ρ sus respectivas velocidades, que consideraremos

Transcripción

1 4.2 Aberración de la luz Se entiende por aberración de la luz el fenómeno, debido a la finitud de la velocidad C de propagación de la luz, por el cual los astros no se ven desde la Tierra en la posición que ocupan en el instante de la observación. Limitándonos a la interpretación clásica del fenómeno (la relativista introduce una corrección del orden de 0"001), sean (Fig.4.4) con respecto a un sistema inercial de origen O: p la posición de un astro cuando la luz sale de él; P la posición del mismo astro cuando dicha luz llega a la Tierra T. Sean, además, r y ρ los vectores de posición del astro y de la Tierra y r y ρ sus respectivas velocidades, que consideraremos constantes en el tiempo de luz dt que la luz tarda en pasar de p a T. El fenómeno es, en realidad, el resultado de la superposición de otros dos. FIG. 4.4 Por una parte, mientras la luz recorre el espacio PT a una velocidad C y en un tiempo dt PT = Cdt, el astro p pasa a ocupar la posición P, pp = rdt. Por otra parte, la luz incide sobre el observador T con una velocidad relativa C' = C ρ y éste observa ' el astro en una posición P' tal que pp = ρ dt. Así pues, distinguiremos entre aberración planetaria y aberración estelar: Aberración planetaria es el desplazamiento

2 de la posición aparente observada P' con respecto a la posición geométrica P en el instante de la observación. Aberración estelar es el desplazamiento de la posición aparente observada P' con respecto a la posición geométrica p en el instante en que la luz salió del astro. La aberración planetaria puede considerarse como la resultante de dos efectos: la aberración estelar, debida a la velocidad instantánea del observador en el momento de la observación, y el desplazamiento geométrico del cuerpo celeste en el espacio debido a su movimiento durante el tiempo que ha tardado la luz en llegar al observador. La aberración planetaria no se aplica generalmente a las estrellas porque se conocen mal sus movimientos propios; en cambio, sí se aplica la aberración estelar. Si designamos por s y s los vectores de posición de P y P' respectivamente, según lo expuesto, la corrección ds que hay que aplicar para pasar de la posición topocéntrica verdadera s a la aparente s vale: o siendo s' s = ds = ( ρ r )dt pt PT s pp << pt y dt = C C = C también, finalmente: ( ) 1 1 ds r dt s = C ρ (6.4) Hemos de advertir que si queremos tratar el problema con el máximo rigor hemos de suponer que el origen O a que se refieren r y ρ es el centro de gravedad del sistema solar. En efecto, con respecto al sistema inercial de origen O, el vector ρ velocidad del observador, es la suma de la velocidad debida a La rotación de la Tierra, de la velocidad debida al movimiento de traslación de la Tierra alrededor del Sol (incluidas las perturbaciones lunar y planetarias) y de la velocidad del Sol relativa al centro de masas del sistema solar, pero excluido el movimiento del sistema solar entre las estrellas. Sin embargo, para simplificar el cálculo supondremos dt=ds/c y tomaremos como origen de coordenadas el centro del Sol, lo cual supone, por ejemplo en el caso de planetas o cometas, introducir un error de menos de 0, Aberración ánua Se acostumbra, por conveniencia, a separar la aberración estelar en dos partes y tratar la parte que depende del movimiento orbital de la Tierra alrededor del centro de gravedad del sistema solar, como distinta de la parte debida a la rotación de la Tierra sobre su eje. La primera recibe el nombre de aberración ánua y la segunda el de aberración diurna.

3 FIG. 5.4 Apliquemos ahora la fórmula (6.4) al estudio de la aberración ánua. Para la mayoría de las estrellas es desconocido el término r dt, aberración secular, y por ello su efecto se engloba en las posiciones medias de los catálogos. Según esto, expresando el movimiento de la Tierra en función del aparente del Sol alrededor de la Tierra, ρ = R, la fórmula (6.4) se reduce a 1 1 ds = R s C (7.4) Sea la circunferencia H la hodógrafa del movimiento (Fig.5.4). Sabemos que la velocidad del Sol, R se descompone en dos vectores, uno perpendicular al vector e (dirección del perigeo), de módulo ce/p donde c es la constante de las áreas, p el parámetro de la órbita y e la excentricidad, y otro perpendicular a R, de módulo c/p, de modo que R = 1 R 1 c + c e p R p y proyectando sobre los ejes de coordenadas eclípticas rectilíneas (Aries, Cáncer, Polo norte de la eclíptica) cada una de las componentes de dicha velocidad, en función de las longitudes del Sol ς y del perigeo ω, tenemos: ( ) e ( ) ( ) e ( ) ( e ω) cos ς 270º + cos ω 270º senς + sen c c R = sen ς 270º sen ω 270º cosς ecos p + = + p ω 0 0 (8.4) y sustituyendo en (7.4) se tiene:

4 senς + esenω 1 ds = k ( cosς + ecosω ) s 0 (9.4) habiendo introducido la constante de aberració 2 2 c n a 1 e n a k = = = = 20',' Cp 2 Ca 1 e C 1 e ( ) (10.4) Si la estrella en cuestión tiene coordenadas esféricas eclípticas L, B, s, tendremos: X = scos Bcos L Y = scos Bsen L Z = ssen B FIG. 6.4 Consideremos un sistema de ejes cartesianos con origen en la estrella considerada, de eje x tangente al máximo de longitud en el sentido de las latitudes decrecientes, eje y tangente al menor de latitud en el sentido de las longitudes crecientes y eje z el radio s. Las coordenadas diferenciales de la posición aparente s en dicho sistema son:

5 db cos B dl 1 ds s y expresando el vector senς + senω 1 ds = k + e s 0 ( cosς cosω ) en este sistema, tendremos: db sen B 0 cos B cos L sen L 0 senς + esenω cos BdL k sen L cos L 0 = ( cosς + ecosω ) (11.4) 1 cosb 0 senb ds s expresión que obtenemos efectuando un giro R 3 (L) alrededor de Z y otro R 2 (90º-B) alrededor de y' (posición de Y después del primer giro). Desarrollando (11.4) y operando, se obtiene: db = ksen B[ sen ( ς L) + esen ( ω L) ] dl = ksec B[ cos( ς L) + ecos( ω L) ] 1 ds = k cos B[ sen ( ς L) + esen ( ω L) ] s (12.4) donde las diferenciales representan las correcciones que deben efectuarse a las coordenadas verdaderas para obtener las aparentes. Como que la longitud L y la latitud B de las estrellas son prácticamente constantes y e y ω varían muy lentamente, los términos en la excentricidad de (12.4) se engloban en las posiciones medias de los catálogos, con lo que (12.4) adopta la forma: db = ksen Bsen ( ς L) dl = ksec B cos( ς L) 1 ds = k cos B sen ( ς L) s (13.4)

6 Para interpretar geométricamente las ecuaciones (13.4), escribimos, en el mismo sistema de coordenadas con origen en la estrella que hemos considerado, x= kssen Bsen ( ς L) ds = y = ks cos ( ς L) z = kscos Bsen ( ς L) xyz (,, ) (14.4) donde k, s, L y B son prácticamente constantes y sólo varia ς con una periodicidad de un año. Ello significa que la posición aparente del astro se desplaza respecto de la posición verdadera, según una línea cerrada alabeada con una periodicidad de un año. De (14.4) deducimos: x + y + z = k s lo que significa que E' (posición aparente) se halla sobre una esfera de centro en E (posición verdadera ) y radio ks. Además: z cot B x = es decir, E' se halla sobre el plano determinado por el menor que pasa por E (Fig. 7.4). Por tanto, la intersección de la esfera con dicho plano nos dará la trayectoria de E'. Es decir, la posición aparente E' de un astro describe, alrededor de la posición verdadera E, una circunferencia de radio ks contenida en el plano determinado por el menor de latitud que pasa por E, con velocidad uniforme y periodicidad de un año. Ahora bien, lo que verá un observador terrestre será la proyección de dicha circunferencia sobre la esfera celeste. FIG. 7.4 FIG. 8.4 Como que EE ' ks = = k = 20 '',5 TE s

