III LAS CONECTIVAS. Casos posibles

Transcripción

1 III LAS CONECTIAS ĺ. Casos posibles Una proposición describe un estado de cosas, y su verdad depende de que dicho estado de cosas exista en realidad. rente a cada descripción simp1e (por ejemplo, "e1 rí o está crecido") caben, pues, dos posibilidades : que ella sea verdadera ( es decir, que e1 río haya en verdad aumentado su caudal) o sea falsa ( que dicho caudal sea igual o menor que e1 habitual, io que implica que no ha crecido ). En símbolos suele usarse 1a siguiente tabla : P La fórmula atómica que se encuentra encima de 1a línea horizontal representa 1a proposición a que nos referimos, y las iníciales "" y "" simbolizan los

2 48 LÓGICA, PROPOSICIÓN Y NORMA dos casos pos'ibles que existen para "p" : que p sea verdadero y que p sea falso. Algunos autores más inclinados a usar palabras grandilocuentes les 11aman mundos posibles, y dicen que para "p" hay dos mundos ( desde e1 punto de vista especulativo, puramente lógico ) : e1 mundo en que p es verdadero y e1 mundo en que p es falso. E1 panorama de los casos posibles se complica cuando 1a proposición se compone de dos o más descripciones de estados de cosas ( "e1 río está crecido, pero contaminado" ) o, en lenguaje simbólico, cuando se trata de una fórmula molecular compuesta por dos o más fórmulas atómíøs ( "p q"). Cuando 1a proposición que nos interesa es una combinación de dos proposiciones que 1a componen, los casos posibles son cuatro : que ambas proposiciones componentes sean verdaderas, que 1a primera sei faisa y 1a segunda verdadera, que ia primera sea verdadera y 1a segunda falsa y, por último, que las dos sean falsas : p I4 Por qué esta diferencia en e1 número de casos posibles? Porque a cada variable proposicional corresponden dos casos ( y ) ; y, como una tombí-

3 LAS CONECI1AS 49 nación de variables debe prever cada uno de los casos de 1a segunda ( y aun todo esto para cada uno de los casos de 1a tercera, sí 1a hubiese), existe entre e1 número de variables y e1 de casos una relación matemática : a una variable corresponden dos casos ; a dos variables, cuatro ; a úes variables, ocho ; a cuatro variables, dieciséis, etcétera. E1 número de casos posibles, pues, es 2", donde "n" es e1 número de variables proposicionales presentes en una fórmula y 1a base 2 representa 1a dualidad de los valores de verdad en 1a lógica binaria : y 6. E1 orden en que aparezcan los casos en 1a tabla que los contiene no es en sí mismo importante, con tal que 1a tabla contenga toøs los casos y ninguno de ellos resulte repetido. Pero para asegurar e1 cumplímíento de estas condiciones se acostumbra a seguir un orden -conveniente aunque no estríctamente necesario- en 1a construcción de 1a tabla de que se trate. Supongamos que se nos presenta una fórmula que contiene tres variables proposicionales "(p. q) :D r", por ejemplo- y deseamos hacer una lista de los casos posibles para las distintas combinaciones de verdad y falsedad de sus componentes. Primero estableceremos cuántos casos contendrá nuestra tabla : como en e1 ejemplo n = 3, e1 número 6 La lógica más conocida y usada es la binaria o bivalente, que maneja los valores de verdad y falsedad ( y ). Hay, sin embargo, otras lógicas diferentes -con utilidad para fines específicos- que tienen mayor número de valores y permiten, por ejemplo, computar grados de seguridad o de preferencia. 4. Lógica.

4 50 LÓGICA, PROPOSICIÓN Y NORMA de casos será 2" = 23 = 8. Luego escribiremos, debajo de 1a primera variable que aparezca, una sucesíón de ocho valores de verdad en que "" y "" se alternen de a uno por vez. Bajo 1a segunda variable anotaremos ocho valores de verdad, pero alternando "" y "" de dos en dos, y por íiltímo, a 1a tercera variable asignaremos valores de verdad a1- ternados de cuatro en cuatro. Así obtendremos 1a siguiente tabla de casos : P r Naturalmente, sí en 1a fórmula hubiera una cuarta variable, a ésta correspondería una alternacíón de ocho en ocho (pues los casos serían dieciséis ) ; y a una quinta ( con treinta y dos casos posibles ) atribuiríamos valores de verdad alternados de dieciséis en dieciséis, y así en adelante. A1 construir una tabla de casos es necesario tener en cuenta que "n" es e1 número de variables proposicionales que aparecen, y no e1 número de sus aparicíones u ocurrencias. Las variables repetidas sólo

5 LAS Œ NECTIAS 5 1 se cuentan una vez : así, a la fórmula "p. -p" sólo corresponden dos casos posibles, ya que n = Negación E1 único operador monádico de 1a lógica proposicional ( "-" ) tiene por función invertir e1 valor de verdad de 1a fórmula a que se aplique. Dada, pues, una fórmula "p", podemos comparar su tabla de casos con e1 resultado que provee esta conectíva т para cada caso. Construiremos así 1o que se llama 1a tabla de verdad del operador que examinamos, llamado negación : P P Como puede observarse, una fórmula verdadera negada es falsa, y una fórmula falsa negada es verda- 7 Algunos autores llaman conectivas a los operadores diádicos, que conectan fórmulas entre sí, pero vacilan en dar ese nombre a la negación que, como operador monádico, sólo afecta a una fórmula. Sin embargo, puede considerarse que tanto la negación cuanto los operadores diádicos vinculan la fórmula en que aparecen con cierta combinación de los valores de verdad de su o sus componentes, por lo 'lue cumplen -en otro sentido- el papel de conexiones. En virtud de esta consideración seguimos aquí la nomenclatura de Benson Mates, Lógica matemática elemental, Madrid, 1971, p. 60 ; Elliott Mendelson, Introduction to Mathematical Logic, Princeton, 1968, p. 14 ; y Rudolf Carnap, Introduction to Symbolic Logic and Its Applications, Nueva York, 1958, p. 7.

6 5 2 LOGICA, PROPOSICION Y NOR:~fA dera. La expresión "-p" se lee "no p" o "no es el caso que p" ; y corresponde normalmente --en el lenguaje natural al enunciado de una proposición que incluye la palabra "no". Pero, como ya hemos advertido, esta correspondencia no es perfecta. En el idioma corriente existen expresiones negativas que no contienen esa palabra : "difícilmente podría estar yo de acuerdo con lo expuesto" ; "es inexacto que... " ; "es mentira que... " :3. Conjunción Una fórmula molecular que vincula a sus componentes mediante 1a conjunción ( "p q" ) sólo es verdadera sí sus dos términos son verdaderos, y es falsa en cualquier otro caso. Así : P q q j ' La fórmula resultante se lee "p y q", y su tabla de verdad corresponde, aproximadamente, a1 uso de 1a mayoría de las palabras o expresiones idiomáticas que en e1 lenguaje natural se clasifican como conjuncíones. De este modo, "p q" podría interpretarse como "llueve y hace frío", o "quise llamarte, pero mi teléfono estaba descompuesto", o "su pro-

7 LAS CONECTIAS 53 yecto me parece aceptable, aunque convendría introducírle algunos retoques". O aun : "ya sé que Gardel murió ; sin embargo, cada día canta mejor". En cada uno de estos ejemplos se afirman dos estados de cosas conjuntamente, por 1o que 1a combínacíón de ambas aserciones resultará verdadera sí y sólo sí los dos estados de cosas afirmados son reales ; es decir, en e1 primero de los cuatro casos posibles de 1a tabla de verdad correspondiente. 4. Disyunción Qué afirmo a1 decir "llueve o hace frío"? Doy por sentado que sí llueve no hace frío y que si hace frío no llueve? O acepto que pueden ocurrir ambas cosas? Aquí e1 lenguajejiatural nos tiende 1a habitual trampa de su ambigüedad, y a 1a lógica corresponde desentrañar su sentido. Supongamos que en e1 menú fijo de un restaurante leeτnos, a1 final de 1a lista de platos : "postre o fruta". Entenderemos que 1a elección de uno excluye 1a de 1a otra : podemos elegir postre o podemos elegir fruta, pero nó ambas cosas. Imag ínemos ahora que una librería hace una oferta "sólo para escribanos o abogados". Cornprenderemos fácilmente que quienes tengan uno de esos títulos gozarán de 1a oferta ; pero también consíderaremos incluidos entre sus beneficiarios a los profesionales que reúnan las dos condiciones, y nos parecería absurdo que se negara e1 derecho de ad-

