Funciones lineales: aplicaciones

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1 CAPÍTULO 5 Funciones lineales: aplicaciones 5.1 FUNCIONES LINEALES 5.2 OTROS EJEMPLOS DE FUNCIONES LINEALES 5.3 MODELOS BASADOS EN EL PUNTO DE EQUILIBRIO Términos y conceptos clave Fórmulas importantes Ejercicios adicionales Evaluación del capítulo Minicaso: decisión de cambio de automóvil

2 OBJETIVOS DEL CAPÍTULO Presentar un análisis de las características de las funciones lineales. Presentar una amplia variedad de aplicaciones de las funciones lineales.

3 184 CAPÍTULO 5 Funciones lineales: aplicaciones ESCENARIO DE MOTIVACIÓN: Impuestos federales sobre la renta En 1990, las tasas federales de impuestos para un matrimonio eran las que se muestran en la tabla. Ingreso gravable Mayor que Pero no mayor que Tasa tributaria $ 0 $ % Lo que se desea es una fórmula o un conjunto de fórmulas que permitan al matrimonio calcular sus impuestos federales una vez que conozcan su ingreso gravable. [Ejemplo 10] En este capítulo ampliamos el material mostrado en los capítulos 2 y 4 al presentar un análisis de las funciones lineales. Después de revisar la forma y las suposiciones subyacentes en estas funciones, veremos ejemplos que ilustran las aplicaciones de estos modelos en los negocios, la economía y otras áreas. 5.1 Funciones lineales Forma general y suposiciones Definición: Función lineal que incluye una variable independiente Una función lineal f que incluye una variable independiente x y una variable dependiente y tiene la forma general y f (x) a 1 x a 0 donde a 1 y a 0 son constantes, a 1 0. (5.1) Debe estar familiarizado con la ecuación (5.1) a partir del capítulo anterior. Además debe reconocer ésta como la forma de pendiente-intersección de una ecuación lineal con pendiente a 1 e intersección de y que ocurre en (0, a 0 ). Para una función lineal que tiene la forma de la ecuación (5.1), un cambio en el valor de y es directamente proporcional a un cambio en el valor de x. Este índice de cambio es constante y se representa por medio de la pendiente a 1. El ejemplo 1 del capítulo 4 presentó la función lineal del salario y f(x) 3x 25

4 5.1 Funciones lineales 185 semanal Salar io $ y = 3 x + 25 Figura 5.1 Función lineal del salario. 50 Salario base semanal Unidades vendidas por semana x donde y se define como el salario semanal en dólares y x representa el número de unidades vendidas por semana. En esta función del salario, se paga al vendedor un salario base de $25 por semana y una comisión de $3 por unidad vendida. El cambio en el salario semanal de la persona es directamente proporcional al cambio en el número de unidades vendidas. Es decir, la pendiente de 3 indica el aumento en el salario semanal asociado con cada unidad adicional vendida. La gráfica de la función del salario aparece en la figura 5.1. Nótese que esta gráfica se encuentra en el primer cuadrante y restringe x y y a valores no negativos. Esto tiene sentido? Definición: Función lineal que incluye dos variables independientes Una función lineal f que incluye dos variables independientes x 1 y x 2 y una variable de demanda y tiene la forma general y f (x 1, x 2 ) a 1 x 1 a 2 x 2 a 0 (5.2) donde a 1 y a 2 son constantes (no cero) y a 0 es una constante. Para una función lineal con la forma de la ecuación (5.2), la variable y depende conjuntamente de los valores de x 1 y x 2. El valor de la variable y en proporción directa cambia en los valores de x 1 y x 2. De modo específico, si x 1 se incrementa 1 unidad, y aumentará a 1 unidades. Y si x 2 aumenta 1 unidad, y cambiará a 2 unidades. Ejemplo 1 Suponga que el salario de un vendedor depende del número de unidades vendidas cada semana de cada uno de dos productos. Más específicamente, suponga que la función del salario y f(x 1, x 2 ) es y 5x 1 3x 2 25

