CAPÍTULO 5. Distribuciones de probabilidad discreta

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1 CAPÍTULO 5 Chapter 3 [(H2F)] 193 Distribuciones de probabilidad discreta CONTENIDO ESTADÍSTICA EN LA PRÁCTICA: CITIBANK 5.1 VARIABLES ALEATORIAS Variables aleatorias discretas Variables aleatorias continuas 5.2 DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETA 5.3 VALOR ESPERADO Y VARIANZA Valor esperado Varianza 5.4 DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD BINOMIAL Un experimento binomial El problema de Martin Clothing Store Uso de tablas de probabilidades binomiales Valor esperado y varianza de la distribución binomial 5.5 DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE POISSON Un ejemplo con intervalos de tiempo Un ejemplo con intervalos de longitud o de distancia 5.6 DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD HIPERGEOMÉTRICA

2 194 Capítulo 5 Distribuciones de probabilidad discreta ESTADÍSTICA en LA PRÁCTICA CITIBANK* LONG ISLAND CITY, NUEVA YORK Citibank, la división de banca minorista de Citigroup, presta una amplia gama de servicios financieros que incluyen cuentas corrientes y de ahorro, préstamos e hipotecas, seguros y servicios de inversión. Ofrece estos servicios por medio de un sistema único llamado Citibanking. Citibank fue uno de los primeros bancos de Estados Unidos en introducir los cajeros automáticos (ATM). Estos dispositivos, ubicados en los centros bancarios Citicard (CBC), permiten a los clientes realizar todas sus operaciones bancarias en un solo lugar con el toque de un dedo, las 24 horas del día, los 7 días de la semana. Más de 150 funciones diferentes, que varían de depósitos a manejo de inversiones, pueden realizarse con facilidad. Los clientes de Citibank utilizan cajeros automáticos para 80% de sus transacciones. Cada CBC opera como un sistema de fila de espera al que los clientes llegan en forma aleatoria a solicitar un servicio en uno de los cajeros automáticos. Si todos los cajeros están ocupados, los clientes que llegan esperan en fila. De manera periódica se realizan estudios de la capacidad del CBC para analizar los tiempos de espera de los usuarios y determinar si se requieren más cajeros automáticos. Los datos recabados por Citibank mostraron que la llegada aleatoria de los clientes sigue una distribución de probabilidad conocida como distribución de Poisson. Mediante esta distribución, Citibank puede calcular las probabilidades del número de personas que llegan a un CBC durante cualquier periodo y tomar decisiones sobre el número de cajeros automáticos que se necesitan. Por ejemplo, x es el número de personas que llegan durante un periodo de un minuto. Suponiendo que un CBC decompletado tiene * Los autores agradecen a Stacey Karter, de Citibank, por proporcionar este artículo para Estadística en la práctica. Un cajero automático vanguardista de Citibank. Jeff Greenberg/Photo Edit. una tasa media de dos clientes por minuto, la tabla siguiente muestra las probabilidades del número de usuarios que podrían llegar durante un periodo de un minuto. x Probabilidad o más Las distribuciones de probabilidad discreta como la utilizada por Citibank son el tema de este capítulo. Además de la distribución de Poisson, usted aprenderá acerca de las distribuciones binomial e hipergeométrica y cómo se utilizan para proporcionar información útil de probabilidad. Este capítulo continúa con el estudio de la probabilidad mediante la introducción de los conceptos variables aleatorias y distribuciones de probabilidad. El tema central son las distribuciones de probabilidad discreta. En particular se cubren tres distribuciones de este tipo: binomial, de Poisson e hipergeométrica. 5.1 Variables aleatorias En el capítulo 4 se define el concepto de experimento y los resultados experimentales correspondientes. Una variable aleatoria proporciona un medio para describir estos resultados con valores numéricos. Las variables aleatorias deben asumir valores numéricos.

3 5.1 Variables aleatorias 195 Las variables aleatorias deben asumir valores numéricos. VARIABLE ALEATORIA Una variable aleatoria es una descripción numérica de los resultados de un experimento. En efecto, una variable aleatoria asocia un valor numérico con cada resultado experimental posible. El valor numérico particular de la variable aleatoria depende del resultado del experimento. Ésta se clasifica como discreta o continua en función de los valores numéricos que asume. Variables aleatorias discretas Una variable aleatoria que puede asumir cualquier número finito de valores o una sucesión infinita de valores como 0, 1, 2,... se conoce como variable aleatoria discreta. Por ejemplo, considere el experimento de un sujeto que presenta el examen de certificación de contador público, el cual consta de cuatro partes. Una variable aleatoria se define como x el número de partes del examen aprobadas. Se trata de una variable aleatoria discreta, ya que puede asumir un número finito de valores 0, 1, 2, 3 o 4. En otro ejemplo, considere el experimento de los automóviles que llegan a una caseta de cobro. La variable aleatoria de interés es x el número de vehículos que llegan durante un periodo de un día. Los valores posibles para x provienen de la secuencia de números enteros 0, 1, 2, etc. Por consiguiente, x es una variable aleatoria discreta que asume uno de los valores de esta secuencia infinita. Aunque los resultados de muchos experimentos se describen de manera natural por medio de valores numéricos, otros no pueden describirse así. Por ejemplo, en una encuesta se podría preguntar a una persona si recuerda el mensaje de un comercial de televisión reciente. Este experimento tendría dos resultados posibles: la persona no recuerda el mensaje y la persona recuerda el mensaje. También es posible describir numéricamente estos resultados experimentales mediante la definición de la variable aleatoria discreta x como sigue: sea x 0 si la persona no recuerda el mensaje y x 1 si la persona recuerda el mensaje. Los valores numéricos de esta variable son arbitrarios (se podría usar 5 y 10), pero son aceptables con base en la definición de una variable, es decir, x es una variable aleatoria, ya que proporciona una descripción numérica de los resultados del experimento. La tabla 5.1 muestra algunos ejemplos de variables aleatorias discretas. Tenga en cuenta que en cada ejemplo la variable asume un número finito de valores o una secuencia infinita de valores como 0, 1, 2,... Estos tipos de variables se estudian con detalle en este capítulo. TABLA 5.1 Ejemplos de variables aleatorias discretas Valores posibles de la Experimento Variable aleatoria (x) variable aleatoria Llamar a cinco clientes Número de clientes que hacen 0, 1, 2, 3, 4, 5 un pedido Inspeccionar un embarque de 50 radios Número de radios defectuosos 0, 1, 2,..., 49, 50 Encargarse de un restaurante por un día Número de clientes 0, 1, 2, 3,... Vender un automóvil Género del cliente 0 si es hombre, 1 si es mujer

