Cálculo Integral CÁLCULO INTEGRAL UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DEL ESTADO DE MÉXICO. Facultad de Ciencias. José Guadalupe Anaya Ortega.
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- Julia Lidia Lara Rodríguez
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1 CÁLCULO INTEGRAL UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DEL ESTADO DE MÉXICO Facultad de Ciencias José Guadalupe Anaya Ortega La Integral
2 Proposito General Proposito General de la Unidad de Aprendizaje Manejar los conceptos fundamentales del cálculo integral y aplicarlos en forma colaborativa en diversas áreas haciendo énfasis en aplicaciones físicas y geométricas. Manejar los diferentes métodos de integración. Analizar la importancia del teorema fundamental del cálculo.
3 Presentación El presente material didáctico de solo visión proyectable, tiene como finalidad, desarrollar en los estudiantes la habilidad de la observación, reflexión y análisis sobre: Integrabilidad de funciones. Dentro del enfoque por competencias se pretende desarrollar en el estudiante la capacidad de análisis.
4 Especificaciones La metodología que se sugiere para el mejor aprovechamiento del material respecto a cada tema, se describe a continuación, sin embargo a los jóvenes les resulta agradable el uso este tipo de recurso didáctico, específicamente las diapositivas considerándolas como notas de clase, para efectuar el repaso que fortalezca su aprendizaje.
5 Recursos que se utilizarán 1 Cañon, 2 Software: Cualquier visor de archivos pdf, 3 Computadora, 4 Pizarrón, 5 Material impreso.
6 Indicaciones de uso El uso del presente material es de fácil acceso: 1 Abra el dispositivo de almacenamiento con doble clic. 2 Solo de clic para dejar pasar las diapositivas. 3 Con la tecla ESC se interrumpe la presentación. 4 Con las teclas de Redpág y Avpág puede avanzar y retroceder las diapositiva.
7 Competencias a desarrollar 1 De conocimientos 1 Funciones Integrables. 2 Teorema Fundamental del Cálculo Infinitesimal. 2 De Habilidades 1 Identificación de postulados, hipótesis y conclusiones. Intuición sobre la veracidad o falsedad de una afirmación. 3 De Actitudes y Valores 1 Disciplina, orden, tenacidad, gusto por enfrentar nuevos retos, paciencia y rigor en el razonamiento.
8 Índice General 1. 2 Funciones integrables. 3 Propiedades de la integral. 4 Teorema Fundamental del Cálculo Infinitesimal. 5 Funciones Trigonométricas
9
10 Cómo surge la integral?
11 Cómo surge la integral? El área de una región se define a veces como el número de cuadrados de lado unidad que caben en la región.
12 Cómo surge la integral? El área de una región se define a veces como el número de cuadrados de lado unidad que caben en la región. Consideremos el círculo de radio 1, su área es π, así que caben "π cuadrados en el círculo de radio 1".
13 Objetivo Definir el área de regiones que están limitadas por el eje horizontal, las lineas verticales que pasan por (a, 0) y (b, 0) y la gráfica de la función f tal que f(x) 0 para todo x [a, b].
14 Objetivo Definir el área de regiones que están limitadas por el eje horizontal, las lineas verticales que pasan por (a, 0) y (b, 0) y la gráfica de la función f tal que f(x) 0 para todo x [a, b].
15 Objetivo Definir el área de regiones que están limitadas por el eje horizontal, las lineas verticales que pasan por (a, 0) y (b, 0) y la gráfica de la función f tal que f(x) 0 para todo x [a, b]. (a,0) (b,0)
16 Objetivo Definir el área de regiones que están limitadas por el eje horizontal, las lineas verticales que pasan por (a, 0) y (b, 0) y la gráfica de la función f tal que f(x) 0 para todo x [a, b]. (a,0) (b,0)
17 Objetivo Definir el área de regiones que están limitadas por el eje horizontal, las lineas verticales que pasan por (a, 0) y (b, 0) y la gráfica de la función f tal que f(x) 0 para todo x [a, b]. (a,0) (b,0)
18 Iniciaremos dividiendo el intervalo [a, b] en cuatro subintervalos [t 0, t 1 ] [t 1, t 2 ] [t 2, t 3 ] [t 3, t 4 ] donde los números t 0, t 1, t 2, t 3, t 4 satisfacen: a = t 0 < t 1 < t 2 < t 3 < t 4 = b
19 Iniciaremos dividiendo el intervalo [a, b] en cuatro subintervalos [t 0, t 1 ] [t 1, t 2 ] [t 2, t 3 ] [t 3, t 4 ] donde los números t 0, t 1, t 2, t 3, t 4 satisfacen: a = t 0 < t 1 < t 2 < t 3 < t 4 = b
20 Iniciaremos dividiendo el intervalo [a, b] en cuatro subintervalos [t 0, t 1 ] [t 1, t 2 ] [t 2, t 3 ] [t 3, t 4 ] donde los números t 0, t 1, t 2, t 3, t 4 satisfacen: a = t 0 < t 1 < t 2 < t 3 < t 4 = b t 0=a t 1 t 2 t3 t 4=b
