COMPRENSIÓN DE LA NOCIÓN DE VARIABLE ALGEBRAICA POR ESTUDIANTES UNIVERSITARIOS

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1 COMPRENSIÓN DE LA NOCIÓN DE VARIABLE ALGEBRAICA POR ESTUDIANTES UNIVERSITARIOS Ángeles Domínguez Cuenca Este estudio profundiza en las dificultades de los estudiantes para entender la noción de variable algebraica. Las preguntas guía son: (a) Cuál es el concepto de variable que tiene el estudiante? (b) Qué efecto tiene en el rendimiento del estudiante la elección de las literales que representan a las variables? (c) Qué nociones de variable usan los estudiantes? y (d) Cómo cambian los estudiantes de un uso de variable a otro dentro del mismo problema? Este estudio utiliza diversos marcos teóricos: la categorización de variables propuesta por Philipp, los diferentes usos de variables y su relación con la concepción de álgebra de Usiskin, la teoría del entendimiento desarrollada por Hiebert y Carpenter, y el constructivismo para analizar los procesos y explicaciones de los estudiantes. Trece estudiantes inscritos en cursos de álgebra o en introducción al cálculo participaron en entrevistas en las que resolvieron problemas. El análisis de datos fue categórico, descriptivo y cualitativo. Los resultados indican que los estudiantes presentan menor dificultad en el uso de incógnitas y números generalizados que en los otros usos de variables. Además, los estudiantes mostraron un nivel de confianza más alto al desarrollar problemas como los de la clase que problemas menos tradicionales. Por lo que se concluye que los estudiantes necesitan ser expuestos a situaciones problemáticas que involucren diferentes usos de variables y diferentes tipos de problemas. En cuanto a su comunicación matemática, escrita y verbal, se encontró que los estudiantes en los cursos más avanzados presentaron mayor sofisticación en sus soluciones, expresaron sus ideas con mayor fluidez y tuvieron una menor dificultad en el uso de las variables. Además, se propone una categorización de variables algebraicas. Palabras clave: Álgebra, variable, simbolización, pensamiento algebraico 1. Introducción En la vida cotidiana, el crecimiento tecnológico de esta era ha extendido las aplicaciones de las matemáticas y de las ciencias. En el aula, esto implica que los estudiantes necesitan estar mejor preparados para afrontar las problemáticas del mundo actual [1, 2, 3]. Con estos cambios, los estudiantes no solo necesitan saber ejecutar operaciones, sino que también necesitan saber analizar un problema, abstraer ideas, interpretar resultados, deducir consecuencias, modelar situaciones, formular alternativas y generalizar resultados; ideas en las cuales la identificación, definición y manejo de las variables involucradas son cruciales para la solución de una situación problemática en cualquier contexto. Además, la comprensión de la noción de variable facilita la comprensión de la noción de función y sienta las bases para apreciar la fortaleza de las demostraciones y de las generalizaciones, herramientas útiles para las matemáticas superiores. La noción de variable se introduce desde temprana edad, y se usa como vínculo entre la aritmética y el álgebra, promoviendo una visión del álgebra como aritmética generalizada. Esto puede resultar favorable en la introducción del concepto, sin embargo, esta visión de la variable como incógnita y como número generalizado predomina en la mayoría de los años escolares hasta llegar a profesional, minimizando el énfasis de otros usos de la variable.

2 Este estudio profundiza en las dificultades que los estudiantes de primer año de universidad tienen para entender la noción de variable algebraica. Las preguntas que guían este estudio son: (a) Cuál es el concepto de variable que tiene el estudiante? (b) Qué efecto tiene en el rendimiento del estudiante la elección de las literales que representan a las variables? (c) Qué nociones de variable usan los estudiantes? y (d) Cómo cambian los estudiantes de una acepción o uso de variable a otro dentro del mismo problema? Estas preguntas orientan el diseño de este estudio y facilitaron relacionar este estudio con investigaciones previas acerca de variables y de álgebra. El constructivismo sostiene que el conocimiento es construido individualmente por cada estudiante [4]. Según esta perspectiva: (a) las explicaciones de los estudiantes tienen un legítimo contenido epistemológico [5]; y (b) el conocimiento construido por cada estudiante es necesariamente único y contextualmente dependiente [6]. La fortaleza de las construcciones mentales está determinada por su aplicabilidad en diversas situaciones. En el contexto de las matemáticas, construcciones mentales débiles se pueden considerar como limitadas, mientras que construcciones fuertes se pueden concebir como extensas en usos [7]. En este estudio utilizo este marco teórico para analizar los procesos realizados y las explicaciones dadas por los estudiantes al resolver problemas. Para reconocer el tipo de conocimiento al que un estudiante recurre en la solución de problemas utilizo la distinción entre el conocimiento conceptual y el operacional [8]. Esta distinción es importante ya que un estudiante puede saber como resolver una ecuación lineal con una variable, pero no reconocer el significado de la variable en dicha ecuación. Partiendo de esta categorización del conocimiento, se visualiza un marco teórico para analizar la comprensión matemática que establece la existencia de una relación entre las representaciones externas e internas del conocimiento, en el que las conexiones internas son parte de redes estructuradas [9]. Los estudiantes al resolver problemas matemáticos expresan sus ideas en símbolos, lenguaje verbal, y figuras; éstas constituyen representaciones externas de redes internas que han sido construidas por el estudiante a lo largo de su experiencia. En particular, en este estudio se analiza la comprensión que los alumnos tienen acerca de variables algebraicas. Con este fin, utilizo categorizaciones de la noción de variable propuestas [10, 11], diferentes usos de las variables y su relación con la concepción de álgebra [12]. Con estas tres perspectivas, clasifico los usos de las literales que representan variables en: etiquetas, parámetros, incógnitas, números generalizados, variables funcionales, y símbolos abstractos. Para ejemplificar estas categorías, consideremos la función D = Pe kt, donde D es la cantidad de dinero que se tendría en un tiempo t, si se depositan inicialmente P pesos y se maneja un interés compuesto de k. En este ejemplo, e es una constante, P y k son parámetros que se fijarán para un caso en particular, D y t son variables en una relación funcional. Si en este ejemplo nos preguntamos en cuánto tiempo se alcanzará cierta cantidad D, entonces t es una incógnita. Así mismo, en este estudio considero que las literales utilizadas en identidades o en secuencias o patrones juegan un papel de números generalizados, por ejemplo, n en 2n +1 (generalización de un número impar), o m en la secuencia 1, 4, 9, 16,...m 2, mientras que las literales que se usan sin un número como referencia son símbolos abstractos, por ejemplo, la x al factorizar 8x 40. Esta clasificación incluye únicamente el uso de letras relacionadas con el concepto de variable algebraica, usos de literales para representar matrices o vectores no están comprendidos en este estudio. Es a través del constructivismo que las explicaciones y acciones de los estudiantes en la resolución de problemas tienen validez epistemológica. Esto, aunado a la existencia de conexiones entre representaciones externas con internas del conocimiento, y con la distinción entre tipos de conocimiento, permite profundizar en el entendimiento del concepto de variable de los estudiantes. Así mismo, la categorización del concepto de variable algebraica identifica qué concepciones, usos y representaciones los estudiantes tienen al resolver problemas matemáticos. En este estudio, las literales representan variables algebraicas; aunque reconozco que la variable no siempre se representa por literales, y que no toda literal representa variables.

3 2. Metodología Para profundizar en las concepciones de variable algebraica de los estudiantes, entrevisté a los participantes, observé algunas de las sesiones de sus clases de matemáticas (al menos 5), y recopilé material de la clase y de las entrevistas para analizarlo. En este estudio accedieron a participar 23 estudiantes, de los cuales por restricciones de horarios y compatibilidad de tiempos solo entrevisté a trece. Dichas entrevistas se realizaron en parejas de estudiantes inscritos en el mismo curso de matemáticas. Los cursos de matemáticas seleccionados fueron cuatro: álgebra para principiantes, álgebra intermedia, introducción al cálculo con álgebra, e introducción al cálculo con trigonometría. Las entrevistas fueron parcialmente estructuradas, es decir, los problemas eran los mismos para todos, pero se resolvían de acuerdo al nivel de matemáticas de los estudiantes; de tal forma que no todos respondieron a los 18 problemas propuestos. Los primeros tres problemas se les dieron a todos los estudiantes en el mismo orden (ver Figura 1), el orden de los demás problemas se decidió en base a sus respuestas a los problemas que iban resolviendo (ver Figura 2). Los estudiantes fueron entrevistados en parejas para facilitar el dialogo entre los estudiantes y que se sintieran más cómodos para expresar sus ideas. El número de entrevistas por pareja, de una a tres entrevistas, varió dependiendo del tiempo que les tomaba a los estudiantes explicar sus razonamientos. Cada entrevista duró de 50 a 75 minutos, de acuerdo a la facilidad de los estudiantes para expresar sus ideas verbalmente y por escrito. Se audio grabaron las entrevistas y se recolectaron las soluciones de los estudiantes. Este producto de las entrevistas monitoreadas (audio casete y material escrito) constituyó el principal material de análisis. Las entrevistas se codificaron hasta obtener categorías comunes. Este análisis fue categórico, descriptivo y cualitativo. 1. Define con tus propias palabras que es una variable. Da algunos ejemplos. 2. Dos personas tienen 28 monedas de 10 centavos, una de ellas tiene n monedas de 10 centavos. Proporciona una pregunta que se pueda contestar con la información dada. [13] 3. En la siguiente recta numérica están marcados los puntos que representan al 0, 1, y x. Localiza aproximadamente los puntos correspondientes a: 2, 2x, x 2, 2 x, y x + 2. [14] 0 1 x Figura 1. Primeros tres problemas resueltos por todos los estudiantes. Las observaciones de las clases sirvieron como parámetro para categorizar los problemas como familiares o no familiares a los estudiantes, y para reconocer las soluciones que los estudiantes planteaban como las vistas en clases. También fue útil para conocer más a los estudiantes, observar como presenta el maestro el tema, como lo evalúa, y que tareas asigna. Todas estas observaciones favorecieron a conformar criterios cualitativos que ayudaron en el análisis de las entrevistas. De la misma manera, el material recolectado de las clases de los participantes, clarificó la categorización de algunas de las soluciones dadas por los estudiantes.

4 1. Encuentra la ecuación de la recta que pasa por el punto (-1, 8) y que tiene una pendiente de 2. [12] 2. Cuándo es esta ecuación verdadera? x + y + z = x + p + z. [10] Siempre Nunca Algunas veces, cuando Calcula el área de la región sombrada considerando que toda la figura tienen un área de 40 pulgadas cuadradas. [15] Resuelve 3x + 10 = 22. Cómo la solución de 3x + 10 = 22 se puede usar para resolver 3(x 9) = 22? [16] 5. Un cuaderno es 9 veces más caro que un lapicero. El lapicero es $18 pesos más barato que el cuaderno. Cuánto cuesta el cuaderno? [13] Figura 2. Algunos problemas resueltos por la mayoría de los estudiantes. 3. Resultados y Discusión La presentación de los resultados está organizada para dar respuesta a las cuatro preguntas que guiaron este estudio. Concepto de variable que tiene el estudiante. La concepción de variable algebraica que los estudiantes participantes manejaron está ligada al papel que juega ésta como incógnita y como número generalizado. También se encontró que los estudiantes visualizan a la variable como representada por literales, generalmente x, y que cuando ven una literal esperan que ésta sea una variable. Todos los estudiantes que participaron en este estudio operaron con variables al resolver los problemas, pero no aceptaron soluciones no numéricas. Es decir, los estudiantes consideraron que respuestas con literales no indican mucho, que es necesario un valor numérico de la literal para poder contestar la pregunta del problema. Por ejemplo en el problema 2, una posible pregunta es cuantas monedas tiene la otra persona cuya respuesta es 28 n. Sin embargo, para los estudiantes, 28 n no es una respuesta, ya que no está definido el valor de la variable. Efecto de la representación simbólica de las variables. Los resultados indican que los estudiantes tienen dificultades en definir las variables en un problema, es decir las definen como etiquetas o como una forma abreviada del nombre del objeto en lugar de relaciones funcionales. Por ejemplo, en el problema 5 de la Figura 2, definir C como el cuaderno (etiqueta), y no como precio del

