La geometría fractal es en primer término un nuevo. formas que no son expresables mediante la geometría euclídea.

Transcripción

1 Modelado Procedural Geometría fractal Gramáticas de formas Sistemas de partículas Modelado basado en características Prof. Sandra Baldassarri Fractales La geometría fractal es en primer término un nuevo lenguaje matemático que permite expresar cierto tipo de formas que no son expresables mediante la geometría euclídea. Esta geometría permite describir, de forma concisa y apropiada, objetos complejos del entorno natural (plantas, nubes, montañas, etc). Mediante el lenguaje fractal, la descripción de una nube se hace tan precisa como lo es la descripción de una casa utilizando geometría analítica.

2 El lenguaje de los fractales La geometría fractal se expresa por medio de algoritmos, es decir, por medio de reglas e instrucciones de procedimiento Por lo tanto requieren la ayuda de un ordenador para convertirse en formas y estructuras. Breve reseña histórica

3 Geometría fractal La personalidad más conocida dentro del mundo de los fractales es Benoît Mandelbrot quien inició el desarrollo de la geometría fractal. Benoît B. Mandelbrot puso en marcha una nueva forma de pensar dentro de la matemática y la ciencia natural, una ola que, por su amplitud, fuerza y creatividad extraordinarias, se ha convertido en un conocimiento aplicado interdisciplinar de primer orden. Geometría fractal La esencia del mensaje de Mandelbrot es que muchas estructuras naturales que aparentan tener una complejidad extraordinarias, poseen en realidad una propiedad de regularidad geométrica que se denomina invarianza de escala o autosimilaridad Si se analizan estructuras con esta propiedad a distintas escalas, se encuentran una y otra vez formas similares Debido a esa propiedad, el algoritmo que describa la forma de un objeto fractal debe exhibir recursividad.

4 Geometría fractal En realidad existen varios tipos de fractales: Autosimilares exactos: tienen partes que son versiones a escala reducida exacta del objeto completo. Autosimilares estadísticos: tienen partes que son versiones a escala reducida estadísticamente iguales al objeto completo Autoafines exactos: tienen partes que son versiones a escala reducida exacta del objeto completo, pero se forman con diferentes valores de escalado en las distintas direcciones del espacio. Autoafines estadísticos: tienen partes que son versiones a escala reducida estadísticamente iguales al objeto completo, pero se forman con diferentes valores de escalado en las distintas direcciones del espacio. Algunos ejemplos de fractales autosimilares exactos : - Curva de Koch (Helge von Koch, 1904) - Curva de Peano (Giuseppe Peano, 1890) - Polvo de Cantor (Georg Cantor, 1883) - Triángulo de Sierpinski (Waclaw Sierpinski, 1919)

5 Curva de Koch Construcción - Cada lado se divide en 3 partes iguales. - La parte central se sustituye por 2 lados triangulares - Se repite de nuevo para cada segmento Dimensión: log 4 / log 3 = 1,2618 Longitud: infinita Curva de Koch Cuando se crea una curva de Koch sobre los lados de un triángulo equilátero se forma una isla o copo de nieve de Koch.

6 Curva de Koch: Variantes Curva de Peano Construcción Se parte de un segmento de longitud unidad Se deducen 9 nuevos segmento de longitud 1/3 Cada segmento se coloca como indica la figura Se reitera el proceso para cada segmento

7 Curva de Peano Curva de Hilbert Polvo de Cantor Construcción Se toma un segmento de tamaño unidad, S 1 =[0,1] Se divide el segmento en 3 partes iguales Se borra el segmento central Se reitera el proceso para los segmentos restantes

8 Triángulo de Sierpinski Construcción Se parte de un triángulo equilátero de lado unidad Se toman los puntos medios de cada lado y se construye un triángulo equilátero invertido de lado ½ Se recorta Se repite el proceso con cada triángulo Tetraedro de Sierpinski Alfombra de Sierpinskii

9 Algunos ejemplos de fractales autoafines estadísticos: - Árbol - Coral -Col - Cuerpo humano Fractales en la naturaleza: árbol

10 Fractales en la naturaleza: coral Fractales en la naturaleza: col

11 Fractales en la naturaleza: Cuerpo humano Pulmón Sistema venoso-arterial Algunos ejemplos de fractales sintéticos: - Paisajes - Helecho de Barnsley - Nubes - Plantas

12 Fractales sintéticos: paisajes: terrenos Para controlar el crecimiento del fractal se utilizan superficies de control Fractales sintéticos: paisajes: terrenos Construcción: Se marcan los puntos medios de los lados del triángulo Se trazan rectas perpendiculares al plano por dichos puntos y se marca aleatoriamente un punto arbitrario (hacia arriba o abajo). Con el nuevo punto obtenido en cada lado se forman tres tiá triángulos, sobre los que se efectúa la misma transformación.

13 Fractales sintéticos: paisajes Fractales sintéticos: paisajes

14 Fractales sintéticos: paisajes Fractales sintéticos: helecho de Barnsley

15 Fractales sintéticos: nubes Fractales sintéticos: nubes

16 Fractales sintéticos: plantas Fractales sintéticos: plantas

17 Fractales sintéticos: plantas Fractales sintéticos: plantas

18 Fractales sintéticos: plantas, su crecimiento Vídeo de crecimiento de plantas fractales basipetal.mov, field.mov Vídeo de crecimiento acotado a un entorno: leaves.mov Vídeo de crecimiento de dos árboles compitiendo por el mismo espacio two.mov Vídeo de crecimiento de raíces root3d.mov Virtual Garden Creado por medio de agentes que se plantan y abandonan

19 Arte fractal Aplicando tonos de color a algunos objetos matemáticos que están relacionados con el mundo de los fractales se puede llegar a interesantes resultados estéticos. Las galerías de imágenes fractales y sus artistas inundan la red. Arte fractal A continuación aparecen dos partes del conjunto de Mandelbrot llevadas a 3D.

