CAPÍTULO 7: GENERALIDADES SOBRE TRANSFORMACIONES (II)

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1 CAPÍTULO 7: GENERALIDADES SORE TRANSFORMACIONES (II) Dante Guerrero-Chanduví Piura, 2015 FACULTAD DE INGENIERÍA Área Departamental de Ingeniería Industrial y de Sistemas

2 CAPÍTULO 7: GENERALIDADES SORE TRANSFORMACIONES (II) Esta ora está ajo una licencia Creative Commons Atriución- NoComercial-SinDerivadas 2.5 Perú Repositorio institucional PIRHUA Universidad de Piura 2

3 UNIVERSIDAD DE PIURA Capítulo 7: Generalidades sore Transformaciones (II). Transformaciones puntuales elementales en el plano GEOMETRÍA FUNDAMENTAL Y TRIGONOMETRÍA CLASES Elaorado por Dr. Ing. Dante Guerrero Universidad de Piura. 16 diapositivas

4 CAPITULO VII: GENERALIDADES SORE TRANSFORMACIONES. Transformaciones puntuales elementales en el plano Consideraremos las siguientes: traslación, rotación, simetría central y reflexión. Al conjunto de puntos del plano llamaremos S. TRASLACION Es una transformación de S sore sí mismo, de modo que 2 homólogos A y A' cumplen en magnitud y sentido que siendo un vector dado llamado "vector de la traslación". La traslación se puede simolizar así: F AA'= FG G T = Trasl(FG) Una recta paralela a FG se llama "guía de traslación". Dr.Ing. Dante Guerrero 1

5 Corolarios a) No hay puntos doles. ) Las traslaciones del plano forman grupo aeliano. c) Una recta se transforma en una recta paralela a la primera. d) Conserva alineaciones y ángulos. AA'= FG G F Ejemplo 1: Construir un trapecio conociendo las ases y los lados. Análisis Suponiendo el prolema resuelto Una transformación que sea una traslación, con un vector de traslación PN, traslada P a N y Q a S; l 2 pasa a ser NS. El triángulo MNS tiene los 3 lados conocidos: l 1, l 2 y - ; lo podemos construir, resolviendo el prolema después de la transformación. Una transformación inversa, traslación de vector NP, nos proporcionará P y Q, quedando resuelto el prolema. M l 1 N - S P l 2 Q Dr.Ing. Dante Guerrero 2

6 ROTACIÓN Es una transformación de S sore sí mismo, de modo que 2 homólogos, P y P' cumplan que: siendo 1. OP = OP' 2. POP' = θ en valor y signo. O un punto fijo llamado centro de rotación (o centro de giro), y θ un ángulo llamado ángulo de giro. Podemos simolizar una rotación así:: Corolarios: T = Rot (O, θ). P 1. Las rotaciones concéntricas forman un grupo aeliano. 2. El centro de rotación es dole. 3. Conserva alienaciones y ángulos. O θ P Ejemplo 2: Dado un punto A y dos rectas l y m ; hallar un triángulo equilátero AC tal que y C estén en l y m. C m l A 60 Análisis Suponiendo el prolema resuelto: Oservamos que un giro de alrededor de A llevará al punto sore el vértice C. Dr.Ing. Dante Guerrero 3

7 Síntesis Las etapas serán pues: 1. Trasformar la recta l mediante un giro de 60º alrededor de A oteniendo l'. 2. Hallar la intersección de l' con m oteniendo N. 3. Invertir el giro, girando C en sentido inverso, para otener, quedando resuelto el prolema. l l C A 60 m NOTA: Hemos hecho girar l en sentido directo alrededor de A. Otendríamos otra solución haciéndola girar de nuevo, en sentido inverso. SIMETRIA La simetría es uno de esos conceptos que resultan más fáciles de intuir que de definir con rigor. Todos conocemos numerosas formas naturales o artificiales que poseen atractivas simetrías. Un cristal, un virus, el ADN, una galaxia, el cuerpo de muchos animales, multitud de flores, las pirámides de Egipto o las mayas, el Partenón, un mosaico árae, una vidriera gótica, etc. Dr.Ing. Dante Guerrero 4

8 Alhamra Patio de los Leones cuál es el eje de simetría? Dr.Ing. Dante Guerrero 5

9 SIMETRIA CENTRAL Transformación de S sore sí mismo tal que O sea el punto medio de AA' (siendo A y A' homólogos). O es un punto fijo, llamado centro de simetría. Podemos simolizarla así: T = Sim(O) O Corolarios: 1. La simetría central es una transformación involutiva. T x T = I I = Identidad 2. Puede considerarse como una rotación alrededor de O, siendo θ = 180 Síntesis Aplicaremos el prolema a unos datos concretos: l 1 l 2 Construimos el triángulo de lados l 1, l 2 y - : N E invertimos la transformación, oteniendo el trapecio uscado. N P l 2 l 2 l 1 l 1 M - S M S Q Dr.Ing. Dante Guerrero 6

10 Ejemplo 3: Construir un triángulo AC dado a, y m c A m c M c Análisis C a Vemos que una transformación que transporta puntos de la figura a otros puntos de la figura es: T= Sim (M c ) A = A A = C C Síntesis Vemos que una transformación que transporta puntos de la figura a otros puntos de la figura es: T= Sim (M c ) A = A A = C C A= A a M C m c m c C C a =A El triángulo AC se convierte en el A C, congruente con AC. Como CAC forman un paralelogramo, AC = a y podemos construir el triángulo CAC como auxiliar. Su mediana en A es AM C ; prolongando una cantidad igual otenemos. Dr.Ing. Dante Guerrero 7

11 REFLEXION O SIMETRIA AXIAL Dada una recta fija L del plano, se llama reflexión sore L o simetría axial respecto a L a la transformación del conjunto S sore sí mismo tal que L sea la mediatriz de AA' (A y A', puntos homólogos) A la recta L se la llama eje de simetría Podemos simolizar así: Corolarios T = Refl (L) 1. La reflexión es una transformación involutiva. 2. Conserva alineaciones y ángulos. L Ejemplo 4: Dada una recta r y dos puntos A y en un mismo semiplano respecto a r, encontrar el camino más corto de A a pasando por r. A Análisis Suponemos el prolema resuelto Sea el camino AM Una simetría respecto a r trasladará al semiplano opuesto. Otenemos ' tal que AM + M = AM + M' el cual será mínimo cuando A, M y ' estén en línea recta. Transformamos en ', mediante una simetría axial, siendo el eje de simetría r, el camino M en el camino M'. Resolvemos el prolema de que el camino A' sea mínimo, oteniendo M. Finalmente invertimos la transformación, pasando el camino M' a su simétrico M. M r Dr.Ing. Dante Guerrero 8