/08/2010 CG3-Funciones Aleatorias 5 n

6 Función de distribución de una FA El conjunto de todas las distribuciones para todo valor de n y para cualquier selección de puntos en constituye la ley espacial de probabilidad de la función aleatoria. Esta función en la práctica es imposible de determinar y sólo se puede esperar inferir los primeros momentos de la distribución de la FA Z(x). 20/08/2010 CG3-Funciones Aleatorias 6

7 Momentos de una FA Momento de primer orden Conocido como valor medio o media de Z(x) está definido como: m x E Z x 20/08/2010 CG3-Funciones Aleatorias 7

8 Momentos de una FA Momentos de segundo orden La varianza de Z(x) está definida como: 2 2 x Var Z x E Z x m x La covarianza de Z(x) está definida como:, C x x E Z x m x Z x m x i j i i j j 20/08/2010 CG3-Funciones Aleatorias 8

9 Momentos de una FA Momentos de segundo orden El semivariograma de Z(x) está definido como: x i x j Var Z xi Z x j 2, 1 x, 2 i x j E Z xi Z x j 2 También conocido como función de semivarianzas o variograma 20/08/2010 CG3-Funciones Aleatorias 9

10 Estacionaridad de una FA Se dice que una función aleatoria es estrictamente estacionaria si su función de distribución de probabilidad es invariante a cualquier traslación respecto a un vector h. Pero resulta práctico limitar la hipótesis de estacionaridad a los primeros momentos. 20/08/2010 CG3-Funciones Aleatorias 10

11 Clasificación de las FA según su grado de estacionaridad FA estacionarias de segundo orden FA aleatorias intrínsecas Funciones aleatorias no estacionarias 20/08/2010 CG3-Funciones Aleatorias 11

12 FA estacionarias de segundo orden Se dice que una FA es estacionaria de segundo orden si sus momentos de primer y segundo orden no dependen de la posición, es decir 2 y E Z x m Var Z x x C h C x h, x E Z x h Z x m 2 1 h x h, x E Z x h Z x /08/2010 CG3-Funciones Aleatorias 12

13 FA aleatorias intrínsecas Cuando la FA no es estacionaria pero las diferencias Z(x+h)-Z(x) son estacionarias de segundo orden (Hipótesis Intrínseca) El valor esperado de la diferencia es E Z x h Z x m x La varianza de la diferencia es Var Z x h Z x 2 h x 20/08/2010 CG3-Funciones Aleatorias 13

14 FA no estacionarias Cuando no cumplen la Hipótesis Intrínseca. El valor esperado de la diferencia depende de la posición La varianza de la diferencia no es estacionaria 20/08/2010 CG3-Funciones Aleatorias 14

15 Diagrama de clasificación de las FAs por su grado de estacionaridad No Estacionarias Intrínsecas Estacionarias 2do Orden Estrictamente Estacionarias 20/08/2010 CG3-Funciones Aleatorias 15

16 FA no estacionarias Un indicador de no estacionaridad (tendencia) es cuando el variograma presenta un crecimiento similar o superior a h 2 Si consideramos a la FA como Entonces vemos que el variograma depende de x Si la deriva o tendencia es lineal Z x m x R x x h x h m x h m x, R h h 1 2m h 2 R m x m m x 1 20/08/2010 CG3-Funciones Aleatorias

17 FA no estacionarias Ejemplo de variograma en presencia de tendencia muestra un crecimiento h 2 20/08/2010 CG3-Funciones Aleatorias 17

18 Ejemplos de Estacionaridad (a) Media y varianza constantes; (b) media variable y varianza constante; (c) Media constante y varianza no constante; (d) Media y varianza no constantes. 20/08/2010 CG3-Funciones Aleatorias 18

19 Ejemplos de Estacionaridad (a) Media estacionaria; (b) Media no estacionaria Estacionaria No Estacionaria 20/08/2010 CG3-Funciones Aleatorias 19

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