Plan de clase (1/5) Escuela: Fecha: Profr. (a):

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1 Plan de clase (1/5) Escuela: Fecha: Profr. (a): Curso: Matemáticas 8 Eje temático: SN y PA Contenido: Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de ecuaciones de primer grado de la forma: a + b = c + d y con paréntesis en uno o en ambos miembros de la ecuación, utilizando coeficientes enteros, fraccionarios o decimales, positivos y negativos. Intenciones didácticas: Que los alumnos refleionen sobre la similitud entre una balanza en equilibrio y una igualdad en la que se desconoce un valor. Consigna. En equipo, realicen lo que se indica enseguida: 1. La siguiente balanza está en equilibrio, pero no se sabe cuánto pesan los botes, aunque se sabe que pesan lo mismo. Averigüen cuánto pesa cada uno. 3 kg 5 kg 5 kg 5 kg 3 kg 2. Cuáles de las siguientes acciones mantienen en equilibrio a la balanza? a) Pasar 3 kg del platillo izquierdo al platillo derecho. b) Añadir 4 kg a cada platillo. c) Quitar 5 kg a cada platillo. d) Poner un bote en el platillo derecho y una pesa de 5 kg del lado derecho. e) Quitar dos botes del platillo izquierdo y un bote del derecho. f) Quitar un bote de cada platillo. Discutan en grupalmente sus respuestas. 3. En equipos, resuelvan el siguiente problema. Los ladrillos de esta balanza en equilibrio pesan todos lo mismo. Escriban una ecuación que modele esta situación y averigüen cuánto pesa un ladrillo. 5 kg 22.5kg

2 Consideraciones previas: Este es el método conocido como método de la balanza para resolver ecuaciones lineales de una incógnita. Es probable que sus alumnos ya lo hayan usado en primer grado. Sin embargo, en segundo grado se comienza a resolver ecuaciones de la forma a + b = c + d (ecuaciones en las que la incógnita aparece en ambos lados de la igualdad), pues en primero sólo se estudiaron ecuaciones de la forma a + b = d (en las que la incógnita aparece sólo de un lado de la igualdad). Para este método es muy importante enfatizar la analogía que hay entre conservar el equilibrio de la balanza y conservar la igualdad en la ecuación. Hay que establecer la relación entre las acciones que se realizan en la balanza (conservando el equilibrio) y las acciones que se realizan en las ecuaciones (conservando la igualdad de la ecuación). Este Plan de clase tiene la finalidad de provocar la refleión de los estudiantes sobre esta analogía. Para el primer problema pueden aparecer distintos procedimientos; por ejemplo, se puede quitar pesas hasta aislar un bote del lado izquierdo de la balanza, conservando siempre el equilibrio. Otra manera de resolverlo, puede ser comparar las distintas pesas que hay en cada lado: en el disco izquierdo hay dos botes, una pesa de 5kg y una pesa de 3kg; en el disco derecho hay un bote, dos pesas de 5kg y una pesa de 3kg. Comparando pesa por pesa (esta comparación puede ser gráfica), un bote del lado izquierdo debe corresponder a una pesa de 5kg del lado derecho, para mantener el equilibrio. Las acciones que se proponen en el inciso (2) tienen la finalidad de identificar aquellas que sí conservan el equilibrio y aquellas que no. Para concluir esta primera parte, se recomienda eplicar que este problema puede epresarse mediante la siguiente ecuación: kg + 3 kg = + 5 kg + 5 kg + 3kg Y solucionarla con ayuda del método de la balanza. En la discusión grupal, es muy importante verificar que los procedimientos conserven el equilibrio de la balanza. Para el segundo problema, es muy recomendable recurrir a la balanza para aclarar lo que representa la ecuación y lo que significan los pasos de solución. La ecuación correspondiente es = Para solucionarla, es probable que algunos alumnos necesiten apoyo para recordar cómo hacer las operaciones con números decimales. Se recomienda usar calculadora. Observaciones posteriores: 1. Cuáles fueron los aspectos más eitosos de la sesión? 2. Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase?

3 3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil Útil Uso limitado Pobre

4 Plan de clase (2/5) Escuela: Fecha: Profr. (a): Curso: Matemáticas 8 Eje temático: SN y PA Contenido: Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de ecuaciones de primer grado de la forma: a + b = c + d y con paréntesis en uno o en ambos miembros de la ecuación, utilizando coeficientes enteros, fraccionarios o decimales, positivos y negativos. Intenciones didácticas: Que los alumnos sistematicen y ejerciten la aplicación del método de la balanza para la solución de ecuaciones de la forma a + b = c + d. Consigna. En equipos, analicen la siguiente situación y encuentren el valor de. Ecuación: DIAGRAMACIÓN: Poner con ROJO líneas, flechas y letras de las pesas que salen. EN VERDE líneas y flechas de las pesas de 1 kg (cuadrados que salen.) Ecuación = Ecuación:

5 Ecuación: Discutan en grupo sus procedimientos. 2. Resuelvan las siguientes ecuaciones mediante el método de la balanza = = = /3 + 8 = = Consideraciones previas: Esta sesión tiene la finalidad de sistematizar las acciones que se realizan para solucionar ecuaciones conservando la igualdad (o el equilibrio): se trata de conservar la igualdad mediante la realización las mismas acciones (operaciones) en ambos miembros de la igualdad. Es importante señalar que esta situación particular de la balanza pretende abstraer las acciones y los objetos que se operan al resolver ecuaciones. En ella sólo hay números y letras. Con ayuda de esta representación hay que pedir que los alumnos epliquen cómo se pasa de una ecuación a otra hasta llegar a la solución de la ecuación. En la resolución de las ecuaciones de la segunda parte, se puede construir una balanza para aclarar las dudas posibles. Sin embargo, se recomienda desprenderse poco a poco de la representación y trabajar directamente sobre las ecuaciones, enfatizando la realización de las mismas acciones de ambos lados para conservar la igualdad. Por ejemplo, la ecuación = presenta números grandes que hacen no-eficiente la representación gráfica. Quizás se presenten algunas dificultades con el coeficiente fraccionario de la ecuación 1/3 + 8 = + 2. Nuevamente, se recomienda utilizar una balanza para dar sentido a las acciones para solucionar la ecuación. Se pueden proponer variaciones a estas ecuaciones, aumentando el rango y cambiando el tipo de números involucrados. Observaciones posteriores: 1. Cuáles fueron los aspectos más eitosos de la sesión? 2. Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase?

6 3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil Útil Uso limitado Pobre

7 Plan de clase (3/5) Escuela: Fecha: Profr. (a): Curso: Matemáticas 8 Eje temático: SN y PA Contenido: Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de ecuaciones de primer grado de la forma: a + b = c + d y con paréntesis en uno o en ambos miembros de la ecuación, utilizando coeficientes enteros, fraccionarios o decimales, positivos y negativos. Intenciones didácticas: Que los alumnos resuelvan problemas y ecuaciones de primer grado con una incógnita, de la forma: a + b = c + d con coeficientes enteros, fraccionarios, decimales, positivos y negativos. Consigna. Integrados en equipos, planteen una ecuación para resolver los siguientes problemas: 1. Pienso un número; si lo multiplico por 5 y al resultado le resto 3, obtengo lo mismo que si al número que pensé le sumo 9. Qué número es? 2. Pienso un número; si lo divido entre 2 y al resultado le resto 5, obtengo lo mismo que si al número le resto 20. Qué número es? 3. Pienso un número; si lo multiplico por -2 y al resultado le sumo 7, obtengo lo mismo que si multiplico el mismo número por 2 y al resultado le resto 21. Qué número es? Discutan grupalmente sus soluciones. Consigna: En equipos, resuelvan las siguientes ecuaciones = = = = /4 + 2 Consideraciones previas Los problemas que se trabajan en esta sesión no pueden representarse directamente mediante una balanza, pues involucran restas y números negativos. Después de que los estudiantes se enfrenten a esta dificultad es importante dar un espacio para que recurran a métodos personales para tratar de resolverlos. Algunos de estos métodos pueden ser el ensayo y error. En la discusión grupal, después de la revisión de las ecuaciones y de los procedimientos que se hayan presentado, es importante presentar la solución de las ecuaciones mediante el método de la balanza, que consiste en conservar la igualdad mediante la realización las mismas acciones (operaciones) en ambos miembros.

8 Por ejemplo, la ecuación que corresponde al problema (1) es 5 3 = + 9, y su solución mediante el método de la balanza es: 5 3 = = = = = = 12 4 Se suma 3 de ambos lados Se resta de ambos lados Se divide entre 4 de ambos lados = 3 En este momento resulta de mucha importancia todo el trabajo previo que se haya dado al trabajo sobre la balanza para dar sentido a esta etensión de las acciones. Las ecuaciones propuestas sólo son ejemplos de muchos otros que se pueden plantear. Se recomienda que se revise grupalmente su solución. Observaciones posteriores: 1. Cuáles fueron los aspectos más eitosos de la sesión? 2. Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase? 3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil Útil Uso limitado Pobre

9 Plan de clase (4/5) Escuela: Fecha: Profr. (a): Curso: Matemáticas 8 Eje temático: SN y PA Contenido: Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de ecuaciones de primer grado de la forma: a + b = c + d y con paréntesis en uno o en ambos miembros de la ecuación, utilizando coeficientes enteros, fraccionarios o decimales, positivos y negativos. Intenciones didácticas: Que los alumnos resuelvan problemas, a través del planteamiento y resolución de ecuaciones de primer grado con paréntesis. Consigna. Integrados en equipos resuelvan los siguientes problemas: 1. Considerando que las siguientes figuras tienen igual perímetro, cuál es el valor de? La edad actual de José es 3/8 de la de su hermano, y dentro de 4 años tendrá 1/2 de la que entonces tenga su hermano. Cuál es a edad actual del hermano? Consideraciones previas: El objetivo de esta sesión es estudiar maneras de resolver ecuaciones con paréntesis, como 2( + 6) = Para ello, se puede recurrir a las propiedades de equivalencia de epresiones algebraicas (Plan G8B2C3) y de la jerarquía de operaciones (Plan G8B3C1) y así simplificar las ecuaciones. Sin embargo, también se recomienda recuperar los referentes dados por el conteto de los problemas. Por ejemplo, para el primer problema, se pueden dar las siguientes formulaciones: = = ( + 6) = 16 + Las primeras dos primeras formulaciones, se pueden resolver directamente mediante el método de la balanza. Para la última es conveniente simplificar primero la ecuación. Esta simplificación se puede dar a través de la aplicación de la propiedad distributiva de la multiplicación sobre la suma, simplificando la ecuación 2( + 6) = 16 + en la ecuación = Pero, además de la aplicación de esta propiedad abstracta, se recomienda dar sentido a la simplificación mediante la referencia al conteto y a las figuras del problema.

