PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA

Transcripción

1 PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA OBJETIVOS Recordar la proporcionalidad gráfica como un concepto elemental que debe manejarse con agilidad, pues procura rápidas soluciones Recordar que cuando dos figuras tienen la misma forma pero distinto tamaño son proporcionales y se dice que son semejantes. Recordar cómo leer con agilidad una medición efectuada con un escalímetro, así como la construcción de escalas volantes para su aplicación a diseños técnicos. 1 PROPORCIONALIDAD La medida es uno de los objetos fundamentales de la Geometría, utilizándose números reales para cuantificar la magnitud de dichas medidas, es decir, para establecer su relación con una magnitud fija tomada como unidad. La comparación de dos figuras, dos tamaños o dos cantidades a y b ( a comparado con b) puede formularse con el lenguaje matemático escribiendo: a / b (que leemos a es a b). Esto se conoce como razón entre dos magnitudes (ratio en latín) o comparación entre dos cantidades. Como ejemplo concreto, si al comparar un dibujo con el tamaño real del objeto representado comprobamos que este último es diez veces mayor que el primero, escribiremos la razón de uno es a diez, con esta anotación: 1/ 10. Si, por ejemplo, en un plano ( fig. 1) leemos, e: 1/ entendemos que el tamaño de los objetos reales que allí se representan son veces más grandes o, lo que es lo mismo, que el dibujo es veces más pequeño. 1.1 Proporción matemática. Si al comparar entre sí cuatro elementos o magnitudes, a, b, c y d, dos a dos, comprobamos que a comparado con b es igual a c comparado con d, lo formularemos así: 1.3 División de un segmento en partes iguales. El Teorema de Tales permite dividir un segmento en partes iguales. Así, por ejemplo, para dividir el segmento AB (fig.1.3),en cinco partes iguales, se procede como sigue: - Se traza por el extremo A una semirrecta r auxiliar, transportando sobre ella cinco veces la misma unidad ( u) arbitrariamente elegida. - Por las subdivisiones de la semirecta r, y con la ayuda de la escuadra y el cartabón, se trazan paralelas a la recta que une la última división con el extremo B del segmento. leyendo: a es a b, como c es a d. Si se cumple esa relación existe una proporción matemática definiéndola como una igualdad de dos razones. En consecuencia, se puede afirmar que los rectángulos de la fig 1.1, tienen la misma proporción, si se cumplen las igualdades de razones formuladas en ellos. En la proporción a / b = c /d, formulada anteriormente, a y d son los extremos y b y c son los medios. Los términos a y b son los antecedentes; c y d los consecuentes. La propiedad fundamental de las proporciones verifica la igualdad a d = b c ; el producto de los términos medios es igual al producto de los extremos. 1.2 Teorema de Tales. «Si dos rectas coplanarias son cortadas por un haz de paralelas, los segmentos determinados sobre una de las dos rectas son proporcionales a los determinados sobre la otra». En la fig 1.2.a deberá verificarse: Será cierta la proporcionalidad si se demuestra que a segmentos iguales corresponden segmentos iguales, a mayores o menores también mayores o menores respectivamante, y a la suma de varios la suma de sus correspondien tes. Sea la fig.1.2.b: si AB = CD y a AB le corresponde A B y a CD le corresponde C D, se verifica que A B = C D. En efecto, trasladando el trapecio sombreado, AB coincidirá con CD (pues son iguales por hipótesis), A B será igual a A B (por segmentos de paralelas comprendidos entre paralelas) y A B = C D (por idéntica razón). En cuanto al caso de desigualdad de segmentos, si trazamos (fig.1.2.c) otra paralela PP, exterior, por ejemplo, al segmento AB, será AB < AP y también deberá ser A B < A P. O si sumamos AP = AB + BP, también deberá verificarse: A P = A B + B P, puesto que: AB = AP - BP y A B = A P - B P. 1.4 División de un segmento en partes proporcionales. La división de un segmento PQ en partes proporcionales a tres magnitudes a, b y c, consiste en aplicar, nuevamente, el Teorema de Tales: - Sobre la semirrecta s, trazada por el extremo P del segmento dado, se llevan las magnitudes a, b y c dadas. - El extremo del último segmento se une con Q y se trazan paralelas por los extremos de las magnitudes dadas, lo que divide al segmento PQ en partes proporcionales a las tres magnitudes consideradas. 23

