Práctica II: Funciones y gráficas

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1 AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS - 2 o ING. DE TELECOMUNICACIÓN Dpto. Matemática Aplicada II. Universidad de Sevilla. Curso 2009/10 Práctica II: Funciones y gráficas 1. Definición de funciones Aunque Matlab tiene programadas un buen número de funciones elementales, es obvio que a veces necesitaremos definir otras funciones. Esto se puede realizar de varias formas, así que pasamos ahora a contar alguna de ellas M-archivos La manera más clásica de definir una función en Matlab es utilizar un M-archivo, o archivo con extensión *.m. La mejor opción para crear dicho archivo es utilizar el editor propio de Matlab, que se abre con la siguiente instrucción: >> edit Para empezar, vamos a definir la función f(x) = x cos(x), con lo que escribimos las siguientes líneas en el editor: function y=prueba(x) y=x^3+3*cos(x); La primera línea es sólo una declaración de función donde decimos que y va a ser la variable de salida, mientras que x es la variable de entrada. El nombre de la función en Matlab será prueba. En la segunda línea escribimos la definición de la función. Nota que hemos puesto punto y coma al final de la línea para que el cálculo no se vea en pantalla. Ahora tenemos que guardar esta función para poder referenciarla más adelante. Debemos poner la extensión *.m y es una buena costumbre llamar al fichero como la función que hemos definido en su interior (en este caso, prueba.m). Podemos guardar este fichero en cualquier directorio o carpeta, pero si queremos utilizar después la función, tendremos que cambiar el directorio de Matlab por el directorio donde hemos creado la función. En la ventana principal de Matlab hay una casilla que indica el directorio donde estamos trabajando y es ahí donde hemos de poner el nuevo. Una vez guardada la función y seleccionado el directorio, podemos llamarla desde Matlab para hacer algunos cálculos: >> prueba(2) >> prueba(-3) Si queremos calcular simultáneamente las imágenes de varios valores de x podríamos llamar a la función con un vector, es decir: 1

2 >> prueba([ ]) pero en este caso hay un problema de dimensión, ya que no hemos definido la función para que sea capaz de trabajar con vectores. Sin embargo, podemos modificar la segunda línea añadiendo el punto a las distintas operaciones y guardar de nuevo la función function y=prueba(x) y=x.^3+3.*cos(x); De este modo ya podremos escribir >> prueba([ ]) y obtener simultáneamente el valor de la función en cada uno de los valores. Por cierto, las variables que se utilizan dentro de la función no modifican, ni se ven modificadas, por los valores que pudiésemos dar a unas variables con el mismo nombre en la línea de instrucciones. Es decir, si ejecutamos estas líneas >> x=7; y=4; >> prueba(-3) >> x, y comprobaremos que los valores dexydeyno han cambiado aunque en la función, internamente, la variable x ha valido 3 y la variable y ha tomado el valor de la función en 3. Para terminar con este caso, también es posible definir funciones con diversas variables de entrada y salida. Por ejemplo, la siguiente función toma dos matrices A y B (que deben tener dimensiones adecuadas para ser multiplicadas y obtener una matriz cuadrada, ya que en otro caso dará error) y devuelve una variable P con el producto de las matrices y un vector v con el determinante y la traza del producto de ambas. function [P,v]=dettra(A,B) P=A*B; v=[det(p),trace(p)]; Abrimos un fichero nuevo en el editor, escribimos el texto y lo guardamos en un fichero que se llame dettra.m. Si ahora ponemos >> dettra([1;2;3],[4,5,6]) sólo obtendremos el valor de la primera de las variables de salida, que en este caso es el producto de los dos vectores. Si queremos obtener las dos variables de salida hemos de igualar la función a dos variables. Es decir: >> [H,Q]=dettra([1;2;3],[4,5,6]) 1.2. Definición en línea: uso del símbolo de Una manera bastante reciente de poder definir funciones matemáticas sin tener que recurrir a los M-archivos es la que ahora describimos. Si queremos obtener la función f(x, y) = x 2 +y 2 1, de tal modo que se pueda evaluar simultáneamente en varios valores hemos de poner >> ff=@(x,y)(x.^2+y.^2-1) En este caso hemos llamado ff a la función. Vemos que tras el ponemos las variables entre paréntesis y después definimos la función también entre paréntesis. Calculemos diversos valores de la misma: 2

3 >> ff(1,-2) >> ff([1,2,3,4],[2,3,2,3]) >> ff([1,2,3,4],[2,3]) >> ff([1,2,3,4],2) En la tercera instrucción obtenemos un error porque las dimensiones de los vectores de entrada no coinciden. Sin embargo, en la cuarta línea no tenemos ese error porque Matlab interpreta que tenemos que hacer los cálculos siempre para el mismo valor de la segunda variable. Si queremos definir una función con dos componentes como f(x, y) = (3x + y, y 2 ) sólo tenemos que escribir la función como un vector: >> hrt3=@(x,y)([3*x+y; y.^2]) En este caso hemos llamadohrt3 a la función y hemos puesto la salida como un vector columna. Podemos ahora calcular >> hrt3(1,2) >> hrt3([1,2,2],[4,-1,3]) 1.3. Definición en línea: uso de la instrucción inline Otra manera de definir funciones en línea es mediante la instrucción inline. En este caso, para definir la función f(x, t) = (x + 2) cos(t) hemos de poner >> fun=inline('(x+2).*cos(t)','x','t') En este ejemplo hemos llamado fun a la función. Vemos que tanto la definición de la función como las variables se ponen entre comillas. Notemos que al escribir las variables después de la definición de la función estamos fijando el orden en que éstas aparecen. El formato para llamar a la función es igual que en casos anteriores: >> fun(1,3) 2. Gráficas en Matlab En esta sección vamos a ver cómo representar curvas y superficies con Matlab Curvas en el plano La herramienta básica de dibujo de curvas en dos dimensiones es plot. Para entender su formato lo primero que hemos de hacer es comprender que al dibujar una curva plana con Matlab no hacemos más que representar una sucesión de puntos del plano, unidos o no por segmentos. Cada uno de estos puntos tiene dos coordenadas y para representarlos utilizaremos plot(coordenadasx,coordenadasy). Por ejemplo, si queremos dibujar la curva que pasa por los puntos (0, 0), (1, 1), (2, 1), (3, 2), (1, 2) y (0, 3), en ese orden, escribiremos >> plot([0,1,2,3,1,0],[0,-1,1,2,2,3]) Comprobamos que se abre una nueva ventana donde se representa dicha curva poligonal. El programa Matlab se encarga de decidir los ejes del dibujo y las escalas numéricas y marcas del dibujo. Conviene mencionar que, salvo que se indique lo contrario, lo primero que hace Matlab es borrar toda la información de una gráfica anterior, si la hubiere. Podemos también modificar el estilo de dibujo añadiendo unas directrices adecuadas. Mediante 3

4 >> help plot podemos consultar algunas de las opciones que tiene dicha instrucción. Por ejemplo, prueba a teclear >> plot([0,1,2,3,1,0],[0,-1,1,2,2,3],'r<:') para obtener la curva anterior en color rojo, punteada y marcando cada uno de los puntos con un triángulo. Para representar funciones de la forma y = f(x), debemos proceder del siguiente modo: primero creamos un vector con un mallado del intervalo donde queramos que se mueva la variable x, después evaluamos f en dicho mallado y, para terminar, representamos esos valores frente a x. Por ejemplo, para representar la parábola y = x 2 +3 en el intervalo [ 1, 1], con una partición de una centésima, podemos hacer lo siguiente: >> x=-1:0.01:1; y=x.^2+3; >> plot(x,y) No olvides poner el punto delante de ^ para que realice los cálculos componente a componente porque si no, la operación dará lugar a un error de dimensión. Si queremos cambiar los ejes, escribimos >> axis([ ]) donde el vector de entrada marca los extremos de los intervalos respectivos en las direcciones x e y. Otra herramienta que puede mejorar un gráfico es >> grid on que muestra un mallado sobre la figura. Las siguientes funciones permiten representar la función y = sen 2 (x) en el intervalo [0, 2π], mostrando un mallado de la región. >> x=linspace(0,2*pi,100); y=(sin(x)).^2; >> plot(x,y), grid on Observa que Matlab no toma para la x el intervalo apropiado, sino uno más amplio. Si queremos evitar esto podemos poner >> axis tight También podemos dibujar curvas definidas en paramétricas, como la elipse de centro el origen y semiejes 3 y 5. Para ello sólo tenemos que obtener los vectores x e y correspondientes. En el ejemplo que viene a continuación usamos a t como parámetro. >> t=0:2*pi/100:2*pi; x=3*cos(t); y=5*sin(t); >> plot(x,y) Como Matlab elige el tamaño relativo de los ejes, la elipse no parece tener las dimensiones adecuadas. Para evitar esto podemos poner Una forma de dibujar varias curvas en la misma gráfica es usar la orden hold. Por ejemplo, una vez dibujada una figura, si escribimos >> hold on todas las gráficas que representemos se unirán a la que ya tenemos, como se ve si ahora tecleamos >> t=0:2*pi/100:2*pi; x=5*cos(t); y=3*sin(t); >> plot(x,y,'r') Cuando queramos dejar de superponer curvas sólo tenemos que escribir >> hold off 4

5 2.2. Curvas en el espacio La instrucción plot3 tiene en el espacio unas características similares a plot en el plano. Por ejemplo, mediante las siguientes instrucciones vamos a obtener una hélice elíptica: >> t=linspace(0,10*pi,300); x=cos(t); y=2*sin(t); z=t/5; >> plot3(x,y,z) Para ver el dibujo con la misma escala en los tres ejes sólo necesitamos escribir 2.3. Superficies Para representar la superficie z = f(x, y) debemos proceder de un modo similar. La única diferencia es que ahora el mallado tendrá que ser de una región y, para facilitar la tarea, usaremos la instrucción meshgrid. Más concretamente, comenzaremos creando unas particiones de los intervalos de dibujo en las direcciones x e y para, usando dicha instrucción, generar el mallado de todo el rectángulo. Después podemos representar la superficie usando la instrucción surf. Por ejemplo, representemos la función z = sen( x 2 + y 2 )/ x 2 + y 2 en el rectángulo (x, y) [ 8, 8] [ 6, 6]. >> x=-8:0.5:8; y=-6:0.5:6; [X,Y]=meshgrid(x,y); >> r=sqrt(x.^2+y.^2); Z=sin(r)./r; >> surf(x,y,z) Si observas bien la superficie puedes darte cuenta de que el máximo no está representado (puedes girar la superficie, para tener un mejor ángulo de visión, mediante el botón de rotación tridimensional que aparece en la barra de herramientas de cada figura). El motivo es que la función no está definida en el origen, ya que el denominador se anula. Una manera, entre otras, de evitar este problema es elegir una partición del rectángulo que no contenga al origen. Otra manera es evitar dividir por cero, cosa que se puede conseguir sumando un número muy pequeño a r para evitar que se anule el denominador. El número más pequeño que se puede utilizar en Matlab se denota por eps. Por ejemplo, puedes repetir las instrucciones anteriores pero cambiando la segunda línea por >> r=sqrt(x.^2+y.^2)+eps; Z=sin(r)./r; Como conclusión a la sección de gráficas en Matlab, vamos a representar una superficie dada en paramétricas. Para ello sólo hemos de hacer un mallado del rectángulo donde están definidos los parámetros. Es decir, para representar la superficie dada por x = (10+2 cos(r)) cos(t), y = (10+2 cos(r)) sen(t), z = 6 sen(r) en el rectángulo (t, r) [ π, π] [ π, π] podemos escribir >> t=linspace(-pi,pi,30); r=linspace(-pi,pi,30); [T,R]=meshgrid(t,r); >> X=(10+2*cos(R)).*cos(T); Y=(10+2*cos(R)).*sin(T); Z=6*sin(R); >> surf(x,y,z) >> shading interp, light, lighting gouraud La última línea (que es completamente innecesaria para la representación) muestra la superficie sin rastros de la malla, interpola para conseguir un efecto de continuidad entre los colores e ilumina la superficie. Por lo menos queda bonito. 5