10 En la resolución del segundo problema es probable que se presenten dificultades para plantear la ecuación correspondiente. Se puede pedir a los alumnos que organicen los datos y las relaciones del problema de la siguiente manera: Hermano de José José Edad actual 3/8 Dentro de 4 años + 4 3/8 + 4 Además, dentro de 4 años la mitad de la edad del hermano de José será igual a la que tenga José. Entonces la ecuación es: 1/2( + 4) = 3/ Esta ecuación tiene coeficientes fraccionarios, de manera que es una oportunidad para que los alumnos usen este conocimiento. Finalmente, para consolidar la resolución de este tipo de ecuaciones, se pueden proponer ejercicios como los siguientes: 59(z- 6) = 4(z+ 4) 5(r + 6) = -5(r - 4) 5 2 = 3 ( ) 1 ( 3-6) = 9 Además de la aplicación de la propiedad distributiva, es conveniente presentar, entre las acciones posibles para resolver las últimas tres ecuaciones, el dividir o multiplicar por un mismo número de ambos lados de la igualdad. Observaciones posteriores: 1. Cuáles fueron los aspectos más eitosos de la sesión? 2. Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase? 3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil Útil Uso limitado Pobre

11 Plan de clase (5/5) Escuela: Fecha: Profr. (a): Curso: Matemáticas 8 Eje temático: SN y PA Contenido: Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de ecuaciones de primer grado de la forma: a + b = c + d y con paréntesis en uno o en ambos miembros de la ecuación, utilizando coeficientes enteros, fraccionarios o decimales, positivos y negativos. Intención didáctica Que los alumnos resuelvan problemas, a través del planteamiento y resolución de ecuaciones de primer grado. Consigna. Integrados en equipos resuelvan los siguientes problemas: 1. Un avión que vuela a una velocidad de kilómetros por hora, va a alcanzar a otro que lleva una delantera de 5 horas y está volando a 640 kilómetros por hora. Cuánto tardará el primer avión en alcanzar al segundo? 2. La edad de Diofanto. Diofanto fue un matemático griego que nació en la ciudad de Alejandría alrededor del siglo III de Nuestra Era. Gracias al siguiente epitafio, redactado en forma de problema y conservado en los libros de matemática, se conoce algo más de su vida. Su niñez ocupó la seta parte de su vida; después, durante la doceava parte su mejilla se cubrió con el primer bozo. Pasó aún una séptima parte de su vida antes de tomar esposa y, cinco años después, tuvo un precioso niño que, una vez alcanzada la mitad de la edad de su padre, pereció de una muerte desgraciada. Su padre tuvo que sobrevivirle, llorándole, durante cuatro años. De todo esto se deduce su edad. Contesta: cuántos años vivió Diofanto? Consideraciones previas: Es probable que aparezcan procedimientos como el ensayo y error para resolver estos problemas. Si aparecen, es importante reconocerlos cómo válidos y se recomienda aprovechar comparar su eficiencia con la de métodos como la balanza. Entre las dificultades que pueden aparecer está el planteamiento de las ecuaciones correspondientes. Para el primer problema puede haber varias formulaciones, entre ellas las siguientes dos. Si t es el tiempo que volará el avión que despegó después, entonces el avión que despegó primero ha volado t + 5 horas, pues lleva 5 horas de ventaja. Para alcanzar al primer avión, las distancias recorridas por ambos aviones deben ser las mismas. La distancia que recorre el avión que salió primero es 640(t + 5); la distancia que recorre el segundo es 1040t. Entonces la ecuación es: 640(t + 5) = 1040t

12 La distancia que el primer avión ha recorrido cuando el segundo avión despega es de 3200km. Para alcanzar al primer avión, las distancias recorridas por ambos aviones deben ser las mismas. Si t es el tiempo que volará el segundo avión para alcanzar al primero, la distancia que recorre será 1040t. La distancia que habrá recorrido el primer avión será entonces 640t Entonces la ecuación es: 640t = 1040t Una vez planteadas las ecuaciones, se recomienda eplicar cómo obtener una a partir de la otra mediante la aplicación de la propiedad distributiva. Para el segundo problema, la ecuación correspondiente es: = Se recomienda verificar los pasos de solución en la discusión grupal y discutir las dudas que haya. Observaciones posteriores: 1. Cuáles fueron los aspectos más eitosos de la sesión? 2. Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase? 3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil Útil Uso limitado Pobre