4 196 Capítulo 5 Distribuciones de probabilidad discreta Variables aleatorias continuas Una variable aleatoria que asume cualquier valor numérico en un intervalo o conjunto de intervalos se llama variable aleatoria continua. Los resultados experimentales basados en escalas de medición como el tiempo, el peso, la distancia y la temperatura se describen por medio de este tipo de variable. Por ejemplo, considere un experimento en el que se monitorean las llamadas telefónicas que llegan a la oficina de reclamaciones de una compañía de seguros importante. Suponga que la variable aleatoria de interés es x tiempo entre las llamadas entrantes consecutivas en minutos. Esta variable puede asumir cualquier valor en el intervalo x 0. En realidad, x puede asumir un número infinito de valores, incluidos algunos como 1.26 minutos, minutos, minutos, etc. Otro ejemplo es un tramo de 90 millas de la carretera interestatal I-75 al norte de Atlanta, Georgia. Para un servicio de ambulancias de emergencia ubicado en Atlanta, la variable aleatoria podría definirse como x número de millas al lugar del siguiente accidente de tránsito a lo largo del tramo de la carretera I-75. En este caso, x sería una variable aleatoria continua que asume cualquier valor en el intervalo 0 x 90. La tabla 5.2 presenta otros ejemplos de variables aleatorias continuas. Observe que cada ejemplo describe una variable que asume cualquier valor en un intervalo de valores. Las variables aleatorias continuas y sus distribuciones de probabilidad serán el tema del capítulo 6. TABLA 5.2 Ejemplos de variables aleatorias continuas Valores posibles de la Experimento Variable aleatoria (x) variable aleatoria Operar un banco Tiempo entre las llegadas de los x 0 clientes, en minutos Llenar una lata de refresco Cantidad de onzas 0 x 12.1 (máx onzas) Construir una biblioteca Porcentaje del proyecto completado 0 x 100 después de seis meses Probar un proceso químico nuevo Temperatura a la que ocurre la 150 x 212 reacción (mín. 150 F; máx. 212 F) NOTAS Y COMENTARIOS Una forma de determinar si una variable aleatoria es discreta o continua es pensar en sus valores como puntos en un segmento de recta. Elija dos puntos que representen valores de la variable aleatoria. Si todo el segmento de recta entre los dos puntos representa también los valores posibles de la variable aleatoria, entonces ésta es continua. Ejercicios Métodos AUTO evaluación 1. Considere el experimento de lanzar una moneda dos veces. a) Elabore una lista de los resultados experimentales. b) Defina una variable aleatoria que represente el número de caras que caen en los dos lanzamientos. c) Muestre el valor que la variable aleatoria asumiría en cada uno de los resultados experimentales. d) Esta variable aleatoria es discreta o continua?

5 5.2 Distribuciones de probabilidad discreta Considere el experimento de un trabajador que ensambla un producto. a) Defina una variable aleatoria que represente el tiempo en minutos requerido para ensamblar el producto. b) Qué valores puede asumir la variable aleatoria? c) La variable es discreta o continua? AUTO evaluación Aplicaciones 3. Tres estudiantes programaron entrevistas para un empleo de verano en el Instituto Brookwood. En cada caso el resultado de la entrevista será una oferta de empleo o ninguna oferta. Los resultados experimentales se definen en función de los resultados de las tres entrevistas. a) Prepare una lista de los resultados experimentales. b) Defina una variable aleatoria que representa el número de ofertas de empleo formuladas. La variable aleatoria es continua? c) Muestre el valor de la variable aleatoria para cada uno de los resultados experimentales. 4. En noviembre la tasa de desempleo estadounidense fue de 4.5% (USA Today, 4 de enero de 2007). La Oficina del Censo incluye nueve estados de la región noreste. Suponga que la variable aleatoria de interés es el número de estados que tuvieron una tasa de desempleo en noviembre menor de 4.5%. Qué valores puede tomar esta variable aleatoria? 5. Para realizar cierto tipo de análisis de sangre, los técnicos deben llevar a cabo dos procedimientos. El primero requiere uno o dos pasos, y el segundo requiere ya sea uno, dos o tres pasos. a) Elabore una lista de los resultados experimentales asociados con el análisis de sangre. b) Si la variable aleatoria de interés es el número total de pasos requeridos para hacer el análisis completo (ambos procedimientos), determine qué valor asumirá la variable aleatoria en cada uno de los resultados experimentales. 6. Enseguida se proporciona una serie de experimentos y sus variables aleatorias asociadas. En cada caso, determine los valores que la variable aleatoria puede asumir y si es discreta o continua. Experimento Variable aleatoria (x) a) Presentar un examen de 20 preguntas Número de preguntas respondidas correctamente b) Observar los automóviles que llegan Número de automóviles que llegan a la caseta a una caseta de cobro durante 1 hora c) Auditar 50 devoluciones de impuestos Número de devoluciones que contienen errores d) Observar el trabajo de un empleado Número de horas improductivas en una jornada de 8 horas e) Pesar un embarque de mercancías Número de libras 5.2 Distribuciones de probabilidad discreta La distribución de probabilidad de una variable aleatoria describe cómo se distribuyen las probabilidades entre los valores de la misma. Para una variable aleatoria discreta x, la distribución de probabilidad se define por medio de una función de probabilidad, denotada por f (x). La función de probabilidad proporciona la probabilidad para cada valor que puede asumir la variable aleatoria. Como ejemplo de una variable aleatoria discreta y su distribución de probabilidad, considere las ventas de automóviles en DiCarlo Motors, con sede en Saratoga, Nueva York. Durante los últimos 300 días de operación, los datos de ventas mostraron que en 54 días no se vendió ningún automóvil, en 117 días se vendió 1 automóvil, en 72 días se vendieron 2, en 42 días se vendieron 3, en 12 días se vendieron 4 y en 3 días se vendieron 5. Suponga que se considera el experimento de seleccionar un día de operación en DiCarlo Motors y se define la variable aleatoria de interés como x número de automóviles vendidos en un día. A partir de los datos

