Introducción al Método de los Elementos Finitos

Transcripción

1 S 4 v v 5 de los Elementos Finitos Parte 7 Elementos curvos e integración numérica. Elementos infinitos. Alberto Cardona, Víctor Fachinotti Cimec-Intec (UNL/Conicet), Santa Fe, Argentina

2 Elementos curvos Hasta aquí se han usado aproximaciones lineales por trozos de la frontera Γ. En D, se aproximó Γ con una línea poligonal, con un error de orden O(h ). Aproximemos Γ con curvas descritas por polinomios de grado k, con error O(h k+ ). En una malla de Ω, los elementos adyacentes a Γ tendrán un lado curvo. Un elemento curvo se obtiene de la siguiente manera:. Supongamos el elemento (,P ˆ, Σˆ ). ˆ ˆΣ es un con. de gdl de tipo Lagrangiano (i.e., valores x i de la función en ciertos puntos ˆ aˆ, i =,,, m ) a i. Sea F : ˆ ᆴ un mapeo -a-, x^ con inversa F : ᆴ. ˆ Introducción al 0 Método de los Elementos ^ x^ a^ i F ^ x x 0 x F Γ

3 Definimos Elementos curvos (cont.) { p p x pˆ F x x pˆ ˆ } i i { valores de la función en a F( aˆ )), i,,, m} P = : ( ) = ( ( )),, P Σ = = = Ahora, constituye un elemento finito curvo. (,P, Σ) Si en el mapeo F=(F, F ) las funciones son del mismo tipo que en P, el elemento se dice isoparamétrico. Eemplo: sea el elemento de ref., con nodos â, â, â 3 (en los vértices), a 5 â 4, â 5, â 6 a^ (en ˆ el centro de los lados). 3 F a^ ^ 6 a^ 5 a 3 a 6 Σ = valores en los nodos P = P (). ˆ ˆ func. de base en ˆ { } ϕ ˆ, i =,,,6, P ˆ (). i x^ a^ a^ 4 a^ de los Elementos 3 x^ x a a 4 a x

4 Elementos curvos (cont.) Definimos el mapeo Luego, escribimos Se define el Jacobiano de F como J 6 F ( xˆ ) = a ϕˆ ( xˆ ), xˆ ᆴ ˆ = F es localmente -a- en una pequeña vecindad de c/punto xˆ ᆴ ˆ si { ᆴ ˆ ˆ ˆ } = F () ˆ = x : x = F ( x), x ᆴ F ᆴF ᆴ x ᆴx = ᆴ F ᆴ F ᆴ x ᆴx det J( xˆ ) ᆴ 0. En gral, esto no garantiza que F sea globalmente -a-, i.e., que x,! xˆ ˆ / F ( xˆ ) = x F será globalmente -a- si det J( xˆ ) ᆴ 0, xˆ ᆴ. ˆ de los Elementos 4

5 Elementos curvos (cont.) Descompongamos F como F ( xˆ ) = Fˆ ( F% ( xˆ )) x^ a^ 3 a^ 6 ^ a^ 5 ~ F y b 3 b 6 b 5 F^ x a 3 ~ a 5 a 5 a a a 4 a^ a^ 4 a^ x^ b b 4 b y a 6 x ˆF, que mapea b ᆴ aˆ en a, =,,3, tiene la forma: 3 ˆ a a a a a F ( y ) = 3 y + ᆴ By + b. a a a a a det B ᆴ 0 ᆴ Fˆ es -a-. Analicemos ahora el mapeo F % = ( F %, F % ), que está definido por 5 F% = xˆ + d xˆ xˆ, d = 4b, i =,. i i i i i de los Elementos 5

6 Elementos curvos (cont.) Analicemos ahora el mapeo F % = ( F %, F % ), que está definido por 5 F% = xˆ + d xˆ xˆ, d = 4b, i =, i i i i i con Jacobiano Jˆ ( x) + d xˆ d xˆ det ˆ( ) ˆ = ᆴ J xˆ = + d ˆ ˆ x + d x d ˆ ˆ x + d x ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ det J( x) lineal en x det J( x) > 0 en det J( xˆ ) > 0 en los vértices aˆ, =,,3. det Jˆ (0, 0) = ˆ ᆴᆴ ˆ ˆ det J(,0) = + d det J > 0 en si di > bi >, i =,. 4 det ˆ ᆴ J(0,) x^ a^ 3 a^ ^ 6 a^ 5 = + d ᆴ ~ F y b 3 b 6 b 5 F^ x a 3 ~ a 5 a 5 a a a 4 a^ a^ 4 a^ ^ x Introducción b b al Método 4 b y de los Elementos 6 a 6 x