2 2 PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS 3 LA DIVINA PROPORCIÓN 2.1 Segmento cuarto proporcional a tres segmentos dados. Conocidos los segmentos a, b y c, la construcción del cuarto proporcional x que verifica la proporción: se determina aplicando el Teorema de Tales: - Sobre una recta r se toman las magnitudes OA = a y AC = c y, sobre la semirrecta s, OB = b. - Se une A con B y por C se traza la paralela, ob teniéndose el segmento BD = x que es la cuarta proporcional. En efecto, el triángulo OAB es semejante al OCD y, por tanto, se cumple: a/b = c/x Divina proporción o proporción áurea es el nombre que se dió en el siglo XIX a una concreta proporcionalidad obtenida mediante la división de un segmento en lo que Euclides llamó media y extrema razón. Éste la definía así: «se dice que un segmento recto ha sido dividido en media y extrema razón cuando el segmento está dividido en dos partes, de modo que una de ellas el áureo es la media proporcional entre todo el segmento y la parte restante». Para ello, basta situar un punto C del segmento AB de forma que se verifique: 2.2 Segmento tercero proporcional a dos segmentos dados. Cuando en una proporción los medios o los extremos de la misma son iguales, la proporción se llama continua. En este tipo de proporciones: La razón de esta proporción (a /m = Φ) nos resulta a los humanos especialmente armoniosa. Ya era conocida en la Grecia antigua, pues aparece en algunos de sus templos y edificios. Se designa con la letra griega Φ (fi) en honor al arquitecto Fidias. Los artistas del Renacimiento la tuvieron muy en cuenta en sus obras. Leonardo da Vinci lo llamó el Número de Oro y a la razón Sección Áurea, y su amigo Fray Luca Paccioli (1509) lo menciona en sus escritos como la Divina Proporción. Para ellos, el cuerpo humano perfecto era el que poseía esa proporción entre la altura y la distancia del ombligo al suelo (fig 3). Si en la expresión ( ) se dividen los términos de * la primera razón por m, la fracción no varía, obteniendo: el tercero proporcional es uno de los términos no repetidos. Pues bien, el tercero proporcional a dos segmentos a y b dados, expresado por x, verifica que: La fig. 2.2 muestra el modo de obtener geométricamente la tercera proporcional de dos segmentos a y b, en procedimiento análogo al seguido en el caso anterior. 2.3 Segmento media proporcional o media geométrica a otros dos dados. Cuando los medios o los extremos de una proporción de cuatro elementos son iguales, se definen como medios proporcionales de los otros dos. es decir, la media proporcional o geométrica x es igual a la raiz cuadrada del producto de las magnitudes a y b. Esta relación es el fundamento del Teorema de la altura y del Teorema del cateto en triángulos rectángulos, en cuya métrica nos apoyamos para su construcción Teorema de la altura. «En todo triángulo rectángulo, la altura es el segmento medio proporcional entre los segmentos en los que divide la hipotenusa». Se demuestra considerando los triángulos rectángulos CDA y CDB entre cuyos catetos menor y mayor se mantiene la misma proporción: x / a = b / x Por ello, para determinar x se toman los segmentos a y b, uno a continuación de otro, y se traza la semicircunferencia con diámetro este segmento. La magnitud CD = x es la altura sobre la hipotenusa AB. Así: x 2 = a b ; luego: x = a b Teorema del cateto. «Cada cateto de un triángulo rectángulo es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre ella». Su demostración también pasa por analizar la relación de proporcionalidad que se establece entre los triángulos rectángulos ABC y ADC. Según lo dicho, para su construcción gráfica se toma el segmento a y, superpuesto con él, el b. Se traza la semicircunferencia de diámetro a = AB y por D, la perpendicular a AB. El cateto x = CD es la media pro porcional entre los segmentos a y b ; esto es: x = a b. Resolviendo esta ecuación se obtiene como única solución positiva, el llamado Número de Oro: Este número ha sido, a la vez, símbolo cosmológico, fórmula mágica y clave de diversas construcciones geométricas, utilizadas, sobre todo, en arquitectura. Su presencia en los elementos de la naturaleza es constante y arquitectos, escultores y pintores de todos los tiempos han utilizado esta proporción como método de composición de sus obras, al observar en ella una agradable impresión de armonía y belleza. Se dan ejemplos en bastantes obras de la arquitectura griega, como es el caso de «El Partenón» en Atenas y, más recientemente, en la obra del arquitecto francés Le Corbusier; pintores de relevante talento como Miguel Ángel en «La Sagrada Familia» o Velázquez en «Las Hi lan - deras» también utilizaron las posibilidades es - téticas de la proporción áurea. 24

3 3.1 Rectángulo áureo. Ciertas formas rectangulares, relacionadas con nuestra actividad cotidiana (puertas, ventanas, fachadas, libros, tarjetas de identidad y personales, etc.) poseen como relación entre sus lados, el número áureo Φ. Conociendo la magnitud del lado menor de un rectángulo, para determinar la longitud del lado mayor, teniendo en cuenta que su relación sea áurea, se procede como sigue (fig. 3.1): - Se traza un cuadrado de lado u = AD y con centro el punto medio M y radio ME, se determina B sobre la prolongación del lado AD del cuadrado. - El segmento AB constituye el lado mayor del rectángulo áureo; esto es, el segmento total s del áureo AD dado. 3.2 Dinamismo del rectángulo áureo. El rectángulo áureo tiene como propiedad más importante la posibilidad de efectuar una separación ilimitada de rectángulos semejantes a él, por tanto, también áureos ( fig. 3.2), cada vez de menor tamaño. Además, se obtiene una espiral logarítmica, esquema base del desarrollo de los moluscos gasterópodos como el Nautilo. 4 SEMEJANZA La semejanza es una correspondencia biunívoca entre figuras geométricas, de manera que los segmentos homólogos (correspondientes) son proporcionales, y los ángulos homólogos son iguales. La semejanza se llama directa si se conserva el sentido del plano, e inversa en caso contrario. La razón de proporcionalidad entre segmentos homólogos se denomina razón de semejanza. En las formas poligonales de la fig. 4.a la razón de semejanza es igual a 5/7 y, por tanto, el polígono semejante A B F será menor que el polígono de partida AB F. Si la razón de semejanza fuese igual a la unidad, los lados homólogos serían iguales y, por tanto, los polígonos semejantes, iguales. En cambio, si la razón fuese mayor que la unidad, la figura obtenida sería mayor que la natural o de partida. En resumen: «Dos figuras son semejantes cuando tienen la misma forma pero distinto tamaño». La semejanza de polígonos se fundamenta en la de los triángulos, según la cual dos triángulos son semejantes ( fig. 4.b) cuando tienen sus tres ángulos iguales y sus magnitudes lineales correspondientes (lados, alturas, medianas, bisectrices, ) proporcionales, es decir, cuando cumplen alguno de los siguientes criterios de semejanza: Cuando tienen dos ángulos iguales. Cuando tienen un ángulo igual y proporcionales los lados que lo forman. Cuando tienen los tres lados proporcionales. 5 HOMOTECIA Una homotecia de centro O y razón k es una transformación geométrica en la que, dado un punto O y un número real k, a todo punto A del plano (distinto de O) le corresponde otro punto A, alineado con O y A, de modo que: OA / OA = k. La homotecia se llama directa (fig. 5.a) si conserva el sentido del plano ( k > 0 ), e inversa (fig. 5.b) en caso contrario (k < 0). En toda homotecia se verifica: Las rectas homólogas que no pasan por el centro son paralelas. Los segmentos homólogos son proporcionales. Su razón es igual a la razón de homotecia. Los ángulos homólogos son iguales. El centro de homotecia es el único punto doble. Por tanto: «Dos figuras homotéticas son siempre semejantes». 5.1 Aplicación homotética: trazado de una recta concurrente con otras dos cuyo punto de intersección no es accesible. Sean a y b las rectas dadas (fig. 5.1) y sea P el punto por el cual se desea trazar un recta concurrente con ellas. - Por P se trazan dos rectas cualesquiera PA y PB, obteniendo el triángulo PAB. - A partir de un punto cualquiera A de la recta a, se dibuja el triángulo semejante A B P cuyos lados sean paralelos a los del triángulo anterior, estando el punto B en la recta b. - La recta solución es la unión de P con P. 6 RECTAS ANTIPARALELAS «Dos rectas AB y CD se dice son antiparalelas respecto de otras dos r y s cuando el ángulo que forma la recta AB con la recta r es igual al ángulo que forman la recta CD con la recta s». Los triángulos OAB y OCD (fig. 6) son semejantes por tener los ángulos iguales y, por tanto, se verifica: OA/OD = AB/CD = OB/OC Cuando las rectas antiparalelas pasan por un mismo punto A de una de