5 cuaderno para encontrar una relación funcional con respecto al costo del lapicero. Esta práctica está tan arraigada en el manejo de variables de los estudiantes, que incluso en los casos en los que el problema definía explícitamente las variables, los estudiantes la cambiaron para referirse a la variable como una etiqueta. Nociones de variable algebraica que los estudiantes usan. Los resultados muestran que los estudiantes trabajaron con mayor fluidez los problemas que involucraban variables como incógnita, y que tuvieron más dificultad en el uso de variable como una relación funcional. Esto último debido a que con frecuencia la definición que hacían de las variables del problema la daban en términos de la variable como etiqueta y no como una relación funcional. Cambios que los estudiantes hacen de un rol de variable a otro dentro del mismo problema. En los problemas familiares para el estudiante, como los vistos en clase, sus soluciones involucran procedimientos algebraicos parecidos a los vistos en clase. En estos procedimientos se observaron pocos cambios del uso de variable. Sin embargo, se observaron cambios en las definiciones de las variables, definiciones que con frecuencia modificaban los estudiantes para hacerlas concordar con el procedimiento, sin advertir que lo equivocado era la definición misma de las literales que representaban las variables. En muchos casos, resultó difícil clasificar el trabajo de los estudiantes en términos de las preguntas que guiaron este estudio, ya que las soluciones dadas presentaban aspectos que correspondían a más de una de las esas preguntas o bien a interrelaciones entre las preguntas guía de este estudio. Además de los resultados para cada una de las preguntas guía, se encontraron dos aspectos más. En cuanto al nivel de confianza al resolver los problemas dados, se encontró que los estudiantes mostraron un nivel de confianza más alto al desarrollar problemas como los vistos en su clase que problemas no abordados en ella. Así mismo se observó que en las clases los maestros enfatizaron más el uso de variables como incógnitas y que en algunos casos se hacía explícita la representación y definición de las variables involucradas en el problema. En cuanto a su comunicación matemática, escrita y verbal, se encontró que los estudiantes inscritos en cursos de matemáticas más avanzados presentaron mayor sofisticación en sus soluciones, expresaron sus ideas con mayor fluidez y tuvieron una menor dificultad en el uso de las variables. 4. Conclusiones Los estudiantes respondieron con mayor facilidad y certeza problemas familiares que problemas que involucraban extender lo aprendido en clase. Por lo que se concluye que los estudiantes necesitan ser expuestos dentro de sus clases a situaciones problemáticas que involucren las diferentes acepciones de la noción de variable, así como a diferentes tipos de problemas. Es necesario que los maestros enfaticen más en el uso, la definición y la representación simbólica de las variables. Es una práctica común que la docencia favorezca el uso de las variables como incógnitas y números generalizados, en cambio es más difícil que se aborde la concepción de variable en una relación funcional debido a la falta de claridad en la definición y representación de las variables involucradas. Dentro de este estudio se observó a maestros dando por entendido el uso y representación de las variables en algunos problemas sin detenerse a explicar a los alumnos, los cuales tienden a imitar

6 procedimientos sin entender de fondo el significado de la representación o manejo de las variables. Nuevamente, el papel del maestro en favorecer otros roles de la variable es determinante. Al analizar las explicaciones de los estudiantes sobre sus procedimientos, observé que los estudiantes no definen sus variables con claridad. Esto hace difícil el tránsito del problema escrito a la representación algebraica, por ejemplo a una ecuación. Esto es, si en la redacción del problema se proporciona la representación algebraica del mismo, la mayoría de los estudiantes son capaces de manipular los símbolos y encontrar una respuesta. Pero si no se proporciona la representación algebraica, entonces al estudiante se le dificulta expresar la situación dada en el contexto del problema como una representación matemática. Hay una discontinuidad en este tránsito. Si además de encontrar una respuesta numérica se requiere dar una interpretación en el contexto del problema basándose en su resultado matemático, el estudiante necesitará regresar de la representación algebraica al contexto del problema. Sin embargo, esta interpretación está ligada a una comprensión del significado de las literales utilizadas en el problema y sin la previa definición de los símbolos usados, esta interpretación no fluye. Se presenta otra discontinuidad. Como lo muestra la Figura 3, hay discontinuidades tanto al pasar del problema (texto) a la representación matemática, como al interpretar los símbolos en el contexto del problema. La primera discontinuidad limita una representación matemática del problema, la segunda una interpretación. Problema escrito Representación algebraica Manipulación algebraica Interpretación Figura 3. Modelo del proceso de los estudiantes al resolver problemas. Al conjugar las ideas expuestas en este estudio y las necesidades del mundo actual, observé que hace falta poner más énfasis en el papel que juega la variable como una representación. Es decir, si bien es cierto que la mayoría de las veces la variable representa números, la naturaleza e interpretación de esos números cambia de acuerdo al tipo de problema que se esté representando algebraicamente y a la forma en cómo opera en esa representación. Esto me condujo al planteamiento de una nueva categorización de la variable algebraica que facilite la identificación del tipo de variable que se está trabajando, tanto al investigador como al profesor, y que tome en cuenta tanto el uso como la representación de la variable. Incógnita. Una variable es una incógnita si se usa para representar valores específicos que se desconocen pero que se pueden calcular resolviendo una ecuación o una desigualdad. Es la representación simbólica de una cantidad que toma valores específicos que se calcularán en una ecuación o desigualdad. Número generalizado. Las variables como números generalizados son usadas en expresiones para representar secuencias o patrones. Es la representación simbólica de dichas variables o bien es la representación literal de valores constantes en una ecuación o las variables usadas en identidades. Variable en una relación funcional. Las variables muestran una dependencia dada por una relación funcional. En esta concepción de variable se requiere que al menos dos variables están

7 involucradas. Es la representación simbólica de las cantidades que varían de acuerdo a una función, tabla, gráfica, o una descripción hablada. También es la variable que se usa para encontrar una de las cantidades en una relación funcional cuando la relación se da en cualquiera de sus diferentes representaciones. Símbolo abstracto. Las variables como símbolos abstractos son manipulados sin hacer referencia a un número. Son representaciones simbólicas en una ecuación o en una expresión que hacen referencia a otra expresión y no a números, por ejemplo, al simplificar una expresión, o al hacer un cambio de variable. Reconozco que no es necesario expresar las variables con símbolos para definirlas, y que no todo símbolo es una variable. Sin embargo, cuando una variable es reconocida, es tanto una definición como una representación simbólica lo que hace de las variables tan fundamentales en la matemática escolar y en la vida cotidiana. 5. Referencias [1] Heid, M. K. Curriculum and evaluation standards for school mathematics: Algebra in a technological world (Addenda series, grades 9-12). (1995). [2] National Council of Teachers of Mathematics. Principles and standards for school mathematics. (2000). [3] National Council of Teachers of Mathematics. Navigating through algebra in grades (2001). [4] von Glasersfeld, E. Learning as constructive activity. In C. Janvier (Ed.), Problems of representation in the teaching and learning of mathematics (pp. 3-17). Hillsdale, NJ: Erlbaum. (1987). [5] Confrey, J. Learning to listen: A student s understanding of powers of ten. In Ernst von Glasersfeld (Ed.), Radical constructivism in mathematics education (pp ). Norwell, MA: Kluwer Academic Publishers. (1991). [6] Goldin, G. A. Epistemology, constructivism, and discovery learning in mathematics. In R. B. Davis, C. A. Maher, y N. Noddings (Eds.), Journal for Research in Mathematics Education: Monograph No. 4. Constructivist views on the teaching and learning of mathematics (pp ). Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics. (1990). [7] Noddings, N. Constructivism in mathematics education. In R. B. Davis, C. A. Maher, y N. Noddings (Eds.), Journal for Research in Mathematics Education: Monograph No. 4. Constructivist views on the teaching and learning of mathematics (pp. 7-18). Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics. (1990). [8] Hiebert, J., y Lefevre, P. Conceptual and procedural knowledge in mathematics: An introductory analysis. In J. Hiebert (Ed.), Conceptual and procedural knowledge: The case of mathematics (pp. 1-27). Hillsdale, NJ: Erlbaum. (1986). [9] Hiebert, J., y Carpenter, T. Learning and teaching with understanding. In D. A. Grouws (Ed.), Handbook of research on mathematics teaching and learning. (pp ). New York: Macmillan. (1992). [10] Küchemann, D. Children s understanding of numerical variables. Mathematics in School, 7(4), (1978). [11] Philipp, R. A. The many uses of algebraic variables. Mathematics Teacher, 85, (1992). [12] Usiskin, Z. Conceptions of school algebra and uses of variable. In A. F. Coxford y A. P. Shulte (Eds.), The ideas of algebra, K-12 (1988 yearbook, pp. 8-19). Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics. (1988). [13] Krutetskii, V. A. The system of experimental problems for investigating schoolchildren s mathematical abilities (J. Teller, Trans.). In J. Kilpatrick & I. Wirszup (Eds.), The Psychology of Mathematical Abilities in Schoolchildren (pp ). Chicago: Chicago Press. (1968/1976) [14] Pence, B. Relationships between understandings of operations and success in beginning calculus. In D. T. Owens, M. K. Reed, & G. M. Millsaaps (Eds.), Proceedings of the Seventh Annual Meeting

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