7 Elementos curvos (cont.) Luego, %F es -a- si b 5 y a 5 caen en las áreas sombreadas, para lo que ã 5 debe estar suficientemente próximo a a 5. El mapeo original F es -a- bao las mismas condiciones. En un elemento con un lado curvo, la dist. a 5 ã 5 es de Luego, ã 5 estará suficientemente cerca de a 5 si es suficientemente pequeño. En conclusión, el mapeo F será -a- para mallas suficientemente finas. h O( h ). x^ a^ 3 a^ ^ 6 a^ 5 ~ F y b 3 b 6 b 5 F^ x a 3 ~ a 5 a 5 a a a 4 a^ a^ 4 a^ ^ x b b 4 b de los Elementos 7 y a 6 x

8 Elementos curvos (cont.) Error de interpolación: Dada una función v sobre, definimos el interpolante πv P requiriendo que πv(a i )=v(a i ), i=,...,6. Si es un triángulo común (como el visto anteriormente), entonces r s v πv, 0 3 s ᆴᆴᆴᆴ Ch H () v r s r H () Esto también vale para triángulo curvo, siempre que no sea demasiado curvo. Y esto se verifica en aplicaciones típicas, donde los elementos aproximan una frontera suave. Espacio V h : Sea T h ={} una malla de Ω, con elementos (,P,Σ ), que pueden tener uno o más lados curvos. Sea Ω h la unión de los elementos de T h, que es una aproximación a Ω con frontera cuadrática a trozos. Se define V = v H ( Ω ) : v P, T { } h h h Usando este espacio para el problema de Poisson, tenemos 3 u u ᆴ Ch u, u u ᆴ Ch u h H ( Ω ) H ( Ω) h L ( Ω ) H ( Ω) 3 3 h h de los Elementos 8

9 Elementos curvos Elementos de las formas básicas en D, D y 3D pueden mapearse a formas distorsionadas. De esta manera, las coord. locales ξηζ o L L L 3 L 4 se transforman en curvilíneas cuando se plotean en el sistema Cartesiano global xyz. Ello es posible si existe una correspondencia -a- entre las coord. Cartesianas y las curvilíneas, i.e. si se pueden establecer los mapeos: x f x ( ξ, η, ζ ) f x( L, L, L3, L4 ) y = f ( ξ, η, ζ ) o f ( L, L, L, L ) y y 3 4 z f z ( ξ, η, ζ ) f z ( L, L, L3, L4 ) de los Elementos 9 * [ZT000] OC Zienkiewicz, RL Taylor, The Finite Element Method, Vol., 5ª ed., Butterworth-Heinemann, 000. * Figuras extraídas de [ZT000]

10 Elementos curvos: mapeo de elementos D de los Elementos 0 * Figuras extraídas de [ZT000]

11 Elementos curvos: mapeo de elementos 3D de los Elementos * Figuras extraídas de [ZT000]

12 Coordenadas curvilíneas paramétricas La forma más conveniente de definir mapeos es usando funciones de forma Nᆴ i dadas en términos de las coords. locales: x = Nᆴx + Nᆴx + y = Nᆴy + Nᆴy + z = Nᆴz + Nᆴz + A c/triada local (ξ,η,ζ ) en coords. locales debe corresponderle una sola triada (x,y,z) en coords. globales. Sin embargo, elementos muy distorsionados pueden comprometer la unicidad. Requisitos de unicidad en cuadrángulos Pérdida de unicidad en elementos muy distorsionados de los Elementos Figuras extraidats de [ZT000]

13 Mapeos admisibles en cuadrángulos de los Elementos 3 * Figuras extraídas de [ZT000]

14 Conformidad geométrica y continuidad Teorema : Si dos elementos adyacentes son generados a partir de elementos master (o de referencia) donde las funciones de forma son C0-continuas, entonces los elementos serán contiguos (compatibles). Teorema : Si las funciones de forma garantizan la continuidad C0 de la solución en las coordenadas del elemento master, luego también se satisfará continuidad C0 en las coordenadas del elemento distorsionado. de los Elementos 4 * Figuras extraídas de [ZT000]

15 Elementos isoparamétricos, superparamétricos y subparamétricos Isoparamétrico Superparamétrico Subparamétrico de los Elementos 5 Punto en el que se especifica gdl Punto en el que se especifica coordenada * Figuras extraídas de [ZT000]

