CURSO DE NIVELACIÓN DEmatemática

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1 CURSO DE NIVELACIÓN DEmatemática

2 PROGRAMA ANALÍTICO DE MATEMÁTICA UNIDAD 1 INTRODUCCIÓN CONJUNTOS NUMÉRICOS Conjunto de números naturales. Conjunto de números enteros. Conjunto de números racionales. Conjunto de números irracionales. Conjunto de números reales. Conjunto de los números enteros: recta numérica, operaciones, problemas de aplicación, ejercicios combinados. UNIDAD 4 UNIDADES DE MEDIDA Longitud Peso Capacidad Pulgada Área ( y volumen Conversiones. Resolución de problemas UNIDAD 2 NÚMEROS RACIONALES: Fracciones El conjunto racional. Ubicación en la recta numérica. Orden y comparación. Fracciones equivalentes: Amplificación y Simplificación. Suma y resta de fracciones con igual denominador. Suma y restas de fracciones con distinto denominador. Multiplicación y división de fracciones. Ejercicios combinados. UNIDAD 5 GEOMETRÍA EN EL PLANO Clasificación de los cuerpos geométricos Triangulo Rectángulo o Teorema de Pitágoras Cuadrado Rectángulo Circunferencia Calculo de Área y Perímetro. Resolución de problemas UNIDAD 3 NÚMEROS RACIONALES: Decimales UNIDAD 6 GEOMETRÍA EN EL ESPACIO Expresión decimal de números racionales. Pasaje de expresión decimal a fracción. Fracciones decimales. Porcentaje. Cálculo de Regla de tres simple. Suma y resta de expresiones decimales. Multiplicación y división de expresiones decimales. Resolución de problemas Superficie lateral Superficie total. Volumen. Cubo Prisma Cilindro Esfera Resolución de problemas

3 UNIDAD I ~ Conjuntos numéricos

4 El conjunto de los Números Naturales es el primer conjunto con el que se comienza a operar en matemática. Este conjunto surge ante la necesidad que tuvo el hombre de contar los elementos de la naturaleza que lo rodeaban. Simbólicamente se lo expresa con la letra IN. IN = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,...} Este conjunto se caracteriza por: Tener un número infinito de elementos Su primer elemento en el número 1 y no tiene un último elemento Cada elemento tiene un sucesor, y todos excepto el 1, un antecesor. Entre dos números consecutivos no existe otro número natural, por eso decimos que el conjunto de los números naturales es discreto (no continuo) En el conjunto de los Números Naturales podemos realizar las operaciones de suma y multiplicación sin ningún inconveniente, siendo el resultado de estas operaciones también un número natural. No ocurre lo mismo con la resta y la división. Actividad: I. Indicar cuál de los siguientes números pertenecen a IN: a) 145 c) 11 e) 3/2 b) -50 d) 3,575 f) 5-4 -

5 II. Ordenar de menor a mayor: a) 7, 23, 2, 10, 4, 35, 27, 1 El Conjunto de los Números Enteros se crea para dar solución a un tipo de resta muy particular que no se puede resolver en el conjunto de los números naturales. Dicha resta es aquella que tiene un minuendo mayor que el sustraendo, (como por ej.: 5 20). Esta operación en el conjunto de los números enteros tiene la siguiente solución: 5 20 = Nacen de este modo los números negativos. El conjunto de los números enteros está formado por los números positivos, los negativos y el cero. Es decir, es la unión de los subconjuntos, y el cero. Simbólicamente el conjunto de números enteros se denota con la letra. = {..., 3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...} Gráficamente en la recta numérica hacia la derecha del cero se encuentra los enteros positivos (números naturales) y hacia la izquierda los enteros negativos. Representación gráfica de Recordar: El conjunto incluye al conjunto IN, es decir que todo número natural es también un número entero. Pero no todo número entero es un número natural

6 Actividad: I. Indicar que números pertenecen a : a) 0 e) 548 b) 2/5 f) - 79 c) - 14 g) 1000 d) 1,65 h) - 37 II. Completar el siguiente mapa conceptual: III. Observar la temperatura que marca cada termómetro y elige la opción correcta: - 6 -

7 Al igual que los conjuntos anteriormente estudiados, el conjunto de los Números Racionales se crea para dar solución a una operación en particular, la división formada por un dividendo que no es múltiplo del divisor. Este tipo de divisiones no tienen por resultado un número entero. De este modo, el conjunto de los Números Racionales está formado por las fracciones y sus equivalentes decimales, (decimal exacto, decimal periódico puro y decimal periódico mixto) incluyendo también a los números naturales y enteros. Cualquier número que pueda expresarse con fracción es número racional. El término racional proviene de ración que significa parte. Para la notación simbólica se usa la letra