20 Arte fractal Arte fractal

23 Conjunto de Mandelbrot Ejemplos de geometría Fractal Dimensión fractal La caracterización matemática de un objeto fractal se realiza en base a lo que se denomina su dimensión fractal. Partimos de un segmento de longitud 1, y lo subdividimos en segmentos de longitud L, obteniendo N(L) partes de manera que: N(L).L 1 = 1

24 Dimensión fractal Partiendo de un cuadrado de superficie 1 y subdividiéndolo en unidades cuadradas de lado L se obtienen N(L) subunidades de manera que: N(L).L 2 = 1 4.(1/2) 2 = 1 9. (1/3) 2 = (1/4) 2 = 1 Dimensión fractal De forma general, la dimensión de un objeto podría expresarse bajo la forma de la ley de la escala a = s D

25 Dimensión fractal Por lo tanto, se puede generalizar que la dimensión de una forma geométrica es el número D que, en a = s D, cumple: Dimensión fractal Sin embargo, si las figuras no son subsimilares (cualquier parte de un objeto, arbitrariamente elegida, por pequeña que sea, proporciona el objeto completo) el cálculo no es tan simple. En ese caso, la dimensión fractal o dimensión de Haussodorf-Besucovic no es un número entero sino un número decimal, referido al grado de ocupación del espacio o a la rugosidad del objeto fractal. P: tamaño del objeto N: número de partes que forman el objeto p: tamaño de cada parte

26 Dimensión fractal La dimensión fractal se halla dividiendo el espacio y considerando los elementos que contienen algún trozo del objeto (N) y el tamaño de los elementos de la malla. Dimensión fractal Los valores de la dimensión fractal indican que la misma estructura (determinista o estadística) se halla a cualquier escala.

27 Modelado por gramáticas de formas Gramáticas de formas: método procedural definido por conjuntos de reglas de producción que se aplican en un objeto inicial para agregar niveles de detalle que concuerdan con la forma original. Se pueden aplicar transformaciones para alterar la geometría del objeto, modificar el color o la textura de la superficie. Modelado por gramáticas de formas Gramáticas Lindermayer o gramáticas L: utilizadas para la descripción de plantas. Las reglas ofrecen la conexión entre el tronco, las ramas y las hojas de cada ramificación individual.

28 Modelado por gramáticas de formas Sistemas Lindermayer Modelado por gramáticas de formas Ejemplo: Más allá de los sueños Plantas generadas por sistemas Lindermayer Superficie NURB para la descripción del terreno

29 Modelado por gramáticas de formas Ejemplo: Más allá de los sueños Plantas generadas por sistemas Lindermayer: Modelado por gramáticas de formas Ejemplo: Más allá de los sueños Plantas generadas por sistemas Lindermayer:

30 Sistemas de partículas Sistemas de partículas: permiten modelar objetos naturales o con formas irregulares que presentan propiedades de tipo fluido u objetos que cambian con el paso del tiempo (nubes, humo, fuego, cascadas, etc) En objetos como agua, polvo, nieve o lluvia, el efecto visual que el ser humano observa proviene de la interacción de millones de partículas que reaccionan antes otros objetos, la gravedad, el aire, el viento, para crear los patrones que vemos. Los modelos realistas deben trabajar con gran número de partículas para ser creíbles. Sistemas de partículas Modelo básico de comportamiento de un sistema de partículas: Se utiliza el proceso aleatorio para generar partículas en alguna región del espacio. A cada partícula se le asigna una serie de atributos que pueden variar con el paso del tiempo. En algún momento al azar la partícula se suprime. Durante la vida de la partícula, las características de su trayectoria y superficie se basan en leyes dinámicas y pueden tener códigos de colores, transparencia, desplegarse, etc..

31 Sistemas de partículas Las formas de las partículas pueden ser esferas, elipsoides, recuadros pequeños, etc. Cada partícula suele tener los siguientes atributos: Posición Velocidad Color Tiempo de vida Edad Forma Tamaño Transparencia Sistemas de partículas Sistema de partículas para la realización de las crestas de las olas, la bruma y las gotas en cada golpe de la ola Ejemplo: La tormenta perfecta

32 Sistemas de partículas Ejemplos: Sistemas de partículas Ejemplos:

33 Modelado basado en características Modelado basado en las características físicas del objetos: se describe el comportamiento del objeto en términos de la interacción entre las fuerzas externas e internas. Ejemplos: telas, pelota de hule, gelatina, etc. Modelado basado en características El objeto se modela como una red de nodos con conexiones flexibles entre los nodos, generalmente representados por resortes. Sistema masa-muelle. Los objetos pueden ser homogéneos o tener diferentes tipos de resortes (o en distintas direcciones)

34 Modelado basado en características lycra Elasticidad de Trama N.m -1 Elasticidad de Urdimbre 10 N.m -1 Cizalladura 217 N.m -1 Curvatura de Trama Curvatura de Urdimbre N.m N.m Densidad Kg.m -2 Modelado basado en características Animación por medio de un modelo basado en las características físicas del objeto (sistema masa-muelle) muelle)

35 Modelado basado en características Modelado basado en características Ejemplos