16 Elementos infinitos En muchos problemas ingenieriles, el dominio es infinito o semi-infinito, y se especifican CB a dist. infinita.. Solución usando MEF convencional: se malla una porción suficientemente grande del dominio, a fin de imponer las CB a una dist. grande, con las sigtes. desventaas. Si esa dist. no es lo suficientemente grande, se introduce un error en el modelo. Se deben introducir muchos elementos en una región que suele ser de poco interés para el analista.. Solución usando elementos infinitos, en los que un mapeo particular, permite transformar elementos semi-infinitos a los elementos master básicos. Estos elementos se ensamblan luego con los elementos finitos de la malla. * Figura extraída de [ZT000] de los Elementos 6

17 Elementos infinitos Consideremos el mapeo D a lo largo de CPQ: ξ ξ x = xc + xq NCxC NQxQ ξ + ξ = + () Se observa que: ᆴ xc + xq x = = xp si ξ = ᆴᆴ x = xq si ξ = 0 ᆴ x = xr = ᆴ si ξ = Luego, remplazando x C por x P : ξ ξ x = + x x N x N x ξ = + ξ Q P Q Q P P Muchas otras funciones podrían usarse en () y (), siempre que () * Figura extraída de [ZT000] NC + NQ = NP + NQ =. de los Elementos 7

18 Elementos infinitos (cont.) Ahora, si aproximamos la solución por un polinomio: u α α ξ α ξ = ξ Dado ξ x = xc + + x ξ ξ x x x x ξ = = x x r Q C Q C Obtenemos entonces la solución típica de C Q campo leano para regiones exteriores: * Figura extraída de [ZT000] β β u = β El punto C representa r el origen r de decaimiento. Su correcta ubicación en base a la física del problema permite meorar la precisión de la solución. Equivalentemente, a lo largo de C P Q tenemos el mapeo x ξ, x ξ x y ξ y ξ = + + = + + ξ ξ ξ ξ y C Q C Q de los Elementos 8

19 Elementos infinitos (cont.) El mapeo se completa en la dirección η usando las funciones de forma lineales standard + η η N( η) =, N0( η) =. Luego: ξ ξ x = N( η) xc + + xq ξ ξ ξ ξ + N ( η) x + + x ξ ξ 0 C Q ξ ξ y = N ( η) y + + y ξ ξ C Q ξ ξ + N0( η) yc + y Q ξ + ξ En dirección η podrían usarse funciones de mayor orden, lo que permite ensamblar elementos infinitos con elementos finitos de mayor orden. * Figuras extraídas de [ZT000] de los Elementos 9

20 Eemplos de aplicación de elementos infinitos Problema de Boussinesq: carga puntual en un medio semi-infinito Fluo irrotacional alrededor de un ala * Figuras extraídas de [ZT000] de los Elementos 0

21 Cálculo de la matriz de rigidez Las funciones de base locales en están dadas por ϕ ( x) = ϕˆ F ( xˆ ), =,,6. Para el problema de Poisson, deben calcularse las integrales a = ϕ ϕ dx, =,,6. Por la regla de la cadena donde ᆴ a ᆴ de los Elementos ( ) i i ᆴϕ ˆ ˆ ˆ ˆ i ᆴ ᆴϕi ᆴx ᆴϕi ᆴx = ϕˆ ( ( ˆ F x) ) = + ᆴx ˆ ˆ ᆴx ᆴx ᆴx ᆴx ᆴx ᆴ ϕ ˆ ˆ ˆ i ᆴ x ᆴx ᆴ ϕi ᆴ x ˆ ᆴx ᆴx ᆴx ϕ i = = = J ᆴ ϕ ˆ ˆ ˆ i ᆴ x ᆴx ᆴϕi ᆴx ᆴx ᆴx ᆴxˆ T T ( J ϕˆ ) ( J ϕˆ ) det J dxˆ ( J ˆ 0ϕ ) ( J ˆ 0ϕ ) = = i i i ˆ ˆ T ϕ ˆ T T F xˆ F xˆ T ᆴᆴ ᆴᆴ J0 J = ( acobiano de F ) = ( J ) = = det J ᆴᆴᆴᆴ F ˆ ˆ x F x det J dxˆ det J i

22 Integración numérica (o cuadratura) Para evaluar integrales en MEF, se usa frecuentemente la fórmula de cuadratura: ᆴ f ( x) dx ᆴ f ( x ) w q = x ᆴᆴ w : puntos de integración o de muestreo : peso correspondiente al punto x Si esta fórmula es exacta para el polinomio de grado r >0, luego el error de integración resulta q r+ f ( x) dx f ( x ) w ᆴ Ch α D f dx = α = r+ Nota: para el elemento isoparamétrico cuadrático visto, calculando la matriz de rigidez por integración numérica exacta para polinomios de grado r =, luego u u = h h O( ) H ( Ωh ) de los Elementos