6 198 Capítulo 5 Distribuciones de probabilidad discreta históricos, sabemos que x es una variable aleatoria discreta que puede asumir los valores 0, 1, 2, 3, 4 o 5. En la notación de la función de probabilidad, f (0) es la probabilidad de vender 0 unidades, f (1) es la probabilidad de vender 1 automóvil, y así sucesivamente. Dado que los datos históricos muestran que en 54 de los 300 días se vendieron 0 unidades, se asigna el valor 54/ a f (0), lo que indica que la probabilidad de que se vendan 0 automóviles en un día es de Asimismo, como en 117 de los 300 días se vendió un vehículo, se asigna el valor 117/ a f (1), indicando que la probabilidad de que se venda exactamente 1 automóvil en un día es de Si se continúa de esta manera para los otros valores de la variable aleatoria, obtenemos los valores de f (2), f (3), f (4) y f (5) como muestra la tabla 5.3, que es la distribución de probabilidad para el número de vehículos vendidos durante un día en DiCarlo Motors. Una de las principales ventajas de definir una variable aleatoria y su distribución de probabilidad es que, una vez que se conoce esta última, es relativamente fácil determinar la probabilidad de una variedad de eventos que pueden ser útiles para quien toma decisiones. Por ejemplo, utilizando la distribución de probabilidad para DiCarlo Motors que aparece en la tabla 5.3, vemos que el número de automóviles que es más probable vender en un día es 1, con una probabilidad de f (1) Además, hay una probabilidad de f (3) f (4) f (5) de vender 3 o más unidades durante un día. Estas probabilidades, además de otras que quien toma decisiones puede solicitar, proporcionan información que le ayudan a entender el proceso de la venta de automóviles en DiCarlo Motors. Cuando se desarrolla una función de probabilidad para una variable aleatoria discreta, se deben satisfacer las dos condiciones siguientes. Estas condiciones son análogas a los dos requerimientos básicos para asignar probabilidades a los resultados experimentales presentados en el capítulo 4. CONDICIONES REQUERIDAS PARA UNA FUNCIÓN DE PROBABILIDAD DISCRETA f (x) 0 (5.1) f (x) 1 (5.2) La tabla 5.3 muestra que las probabilidades de la variable aleatoria x satisfacen la ecuación (5.1); f (x) es mayor o igual que 0 para todos los valores de x. Además, como estas probabilidades suman 1, la ecuación (5.2) también se satisface. Por tanto, la función de probabilidad de DiCarlo Motors es una función de probabilidad discreta válida. También se presentan las distribuciones de probabilidad de manera gráfica. En la figura 5.1 los valores de la variable aleatoria x para DiCarlo Motors aparecen en el eje horizontal y la probabilidad asociada con estos valores se muestra en el eje vertical. Además de tablas y gráficas para describir las distribuciones de probabilidad, con frecuencia se utiliza una fórmula que proporciona la función de probabilidad, f (x), para cada valor de TABLA 5.3 Distribución de probabilidad para el número de automóviles vendidos durante un día en Dicarlo Motors x f (x) Total 1.00

7 5.2 Distribuciones de probabilidad discreta 199 FIGURA 5.1 Representación gráfica de la distribución de probabilidad para el número de automóviles vendidos durante un día en Dicarlo Motors f(x) 0.40 Probabilidad Número de automóviles vendidos en un día x x. El ejemplo más sencillo de una distribución de probabilidad discreta dada una fórmula, es la distribución de probabilidad uniforme discreta. Su función de probabilidad se define por medio de la ecuación (5.3). FUNCIÓN DE PROBABILIDAD UNIFORME DISCRETA f (x) 1/n (5.3) Donde: n número de valores que la variable aleatoria puede asumir. Por ejemplo, suponga que para el experimento de lanzar un dado la variable aleatoria x se define como el número de puntos en la cara que queda hacia arriba. Para este experimento, n 6 valores son posibles para la variable aleatoria; x 1, 2, 3, 4, 5, 6. Por tanto, la función de probabilidad para esta variable aleatoria uniforme discreta es f (x) 1/6 x 1, 2, 3, 4, 5, 6 Los valores posibles de la variable aleatoria y las probabilidades asociadas se muestran en seguida. x f (x) 1 1/6 2 1/6 3 1/6 4 1/6 5 1/6 6 1/6

8 200 Capítulo 5 Distribuciones de probabilidad discreta Como otro ejemplo, considere la variable aleatoria x con la distribución de probabilidad siguiente. x f (x) 1 1/10 2 2/10 3 3/10 4 4/10 Esta distribución de probabilidad se define por medio de la fórmula f (x) x 10 para x 1, 2, 3 o 4 La evaluación de f (x) para un valor dado de la variable aleatoria proporciona la probabilidad asociada. Por ejemplo, usando la función de probabilidad anterior, vemos que f (2) 2/10 proporciona la probabilidad de que la variable aleatoria asuma el valor 2. Las distribuciones de probabilidad discretas de uso más común por lo general se especifican por medio de fórmulas. Tres casos importantes son las distribuciones binomial, de Poisson e hipergeométrica, las cuales se estudian posteriormente en este capítulo. Ejercicios Métodos AUTO evaluación 7. La distribución de probabilidad para la variable aleatoria x se presenta enseguida. x f (x) a) Es válida esta distribución de probabilidad? Explique por qué. b) Cuál es la probabilidad de que x 30? c) Qué probabilidad existe de que x sea menor o igual que 25? d) Cuál es la probabilidad de que x sea mayor que 30? AUTO evaluación Aplicaciones 8. Los datos siguientes se obtuvieron por conteo del número de salas de operaciones en uso en el Hospital General Tampa durante un periodo de 20 días: en tres de estos días sólo se usó una sala de cirugía; en cinco de estos días se usaron dos; en ocho días se utilizaron tres, y en cuatro días se usaron las cuatro salas de operaciones del hospital. a) Use el método de frecuencia relativa a efecto de construir una distribución de probabilidad para el número de salas de operación en uso en cualquier día dado. b) Trace una gráfica de la distribución de probabilidad. c) Muestre que su distribución de probabilidad satisface las condiciones requeridas para una distribución de probabilidad discreta válida.

9 5.2 Distribuciones de probabilidad discreta En Estados Unidos, 38% de los alumnos de cuarto grado de primaria no puede leer un libro apropiado para su edad. Los datos siguientes muestran el número de sujetos, por edad, que se identificaron como niños con problemas de aprendizaje que requieren educación especial. La mayoría tiene problemas de lectura que debieron identificarse y corregirse antes del tercer grado. La ley federal estadounidense actual prohíbe que la mayoría de los niños reciba ayuda adicional de programas de educación especial hasta que el retraso sea de aproximadamente dos años de aprendizaje, y por lo general eso significa hasta tercer grado o grados superiores (USA Today, 6 de septiembre, 2001). Edad Número de niños Suponga que se desea seleccionar una muestra de menores con problemas de aprendizaje y que deben tomar educación especial a efecto de incluirlos en un programa diseñado para mejorar su capacidad de lectura. Sea x una variable aleatoria que indica la edad de un niño seleccionado al azar. a) Use los datos para elaborar una distribución de probabilidad para x. Especifique los valores de la variable aleatoria y los valores correspondientes de la función de probabilidad f (x). b) Trace una gráfica de la distribución de probabilidad. c) Muestre que la distribución de probabilidad satisface las ecuaciones (5.1) y (5.2). 10. A continuación se presentan las distribuciones de frecuencias porcentuales de la satisfacción laboral para una muestra de altos directivos y gerentes de rango medio en el área de sistemas de información (SI). Las puntaciones varían de baja, 1 (muy insatisfecho), a alta, 5 (muy satisfecho). Puntuación de Altos directivos Gerentes de rango satisfacción laboral de SI (%) medio de SI (%) a) Elabore una distribución de probabilidad para la puntuación de satisfacción laboral de un alto directivo. b) Prepare una distribución de probabilidad para la puntuación de satisfacción laboral de un gerente de rango medio. c) Cuál es la probabilidad de que un alto directivo reporte una puntuación de satisfacción laboral de 4 o 5? d) Cuál es la probabilidad de que un gerente de rango medio esté muy satisfecho? e) Compare la satisfacción laboral general de los altos directivos con la de los gerentes de rango medio. 11. Un técnico proporciona servicio a las máquinas de correo en algunas empresas del área de Phoenix. Dependiendo del tipo de falla, la visita de servicio puede durar 1, 2, 3 o 4 horas. Los distintos tipos de falla ocurren aproximadamente con la misma frecuencia. a) Elabore una distribución de probabilidad para la duración de una visita de servicio. b) Trace una gráfica de la distribución de probabilidad. c) Muestre que su distribución de probabilidad satisface las condiciones requeridas para una función de probabilidad discreta.

10 202 Capítulo 5 Distribuciones de probabilidad discreta d) Cuál es la probabilidad de que una visita de servicio dure tres horas? e) El técnico acaba de llegar a una visita de servicio, pero desconoce el tipo de falla. Son las 3:00 p.m. y los técnicos de servicio trabajan sólo hasta las 5:00 p.m. Cuál es la probabilidad de que tenga que trabajar tiempo extra para reparar la máquina hoy? 12. Los dos proveedores de cable principales en Estados Unidos son Comcast Cable Communications, con 21.5 millones de suscriptores, y Time Warner Cable, con 11.0 millones de clientes (The New York Times Almanac, 2007). Suponga que la gerencia de Time Warner Cable evalúa de manera subjetiva una distribución de probabilidad del número de suscriptores nuevos el año siguiente en el estado de Nueva York como sigue. x f (x) a) Es válida esta distribución de probabilidad? Explique por qué. b) Cuál es la probabilidad de que Time Warner obtenga más de suscriptores nuevos? c) Qué probabilidad existe de que Time Warner obtenga menos de suscriptores nuevos? 13. Un psicólogo determinó que el número de sesiones requeridas para ganarse la confianza de un paciente nuevo es de 1, 2 o 3 sesiones. Sea x una variable aleatoria que indica el número de sesiones requeridas para ganarse la confianza de un paciente. Se ha propuesto la función de probabilidad siguiente. f (x) x 6 para x 1, 2 o 3 a) Esta función de probabilidad es válida? Explique por qué. b) Cuál es la probabilidad de que se requieran exactamente 2 sesiones para ganarse la confianza de un paciente? c) Cuál es la probabilidad de que sean necesarias por lo menos 2 sesiones para ganarse la confianza de un paciente? 14. La tabla siguiente es una distribución de probabilidad parcial para las utilidades proyectadas de MRA Company (x utilidades en miles de dólares) para el primer año de operación (el valor negativo denota una pérdida). x f (x) a) Cuál es el valor apropiado para f (200)? Cuál es su interpretación de este valor? b) Qué probabilidad existe de que MRA sea rentable? c) Cuál es la probabilidad de que obtenga por lo menos $ ? 5.3 Valor esperado y varianza Valor esperado El valor esperado, o media, de una variable aleatoria es una medida de su posición central. La fórmula para el valor esperado de una variable aleatoria discreta x se indica enseguida.