8 54 LÓGICA, PROPOSICIÓN Y NORMA quirír los libros en oferta a quien haya obtenido ambos títulos. La ambigüedad consiste, pues, en que 1a conjuncíón disyuntiva "o" del lenguaje natural puede entenderse como "una cosa o 1a otra, pero no ambas", o bien como "una cosa, 1a otra o ambas simultáneamente". Para disolver esta ambigüedad usamos a veces 1a forma "y/ o" ( expresión que los punstas del idioma no recomiendan ) para 1a alternatíva no excluyente. Sí una cuenta bancaria está abierta a nombre de Juan y/o Pedro, entendemos que Juan y Pedro pueden hacer uso de 1a cuenta en forma conjunta o separada, independiente o símultánea, según cada uno prefiera. Existen, pues, dos tipos de disyunción. Una es 1a excluyente, cuya tabla de verdad es : P P q q P ~ q La otra es 1a disyunción simple o incluyente, con esta tabla de verdad : pvq

9 LAS CONECTIAS 55 Ambas disyunciones tienen algo en común, como surge de las tablas de verdad enunciadas : para ser verdaderas exigen que por 1o menos uno de sus componentes 1o sea. En otras palabras, son falsas cuando sus dos componentes son falsos. La única dif e- rencía reside en 1a solución que cada conectiva prevé para e1 primero de los casos posibles : aquél en que los dos componentes son verdaderos. Una de las disyunciones 1o admite (1o incluye ) como caso de verdad de 1a fórmula compuesta, en tanto 1a otra 1o rechaza (1o excluye ) a1 tomarlo como falso. Sí volvemos, pues, a los ejemplos del principio, descubriremos que 1a disyunción del menú fijo era excluyente, en tanto 1a de 1a oferta de 1a librería era incluyente. En e1 lenguaje natural se usa una u otra disyunción ( cosa que puede advertirse por e1 contexto en que ella aparece ) según convenga a 1o que haya de expresarse ; pero en 1a 1ógíØ simbólica es habitual e1 uso de 1a disyunción incluyente, en tanto 1a otra sólo aparece por excepción. Esta preferencia se debe a ciertas particularidades del cálculo lógico, que permite 1a fácil trøucción de 1a disyunción simple en términos de otras conectivas, mientras 1a excluyente requiere circunloquios más complejos $. Nos guiaremos, pues, por este criterio y diremos -en general- que una disyunción es verdadera cuando por 1o menos uno de los términos disyuntos 8 er, en el capítulo, las leyes de De Morgan.

10 56 ι LOGICA, ι PROPOSICION Y NORMA es verdadero ( es decir, llamaremos disyunción a secas a 1a disyunción incluyente ). Cuando se trate de 1a excluyente, 1a calificaremos como tal y usaremos e1 símbolo correspondiente (" "). 5. Condicional Tanto 1a conjunción como las disyunciones son relaciones conmutativas, porque "p q" tiene e1 mismo valor de verdad que "q p", "p v q" que "q v p" y p ~ q" que "q $ p". Pero en una f órmula condúíonal ( "p ~ q" ) esto no ocurre : importa distinguir e1 orden en que aparecen los componentes. Para esto ( y sólo respecto de esta conectiva ), 1a fórmula que aparece a 1a izquierda del condicional se llama antecedente y 1a que aparece a 1a derecha recibe e1 nombre de consecuente. Sentado esto, puede definirse e1 condíciona1 10 como 1a relación que resulta falsa cuando e1 antecedente es verdadero y e1 consecuente falso, y es verdadera en todos los demás casos. De acuerdo con esta definición, 9 Estas afirmaciones deben entenderse en el contexto estrictan:ente formal. En el lenguaje natural el orden de los términos no es siempre indiferente : "ino a visitarme y murió" no es lo mismo que "murió y vino a visitarme ", por ejemplo. lo Muchos autores lo llaman también implicación o implicación material, para distinguirlo de la implicación formal, o lógica, que examinaremos más adelante ( ver capítulo I). Para evitar confusiones hemos preferido no utilizar aquí dicho nombre y reservarlo para la implicación lógica, como lo hace Quine (ver Quine, Willard an Orman, Los métodos de la lógica, Barcelona, 1969, p. 48 y 72).

11 LAS CANECrIAS J( pues, 1a tabla de verdad del condicional es 1a síguíente : P q E1 uso lógico de esta conectiva se parece mucho a1 empleo de 1a palabra "sí" en e1 lenguaje natural : "p D q" puede interpretarse, por ejemplo, como "sí los metales se calientan, se dilatan", o "sí gano a 1a ruleta podré pagar 1a cuenta del carnicero". Pero, como en casos anteriores, este signo lógico no puede asociarse lisa y llanamente con una palabra determinada. Una fórmula condicional puede ínterpretarse también como "firmaré e1 contrato siempre que mi socio esté de acuerdo", o "e1 que mata va preso", o aun "ya no podremos subsistir, Eduvíges, a menos que baje e1 precio del caviar". Pero cuando empezamos a jugar con los ejemplos aplicándoles la tabla de verdad del condicional, una dificultad llama de inmediato nuestra atención. Supongamos que hemos interpretado "p ~ q" como "sí es de noche, hace frío". Comprendemos fácilmente los casos primero y tercero de 1a tabla : sí es de noche y hace frío, 1o afirmado es cierto ; sí, en cambio, estamos en una de esas noches de verano en que e1 termómeúo no baja de treinta grados,

12 58 LÓGICA, PROPOSICIÓN Y NORMA nuestro condicional meteorológico resulta claramente injustificado. Pero en los casos segundo y cuarto algo parece marchar mal : si e1 antecedente es falso ( es decir, sí no es de noche ), cómo puede afírmarse que sea verdad que sí es de noche hace frío? y cómo puede dar 1o mismo, para e1 caso, que haga frío o calor (és decir, 1a verdad o falsedad del consecuente ), y que en cualquiera de esos supuestos e1 condicional resulte verdadero? Esta perplejidad es completamente normal. Casí todos los estudiantes de lógica sienten algo parecido a 1a rebeldía cuando se topan con ella, hasta tal punto que se 1e ha dado un nombre que 1a identifica : es llamada 1a parøoja del condicional. Cuando hemos dado nombre a 1o que nos preocupa y sobre todo un nombre tan sonoro- solemos sentirnos algo más aliviados : nunca es 1o mismo sentirse difusamente mal que saber positivamente que uno padece, por ejemplo, una gripe causada por virus del tipo B. Para seguir, pues, con e1 símil médico, 1a paradoja del condicional admite dos tratamientos : e1 quirúrgico y e1 clínico. E1 tratamiento quirúrgico es rápido y doloroso : consiste en no explicar nada y recordar que las conectívas se definen estípulatívamente por sus tablas de verdad, de modo que no hay lugar para debate alguno : 1a tabla del condicional es ésa y basta. E1 otro medio de vencer 1a paradoja -que no es mejor que e1 primero pero sí más fácilmente acep-

13 LAS CONECTIAS 5 9 ι table lleva a mostrar que toda 1a perplejidad proviene de una comprensión incompleta de 1o que e1 condicional significa. En efecto, es preciso distinguir cuidadosamente 1a fórmula molecular condicional ("p ~ q", interpretads como "sí es de noche, hace frío" ) de sus fórmulas atómicas componentes ( "p" y "q", interpretadas como "es de noche" y "hace frío", respectivamente ). E1 condicional no afirma que es de noche, y tampoco afirma que hace frío : sólo enuncia cierta relación entre las dos proposiciones simples, de tal modo que sí es de noche, entonces hace frío. La única manera de demostrar que tal afirmación es falsa consistirá, pues, en verificar que es de noche, pero no hace frío. La oración condicional no dice nada sobre 1a temperatura diurna ; y así, sí no es de noche, poco importa que haga frío o calor, ya que no habremos afirmado una cosa ní 1a otra, y nadie podría decir que hemos mentido. En términos más rigurosos puede decirse que 1a fórmula condicional no afirma su antecedente ni su consecuente : sólo afirma que no es e1 caso de que e1 antecedente sea verdadero y e1 consecuente falso ; que si el antecedente es verdadero también lo es el consecuente ; y que, por 1o tanto, sí es falso e1 consecuente también 1o es el antecedente. Este galimatías es tan conocido -hasta para los que creen no entenderlo- que a menudo se hacen bromas basadas en é1. Decimos, por ejemplo : "sí

14 LOGICA, PROPOSICIÓN Y NORMA 1a lógica es sencilla, yo soy japonés", y con esto consideramos haber afirmado que 1a lógica es complícada. Esto es, en efecto, 1o que hicimos ; pero examinemos e1 razonamiento paso por paso. Supongamos que "1a lógica es sencilla" se simboliza con "p" y "yo soy japonés" con "q". A1 afirmar "sí 1a lógica es sencilla, yo soy japonés", he postulado como verdadera 1a fórmula pdq Pero a1 mismo tiempo es obvio que yo no soy japonés ( sí esto no fuera claro para todos, la broma no funcionaría : es de suponer que los japoneses usan 1a expresión "yo soy santiagueño"). Es decir que e1 consecuente es falso. Ahora bien, como nuestra hipótesis consistía en que 1a fórmula p :) q es verdad, debemos buscar en 1a tabla del condicional un caso en que dicho supuesto resulte compatible con 1a falsedad del consecuente. Sí 1o hacemos, hallaremos que e1 único caso en que tal cosa ocurre es e1 cuarto : en él e1 consecuente es falso y 1a fórmula condicional verdadera, pero e1 antecedente es falso. Resulta de a11í que ; si es verdad que si 1a lógica es sencilla, yo soy japonés y es falso que yo sea japonés, entonces tiene que ser falso que 1a lógica sea sencilla. Después de este análisis es probable que 1a broma resulte menos graciosa; pero, o bien habremos comprendido 1a paradoja del condicional, o bien estare-

15 LAS CONECTIAS 61 mos dispuestos a pedir 1a ciudadanía japonesa con 1a esperanza de facilitarnos 1a tarea. Aclarada, pues, su tabla de verdad, podemos advertír que e1 condicional expresa cierta situación que en los hechos puede darse respecto de dos estadas de cosas : uno cuya descripción simbolizaremos como "p" y otro cuya descripción simbolizaremos como "q". Normalmente decimos que e1 antecedente es condición del consecuente; pero lógicos y filósofos que hilan más fino- distinguen dos tipos de condición : 1a necesaria y 1a suficíeпte. E1 hecho p es condición suficiente de q cuando conocer 1a verdad de "p" permite afirmar 1a verdad de "q". Dado un enunciado condicional que supongamos verdadero (por ejemplo, "sí e1 perro mueve 1a cola, está contento"), 1a verdad del antecedente es condición suficiente de 1a verdad del consecuente : sí vemos que 1a cola se agita, podremos afirmar que su canino propietario está contento (y Io afirmaremos con 1a mlîma conflanza con que hayamos aceptado 1a premisa condicional sobre e1 significado de dicho movimiento ). En cambio, e1 kιecho q es condición necesaria de p sí conocer 1a falsedad de "q" nos permite asegurar 1a falsedad de "p". En e1 mismo ejemplo, e1 consecuente resulta cóndícíón necesaria del antecedente : si sabemos que e1 perro no está contento podremos afirmar que no mueve 1a cola aunque e1 bicho esté a nuestras espaldas. En efecto, sí 1a moviera estaría contento, y estamos persuadidos de que no 1o está.

16 62 LOGICA, PROPOSICION Y NORMA Con sujeción, pues, a 1a verdad del condícíonal ( verdad que depende de su coincidencia con cierta situación empírica), e1 antecedente es condición sufícíente del consecuente (basta que e1 perro mueva 1a cola para que sepamos que está contento ), y e1 consecuente es condición necesaria del antecedente ( es indispensable que e1 perro esté contento para que mueva 1a cola). 6. Bicondicional Hemos dicho antes que en e1 condicional importa distinguir e1 orden en que aparecen los componentes de 1a fórmula, ya que esa constante lógica no es conmutatíva, y por eso distinguimos e1 antecedente del consecuente. Supongamos ahora un condicional conmutativo, en e1 que cada término sea a 1a vez antecedente y consecuente del otro : "[(pdq) (qdp)]" Esta combinación de dos condicionales cruos corresponde a una nueva conectiva, llamada bicondicional, que resulta verdadera si y sólo si sus dos i i E1 bicondicional recibe a menudo el nombre de equivalencia material, o simplemente equivalencia. Por las mismas razones expuestas en el caso del condicional, hemos preferido reservar este nombre para la equivalencia formal o lógica, que más adelante introduciremos ( ver capítulo I).

17 LAS CONECI'IAS 63 términos tienen e1 mismo valor de verdad ( es decir, sí son ambos verdaderos o ambos falsos) : p q P q A1 leer una fórmula bicondicional suele utilízarse 1a expresión "sí y sólo si", que algunos lógicos abrevian como "síi". De este modo, "p = q" puede ínterpretarse como "me gusta e1 asado si y sólo si está bien cocido", de donde resulta que sí está bien cocido me agrada y de otro modo no ; e, inversamente, que sí me gusta está cocido y sí no me gusta no 1o está. Como puede observarse, esta conectiva es extremadamente rigurosa : en e1 caso del ejemplo no admite e1 supuesto de que e1 asado me desagrade pese a hailarse bien cocido ( por ser duro, o estar quemado, o por alguna otra razón ). Es decir que cada término es a 1a vez condición suficiente y necesaria del otro. E1 lenguaje diario, en cambio, suele dejar cabos sueltos ( como e1 condicional simple ) : cuando afirmo que sólo me gusta e1 asado bien cocido, no pretendo en general sostener que en cualquier circunstancia un asado que cumpla ese requisito me pone tan ansioso como e1 perro de Pavlov. E1 bicondicional, pues, no suele usarse para formalizar 1a mayoría de las expresiones del lenguaje natural ( aunque tal cosa puede ocurrir ). En cam-

18 Ø LÓGICA, PROPOSICIÓN Y NORMA bio, su empleo es bastante común en 1a formulación de definiciones y de leyes lógicas. E1 símbolo utilizado para representar esta conectiva merece un comentario adicional. Recordaremos que e1 símbolo de 1a disyunción excluyente ("p" ) es e1 mismo del bicondicional, pero cruzado como tachado- por una línea diagonal. Esta semejanza no parece caprichosa, a poco que se comparen las tablas de verdad de las dos conectivas : P q P q p q Como puede observarse, e1 bicondicional equívale a 1a negación de 1a disyunción excluyente ( y viceversa), ya que en cada caso en que una conectíva es verdadera 1a otra resulta falsa. De aquí se deduce que podríamos representar 1a disyunción excluyente de esta manera : (p - q) E, inversamente, sería posible simbolizar e1 bicondicional así : - (p $q) Por esto se ha elegido para e1 bicondicional e1 símbolo que los matemáticos utilizan para 1a seme-

19 LAS CONECT1A 63 /anza ( dos variables unidas por un bicondicional son semejantes en sus valores de verdad ). y se usa e1 mismo símbolo tachado ( es decir, negarlo ) para 1a conectiva inversa. L. Lógick.

20 66 LÓGICA. R )POS(C1ÓN Y NORMA Como 1a fórmula propuesta sólo contiene una variable ( "p" ), los casos son 21 = 2. En e1 primero p es verdadero y, consiguientemente, -p es falso ; en e1 segundo ocurre a 1a inversa. Pero, como 1a disyunción resulta verdadera cuando cualquiera de los términos disyuntos 1o es, nuestra fórmula se reve- 1a como verdadera para toøs los casos posibles. Esta comprobación tiene un curioso efecto : e1 de independizar 1a verdad de 1a fórmula de eualquíer averiguación sobre 1a verdad de p. En efecto, asignaremos a "p" una interpretación cualquiera : "fumar hace daño", por ejemplo. Así, "-p" deberá traducirse por "fumar no hace daño" ( o, 1o que es 10 mismo, "no es e1 caso de que fumar haga daño", o "no es verdad que fumar haga daño", o cualquier otra expresión semejante). La fórmula molecular quedará interpretada como "fumar hace daño o ( fumar) no hace daño", y resultará verdadera en toda circunstancia. Pero fumar hace realmente daño? Esta pregunta tiene importancia médica, social y económica, pero no perturba 1a placidez de 1a lógica. Porque, cualquiera sea 1a opinión que sustenten sobre la respuesta correcta, fumadores empedernidos y médicos solícitos, directores de empresas tabacaeras y activistas de 1a Liga de 1a Templanza han de

21 I TAUTOLOGÍA, CONTRADICCIÓN Y CONTINGENCIA : LA IMPLICACIÓN ORMAL 1. Tautología A1 analizar las tablas de verdad de las conectivas hemos observado que 1a verdad de una fórmula molecular depende del valor de verdad que se asigne a cada una de las fórmulas atómicas que 1a integran : así, por ejemplo, 1a conjunción es verdadera cuando sus dos términos son verdaderos y falsa en los demás casos ;, e1 condicional es falso cuando e1 antecedente es verdadero y e1 consecuente falso, y es verdadero en Ios otros tres supuestos ; y e1 bicondicional es verdadero si sus dos términos tienen e1 mismo valor de verdad ( o ), y falso cuando ellos tienen valor distinto. Examinemos ahora 1a tabla de verdad de 1a síguíente fórmula : "p v -p".

22 TAUTOLOGIA, CONTRADICCIÓN Y CONTINGENCIA 6 9 estar de acuerdo en que fumar hace daño o no Io hace. Es más, ni siquiera es necesario interpretar 1a fórmula para conocer su verdad. Como 1a verdad de p v -p no depende de 1a de p sino de 1a estructura lógica de 1a expresión molecular, tanto da que atribuyamos a "p" 1a representación de una u otra proposición, o aun que consideremos 1a variable en su más puro y original estado simbólico : si no nos es preciso conocer 1a verdad de p tampoco nos hace falta asignarle un significado. Estas fórmulas cuya tabla de verdad arroja valor positivo para todos los casos posibles se llaman tautologías. Tienen 1a ventaja de ser siempre verdaderas can independencia de su contenido, pero -por esto mismo- tienen también una desventaja : no proporcionan ninguna información sobre e1 mundo que nos rodea. La verdad absoluta suele ser trivial ; y, salvo cuando se trata de fórmulas muy complicadas, resulta tan sabida que no despierta gran interés. Imaginemos un hombre que pasara 1a vida enunciando únicamente las más solemnes tautologías : "mañana habrá tormenta, o no 1a habrá", "sí un animal tiene cinco patas, tiene seguramente cinco patas" ; "1a existencia es un río que nos lleva hacia e1 infinito... o bien es alguna otra cosa". Tal persona no correría jamás e1 riesgo de afirmar algo falso, pero su charla resultaría tan insulsa que nadie quenia oírla : ninguna de sus afirmaciones contendría datos empíricos. Y sin embargo, no por ser vacías de conteníde

23 70 LOGICA, PROPOSICION Y NORMA, las tautologías son inútiles : en muchos casos su verdad formal no es evidente, y se requiere un detenido examen para advertirla. Además, sí descubrimos que un enunciado encierra una tautología dejaremos de inmediato de discutir sobre ella, perderemos interés en 1a averiguación de sus presupuestos empíricos ( ya que no los tiene ) y -1o que es más importante- podremos utilizarla como puente para razonamíentos mas complejos. Por esto 1a lógica tráta muy especialmente sobre las tautologías, y por esto empleamos hoy máquinas -las computadoras- que son formidables constructoras de relaciones tautológicas : dados un programa y los datos con que se 1a alimenta, 1a máquina produce una respuesta que resulte formalmente verdadera bajo condición de 1a verdad de aquellas premisas. 2. Contradicción Las tautologías tienen su contrapartida negatíva. Supongamos 1a siguiente fórmula : "p -p" p ~ P -p A1 construir 1a tabla de verdad de esta conjuncíón advertimos que para todos sus casos posibles ( que son dos ) su valor de verdad es. Esto índica que cualquier proposición con semejante estructura

24 TAUTOLOGÍA, CONTRADICCIÓN Y CONTINGENCIA 7 1 lógica ( "1a luna es redonda, pero no es redonda" ; o "no es que yo sea racista, pero siempre he sostenido que hay razas insoportables" ) es falsa en cualquier circunstancia, independientemente de 1a verdad o 1a falsedad de p y aun del significado que momentáneamente atribuyamos a 1a variable. Una fórmula molecular cuyo valor de verdad es para todos y cada uno de sus casos posibles se llama contradicción, y, por cierto, tiene tan poco contenído empírico como las tautologías : es una falsedad formal. Ha de notarse que -por aplicación de 1a tabla de verdad de 1a negación- toda tautología negada se convierte en contradicción, y toda contradicción negada se transmuta en tautología. Así como en el cuento de Stevenson e1 perverso Mr. Hyde era e1 otro yo del bondadoso Dr. Jekyll, 1a tautología y 1a contradicción pueden transformarse una en otra mediante una simple operación, pero, como luego veremos, una representa e1 modelo de razonamiento a seguir y 1a otra una impureza cuya presencia echa por tierra e1 valor de cualquier demostración. 3. Contingencia Sí sustítuímos 1a comparación anterior por un símil ferroviario, podemos afirmar que 1a tautología y 1a contradicción son las dos estaciones terminales de una línea con muchos puntos intermedios : entre

25 LOGICA, PROPOSICION Y NORIA r e1 estremo positivo ( verdad formal) y e1 negativo (falsedad formal) hay infinidad de fórmulas que resultan verdaderas para algunas combinaciones de verdad de sus componentes, y falsas para otras : son las fórmulas contingentes. Para decirlo con mayor rigor, una fórmula es contingente sí y sólo sí resulta verdadera por 1o menos en uno de sus casos posibles y falsa por 1o menos en otro. Cumplidas estas condiciones, poco importa que sean más los casos de verdad que los de falsedad, o viceversa : toda fórmula que no sea tautológica ní contradictoria es contingente. La proposición que se obtiene por interpretación de las variables de ma fórmula contingente ( por ejemplo, "sí se prohibe e1 uso de 1a barba y se implanta 1a censura cinematográfica, se contribuirá a constituir una sociedad pacífica y virtuosa" ) no es formalmente falsa ni formalmente verdadera ; y, por esto mismo, lejos de ser vacía de contenido, encierra una información sobre 1a realidad ( esto es, describe un estado de cosas). Si 1a descripción se ajusta a 1o que en realidad acontece, 1a información contenida en 1a proposición será verdadera ; sí difiere de 1a realidad, será una información falsa. De aquí se desprende que para averiguar 1a verdad o 1a falsedad de una proposición contingente ( es decir, de una proposición cuya estructura 1ói ca puede simbolizarse mediante una fórmula contingente ) no basta con analizar su tabla de verdad : es preciso examinar e1 mundo empírico y buscar en él prue-

26 TAUTOLOGÍA, CONTRADICCIÓN Y CONTINGENCIA 73 bas que verifiquen 1a proposición o que muestren su falsedad. Desde luego, no existen garantías de que hallemos tales pruebas : las ciencias empíricas, cuya tarea consiste precisamente en investigaciones de este tipo, contienen infinidad de preguntas para las que aún no se ha encontrado respuesta concluyente. Incidentalmente, 1o expuesto nos proporciona un nuevo dato para ubicar a 1a lógica dentro del panorama del conocimiento humano : ella busca, entre otras cosas, descubrir y probar formalmente las tautologías, en tanto las ciencias naturales, por ejemp1o, procuran determinar 1a verdad de ciertas proposiciones continjentes. 4. Implicación formal Recordemos ahora, por un momento, 1a tabla de verdad del condícíonal : p 4P D 9 ~ ry!; Como puede observarse, 1a fórmula "p ~ q" es contingente : corresponde a proposícíones que dicen algo sobre e1 mundo y cuya verdad depende de que e1 valor de verød del antecedente y del conse-

27 74 LÓGICA, PROPOSICIÓN Y NORMA cuente se combinen en 1a realidad según una u otras de las maneras enumeradas en 1a tabla. A menudo usamos e1 condicional para expresar una relación causal ( "si tomo vitamina C estaré a salvo de resfríos" ) ; 0 las condiciones para tomar una decísíón ("si apruebo e1 examen íré a Luján a pie"), o para señalar que un hecho es indicio de otro ( "sí las luces están apagadas, no hay nadie en casa") ; pero ninguno de estos vínculos empíricos es indispensable para 1a verdad del condicional. Esta conectiva es poco exigente, y se contenta con una correspondencia de hecho, aunque sea círcunstancíal o casual. "Sí tomo café, lloverá mañana" será verdadera si ambas cosas ocurren, aunque entre ellas no exista relaciún alguna. Es más : también será verdadera si llueve mañana, aunque yo no tome café hoy; y otro tanto sí no tomo café, cualesquiera sean las condiciones meteorológicas del día síguíente. De todos modos, 1o que importa destacar es que cualquiera de estos condicionales ( u otro semejante que pueda imaginarse ) será falso o verdadero según exista o no un estado de cosas capaz de verificar e1 antecedente y hacer falso, a1 mismo tiempo, e1 consecuente. Supongamos, en cambio, esta otra fórmula : p D (p q) Una interpretación adecuada sería, por ejemplo, "sí soy abogado, soy abogado o violinista". Nótese que para ser abogado o violinista basta con ser abogado

28 TAUTOLOGIA, CONTRADICCION Y CONTINGENCIA 75 y basta también con ser violinista ( sin eycluír, por cierto, 1a eventualidad de un letrado aficionado a1 violín ) : todo abogado es abogaø o violinista ( o zapatero, o astronauta ) ; de modo que e1 condiciona1 de nuestro ejemplo es tal que 1a afirmación del antecedente nos obliga a afirmar e1 consecuente 12. Para probarlo, construyamos una tabla de verdad en 1a que "p" corresponda a "soy abogado" y "q" a "soy violinista" : P q p (p y q) Nos encontramos, pues, ante un condicional tautológico. En uno de los ejemplos anteriores podía darse e1 caso de que las luces estuvieran apagadas y hubiese alguien en casa (1o que determinaría 1a falsedad del condicional material) ; pero sí soy abogado no puedo de/ar de ser abogado o violinista, de modo que 1a verdad de este condicional depende de su estructura formal, y no de su correspondencia con 1a realidad empírica. Por qué hay condicionales tautológicos? Lo que ocurre, en verdad, es que e1 enunciado que apa- 12 Una disyunción es verdadera cuando al menos uno de sus componentes lo es. Por lo tanto, bajo el supuesto de verdad de p estarnos obligados a atribuir verdad a la disyunción que tiene a "p" como uno de sus disyuntor.

29 76 LÓGICA, PROPOSICIÓN Y NORMA : rece en ellos como consecuente ya está contenido en e1 antecedente : de a11í que, en e1 supuesto de ver dad del enunciado más restringido, no podamos ne gar 1a proposici6n cuya verdad exige menos requisitos. Tal es, después de todo, e1 principio rector de cualquier razonamiento deductivo : sí 1a verdad de las premisas nos garantiza 1a verdad de 1a conclusión, es porque ésta ya estaba contenida -de un modo u otro- en aquéllas. Tan importante resulta esta relación para 1a lógica que ha merecido un nombre propio : cuando un enunciado está incluida en otro, de tal manera que la verdad de este último garantiza 1a verdad del antenor, decirnos que media entre ambos una relación de implícnción (también llamada implicación forind, estricta o lógica ). Así, todo enunciado cuya verdad asegura formalmente 1a verdad de otros enunciados implica a cada uno de éstos. Todo condicional formado de manera que e1 antecedente implique a1 consecuente será tautológico ; y, a 1a inversa, todo condicional tautológico índica una relación de implicación entre su antecedente y su consecuente. Ha de quedar en claro que no todo condicional encierra una implicación : para ello se requiere que e1 condicional sea tautológico. Los condicionales contingentes, como ya se ha visto, describen una situación de hecho, por 1o que su verdad está sujeta ß 1a realidad de esta misma situación. Pero no es lógicamente posible un estado de cosas en que e1

30 TAUTOLOGÍA, CONTRADICCIÓN Y CONTINGENCIA ĺ i condícíonal tautológico o implicación resulte falso : 1a implicación -vacía de contenido empírico como todas las tautologías- no se refiere a los hechos ní afirma cierta relación entre éstos : simplemente da cuenta de una relación abstracta, puramente lógica, entre proposiciones. Un hecho puede ser causa de otro, pero no puede implicarlo : 1a implicación formal es un vínculo entre proposiciones, y predicarla de los hechos tendría tan poco sentido como afirmar que e1 número 17 es yerno del 9, o que e1 edificio Cavanagh es un submúltiplo de 1a Casa Rosada. Como 1a implicación es un caso especial dentro del género de los condicionales, entre sus elementos puede observarse también 1a relación de condicíón necesaria y de condición suficiente. En 1a fórmula "p D ( p v q ) ", p es condición suficiente de p v q, ya que garantiza su verød. Y p v q es condición necesaria de p : sí p v q no fuera verdadera resultarían falsas tanto p como q (por 1a tabla de verdad de 1a disyunción ) ; y entonces e1 antecedente p no podría ser verdadero. Pero, por tratarse de un condicional tautológico, 1a necesidad o 1a su ficiencia con que antecedente y consecuente son condiciones uno del otro no son materiales ( es decir, relaciones de hecho, dependientes de 1a verdad o falsedad de cada uno), sino formales, de naturaleza estrictamente lógica. Así, en 1a implicación es lógicamente necesario que e1 consecuente sea verdadero si e1 antecedente 1o es, y es lógicamente im-

31 $ LÓGICA, PROPOSICIÓN Y NORMA posible que e1 antecedente sea verdadero sí e1 consecuente no 1o es. 5. Equivalencia Cuando por razones lógicas dos proposiciones tienen siempre e1 mismo valor de verdad, podemos formar con ellas un bicondiciorial tautológico. Esto ocurre, por ejemplo, con e1 enunciado "soy abogado si y sólo si soy abogado", cuya estructura corresponde a 1a fórmula "p p" y cuya tabla de verdad es 1a siguiente : P P P J Así como todo condicional tautológico expresa una implicación, todo bicondicional tautológico expresa una equivalencia. Dos enunciados son equívalentes cuando media entre ellos una relación tal que 1a verdad de uno garantiza formalmente 1a del otro y viceversa, y que 1a falsedad de uno asegura formalmente 1a falsedad del otro y viceversa. Del mismo modo que 1a implicación, 1a equívalencía es una relación entre proposiciones y no un vínculo entre hechos. Un bicondicional contingente ( "hace frío si y sólo si me visto de azul" ) puede resultar verdadero porque eventualmente sus dos términos tengan en un momento dado e1 mis-

32 TAUTOLOGÍA, CONTRADICCIÓN Y CONTINGENCIA 79. mo valor de verdad ; pero es lógicamente imposible 1a existencia de un estado de cosas en que 1a equívalencía resulte falsa, por 1o que ésta -como cualquíer tautología- se encuentra desvinculada del mundo empírico. Conviene hacer notar que, tal como acontece entre e1 condicional y e1 bicondicional, 1a equívalencía es una relación más restrináda que 1a de implicación : cuando dos enunciados son equívalentes podemos afirmar que cada uno de ellos implica a1 otro (ya que 1a verdad de uno garantiza 1a verdad del restante ) ; pero, sí sólo sabemos que un enunciado implica a otro, no podemos sin más asegurar que ambos son equivalentes. Como una avenida de doble mano, 1a equivalencia contiene dos implicaciones de sentido inverso.

33 I OPERADORES MODALES. MODALIDADES ALÓTICAS 1. Modalidades En 1a l gica proposicional usarnos letras minósculas ( p, q, r, etc. ), a las que llamamos variables, para representar proposiciones. Estas proposiciones son descripciones de estados de cosas, y pueden ser verdaderas ( cuando describen un estado real) o falsas ( cuando afirman un estado de cosas inexistente ). Así, "p" puede representar expresíones como "todos los hombres son mortales", "1a luna es una bola dt queso Gruyáre" o "mí tío abuelo fue ahorcado esta maúana.". A su vez, a partir de las variables es posible simbolizar proposiciones complejas ( cuyo valor depende de los valores de verdad de sus componentes ) por medio de conectívas u operadores l gicos. De estos operadores, uno es moéico (1a negaci n, que s lo se refiere a 1a f rmula situada ínméíatamente a su dere-

34 1 0 8 LñGICA, PROPOSICIñN Y NORM, cha ) y los demøs son di4dicos o binarlos ( vinculan dos f rmulas, una de las cuales se encuentra a 1a izquíerda y otra a 1a derecha del operador ). Una proposici n, como sabemos, puede ser verdadera o falsa (y, por cierto, una y s lo una de las dos cosas ). Pero a menudo usamos expresiones cuyo significado no se agota en 1a afirmaci n de hecho --verdadera o falsa- que contienen. Tomemos los siguientes ejemplos : l ) "Mi tío abuelo fue ahorcado esta maúana, la mentablemente". 2) "Mí tío abuelo fue ahorcado esta maúana, afortunadamente". Tanto en i como en 2, 1a verdad o 1a falsedad de 1a descripci n de estado dependen de una misma situaci n (a saber, que mí pariente haya sufrido 0 no esta maúana 1a poco estimulante anìcdota que se 1e atribuye ). Pero entre ambos ejemplos existe una diferencia relevante, que va møs a11ø de aquella descripci n. Esta diferencia estø aquí representada por dos adverbios, que expresan -en este casocíerto juicio de valor acerca de aquel hecho. Haciendo, pues, abstracci n del estado de cosas central, los mismos ejemplos podrían simbolizarse parcialmente de esta manera : 3 ) "La verdad de p es digna de ser lamentada" 4) "La verdad de p es digna de ser festejada" Como podemos observar, en estas estructuras 16- gicas 1a proposici n p ( que contiene dentro de sí

35 OPERADORES MODALES. MODALIDADES ALÓTICAS 109 un sujeto, mi tío abuelo, y un predicado, su penosa aventura matinal) constituye a su vez, toé eila, e1 sujeto de una proposici n møs grande, donde e1 predicado es 1o que se dice de p. Esto es 1o que los l gicos llaman un predicado de segué nivel : e1 primer nivel es e1 de 1a descripci n de un estado de cosas, y e1 segundo aparece cuando decimos algo sobre aquella descripci n. Cuando uno de estos predicados de segundo nivel ( o un grupo de ellos, debidamente ínterrelacíonados ) nos parece suficientemente interesante, habitual y fructífero, podemos inventar símbolos para representarlo e investigar cuøles son das reglas que gobiernan su uso. Así, podríamos decidir que e1 carøcter de p en e1 ejemplo 3 serø representado con una L y que e1 carøcter de p en e1 ejemplo 4 puede simbolizarse con una B. Y escribir, muy sueltos de cuerpo : 5) Lp 6 ) Bp A partir de a11í descubriríamos, probablemente, que "B" y "L" son, incompatibles entre sí, de modo que no sería posible afirmar conjuntamente Bp y Lp. Y así estableceríamos las bases de una nueva l gica, a 1a que buscaríamos un nombre adecuado : "l gica de 1a aprobaci n", "l gica de las emociones", o algo por e1 estilo. Semejante sistema sería una l gica modal, porque expresaría las relaciones entre moéídades de

36 1 10 LOGICA, PROPOSICIñN Y NORMA cierto tipo que pueden afectar a una proposici n : las que hemos simbolizado con "L" y "B". Y estos símbolos serían operéores ( tambiìn llamados n dalizadores) específ icos de nuestra l gica, que vendrían a agregarse a todos los símbolos ya conocidos de 1a l gica proposicional. En e1 ejemplo "L" y "B" actóan como operadores monødicos ; porque, igual que 1a negaci n, s lo pueden afectar a 1a f rmula que les sigue ( p, o q, o cualquier otra combinaci n de variables proposicionales reuníés en una f rmula por obra de las conectivas ). Pero conviene aclarar aquí que estos operadores, a diferencia de las conectivas de 1a l gica proposicional, no son extensionales 22 : es decir, e1 valor de verdad de 1a f rmula modal no es una funci n del valor de verdad de sus componentes. Puedo considerar lamentable 1a muerte de mi tío abuelo aun cuando ì1 goce de buena salud ( como cuando emíto un juicio sobre un hecho hipotìtico o ímaginario ) ; y así, "Lp" puede ser verdad aun cuando no 1o sea "p", y viceversa. Estas modalidades "de 1a aprobaci n", que acabamos de construir, constituyen probablemente un ejemplo trivial, s lo destinado a exponer con mayor claridad en quì consiste una l gica modal, c mo nace y para quì sirve. Pero las l gicas modales que se han desarrollado son otras. La møs anti- 22 Recordemos que las constantes de la l gica proposicional se llaman conectivas extensionales ( ver capítulo II).

37 OPEIIADORES MODALES. MODALIDADES ALÓTICAS 111 gua es 1a que maneja las modalidades "necesario", "posible" e "imposible". Otra, la que nos ocuparø específicamente, utiliza modalidades como "obligatono", permitido o "prohibido". 2. La l gica modal alìtica Ya Arist teles había advertido que los enuncíados de una ciencia no siempre son simplemente verdaderos, sino que muchas veces se formulan como necesariamente verdaderos o como de verdad meramente posible. Tanto 1a posibilidad como 1a necesidad modífican e1 sentido de 1a simple verdad, y son por esto llamadas modalidades alìticas o modalidades de 1a verdad 23. Ambas estøn a 1a vez íntimamente relacíonadas entre sí, por 1o que una de ellas puede ser definida a partir de 1a otra. Para mostrarlo, tomaremos como tìrmino sin definir ( tìrmino primitivo, o base para las demøs definiciones ) e1 concepto de posibilidad. A partir de esta modalidad y con 1Ø ayuda de 1a negaci n, definiremos las demøs modalidades. Conviene aclarar aquí que, en las f rmulas que construyamos, las nègaciones podrøn ser internas ( cuando niegan 1a proposici n ) o externas ( cuando niegan e1 operador modal). 23 Del griego í íoela, verdad.

38 1 1 2 LOGICA, PROPOSICION Y NORMA Sí una proposícíón no es posible, se llama imposible. Por ejemplo : decir que no es posible que los olmos den peras equivale a sostener que es ím posible que de ellos se obtenga tal fruto. Sí no es posible que una proposici n no sea verdadera, diremos que tal proposici n es necesaria. Así, sí no es posible que no salga e1 sol maúana, serø necesario que salga e1 sol maúana. Introduciremos ahora los símbolos "M" para "posible" y "N" para "necesario" 2 4. A continuaci n puede mostrarse que los operadores M y N son interdefinibles : a ) -M-P - NP L) -Mp -- N-p c ) M-p Np d ) Mp N-p La interdefinibilidad expresada en las f rmulas precedentes puede comprenderse mejor mediante e1 uso de un ejemplo para cada una de ellas : a ) "No es posible que yo no sea yo" equivale a ßc ßß es necesario que yo sea yo. b ) "No es posible que Rodríguez dibuje un círcßßlo cuadrado", o, 1o que es 1o mismo, "es impo- 24 Como sucede con la l gica proposicional, tambiìn la l gica modal alìtica tiene distintas notaciones. Aquí seguimos a von Wright y utilizaremos la letra N mayóscula para simbolizar el modalizador "necesario", así como la mayóscula M para el modalizador "posible". Pero existen otras variantes. Lukasiewicz, por ejemplo, reemplaza la "N" por la "L". Otros utilizan un cuadrado para simbolizar la necesidad y un rombo para la posibilidad.

39 OPERADORES MODALES. MODALIDADES ALÓTICAS sible que Rodríguez dibuje un círculo cuadrado", equivale a "es necesario que Rodriguez no dibuje un círculo cuadrado". C ) "Es posible que no me aumenten e1 sueldo" es 1o mismo que "no es necesario que me aumenten e1 sueldo"o d) "Es posible que yo estudie l gica" puede traducirse por "no es necesario que yo no estudie l gica". Algunas leyes modales cløsicas expresan las relaciones que existen entre 1a simple verdad y las modalidades alìtícas. Si una proposici n es necesaría ( esto es, necesariamente verdadera ), claro estø que es verdadera, pues 1a necesidad es møs fuerte que 1a simple verdad : 1) Np Dp Asimismo, si una proposici n es verdadera, queda claro que ella es posible, pues 1a posibilidad es møs dìbil que 1a verdad : 2) pmp ~ Pero, como hemos de recordar, una de las leyes de 1a l gica proposicional es 1a denominada "transítívídad del condicional", que dice que sí una proposici n implica materialmente una segunda y ìsta a una tercera, entonces 1a primera implica a 1a tercera : [(P ~ q) Cq D I)] ~ CP D T) R. L giea.

40 1 1 4 LOGICA, PROPOSICION Y NORMA Por aplicaci n de esta ley y a partir de las leyes 1 y 2 obtendremos, pues, que aquello que es necesarío es posible : 3) Np ~ Mp Tratemos de verlo mediante un ejemplo. Sí es necesariamente verdadero que 2 -ι- 2 = 4, entonces es verdadero que 2 -I- 2 = 4. Sí "2 -I- 2 = 4" es verdadero, tendrø que ser posible. Y, por transítivídad, concluiremos que sí "2 -I- 2 4" es necesario, "2 -I- 2 = 4" es posible. 3. El cuadro de oposici n de las modalidades alìticas A partir de 1a verdad o de 1a falsedad de una proposici n modal se puede deducir 1a verdad o 1a falsedad de otras proposiciones relacionadas con 1a primera. Estas relaciones entre las proposiciones modales suelen representarse mediante e1 llamado cuadro de oposici n : CONTRARIEDAD.. N p Q ü z w ć Mp SUBCONTRARIEDAD M p

41 OPERADORES MODALES. MODALIDADES ALÓTICAS 115 En este esquema, 1a línea horizontal superior representa 1a relaci n de contrariedad ; la inferior, la subcontrariedad ; las diagonales, 1a, contradicci n, y las verticales, 1a suhalternaci n. Dos proposiciones son contrarias entre sí ( "Np y "N-p") cuando es posible que ambas sean falsas pero no es posible que las dos sean verdaderas. Así, si es necesario que yo estudie, no puede ser necesarío que no estudie, y viceversa. Pero puede resultar falso que sea necesario estudiar y tambiìn que sea necesario no estudiar. Dos proposiciones son contradśtorias ( "Np" y "M-p"; "N-p" y "Mp" ) cuando si una de ellas es verdadera 1a otra es falsa, y viceversa. De este modo, si es verdad que es necesario que yo estudie, es falso que sea posible que no estudie. Y sí es falsa 1a necesidad de estudiar, entonces es verdad que es posible no estudiar. Dos proposiciones son llamadas subcontrarias ("Mp" y "M-p" ) cuando es posible que sean ambas verdaderas, pero no que ambas sean falsas. Puede ser verdad que sea posible estudiar y a 1a vez posible no estudiar ; pero no ha de ocurrir que las dos posibilidades sean falsas : si no es posible estudiar tendrø que ser posible no estudiar, y viceversa. Alguna de las dos posibilidades por 10 menos- tiene que ser verdadera. En 1a relaci n de subalternaci n, las proposicíones colocadas en los vìrtices superiores se denomi-

42 1 1 6 LñGICA, PROPOSICIñN Y NOR)~(A nan subalternantes, y subalternas las ubicadas los inferiores. en Dos proposiciones se hallan en relaci n de sub alternaci n cuando : a) de 1a verdad de 1a subalter nante se infiere 1a verdad de 1a subalterna ; b) 1a falsedad de 1a subalterna permite deducir 1a falsedad de 1a subalternante ; c ) 1a falsedad de 1a suba1ter nante deja indefinida 1a verdad o falsedad de 1a subalterna ; y d ) 1a verdad de 1a subalterna deja indefinida 1a verdad o falsedad de 1a subalternante. Ejemplifiquemos cada caso : a) Si "es necesario que dos møs dos sean cuatro" es verdadero, es posible que dos møs dos arrojen aquel resultado. b ) Sí 1a posibilidad de que un muerto estì vivo no existe (de modo que su afirmaci n es falsa), con mayor raz n serø falsa 1a necesidad de que ello acontezca. C ) Si 1a necesidad de estudiar es falsa, saberlo no indica nada sobre 1a posibilidad de estudiar : tal vez pueda hacerlo si quiero y tal vez no pueda aunque 1a desee. d ) Sí "es posible que llueva" es verdadero, nad1 puede inferirse sobre si es necesario que llueva : 1o ónico que sabemos es que no es necesario que no llueva. Se observarø que en e1 diagrama las relaciones de contrariedad, c ontradiccí n y subcontrariedad estøn representadas mediante flechas de dos pun-

43 OPERADORES MODALES. MODALIDADES ALÓTICAS 1 17 tas, mientras que las flechas representativas de 1a subalternaci n s lo indican hacia abajo. Esto sírve para recordar que las tres primeras relaciones son simìtricas : "Np" es contraría de "N-p" y "N-p" es contraria de "Np" ; "Np" es contradictoria de "M-p" y viceversa, etcìtera. La subalternaci n, en cambio, no es simìtrica : no es 1o mismo ser suba!- ternante que subalterna, ya que 1o que puede deducirse en un sentido de 1a flecha no puede ínferirse tambiìn en e1 opuesto.

44 II MODALIDADES DEñNTICAS 1. Operadores Quienes se encuentran de alguna manera víncu- Iados a1 lenguaje del derecho, de 1a moral o, en general, a1 lenguaje de las normas, manejan ciertas nociones como las de obligaci n, permisi n y prohíbící n. Estas nociones tienen, curiosamente, un comportamiento formal anølogo a1 de los conceptos alìtícos. Así como podemos afirmar que : 1) "no es posible" equivale a "es imposible", y 2 ) "no es posible que no equivale a "es necesarío", puede afirmarse tambiìn que I') "no estø permitido" equivale a "estø prohibido", y 2' ) "no estø permitido que no" equivale a "es obligatorio".

45 1 2 0 LOGICA, PROPOSICION Y NORMA Sí utilizamos e1 operador "P" para simbolizar 1a permisi n podemos, pues, establecer 1a siguiente analogía : M ( posible ) P ( permitido ) -y1 ( imposible ) P ( prohibido -M ( necesario ) -P- (obligatorio) E1 descubrimiento de estas semejanzas permiti a von Wright e1 estudio l gico formal de los conceptos normativos, paralelo a1 de los conceptos a1ìtícos : surgi así 1a l gica de ntica 25, que incorpor a1 anølisis de las normas los conocimientos obtenidos y parte de los mìtodos utilizados por 1a l gica de las modalidades alìtícas. Sin embargo, e1 comportamiento de los operadores de nticos no es idìntico a1 de los correspondientes alìticos. Los operadores "M" y "N" nos serví«n para calificar proposiciones que describían estados de cosas. ale 1a pena preguntarse quì califican los operadores de nticos : cuøles son las "cosas" de las que decimos que son obligatorias, permitidas o prohibidas. Hay una respuesta plausible : son las conductas. De ellas predicamos 1a obligatoriedad, 1a permisi n o 1a prohibici n. Así, a diferencia de los operadores alìtícos que afectan a descripciones de estados de cosas en gene- 25 La expresi n "de ntica" fue tontada por von 'right del griego» ov, -ovtoĵ (el deber).