8 completando A medida que se grafican los conjuntos numéricos, la recta numérica se va Ejemplos de números racionales: Actividad Dar ejemplos de números racionales: a) d) b) e) c) f) El conjunto de los números irracionales reúne a ciertos números que no pertenecen a los conjuntos anteriores. Entre ellos se pueden citar a las raíces inexactas, el número Pi (π), etc. La particularidad que tienen los irracionales es que son números que no pueden ser expresados como una fracción entre dos enteros porque poseen infinitas cifras decimales todas diferentes, por ello decimos que es un conjunto que esta apartado de los anteriores. Simbólicamente se identifica con la letra El primer número irracional que se descubrió fue y el segundo fue. Luego se fueron descubriendo una infinidad de números irracionales

9 PI es un número irracional. Se han calculado más de un millón de cifras decimales y sigue sin repetirse. El número E, (el número de EULER) es otro número irracional. Se han calculado muchas cifras decimales de E sin encontrar ningún patrón. La RAZON DE ORO ó NUMERO AUREO es un número irracional, equivale a Los números irracionales también pueden graficarse sobre la recta numérica, a pesar de tener infinitas cifras decimales diferentes. Los puntos correspondientes a estos números completan la recta: Actividad Indica que números pertenecen al conjunto : a) 3 d) 1, b) e) 13/5 c) 2, f) π - 9 -

10 El conjunto de los Números Reales se representa con la letra IR. Lo integran: El conjunto de los Números Racionales ( ), que a su vez incluyen a los Enteros ( ) y estos a los Naturales (IN) El conjunto de los Números Irracionales ( ) que está formado por los números que tienen infinitos decimales no periódicos. Por esta característica, se llaman Números Reales a todos aquellos números que se pueden expresar en forma de decimal finito o infinito; es decir, como elemento de ó de Actividad Clasificar los siguientes números de acuerdo al conjunto al que pertenecen a) e) i) b) f) j) 57 c) g) π k) d) h) l)

11 6.1 Suma y Resta La suma y resta de números enteros, se puede presentar de cuatro formas distintas de acuerdo al signo de los números intervinientes: Procedimiento: 1_ Cuando los dos números tienen el mismo signo la operación mental a realizar es la suma de los valores absolutos de ambos números, y el resultado lleva el mismo signo. 2_ Cuando ambos números tienen distinto signo, la operación mental es, restar al mayor valor absoluto el menor valor absoluto y el resultado lleva el signo del mayor valor absoluto. Observa como utilizamos los números enteros en nuestra vida cotidiana:

12 6.2 Multiplicación y División Para multiplicar y dividir números enteros hay que tener en cuenta los signos de cada uno de los factores y aplicar la regla de los signos. REGLA DE LOS SIGNOS PARA LA MULTIPLICACION En la división se procede de la misma forma como muestra el ejemplo Pasos a seguir para resolver un ejercicio combinado con números enteros: I. Realizar las siguientes operaciones con números enteros: a) d) g) b) 15+12= e) h) c) f) i)

13 II. Resolver los siguientes ejercicios combinados: a. b. c. d. e. [ ] f

14 UNIDAD ii NÚMEROS racionales: Fracciones

15 Una fracción es un número compuesto por dos elementos y representa una porción de un todo, por ejemplo, media manzana, un pastel cortado en tres raciones para tres personas, etc. Siempre uno de los dos números representará las partes que se deben tomar, y el otro, el número de porciones en que se dividirá la unidad. Por ello, la palabra fracción significa dividir una cosa en partes iguales a Definición: Un número racional es el cociente de dos números enteros b y, con. Cuando hablamos de números racionales nos referimos al conjunto de números fraccionarios y sus expresiones decimales equivalentes. Todos los números fraccionarios son números racionales, y sirven para representar partes de un todo. Los números racionales pueden expresarse como fracción y también como un número decimal, pero a veces es más conveniente trabajarlos como fracción antes que convertirlos a decimal exacto o periódico, debido a la gran cantidad de decimales que se podrían obtener. Este conjunto se puede graficar sobre la recta numérica pero a diferencia de los números enteros entre cada número racional existen infinitos números racionales

16 A. REPRESENTACIÓN GRÁFICA y SOBRE LA RECTA Para representar una fracción gráficamente, se debe observar el numerador y denominador. El denominador indica la cantidad de partes iguales en la que se divide el entero y el numerador cuantas partes debemos considerar. Ejemplos: Para representar fracciones en la recta numérica se aplica el mismo concepto trabajado en la representación gráfica, tomando la distancia entre 0 y 1 como un entero