21 Para cada i {1, 2, 3, 4}, sea m i el valor mínimo de f en el intervalo [t i 1, t i ].
22 Para cada i {1, 2, 3, 4}, sea m i el valor mínimo de f en el intervalo [t i 1, t i ]. Sea s = m 1 (t 1 t 0 ) + m 2 (t 2 t 1 ) + m 3 (t 3 t 2 ) + m 4 (t 4 t 3 )
23 Para cada i {1, 2, 3, 4}, sea m i el valor mínimo de f en el intervalo [t i 1, t i ]. Sea s = m 1 (t 1 t 0 ) + m 2 (t 2 t 1 ) + m 3 (t 3 t 2 ) + m 4 (t 4 t 3 )
24 Para cada i {1, 2, 3, 4}, sea m i el valor mínimo de f en el intervalo [t i 1, t i ]. Sea s = m 1 (t 1 t 0 ) + m 2 (t 2 t 1 ) + m 3 (t 3 t 2 ) + m 4 (t 4 t 3 ) t 0=a t 1 t 2 t 3 t 4=b
25 Para cada i {1, 2, 3, 4}, sea M i el valor máximo de f en el intervalo [t i 1, t i ].
26 Para cada i {1, 2, 3, 4}, sea M i el valor máximo de f en el intervalo [t i 1, t i ]. Sea S = M 1 (t 1 t 0 ) + M 2 (t 2 t 1 ) + M 3 (t 3 t 2 ) + M 4 (t 4 t 3 )
27 Para cada i {1, 2, 3, 4}, sea M i el valor máximo de f en el intervalo [t i 1, t i ]. Sea S = M 1 (t 1 t 0 ) + M 2 (t 2 t 1 ) + M 3 (t 3 t 2 ) + M 4 (t 4 t 3 )
28 Para cada i {1, 2, 3, 4}, sea M i el valor máximo de f en el intervalo [t i 1, t i ]. Sea S = M 1 (t 1 t 0 ) + M 2 (t 2 t 1 ) + M 3 (t 3 t 2 ) + M 4 (t 4 t 3 ) t 0=a t 1 t 2 t 3 t 4=b
29 Introduccción Así que s A S, donde A es el área de R(f, a, b).
30 Introduccción Así que s A S, donde A es el área de R(f, a, b).
31 Introduccción Así que s A S, donde A es el área de R(f, a, b).
32 Introduccción Así que s A S, donde A es el área de R(f, a, b). t 0=a t 1 t 2 t 3 t 4=b
33 Partición y suma inferior Definición Sean a, b R tales que a < b. Recibe el nombre de partición del intervalo [a, b] toda colección finita {t 0, t 1, t 2,..., t n 1, t n } de puntos de [a, b] tales que a = t 0 < t 1 < t 2 < < t n 1 < t n = b
34 Partición y suma inferior Definición Sean a, b R tales que a < b. Recibe el nombre de partición del intervalo [a, b] toda colección finita {t 0, t 1, t 2,..., t n 1, t n } de puntos de [a, b] tales que a = t 0 < t 1 < t 2 < < t n 1 < t n = b
35 Partición y suma inferior Definición Sean a, b R tales que a < b. Recibe el nombre de partición del intervalo [a, b] toda colección finita {t 0, t 1, t 2,..., t n 1, t n } de puntos de [a, b] tales que a = t 0 < t 1 < t 2 < < t n 1 < t n = b Definición Supongamos que la función f está acotada sobre [a, b] y sea P = {t 0, t 1, t 2,..., t n } una partición del intervalo [a, b]. Sea m i = inf{f(x) : t i 1 x t i }, M i = sup{f(x) : t i 1 x t i }, La suma inferior de f para P, denotada por L(f, P ), se define por
36 Suma superior Definición La suma superior de f para P, denotada por U(f, P ), se define por U(f, P ) = i=n M i (t i t i 1 ). i=0
37 Sumas superior e inferior Lema 1 Sean f una función acotada en el intervalo [a, b] y P, Q dos particiones del intervalo [a, b] tales que P Q. Entonces L(f, P ) L(f, Q) U(f, P ) U(f, Q)
38 Sumas superior e inferior Lema 1 Sean f una función acotada en el intervalo [a, b] y P, Q dos particiones del intervalo [a, b] tales que P Q. Entonces L(f, P ) L(f, Q) U(f, P ) U(f, Q)
39 Sumas superior e inferior Lema 1 Sean f una función acotada en el intervalo [a, b] y P, Q dos particiones del intervalo [a, b] tales que P Q. Entonces L(f, P ) L(f, Q) U(f, P ) U(f, Q) t k-1 t k
40 Sumas superior e inferior Lema 1 Sean f una función acotada en el intervalo [a, b] y P, Q dos particiones del intervalo [a, b] tales que P Q. Entonces L(f, P ) L(f, Q) U(f, P ) U(f, Q) t k-1 u t k
41 Sumas superior e inferior Lema 1 Sean f una función acotada en el intervalo [a, b] y P, Q dos particiones del intervalo [a, b] tales que P Q. Entonces L(f, P ) L(f, Q) U(f, P ) U(f, Q) m m t k-1 u t k
42 Sumas superior e inferior Lema 1 Sean f una función acotada en el intervalo [a, b] y P, Q dos particiones del intervalo [a, b] tales que P Q. Entonces L(f, P ) L(f, Q) U(f, P ) U(f, Q)
43 Sumas superior e inferior Lema 1 Sean f una función acotada en el intervalo [a, b] y P, Q dos particiones del intervalo [a, b] tales que P Q. Entonces L(f, P ) L(f, Q) U(f, P ) U(f, Q) Teorema 2 Sean P 1 y P 2 dos particiones de [a, b] y f una función acotada sobre [a, b]. Entonces L(f, P 1 ) U(f, P 2 ).
44 Camino a la definición de función integrable Pregunta Si f es una función acotada en [a, b], Qué podemos decir de los siguientes conjuntos? {L(f, P ) : P es un partición de [a, b]}, {U(f, P ) : P es un partición de [a, b]}
45 Funciones Integrables función integrable Definición Una función f acotada sobre [a, b] es integrable sobre [a, b] si sup{l(f, P ) : P es un partición de [a, b]} = inf{u(f, P ) : P es un partición de [a, b]}.
46 Funciones Integrables función integrable Definición Una función f acotada sobre [a, b] es integrable sobre [a, b] si sup{l(f, P ) : P es un partición de [a, b]} = inf{u(f, P ) : P es un partición de [a, b]}. En este caso, este número común recibe el nombre de integral de f sobre [a, b] y se denota por b a f.
47 Funciones Integrables función integrable Definición Una función f acotada sobre [a, b] es integrable sobre [a, b] si sup{l(f, P ) : P es un partición de [a, b]} = inf{u(f, P ) : P es un partición de [a, b]}. En este caso, este número común recibe el nombre de integral de f sobre [a, b] y se denota por b a f. La integral b a f recibe el nombre de área de R(f, a, b) cuando f(x) 0 para todo x [a, b].
48 Funciones Integrables Ejemplos Son integrables sobre [a, b] las siguientes funciones:
49 Funciones Integrables Ejemplos Son integrables sobre [a, b] las siguientes funciones: 1 f(x) = c, donde c R fijo.
50 Funciones Integrables Ejemplos Son integrables sobre [a, b] las siguientes funciones: 1 f(x) = c, donde c R fijo. c a b
51 Funciones Integrables Ejemplos Son integrables sobre [a, b] las siguientes funciones: 1 f(x) = c, donde c R fijo. 2 f(x) = { 2, si x R \ Q, 1, si x Q.
52 Funciones Integrables Ejemplos Son integrables sobre [a, b] las siguientes funciones: 1 f(x) = c, donde c R fijo. 2 f(x) = { 2, si x R \ Q, 1, si x Q. 2 1
53 Funciones Integrables Propiedades de la Integral Teorema 3 Si f está acotada sobre [a, b], entonces f es integrable sobre [a, b] si y sólo si para todo ε > 0 existe un partición P de [a, b] tal que U(f, P ) L(f, P ) < ε.
54 Funciones Integrables Propiedades de la Integral Teorema 4 Sea a < c < b. Si f es integrable sobre [a, b] entonces f es integrable sobre [a, c] y [c, b]. Reciprocamente, si f es integrable sobre [a, c] y [c, b] entonces f es integrable sobre [a, b]. Finalmente, si f es integrable sobre [a, b], entonces b a f = c a f + b c f.
55 Funciones Integrables Propiedades de la Integral Teorema 4 Sea a < c < b. Si f es integrable sobre [a, b] entonces f es integrable sobre [a, c] y [c, b]. Reciprocamente, si f es integrable sobre [a, c] y [c, b] entonces f es integrable sobre [a, b]. Finalmente, si f es integrable sobre [a, b], entonces b a f = c a f + b c f.
56 Funciones Integrables Propiedades de la Integral Definiciones a a f = 0 b a f = a b f, si a > b.
57 Funciones Integrables Propiedades de la Integral Definiciones a a f = 0 b a f = a b f, si a > b.
58 Funciones Integrables Propiedades de la Integral Definiciones a a f = 0 b a f = a b f, si a > b. Teorema 5 Si f y g son integrables sobre [a, b], entonces f + g también es integrable en [a, b], además b a f + b a g = b a (f + g).
59 Funciones Integrables Propiedades de la Integral Definiciones a a f = 0 b a f = a b f, si a > b. Teorema 5 Si f y g son integrables sobre [a, b], entonces f + g también es integrable en [a, b], además b a f + b a g = b a (f + g).
60 Funciones Integrables Propiedades de la Integral Definiciones a a f = 0 b a f = a b f, si a > b. Teorema 5 Si f y g son integrables sobre [a, b], entonces f + g también es integrable en [a, b], además b a f + b a g = b a (f + g).
61 Funciones Integrables Propiedades de la Integral Teorema 6 Si f es integrable sobre [a, b] y c R, entonces cf es integrable sobre [a, b], además b a (cf) = c b a (f)
62 Funciones Integrables Propiedades de la Integral Teorema 6 Si f es integrable sobre [a, b] y c R, entonces cf es integrable sobre [a, b], además b a (cf) = c b a (f)
63 Funciones Integrables Propiedades de la Integral Teorema 6 Si f es integrable sobre [a, b] y c R, entonces cf es integrable sobre [a, b], además b a (cf) = c b a (f) Teorema 7 Sean m, M R y f una función integrable sobre [a, b] tal que m f(x) M para cada x [a, b]. Entonces m(b a) b a f M(b a).
64 Funciones Integrables Propiedades de la Integral Teorema 8 Si f es integrable sobre [a, b] y F está definida sobre [a, b] por F (x) = x a f, entonces F es continua sobre [a, b].
65 Funciones Integrables Propiedades de la Integral Teorema 8 Si f es integrable sobre [a, b] y F está definida sobre [a, b] por F (x) = x a f, entonces F es continua sobre [a, b].
66 Funciones Integrables Propiedades de la Integral Teorema 8 Si f es integrable sobre [a, b] y F está definida sobre [a, b] por F (x) = x a f, entonces F es continua sobre [a, b]. M c c+h
67 Funciones Integrables Propiedades de la Integral f a
68 Funciones Integrables Propiedades de la Integral f a
69 Funciones Integrables Propiedades de la Integral f F a a
70 Funciones Integrables Propiedades de la Integral f f a
71 Funciones Integrables Propiedades de la Integral f f a
72 Funciones Integrables Propiedades de la Integral f f F a a
73 Funciones Integrables Propiedades de la Integral f a f
74 Funciones Integrables Propiedades de la Integral f a f
75 Funciones Integrables Propiedades de la Integral f F a a f
76 Teorema Fundamental del Cálculo Teorema Fundamental del Cálculo Infinitesimal Teorema 9 (Primer Teorema Fundamental del Cálculo Infinitesimal) Sea f integrable sobre [a, b] y defínase F sobre [a, b] por F (x) = x a f. Si f es continua en c [a, b], entonces F es derivable en c, y F (c) = f(c).