11 5.3 Valor esperado y varianza 203 El valor esperado es un promedio ponderado de los valores que asume la variable aleatoria cuando los pesos son las probabilidades. El valor esperado no tiene que ser un valor que la variable aleatoria pueda asumir. La varianza es un promedio ponderado de las desviaciones al cuadrado de una variable aleatoria de su media. Los pesos son las probabilidades. VALOR ESPERADO DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA E(x) μ x f (x) (5.4) Ambas notaciones, E(x) y μ se usan para denotar el valor esperado de una variable aleatoria. La ecuación (5.4) muestra que para calcular el valor esperado de una variable aleatoria discreta se debe multiplicar cada valor de la variable por su probabilidad correspondiente f (x), y después se suman los productos que resultan. Utilizando el ejemplo de la venta de automóviles de DiCarlo Motors de la sección 5.2, en la tabla 5.4 se muestra el cálculo del valor esperado para el número de vehículos vendidos durante un día. La suma de las entradas de la columna xf (x) muestra que el valor esperado es 1.50 unidades por día. Por consiguiente, aunque se sabe que en un día cualquiera las ventas pueden ser de 0, 1, 2, 3, 4 o 5 automóviles, DiCarlo anticipa que con el tiempo se venderá un promedio diario de Suponiendo que un mes tiene 30 días de operación, se usa el valor esperado de 1.50 para pronosticar el promedio de ventas mensuales de 30(1.50) 45 vehículos. Varianza Aun cuando el valor esperado proporciona el valor medio de la variable aleatoria, a menudo necesitamos una medida de variabilidad o dispersión. Así como la varianza se usó en el capítulo 3 para resumir la variabilidad en los datos, ahora la varianza se usa para resumir la variabilidad en los valores de una variable aleatoria. A continuación se presenta la fórmula para la varianza de una variable aleatoria discreta. VARIANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA Var (x) σ 2 (x μ) 2 f (x) (5.5) Como muestra la ecuación (5.5), una parte esencial de la fórmula de la varianza es la desviación, x μ, la cual mide a qué distancia está el valor esperado, o la media, μ, de un valor particular de la variable aleatoria. Para calcular la varianza de una variable aleatoria, las desviaciones se elevan al cuadrado y luego se ponderan por el valor correspondiente de la función de probabilidad. La suma de estas desviaciones al cuadrado ponderadas para todos los valores de la variable aleatoria se conocen como la varianza. Las notaciones Var (x) y σ 2 se usan para denotar la varianza de una variable aleatoria. TABLA 5.4 Cálculo del valor esperado para el número de automóviles que se venden en un día en Dicarlo Motors x f (x) xf (x) (0.18) (0.39) (0.24) (0.14) (0.04) (0.01) E(x) μ xf (x)

12 204 Capítulo 5 Distribuciones de probabilidad discreta TABLA 5.5 Cálculo de la varianza para el número de automóviles que se venden en un día en Dicarlo Motors x x μ (x μ) 2 f(x) (x μ) 2 f(x) (.18) (.39) (.24) (.14) (.04) (.01) σ 2 (x μ) 2 f (x) El cálculo de la varianza para la distribución de probabilidad del número de automóviles vendidos durante un día en DiCarlo Motors se resume en la tabla 5.5. Vemos que la varianza es La desviación estándar, σ, se define como la raíz cuadrada positiva de la varianza. Por tanto, la desviación estándar para el número de automóviles vendidos durante un día es σ La desviación estándar se mide en las mismas unidades que la variable aleatoria (σ automóviles) y por tanto a menudo se prefiere para describir la variabilidad de una variable aleatoria. La varianza σ 2 se mide en unidades cuadradas y, por tanto, es más difícil de interpretar. Ejercicios Métodos 15. La tabla siguiente proporciona una distribución de probabilidad para la variable aleatoria x. x f (x) AUTO evaluación a) Calcule E(x), el valor esperado de x. b) Estime σ 2, la varianza de x. c) Calcule σ, la desviación estándar de x. 16. La tabla siguiente proporciona una distribución de probabilidad para la variable aleatoria y. y f( y) a) Calcule E(y). b) Calcule Var (y) y σ.

13 5.3 Valor esperado y varianza 205 Aplicaciones 17. El número de estudiantes que presentan la prueba de aptitudes escolares SAT ha aumentado a una cifra sin precedente de 1.5 millones (Consejo del Colegio, 26 de agosto de 2008). Se permite que los estudiantes repitan la prueba con la esperanza de que mejoren la calificación que se envía a las oficinas de admisión de los colegios y universidades. El número de veces que la SAT fue presentada y el número de estudiantes son los siguientes. Número Número de de veces estudiantes AUTO evaluación a) Sea x una variable aleatoria que indica el número de veces que un estudiante presenta el SAT. Muestre la distribución de probabilidad para esta variable aleatoria. b) Cuál es la probabilidad de que un estudiante presente el SAT más de una vez? c) Cuál es la probabilidad de que un estudiante lo presente tres o más veces? d) Cuál es el valor esperado del número de veces que se presenta el SAT? Cuál es su interpretación del valor esperado? e) Cuáles son la varianza y la desviación estándar para el número de veces que se presenta el SAT? 18. El estudio American Housing Survey reportó los datos siguientes sobre el número de recámaras ocupadas en casas propias y rentadas en las ciudades centrales (sitio web de la Oficina del Censo de Estados Unidos, 31 de marzo de 2003). Número de casas (miles) Recámaras Rentadas Propias o más a) Defina una variable aleatoria x número de recámaras en las casas rentadas y elabore una distribución de probabilidad para la variable aleatoria (x 4 representa 4 o más recámaras.) b) Calcule el valor esperado y la varianza del número de recámaras en las casas rentadas. c) Defina una variable aleatoria y número de recámaras en las casas propias, y elabore una distribución de probabilidad para la variable aleatoria (y 4 representa 4 o más recámaras.) d) Calcule el valor esperado y la varianza para el número de recámaras en las casas propias. e) Qué observaciones puede hacer de la comparación del número de recámaras en casas rentadas en comparación con las casas propias? 19. La NBA (National Basketball Association) lleva un registro de una variedad de estadísticas para cada equipo. Dos de éstas registran el porcentaje de tiros de campo y el porcentaje de tiros de tres puntos efectuados por equipo. Los registros de tiros de los 29 equipos de la NBA para una parte de la temporada 2004 mostraban que la probabilidad de anotar dos puntos en un tiro de