17 Actividad: Graficar sobre la recta numérica los siguientes números fraccionarios: a) b) d) 7 2 e) 8 8 c) 4 7 f) 12 5 B. FRACCIONES EQUIVALENTES Las fracciones equivalentes son fracciones que poseen distintos numeradores y denominadores pero representan la misma cantidad o valor numérico, dicho en otras palabras, representan el mismo número racional

18 Una fracción es IRREDUCIBLE cuando el numerador y denominador tienen como único divisor en común el número 1, es decir, no se puede seguir simplificando. La simplificación permite llegar a la fracción irreducible Actividad: Hallar tres fracciones equivalentes a las dadas: a) 1 4 d) 2 7 b) 3 5 e) 3 4 c) 5 2 f) 6 11 C. OPERACIONES CON FRACCIONES SUMA Y RESTA La suma y resta de fracciones presenta dos situaciones SUMA Y RESTA DE FRACCIONES DE IGUAL DENOMINADOR Para sumar o restar fracciones del mismo denominador, se suman o restan los numeradores y se deja el mismo denominador Ejemplo

19 SUMA Y RESTA DE FRACCIONES DE DISTINTO DENOMINADOR Para sumar o restar fracciones de distinto denominador, se reducen las fracciones a un común denominador que es el mínimo común múltiplo de los denominadores; después se divide ese denominador por cada uno de los denominadores dados y el resultado se multiplica por el numerador correspondiente. Por último se suman o restan los numeradores resultantes y se conserva el común denominador. Ejemplo m.c.m. m.c.m. m.c.m. Para obtener el m.c.m. se desarrollan los múltiplos de cada denominador, y de toma el menor de todos los múltiplos iguales Actividad Realizar las siguientes sumas y restas de fracciones: a d b e c f

20 MULTIPLICACIÓN Para multiplicar dos o más fracciones se multiplican los numeradores entre sí, al igual que los denominadores. Es decir, la fracción resultante tiene por numerador el resultado del producto de todos los numeradores dados y por denominador, el resultado del producto de todos los denominadores correspondientes. No olvidar aplicar la regla de los signos en caso de ser necesario. Ejemplo: Actividad Calcular las siguientes multiplicaciones: a c b d DIVISIÓN La división de fracciones se convierte en una multiplicación. Se multiplica la primer fracción por la reciproca de la segunda fracción. (Fracción invertida) Ejemplo

21 Actividad Realizar las siguientes divisiones con fracciones: a c b d OPERACIONES COMBINADAS CON FRACCIONES En una operación combinada con fracciones se puede encontrar sumas, restas multiplicaciones, divisiones, etc. A la hora de resolver hay que tener en cuenta lo siguiente 1) Convertir a fracción los números decimales. 2) Separar en términos (los signos + y - separan términos. 3) Resolver las operaciones que estén entre paréntesis, corchetes y llaves. 4) Efectuar los productos y cocientes 5) Realizar las sumas y restas. 6) Simplificar las fracciones siempre que sea posible para que las cuentas a realizar sean más simples Ejemplo: ( ) ( ) [( ) ( )] [ ]

22 Actividad Operar los siguientes ejercicios combinados: a c b d ACTIVIDADES I. Realizar las siguientes sumas de fracciones graficando el resultado y luego ubica sobre la recta numérica :

23 II. Realizar los siguientes ejercicios combinados de fracciones: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

24 UNIDAD iii NÚMEROS racionales: decimales

25 Los números decimales nacen como una forma especial de la escritura de las fracciones, de manera que la coma o punto decimal separa a la parte entera de la decimal. Si no hay parte entera se coloca un cero delante de la coma. Dicho de otra forma, la expresión decimal de una fracción es el cociente que se obtiene al dividir el numerador por el denominador, este cociente puede ser un decimal con una cantidad finita o infinita de cifras decimales. Los números decimales forman parte del conjunto de números racionales. A. CLASIFICACIÓN DE NUMEROS DECIMALES: De acuerdo a la cantidad de cifras en su parte decimal, los números decimales pueden clasificarse en: EXACTOS: La cantidad de cifras en su parte decimal es finita Ejemplos: INEXACTOS: La cantidad de cifras en su parte decimal es infinita PERIÓDICO PURO: Es cuando el período empieza inmediatamente después de la coma decimal Ejemplos:

26 PERIÓDICO MIXTO: Es cuando la parte periódica empieza algunas cifras después de la coma decimal. Ejemplos: Actividad Pasar a número decimal las siguientes fracciones y clasificar: B. PASAJE DE EXPRESIÓN DECIMAL A FRACCIÓN Decimal Exacto o Finito a Fracción: Se escribe en el numerador de la fracción, la expresión decimal sin la coma (como números enteros), y en el denominador un uno seguido de tantos ceros como cifras decimales tenga el decimal exacto. Ejemplos: Actividad Pasar a fracción los siguientes números decimales: Decimal Periódico Puro a Fracción: La fracción correspondiente a un decimal periódico puro tiene como numerador la diferencia (resta) entre la expresión decimal escrita sin la coma, y la parte anterior al período. Y como denominador, tantos 9 como cifras tenga el período

27 Ejemplo Recordar: Actividad Pasar a fracción los siguientes números decimales: f Decimal periódico mixto: El decimal periódico mixto tendrá como numerador la diferencia (resta) entre el número escrito sin la coma, y la parte anterior al período; y como denominador tantos 9 como cifras tenga el período y otros tantos ceros como cifras tenga el ante período. Ejemplo:

28 Actividad Convertir en fracción los siguientes números decimales: f C. REPRESENTACIÓN DE EXPRESIONES DECIMALES EN LA RECTA Los números decimales, racionales, también pueden graficarse sobre la recta numérica. De acuerdo al número decimal con el que se trabaje se deben tener en cuenta los siguientes pasos: 1) Para ubicar los décimos se divide la distancia entre dos números enteros consecutivos en 10 partes iguales. DÉCIMOS

29 2) Para ubicar los centésimos se divide la distancia entre dos números enteros consecutivos en 100 partes iguales. CENTÉSIMOS Actividad Representar sobre la recta numérica los siguientes números decimales: f D. SUMA Y RESTA DE NÚMEROS DECIMALES La suma y resta con números decimales se realiza siguiendo un procedimiento similar a la suma y resta de números naturales. Es decir, se trabaja encolumnando los elementos comunes. Para ello hay que encolumnar las comas de los números a sumar o restar, quedando de esta forma encolumnadas las cifras enteras y decimales como lo muestra el siguiente ejemplo: Ejemplo de suma y resta de decimales: Puede ocurrir que en la suma o en la resta haya algún número que no lleve todas las cifras decimales, en este caso operamos como si en su lugar hubiera un 0 (cero)

30 Actividad Resolver las siguientes sumas y restas de decimales: E. MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS DECIMALES La multiplicación de números decimales se realiza como si fueran números naturales. Una vez obtenido el resultado, del mismo se separan con una coma tantas cifras como cifras decimales tengan entre los dos números decimales multiplicados Ejemplo: Actividad Realizar las multiplicaciones de decimales: F. DIVISIÓN DE NÚMEROS DECIMALES La división de decimales presenta tres situaciones distintas: (División de un numero decimal por un numero natural) Ejemplo: Dividir entre

31 Se divide como si fueran números naturales y al bajar la primera cifra decimal del dividendo, se escribe la coma en el cociente Ejemplo: Dividir entre Como la parte entera del dividendo es menor que la del divisor, se escribe 0 (cero) y coma en el cociente y se sigue dividiendo entre. (División de un numero decimal por otro decimal) Ejemplo: Dividir entre Cuando el divisor es un numero decimal, se debe convertir el mismo a un número natural mediante la amplificación. Para ello, se multiplica el dividendo y el divisor por la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga el divisor (División de un numero natural por un numero decimal) Ejemplo: Dividir entre

32 Como en el caso anterior, es necesario convertir el divisor en un numero natural, amplificándolo por la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga. Esta amplificación nuevamente modifica al dividendo. Actividad Resolver las siguientes divisiones de números decimales a) 1,9 7 = b) 4 9= c) 3,41 1,8 = G. CÁLCULOS COMBINADOS CON NUMEROS DECIMALES Para resolver ejercicios combinados con números decimales se aplican los pasos ya mencionados en cálculos combinados con fracciones 1) Convertir a fracción los números decimales. (exactos y periódicos) 2) Separar en términos (los signos + y - separan términos. 3) Resolver las operaciones que estén entre paréntesis, corchetes y llaves. 4) Efectuar los productos y cocientes 5) Realizar las sumas y restas. 6) Simplificar las fracciones siempre que sea posible para que las cuentas a realizar sean más simples

33 H. RESOLUCIÓN DE SITUACIONES PROBLEMATICAS Curso de Nivelación de Matemática Resuelve las siguientes situaciones problemáticas:

34 ACTIVIDADES 1) Resolver los siguientes ejercicios combinados con números decimales ( ) ( ) ( ) ( )

35 UNIDAD iv Unidades de medida

36 4. UNIDADES DE MEDIDA Desde hace muchos siglos, el hombre sintió la necesidad de efectuar mediciones, ya fuera por relaciones comerciales, construcciones, etc. A quién recurrir? La respuesta la halló en su propio cuerpo y así surgieron el codo (la distancia del codo hasta el extremo del dedo mayor), el palmo (ancho de la mano extendida), el dedo (ancho del dedo), el pie (largo del pie extendido), la pulgada (ancho del dedo pulgar). Pronto surgieron las dificultades: no todos los seres humanos tienen el mismo tamaño y esto traía problemas en los intercambios comerciales. Cuál fue la solución? En 1795 se creó el SISTEMA MÉTRICO DECIMAL * Métrico: porque la base es el metro. * Decimal: porque la razón entre las medidas mayores y menores que el metro siempre es potencia de 10. La siguiente tabla de unidades diferencia entre el sistema C.G.S y el sistema M.K.S, la magnitud que utilicemos según lo que se desea medir: UNIDADES Magnitud Sistema C.G.S Sistema M.K.S Masa g kg Longitud cm M Tiempo s s Velocidad cm/s m/s Aceleración cm/s 2 m/s 2 Fuerza Dina N Presión dina/cm 2 Pa = N/m 2 Trabajo Ergio (J) Joule Potencia ergio/s Watt (J/s) Momento dina.cm N.m

37 4.1 Longitud La unidad principal para medir longitud es el metro (m). 10 Kilómetro Hectómetro Decámetro Metro Decímetro Centímetro Milímetro km 0.01 hm 0.1 dam 1m 10 dm 100 cm 1000 mm 10 Por lo tanto, el problema de convertir unas unidades en otras se reduce a multiplicar o dividir por la unidad seguida de tantos ceros como lugares haya entre ellas. Ejemplo 1: Pasar 32 m a cm Si queremos pasar de metros a centímetros tenemos que multiplicar (porque vamos a pasar de una unidad mayor a otra menor) por la unidad seguida de dos ceros, ya que entre el metro y el centímetro hay dos lugares de separación. 32 m 100 = 3200 cm Ejemplo 2: Pasar 46,7 dm a hm Si queremos pasar de decímetro a hectómetro tenemos que dividir (porque vamos a pasar de una unidad menor a otra mayor) 46,7 dm: 1000 = 0,0467 dm 4.2 Peso La unidad principal para medir peso es el gramo (g). 10 Kilogramo Hectogramo Decagramo gramo Decigramo Centigramo Miligramo kg 0.01 hg 0.1 dag 1g 10 dg 100 cg 1000 mg 10 El Kg es una unidad de medida equivalente a (1000g). Se usa para medir el peso de objetos o personas entre otros. Para la conversión entre unidades de peso procedemos de la misma manera que en las unidades de longitud, por lo tanto, si queremos pasar de una unidad a otra tenemos que multiplicar (si es de una unidad mayor a otra menor) o dividir (si es de una unidad menor a otra mayor) por la unidad seguida de tantos ceros como lugares haya entre ellas

38 4.4 Capacidad La unidad principal para medir la capacidad es el litro (l). 10 Kilolitro Hectolitro Decalitro litro Decilitro Centilitro Mililitro Kl 0.01 Hl 0.1 Dal 1L 10 Dl 100 Cl 1000 Ml 10 La conversión se trabaja de la misma manera que en las unidades de longitud y masa. Lo importante será considerar los múltiplos y los submúltiplos en cada unidad que se trabaje: Actividad: Completar LONGITUD Km hm dam m dm cm mm 48 73,5 PESO kg hg dag g dg cg mg. CAPACIDAD 9, kl hl dal l dl cl ml 832,

39 4.5 Área Para medir el área utilizamos una medida derivada del metro, el metro cuadrado (m 2 ). 100 Kilometro 2 Hectómetro Decametro km hm metro 0.01 dam 2 1m 2 Decimetro dm cm mm 2 Centimetro Milimetro Por lo tanto, el problema de convertir estas unidades en otras se reduce a multiplicar o dividir por la unidad seguida de dos ceros por cada lugar haya entre ellas. Ejemplo: Pasar 45,5 m 2 a cm 2 Si queremos pasar de metros cuadrados a centímetros cuadrados tenemos que multiplicar (porque vamos a pasar de una unidad mayor a otra menor) por la unidad seguida de cuatro ceros, ya que entre el metro cuadrado y el centímetro cuadrado hay dos lugares de separación (dos lugares por dos). Completar: 45,5 m = cm 2 491, , Volumen Para medir el volumen utilizamos una medida derivada del metro, el metro cúbico (m 3 ) Kilometro 3 3 Hectómetro 3 Decametro metro km hm dam 3 1m Decimetro 3 Centimetro 3 Milimetro 1000 dm cm mm

40 Por lo tanto, el problema de convertir estas unidades en otras se reduce a multiplicar o dividir por la unidad seguida de tres ceros por cada lugar haya entre ellas. Ejemplo: Pasar 92,671 m 3 a cm 3 Si queremos pasar de metros cúbicos a centímetros cúbicos tenemos que multiplicar (porque vamos a pasar de una unidad mayor a otra menor) por la unidad seguida de seis ceros, ya que entre el metro cúbico y el centímetro cúbico hay dos lugares de separación (dos lugares por tres). 92,671 m = cm 3 Una unidad alternativa para medir volumen es el litro, el cual es equivalente a 1 dm 3. Ésta se utiliza mayormente para medir líquidos. 4.7 De pulgadas a centímetro La pulgada es una unidad de longitud que equivale al ancho de la primera falange del pulgar, y más específicamente a su falange distal. Ejemplo: 1 pulgada = 1 = 0,0254metros Julián midió el perímetro del caño que necesita para instalar el tanque de agua. El diámetro es 4,36cm. Pero los caños se miden en pulgadas. Qué medida de caño, en pulgadas, necesita Julián? 1 Pulgada = 0,0254m = 2,54cm Actividad a- Nicolás midió el perímetro del caño que necesita para instalar el tanque de agua. El diámetro es 4,78cm. Pero los caños se miden en pulgadas. Qué medida de caño, en pulgadas, necesita Nicolás?

41 ACTIVIDADES DE LA UNIDAD 1. Transformar estas longitudes en metros y ordénalas de menor a mayor. 2. Completar las siguientes tablas, teniendo en cuenta la unidad de medida: Km hm dam m dm cm mm 73,59 kg hg dag g dg cg mg kl hl dal l dl cl ml 0, 8325 km 2 hm 2 dam 2 m 2 dm 2 cm 2 mm , Resolver y contestar: a) Un tonel se llena con 150 litros. Cuántos hectolitros necesitamos para llenar 6 toneles? b) Una cuerda roja mide 2 dam y 3 m y otra cuerda azul mide 23,457 m. Cuál de las dos es más larga? c) Juan necesita aceite para sus dos coches, uno verde y otro azul. Para el verde necesita 3 dl y 75 ml, y para el azul 13 cl y 5 ml. Cuántos ml necesita en total? Tendrá suficiente con una lata de medio litro? 4. Convertir a una misma unidad y resolver las operaciones:

42 UNIDAD V Geometría en el plano

43 GEOMETRÍA El hombre preciso admirar la belleza de la creación para satisfacer su espíritu, con ese fin, observó la naturaleza y todo lo que le rodeaba. Así fue ideando conceptos de formas, figuras, cuerpos, líneas, los que dieron origen a la parte de las matemáticas que designamos con el nombre de la geometría. Formada por las raíces griegas geo, tierra, y metrón, medida, por lo tanto su significado es medida de la tierra ; la misma, es una herramienta que permite describir el mundo físico en que se vive. 1- FIGURAS GEOMÉTRICAS PLANO CIRCUNFERENCIA POLIGONOS Triángulo Cuadriláteros ESPACIO Cuerpo Redondo Poliedros Cono Cilindro Esfera Regulares Cubo Pirámides Prismas

44 2- PERÍMETRO Y ÁREA es la medida del contorno de una figura plana y se expresa en unidades de longitud, por ejemplo: centímetros (cm), metros (m), kilómetros (km), etc. Para calcular el perímetro de un polígono debemos sumar las medidas de sus lados. Ejemplo: Si calculamos el perímetro de un rectángulo de largo 5cm y ancho 3cm, sumamos la medida de sus lados. Por lo tanto su perímetro es 16cm. 5cm 3cm 3cm P = 3cm + 5cm + 3cm + 5cm P = 16cm 5cm es la medida de su superficie y se expresa en unidades de área, por ejemplo: metros cuadrados ( ), centímetros cuadrados ( ), kilómetros cuadrados ( ), etc. Cuadrado de lado (l) Figura Geométrica Perímetro (P) Área (A) Rectángulo Triángulo Circunferencia Longitud: A=

45 Ejemplo 1 Calcular el perímetro y área del siguiente triangulo. Ejemplo 2 Se tiene un cuadrado de 3m de lado y un triángulo equilátero de 7.5m Cuál de ellas tiene mayor perímetro? Cuadrado Triángulo equilátero 7,5cm 7,5cm 7,5cm Conclusión: La figura que mayor perímetro tiene es la del triángulo equilátero Actividad: Calcular el perímetro y área de la siguiente figura: 7 cm 4 cm 7 cm 9 cm 9 cm 12 cm