77 Teorema Fundamental del Cálculo Teorema Fundamental del Cálculo Infinitesimal Teorema 9 (Primer Teorema Fundamental del Cálculo Infinitesimal) Sea f integrable sobre [a, b] y defínase F sobre [a, b] por F (x) = x a f. Si f es continua en c [a, b], entonces F es derivable en c, y F (c) = f(c).
78 Teorema Fundamental del Cálculo Teorema Fundamental del Cálculo Infinitesimal Teorema 9 (Primer Teorema Fundamental del Cálculo Infinitesimal) Sea f integrable sobre [a, b] y defínase F sobre [a, b] por F (x) = x a f. Si f es continua en c [a, b], entonces F es derivable en c, y F (c) = f(c). M h m h
79 Teorema Fundamental del Cálculo Teorema Fundamental del Cálculo Infinitesimal Teorema 9 (Primer Teorema Fundamental del Cálculo Infinitesimal) Sea f integrable sobre [a, b] y defínase F sobre [a, b] por F (x) = x a f. Si f es continua en c [a, b], entonces F es derivable en c, y F (c) = f(c).
80 Teorema Fundamental del Cálculo Teorema Fundamental del Cálculo Infinitesimal Teorema 9 (Primer Teorema Fundamental del Cálculo Infinitesimal) Sea f integrable sobre [a, b] y defínase F sobre [a, b] por F (x) = x a f. Si f es continua en c [a, b], entonces F es derivable en c, y F (c) = f(c).
81 Teorema Fundamental del Cálculo Teorema Fundamental del Cálculo Infinitesimal Teorema 9 (Primer Teorema Fundamental del Cálculo Infinitesimal) Sea f integrable sobre [a, b] y defínase F sobre [a, b] por F (x) = x a f. Si f es continua en c [a, b], entonces F es derivable en c, y F (c) = f(c). Corolario 10 Sean f una función continua en [a, b] y g una función tal que f = g. Entonces
82 Teorema Fundamental del Cálculo Teorema Fundamental del Cálculo Infinitesimal Teorema 11 (Segundo Teorema Fundamental del Cálculo Infinitesimal) Sean f una función integrable en [a, b] y g una función tal que f = g. Entonces b a f = g(b) g(a).
83 Teorema Fundamental del Cálculo Las fuciones continuas son integrables Definición Sean f : A R R y x 0 A. Decimos que f es continua en x 0 si para todo ε > 0, existe δ > 0 tal que f(x 0 ) f(y) < ε siempre que x 0 y < δ. Decimos que f es continua en A si f es continua en cada punto de A.
84 Teorema Fundamental del Cálculo Las fuciones continuas son integrables Definición Sean f : A R R y x 0 A. Decimos que f es continua en x 0 si para todo ε > 0, existe δ > 0 tal que f(x 0 ) f(y) < ε siempre que x 0 y < δ. Decimos que f es continua en A si f es continua en cada punto de A. Definición Sea f : A R R. Decimos que f es uniformemente continua en A si para todo ε > 0, existe δ > 0 tal que f(x) f(y) < ε siempre que x y < δ.
85 Teorema Fundamental del Cálculo Las fuciones continuas son integrables Definición Sean f : A R R y x 0 A. Decimos que f es continua en x 0 si para todo ε > 0, existe δ > 0 tal que f(x 0 ) f(y) < ε siempre que x 0 y < δ. Decimos que f es continua en A si f es continua en cada punto de A. Definición Sea f : A R R. Decimos que f es uniformemente continua en A si para todo ε > 0, existe δ > 0 tal que f(x) f(y) < ε siempre que x y < δ. Teorema 12 Sea f : [a, b] R. Si f es continua en [a, b], entonces f es uniformemente continua en [a, b].
86 Teorema Fundamental del Cálculo Las fuciones continuas son integrables Teorema 13 Toda función continua en [a, b], es integrable sobre [a, b].
87 Teorema Fundamental del Cálculo Bibliografía 1 Courant, R. y John, F. Introduction to Calculus and Analysis, Vol. I, Interscience Publishers, Haaser, La Salle, Sullivan. Análisis Matemático Curso de, vol. I, Ed. Trillas. 3 Spivak, M. Calculus, Ed. Reverté, Apostol, T. Calculus, vol. I, Ed. Reverté, Sagan, H. Advanced Calculus, Ed. Houghton Mifflin Company, 1974.
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