5 186 CAPÍTULO 5 Funciones lineales: aplicaciones donde y salario semanal, x 1 número de unidades vendidas del producto 1 y x 2 número de unidades vendidas del producto 2. Esta función del salario sugiere un salario semanal base de $25 y comisiones por unidad vendida de $5 y $3, respectivamente, para los productos 1 y 2. Definición: Función lineal de n variables independientes Una función lineal f de n variables independientes x 1, x 2,..., x n y una variable dependiente y tiene la forma general y f (x 1, x 2,...,x n ) o bien y a 1 x 1 a 2 x 2 a n x n a 0 donde a 1, a 2,..., a n son constantes (diferentes de cero) y a 0 es una constante. (5.3) Funciones lineales del costo Las organizaciones se interesan en los costos porque reflejan los dólares que salen de la organización. Estos flujos de egreso con frecuencia se pagan en salarios, materias primas, provisiones, renta, calefacción, servicios y demás. Como hemos mencionado, los contadores y economistas definen a menudo el costo total en términos de dos componentes: costo variable total y costo fijo total. Se deben sumar estos dos componentes para determinar el costo total. La función del costo de posesión y operación del auto patrulla del ejemplo 3 del capítulo 4 es un ejemplo de una función lineal del costo. La función del costo C(x) 0.40x tenía costos variables que variaban con el número de millas conducidas y costos fijos de $ El total de costos variables varía con el nivel de entrada (insumos) y se calcula como el producto del costo variable por unidad de salida y el nivel de salida (producción). En un escenario de producción, el costo variable por unidad se compone por lo general de los costos de materia prima y trabajo. En el ejemplo de la patrulla, el costo variable por milla consistía en los costos de operación por milla como la gasolina, aceite, costos de mantenimiento y depreciación. Las funciones lineales de los costos muy a menudo son realistas, aunque ignoran la posibilidad de economías o deseconomías de escala. Esto es, las funciones lineales del costo implican rendimientos constantes a escala. Los rendimientos constantes a escala implican que no obstante el número de unidades producidas, el costo variable de cada unidad es el mismo. Esta suposición ignora la posibilidad de que los elementos del proceso de producción (trabajadores o máquinas) pueden ser más eficientes conforme aumenta el número de unidades producidas o que la compra de materias primas en grandes cantidades puede dar como resultado descuentos por cantidad que a su vez pueden reducir el costo variable por unidad producida (éste es un ejemplo de economías de escala). La función del costo de la patrulla supone que los costos operativos por milla serán $0.40 sin que tenga importancia

6 5.1 Funciones lineales 187 el número de millas conducidas. Podríamos esperar que más allá del tiempo de vida de un equipo, como la patrulla, éste será menos eficiente y requerirá mayor mantenimiento. Esto se puede traducir en un mayor costo variable por unidad. Algunos modelos de costo reconocen estas no linealidades potenciales al utilizar alguna medida del costo variable promedio por unidad. En otras situaciones se podría desarrollar un conjunto de funciones lineales del costo, cada uno más apropiado para ciertos casos dependiendo del nivel de salida seleccionado. El ejemplo siguiente ilustra la formulación de una función lineal del costo. Ejemplo 2 Una empresa que fabrica un solo producto se interesa en determinar la función que expresa el costo total anual y como una función del número de unidades fabricadas x. Los contadores indican que los gastos fijos cada año son de $ También estiman que los costos de la materia prima para cada unidad producida son $5.50 y los costos de trabajo por unidad son $1.50 en el departamento de ensamble, $0.75 en el cuarto de acabado y $1.25 en el departamento de empaque y distribución. La función del costo total tendrá la forma y C(x) costo variable total costo fijo total Los costos variables totales dependen de dos componentes: costos de la materia prima y costos del trabajo. Los costos del trabajo se determinan sumando los costos de trabajo respectivos de los tres departamentos. Se define el costo total por medio de la función y costo total de la materia prima costo total del trabajo costo fijo total costo total costo del trabajo costo del trabajo costo del trabajo costo de la materia (departamento (cuarto de (departamento fijo prima de ensamble) acabado) de envíos) total o y 5.50x (1.50x 0.75x 1.25x) lo que se simplifica como y f(x) 9x El 9 representa el costo variable combinado por unidad de $9.00. Es decir, por cada unidad adicional producida, el costo total aumentará $9.

7 188 CAPÍTULO 5 Funciones lineales: aplicaciones Funciones lineales del ingreso Con frecuencia nos referimos al dinero que fluye hacia una organización ya sea por la venta de productos o por la prestación de servicios como ingreso. El modo más fundamental de calcular el ingreso total de la venta de un producto (o servicio) es Ingreso total (precio)(cantidad vendida) Una suposición en esta relación es que el precio de venta es el mismo para todas las unidades vendidas. Suponga que una empresa fabrica n productos. Si x i es igual al número de unidades vendidas del producto i y p j es igual al precio del producto j, la función que le permite calcular el ingreso total de la venta de n productos es R p 1 x 1 p 2 x 2 p 3 x 3 p n x n (5.4) Esta función de ingreso se puede expresar de modo más conciso usando la notación de suma como R n j 1 p j x j (5.5) Quienes ven por primera vez la notación de suma quizá quieran referirse al apéndice B donde encontrarán una introducción de este concepto. Ejemplo 3 Una agencia local de renta de autos, Hurts Renta-Lemon, trata de competir con algunas empresas nacionales más grandes. La gerencia comprende que a muchos viajeros no les preocupan adornos superficiales como ventanas, tapacubos, radios y calentadores. I. T. Hurts, propietario y presidente de Hurts, ha estado reciclando autos usados para que formen parte de su flotilla. Hurts también simplificó la estructura de tasa de renta al cobrar una tarifa sencilla de $9.95 por día por el uso de un automóvil. El ingreso total del año es una función lineal del número de días de renta de autos de la agencia, o si R ingreso anual en dólares y d número de días de renta de autos durante el año, R f (d) 9.95d Funciones lineales de la utilidad La utilidad de una organización es la diferencia entre el ingreso total y el costo total. Expresado en forma de ecuación, Utilidad ingreso total costo total (5.6) Si y Ingreso total R(x) Costo total C(x)

8 5.1 Funciones lineales 189 donde x representa la cantidad producida y vendida, entonces la utilidad se define como P(x) R(x) C(x) (5.7) Cuando el ingreso total excede al costo total, la utilidad es positiva. En dichos casos la utilidad puede recibir el nombre de ganancia neta o utilidad neta. Cuando el costo total excede el ingreso total, la utilidad es negativa. En tales casos, la utilidad puede llamarse pérdida neta o déficit. Cuando el ingreso y el costo son funciones lineales de la(s) misma(s) variable(s), la función de la utilidad es una función lineal de la(s) misma(s) variable(s). Ejemplo 4 Una empresa vende un solo producto en $65 por unidad. Los costos variables por unidad son de $20 por materiales y $27.50 por trabajo. Los costos fijos anuales son $ Elabore la función de la utilidad expresada en términos de x, el número de unidades producidas y vendidas. Cuál es la utilidad si las ventas anuales son unidades? SOLUCIÓN Si el producto se vende en $65 por unidad, se calcula el ingreso total utilizando la función lineal R(x) 65x De modo similar, el costo total anual consiste en costos de materiales, costos de trabajo y costos fijos: que se reduce a la función lineal del costo C(x) 20x 27.50x C(x) 47.50x Por tanto, es posible calcular la función de la utilidad como P(x) R(x) C(x) 65x (47.50x ) 17.50x Nótese que P(x) es una función lineal. La pendiente de indica que para cada unidad adicional producida y vendida, la utilidad aumenta $ Esto se conoce en los negocios y la economía como utilidad marginal (la suma a la utilidad total de la venta de la unidad siguiente). Si la empresa vende unidades durante el año, P(20 000) 17.50(20 000)

9 190 CAPÍTULO 5 Funciones lineales: aplicaciones Ejemplo 5 (Planeación de la agricultura) Una organización agricultora tiene tres granjas diferentes que se utilizarán el año próximo. Cada granja tiene características únicas que la hacen ideal sólo para una cosecha. La tabla 5.1 indica la cosecha seleccionada para cada granja, el costo anual de la plantación de 1 acre de cosecha, el ingreso esperado derivado de cada acre y los costos fijos asociados con la operación de cada granja. Además de los costos fijos relacionados con la operación de cada granja, la corporación como un todo tiene costos fijos anuales de $ Determine la función de la utilidad para la operación de las tres granjas si x j número de acres plantados en la granja j, r j ingreso por acre en la granja j, c j costo por acre en la granja j y F j costo fijo en la granja j. Tabla 5.1 Costo/acre Ingreso/acre Costo fijo Granja Cosecha (c j ) (r j ) (F j ) 1 Frijol de soya $ 900 $1 300 $ Maíz Papa SOLUCIÓN El ingreso total proviene de la venta de las cosechas plantadas en cada una de las tres granjas, o R(x 1, x 2, x 3 ) r 1 x 1 r 2 x 2 r 3 x x x x 3 Los costos totales son la suma de los de las tres granjas más los costos fijos corporativos, o C(x 1, x 2, x 3 ) c 1 x 1 F 1 c 2 x 2 F 2 c 3 x 3 F x x x x x 2 750x La utilidad total es una función lineal que se calcula como P(x 1, x 2, x 3 ) R(x 1, x 2, x 3 ) C(x 1, x 2, x 3 ) x x x 3 (900x x 2 750x ) 400x 1 550x 2 450x Sección 5.1 Ejercicios de seguimiento 1. Escriba la forma general de una función lineal con cinco variables independientes. 2. Suponga que el vendedor del ejemplo 1 (página 185) tiene un objetivo salarial de $800 por semana. Si el producto B no está disponible una semana, cuántas unidades del producto A se deben vender para lograr el objetivo salarial? Si el producto A no está disponible cuántas unidades se deben vender del producto B?

10 5.1 Funciones lineales Suponga en el ejemplo 1 (página 185) que el vendedor recibe un bono cuando la venta combinada de los dos productos es de más de 80 unidades. El bono es de $2.50 por unidad para cada unidad en exceso de las 80. Con este programa de incentivos, la función del salario se debe describir por medio de dos funciones lineales diferentes. Cuáles son y cuándo son válidas? 4. Para el ejemplo 4 (página 189), cuántas unidades se deben producir y vender para a) ganar una utilidad de $1.5 millones, y b) tener una utilidad de cero (equilibrio)? 5. Un fabricante de microcomputadoras produce tres modelos distintos. La tabla siguiente resume los precios de venta al mayoreo, el costo de material por unidad y el costo de trabajo por unidad. Los costos fijos anuales son $25 millones. Microcomputadora Modelo 1 Modelo 2 Modelo 3 Precio de venta al mayoreo/unidad $500 $1 000 $1 500 Costo del material/unidad Costo del trabajo/unidad a) Determine la función del ingreso total conjunto de las ventas de los tres modelos diferentes de microcomputadoras. b) Determine la función del costo total anual de la fabricación de los tres modelos. c) Determine la función de la utilidad de la venta de los tres modelos. d) Cuál es la utilidad anual si la empresa vende , y unidades, respectivamente, de los tres modelos? 6. Para el ejemplo 5 (página 190), el consejo de directores votó por el siguiente programa de plantación para el próximo año: se plantarán acres en la granja 1, en la granja 2 y en la granja 3. a) Cuáles son las utilidades esperadas del programa? b) Una sequía de verano provocó que se redujeran los ingresos por acre en 20, 30 y 10 por ciento, respectivamente, en las tres granjas. Cuál es la utilidad esperada del programa de plantación antes mencionado? 7. Renta de automóviles Una agencia de renta de automóviles compra autos nuevos cada año para usarlos en la agencia. Los autos nuevos cuestan $ Se usan por 3 años, después de los cuales se venden en $ El propietario de la agencia estima que los costos variables de la operación de los autos, aparte de la gasolina, son $0.18 por milla. Se rentan los autos a una tarifa sencilla de $0.33 por milla (sin incluir la gasolina). a) Formule la función del ingreso total asociado con la renta de uno de los autos por un total de x millas en un periodo de 3 años. b) Formule la función de costo total asociada con la renta de un auto por un total de x millas en 3 años. c) Formule la función de la utilidad. d) Cuál es la ganancia si se renta el automóvil por millas en un periodo de 3 años? e) Qué millaje se requiere para tener una utilidad de cero en 3 años? 8. Una compañía fabrica un producto que vende en $55 por unidad. Para la empresa cada unidad tiene un costo de $23 en gastos variables y los costos fijos sobre una base anual son $ Si x es igual al número de unidades producidas y vendidas durante el año: a) Formule la función lineal del costo total. b) Formule la función lineal del ingreso total.