23 Integración numérica El cálculo analítico de matrices que involucran integrales sobre elementos distorsionados, particularmente en elementos de alto orden o en caso de heterogeneidad del material, puede volverse prácticamente imposible. En D, podemos aproximar tales integrales de la siguiente manera: n = ᆴ ( ξ ) ξ ᆴ ( ξ ) ᆴ = 0 ᆴ I f d f H ᆴξ H : puntos de integración o de muestreo : peso correspondiente al punto Dados los puntos de muestreo ξ, =0,,, n, determinamos el polinomio F n (ξ) t.q. F n (ξ )=f(ξ ). n F ( ξ ) = α + α ξ + + α ξ F F n n 0 ( ξ ) = α + α ξ + + α ξ = f ( ξ ) n n 0 0 M ( ξ ) = α + α ξ + + α ξ = f ( ξ ) n n n 0 n n n n n+ ( ) I = f ( ξ ) dξ ᆴ F ( ξ ) dξ = α + α + + αn 3 n n 0 n + de los Elementos 3 x

24 Integración numérica: método de Newton-Cotes Eemplo: para n=, ξ 0 =, ξ =: f ( ξ) + f ( ξ0) f ( ξ) f ( ξ0) F ( ξ ) = + ξ I = f ( ξ ) dξ ᆴ F ( ξ ) dξ = f ( ξ ) + f ( ξ ) 0 Nota: si n es par, se integra exactamente un polinomio de orden n; si n es impar, se integra exactamente un polinomio de orden n+. Si los puntos de muestreo son equiespaciados, se tiene el método de Newton-Cotes. de los Elementos 4

25 Integración numérica: método de Gauss-Legendre En lugar de definir a priori la posición de los n+ puntos de muestreo, se la determinará de manera de obtener el mayor orden de precisión para n dado. Se busca calcular en forma exacta la integral del polinomio F p, ( p n a determinar), cuya integral es n p+ ( ) p ( ) I = ᆴF ( ξ ) dξ = W α0 + αξ + + α ξ = α 0 + α + + α 3 p + p p p = 0 lo que da lugar al sistema de ecs. W0 + W + + Wn = W0ξ 0 + Wξ + + Wnξ n = 0 ᆴᆴ p + ecuaciones M p+ ( n ) incógnitas ( W0,, W, 0,, ) ( ) ᆴ + n ξ ξn p p p W0ξ 0 + Wξ + + Wnξ n = ᆴ p + que tendrá solución si p + = ( n + ). de los Elementos 5

26 Integración numérica: Newton-Cotes vs Gauss Legendre Integración exacta de un polinomio de grado 7 * Figuras extraídas de [ZT000] Newton-Cotes Gauss-Legendre de los Elementos 6

27 Integración numérica de Gauss-Legendre * Tabla extraída de [ZT000] de los Elementos 7

28 Integración numérica en cuadrados (D) y cubos (3D) Se aplican las reglas de integración numérica D en cada dirección. D 3D I = f ( ξ, η) dξdη ᆴ f ( ξ, η ) H H n m i= 0 = 0 i i I = f ( ξ, η, ζ ) dξdηdζ ᆴ f ( ξ, η, ζ ) H H H n m p i= 0 = 0 k = 0 i k i k de los Elementos 8

29 Integración numérica en triángulos L 0 0 = 0 I = f ( L, L ) dl dl ᆴ n f ( L, L ) H * Tabla extraída de [ZT000] de los Elementos 9

30 Integración numérica en tetraedros L L L n I = f ( L, L, L ) dl dl dl ᆴ f ( L, L, L ) H = 0 * Tabla extraída de [ZT000] de los Elementos 30

31 Orden de integración numérica necesario Dado el costo computacional que implica un mayor número de puntos de integración, es conveniente determinar:. Menor orden de integración que no comprometa la convergencia.. Orden de integración necesario para mantener la misma tasa de convergencia que si se usara integración exacta. Mínimo orden de integración para convergencia: en un problema donde habrá convergencia si puede reproducirse cualquier valor constante de la m- ésima derivada. Si m=, ello requiere que el volumen del elemento sea calculado de manera exacta. Orden de integración para no deteriorar la convergencia: usando MEF standard (Galerkin), con interpolación polinomial de grado p, para problemas que involucren derivadas de orden m, el error es O(h (p-m)+ ). Si el error de integración es a lo sumo de ese orden, no se perderá convergencia. de los Elementos 3