ellas (figura inferior), se verifica: OA 2 = OB OD Obsérvese que los triángulos OAB y OAD son semejantes por tener los tres ángulos iguales y por ello: OA/OB = OD/OA, con lo que queda demostrado la relación anterior. Resultando por tanto que: El producto de las distancias del vértice de un ángulo, a los puntos de corte de cada lado de dicho ángulo con dos rectas antiparalelas es constante. Si dos rectas antiparalelas se cortan sobre un punto de los lados de un ángulo, la distancia del vértice a este punto es media proporcional entre las distancias del vértice a los puntos en que el segundo lado corta a dichas rectas. En ambos casos se verifica el recíproco. 25

4 7 ESCALAS (UNE - EN ISO ) Con frecuencia no es posible representar gráficamente los objetos o piezas en su verdadero tamaño, bien porque sus dimensiones son excesivamente grandes con relación al formato de papel, o porque al ser objetos muy pequeños no es posible dibujarlos con la debida definición gráfica. En ambos casos se ha de recurrir a reducir o ampliar proporcionalmente todas las dimensiones del objeto; es decir, a aplicar una determinada escala para dibujarlo. Se entiende por escala a la relación entre la medida lineal representada en el dibujo y la medida lineal del objeto. Esto es: Puede venir expresada en forma de fracción, expresión decimal o como porcentaje del aumento o disminución. Así, por ejemplo, la escala 7/10, puede expresarse como 0,7 o como el 70% del natural. 7.1 Escala de ampliación. Cuando el dibujo tiene mayores dimensiones que el objeto real. El numerador de la escala será mayor que el denominador. En el ejemplo que se acompaña (fig. 7), la anchura real de la pieza dibujada es de 20 mm, pero comprobamos que se encuentra representada por una longitud de 40 mm; lo que nos indica que la escala aplicada es de ampliación. Escalas recomendadas: 7.2 Escala natural. Si las dimensiones del dibujo son iguales a las del objeto real podemos decir que está representado a su verdadero tamaño; esto es, a escala natural: 9 ESCALAS GRÁFICAS. Para evitar operaciones matemáticas, con escalas numéricas, se recurre al empleo de las escalas gráficas, de construcción muy sencilla. 9.1 Escalas volantes. Son tiras de materias plásticas o de cartulina, divididas en un cierto número de partes iguales obtenidas según la escala elegida, en las que tienen impreso las divisiones y marcas correspondientes de dos escalas en cada cara. Están unidas por un remache y se comercializan con el nombre de escalímetro en abanico (fig. 9.1). Si no se dispone de ellas pueden construirse fácilmente con una tira de cartulina de unos 25 a 30 mm de ancho, marcando a continuación las divisiones correspondientes a las escalas que deseen utilizarse. 9.2 Triángulo universal de escalas. Construcción geométrica para obtener escalas de reducción y ampliación. Proceso de construcción (fig. 9.2): - Se traza el triángulo rectángulo ABC, con el cateto AB de dimensión arbitraria y el otro BC de 100 mm. Sobre éste último, se realizan divisiones de 5 mm. que se unen con A y se numeran. - Si sobre AB se traza una perpendicular por el punto medio M, sobre ella, se obtiene la escala: e = 1/2 - Trazando otra perpendicular por P que diste 3 /4 de A se obtendrá sobre ella la escala: e = 3 /4 - Si se traza por R una recta perpendicular que diste 1/4 de A, se obtendrá la escala: e = 1/4 Para la construcción de cualquier otra escala se procede de forma análoga. 7.3 Escala de reducción. Cuando el dibujo tiene menores dimensiones que el objeto real. En este caso, el numerador es menor que el denominador de la escala. En el ejemplo (fig. 7), observamos que la anchura de la base de la pieza, acotada como 20 mm, está representada por una magnitud de 10 mm, lo que demuestra que al dibujo se le ha aplicado una escala de reducción. Escalas recomendadas: 8 ESCALA INTERMEDIA En ocasiones se necesita transformar un dibujo realizado a escala 1/20, por ejemplo, y se quiere, a la vez, volverlo a hacer a escala 1/25. Existirá entre las dos escalas antedichas una intermedia. Siempre en estos casos, podemos aplicar que: Siempre se ha de cumplir que: Por tanto, en este caso, se tendrá: e i = e f : e d = 1/25 : 1/20 = 4/5. Luego, al dibujo dado (a escala 1/20) tendríamos que aplicarle una escala de reducción 4 / 5 para obtener el dibujo deseado (a escala 1/25). 26

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