14 206 Capítulo 5 Distribuciones de probabilidad discreta campo era de 0.44, y la probabilidad de anotar tres puntos al hacer un tiro de tres puntos era de 0.34 (sitio web de la NBA, 3 de enero de 2004). a) Cuál es el valor esperado de un tiro de dos puntos para estos equipos? b) Cuál es el valor esperado de un tiro de tres puntos para estos equipos? c) Si la probabilidad de hacer un tiro de dos puntos es mayor que la de hacer un tiro de tres puntos, por qué los entrenadores permiten que algunos jugadores lancen tiros de tres puntos si tienen la oportunidad? Use el valor esperado para explicar su respuesta. 20. La distribución de probabilidad de las reclamaciones por daños que pagó Newton Automobile Insurance Company por seguro contra choques es la siguiente. Pago ($) Probabilidad a) Use el pago de choque esperado para determinar la prima del seguro contra colisiones que permitiría a la empresa no ganar ni perder. b) La compañía de seguros cobra una tarifa anual de $520 por la cobertura de choques. Cuál es el valor esperado del seguro contra choques para un asegurado? (Pista: son los pagos esperados de la empresa menos el costo de cobertura.) Por qué el cliente compra un seguro contra colisiones con este valor esperado? 21. Las siguientes distribuciones de probabilidad de las puntuaciones de satisfacción laboral para una muestra de altos directivos y gerentes de rango medio del área de sistemas de información (SI) varía de un valor bajo de 1 (muy insatisfecho) a un valor alto de 5 (muy satisfecho). Probabilidad Puntuación de Altos directivos Gerentes de rango satisfacción laboral de SI medio de SI a) Cuál es el valor esperado de la puntuación de satisfacción laboral para los altos directivos? b) Cuál es el valor esperado de dicha puntuación para los gerentes de rango medio? c) Calcule la varianza de las puntuaciones de satisfacción laboral para los directivos y los gerentes de rango medio. d) Estime la desviación estándar de las calificaciones de satisfacción laboral en las dos distribuciones de probabilidad. e) Compare la satisfacción laboral de los altos directivos con la de los gerentes de nivel medio. 22. La demanda de un producto de Carolina Industries varía mucho cada mes. La distribución de probabilidad en la tabla siguiente, con base en los datos de años pasados, muestra la demanda mensual de la empresa. Demanda de unidades Probabilidad

15 5.4 Distribución de probabilidad binomial 207 a) Si la empresa basa los pedidos de cada mes en el valor esperado de la demanda mensual, cuál debe ser la cantidad de pedidos mensuales de Carolina para este producto? b) Suponga que cada unidad demandada genera ingresos de $70 y que cada una cuesta $50. Cuánto ganará o perderá la empresa en un mes si hace un pedido con base en su respuesta al inciso a) y la demanda real del artículo es 300 unidades? 23. La Encuesta de Viviendas y Unidades Desocupadas de la Ciudad de Nueva York mostró un total de unidades de vivienda bajo control de rentas y unidades bajo renta regulada construidas en 1947 o después. Las distribuciones de probabilidad del número de personas que viven en estas viviendas rentadas se proporcionan a continuación (sitio web de la Oficina del Censo de Estados Unidos, 12 de enero de 2004). Número de personas Control de rentas Renta regulada a) Cuál es el valor esperado del número de personas que viven en cada tipo de unidad? b) Cuál es la varianza del número de personas que viven en cada tipo de unidad? c) Haga algunas comparaciones entre el número de personas que viven en viviendas bajo rentas controladas y el número de personas que viven en unidades de renta regulada. 24. J. R. Ryland Computer Company considera la expansión de una planta para permitir a la empresa comenzar la fabricación de una computadora nueva. El presidente de la firma debe determinar si el proyecto de expansión se realiza a mediana o a gran escala. La demanda para la computadora nueva es incierta, y para propósitos de planeación puede ser baja, mediana o alta. Las probabilidades estimadas para la demanda son 0.20, 0.50 y 0.30, respectivamente; x y y indican las utilidades anuales en miles de dólares. Los encargados de la planeación en la empresa elaboraron los pronósticos de utilidades siguientes para los proyectos de expansión a mediana y gran escala. Utilidades de la expansión Utilidades de la expansión a mediana escala a gran escala x f (x) y f( y) Baja Demanda Mediana Alta a) Calcule el valor esperado para las utilidades asociadas con las dos alternativas de expansión. Cuál decisión es preferible para el objetivo de maximizar las utilidades esperadas? b) Calcule la varianza para la utilidad asociada con las dos alternativas de expansión. Cuál decisión es preferible para el objetivo de minimizar el riesgo o la incertidumbre? 5.4 Distribución de probabilidad binomial La distribución de probabilidad binomial es una distribución de probabilidad discreta que proporciona muchas aplicaciones. Se asocia con un experimento de múltiples pasos que se llama experimento binomial.

16 208 Capítulo 5 Distribuciones de probabilidad discreta Un experimento binomial Un experimento binomial tiene las cuatro propiedades siguientes. PROPIEDADES DE UN EXPERIMENTO BINOMIAL 1. El experimento consiste de una secuencia de n ensayos idénticos. 2. En cada ensayo hay dos resultados posibles. A uno de ellos se le llama éxito y al otro, fracaso. 3. La probabilidad de éxito, denotada por p, no cambia de un ensayo a otro. Por consiguiente, la probabilidad de fracaso, denotada por 1 p, tampoco cambia de un ensayo a otro. 4. Los ensayos son independientes. Jakob Bernoulli ( ), el primero de una familia de matemáticos suizos, publicó un tratado sobre probabilidad que contenía la teoría de permutaciones y combinaciones, así como el teorema binomial. Si están presentes las propiedades 2, 3 y 4, se dice que los ensayos son generados por un proceso de Bernoulli. Si, además, la propiedad 1 está presente, se dice que tenemos un experimento binomial. La figura 5.2 representa una secuencia posible de éxitos y fracasos para un experimento binomial que consta de ocho ensayos. En un experimento binomial, lo que interesa es el número de éxitos que ocurren en los n ensayos. Si x denota el número de éxitos que ocurren en n ensayos, vemos que x puede asumir los valores 0, 1, 2, 3..., n. Debido a que el número de valores es finito, x es una variable aleatoria discreta. La distribución de probabilidad asociada con esta variable se llama distribución de probabilidad binomial. Por ejemplo, considere el experimento de lanzar una moneda cinco veces y en cada lanzamiento observe si la moneda cae con cara o cruz en el lado superior. Suponga que queremos contar el número de caras que aparecen durante los cinco lanzamientos. Este ejemplo muestra las propiedades de un experimento binomial? Cuál es la variable aleatoria de interés? Observe que: 1. El experimento consta de cinco ensayos idénticos; cada uno consiste en el lanzamiento de una moneda. 2. En cada ensayo hay dos resultados posibles: cara o cruz. Se puede designar cara como un éxito y cruz como un fracaso. 3. La probabilidad de obtener cara y la probabilidad de obtener cruz son iguales para cada ensayo, con p 0.5 y 1 p Los ensayos o lanzamientos son independientes debido a que el resultado de cualquier ensayo no se ve afectado por lo que ocurre con otros ensayos o lanzamientos. FIGURA 5.2 Secuencia posible de éxitos y fracasos para un experimento binomial de ocho ensayos Propiedad 1. El experimento consta de n 8 ensayos idénticos. Propiedad 2. Cada ensayo da como resultado un éxito (S) o un fracaso (F). Ensayos Resultados S F F S S F S S

17 5.4 Distribución de probabilidad binomial 209 Por tanto, las propiedades de un experimento binomial se satisfacen. La variable aleatoria que interesa es x número de caras que ocurren en cinco ensayos. En este caso, x puede tomar los valores 0, 1, 2, 3, 4 o 5. En otro ejemplo, considere a una vendedora de seguros que visita a 10 familias seleccionadas al azar. El resultado asociado con cada visita se clasifica como un éxito si la familia compra un seguro y un fracaso si no lo compra. A partir de su experiencia, la vendedora sabe que la probabilidad de que una familia seleccionada al azar compre un seguro es de Al revisar las propiedades de un experimento binomial se observa que: 1. El experimento consta de 10 ensayos idénticos; cada uno consiste en visitar a una familia. 2. En cada ensayo hay dos resultados posibles: la familia compra el seguro (éxito) o no lo compra (fracaso). 3. Se asume que las probabilidades de que haya una compra o no la haya son iguales para cada visita, con p 0.10 y 1 p Los ensayos son independientes, porque las familias se eligen al azar. Como estos cuatro supuestos se cumplen, este ejemplo es un experimento binomial. La variable aleatoria de interés es el número de ventas obtenidas al hacer contacto con las 10 familias. En este caso, x puede asumir los valores 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 10. La propiedad 3 del experimento binomial se llama supuesto de estacionariedad y a veces se confunde con la propiedad 4, la independencia de los ensayos. Para ver cómo difieren, considere de nuevo el caso de la vendedora que visita a las familias para ofrecer seguros. Si, a medida que el día avanza, la empleada se cansa y pierde entusiasmo, la probabilidad de éxito (vender un seguro) para el décimo contacto podría disminuir a 0.05, por ejemplo. En este caso, la propiedad 3 (estacionariedad) no se cumpliría y el experimento no sería binomial. Incluso si la propiedad 4 se cumple, es decir, que las decisiones de compra de cada familia se realizaran en forma independiente, el experimento no sería binomial si la propiedad 3 no se satisface. En las aplicaciones con experimentos binomiales se usa una fórmula matemática especial, llamada función de probabilidad binomial, para calcular la probabilidad de x éxitos en n ensayos. Enseguida se mostrará cómo se desarrolla la fórmula, en el contexto de un problema ilustrativo, usando los conceptos de probabilidad presentados en el capítulo 4. El problema de Martin Clothing Store Considere las decisiones de compra de los tres clientes siguientes que entran en la tienda de ropa Martin Clothing Store. Con base en su experiencia, el gerente de la tienda estima que la probabilidad de que un cliente cualquiera haga una compra es de Cuál es la probabilidad de que dos de los tres clientes siguientes realicen una compra? Un diagrama de árbol (figura 5.3) permite ver que en el experimento de observar a tres clientes que toman una decisión de compra, cada uno tiene ocho resultados posibles. Si S denota éxito (una compra) y F denota fracaso (no hay compra), se tiene interés en los resultados experimentales que consisten en dos éxitos en los tres ensayos (decisiones de compra). A continuación se verificará que el experimento con una secuencia de tres decisiones de compra puede verse como binomial. Al revisar los cuatro requerimientos para un experimento binomial, observamos que: 1. El experimento se describe como una secuencia de tres ensayos idénticos, uno para cada uno de los tres clientes que entran en la tienda. 2. Para cada ensayo hay dos resultados posibles: el cliente efectúa una compra (éxito) o el cliente no efectúa una compra (fracaso). 3. Se asume que la probabilidad de que el cliente realice una compra (0.30) o no la realice (0.70) es la misma para todos los clientes. 4. La decisión de compra de cada sujeto es independiente de las decisiones que tomen los otros clientes.

18 210 Capítulo 5 Distribuciones de probabilidad discreta FIGURA 5.3 Diagrama de árbol para el problema de Martin Clothing Store Primer cliente Segundo cliente Tercer cliente Resultado experimental Valor de x S (S, S, S) 3 S F (S, S, F) 2 S F S (S, F, S) 2 F (S, F, F) 1 S (F, S, S) 2 F S F (F, S, F) 1 F S (F, F, S) 1 F (F, F, F) 0 S Hay compra F No hay compra x Número de clientes que efectúan una compra Por consiguiente, están presentes las propiedades de un experimento binomial. El número de resultados experimentales que producen exactamente x éxitos en n ensayos se calcula usando la fórmula siguiente. 1 NÚMERO DE RESULTADOS EXPERIMENTALES QUE PROPORCIONAN EXACTAMENTE x ÉXITOS EN n ENSAYOS donde y por definición, n x n! x!(n x)! n! n(n 1)(n 2)... (2)(1) 0! 1 (5.6) Ahora regresemos al experimento de Martin Clothing Store que consiste en las decisiones de compra de tres clientes. La ecuación (5.6) permite determinar el número de resultados que 1 Esta fórmula, presentada en el capítulo 4, determina el número de combinaciones de n objetos seleccionados x a la vez. Para el experimento binomial, esta fórmula combinatoria proporciona el número de resultados experimentales (secuencias de n ensayos), lo que da como resultado x éxitos.

19 5.4 Distribución de probabilidad binomial 211 involucran dos compras; es decir, el número de maneras de obtener x 2 éxitos en n 3 ensayos. A partir de la ecuación (5.6) tenemos n x 3 2 3! (3)(2)(1) 2!(3 2)! (2)(1)(1) La ecuación (5.6) muestra que tres de los resultados experimentales produjeron dos éxitos. A partir de la figura 5.3, vemos que estos tres resultados se denotan por (S, S, F), (S, F, S) y (F, S, S). Usando la ecuación (5.6) para determinar cuántos resultados experimentales tienen tres éxitos (compras) en los tres ensayos, obtenemos n x 3 3 3! 3! (3)(2)(1) 3!(3 3)! 3!0! 3(2)(1)(1) A partir de la figura 5.3 observamos que el resultado experimental con tres éxitos se identifica por (S, S, S). Se sabe que la ecuación (5.6) se utiliza para determinar el número de resultados experimentales que dan lugar a x éxitos. Si se determinará la probabilidad de x éxitos en n ensayos, no obstante, también debemos conocer la probabilidad asociada con cada uno de estos resultados. Como los ensayos de un experimento binomial son independientes, sencillamente es posible multiplicar las probabilidades asociadas con el resultado de cada ensayo para encontrar la probabilidad de una secuencia particular de éxitos y fracasos. La probabilidad de que los dos primeros clientes compren y que el tercero no compre, denotada por (S, S, F), está dada por pp (1 p) Con una probabilidad de 0.30 de una compra en cualquier ensayo, la probabilidad de una compra en los primeros dos ensayos y ninguna compra en el tercero está dada por (0.30)(0.30)(0.70) (0.30) 2 (0.70) Otros dos resultados experimentales también dan lugar a dos éxitos y un fracaso. Las probabilidades de tres resultados que tienen dos éxitos se presentan a continuación. Resultados de los ensayos Probabilidad Primer Segundo Tercer Resultado del resultado cliente cliente cliente experimental experimental Compra Compra No compra (S, S, F ) pp(1 p) p 2 (1 p) (0.30) 2 (0.70) Compra No compra Compra (S, F, S) p(1 p)p p 2 (1 p) (0.30) 2 (0.70) No compra Compra Compra (F, S, S) (1 p)pp p 2 (1 p) (0.30) 2 (0.70) Observe que los tres resultados experimentales con dos éxitos tienen exactamente la misma probabilidad. Esta observación es válida en general. En cualquier experimento binomial, todas las secuencias de resultados de ensayos que producen x éxitos en n ensayos tienen la misma probabilidad de ocurrencia. La probabilidad de cada secuencia de ensayos que producen x éxitos en n ensayos se presenta a continuación.

20 212 Capítulo 5 Distribuciones de probabilidad discreta Probabilidad de una secuencia particular de resultados de p x (1 p) (n x) (5.7) con x éxitos en n ensayos En el caso de la tienda Martin Clothing Store, esta fórmula indica que cualquier resultado experimental con dos éxitos tiene una probabilidad de p 2 (1 p) (3 2) p 2 (1 p) 1 (0.30) 2 (0.70) Como la ecuación (5.6) muestra el número de resultados de un experimento binomial con x éxitos y la ecuación (5.7) proporciona la probabilidad de cada secuencia con x éxitos, las ecuaciones (5.6) y (5.7) se combinan para obtener la función de probabilidad binomial siguiente. FUNCIÓN DE PROBABILIDAD BINOMIAL f (x) n x p x (1 p) (n x) (5.8) donde x número de éxitos p probabilidad de un éxito en un en sayo n número de ensayos f (x) probabilidad de x éxitos en n ensayos n x n! x!(n x)! Para la distribución de probabilidad binomial, x es una variable aleatoria discreta con la función de probabilidad f (x) aplicable para los valores de x = 0, 1, 2,..., n. En el ejemplo de Martin Clothing Store, se usa la ecuación (5.8) para calcular la probabilidad de que ningún cliente realice una compra; exactamente un cliente haga una compra; exactamente dos clientes efectúen una compra, y los tres clientes compren. Los cálculos se resumen en la tabla 5.6, que proporciona la distribución de probabilidad del número de sujetos que realizan una compra. La figura 5.4 es una gráfica de esta distribución de probabilidad. La función de probabilidad binomial se aplica a cualquier experimento binomial. Si una situación demuestra las propiedades de un experimento binomial y se conocen los valores de n y p, se puede usar la ecuación (5.8) para calcular la probabilidad de x éxitos en n ensayos. TABLA 5.6 Distribución de probabilidad para el número de clientes que efectúan una compra x f(x) 3! 0!3! (0.30)0 (0.70) ! 1!2! (0.30)1 (0.70) ! 2!1! (0.30)2 (0.70) ! 3!0! (0.30)3 (0.70)

21 5.4 Distribución de probabilidad binomial 213 FIGURA 5.4 Representación gráfica de la distribución de probabilidad para el número de clientes que efectúan una compra f (x) Probabilidad Número de clientes que efectúan una compra 3 x Si se consideran variaciones del experimento de Martin, por ejemplo que 10 clientes en vez de tres entren en la tienda, la función de probabilidad binomial dada la ecuación (5.8) sigue siendo válida. Suponga que se tiene un experimento binomial con n 10, x 4 y p La probabilidad de que exactamente cuatro de los 10 clientes que entran en la tienda realicen una compra es f (4) 10! 4!6! (0.30)4 (0.70) Uso de tablas de probabilidades binomiales Con las calculadoras modernas, estas tablas son casi innecesarias. Es fácil evaluar directamente la ecuación (5.8). Se han desarrollado tablas que proporcionan la probabilidad de x éxitos en n ensayos para un experimento binomial. Por lo general son fáciles de usar y más rápidas que la ecuación (5.8). La tabla 5 del apéndice B es una tabla de probabilidades binomiales de este tipo. Una parte de ella se reproduce en la tabla 5.7. Para usarla, se deben especificar los valores de n, p y x según el experimento binomial de que se trate. En el ejemplo que se presenta en la parte superior de la tabla 5.7, vemos que la probabilidad de que x 3 éxitos en un experimento binomial con n 10 y p 0.40 es de Se puede recurrir a la ecuación (5.8) para verificar que se obtendría el mismo resultado si se usa directamente la función de probabilidad binomial. Ahora se usará la tabla 5.7 para verificar la probabilidad de cuatro éxitos en 10 ensayos en el problema de Martin Clothing Store. Note que el valor de f (4) se lee directamente de la tabla de probabilidades binomiales, según la cual n 10, x 4 y p Aun cuando las tablas de probabilidades binomiales son relativamente fáciles de usar, es imposible contar con tablas que muestren todos los valores posibles de n y p que podrían encontrarse en un experimento binomial. Sin embargo, con las calculadoras actuales, el uso de la ecuación (5.8) para calcular la probabilidad buscada no es difícil, en especial si el número de ensayos no es grande. En los ejercicios de esta sección tendrá la oportunidad de practicar con la ecuación (5.8) para calcular las probabilidades binomiales, a menos que el problema requiera que de manera específica se utilice la tabla de probabilidades binomiales.