46 4- Teorema de Pitágoras El lado más largo del triángulo se llama "hipotenusa", así que la definición formal es: En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados (catetos) c 2 a 2 b 2 Ejemplo: si tenemos un triángulo de hipotenusa igual a 5 cm, cuyos lados miden 3cm y 4cm, veamos si las áreas son las mismas: 2 = 5 cm 25 = = 25 Por qué es útil? Si sabemos las longitudes de dos lados de un triángulo rectángulo, el Teorema de Pitágoras nos ayuda a encontrar la longitud del tercer lado. ( Pero sólo funciona en triángulos rectángulos!)

47 DOS CASOS QUE PUEDEN PRESENTARSE Curso de Nivelación de Matemática Cuando se averigua la hipotenusa de un triángulo rectángulo. Cuando se averigua un lado del triángulo rectángulo. c 2 = a 2 + b 2 c 2 = c 2 = c 2 = 169 c = 13 cm c 2 = a 2 + b = b = 81 + b = b = b 2 12 cm = b Solucionar utilizando lo aprendido Qué calcularás? Hipotenusa o cateto? a. b

48 El teorema de Pitágoras como muchos temas de matemática se lo puede aplicar en situaciones cotidianas. Curso de Nivelación de Matemática ACTIVIDADES DE LA UNIDAD Leer atentamente los siguientes problemas, construir el triángulo rectángulo y encontrar el dato faltante Problema 1: Una escalera de 10 m de longitud está apoyada sobre la pared. El pie de la escalera dista 6 m de la pared. Qué altura alcanza la escalera sobre la pared? Problema 2: Un avión militar debe atacar el blanco enemigo que se encuentra a cierta distancia. Se sabe que el avión está volando a 20 km de altura y que el blanco enemigo está a 15 km del avión en línea horizontal. El piloto desea saber la distancia que recorrerá el misil que enviará para destruir al enemigo. Cuál será la distancia? Actividad 2: Determinar el perímetro y el área de cada figura: a) Un rectángulo de 10 cm de ancho y 20 cm de largo: Perímetro: Área: b) Un cuadrado de 8 m de lado: Perímetro: Área: c) Longitud de una circunferencia y área de un círculo de radio 10 cm: Longitud: Área: d) Un triángulo isósceles de base 6 m, lados 5 m y de altura 4 m: Perímetro: Área:

49 UNIDAD Vi Geometría en el espacio

50 ALTO El estudio de los cuerpos geométricos no solo brindo avances en las matemáticas sino que todo este conocimiento fue extremadamente influyente en actividades muy veneradas como son la arquitectura, la ingeniería, la física astronómica y por supuesto la física cuántica. Las principales leyes que rigen todos estos campos de conocimiento surgen del estudio matemático de los cuerpos geométricos y los cálculos basados en ellos. 1- SUPERFICIE LATERAL, SUPERFICIE TOTAL Y VOLUMEN DE CUERPOS SUPERFICIE LATERAL: es la suma de todas las áreas de las caras laterales. SUPERFICIE TOTAL: es la suma del área lateral y el área de la o las bases de la figura. VOLUMEN: Es una magnitud definida como el espacio ocupado por un cuerpo. LARGO

51 Fórmulas para calcular la superficie lateral, superficie total y volumen de los siguientes cuerpos: CUBO Superficie Lateral Superficie Total Volumen Ejemplo: Calcular superficie lateral, superficie total y volumen de un cubo de 4 cm de arista. Área de una cara lateral = a 2 A 4 cm 2 4 cm 4 cm 16 cm 2 4 cm Superficie Lateral Superficie Total Volumen Actividad: Calcular superficie lateral, superficie total y volumen de un cubo de 6 cm de arista

52 PRISMA c a Superficie Lateral Superficie Total Volumen Ejemplo: Calcular superficie lateral, superficie total y volumen del siguiente prisma. 4 cm Área de una cara lateral = a c 2 cm 4cm 8 cm 2 Área de una cara lateral del costado =b c 3cm 4cm 12cm 2 Área de una base= a b 2cm 3cm 6cm 2 2 cm Superficie Lateral ( ) 2. ( ) Superficie Total ) Volumen Actividad: Calcular sup. Lateral, total y volumen de un prisma largo 3 cm, ancho 4 cm y altura 6 cm

53 CILINDRO h r Superficie Lateral.h Superficie Total Volumen Ejemplo: Calcular superficie lateral, superficie total y volumen del siguiente cilindro. 5 cm Superficie Lateral 94,2 3 cm Superficie Total 94,2 Volumen Actividad: Calcular superficie lateral, superficie total y volumen de un cilindro de radio 2 cm y altura 4 cm

