Pontificia Universidad Católica del Perú ICA624: Control Robusto. 4. Síntesis H con Sensibilidad Ponderada. Caso SISO

Transcripción

1 Pontificia Universidad Católica del Perú ICA624: Control Robusto 4. Síntesis H con Ponderada Caso SISO Hanz Richter, PhD Profesor Visitante Cleveland State University Mechanical Engineering Department 1 / 11

2 Uso de de Primer y Recordemos que en un lazo nominal SISO con disturbios se tiene: y = T(r n)+sgd p +Sd e = S(r d)+tn SGd p u = KS(r n) KSd Td p u p = KS(r n) KSd+Sd p Se ha visto que se quiere S pequeña debajo del ancho de banda (para errores de seguimiento pequeños) y S cercana a 1 por encima del ancho de banda (para rechazo de ruido y supresión de dinámica no modelada). Estos requerimientos son equivalentes a T cercana a 1 por debajo y pequeña por encima del ancho de banda. 2 / 11

3 Uso de Uso de de Primer y M 0 db α S w b w M 0 db α Queremos S < 1/W S y T < 1/W T. Para limitar la magnitud del control, usamos KS < 1/W u. T w b w Notar que no basta con usar S, puesto que su peso sólo impone una cota inferior para w b. Para limitar el ancho de banda de T, incluimos un peso de forma explícita. 3 / 11

4 de Primer y Uso de de Primer y Segundo Orden Los siguientes pesos son simples y bastan para las aplicaciones: W S (s) = s/m +w b s+αw b W S (s) = (s/ M +w b ) 2 (s+w b α) 2 W T (s) = s+w b/m αs+w b W U (s) = alguna constante Ejercicio: 1. Si bien S +T = 1, se cumple algo similar para los pesos de primer orden? 2. Encontrar un peso de segundo orden adecuado para T. 4 / 11

5 Uso de de Primer y Parámetros de los w b en W S provee una cota inferior para el ancho de banda. Se usa para controlar la velocidad de respuesta. w b en W T provee una cota superior para el ancho de banda. Se usa para limitar la velocidad de respuesta (y prevenir exceso de actividad en el control). α es la ganancia a baja frecuencia de 1/W S y la de alta frecuencia en 1/W T. En 1/W S, se usa para reducir la sensibilidad a disturbios y mejorar el control de salida. En 1/W T se usa para mejorar la robustez contra dinámica no modelada. M es la ganancia a alta frecuencia de 1/W S y la de baja frecuencia en 1/W T. Como se vió anteriormente, picos pronunciados en S corresponden a bajos márgenes de estabilidad y altos sobreimpulsos. Existe un compromiso entre M y α. Debido al efecto cama de agua (integral de sensibilidad de Bode), usar M muy cercana a 1 resultará en alta sensibilidad a baja frecuencia. De manera similar, si se reduce α, se producirá un pico en la sensibilidad. 5 / 11

6 Uso de de Primer y Los requerimientos de S 1/W S, T 1/W T y KS < 1/W U son equivalentes a W S S 1, W T T 1, W U KS 1 De manera general, se formula un problema mixto de minimización de sensibilidad: mín N(K) K donde N(K) es: N = W S S W T T W u KS El problema de sensibilidad mixta se resuelve fácilmente con mixsyn, parte del Robust Control Toolbox en Matlab. 6 / 11

7 Uso de de Primer y Este ejemplo figura en Richter, H., Advanced Control of Turbofan Engines, Springer, Código: Matrices: A = [ 3,3808 1,2954 0,4444 3,0501 ], B = [ 667, ,9594 Este modelo linealizado representa la dinámica de una turbina aeronáutica de 40,0000 lb de empuje. Un estado es la velocidad del turboventilador+compresor de baja presión+turbina de baja presión y el otro es la velocidad del compressor de alta presión + turbina de alta presión. La entrada de control es el flujo de combustible. Los estados y entradas son incrementales con respecto al punto de linealización (turbina en mínimo, al nivel del mar). ] 7 / 11

8 Uso de de Primer y Ejemplo Básico... Observaciones: Corremos éste ejemplo para entender el uso de mixsyn. Los pesos están dados. Normalmente se escogen los pesos de acuerdo a las especificaciones de diseño. Típicamente, la optimización arroja un compensador K de alto orden, aún con pesos de primer orden. Cuando G es de alto orden, hará falta reducir K por motivos práctico. Para obtener efecto integral, usaríamos α = 0 en W S. Sin embargo, las combinaciones W S S, W T T y W U KS no pueden tener polos en el eje imaginario para efectos de la optimización H. A medida que se reduzca α, se observará que K incluye in polo real cada vez más cercano al origen. Se puede forzar el polo al origen una vez determinado K. Porqué no se obtiene el ancho de banda prescrito por los pesos? Experimentar con el peso del control. 8 / 11

9 Uso de de Primer y Ejemplo Avanzado Supongamos que un sistema mecánico real es de la forma G(s) = 1 s(s+1) s 2 +10s Para efectos de diseño, se ignora el modo resonante s 2 +10s Existe un disturbio de salida modelado como d = 1,5 sen (0,5t). Las especificaciones de diseño son: 1. Desviación de la salida debido al disturbio menor a Tiempo de respuesta nominal menor a 1, entrada escalón 3. Sobreimpulso nominal menor al 10 %, entrada escalón Encontrar un compensador K(s) basado en la planta de diseño y verificar su operación en la planta real con disturbios usando un modelo en Simulink. Estudiar la robustez del sistema mediante simulaciones variando la frecuencia de resonancia y el coeficiente de amortiguamiento. Encontrar una combinación de éstos parámetros que desestabilize al sistema. 9 / 11

10 Uso de de Primer y Ejemplo Avanzado - Observaciones 1. Como no se puede tener polos en el origen, suponemos que el integrador de la planta pertenece al compensador. La planta de diseño no incluye el polo en cero. Al reducir α se producirá un polo cercano a cero. El compensador final excluye éste polo. Al simular en Simulink, se usa la planta con integrador. 2. Si la dinámica no modelada (resonancia) tiene frecuencia natural cercana al ancho de banda, se desestabilizará el lazo. Hace falta incluir un criterio de estabilidad robusta que use alguna información de la dinámica no modelada. 3. Si se aumenta la frecuencia del disturbio, se produce un conflicto (S = 1 vs. S = 0). 10 / 11

11 Uso de de Primer y Para la planta nominal: y planta real: G r (s) = G(s) = 1 s(s+1)(s+2) 1 s(s+1)(s+2) 75 2 s 2 +7,5s+75 2 con disturbio de salida d = 1,5 sen (t), encontrar un compensador K(s) usando la técnica de sensibilidad mixta H con las siguientes especificaciones: 1. Desviación de la salida debido al disturbio menor a Tiempo de respuesta nominal menor a 2, entrada escalón 3. Sobreimpulso nominal menor al 10 %, entrada escalón Verificar la robustez del sistema usando Simulink, como se hizo con el ejemplo anterior. 11 / 11