46 MODALIDADES DEONTICAS ral, los operadores de nticos son menos ambiciosos : s lo afectan a descripciones de ciertos estados de cosas : las conductas o acciones. Luego, en 1a f rmula vacía "P...", e1 vacío "..." habrø de ilenarse con e1 nombre o 1a descripci n de una acci n 2ĺ. Supongamos ahora que "p" designa una acci n cualquiera, tal como usar sombrero. La lectura de nuestras f rmulas sería, entonces, 1a siguiente : "Pp" equivale a : 1) "Permitido usar sombrero " Pp" equivale a : 2) "Prohibido usar sombrero" " P-p" equivale a : 3) "Obligatorio usar sombrero" Las expresiones i, 2 y 3 podrían considerarse simplemente normas : una norma que permite, una que prohibe y una tercera que declara obligatoria 1a acci n de usar sombrero. expresiones de nticas empeza- Sí así fuera, nuestro intento de formalizar un cølculo l gico de las ría por una dificultad. Este cølculo l gico nos induce a asignar valores de verdad a nuestros enun- 26 Si bien es ìsta la manera møs sencilla e intuitiva de leer f rmulas tales como no es la ónica propuesta. Otra lectura posible es la que interpreta "p" como la descripci n de un estado de cosas cualquiera : podría decirse que cuando un acto estø permitido, lo que en definitiva se permite es el estado de cosas que resulta tras el actuar del agente ; así "permitido cerrar la puerta ( Pp ) podría leerse como "permitido que la puerta estì cerrada", do údì 'lit puerta cerrada serø el estado de cosas que resultaría tras la acci n de cerrar la puerta.

47 122 LOGICA, PROPOSICION Y NORMA cíados ; y ya sabemos que las normas, las directivas, las prescripcíones, carecen de tales valores. E1 escollo es salvable ; bastarø que leamos las f rmulas de otra manera : "Pp" equivale a "existe una norma que permite usar sombrero". "-Pp" equivale a "existe una norma que prohibe usar sombrero". " P-p" éuivale a "existe una norma que obliga a usar sombrero". Como 1a existencia de una norma es un hecho, 1a proposici n que 1o afirme serø una proposici n descriptiva, con su correspondiente valor de verdad. " Pp" serø una proposici n verdadera si existe una norma que prohiba 1a acci n de usar sombrero, y serø falsa si tal norma no existe. Esta lectura de nuestras f rmulas de nticas permite analizarlas como proposiciones acerca de 1a existencia de normas ; tales enunciados se han Ilamado proposiciones érmativas, susceptibles de ser verdaderas o falsas, por oposici n a las normas, en las que e1 uso puramente prescríptívo del lenguaje impide asignar tales valores. Hasta ahora, nos hemos manejado con un solo operador : "P". Sin embargo, habíamos hablado de tres conceptos de nticos : permitido, prohibido y obligatorio. Es hora de introducir, pues, los dos operadores faltantes :

48 MODALIDADES DEñNTICAS 123 Usaremos "O" para referirnos a la obligaci n y "Ph" para referirnos a la prohibici n 27 "op" serø entonces leído, por ejemplo, como "existe una norma que declara la obligatoriedad de usar sombrero" o, møs escuetamente, "es obligatorio usar sombrero". "Ph p" se leerø, a su vez, como "existe una norma que prohibe usar sombrero" o "estø prohibido usar sombrero". 2. Interdelinibilidad Estamos ya en condícíones de establecer las síguientes equivalencias 28. Pp -O-p -- -Ph p -Pp - O-p Ph p P-p -Op -Ph-p -P-p op Ph-p 27 En la notaci n de la l gica de ntica tambiìn seguimos a von Wright : los operadores "permitido" y "obligatorio" se simbolizan mediante la letra con que empieza su nombre ( "P", "O") ; y el operador "prohibido" con una combinaci n de dos letras ( "Ph" ), para que no se confunda con "permitido" ("P"). Algunos autores representan "prohibido" con una mayóscula, tomada del alemøn "verboten" ( en espaúol, "vedado"). 28 En materia de interdefinibilidad de operadores el propio von Wright ha oscilado a travìs de sus distintas obras. En algunos C~~sos considera a los tres operadores como interdefinibles ; en otros s lo interdefine ` IO" con "Ph", sin hacer lo mismo con "P". En este punto hemos elegido el sistema que interdefine los tres operadores, por considerarlo møs intuitivo y por lo tanto møs comprensible en el nivel introductorio.

49 124 LñGICA, PROPOSICIñN Y NORMA Los operadores "O" y "Ph" pueden ser definidos mediante e1 operador "P" y 1a negaci n "=", o, 10 que es 1o mismo, los conceptos de obligatoriedad y de prohibíci n pueden definirse en tìrminos de permísi n con 1a ayuda de 1a negaci n. Si es obligatono usar sombrero, serø cierto que no estø pennitido no usarlo ; y sí usar sombrero estø prohibido, usarlo no estø permitido.

50 III LEYES DEñNTICAS 1. Importemos tautologías Así como existen leyes ( tautologías ) en e1 campo de 1a l gica proposicional, de 1a misma manera pueden establecerse tautologías de nticas en e1 dominio del razonamiento normativo. Cabe advertir, ante todo, que 1a l gica de ntica no reemplaza a 1a proposicional, sino que 1a incluye. Por esto todas las tautologías proposicionales constituyen tambiìn tautologías de nticas, mediante e1 solo requísít de sustituir las variables que en ellas aparecen ( "p", "q", etc. ) por f rmulas bien formadas del lenguaje normativo ( "Pp", "Oq", etcìtera). La ley del tercero excluido, por ejemplo, dice que o bien es verdadera una proposici n, o bien es verdadera su negaci n (llueve o no llueve ). Como se recordarø, ella puede simbolizarse así : p v -p. Sí sustituimos "p" por "Pp", obtenemos una formu-

51 1 26 LOGICA, PROPOSICION Y NORMA laci n de ntica del mismo principio : Pp y -Pp 29 La nueva f rmula seúala que una acci n estø permítída, o bien no 1o estø : o se puée estacionar en las avenidas o no se puede, pero no existe una tercera alternatíva. Tambiìn puede elegirse algón otro operador : Ph p v -Ph p ( matar estø prohibido o no 1o estø ). E1 del tercero excluido es s lo un caso : 1a sustituci n puede hacerse en todas las leyes de 1a l gica proposicional, y en cada caso 1a variable puede reemplazarse por una f rmula de ntica simple (Pp, op ) o compleja, como ( Op. Pq ) ~ ( Pr v Oq ). Segón puede observarse, e1 mìtodo para "ímportar" tautologías proposicionales a 1a l gica de ntica no es otro que nuestra vieja conocida, 1a regla de sustituci n 30. Hemos de recordar, empero, que 1a regla de sustituci n contiene un caso especial privilegiado : e1 intercambio. Esto ocurre tambiìn en e1 paso de 1a l gica proposicional a 1a de ntica : cualquier componente proposicional de una f rmula de ntica puede intercambiarse por un equivalente, sin alterar e1 valor de 1a formula inicial. Así, "Op" equivale a "O - -p", ya que "p" equivale a "- -p" por 1a ley de 1a doble negaci n. Ahora bien, existe asimismo un repertorio de tautologías que s lo pertenecen a 1a l gica de ntica 29 Conviene recalcar aquí que, al sustituir "p" por "Pp", de "-p" se obtiene "-Pp", y de ninguna manera "P-p" : la negaci n debe ocupar el mismo lugar que tenía en la f rmula originaria. 30 er capítulo.