FRACTALES ERNESTO ARANDA

Transcripción

1 FRACTALES ERNESTO ARANDA CONCEPTOS PREVIOS Qué es el infinito? El infinito representa el concepto de lo que no tiene fin o no tiene límite. Se representa por el símbolo, introducido por el inglés John Wallis (66 703), y está inspirado por la curva lemniscata, descrita por primera vez en 694 por el suizo Jakob Bernoulli ( ). El infinito aparece, por ejemplo, cuando contemplamos sucesiones de números:, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0,, 2,..., 3, 5, 7, 9,, 3, 5, 7, 9, 2,... Estas sucesiones continúan hasta el infinito, lo que significa que no tienen fin. Actividad Si se observan las dos sucesiones anteriores, cuál de ellas contiene más elementos? Se te ocurre cómo podrías compararlas? Sucesiones y ĺımites Las sucesiones anteriores son sencillas y van creciendo hasta el infinito. Se dice que tienden a. Actividad 2 En las siguientes sucesiones, puedes averiguar cuáles son los tres siguientes términos y ver hacia dónde tienden? 2, 4, 8, 6, 32,..., 2, 3, 4, 5, 6,... 2, 3 4, 5 6, 7 8, 9 0, 2,...

2 Fractales 2 El valor hacia el cual se aproxima cada sucesión es lo que se denomina su límite. 2 ALGUNOS FRACTALES 2 La curva de Koch Vamos a construir un objeto geométrico en el que usaremos un proceso que se repite hasta el infinito. Partimos de un segmento, lo dividimos en tres trozos, suprimimos el trozo de enmedio y lo sustituimos por un triángulo equilátero sin base: Ahora, en cada segmento de la nueva figura, reiteramos el procedimiento anterior de forma recursiva: y así continuamos hasta el infinito. Obtenemos una curva conocidad como la curva de Koch, descubierta por el matemático sueco Niels Fabian Helge von Koch ( ) en 904. Esta curva tiene propiedades interesantes que vamos a descubrir. Actividad 3 Si la longitud del segmento inicial es, averiguar cuál es la longitud total de la curva. Para ello rellenar la siguiente tabla: Etapa N. segmentos Long. segmento Long. total n. 2 2 El triángulo de Sierpinski Partimos ahora de un triángulo equilátero de lado y realizamos la construcción que sigue a continuación: unimos los puntos medios de cada lado del triángulo y eliminamos el triángulo interior resultante:

3 Fractales 3 A continuación, procedemos de igual modo con cada uno de los triángulos que quedan en la figura, continuando indefinidamente: El resultado es una figura conocida como triángulo de Sierpinski, en honor al matemático polaco Wac law Sierpiński ( ). Actividad 4 Vamos a calcular el perímetro total de la figura y el área encerrada rellenando la siguiente tabla: Etapa N. triángulos Long. lado triáng Perímetro total Área total n.

4 Fractales La alfombra de Sierpinski De una forma similar se puede construir la alfombra de Sierpinski; partiendo de un cuadrado de lado unidad, dividimos en tres trozos cada lado y extraemos el cuadrado central: Ahora reiteramos el proceso en cada cuadrado restante:

5 Fractales 5 Actividad 5 Al igual que antes, calcular el perímetro total de la figura y el área encerrada rellenando la siguiente tabla: Etapa N. cuadrados Long. lado cuadrado Perímetro total Área total n. Propiedades de los fractales Entre las características más destacables de estos conjuntos se pueden destacar: Tienen detalle a todas las escalas, es decir, si los miramos a cualquier escala, siempre observaremos detalles ya observados a nivel global. Son autosemejantes, lo que significa que están formados por partes que se asemejan al conjunto total. Tienen una descripción algorítmica sencilla, de manera que su construcción se lleva a cabo siguiendo unos pasos simples. 3 FRACTALES EN LA NATURALEZA Es evidente que estos conjuntos son extraños, y tienen propiedades matemáticas poco usuales. Pero, realmente son muy diferentes a lo que podemos encontrar a nuestro alrededor? Mira estos ejemplos:

6 Fractales 6 4 CO MO SE MIDE UN FRACTAL? Como has podido comprobar, estos objetos geome tricos son un tanto extran os y sus dimensiones (longitud, perı metro o a rea) no corresponden a mediciones lo gicas. Viene a pasar algo parecido si intentamos medir, por ejemplo, el volumen de una superfice. Cu al es el volumen de un cuadrado? Como un cuadrado no tiene volumen, decimos que su volumen es cero. Pero si tenemos dos cuadrados, uno ma s grande que el otro, ambos tendra n volumen cero, por lo que el volumen no nos permite comparar cuadrados. En realidad, esto ocurre porque el volumen no es una medida apropiada para un cuadrado, lo correcto serı a usar el a rea. Algo similar ocurre con los fractales.

7 Fractales 7 Actividad 6 Imaginemos que en lugar de empezar con un segmento de longitud para construir la curva de Koch, usamos un segmento de longitud 2. Cúal será la longitud de la nueva curva de Koch? Es la longitud una medida adecuada para la curva de Koch? Y el área? En conclusión, podemos decir que la curva de Koch no es un objeto de dimensión, ni un objeto de dimensión 2, sino que su dimensión va a ser un número comprendido entre y 2, es decir una dimensión fraccionaria. En esta sección vamos a ver cómo calcular la dimensión de los fractales que ya concoces. 4 Medida y dimensión: figuras semejantes Dos figuras son semejantes si tienen la misma forma pero diferente tamaño. Por ejemplo, los dos triángulos siguientes son semejantes: Veamos cómo podemos relacionar la medida de un objeto con su dimensión. Si consideramos un segmento de longitud L y un segmento semejante, con longitud (αl), es evidente que Qué ocurre con el área? Las siguientes figuras son semejantes. longitud(αl) = α longitud(l) Actividad 7 L 2L αl L αl Cuál es la relación entre sus aŕeas? Es decir, Área(αL) =? Área(L)

8 Fractales 8 Actividad 8 Puedes establecer una relación similar entre los volúmenes de las siguientes figuras? L αl Volumen(αL) =? Volumen(L) 4 2 Dimensión fractal Para averiguar la dimensión de un fractal vamos a tratar de relacionar la medida entre dos fractales semejantes. En el caso de los fractales, como son autosemejantes es muy fácil. Fíjate en la curva de Koch: L 3L Si atendemos a medida(3l) = 3 d medida(l) medida(3l) = 4 medida(l) 3d = 4 d = log 3 4 =,269 De manera que la curva de Koch tiene como dimensión,269..., es decir, una dimensión no entera.

9 Fractales 9 Actividad 9 Atendiendo a las figuras, calcular la dimensión del triángulo y la alfombra de Sierpinski: