Desarrollo en Matlab de software de cálculo de placas por MEF

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1 Eduacero. Una revista metálica estudiantil Desarrollo en Matlab de software de cálculo de placas por MEF Joan Morató Guardia Ingeniero de Caminos, Canales y Puertos. Estudiante de Grado en Ingeniería Informática j.morato.91@gmail.com RESUMEN En este trabajo se crea un programa en Matlab con interfaz gráfica de cálculo de flexión de placas mediante el MEF, y usando el elemento finito DKT para el cálculo. El programa se desarrolla usando el paradigma de programación orientada a objetos, que presenta mejoras en relación a la programación procedimental clásica con lenguajes populares como Fortran, mejorando la modularidad, el orden, la legibilidad y la calidad en general del código. Se sigue en todo momento la filosofía del código abierto, de forma que el programa es fácilmente legible, modificable y ampliable por cualquier usuario. Este documento representa un resumen de la tesina de fin de carrera elaborada por el autor y de igual nombre [1]. Se define la base teórica del programa, así como su proceso de desarrollo y finalmente se prueba el buen funcionamiento en varios ejemplos representativos. Código Fuente y manual de usuario: Palabras clave: Software para el proyecto de estructuras metálicas, FEM. E 1. INTRODUCCIÓN l método de los elementos finitos o MEF es una herramienta muy potente para el cálculo aproximado de todo tipo de problemas de los cuales no se conoce la solución analítica o ésta tiene una complejidad demasiado grande como para ser tratada directamente. Específicamente, en el campo del cálculo de estructuras tiene una gran variedad de aplicaciones y es un método ampliamente utilizado en la actualidad. En el mercado es posible encontrar una gran cantidad de aplicativos y programas comerciales de cálculo de estructuras. Suelen ser programas de una gran calidad y con un amplio repertorio de funciones, pero también son programas pesados, propietarios, de alto precio y herméticos. El hermetismo del software propietario no permite la adaptación del programa a las necesidades del usuario, ni la lectura del código fuente. Un estudiante no puede entender el funcionamiento de este tipo de programas, no puede aprender de él, ni un investigador puede modificarlo para adaptarlo a las necesidades de su trabajo, o emplear nuevos métodos para el cálculo. Se pretende desarrollar un programa con interfaz gráfica en Matlab de cálculo de flexión de placas usando el Método de los Elementos Finitos (MEF). El objetivo final es ofrecer una herramienta útil, sencilla, práctica, inteligible, adaptable y ampliable para el cálculo de placas. A diferencia de la mayoría de programas propietarios, que tienen una gran cantidad de funciones, pero son pesados, caros y herméticos, en este programa se apuesta por la transparencia total. Siguiendo las premisas del código libre o Open Source, el programa puede ser leído, adaptado, modificado o ampliado por cualquier usuario. Eduacero. Vol 4. Número 5. Año

2 El texto se estructura en tres partes fundamentales: La primera es una introducción teórica a los conceptos que son de interés para el desarrollo de este programa, es decir, a la teoría del MEF y la flexión de placas. A continuación se introduce el elemento: el elemento DKT. La segunda parte expone todo lo relacionado con el programa creado y su desarrollo. El funcionamiento, la estructura interna y el proceso de creación del programa. La tercera parte se compone de una serie de tests y problemas ejemplo que pretenden poner a prueba la robustez y la corrección del programa desarrollado, así como su convergencia, analizando posteriormente los resultados. 2. INTRODUCCIÓN AL MEF Dado un problema estructural, normalmente se desea conocer el campo de desplazamientos, de deformaciones y de tensiones en cualquier punto del dominio. Para ello, según el MEF se divide el dominio en subdominios (elementos finitos) y se forma una malla con una cantidad discreta de elementos finitos, bordes y nodos. La solución se aproxima en todos los puntos del dominio. Se realiza una aproximación discreta al principio de los trabajos virtuales (1) y se calcula la solución en todos los nodos mediante un sistema de ecuaciones (2). σ = Dε σ = DBa (5) Para más información sobre la teoría del MEF, consultar [2] y [3]. 3. TEORÍA DE PLACAS La teoría de Kirchhoff de placas se basa en las hipótesis siguientes. No reproduce la deformación transversal 1) Los puntos del plano medio cumplen u = v = 0, es decir, los puntos del plano medio se mueven solamente en vertical. 2) todos los puntos contenidos en una normal al plano medio tienen el mismo desplazamiento vertical. 3) La tensión normal σ z es despreciable. 4) Los puntos sobre rectas normales al plano medio antes de la deformación, permanecen sobre rectas también ortogonales a la deformada del plano medio después de la deformación. (1) δεσ da = δ ubda + δ utds + δ uiqi A A s i K a = f (2) Mediante las funciones de forma N, se aproxima la solución en cualquier punto (3), (4) y (5). u( x, y) = N( x, y) a e ε = Lu ε = LNa ε = Ba e e (3) (4) Figura 1 Definición geométrica de una placa. Según la teoría de Kirchhoff [2] En la teoría de Reissner-Mindlin, la cuarta hipótesis se replantea relajando la ortogonalidad impuesta en la teoría de Kirchhoff. Así, se reproduce la deformación transversal y se tiene que: 4) Los puntos que antes de la deformación estaban sobre la normal al plano medio de la placa, permanecen al deformarse Eduacero. Vol 4. Número 5. Año

3 sobre una misma recta, sin que ésta tenga que ser necesariamente ortogonal a la deformada del plano medio. 3) Se impone una variación lineal del giro normal θ n a lo largo de los lados. 4) Las condiciones de deformación transversal nula se imponen en los nodos esquina y los nodos laterales, donde s es la dirección del lado que contiene el nodo k. 5) Para el cálculo de la matriz de rigidez se considera solamente la contribución de la flexión. Figura 2 Definición geométrica de una placa. Según la teoría de Reissner-Mindlin.[5]. Para profundizar en la teoría de placas, se recomienda consultar [3], [2], [4]. 4. ELEMENTO FINITO COMBINADO DKT El elemento triangular DKT fue desarrollado por Striklin y modificado por Dhatt. En 1980, Batoz analizó detalladamente su comportamiento y lo formuló [5], [6]. El punto de partida es el elemento triangular de 6 nodos de Reissner-Mindlin de la Figura 3. Se somete a una serie de condiciones de Kirchhoff [3], lo que permite convertirlo en un elemento de 3 nodos: Batoz [6] calculó, en 1982, una forma explícita de la matriz de rigidez del elemento DKT en coordenadas globales. Es de gran interés ya que reduce el número total de cálculos del algoritmo de cálculo, reduciendo la complejidad computacional, al mismo tiempo que ofrece una solución exacta de la matriz. Es, por lo tanto, el método que se usa en el programa para el cálculo de la matriz de rigidez. Para profundizar en la teoría e implementación del elemento DKT, consultar [3], [5]. 5. CRITERIO DE SIGNOS El criterio de signos usado en el programa es el siguiente: y θ y My θ x Figura 3 Elemento triangular de 6 nodos y elemento DKT. Mx x θ 1) Los giros x θ y y varían cuadráticamente sobre el elemento. 2) La variación de la flecha a lo largo de los lados es lineal. Figura Criterio de signos para los momentos y giros 6. PROCEDIMIENTO PROGRAMADO PARA EL CÁLCULO DE PLACAS Eduacero. Vol 4. Número 5. Año

4 Para el cálculo de cualquier placa, según la teoría presentada de forma introductoria en los puntos anteriores, hay que seguir una serie de pasos de forma ordenada. El programa sigue estos pasos en cada ejecución. Son los siguientes: 1) Determinación de los datos del problema (geometría, propiedades y cargas. Automatic Mesh Generation, disponible públicamente en la web de MathWorks [8]. La tercera parte es la interfaz gráfica de usuario. Esta parte sirve de puente entre el usuario y el programa de cálculo, y permite de forma sencilla visual crear y modificar cualquier aspecto de la placa, así como controlar la ejecución del programa y visualizar los resultados. 2) Creación de la malla. 3) Propiedades geométricas y rigidez de los elementos DKT. 4) Creación de los vectores de carga para todos los elementos 5) Ensamblaje del vector global de cargas y de la matriz global de rigidez. 6) Asignación de las condiciones de contorno a los nodos correspondientes. 7) Creación del sistema de ecuaciones reducido. 8) Solución del sistema (cálculo de los desplazamientos nodales). 9) Aproximación de los desplazamientos y tensiones en cualquier punto y [4]. Para más información consultar [3], [2] 7. ESTRUCTURA DEL PROGRAMA El programa desarrollado se compone de 3 partes. El núcleo del programa es el módulo de cálculo, que efectúa todos los cálculos sobre la placa. Asigna los contornos, características materiales, cargas, etc. Calcula también los elementos y los desplazamientos. Se ha desarrollado de forma completamente orientada a objetos. La segunda parte es el mallador. Para calcular la malla de la placa se ha usado el programa de Darren Engwirda, Mesh2D - Figura 4 Estructura básica del programa Se recomienda encarecidamente al lector que consulte el código fuente y el manual de usuario, disponibles públicamente en: 8. INTERFAZ GRÁFICA DE USUARIO La interfaz gráfica de usuario parte de la interfaz original del programa de Sergio Guerrero Miralles como parte de su Trabajo de Final de Carrera [9]. Está fundamentalmente escrita de forma procedimental, con un ligero uso de la orientación a objetos. Puede observarse el aspecto general de la interfaz gráfica del programa en la Figura 5. Todo lo referente a la interfaz gráfica se encuentra en la carpeta gráfico, dentro del código (funciones, imágenes de los iconos, etc.). La función principal de la interfaz gráfica es MainGrafico, y se comunica con los otros módulos del programa según la Figura 6. Eduacero. Vol 4. Número 5. Año

5 Figura 5 Aspecto general de la interfaz gráfica de usuario Figura 6 Esquema de funcionamiento de la función MainGrafico Eduacero. ISSN:XXXXX. Vol 1. Número 1. Año

6 9. MÓDULO DE CÁLCULO El módulo de cálculo está formado por los archivos que se hallan en la carpeta cálculo del código fuente. Éste módulo se encarga de todos los cálculos requeridos para el programa, así como almacenar los resultados y los datos de entrada del programa. En cualquier momento durante la ejecución del programa, puede observarse el estado del mismo y los resultados usando la variable calculo creada en Matlab. Esta función da acceso a todos los aspectos de interés del programa: elementos, nodos, propiedades materiales, resultado del sistema de ecuaciones, matrices ensambladas, etc. El módulo está creado de forma completa siguiendo las pautas de la programación orientada a objetos. Esto es, está formado por clases que tienen métodos y propiedades propias, algunos públicos y algunos privados y que se comunican entre ellos. Este paradigma dota al código de una gran modularidad y versatilidad. Facilita asimismo su entendimiento y también, en gran medida, la reutilización de código y la realización de cambios y extensiones en el mismo. La clase principal del módulo de cálculo es MainCalculo. MainCalculo se comunica con la interfaz de usuario y realiza los cálculos adecuados, creando, llamando y modificando los distintos objetos de las clases que se crean en la ejecución del programa. En la Figura 7 se observa un esquema simple de la estructura de este módulo. A continuación se presentan las diferentes clases que configuran el módulo de cálculo. Para mayor detalle sobre la implementación, consultar el código fuente. Figura 7 Esquema de funcionamiento del módulo de cálculo 10. MALLADOR (MESH2D) El módulo que se encarga de mallar la placa viene dado por todos los archivos que se encuentran en la carpeta Mesh2D del código fuente. Mesh2D - Automatic Mesh Generation es un programa de de Darren Engwirda, disponible públicamente en la web de MathWorks [8], y que ha sido usado como parte del programa de esta tesina. El programa, dado uno o varios contornos y una serie opciones de configuración, devuelve un mallado triangular sobre la superficie, es decir, la posición de todos los nodos y las conexiones entre ellos. Cuando el módulo de cálculo obtiene todas las condiciones necesarias para formar el mallado de la placa, llama a este mallador y recibe el resultado. Para más información sobre su funcionamiento, examinar el código fuente del programa o visitar su origen en la web de MathWorks [8]. 11. TEST 1: PATCH TEST Se tiene una placa rectangular con momentos puntuales aplicados en los nodos, y una carga vertical aplicada en el nodo 3. Las Eduacero. ISSN:XXXXX. Vol 1. Número 1. Año

7 condiciones de contorno son apoyo simple en w los nodos 1, 2 y 4. Es decir, 1 = w2 = w4 = 0. Las dimensiones son a = 20, b = 10 y las propiedades materiales son E = 1000, t = 1, υ = 0.3. Este sistema de cargas proporciona una ley de momentos constante para los tres momentos en toda la placa e igual a 1. Se comprueban los momentos en los centroides de cada elemento. Figura 9 Patch test, resultados de desplazamiento Figura 8 Test 1: Patch test Tabla 1 Comparación de resultados del patch test 1 Pto. Estudio Centroide 1, 2, 3, 4, Mx Centroide 1, 2, 3, 4, My- Mxy Nodo 5, desplazamie nto Nodo 3, desplazamie nto Valor calculo ,17-12,48 Valor teórico 1,137 (experimental) -12,48 (experimental) Como puede observarse, el patch test da correcto salvo por el momento X, que tiene el módulo correcto pero cambiado de signo. Esto se debe a la diferencia de criterio de signos en los momentos entre esta tesina y el usado en la referencia original del patch test. A continuación se muestran los resultados del desplazamiento y My. Los momentos Mx y Mxy son iguales que My. Figura 10 Patch test, resultados de My 12. TEST 2: TEST DE FLEXIÓN PURA Se asemeja ahora la placa a una viga empotrada en un extremo y con un momento aplicado en el extremo contrario. Se crea en el programa una placa rectangular fina, de dimensiones L=10m, ancho=1m y grosor=0.15m, Las propiedades materiales son E = Pa, υ = 0.3. La inercia de la sección es, por lo tanto: 3 4 I = /12 = 2.81e 4 m. El momento aplicado en el extremo es M y = 5 Nm. Se ha escogido una malla de 81 elementos para calcular la placa. Si se comprueban las visualizaciones de los resultados, se obtiene una ley de giros Y lineal, como se supone que debe ser, un desplazamiento parabólico y unas leyes de momentos constantes. Sin embargo, existen ciertas discontinuidades en los dos extremos para los momentos, pero se trata de una discontinuidad natural en los elementos finitos. Se puede considerar el test como exitoso. A continuación se presentan los resultados en 3 dimensiones y los valores numéricos más Eduacero. Vol 4. Número 5. Año

8 importantes. Como se puede comprobar, los resultados tienen una gran calidad y se ajustan a la realidad. Figura 11 Representación de la viga como una placa. Malla de la placa en el programa, plano XY Tabla 2 Comparación de resultados del Test 2 Figura 14 Test 2, resultados del Mx Figura 12 Test 2, resultados del desplazamiento Figura 15 Test 2, resultados del My Figura 13 Test 2, resultados del giro Y Figura 16 Test 2, resultados del Mxy Eduacero. Vol 4. Número 5. Año

9 13. TEST DE CONVERGENCIA: CARGA UNIFORME EN PLACA CUADRADA, BORDES EMPOTRADOS Y APOYADOS Se estudia a continuación la convergencia del elemento finito DKT y de la implementación del programa en general. Se considera el caso de placa cuadrada con carga uniforme y empotrada en sus lados, o apoyada en sus lados. cuando aumentamos el número de elementos, y los errores relativos son pequeños. Los resultados de los momentos X e Y son iguales a causa de la simetría del problema. El error relativo de los desplazamientos es claramente inferior que el de los momentos, y convergen más deprisa. Es lo que cabría esperar dado que los momentos se aproximan a partir de los desplazamientos calculados. Aun así, el error relativo en ambos casos es inferior al 5% si se usa una malla de 128 o más elementos. El número de elementos de la malla es variable. Se compara para cada caso la flecha en el centro de la placa con su valor teórico, hallando el error relativo. Se comparan también en este mismo punto los momentos X e Y. Se estudia así la convergencia de la solución conforme aumenta el número de elementos usado. Para este test, se considera una placa con las propiedades: 2 a = 0.5 m, t = 3 mm, E = 2.1e 11 Pa, υ = 0.3, q=-800 N/m. Figura 17 Configuración de la malla de 128 elementos La solución analítica de la flecha en el centro para una placa cuadrada empotrada en todos sus lados y cargada uniformemente es: 4 qa = (6) wmax D El momento X e Y en el mismo punto son iguales y valen: Figura 18 Bordes empotrados, desplazamientos verticales 2 M x,y, centro = qa (7) El desplazamiento en el centro según esta configuración es 1.218e-4 m. los momentos X e Y en el mismo punto son iguales a Nm A continuación se muestra la configuración de la placa y el desplazamiento y momentos en uno de los casos, así como el estudio de convergencia. Se puede comprobar en la Figura 21 que el problema converge adecuadamente Figura 19 Bordes empotrados, Momento X Eduacero. Vol 4. Número 5. Año

10 Figura 20 Bordes empotrados, Momento Y Se procede de forma análoga para la placa de bordes apoyados, obteniendo los resultados para ambos casos: Error relativo (%) Error relativo, placa de bordes empotrados 40,00 35,00 30,00 25,00 Desplazamiento 20,00 15,00 Momento X,Y 10,00 5,00 0, Número de elementos Figura 21 Bordes empotrados, error Relativo de los resultados en el centro de la placa Error relativo, placa de bordes simplemente apoyados Error relativo (%) 45,00 40,00 35,00 30,00 25,00 20,00 15,00 10,00 5,00 0,00 Desplazamiento Momento X,Y Número de elementos Figura 22 Bordes simplemente apoyados, error Relativo de los resultados en el centro de la placa Eduacero. Vol 4. Número 5. Año

11 14. CONCLUSIONES Se ha creado un programa totalmente funcional con interfaz gráfica de usuario que calcula placas planas con cargas puntuales o repartidas y con posibilidad de tener agujeros. El programa se ha ideado bajo una licencia de código libre, lo que implica que está disponible para todo aquél que lo necesite sin restricciones. El usuario puede leer, modificar, adaptar o ampliar todo aquello que considere. Esto permite que el desarrollo no termine donde termina esta tesina, sino que sienta las bases para iteraciones posteriores que puedan mejorarlo en varios aspectos. La filosofía con la que ha estado concebido el programa lo hace idóneo para su aplicación docente en las aulas de métodos numéricos en ingeniería, dado que los estudiantes pueden observar de forma transparente el funcionamiento del mismo y efectuar cambios. De la misma manera, resulta una herramienta atractiva para todo aquél que realice investigación y necesite un programa menos rígido y hermético que las soluciones comerciales más populares. El paradigma de programación orientada a objetos aplicado en el desarrollo permite la introducción de cambios sin realizar apenas cambios externos. Como se ha comprobado, los resultados mostrados por el programa son completamente convergentes y de precisión considerable, tanto para los desplazamientos y giros como a las aproximaciones posteriores de los momentos. El error de los resultados ha demostrado ser inferior al 5% para mallas de placas cuadradas de 128 elementos o mayores. Aún así, los resultados Evidentemente, la precisión del programa será o no suficiente dependiendo de la situación. Queda a elección del lector decidir sobre este aspecto, así como realizar más test por su cuenta. 15. REFERENCIAS [1] J. Morato Guardia, Desarrollo en matlab de software de cálculo de placas por mef, Universitat Politècnica de Catalunya, [2] R. Álvarez Cabal, J. J. Benito Muñoz, F. Ureña Prieto, E. Salete Casino, and E. Aranda Ortega, Teoría general del MEF.. [3] E. Oñate, Cálculo de Estructuras por el Método de los elementos Finitos. Barcelona, España, 1995, p [4] J. T. Celigüeta, Método de los Elementos Finitos para Análisis Estructural. San Sebastián, 2008, p [5] J.-L. Batoz, K.-J. Bathe, and L.-W. Ho, A Study of Three-node Triangluar Plate Bending Elements, Int. J. Numer. Methods Eng., vol. 15, no. August 1979, pp , [6] J.-L. Batoz, An Explicit Formulation for an Efficient Triangular Plate-bending Element, Int. J. Numer. Methods Eng., vol. 18, pp , [8] D. Engwirda, Mesh2D - Automatic Mesh Generation. [Online]. Available: leexchange/25555-mesh2d-automatic-meshgeneration. [9] S. Guerrero Miralles, Desenvolupament d un programa de càlcul matricial d'estructures amb interfase gràfica, Universitat Politècnica de Catalunya, En conclusión, se puede determinar que los objetivos de la tesina han sido cumplidos correctamente, consiguiendo un programa robusto, eficaz, preciso, con una buena usabilidad y completamente transparente y adaptable. Eduacero. Vol 4. Número 5. Año