54 ESFERA Superficie Total Volumen Ejemplo: Calcular superficie lateral, superficie total y volumen de la siguiente esfera de radio 2 cm. Superficie Total Volumen Actividad: Calcular superficie lateral, superficie total y volumen de una esfera de 4 cm

55 ACTIVIDAD DE LA UNIDAD 1. Completar los cuadros calculando el área lateral, área total y volumen de los respectivos cuerpos. Utilizar los datos dados: a) CUBO CUBO Arista Área Lateral Área Total Volumen 3cm 5cm b) Base Altura Área Lateral Área Total Volumen 2cm 3cm 5cm 4 cm PRISMA DE BASE CUADRADA c) Radio Altura Área Lateral Área Total Volumen 2cm 5cm 10cm 6cm CILINDRO d) Radio Área Total Volumen 7cm ESFERA 9cm

56 Curso de Nivelación MATEMÁTICA Anexo Ángulos

57 Qué es un ángulo? Sabemos que las rectas y ángulos además de ser un tema escolar están presentes alrededor nuestro. Hay campos en los cuales el trabajo con ángulos es fundamental: las diferentes áreas de la ingeniería, la arquitectura, una especialidad o tecnicatura, desde el diseño de una nave espacial hasta los más elementales instrumentos de cualquier trabajo, es muy importante saber determinar un ángulo y su medida. Un ángulo es la porción de plano comprendida entre dos semirrectas que tienen el origen común. Un ángulo está formado por: -Lado de un ángulo: cada una de las dos semirrectas. -Vértice de un ángulo: punto en el que coinciden las dos semirrectas. - Amplitud: lo más importante del ángulo, es la abertura que hay entre los lados. Cómo se miden los ángulos? Los ángulos se miden en grados sexagesimales o 1º = 60 ; 1 = 60 ; 1º = Para medirlos se utiliza el transportador de ángulos Cómo medir ángulos usando el transportador? Medir un ángulo significa determinar su amplitud y, para hacerlo gener almente se utiliza el transportador

58 Un transportador es un instrumento en forma circular o semicircular y graduado angularmente. Para medi r ángulos utilizando el transportador semicircular debes: 1 Colocar el trazo recto del transportador sobre uno de los lados del ángulo. 2 Hacer que el punto medio de ese trazo coincida con el vértice del ángulo. 3 Observar el otro lado del ángulo y su valor según la escala angular del transportador. Si el ángulo está abierto hacia la izquierda debes fijarte en la escala externa y si está abierto hacia la derecha en la escala interna. Para medir ángulos utilizando el transportador circular debes: 1 Colocar uno de los lados del ángulo frente al 0. 2 Hacer coincidir el centro de la circunferencia con el vértice del ángulo. 3 Observar el otro lado del ángulo y su valor según la escala angular del transportador. Consigna 1) Usar tu transportador para medir cada uno de los siguientes ángulos

59 2) Construye con el transportador : = 90º = 50º = 105º Los tipos de ángulos según su amplitud o medida son: Consigna: Completar la tabla ubicando las medidas de los ángulos según su clasificación. 23 ; 45 ; 112 ; 90 ; 359 ; 78 ; 180 ; 89 ; 256 ; 91 ; 0 ; 310 ; 53 ; 360 ; 12 ; 5 ; 219 ; 100 ; 60. Agudo Recto Obtuso Llano Cóncavo Completo Nulo Los tipos de ángulos según su posición son:

60 Ángulos complementarios: dos ángulos son complementarios cuando la suma de sus amplitudes es de 90º Ángulos suplementarios: dos ángulos son suplementarios cuando la suma de sus amplitudes es de 180º Ángulos adyacentes: dos ángulos son adyacentes cuando son consecutivos y suplementarios a la vez. Ángulos consecutivos: dos ángulos son consecutivos cuando tienen el vértice y un lado común. Ángulos opuestos por el vértice: tienen el vértice común y sus lados están sobre las mismas rectas. Dos rectas que se cortan determinan dos parejas de ángulos opuestos por el vértice. Los ángulos opuestos por el vértice miden lo mismo. Consigna: Cuál es el complemento de 75º? a) 180º b) 25º c) 15º d) 90º Según la figura:

61 Cuál es el valor de x? a) 15º b) 35º c) 180º d) 360º Cuál es el suplemento de 85º? a) 180º b) 95º c) 5º d) 90º De acuerdo con la figura: Cuál es el valor de x? a) 180º b) 90º c) 225º d) 105º