7 podremos considerar dicha proyección oblicua (Fig.8.4) como una proyección ortogonal, y la proyección ortogonal de una circunferencia es una elipse cuyo semieje mayor es el radio de la circunferencia y cuyo semieje menor es la proyección de dicho radio: semieje mayor: a= ks dirigido segun y semieje menor: b= kssen B dirigido segun x (15.4) por tanto: 2 2 a b e= = cos B 2 a Lo que realmente observaremos serán las semiaberturas α, β que subtendrán los semiejes a, b, respectivamente, desde la Tierra: a α tanα = = k s b β tan β = = ksen B s Las relaciones (15.4) nos indican que si la estrella se halla en el polo de la eclíptica ( B=90º ), describe una circunferencia, y si se halla en la eclíptica (B=0º), describe un segmento rectilíneo. En cualquier otro caso describe una elipse, denominada elipse de aberración. Este fenómeno fue descubierto por Bradley en La teoría expuesta sirve también para estudiar la aberración ánua del Sol. En efecto, como que el Sol se halla muy cerca del centro de masas del sistema solar, r es muy pequeño y también lo es rdt, por lo cual vale la fórmula ( 7.4) y las deducidas de ella sin más que hacer B=0, L=ς, s=r. Luego: db = 0 dς = k 1+ ecos( ς ω) dr = kr esen ( ς ω) (16.4) Sustituyendo valores numéricos en la segunda ecuación obtenemos: ( ) ( ) dς = ς ς' = k kecos ς ω = 20'',50 0'',34cos ς ω lo cual nos indica que vemos el Sol con una longitud media, ς', menor que la que realmente tiene, ς, es decir: lo vemos desplazado hacia poniente unos 20,50. Además,

8 el Sol aparente oscila alrededor de dicha posición media con una periodicidad de un año y una amplitud de 0,34. La tercera ecuación puede escribirse: ( ( )) R' = R 1 kesen ς ω que nos dice que la aberración en distancia es muy pequeña y oscila con una periodicidad de un año con una amplitud de R Corrección de aberración ánua a las coordenadas ecuatoriales Despreciando los términos en la excentricidad que, como dijimos, se engloban en las posiciones medias de los catálogos, expresando R en coordenadas ecuatoriales mediante la rotación R 1 (- ε ) y aplicando las fórmulas diferenciales de paso de rectilíneas a esféricas, según (7.4) se tiene, evidentemente: dd senς cos DdA kr2(90º D) R3( A) R1( ε ) -cosς = 1 0 ds s y operando, considerando sólo las dos primeras componentes: [ ε ς ς] ( ) da = k sec D cos Acos cos + sen Asen (17.4) dd = k cos Dsenε sen Dsen Acosε cosς + sen D cos Asenς Introduciendo ahora los números de Bessel y las constantes estelares: C = kcosεcosς D= ksenς c= cos Asec D d = sen Asec D c' = tan ε cos D sen Asen D d' = cos Asen D (18.4) las relaciones (17.4) pueden ponerse en la forma: da = Cc + Dd dd = Cc ' + Dd ' (19.4) Aberración diurna Consideremos, por último, la aplicación de la fórmula (6.4) al estudio de la aberración diurna de las estrellas, debida, como sabemos, a la rotación de la Tierra sobre su eje. Como consecuencia de dicha rotación, un observador situado en un punto

9 de coordenadas (ρ,φ) describe durante un día sidéreo la circunferencia de su paralelo cuyo radio es ρcosφ, con una velocidad 2πρcosφ v = km/s Tomando ρ = 6378 km, resulta para dicha velocidad el valor v=0.465cosφ km/s. Por efecto de este movimiento se produce un desplazamiento aparente de todos los astros hacia el punto este del horizonte, siguiendo círculos máximos que pasan todos por dicho punto. Veamos cual es dicho desplazamiento. Excluidas ya las aberraciones secular y ánua y pudiendo suponer ahora la Tierra esférica de radio medio ρ, en coordenadas ecuatoriales se tiene: 0 ρ cosφsenθ senθ ω= 0 ρ ρcosφsenθ = ρ = ω ρ = ωρcosφ cosθ ω ρsenφ 0 y por tanto, sustituyendo en (6.4), introduciendo para cada observador su constante de la aberración diurna: v ωρcosφ s k ' = = = 0'',32cosφ = 0, 021cosφ C C y aplicando las fórmulas diferenciales de paso de rectilíneas a esféricas, operando en forma análoga al caso de la aberración ánua: dd senθ sendsen( θ A) cos DdA = k ' R2( 90º D) R3( A ) cos θ = k ' cos( θ A) 1 0 cosdsen( θ A) s y teniendo en cuenta que θ -A = H, dd = k 'sen D cos H da = k 'sec D cos H 1 ds = k'cosdsenh s (20.4) Dada su pequeñez, la corrección de aberración diurna de una estrella sólo se aplica en observaciones de mucha precisión (en general observaciones meridianas) y en tal

10 caso se efectúa simultáneamente con las de refracción y paralaje diurna, para reducir a verdaderas geocéntricas las posiciones aparentes observadas. ANTERIOR ÍNDICE SIGUIENTE